第41炼 指对数比较大小
在填空选择题中我们会遇到一类比较大小的问题，通常是三个指数和对数混在一起，进行排序。这类问题如果两两进行比较，则花费的时间较多，所以本讲介绍处理此类问题的方法与技巧
一、一些技巧和方法
1、如何快速判断对数的符号？八字真言“同区间正，异区间负”，容我慢慢道来： 判断对数的符号，关键看底数和真数，区间分为()0,1和()1,+∞
（1）如果底数和真数均在()0,1中，或者均在()1,+∞中，那么对数的值为正数 （2）如果底数和真数一个在()0,1中，一个在()1,+∞中，那么对数的值为负数 例如：30.52log 0.50,log 0.30,log 30<>>等
2、要善于利用指对数图像观察指对数与特殊常数（如0,1）的大小关系，一作图，自明了
3、比较大小的两个理念：
（1）求同存异：如果两个指数（或对数）的底数相同，则可通过真数的大小与指对数函数的单调性，判断出指数（或对数）的关系，所以要熟练运用公式，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的情况
例如：1
113
4
2
3,4,5，比较时可进行转化，尽管底数难以转化为同底，但指数可以变为相同
()()()
111111436342
12
12
12
33
,44
,55
===，从而只需比较底数的大小即可
（2）利用特殊值作“中间量”：在指对数中通常可优先选择“0,1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤（在兵法上可称为“分割包围，各个击破”，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如2log 3，可知
222
1l og 2l og 3l og 42=<<=，进而可估计2log 3是一个1点几的数，从而便于比较 4、常用的指对数变换公式：
（1）n
m m
n a a ??= ???
（2）log log log a a a M N MN += log log log a a a M M N N
-= （3）()log log 0,1,0n
a a N n N a a N =>≠>
（4）换底公式：log log log c a c b
b a
=
进而有两个推论：1log log a b b a = （令c b =） log log m n
a a n N N m
= 二、典型例题：
例1
：设323log ,log log a b c π===,,a b c 的大小关系是______________ 思路：可先进行0,1分堆，可判断出1,0b 1,0c 1a ><<<<，从而a 肯定最大，只需比较,b c 即可，观察到,b c 有相同的结构：真数均带有根号，抓住这个特点，
利用对数公式进行变换：
22311
log log 3,log log 222
b c ====，从而可比较出32log 21log 3<<，所以
c b <
答案：c b a <<
例2：设1
2
3log 2,ln 2,5
a b c -===，则,,a b c 的大小关系是___________
思路：观察发现,,a b c 均在()0,1内，,a b 的真数相同，进而可通过比较底数得到大小关系：
a b <，在比较和c 的大小，由于c 是指数，很难直接与对数找到联系，考虑估计,,a b c 值
得大小：12
152
c -==
<=，可考虑以12
为中间量，则31log 2log 2a =>=，
进而1
2
a c >
>，所以大小顺序为b a c >> 答案：b a c >> 例3：设ln2ln3ln5
,,,235
a b c =
== 则,,a b c 的大小关系为（ ） A. a b c >> B. a c b >> C. b a c >> D. b c a >> 思路：观察到,,a b c 都是以e 为底的对数，所以将其系数“放”进对数之中，再进行真数的
比较。111352
ln 2ln3ln5ln 2,ln3,ln5,235
a b c ======发现真数的底与指数也不相同，所以依然考虑“求同存异”，让三个真数的指数一致：()
()()
111
1111510635
2
30
30
30
22,33
,55
=== ，
通过比较底数的大小可得：b a c >> 答案：C
小炼有话说：（1）本题的核心处理方式就是“求同存异”，将三个数变形为具备某相同的部
分，从而转换比较的对象，将“无法比较”转变为“可以比较”
（2）本题在比较指数幂时，底数的次数较高，计算起来比较麻烦。所以也可以考虑将这三个数两两进行比较，从而减少底数的指数便于计算。例如可以先比较
,:a b ()()
111132326
6
2=2
,3=3
，从而a b <，同理再比较,a c 或,b c 即可
例4：设6log 3=a ，10log 5=b ，14log 7=c ，则（ ）
A. a b c >>
B. b c a >>
C. a c b >>
D. a b c >> 思路：观察可发现：
()()()335577log 321log 2,log 521log 2,log 721log 2a b c =?=+=?=+=?=+
357log 2log 2log 2>>，所以可得：a b c >>
答案：D
例5：设2325
5
5
322,,,555a b c ??????=== ? ? ???
??
??
则,,a b c 的大小关系为（ ）
A. a b c >>
B. a c b >>
C. b a c >>
D. b c a >> 思路：观察可发现,b c 的底数相同，,a c 的指数相同，进而考虑先进行这两轮的比较。对于
,b c ，两者底数在()0,1，则指数越大，指数幂越小，所以可得b c <，再比较,a c ，两者指
数相同，所以底数越大，则指数幂越大，所以a c >，综上：a c b >> 答案：B
例6：已知三个数0.5
33
3,log 2,cos
2
a b c ===，则它们之间的大小关系是（ ） A. c b a << B. c a b << C. a b c << D. b c a << 思路：可先进行0,1分组，0.5
3
1a =>，0,1b c <<，所以只需比较,b c 大小，两者都介于0,1
之间且一个是对数，一个是三角函数，无法找到之间的联系。所以考虑寻找中间值作为桥梁。以3cos
2作为入手点。利用特殊角的余弦值估计其大小。331
cos cos 23232
ππ>?<=，而
331log 2log 2>=，从而1
2
c b <<，大小顺序为c b a <<
答案：A
小炼有话说：在寻找中间量时可以以其中一个为入手点，由于非特殊角的三角函数值可用特殊角三角函数值估计值的大小，所以本题优先选择c 作为研究对象。
例7：（2015甘肃河西三校第一次联考）设 1.1 3.1
3log 7,2,0.8a b c ===，则（ ）
A. b a c <<
B. a c b <<
C. c b a <<
D. c a b << 思路：首先进行0,1分组，可得1,c a b <<，下面比较,a b 的大小，可以考虑以2作为中间量， 1.1
3322,log 7log 92b a =>=<=，所以2a b <<，从而c a b <<
答案：D
例8：设0,1a b a b >>+=且1111,log ,log b
b a b x y ab z a a ??+ ???
??
=== ???，则,,x y z 的大小关系
是（ ）
A. y x z <<
B. z y x <<
C. y z x <<
D. x y z << 思路：由0,1a b a b >>+=可得：1
012
b a <<
<<，先用0,1将,,x y z 分堆，0x >，,0y z <，则x 为最大，只需要比较,y z 即可，由于,y z 的底数与真数不同，考虑进行适当
变形并寻找中间量。11
1log log log 1a b ab
ab
a b y ab ab ab +??+ ???
====-，
而1l o g l o g b
b
z a a ==-，因为01b <<，所以log log 1,log 1b b b a b z a y <==->-=，所以顺序为y z x << 答案：C
例9：下列四个数：()(
)2
ln2,ln ln2,ln2a b c d ====的大小顺序为________ 思路：观察发现()ln ln20b =<，其余均为正。所以只需比较,,a c d ，考虑()ln20,1∈，所以a d <
，而1
ln22
c d ==
<，所以下一步比较,a c ：(
)(211ln 2ln 2ln 2ln 2ln 2ln 2022a c ?
?-=-=-=-> ??
?，所以a c >，综上所述，
大小顺序为b c a d <<< 答案：b c a d <<<
例10：已知,,a b c 均为正数，且11222
112log ,log ,log 22b c
a
a b c ????
=== ? ?????，则（ ）
A. a b c <<
B. c b a <<
C. c a b <<
D. b a c << 思路：本题要通过左右相等的条件，以某一侧的值作为突破口，去推断,,a b c 的范围。首先观察等式左侧，左侧的数值均大于0，所以可得：1122
2
log ,log ,log a b c 均大于0，由对数的
符号特点可得：(),0,1,1a b c ∈>，只需比较,a b 大小即可。观察到1212b
a ??
>> ???
，从而
112
2
log log a b a b >?<，所以顺序为a b c <<
答案：A
小炼有话说：本题也可用数形结合的方式比较大小，观察发现前两个等式右侧为12
log y x
=的形式，而第三个等式也可变形为212
1log log 2c
c c ??
-=-= ???，从而可以考虑视,,a b c 分别
为两个函数的交点。先作出12
log y x =图像，再在这个坐标系中作出
112,,22x x
x y y y ????
===- ? ?????
，比较交点的位置即可。