高等数学 (同济第七版 )上册 -知识点总结
第一章 函数与极限
一. 函数的概念
1. 两个无穷小的比较 设 lim f (x) 0,lim g(x) 0且 lim
1) l = 0 ，称f (x) 是比g(x) 高
阶的无穷小，记以 f (x) = 0[ g(x) ] ，称g(x) 是比 f(x) 低阶的无穷小。 (2)l ≠ 0，称f (x) 与g(x) 是同阶无穷小。
(3)l = 1 ，称f (x) 与g(x) 是等价无穷小，记以 f (x) ~ g(x)
2. 常见的等价无穷小
当 x →0时
sin x ~ x ， tan x ~ x ， arcsin x ~ x ， arccosx ~ x ， 1- cos x ~ x^2/2 ， e x -1 ~ x ，ln(1 x) ~ x ，(1 x) 1~ x
求极限的方法
1．两个准则
准则 1. 单调有界数列极限一定存在
准则 2. (夹逼定理)设 g(x) ≤ f (x) ≤ h(x) 若 lim g(x) A,lim h(x) A ，则 lim f (x) A 2．两个重要公式
3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换
4．用泰勒公式
当 x 0 时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次
23 e x 1 x x x 2! 3! 35 xx sinx
x ... ( 1) 3! 5! (2n 1)! g f ((x x )) l
公式
1 sin x 公式
2 l im(1 x)
n
x n! o(x n ) 2n 1
n x 2n 1 n o(x 2n 1)
2 4 2n
x x n x 2n cosx 1 ... ( 1)n o(x 2n ) 2! 4! 2n!
2 3 n
ln(1 x) x x x ... ( 1)n 1 x o(x n ) 2 3 n
( 1) 2 ( 1)...( (n 1)) n n (1 x) 1 x x 2 ... x n o(x n ) 2! n!
3 5 2n 1
x x n 1 x 2n 1 arctan x x ... ( 1) o(x ) 3 5 2n 1
5．洛必达法则
定理 1 设函数 f (x) 、 F ( x)满足下列条件：
(1)
lim f(x) 0， lim F(x) 0； x x 0 x x 0 (2)
f(x)与 F(x)在 x 0的某一去心邻域内可导，且 F (x) 0；
(3) lim f (x) 存在(或为无穷大) ，则lim f(x) lim f (x) x x 0 F (x) x x
0 F(x) x x 0 F (x)
这个定理说明：当 lim f (x) 存在时， lim f (x) 也存在且等于 lim f (x) ；当 x x0 F (x) x x0 F(x) x x0 F (x)
lim f (x) 为无穷大时， lim f(x) 也是无穷大．
x x 0 F (x) x x 0 F(x) 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值 的方法称为洛必达( LH ospital )法则 .
型未定式
定理 2 设函数 f (x) 、 F(x)满足下列条件：
注：上述关于 x x 0时未定式 型的洛必达法则，对于 x 时未定式 型
同样适用． 使用洛必达法则时必须注意以下几点： (1)洛必达法则只能适用于“ 0 ”
和“ ”型的未定式，其它的未定式须 0
先化简变形成“ 0 ”或“ ”型才能运用该法则；
(2)只要条件具备，可以连续应用洛必达法则；
(3) 洛必达法则的条件是充分的，但不必要．因此，在该法则失效时并不 能断定原极限不存在．
6．利用导数定义求极限
基本公式 li x m 0 f (x 0 x) f(x 0) f '( x 0 ) (如果存在)
7. 利用定积分定义求极限
基本格式 lim 1 f(k ) f (x)dx (如果存在) n n k 1 n 0
1) 2) 3)
lim f(x) ， lim F(x) ；
x x 0 x x 0
f(x)与 F(x)在 x 0的某一去心邻域内可导，且 F (x) 0；
F f ((x x )) 存在(或为无穷大)，则 x lim x 0 f (x)
F(x) lim f (x) x x 0 F (x)
三．函数的间断点的分类
函数的间断点分为两类：
(1)第一类间断点
设x0 是函数y = f ( x) 的间断点。如果 f (x) 在间断点x0 处的左、右极限都存在，则称x0是 f (x) 的第一类间断点。左右极限存在且相同但不等于该点的函数值为可去间断点。左右极限不存在为跳跃间断点。第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点。
(2)第二类间断点第一类间断点以外的其他间断点统称为第二类间断点。常见的第二类间断点有无穷间断点和振荡间断点。
四．闭区间上连续函数的性质
在闭区间［ a,b］上连续的函数 f ( x) ，有以下几个基本性质。这些性质以后都要用到。
定理1．(有界定理)如果函数 f ( x)在闭区间［ a,b］上连续，则 f ( x)必在
［ a,b］上有界。
定理2．(最大值和最小值定理)如果函数 f (x) 在闭区间［ a,b］上连续，则在这个区间上一定存在最大值M 和最小值m 。
定理3．(介值定理)如果函数 f ( x)在闭区间［ a,b］上连续，且其最大值和最小值分别为M 和m ，则对于介于m和M 之间的任何实数c，在［ a,b］上至少存在一个ξ 使得f (ξ ) = c
推论：如果函数 f ( x)在闭区间［ a,b］上连续，且 f (a)与f ( b)异号，则在(a,b) 内至少存在一个点ξ ，使得f (ξ ) = 0这个推论也称为零点定理
第二章导数与微分
一．基本概念
1．可微和可导等价，都可以推出连续，但是连续不能推出可微和可导．求导公式
三．常见求导
1. 复合函数运算法则
2. 由参数方程确定函数的运算法则
设x = ( t ) ，y = (t)确定函数 y = y ( x ) ，其中 '(t), ' (t )存在，且 '(t)≠ 0，则 dy '(t)
dx '(t) 3. 反函数求导法则
设y = f ( x)的反函数 x = g( y) ，两者皆可导，且 f ′(x) ≠ 0 4. 隐函数运算法则
设y = y( x)是由方程F( x, y) = 0 所确定，求 y ′的方法如下： 把F(x, y) = 0两边的各项对 x 求导，把 y 看作中间变量，用复合函数求导公式计 算，然后再解出 y ′ 的表达式(允许出现 y 变量)
5. 对数求导法则 (指数类型 如 y x sin x ) 先两边取对数，然后再用隐函数求导方法得出导数 y ′。 对数求导法主要用于： ①幂指函数求导数②多个函数连乘除或开方求导数 (注意 定义域。 关于幂指函数 y = [ f (x)] g (x) 常用的一种方法 ,y = e g(x)lnf(x)这样
就可以直接用复合函数运算法则进行。
6. 求n 阶导数( n ≥ 2 ，正整数)
先求出 y ′, y ′′,?? , 总结出规律性，然后写出 y( n) ，最后用归纳法证明。 有一些常用的初等函数的 n 阶导数公式
2)
y a x , y (n) a x (ln a)n (n) n 3)
y sin x, y sin(x ) 2
4) y cosx , y (n) cos(x n )
2 5 第三章 微分中值定理与导数应用
一 . 罗尔定理
设函数 f (x)满足
(1)在闭区间 [ a,b]上连续；(2)在开区间 ( a,b)内可导；(3) f (a) = f (b) 则存在ξ ∈ ( a,b) ，使得 f ′(ξ ) = 0
二． 拉格朗日中值定理
设函数 f ( x)满足( 1)在闭区间 [ a,b]上连续；(2)在开区间 ( a,b)内可导； 则存在ξ ∈ ( a,b) ，使得 f (b) f(a) f '( )
5 y lnx, y (n) ( 1)n 1(n 1)!x n
则 g'(y) 1
f '(x) 1 f'(g(y)) ( f '(x) 0)
1) x (n) y e x ,y (n)
福建警察学院 《高等数学一》课程教学大纲 课程名称：高等数学一 课程编号： 学分：4 适用对象： 一、课程的地位、教学目标和基本要求 (一)课程地位 高等数学是各专业必修的一门重要的基础理论课程，它具有高度的抽象性、严密的逻辑性和应用的广泛性，对培养和提高学生的思维素质、创新能力、科学精神、治学态度以及用数学解决实际问题的能力都有着非常重要的作用。高等数学课程不仅仅是学习后继课程必不可少的基础，也是培养理性思维的重要载体，在培养学生数学素养、创新意识、创新精神和能力方面将会发挥其独特作用。 （二）教学目标 通过本课程的学习，逐步培养学生使其具有数学运算能力、抽象思维能力、空间想象能力、科学创新能力，尤其具有综合运用数学知识、数学方法结合所学专业知识去分析和解决实际问题的能力，一是为后继课程提供必需的基础数学知识；二是传授数学思想，培养学生的创新意识，逐步提高学生的数学素养、数学思维能力和应用数学的能力。 （三）基本要求 1、基本知识、基本理论方面：掌握理解极限和连续的基本概念及其应用；熟悉导数与微分的基本公式与运算法则；掌握中值定理及导数的应用；掌握不定积分的概念和积分方法；掌握定积分的概念与性质；掌握定积分在几何上的应用。 2、能力、技能培养方面：掌握一元微积分的基本概念、基本理论、基本运算技能和常用的数学方法，培养学生利用微积分解决实际问题的能力。
二、教学内容与要求 第一章函数与极限 【教学目的】 通过本章学习 1、理解函数的概念，了解函数的几种特性（有界性），掌握复合函数的概念及其分 解，掌握基本初等函数的性质及其图形，理解初等函数的概念。 2、理解数列极限的概念、掌握数列极限的证明方法、了解收敛数列的性质。 3、理解函数极限和单侧极限的概念，掌握函数极限的证明方法、理解极限存在与 左、右极限之间的关系，了解函数极限的性质。 4、理解无穷小和无穷大的概念、掌握无穷大和无穷小的证明方法。 5、掌握极限运算法则。 6、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极 限的方法。 7、掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 8、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 9、了解连续函数的运算和初等函数的连续性， 10、了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理）， 并会应用这些性质。 【教学重点与难点】 本章重点是求函数极限的方法（极限运算法则、两个重要极限、无穷小的比较、初等函数的连续性）。难点是数列、函数极限的证明方法。 【教学内容】 第一节映射与函数 一、映射 1.映射概念
高等数学（下）知识点 主要公式总结 第八章 空间解析几何与向量代数 1、 二次曲面 1） 椭圆锥面：2 2 222z b y a x =+ 2） 椭球面：122 222 2=++c z b y a x 旋转椭球面：1222222=++c z a y a x 3） 单叶双曲面：122 222 2=-+c z b y a x 双叶双曲面：1222222=--c z b y a x 4） 椭圆抛物面：z b y a x =+2222 双曲抛物面（马鞍面）：z b y a x =-22 22 5） 椭圆柱面：1222 2=+b y a x 双曲柱面：122 22=-b y a x 6） 抛物柱面： ay x =2 （二） 平面及其方程 1、 点法式方程： 0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 法向量：),,(C B A n =ρ ，过点),,(000z y x 2、 一般式方程： 0=+++D Cz By Ax 截距式方程： 1=++c z b y a x 3、 两平面的夹角：),,(1111C B A n =ρ，),,(2222C B A n =ρ， ?∏⊥∏21 0212121=++C C B B A A ；?∏∏21// 2 1 2121C C B B A A == 4、 点 ),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离： （三） 空间直线及其方程 1、 一般式方程：?????=+++=+++0 022221111D z C y B x A D z C y B x A 2、 对称式（点向式）方程： p z z n y y m x x 0 00-=-=-
六年级数学上册重点知识归纳 第一单元：位置 1、确定第几列、第几行的一般规则：竖排叫做列，横排叫做行；确定第几列一般是从左往右数，确定第几行一般是从前往后数。 2、用数对表示位置时，一般先表示第几列，再表示第几行。如数对（3，2）中的“3”表示第三列，“2”表示第二行。 3、物体平移前后顶点的位置变化： （1）图形向左或向右平移，改变了顶点所在的列，没有改变顶点所在的行，数对中的第一个数变了，第二个数没有变； （2）图形向上或下平移，改变了顶点所在的行，没有改变顶点所在的列，数对中的第一个数没有变，第二个数变了。 第二单元：分数乘法 1、分数乘整数的计算方法：分母不变，分子与整数相乘的积作分子。 2、分数乘分数，应该分子乘分子，分母乘分母。注意：能约分的可以先约分再乘。 注意：一个大于0的数乘大于1的数，积大于这个数。一个大于0的数乘小于1的数，积小于这个数。 3、分数混合运算的顺序和整数的混合运算顺序相同。 （1）在没有括号的算式里，同级运算从左往右进行计算； （2）在没有括号的算式里，既有乘除又有加减，要先算乘除后算加减； （3）有括号的要先算小括号里面的，后算中括号里面的，最后算括号外面的数。 4、整数乘法的交换律、结合律和分配律，对于分数乘法也适用。 （1）乘法交换律：a×b=b ×a （2）乘法结合律：（a ×b）×c=a ×（b ×c） （3）乘法分配律：（a+b）×c=a ×c+b ×c 5、解决求一个数的几分之几是多少的问题，用乘法计算。 6、乘积是1的两个数互为倒数。求分数的倒数是交换分子、分母的位置；求整数的倒数是把整数看作分子是1的分数，再交换分子和分母和位置。注意：1的倒数是1，0没有倒数。 7、真分数的倒数一定都大于1；假分数的倒数一定都小于或等于1。 第三单元：分数除法 1、分数除法的意义与整数除法的意义相同，是已知两个数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。 2、分数除法的计算方法： ①分数除以整数（0除外），等于分数乘这个整数的倒数。 ②一个数除以分数，等于这个数乘分数的倒数。 ③甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘乙数的倒数。 3、一个数除以小于1（不等于0）的数，商大于被除数； 一个数除以1，商等于被除数； 一个数除以大于1的数，商小于被除数。
高等数学(同济第七版)上册-知识点总结 第一章 函数与极限 一. 函数的概念 1.两个无穷小的比较 设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =) () (lim （1）l = 0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f (x) = 0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。 （2）l ≠ 0，称f (x)与g(x)是同阶无穷小。 （3）l = 1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以f (x) ~ g(x) 2.常见的等价无穷小 当x →0时 sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x ， 1? cos x ~ 2/2^x ， x e ?1 ~ x ，)1ln(x + ~ x ，1)1(-+αx ~ x α 二．求极限的方法 1．两个准则 准则 1. 单调有界数列极限一定存在 准则 2.（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x ) 若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则A x f =)(lim 2．两个重要公式 公式11sin lim 0=→x x x 公式2e x x x =+→/10 )1(lim 3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4．用泰勒公式 当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次 ) ()! 12()1(...!5!3sin ) (! ...!3!2112125332++++-+++-=++++++=n n n n n x x o n x x x x x x o n x x x x e )(! 2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= )()1(...32)1ln(132n n n x o n x x x x x +-++-=++ )(! ))1()...(1(...!2)1(1)1(2n n x o x n n x x x +---++-++=+ααααααα )(1 2)1(...53arctan 121 2153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 5．洛必达法则
高数重点知识总结 1、基本初等函数：反函数(y=arctanx)，对数函数(y=lnx)，幂函数(y=x)，指数函数(x a y =)，三角函数(y=sinx)，常数函数(y=c) 2、分段函数不是初等函数。 3、无穷小：高阶+低阶=低阶 例如：1lim lim 020==+→→x x x x x x x 4、两个重要极限：()e x e x x x x x x x x =?? ? ??+=+=∞ →→→11lim 1lim )2(1 sin lim )1(1 0 经验公式：当∞→→→)(,0)(,0x g x f x x ，[] ) ()(lim ) (0 )(1lim x g x f x g x x x x e x f →=+→ 例如：()33lim 10 031lim -? ? ? ? ?-→==-→e e x x x x x x 5、可导必定连续，连续未必可导。例如：||x y =连续但不可导。 6、导数的定义：()00 00 ') ()(lim ) (') ()(lim x f x x x f x f x f x x f x x f x x x =--=?-?+→→? 7、复合函数求导： [][])(')(')(x g x g f dx x g df ?= 例如：x x x x x x x y x x y ++=++ = +=2412221 1', 8、隐函数求导：(1)直接求导法；(2)方程两边同时微分，再求出dy/dx 例如：y x dx dy ydy xdx y x y yy x y x - =?+- =?=+=+22,),2('0'22,),1(1 22左右两边同时微分法左右两边同时求导解：法 9、由参数方程所确定的函数求导：若?? ?==) ()(t h x t g y ，则)(')('//t h t g dt dx dt dy dx dy ==，其二阶导数：()[] ) (')('/)('/)/(/22 t h dt t h t g d dt dx dt dx dy d dx dx dy d dx y d === 10、微分的近似计算：)(')()(000x f x x f x x f ??=-?+ 例如：计算 ?31sin
高数知识点总结（上册） 函数： 绝对值得性质： (1)|a+b|≤|a|+|b| (2)|a -b|≥|a|-|b| (3)|ab|=|a||b| (4)|b a |=)0(||||≠b b a 函数的表示方法： （1）表格法 （2）图示法 （3）公式法（解析法） 函数的几种性质： （1）函数的有界性 （2）函数的单调性 （3）函数的奇偶性 （4）函数的周期性 反函数： 定理：如果函数)(x f y =在区间[a,b]上是单调的，则它的反函数)(1 x f y -=存在，且是单 值、单调的。 基本初等函数： （1）幂函数 （2）指数函数 （3）对数函数 （4）三角函数 （5）反三角函数 复合函数的应用 极限与连续性： 数列的极限： 定义：设 {}n x 是一个数列，a 是一个定数。如果对于任意给定的正数ε（不管它多么小） ， 总存在正整数N ，使得对于n>N 的一切n x ，不等式 ε <-a x n 都成立，则称数a 是数列 {}n x 的 极限，或称数列{}n x 收敛于a ，记做a x n n =∞ →lim ，或 a x n →（∞→n ） 收敛数列的有界性： 定理：如果数列 {}n x 收敛，则数列{}n x 一定有界 推论：（1）无界一定发散（2）收敛一定有界 （3）有界命题不一定收敛 函数的极限： 定义及几何定义 函数极限的性质： （1）同号性定理：如果A x f x x =→)(lim 0 ，而且A>0(或A<0),则必存在0x 的某一邻域，当x 在该邻域内（点0 x 可除外），有0)(>x f （或0)( 大学高等数学知识点整理 公式，用法合集 极限与连续 一. 数列函数: 1. 类型: (1)数列: *()n a f n =; *1()n n a f a += (2)初等函数: (3)分段函数: *0102()(),()x x f x F x x x f x ≤?=?>?; *0 ()(), x x f x F x x x a ≠?=?=?;* (4)复合(含f )函数: (),()y f u u x ?== (5)隐式(方程): (,)0F x y = (6)参式(数一,二): () ()x x t y y t =??=? (7)变限积分函数: ()(,)x a F x f x t dt = ? (8)级数和函数(数一,三): 0 (),n n n S x a x x ∞ ==∈Ω∑ 2. 特征(几何): (1)单调性与有界性(判别); (()f x 单调000,()(()())x x x f x f x ??--定号) (2)奇偶性与周期性(应用). 3. 反函数与直接函数: 1 1()()()y f x x f y y f x --=?=?= 二. 极限性质: 1. 类型: *lim n n a →∞; *lim ()x f x →∞ (含x →±∞); *0 lim ()x x f x →(含0x x ± →) 2. 无穷小与无穷大(注: 无穷量): 3. 未定型: 000,,1,,0,0,0∞ ∞∞-∞?∞∞∞ 4. 性质: *有界性, *保号性, *归并性 三. 常用结论: 11n n →, 1(0)1n a a >→, 1()max(,,)n n n n a b c a b c ++→, ()00! n a a n >→ 高等数学上册复习要点 一、 函数与极限 （一） 函数 1、 函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）； 2、 反函数、复合函数、函数的运算； 3、 初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数； 4、 函数的连续性与间断点； 函数)(x f 在 0x 连续 )()(lim 00 x f x f x x =→ 第一类：左右极限均存在. 间断点 可去间断点、跳跃间断点 第二类：左右极限、至少有一个不存在. 无穷间断点、振荡间断点 5、 闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定 理及其推论. （二） 极限 1、 定义 1） 数列极限 εε<->?N ∈?>??=∞ →a x N n N a x n n n , , ,0lim 2） 函数极限 εδδε<-<-?>??=→A x f x x x A x f x x )( 0 , ,0 ,0)(lim 00 时，当 左极限：)(lim )(0 0x f x f x x - →-= 右极限：)(lim )(0 0x f x f x x +→+= )()( )(lim 000 + -→=?=x f x f A x f x x 存在 2、 极限存在准则 1） 夹逼准则： 1）)(0n n z x y n n n ≥≤≤ 2 ） a z y n n n n ==→∞ →∞ lim lim a x n n =∞ →lim 2） 单调有界准则：单调有界数列必有极限. 3、 无穷小（大）量 1） 定义：若0lim =α则称为无穷小量；若∞=αlim 则称为无穷大量. 2） 无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无穷小 Th1 )(~ ααββαo +=?; Th2 αβαβαβββαα' ' =''''lim lim lim ,~,~存在，则（无穷小代换） 4、 求极限的方法 1） 单调有界准则； 2） 夹逼准则； 3） 极限运算准则及函数连续性； 4） 两个重要极限： a) 1sin lim 0=→x x x b) e x x x x x x =+=++∞→→)11(lim )1(lim 1 0 5） 无穷小代换：（0→x ） a) x x x x x arctan ~arcsin ~tan ~sin ~ b) 2 2 1~cos 1x x - 六年级上册数学知识点 第一单元 分数乘法 （一）分数乘法意义： 1、分数乘整数的意义与整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数的和的简便运算。 注：“分数乘整数”指的是第二个因数必须是整数，不能是分数。 例如：5 3×7表示: 求7个5 3的和是多少？ 或表示：5 3的7倍是多少？ 2、一个数乘分数的意义就是求一个数的几分之几是多少。 注：“一个数乘分数”指的是第二个因数必须是分数，不能是整数。（第一个因数是什么都可以） 例如：5 3×6 1表示: 求5 3的6 1是多少？ 9 × 61表示: 求9的61 是多少？ A × 61表示: 求a 的6 1 是多少？ （二）分数乘法计算法则： 1、分数乘整数的运算法则是：分子与整数相乘，分母不变。 注：（1）为了计算简便能约分的可先约分再计算。（整数和分母约分） （2）约分是用整数和下面的分母约掉最大公因数。（整数千万不能与分母相乘， 计算结果必须是最简分数） 2、分数乘分数的运算法则是：用分子相乘的积做分子，分母相乘的积做分母。（分子乘分子，分母乘分母） 注：（1）如果分数乘法算式中含有带分数，要先把带分数化成假分数再计算。 （2）分数化简的方法是：分子、分母同时除以它们的最大公因数。大学全册高等数学知识点(全)
(完整版)同济大学___高数上册知识点
六年级数学上册知识点整理归纳