古希腊数学史
古希腊的地理范围，除了现在的希腊半岛外，还包括整个爱琴海区域和北面的马其顿和色雷斯、意大利半岛和小亚细亚等地.公元前5、6世纪，特别是希、波战争以后，雅典取得希腊城邦的领导地位，经济生活高度繁荣，生产力显著提高，在这个基础上产生了光辉灿烂的希腊文化，对后世有深远的影响.
希腊数学的发展历史可以分为三个时期.第一期从伊奥尼亚学派到柏拉图学派为止，约为公元前七世纪中叶到公元前三世纪；第二期是亚历山大前期，从欧几里得起到公元前146年，希腊陷于罗马为止；第三期是亚历山大后期，是罗马人统治下的时期，结束于641年亚历山大被阿拉伯人占领.
从古代埃及、巴比伦的衰亡，到希腊文化的昌盛，这过渡时期留下来的数学史料很少.不过希腊数学的兴起和希腊商人通过旅行交往接触到古代东方的文化有密切关系.
伊奥尼亚位于小亚细亚西岸，它比希腊其他地区更容易吸收巴比伦、埃及等古国积累下来的经验和文化.在伊奥尼亚，氏族贵族政治为商人的统治所代替，商人具有强烈的活动性，有利于思想自由而大胆地发展.城邦内部的斗争，帮助摆脱传统信念在希腊没有特殊的祭司阶层，也没有必须遵守的教条，因此有相当程度的思想自由.这大大有助于科学和哲学从宗教分离开来.古希腊第一位科学家—泰勒斯
米利都是伊奥尼亚的最大城市，也是泰勒斯的故乡，泰勒斯是公认的希腊哲学鼻祖.早年是一个商人，曾游访巴比伦、埃及等地，很快就学会古代流传下来的知识，并加以发扬.以后创立伊奥尼亚哲学学派，摆脱宗教，从自然现象中去寻找真理，以水为万物的根源.
当时天文、数学和哲学是不可分的，泰勒斯同时也研究天文和数学.他曾预测一次日食，促使米太(在今黑海、里海之南)、吕底亚(今土耳其西部)两国停止战争，多数学者认为该次日食发生在公元前585年5月28日.他在埃及时曾利用日影及比例关系算出金字塔的高，使法老大为惊讶.
泰勒斯在数学方面的贡献是开始了命题的证明，它标志着人们对客观事物的认识从感性上升到理性，这在数学史上是一个不寻常的飞跃.伊奥尼亚学派的著名学者还有阿纳克西曼德和阿纳克西米尼等.他们对后来的毕达哥拉斯有很大的影响
毕达哥拉斯
毕达哥拉斯公元前580年左右生于萨摩斯，为了摆脱暴政，移居意大利半岛南部的克罗顿.在那里组织一个政治、宗教、哲学、数学合一的秘密团体.后来在政治斗争中遭到破坏，毕达哥拉斯被杀害，但他的学派还继续存在两个世纪之久.
毕达哥拉斯学派企图用数来解释一切，不仅仅认为万物都包含数，而且说万物都是数.他们以发现勾股定理(西方叫做毕达哥拉斯定理)闻名于世，又由此导致不可通约量的发现.
这个学派还有一个特点，就是将算术和几何紧密联系起来.他们找到用三个正整数表示直角三角形三边长的一种公式，又注意到从 1起连续的奇数和必为平方数等等，这既是算术问题，又和几何有关，他们还发现五种正多面体.
伊奥尼亚学派和毕达哥拉斯学派有显著的不同.前者研习数学并不单纯为了哲学的兴趣，同时也为了实用.而后者却不注重实际应用，将数学和宗教联系起来，想通过数学去探索永恒的真理.
公元前五世纪，雅典成为人文荟萃的中心，人们崇尚公开的精神.在公开的讨论或辩论中，必须具有雄辩、修辞、哲学及数学等知识，于是“智人学派”应运而生.他们以教授文法、逻辑、数学、天文、修辞、雄辩等科目为业.
在数学上，他们提出“三大问题”：三等分任意角；倍立方，求作一立方体，使其体积是已知立方体的二倍；化圆为方，求作一正方形，使其面积等于一已知圆.这些问题的难处，
是作图只许用直尺(没有刻度的尺)和圆规.
希腊人的兴趣并不在于图形的实际作出，而是在尺规的限制下从理论上去解决这些问题，这是几何学从实际应用向系统理论过渡所迈出的重要的一步.
这个学派的安提丰提出用“穷竭法”去解决化圆为方问题，这是近代极限理论的雏形.先作圆内接正方形，以后每次边数加倍，得8、16、32、…边形.安提丰深信“最后”的多边形与圆的“差”必会“穷竭”.这提供了求圆面积的近似方法，和中国的刘徽的割圆术思想不谋而合
公元前三世纪，柏拉图在雅典建立学派，创办学园.他非常重视数学，但片面强调数学在训练智力方面的作用，而忽视其实用价值.他主张通过几何的学习培养逻辑思维能力，因为几何能给人以强烈的直观印象，将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中.
这个学派培养出不少数学家，如欧多克索斯就曾就学于柏拉图，他创立了比例论，是欧几里得的前驱.柏拉图的学生亚里士多德也是古代的大哲学家，是形式逻辑的奠基者.他的逻辑思想为日后将几何学整理在严密的逻辑体系之中开辟了道路.这个时期的希腊数学中心还有以芝诺为代表的埃利亚学派，他提出四个悖论，给学术界以极大的震动.这四个悖论是二分说，一物从甲地到乙地，永远不能到达.因为想从甲到乙，首先要通过道路的一半，但要通过这一半，必须先通过一半的一半，这样分下去，永无止境.结论是此物的运动被道路的无限分割阻碍着，根本不能前进一步；阿基琉斯(善跑英雄)追龟说，阿基琉斯追乌龟，永远追不上.因为当他追到乌龟的出发点时，龟已向前爬行了一段，他再追完这一段，龟又向前爬了一小段.这样永远重复下去，总也追不上；飞箭静止说，每一瞬间箭总在一个确定的位置上，因此它是不动的；运动场问题，芝诺论证了时间和它的一半相等
以德谟克利特为代表的原子论学派，认为线段、面积和立体，是由许多不可再分的原子所构成.计算面积和体积，等于将这些原子集合起来.这种不甚严格的推理方法却是古代数学家发现新结果的重要线索
公元前四世纪以后的希腊数学，逐渐脱离哲学和天文学，成为独立的学科.数学的历史于是进入一个新阶段——初等数学时期
这个时期的特点是，数学(主要是几何学)已建立起自己的理论体系，从以实验和观察为依据的经验科学过渡到演绎的科学.由少数几个原始命题(公理)出发，通过逻辑推理得到一系列的定理.这是希腊数学的基本精神.
在这一时期里，初等几何、算术初等代数大体己成为独立的科目.和17世纪出现的解析几何学、微积分学相比，这一个时期的研究内容可以用“初等数学”来概括，因此叫做初等数学时期.
埃及的亚历山大城，是东西海陆交通的枢纽，又经过托勒密王的加意经营，逐渐成为新的希腊文化中心，希腊本土这时已经退居次要地位.几何学最初萌芽于埃及，以后移植于伊奥尼亚，其次繁盛于意大利和雅典，最后又回到发源地.经过这一番培植，已达到丰茂成林的境地.
从公元前四世纪到公元前146年古希腊灭亡，罗马成为地中海区域的统治者为止，希腊数学以亚历山大为中心，达到它的全盛时期.这里有巨大的图书馆和浓厚的学术空气，各地学者云集在此进行教学和研究.其中成就最大的是亚历山大前期三大数学家欧几里得、阿基米德和阿波罗尼奥斯.
古希腊杰出的数学家—欧几里得欧几里得的《几何原本》是一部划时代的著作.其伟大的历史意义在于它是用公理法建立起演绎体系的最早典范.过去所积累下来的数学知识，是零碎的、片断的，可以比作砖瓦木石；只有借助于逻辑方法，把这些知识组织起来，加以分类、比较，揭露彼此间的内在联系，整理在一个严密的系统之中，才能建成宏伟的大厦.《几
何原本》体现了这种精神，它对整个数学的发展产生深远的影响
阿基米德是物理学家兼数学家，他善于将抽象的理论和工程技术的具体应用结合起来，又在实践中洞察事物的本质，通过严格的论证，使经验事实上升为理论.他根据力学原理去探求解决面积和体积问题，已经包含积分学的初步思想.阿波罗尼奥斯的主要贡献是对圆锥曲线的深入研究.
除了三大数学家以外，埃拉托斯特尼的大地测量和以他为名的“素数筛子”也很出名.天文学家喜帕恰斯制作“弦表”，是三角学的先导.
公元前146年以后，在罗马统治下的亚历山大学者仍能继承前人的工作，不断有所发明.海伦(约公元62)、门纳劳斯(约公元100)、帕普斯等人都有重要贡献.天文学家托勒密将喜帕恰斯的工作加以整理发挥，奠定了三角学的基础.
晚期的希腊学者在算术和代数方面也颇有建树，代表人物有尼科马霍斯(约公元100)和丢番图(约250)前者是杰拉什(今约旦北部)地方的人.著有《算术入门》，后者的《算术》是讲数的理论的，而大部分内容可以归入代数的范围.它完全脱离了几何的形式，在希腊数学中独树一帜，对后世影响之大，仅次于《几何原本》.
公元325年，罗马帝国的君士坦丁大帝开始利用宗教作为统治的工具，把一切学术都置于基督教神学的控制之下.
公元529年，东罗马帝国皇帝查士·丁尼下令关闭雅典的柏拉图学园以及其他学校，严禁传授数学.许多希腊学者逃到叙利亚和波斯等地.数学研究受到沉重的打击.641年，亚历山大被阿拉伯人占领，图书馆再次被毁，希腊数学至此告一段落.
正多边形和圆 弧长和扇形面积（复习课） 知识点： 1. 正多边形和圆 正多边形的中心： 正多边形的半径： 正多边形的中心角： 正多边形的边心距： 正多边形的中心角为________；正n 边形的一个内角的度数为______________。 2. 弧长和扇形的面积 （1）弧长公式： （2）扇形的面积公式 （3）圆锥的侧面展开图是_______，扇形的半径等于圆锥的______，扇形的弧长等于圆锥的_____ ，扇形的面积等于圆锥的______________，圆锥的侧面积________ ,(l 为母线长，r 为底面圆的半径),圆锥的______________称为圆锥的全面积． （一）选择题 1、圆锥的母线长为13cm ，底面半径为5cm ，则此圆锥的高线为（ ） A ．6cm B ．8cm C ．10cm D ．12cm 2、已知圆锥的底面半径为1cm ，母线长为3cm ，则全面积为（ ） A π． B 3π． C 4π． D 7π． 3、如图，⊙A 、⊙B 、⊙C 两两不相交，且它们的半径都是0.5cm ，则图中三个扇形（即三个阴影部分）的面积之和为（ ） A 2cm 12 π．B 2cm 8 π ．C 2cm 6 π ．D 2cm 4 π ． 4、如图所示，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A 是底面圆周上一点，从点A 出发绕侧面一周，再回到点A 的最短的路线长是（ ） A ． B C ． D ．3 5.下列图形中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ） （A ）正三角形． （B ）正五边形． （C ）正六边形． （D ）正七边形． 6.若一个正多边形的每个内角的度数是中心角的3倍，则正多边形的边数是（ ） （A ）4．（B ）6．（C ）8．（D ）12． （二）填空题
教学目标 知识与技能经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程;了解弧长计算公式及扇形面积计算公式,并会应用公式解决问题 过程与方法经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程,培养学生的探索能力;了解弧长及扇形面积公式后,能用公式解决问题,训练学生的数学运用能力. 情感态度与价值观经历探索弧长及扇形面积计算公式.让学生体验教学活动充满着探索与创造,感受数学的严谨性以及数学结论的确定性;通过用弧长及扇形面积公式解决实际问题,让学生体验数学与人类生活的密切联系,激发学生学习数学的兴趣,提高他们的学习积极性,同时提高大家的运用能力. 重点经历探索弧长及扇形面积计算公式的过程;了解弧长及扇形面积计算公式;会用公式解决问题. 难点探索弧长及扇形面积计算公式;用公式解决实际问题. 教学流程设计 活动流程图活动内容和目的 (一)复习、引出问题回顾旧知,提出相关新问题 (二)分析、探究、得出公式学生通过观察、探究得出弧长及扇形面积公式 (三)公式应用弧长及扇形面积公式的应用 (四)应用、练习利用公式解决数学问题 (五)小结归纳所学知识 (六)作业布置适当的作业,加深对知识的理解 教学过程设计 问题与情景师生行为设计意图 【活动一】复习,引出问题 1.半径为R的圆的周长是多少?圆周长可以看作是多少度的圆心角所对的弧? 2.1°圆心角所对弧长是多少?2°呢?……n°呢? 老师提出问题,学生思考并回答回顾旧知识,提出新问题 【活动二】观察,得出弧长公式: 在半径为R的图中,n°的圆心角所对的弧长为: 并直接应用公式进行有关的练习让学生观察,师生共同推导出弧长公式,并能正确应用公式进行计算理解弧长与圆心角、半径之间的关系,探索弧长的计算公式,并运用公式进行计算 【活动三】提问:1、什么是扇形?2、半径为R的圆的面积是多少? 类比【活动一】【活动二】,由扇形面积与圆的面积的关系,得出扇形面积公式为:
2 、 选择题 九年级数学弧长与扇形面积练习题 1 一条排水管的截面如下左图所示，已知排水管的半径 OB=10， 水面宽 AB=16，则截面圆心 O 到水面的距离 OC 是（ ）A. 4 B. 5 C. 6 3 D. 6 2、如果一条弧长等于 l ，它的半径等于 R ，这条弧所对的圆心角增加 1o ， 则它的弧长增加（ lR Ａ． Ｂ． n 180 3、已知圆锥的母线长为 （） 2 A 、 18 cm 4、中央电视台 到 A 、1倍 180l Ｃ． R 6cm ，底面圆的半径为 l Ｄ． 360 3cm ，则此圆锥侧面展开图的面积为 B 、 36 cm C 开心辞典”栏目曾有这么一道题：圆的半径增加一倍，那么圆的面积增加 （） B 、2 倍 C 、3倍 D 、4倍 6cm ，最大距离为 9cm ，则该圆的半径是 B 、 7.5cm C 、 1.5cm 或 7.5cm D 、 3cm 或 1:10000的地图上，若，某建筑物在图上的面积为 50 ） B 7、下列说法正确的是 （ ） A 、所有的等腰三角形都相似 C 、所有的正方形都相似 2 、 36 cm 、12 22 cm D 、 9 cm 5、一个点到圆的最小距离为 A 、 1.5cm 6、在比例尺为 占地面积为（ 2 A 、 50 m 2 、 7.5cm 2 、5000 m 2 22 C 、 50000 m 2 D 、500000 m 2 8、 扇形的周长为 16，圆心角为 Ａ． 16 9、 A 、 C 、 二次函数 ac>0 2 b -4ac<0 （） 15cm cm 2 ，则该建筑物实际 B 、四个角都是直角的两个四边形一定相 似 D 、四条边对应成比例的两个四边形相似 360 ，则扇形的面积是（ y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，对称轴 x=1，下列结论中，正确的（ ） B D 、b<0 、 2a+b=0 10、如图， A C 是⊙ O 的直径， BD 是⊙ O 的 弦， EC ∥ AB 交⊙ O 于 E ，则图中与 1 ∠BOC 相等的 角共有（ ）A 、2 个 B 、3 个 C 、4 个 D 、5 个
弧长与扇形面积计算 一、选择题 1. （2011广东广州市）如图2，AB 切⊙O 于点B ，OA =2，AB =3，弦BC ∥OA ，则劣弧的弧长为（ ）． A ．π B ．π C ．π D ．π 图2 【答案】A 2. （2011山东滨州）如图.在△ABC 中,∠B=90°, ∠A=30°，AC=4cm ，将△ABC 绕顶点C 顺时针方向旋转至△A ′B ′C ′的位置，且A 、C 、B ′三点在同一条直线上,则点A 所经过的最短路线的长为( ) A. B. 8cm C. 163 cm π D. 8 3cm π 【答案】D 3. （2011山东德州）一个平面封闭图形内（含边界）任意两点距离的最大值称为该图形的“直径”，封闭图形的周长与直径之比称为图形的“周率”，下面四个平面图形（依次为正三角形、正方形、正六边形、圆）的周率从左到右依次记为1a ，2a ，3a ，4a ，则下列关系中正确的是 （A ）4a >2a >1a （B ）4a >3a >2a （C ）1a >2a >3a （D ）2a >3a >4a 【答案】B 4.（2011山东烟台）如图，六边形ABCDEF 是正六边形，曲线FK 1K 2K 3K 4K 5K 6K 7……叫做“正 六边形的渐开线”，其中?1FK ，?12K K ，?23K K ，?34K K ，?45K K ，?56K K ，……的圆心 B′ A′ C B A （第2题图）
依次按点A，B，C，D，E，F循环，其弧长分别记为l1，l2，l3，l4，l5，l6，……. 当AB＝1时，l2 011等于（） A. 2011 2 π B. 2011 3 π C. 2011 4 π D. 2011 6 π 【答案】B 5. （2011浙江杭州）正多边形的一个内角为135°，则该正多边形的边数为（） A．9 B．8 C．7 D．4 【答案】B 6. （2011宁波市）如图，Rt?ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，若把Rt?ABC绕边 AB所在直线旋转一周则所得的几何体得表面积为 A． 4π B． 4π C． 8π D． 8π 【答案】D 7.（2011浙江衢州）如图，一张半径为1的圆形纸片在边长为(3) a a≥的正方形内任意移动，则在该正方形内，这张圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是（） A.2aπ - B. 2 (4)a π - C. π D. 4π - 【答案】D （第4题图） A B C D E F K1 K2 K3 K4 K5K6 7 （第10题）
【本讲教育信息】 一. 教学内容： 弧长及扇形的面积 圆锥的侧面积 二. 教学要求 1、了解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会运用公式解决具体问题。 2、了解圆锥的侧面积公式，并会应用公式解决问题。 三. 重点及难点 重点： 1、弧长的公式、扇形面积公式及其应用。 2、圆锥的侧面积展开图及圆锥的侧面积、全面积的计算。 难点： 1、弧长公式、扇形面积公式的推导。 2、圆锥的侧面积、全面积的计算。 ［知识要点］ 知识点1、弧长公式 因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C＝2R，所以1°的圆心角所对的弧长是 ，于是可得半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l的计算公式：，说明：（1）在弧长公式中，n表示1°的圆心角的倍数，n和180都不带单位“度”， 例如，圆的半径R＝10，计算20°的圆心角所对的弧长l时，不要错写成。 （2）在弧长公式中，已知l，n，R中的任意两个量，都可以求出第三个量。 知识点2、扇形的面积 如图所示，阴影部分的面积就是半径为R，圆心角为n°的扇形面积，显然扇形的面积是它所在圆的面积的一部分，因为圆心角是360°的扇形面积等于圆面积，所以圆心角 为1°的扇形面积是，由此得圆心角为n°的扇形面积的计算公式是。 又因为扇形的弧长，扇形面积，所以又得到扇形面积的另一个计算公式：。 知识点3、弓形的面积 （1）弓形的定义：由弦及其所对的弧（包括劣弧、优弧、半圆）组成的图形叫做弓形。 （2）弓形的周长＝弦长＋弧长
（3）弓形的面积 如图所示，每个圆中的阴影部分的面积都是一个弓形的面积，从图中可以看出，只要把扇形OAmB的面积和△AOB的面积计算出来，就可以得到弓形AmB的面积。 当弓形所含的弧是劣弧时，如图1所示， 当弓形所含的弧是优弧时，如图2所示， 当弓形所含的弧是半圆时，如图3所示， 例：如图所示，⊙O的半径为2，∠ABC＝45°，则图中阴影部分的面积是（）（结果用表示） 分析：由图可知由圆周角定理可知∠ABC＝∠AOC，所以∠AOC＝2∠ABC＝90°，所以△OAC是直角三角形，所以 ， 所以 圆周长弧长圆面积扇形面积 公 式 （2）扇形与弓形的联系与区别 图 示 面 积 知识点4、圆锥的侧面积
最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成-----------word 文本 --------------------- 方便更改 1. 圆周长：r 2C π= 圆面积：2r S π= 2. 圆的面积C 与半径R 之间存在关系R 2C π=，即360°的圆心角所对的弧长，因此， 1°的圆心角所对的弧长就是360R 2π。 n °的圆心角所对的弧长是180 R n π 180R n π=∴l *这里的180、n 在弧长计算公式中表示倍分关系，没有单位。 3. 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的圆形叫做扇形。 发现：扇形面积与组成扇形的圆心角的大小有关，圆心角越大，扇形面积也就越大。 4. 在半径是R 的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积2R S π=，所以圆心角为n °的扇形面积是： R l R n S 2 13602==π扇形（n 也是1°的倍数，无单位）l 为弧的长 5. 圆锥的侧面展开图与侧面积计算 圆锥的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的半径是圆锥侧面的母线、圆心是圆锥的顶 点、弧长是圆锥底面圆的周长。
圆锥侧面积是扇形面积。 如果设扇形的半径为l ，弧长为c ，圆心角为n （如图），则它们之间有如下关系： 180 n c l π= 同时，如果设圆锥底面半径为r ，周长为c ，侧面母线长为l ，那么它的侧面积是： l l r c 2 1S π==圆侧面 圆锥的全面积为：2r r π+πl 圆柱侧面积：rh 2π。 最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成-----------word 文本 --------------------- 方便更改
课题： 课型：新授课 教学目标： 1.经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程，培养学生的探索能力； 2.了解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会应用公式解决问题，训练学生的数学应用能力； 3．使学生了解计算公式的同时，体验公式的变式，使学生在合作与竞争中形成良好的数学品质． 教学重点： 经历探索弧长及扇形面积计算公式的过程；了解弧长及扇形的面积计算公式；会利用公式解决问题． 教学难点： 探索弧长及扇形的面积计算公式；用公式解决问题． 教学准备： 多媒体课件、几何画板软件． 教法学法： 多媒体教学、演示教学和自主探究法 教学过程： 一、创设情境，引入新课． 师：今天大家是怎么来上学的？ 生：自行车/电动车/步行/坐十路车． 师：看来咱们班多数同学一天的学习生活都是从车轮开始的． 生发出会心的笑声． 师：大家看这辆自行车，它的车轮的半径是30cm，车轮转动一周，车子将会前进多少？
生：60πcm ． 师：这实际上就是利用圆的周长公式计算的，那圆的面积公式是什么？圆的圆心角是多少度？ 生：若圆的半径是r ，则面积是2S r π=，圆的圆心角是360°． 师：看得出来同学们对一整个圆已经是相当的了解了，我们今天要来把圆剖析一下，来研究一下“弧长及扇形的面积”（板书课题）． 设计意图：激发学生的求知欲望，肯定学生的合理答案． 二、师生互动，探究新知 活动1 探索弧长公式 师：我们知道车轮转动一周是360°，那如果车轮转动180°，车子将会前进多少厘米？ 生：30πcm ．因为车轮转动180°，是转动了半圈，所以车子前进的距离是圆周长的一半． 师：那如果车轮转动了90°，车子将会前进多少厘米？ 生：15πcm ．因为车轮转动90°，是转动了四分之一圈，所以车子前进的距离是圆周长的一半． 师：那如果车轮转动1°呢？转动n °呢？ 小组研讨交流、计算． 师参与、辅助、组织学生阐述解决问题的方法． 生：因为圆的周长所对的圆心角是360°，所以车轮转动1°，车子将前进圆周长的 1 360 ；车轮转动n °，车子前进的距离是车轮转动1°时的n 倍，也就是圆周长的360n ．所以，当车轮转动1°时，车子前进 11 2306360180 r πππ?=?=cm; 当车轮转动n °时，车子前进2303601806 n n n r πππ?=?=cm. 师：同学们能不能通过以上探究总结一下在半径为R 的圆中，n °的圆心角所对的弧长l 的计算公式是什么？ 学生思考． 生： 180 n l r π= ． 师：是的，这里同学们要特别注意，公式中的n 表示的是1°的圆心角的倍数，所以不写单位；如图所示?AB 的弧长记作： ?180 l n AB r π=．请同学们记住这个公式． 学生识记公式． 设计意图：关于弧长的计算，我从一个生活中的实际问题出发，设计了5个小问题，从具体到抽象，让小组的同学讨论分
知识点1、弧长公式 因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C＝2R，所以1°的圆心角所对的弧长是 ，于是可得半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l的计算公式：，说明：（1）在弧长公式中，n表示1°的圆心角的倍数，n和180都不带单位“度”， 例如，圆的半径R＝10，计算20°的圆心角所对的弧长l时，不要错写成。 （2）在弧长公式中，已知l，n，R中的任意两个量，都可以求出第三个量。 知识点2、扇形的面积 如图所示，阴影部分的面积就是半径为R，圆心角为n°的扇形面积，显然扇形的面积是它所在圆的面积的一部分，因为圆心角是360°的扇形面积等于圆面积，所以圆心角 为1°的扇形面积是，由此得圆心角为n°的扇形面积的计算公式是。 又因为扇形的弧长，扇形面积，所以又得到扇形面积的另一个计算公式：。 知识点3、弓形的面积 （1）弓形的定义：由弦及其所对的弧（包括劣弧、优弧、半圆）组成的图形叫做弓形。 （2）弓形的周长＝弦长＋弧长 （3）弓形的面积 如图所示，每个圆中的阴影部分的面积都是一个弓形的面积，从图中可以看出，只要把扇形OAmB的面积和△AOB的面积计算出来，就可以得到弓形AmB的面积。 当弓形所含的弧是劣弧时，如图1所示， 当弓形所含的弧是优弧时，如图2所示， 当弓形所含的弧是半圆时，如图3所示， 例：如图所示，⊙O的半径为2，∠ABC＝45°，则图中阴影部分的面积是（）（结果用表示）
分析：由图可知由圆周角定理可知∠ABC＝∠AOC，所以∠AOC＝2∠ABC＝90°，所以△OAC是直角三角形，所以 ， 所以 注意：（1）圆周长、弧长、圆面积、扇形面积的计算公式。 圆周长弧长圆面积扇形面积 公 式 （2）扇形与弓形的联系与区别 图 示 面 积
本文为自本人珍藏版权所有仅供参考 本文为自本人珍藏版权所有仅供参考 弧长及扇形的面积 教学目标 (一)教学知识点 1．经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程； 2．了解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会应用公式解决问题． (二)能力训练要求 1．经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程，培养学生的探索能力． 2．了解弧长及扇形面积公式后，能用公式解决问题，训练学生的数学运用能力． (三)情感与价值观要求 1．经历探索弧长及扇形面积计算公式，让学生体验教学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性． 2．通过用弧长及扇形面积公式解决实际问题，让学生体验数学与人类生活的密切联系，激发学生学习数学的兴趣，提高他们的学习积极性，同时提高大家的运用能力． 教学重点 1．经历探索弧长及扇形面积计算公式的过程． 2．了解弧长及扇形面积计算公式． 3．会用公式解决问题． 教学难点 1．探索弧长及扇形面积计算公式． 2．用公式解决实际问题． 教学方法 学生互相交流探索法 教具准备 2．投影片四张 第一张：(记作§3．7A)
第二张：(记作§3．7B) 第三张：(记作§3．7C) 第四张：(记作§3．7D) 教学过程 Ⅰ．创设问题情境，引入新课 [师]在小学我们已经学习过有关圆的周长和面积公式，弧是圆周的一部分，扇形是圆的一部分，那么弧长与扇形面积应怎样计算？它们与圆的周长、圆的面积之间有怎样的关系呢？本节课我们将进行探索． Ⅱ．新课讲解 一、复习 1．圆的周长如何计算？ 2．圆的面积如何计算？ 3．圆的圆心角是多少度？ [生]若圆的半径为r，则周长l＝2πr，面积S＝πr2，圆的圆心角是360°． 二、探索弧长的计算公式 投影片(§3．7A) 如图，某传送带的一个转动轮的半径为10cm． (1)转动轮转一周，传送带上的物品A被传送多少厘米？ (2)转动轮转1°，传送带上的物品A被传送多少厘米？ (3)转动轮转n°，传送带上的物品A被传送多少厘米？ [师]分析：转动轮转一周，传送带上的物品应被传送一个圆的周长；因为圆的周长对应360°的圆心角，所以转动轮转1°，传送带上的物品A被传送圆周 长的 1 360 ；转动轮转n°，传送带上的物品A被传送转1°时传送距离的n倍． [生]解：(1)转动轮转一周，传送带上的物品A被传送2π×10＝20πcm； (2)转动轮转1°，传送带上的物品A被传送20 36018 ππ =cm；
弧长和扇形面积—知识讲解 【学习目标】 1.通过复习圆的周长、圆的面积公式，探索n°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式，并应用这些公式解决问题； 2. 能准确计算组合图形的面积. 【要点梳理】 要点一、弧长公式 半径为R的圆中 360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式： n°的圆心角所对的圆的弧长公式：(弧是圆的一部分) 要点诠释： (1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即； (2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径； (3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量. 要点二、扇形面积公式 1.扇形的定义 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形. 2.扇形面积公式 半径为R的圆中 360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式： n°的圆心角所对的扇形面积公式： 要点诠释： (1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的， 即； (2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量. (3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆； (4)扇形两个面积公式之间的联系：. 【典型例题】 类型一、弧长和扇形的有关计算 1．如图（1），AB切⊙O于点B，OA=AB=3，弦BC∥OA，则劣弧BC的弧长为（）．
A B C ．π D ．3 2 π 图（1） 【答案】A. 【解析】连结OB 、OC ，如图（2） 则0OBA ∠?＝9， ，0A ∠?＝3，0AOB ∠?＝6， 由弦BC ∥OA 得60OBC AOB ∠∠=?＝， 所以△OBC 为等边三角形，0BOC ∠?＝6. 则劣弧BC 的弧长为 60=1803 π，故选A. 图（2） 【总结升华】主要考查弧长公式：. 举一反三： 【变式】制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，?试计算如图所示的管道的展直长度，即 的长(结果精确到0.1mm) 【答案】R=40mm ，n=110 ∴的长==≈76.8(mm) 因此，管道的展直长度约为76.8mm ． 2．如图，⊙O 的半径等于1，弦AB 和半径OC 互相平分于点M.求扇形OACB 的面积（结果保留π）
弧长以及扇形面积的计算 副标题 题号一二三总分 得分 一、选择题（本大题共3小题，共分） 1.如图，在中，，，以BC的中 点O为圆心分别与AB，AC相切于D，E两点，则的长 为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：连接OE、OD， 设半径为r， 分别与AB，AC相切于D，E两点， ，， 是BC的中点， 是中位线， ， ， 同理可知：， ， ， 由勾股定理可知， ， 故选：B． 连接OE、OD，由切线的性质可知，，由于O是BC的中点，从而可知OD是中位线，所以可知，从而可知半径r的值，最后利用弧长公式即可求出答案．
本题考查切线的性质，解题的关键是连接OE、OD后利用中位线的性质求出半径r的值，本题属于中等题型． 2.一个扇形的弧长是，面积是，则此扇形的圆心角的度数是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：一个扇形的弧长是，面积是， ，即， 解得：， ， 解得：， 故选B 利用扇形面积公式1求出R的值，再利用扇形面积公式2计算即可得到圆心角度数． 此题考查了扇形面积的计算，以及弧长的计算，熟练掌握扇形面积公式是解本题的关键． 3.的圆心角对的弧长是，则此弧所在圆的半径是 A. 3 B. 4 C. 9 D. 18 【答案】C 【解析】解：根据弧长的公式 得到： 解得． 故选C． 根据弧长的计算公式，将n及l的值代入即可得出半径r的值． 此题考查了弧长的计算，解答本题的关键是熟练记忆弧长的计算公式，属于基础题，难度一般． 二、填空题（本大题共1小题，共分） 4.如图，已知等边的边长为6，以AB为直径的与 边AC、BC分别交于D、E两点，则劣弧的长为______． 5. 6. 7. 8. 【答案】 【解析】解：连接OD、OE，如图所示： 是等边三角形，
24·4 弧长与扇形面积 1. 圆周长： 圆面积： 2. 圆的面积C 与半径R 之间存在关系，即360°的圆心角所对的弧长，因此， 1°的圆心角所对的弧长就是. n °的圆心角所对的弧长是 这里的180、n 在弧长计算公式中表示倍分关系，没有单位. 3. 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的圆形叫做扇形. 发现：扇形面积与组成扇形的圆心角的大小有关，圆心角越大，扇形面积也就越大. 4. 在半径是R 的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积，所以圆心角为n °的扇形面积是： （n 也是1°的倍数，无单位） 5. 圆锥的侧面展开图与侧面积计算 圆锥是由一个底面和一个侧面围成的.其中底面是一个圆，侧面是一个曲面.圆锥的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的半径是圆锥侧面的母线、圆心是圆锥的顶点、弧长是圆锥底面圆的周长.圆锥侧面积是扇形面积. r 2C π=2 r S π=R 2C π=360R 2π180R n π180R n π= ∴ l 2 R S π=R 21360R n S 2l =π= 扇形
如果设扇形的半径为l ，弧长为c ，圆心角为n （如图），则它们之间有如下关系： 同时，如果设圆锥底面半径为r ，周长为c ，侧面母线长为l ，那么它的侧面积是： 圆锥的全面积为： 圆柱侧面积：. 典型例题 例1.在⊙中，120°的圆心角所对的弧长为，那么⊙O 的半径为___________cm. 答案：120 解：由弧长公式： 得： 例2．若扇形的圆心角为120°，弧长为，则扇形半径为_____________，扇形面积为____________________. 答案：15；25π 例：如果一个扇形的面积和一个圆面积相等，且扇形的半径为圆半径的2倍，这个扇形的中心角为____________. 答案：90° 例：已知扇形的周长为28cm ，面积为49cm 2，则它的半径为____________cm. 答案：7 例3.两个同心圆被两条半径截得的， ，又AC=12，求阴影部分面积 . 180n c l π= l l r c 21 S π== 圆侧面2 r r π+πl rh 2πcm 80π180R n π= l cm 12012080180n 180R =ππ ?=π= l cm 10ππ=?10AB π=?6CD
《弧长和扇形的面积公式》教学设计 临高县皇桐中学周小花 教材分析 本节课的教学内容是义务教育课程标准实验教科书人教版九年级上册《圆》中的“弧长和扇形的面积”，这节课是学生在前阶段学完了“圆的认识”、“与圆有关的位置关系”的基础上进行的拓展与延伸。本课由特殊到一般探索弧长及扇形面积公式，并运用公式解决一些具体问题，为学生今后的学习及生活更好地运用数学作准备。 学情分析 九年级学生有一定的知识水平和自主学习、解决问题能力，在此基础上通过教师引导、小组合作交流探索弧长公式，类比弧长公式的探索过程尝试探索扇形面积计算公式，运用公式解决实际问题。 教学目标 经历弧长公式和扇形面积公式的推导过程，能运用弧长公式和扇形面积公式进行有关计算. 通过弧长和扇形面积公式的推导过程与运用，发展学生分析问题、解决问题及计算的能力. 通过弧长公式和扇形面积公式的推导，发展学生抽象、理解、概括、归纳能力和迁移能力． 教学重点和难点 教学重点：弧长、扇形面积公式的导出及应用． 教学难点：用公式解决实际问题 教学过程： 一、创设情景，揭示课题 在田径200米跑比赛中，运动员的起跑位置相同吗？为什么？ 教师通过多媒体播放田径200米赛跑，运动员起跑时的图片，提出问题 学生观察图片思考老师提出的问题并作出回答 二、讲授新课 1、弧长的计算公式 探求弧长公式 （1）半径为3的圆的周长如何计？ （2）圆的周长可以看作是多少度的圆心角所对的弧长？ （3）1°的圆心角所对的弧长是多少？2°呢？3°呢？…n°呢？ 弧长公式的运用 教师用多媒体展示问题 例题：例题1：制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算图所示管道的展直长度L(单位：mm，精确到1mm)
初三数学弧长和扇形面积公式知识精讲 一. 本周教学内容： 弧长和扇形面积公式、圆锥的侧面积和全面积 教学目的 1. 使学生学会弧长和扇形面积公式、圆锥及其特征，使学生掌握圆锥的轴截面图及其特点。 2. 使学生掌握弧长和扇形面积公式、圆锥侧面展开图的画法及侧面积计算公式。 3. 使学生比较熟练地应用弧长和扇形面积公式、圆锥的基本性质和轴截面解决有关圆锥表面积的计算问题。 4. 培养学生空间观念及空间图形与平面图形的相互转化思想，培养学生空间想象能力和计算能力。 教学重点和难点： 教学重点是弧长和扇形面积公式，圆锥及其特征，圆锥的侧面积计算 难点是圆锥侧面展开图（扇形）中各元素与圆锥各元素之间的关系 教学过程 1. 圆周长： r 2C 圆面积：2 r S 2. 圆的面积C 与半径R 之间存在关系 R 2C ，即360°的圆心角所对的弧长，因此，1°的圆心角所对的弧长就是360R 2。 n °的圆心角所对的弧长是180 R n 180R n l P 120 * 这里的180、n 在弧长计算公式中表示倍分关系，没有单位。 3. 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的圆形叫做扇形。 发现：扇形面积与组成扇形的圆心角的大小有关，圆心角越大，扇形面积也就越大。 4. 在半径是R 的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积2R S ，所以圆心角为n °的扇形面积是： R 21360R n S 2l 扇形（n 也是1°的倍数，无单位） 5. 圆锥的概念 观察模型可以发现：圆锥是由一个底面和一个侧面围成的。其中底面是一个圆，侧面是一个曲面，如果把这个侧面展开在一个平面上，展开图是一个扇形。 如图，从点S 向底面引垂线，垂足是底面的圆心O ，垂线段SO 的长叫做圆锥的高，点S 叫做圆锥的
弧长公式、扇形面积公式及其应用(含经典习题)
【本讲教育信息】 一. 教学内容： 弧长及扇形的面积 圆锥的侧面积 二. 教学要求 1、了解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会运用公式解决具体问题。 2、了解圆锥的侧面积公式，并会应用公式解决问题。 三. 重点及难点 重点： 1、弧长的公式、扇形面积公式及其应用。 2、圆锥的侧面积展开图及圆锥的侧面积、全面积的计算。 难点： 1、弧长公式、扇形面积公式的推导。 2、圆锥的侧面积、全面积的计算。 ［知识要点］ 知识点1、弧长公式 因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C ＝2R，所以1°的圆心角所对的弧长是，于是可得半径为R的圆中，n°的圆心角所对的 弧长l的计算公式：，
说明：（1）在弧长公式中，n表示1°的圆心角的倍数，n和180都不带单位“度”，例如，圆的半径R＝10，计算20°的圆心角所对的弧 长l时，不要错写成。 （2）在弧长公式中，已知l，n，R中的任意两个量，都可以求出第三个量。 知识点2、扇形的面积 如图所示，阴影部分的面积就是半径为R，圆心角为n°的扇形面积，显然扇形的面积是它所在圆的面积的一部分，因为圆心角是360°的扇形面积等于圆面积，所以圆心角为1°的扇形 面积是，由此得圆心角为n°的扇形面积的计 算公式是。 又因为扇形的弧长，扇形面积 ，所以又得到扇形面积的另一个计 算公式：。 知识点3、弓形的面积 （1）弓形的定义：由弦及其所对的弧（包括劣弧、优弧、半圆）组成的图形叫做弓形。 （2）弓形的周长＝弦长＋弧长 （3）弓形的面积
知识点4、圆锥的侧面积 圆锥的侧面展开图是一个扇形，如图所示，设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2，圆锥的侧面积，圆锥的全面积 说明：（1）圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积。 （2）研究有关圆锥的侧面积和全面积的计算问题，关键是理解圆锥的侧面积公式，并明确圆锥全面积与侧面积之间的关系。 知识点5、圆柱的侧面积 圆柱的侧面积展开图是矩形，如图所示，其两邻边分别为圆柱的高和圆柱底面圆的周长，若圆柱的底面半径为r，高为h，则圆柱的侧面积，圆柱的全面积
弧长及扇形面积的计算 习题 Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】
《弧长及扇形面积的计算》习题一、基础过关 1．如图，正方形ABCD的边AB=1，和都是以1为半径的圆弧，则无阴影两部分的面积之差是（） A．B．1﹣C．﹣1 D．1﹣ 2．一个圆锥的侧面展开图形是半径为8cm，圆心角为120°的扇形，则此圆锥的底面半径为（） A．cm B．cm C．3cm D．cm 3．圆心角为120°，弧长为12π的扇形半径为（） A．6 B．9 C．18 D．36 4．在半径为2的圆中，弦AB的长为2，则的长等于（） A．B．C．D． 5．一个扇形的半径为8cm，弧长为cm，则扇形的圆心角为（） A．60°B．120°C．150°D．180° 6．已知一个扇形的半径为12，圆心角为150°，则此扇形的弧长是（） A．5πB．6πC．8πD．10π 7．已知扇形半径是3cm，弧长为2πcm，则扇形的圆心角为°．（结果保留π）8．若扇形的圆心角为60°，弧长为2π，则扇形的半径为． 9．半径为4cm，圆心角为60°的扇形的面积为πcm2． 10．如图，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=90°，则图中阴影部分的面积是．二、综合训练 1．如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC=CD，∠ACD=120°．（1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积． 2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB=30°，OC=2，求阴影部分图形的面积（结果保留π）．
弧长及扇形的面积 教学目标 1．经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程； 2．了解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会应用公式解决问题． 教学重点 1．经历探索弧长及扇形面积计算公式的过程． 2．了解弧长及扇形面积计算公式．会用公式解决问题． 教学难点 1．探索弧长及扇形面积计算公式． 2．用公式解决实际问题． 教学过程 一．创设问题情境，引入新课 如图是圆弧形状的纸扇示意图，纸扇的半径为10cm，圆心角为120°,你能求出纸扇边沿的长度吗?纸扇面积是多少? 弧是圆周的一部分，扇形是圆的一部分，那么弧长与扇形面积应怎样计算？它们与圆的周长、圆的面积之间有怎样的关系呢？本节课我们将进行探索． 二．活动与探究 探究一、1、已知⊙O半径为R，求n°圆心角所对弧长． （1）圆周长是多少？ （2）1°圆心角所对弧长是多少？ （3）n°圆心角所对的弧长是1°圆心角所对的弧长的多少倍？ （4）n°圆心角所对弧长是多少？ 如果设⊙O半径为R，圆心角为n°,所对弧长为l，那么l=？ 练习：1、圆弧形状的纸扇，纸扇的半径为10cm，圆心角为120°,求出纸扇边沿的长度吗? 探究二、已知⊙O半径为R，求圆心角n°的扇形的面积? （1）半径为R的圆,面积是多少? （2）圆心角为1°的扇形的面积是多少? （3）圆心角为n°的扇形的面积是圆心角为1°的扇形的面积的多少倍？ （4）圆心角为n°的扇形的面积是多少? 如果⊙O半径为R，圆心角为n°,扇形面积为S扇形，则S=？ 三、知识运用： 制作弯形管道时，需要先按中心线计算"展直长度"再下料，试计算下图中管道的展直长度，
即的长(结果精确到0.1mm)． 分析：要求管道的展直长度，即求的长，根根弧长公式l＝可求得的长，其中n为圆心角，R为半径． 解：R＝40mm，n＝110． ∴的长＝πR＝×40π≈76.8mm．因此，管道的展直长度约为76.8mm． 四、思考： 弧长与扇形面积有什么关系？我们探讨了弧长和扇形面积的公式，在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长的计算公式为l＝πR，n°的圆心角的扇形面积公式为S扇形＝πR2，在这两个公式中，弧长和扇形面积都和圆心角n．半径R有关系，因此l和S之间也有一定的关系，你能猜得出吗？请大家互相交流． 五、随堂练习 1、如图是圆弧形状的纸扇示意图，纸扇的半径为10cm，圆心角为120°, 纸扇面积是多少? 2、一个扇形的圆心角为90o，半径为2，cm 则弧长= ，扇形面积= . 3、已知扇形的圆心角为120o，半径为6，则扇形的弧长是（） A. 3π B.4π C.5π D.6π 六、课时小结 学了本节课你有哪些收获? 1．探索弧长的计算公式l＝πR，并运用公式进行计算； 2．探索扇形的面积公式S＝πR2，并运用公式进行计算； 3．探索弧长l及扇形的面积S之间的关系，并能已知一方求另一方． 七、当堂检测 (1)已知圆的半径为10cm,半圆的弧长为( ) (2)已知圆的半径为9cm ，60°圆心角所对的弧长为( ) (3)已知半径为3，则弧长为π的弧所对的圆心角为_______ (4)已知圆心角为150°，所对的弧长为20π，则圆的半径为_______。 八、课后作业 习题24.4 第4、5题
第七节弧长及扇形的面积 要点精讲 1、弧长公式 因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C＝2R，所以1°的圆心角所对的弧长是 ，于是可得半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l的计算公式：，说明：（1）在弧长公式中，n表示1°的圆心角的倍数，n和180都不带单位“度”， 例如，圆的半径R＝10，计算20°的圆心角所对的弧长l时，不要错写成。 （2）在弧长公式中，已知l，n，R中的任意两个量，都可以求出第三个量。 2、扇形的面积 如图所示，阴影部分的面积就是半径为R，圆心角为n°的扇形面积，显然扇形的面积是它所在圆的面积的一部分，因为圆心角是360°的扇形面积等于圆面积，所以圆心角 为1°的扇形面积是，由此得圆心角为n°的扇形面积的计算公式是。 又因为扇形的弧长，扇形面积，所以又得到扇形面积的另一个计算公式：。 3、弓形的面积 （1）弓形的定义：由弦及其所对的弧（包括劣弧、优弧、半圆）组成的图形叫做弓形。 （2）弓形的周长＝弦长＋弧长 （3）弓形的面积 如图所示，每个圆中的阴影部分的面积都是一个弓形的面积，从图中可以看出，只要把扇形OAmB的面积和△AOB的面积计算出来，就可以得到弓形AmB的面积。
当弓形所含的弧是劣弧时，如图1所示， 当弓形所含的弧是优弧时，如图2所示， 当弓形所含的弧是半圆时，如图3所示， 圆周长、弧长、圆面积、扇形面积的计算公式 扇形与弓形的联系与区别 典型例题 【例1】如图所示，⊙O的半径为2，∠ABC＝45°，则图中阴影部分的面积是（）（结果用表示）
【答案】π-2 【解析】由图可知由圆周角定理可知∠ABC＝∠AOC，所以∠AOC＝2∠ABC＝90°，所以△OAC是直角三角形，所以 ， 所以 【例2】如图所示，在同心圆中，两圆的半径分别为2，1，∠AOB＝120°，则阴影部分的面积是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】阴影部分所在的两个扇形的圆心角为， 所以 故答案为：B.
24.4弧长和扇形面积 知识点 1.在半径为R 的圆中，1°的圆心角所对的弧长是____________，n °的圆心角所对的弧长是______________. 2.在半径为R 的圆中，1°的圆心角所对的扇形面积是____________，n °的圆心角所对的扇形面积S 扇形=______________. 3.半径为R ，弧长为l 的扇形面积S 扇形=________. 一、选择题 1.（2013?潜江）如果一个扇形的弧长是3 4 π，半径是6，那么此扇形的圆心角为() A ．?40 B ．?45 C ．?60 D ．?80 2.（2013?南通）如图，已知□ABCD 的对角线BD =4cm ，将□ABCD 绕其对称 中心O 旋转180°，则点D 所转过的路径长为() A ．4πcm B ．3πcmC．2πcm D ．πcm 3.（2013?宁夏）如图，以等腰直角△ABC 两锐角顶点A 、B 为圆心作等圆，⊙A 与⊙B 恰好外切， 若AC =2，那么图中两个扇形（即阴影部分）的面积之和为（ ） A. 4 π B. 2 π C. 22 πD. 2π 4.（2013?资阳）钟面上的分针的长为1，从9点到9点30分，分针在钟面上扫过的面积是() A ．12 π B ．14 π C. 1 8 π D ．π 第2题 A B C D O 第3题 C ′ B ′ C B A 第5题
第8题 5.（2013?荆州） 如图，将含60°角的直角三角板ABC 绕顶点A 顺时针旋转45°度后得到△AB ＇C ＇，点B 经过的路径为弧BB ＇，若角∠BAC =60°，AC =１，则图中阴影部分的面积是() A . 2π B .3π C .4π D .π 6.（2013?恩施州）如图所示，在直角坐标系中放置一个边长为1的正方形ABCD ，将正方形ABCD 沿x 轴的正方向无滑动的在x 轴上滚动，当点A 离开原点后第一次落在x 轴上时，点A 运动的路径线与x 轴围成的面积为（ ） A.122π + B.12 π+ C.1π+ D.12π+ 7.（2013?德州）如图，扇形AOB 的半径为1，∠AOB =90°，以AB 为直径画半圆．则图中阴影部分的面积为() A ．14π B ．π12- C ．12 D ．1142 π+ 8．（2013?襄阳）如图，以AD 为直径的半圆O 经过Rt △ABC 斜边AB 的两个端点，交直角边AC 于点E ，B 、E 是半圆弧的三等分点，弧BE 的长为π，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 9πB.39πC.33322π- D.33223 π- 二、填空题 9.（2013?茂名）如图是李大妈跳舞用的扇子，这个扇形AOB 的圆心角120O ∠=o ，半径OA =3，则弧．AB ．． 的长度为（结果保留π）． 10.（2013?遂宁）如图，△ABC 的三个顶点都在5×5的网格（每个小正方形的边长均为1个单位长度）的格点上，将△ABC 绕点B 逆时针旋转到△A ′BC ′的位置，且点A ′、C ′仍落在格点上，则图中阴影部分的面积约是___________．（π≈3.14，结果精确到0.1） O A B 第7题 第6题 第10题 第12题 第11题
圆的弧长和扇形面积 教学目标 (一)教学知识点 1．经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程； 2．了解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会应用公式解决问题． (二)能力训练要求 1．经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程，培养学生的探索能力． 2．了解弧长及扇形面积公式后，能用公式解决问题，训练学生的数学运用能力． (三)情感与价值观要求 1．经历探索弧长及扇形面积计算公式，让学生体验教学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性． 2．通过用弧长及扇形面积公式解决实际问题，让学生体验数学与人类生活的密切联系，激发学生学习数学的兴趣，提高他们的学习积极性，同时提高大家的运用能力．教学重点 1．经历探索弧长及扇形面积计算公式的过程． 2．了解弧长及扇形面积计算公式． 3．会用公式解决问题． 教学难点 1．探索弧长及扇形面积计算公式． 2．用公式解决实际问题． 教学方法 学生互相交流探索法 教具准备 2．投影片四张 教学过程 Ⅰ．创设问题情境，引入新课 [师]在小学我们已经学习过有关圆的周长和面积公式，弧是圆周的一部分，扇形是圆的一部分，那么弧长与扇形面积应怎样计算？它们与圆的周长、圆的面积之间有怎样的关系呢？本节课我们将进行探索． Ⅱ．新课讲解 一、复习 1．圆的周长如何计算？ 2．圆的面积如何计算？ 3．圆的圆心角是多少度？ [生]若圆的半径为r，则周长l＝2πr，面积S＝πr2，圆的圆心角是360°． 二、探索弧长的计算公式 投影片(§3．7A) 如图，某传送带的一个转动轮的半径为10cm． (1)转动轮转一周，传送带上的物品A被传送多少厘米？ (2)转动轮转1°，传送带上的物品A被传送多少厘米？ (3)转动轮转n°，传送带上的物品A被传送多少厘米？