数列
一．复习目标：
能灵活地运用等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式、前n 项和公式解题； 2．能熟练地求一些特殊数列的通项和前n 项的和；
3．使学生系统掌握解等差数列与等比数列综合题的规律，深化数学思想方法在解题实践中的指导作用，灵活地运用数列知识和方法解决数学和实际生活中的有关问题；
4．通过解决探索性问题，进一步培养学生阅读理解和创新能力，综合运用数学思想方法分析问题与解决问题的能力．
5．在解综合题的实践中加深对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的认识，沟通各类知识的联系，形成更完整的知识网络，提高分析问题和解决问题的能力．
6．培养学生善于分析题意，富于联想，以适应新的背景，新的设问方式，提高学生用函数的思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方法．
二．考试要求：
1．理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项。
2．理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式，并能运用公式解答简单的问题。
3．理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式，并能运用公式解决简单的问题。
4．数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要的地位。高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏。解答题多为中等以上难度的试题，突出考查考生的思维能力，解决问题的能力，试题大多有较好的区分度。有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起。探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法。应用问题考查的重点是现实客观事物的数学化，常需构造数列模型，将现实问题转化为数学问题来解决。 三．教学过程： （Ⅰ）基础知识详析
1．可以列表复习等差数列和等比数列的概念、有关公式和性质. 2．判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法： (1)定义法：对于n≥2的任意自然数,验证11(/)
n n n n a a a a ---为同一常数。
(2)通项公式法： ①若=
+（n-1）d=
+（n-k ）d ，则{}n a 为等差数列；
②若
，则
{}n a 为等比数列。
(3)中项公式法：验证
都成立。[来源:https://www.doczj.com/doc/ef11860598.html,]
3.在等差数列
{}n a 中,有关Sn 的最值问题——常用邻项变号法求解：
(1)当
10a >,d<0时，满足的项数m 使得
m S 取最大值. (2)当10a <,d>0时，满足
的项数m 使得
m S 取最小值。
在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。
4.数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。 5．注意事项： ⑴证明数列
{}n a 是等差或等比数列常用定义，即通过证明11-+-=-n n n n a a a a 或
11-+=n n n n a a
a a 而得。
⑵在解决等差数列或等比数列的相关问题时，“基本量法”是常用的方法，但有时灵活地运用性质，可使运算简便。
⑶对于一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解。 ⑷注意一些特殊数列的求和方法。 ⑸注意
n s 与n a 之间关系的转化。如：
n a =,,
11--n n s s s 21
≥=n n ，n a =∑=--+n
k k k a a a 211)
(．
⑹数列极限的综合题形式多样，解题思路灵活，但万变不离其宗，就是离不开数列极限的概念和性质，离不开数学思想方法，只要能把握这两方面，就会迅速打通解题思路．
⑺解综合题的成败在于审清题目，弄懂来龙去脉，透过给定信息的表象，抓住问题的本质，揭示问题的内在联系和隐含条件，明确解题方向，形成解题策略．
⑻通过解题后的反思，找准自己的问题，总结成功的经验，吸取失败的教训，增强解综合题的信心和勇气，提高分析问题和解决问题的能力． （Ⅱ）范例分析
例1．已知数列{a n }是公差d ≠0的等差数列，其前n 项和为S n ．
(2)过点Q 1(1，a 1)，Q 2(2，a 2)作直线12，设l 1与l 2的夹角为θ，
证明：(1)因为等差数列{a n }的公差d ≠0，所以
Kp1p k是常数(k=2，3，…，n)．
(2)直线l2的方程为y-a1=d(x-1)，直线l2的斜率为d．
例2．已知数列{}
n
a
中，n
S
是其前n项和，并且11
42(1,2,),1
n n
S a n a
+
=+==
，
⑴设数列
)
,2,1
(
2
1
=
-
=
+
n
a
a
b
n
n
n，求证：数列
{}
n
b
是等比数列；
⑵设数列
)
,2,1
(,
2
=
=n
a
c
n
n
n
，求证：数列
{}
n
c
是等差数列；
⑶求数列{}
n
a
的通项公式及前n项和。
分析：由于{b n}和{c n}中的项都和{a n}中的项有关，{a n}中又有S1n+=4a n+2，可由S2n+-S1n+作切入点探索解题的途径．
解：(1)由S1
n+=4a
2
n
+
，S2
n+=4a1n++2，两式相减，得S2n+-S1n+=4(a1n+-a n)，即
a2n+=4a1n+-4a n．(根据b n的构造，如何把该式表示成b1n+与b n的关系是证明的关键，注意加强恒等变形能力的训练)
a2n+-2a1n+=2(a1n+-2a n)，又b n=a1n+-2a n，所以b1n+=2b n①
已知S2=4a1+2，a1=1，a1+a2=4a1+2，解得a2=5，b1=a2-2a1=3 ②
由①和②得，数列{b n}是首项为3，公比为2的等比数列，故b n=3·21n-．
当n≥2时，S n=4a1n-+2=21n-(3n-4)+2；当n=1时，S1=a1=1也适合上式．
综上可知，所求的求和公式为S n=21n-(3n-4)+2．
说明：1．本例主要复习用等差、等比数列的定义证明一个数列为等差，等比数列，求数列
通项与前n项和。解决本题的关键在于由条件
2
4
1
+
=
+n
n
a
S
得出递推公式。[来源:学科网]
2．解综合题要总揽全局，尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件，在后面求解的过程中适时应用．
例3．已知数列{a n}是首项a1＞0，q＞-1且q≠0的等比数列，设数列{b n}的通项
b n=a1n+-ka2n+(n∈N)，数列{a n}、{b n}的前n项和分别为S n，T n．如果T n＞kS n对一切自然数n都成立，求实数k的取值范围．
分析：由探寻T n和S n的关系入手谋求解题思路。
解：因为{a n}是首项a1＞0，公比q＞-1且q≠0的等比数列，故
a1n+=a n·q，a2n+=a n·q2．
所以b n=a1n+-ka2n+=a n(q-k·q2)．
T n=b1+b2+…+b n=(a1+a2+…+a n)(q-k·q2)=S n(q-kq2)．
依题意，由T n＞kS n，得S n(q-kq2)＞kS n，①对一切自然数n都成立．
当q＞0时，由a1＞0，知a n＞0，所以S n＞0；
当-1＜q＜0时，因为a1＞0，1-q＞0，1-q n＞0，所以S n=
综合上面两种情况，当q＞-1且q≠0时，S n＞0总成立．
由①式可得q-kq
2
＞k ②
，
例4．从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业.
根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少1
5.本年度当地旅游业收入估
计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增
加1
4。(Ⅰ)设n 年内(本年度为第一年)总投入为an 万元，旅游业总收入为bn 万元.写出an ，
bn 的表达式(Ⅱ)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入? 解析：第1年投入800万元，第2年投入800×（1-）万元……， 第n 年投入800×（1－）n －1万元
所以总投入an ＝800＋800（1－）＋……＋800×（1－）n －1＝4000［1－（）n ］
同理：第1年收入400万元，第2年收入400×（1＋）万元，……，
第n 年收入400×（1＋）n －1万元 bn ＝400＋400×（1＋
）＋……＋400×（1＋
）n －1＝1600×［（
）n －1］
(2)∴bn －an ＞0，1600［（）n －1］－4000×［1－（）n ］＞0
化简得，5×（
）n ＋2×（
）n －7＞0
设x ＝（）n ，5x2－7x ＋2＞0 ∴x ＜，x ＞1（舍) 即（）n ＜，n≥5.
说明：本题主要考查建立函数关系式，数列求和，不等式等基础知识，考查综合运用数学知识解决实际问题的能力。解数学问题应用题重点在过好三关：（1）事理关：阅读理解，知道命题所表达的内容；（2）文理关：将“问题情景”中的文字语言转化为符号语言，用数学关系式表述事件；（3）数理关：由题意建立相关的数学模型，将实际问题数学化，并解答这一数学模型，得出符合实际意义的解答。
例5．设实数0≠a ，数列{}n a 是首项为a ，公比为a -的等比数列，记
),(||1*N n a g a b n n n ∈=n n b b b S +++= 21，
求证：当1-≠a 时，对任意自然数n 都有n S =2
)
1(lg a a
a +[]
n n a na n )1()
1(11
++-++
解：
n
n n n n a a a q a a 1111)1()(----=-==。 ||lg )1(|)1(|lg )1(||lg 111a na a a a a b n n n n n n n n n ----=--==∴
|
|lg )1(||lg )1()1(||lg 3||lg 2||lg 11232a na a a n a a a a a a S n n n n n ----+--+++-=∴
||lg ])1()1()1(32[11232a na a n a a a n n n n ----+--+++-=
记n n n n na a n a a a S 11232)1()1()1(32----+--+++-= ①
1121332)1()1()1()2()1(2+-----+--+--++-=n n n n n n na a n a n a a as ②
①+②得1
121232)1()1()1()1(+-----+-+-+++-=+n n n n n n na a a a a a s a ③
11
11
(1)1,(1)(1)1(1)n n n n a a a a S n a a -+-++-≠-∴+=+-?--
])1()1(1[)1(||lg )1(])1)(1(1[)1()1()1()1()1()1()1(12
2
12
112
1
111n
n n n n n n n n n n a na n a a a S a a na n a a a na n a S a a n a a a S ++-++=∴+-+++=+-?+++=∴+??-?++-+=
∴+++-+-+-
说明：本例主要复习利用错位相减解决差比数列的求和问题。关键是先研究通项，确定
}{,n n n n a b a C ?=是等差数列，}{n b 等比数列。
解法一：设等差数列{a n }的首项a 1=a ，公差为d ，则其通项为[来源:学|科|网
]
根据等比数列的定义知S 5≠0，由此可得
一步加工，有下面的解法) 解法二：
依题意，得
例7．设二次方程n a x 2-n a +1x+1=0(n ∈N)有两根α和β，且满足6α-2αβ+6β=3．
(1)试用
n a 表示a 1n ；
[来源:学。科。网]
例8．在直角坐标平面上有一点列
),(,),(),,(222111n n n y x P y x P y x P ，对一切正整数n ，
点
n P 位于函数
4133+
=x y 的图象上，且n P 的横坐标构成以25
-
为首项，1-为公差的等差
数列{}n x 。
点
n P 的坐标；
⑵设抛物线列
,,,,,321n c c c c 中的每一条的对称轴都垂直于x 轴，第n 条抛物线n c 的顶
点为n P ，且过点
)1,0(2
+n D n ，记与抛物线n c 相切于n D 的直线的斜率为n k ，求：n n k k k k k k 13221111-+++ 。
⑶设
{}{}1,4|,1,,2|≥==≥∈==n y y y T n N n x x x S n n ，等差数列{}n a 的任一项
T S a n ?∈，其中1a 是T S ?中的最大数，12526510-<<-a ，求{}n a 的通项公式。
解：（1）
23)1()1(25--=-?-+-
=n n x n
1353533,(,3)4424n n n y x n P n n ∴=?+
=--∴----
（2）
n c 的对称轴垂直于x 轴，且顶点为n P .∴设n c 的方程为：
,4512)232(2+-++
=n n x a y
把
)1,0(2
+n D n 代入上式，得1=a ，n c ∴的方程为：1)32(22++++=n x n x y 。 32|0'+===n y k x n ，
)
321
121(21)32)(12(111+-+=++=
∴
-n n n n k k n
n
n n k k k k k k 13221111-+++∴
)]321121()9171()7151[(21+-+++-+-=n n
=641101)3
2151(21+-
=+-n n [来源:https://www.doczj.com/doc/ef11860598.html,] （3）}1,),32(|{≥∈+-==n N n n x x S ，
}1,),512(|{≥∈+-==n N n n y y T }1,,3)16(2|{≥∈-+-==n N n n y y ,S T T ∴= T 中最大数171-=a .
设
}{n a 公差为d ，则)125,265(91710--∈+-=d a ，由此得
).(247,24),(12,129
248
**N n n a d N m m d T a d n n ∈-=∴-=∴∈-=∴∈-<<-
又 说明：本例为数列与解析几何的综合题，难度较大（1）、（2）两问运用几何知识算出n k ，
解决（3）的关键在于算出S T 及求数列{}n a 的公差。
例9．数列{}n a 中，2,841==a a 且满足n n n a a a -=++122*N n ∈
⑴求数列
{}n a 的通项公式；
⑵设
||||||21n n a a a S +++= ，求n S ；
⑶设n b =
)12(1
n a n -)(),(*
21*N n b b b T N n n n ∈+++=∈ ，是否存在最大的整数m ，使得对任意*N n ∈，均有>n
T 32m
成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由。
解：（1）由题意，
n n n n a a a a -=-+++112，}{n a ∴为等差数列，设公差为d ，
由题意得2382-=?+=d d ，
n n a n 210)1(28-=--=∴. （2）若50210≤≥-n n 则，
||||||,521n n a a a S n +++=≤ 时
21281029,2n n
a a a n n n +-=+++=
?=-
6n ≥时，n n a a a a a a S ---+++= 76521
4092)(2555+-=-=--=n n S S S S S n n
故=n S 40992
2
+--n n n n 65
≥≤n n
（3）
)
11
1(21)1(21)12(1+-=+=-=
n n n n a n b n n
∴n T )]
111()111()4131()3121()211[(21+-+--++-+-+-=n n n n .)1(2+=n n 若
32m T n >
对任意*N n ∈成立，即161m
n n >
+对任意*N n ∈成立，
)(1*N n n n ∈+
的最小值是21，,21
16<∴m m ∴的最大整数值是7。
即存在最大整数,7=m 使对任意*
N n ∈，均有
.32m
T n >
说明：本例复习数列通项，数列求和以及有关数列与不等式的综合问题。
例10．如图，在y 轴的正半轴上依次有点
,,,,21n A A A 其中点)10,0(),1,0(21A A ，且
||3||11+-=n n n n A A A A ),4,3,2( =n ，在射线)0(≥=x x y 上依次有点 ,,,,2
1n B B B 点
1B 的坐标为（3，3），且
22||||1+=-n n OB OB ),4,3,2( =n ⑴用含n 的式子表示||1+n n A A ； ⑵用含n 的式子表示n n B A ,的坐标；
⑶求四边形
n n n n B B A A 11++面积的最大值。
解：（1）9
110||,3
1
||||2111=-==-+A A A A A A n n n n 且
，
3
11211)31
()31(9)31(||||---+===∴n n n n n A A A A
（2）由（1）得4
413221)
31(21227)31(139||||||----=++++=+++n n n n A A A A A A
n A 点∴的坐标
)
)31(21227,
0(4
--n ，
23||22||||11==--OB OB OB n n 且 |}{|n OB 是以23为首项，22为公差的等差数列
)
12,12(2)12(22)1(23||++∴+=-+=∴n n B n n OB n n 的坐标为
（3）连接
1+n n B A ，设四边形11++n n n B A A n B 的面积为n S ，则
22
]
)31(227229[2221)32(])31[(2113111--??-??++?=+=+++n n A B B B A A n n S S S n n n n n n ,392291-+=
n n ,
03
6311<-=-∴-+n n n n
S S ,1n n S S <+即}{n S ∴单调递减. n S ∴的最大值为
247
92291=+=
S .
说明：本例为数列与几何的综合题。由题意知|}{|1+n n A A 为等比，|}{|n OB 为等差，
（3）
利用函数单调性求最值。
例11．设正数数列{a n }为一等比数列，且a 2=4，a 4=16．
说明：试题涉及对数、数列、极限的综合题，主要考查等比数列的定义及通项公式，等差数列前n 项和公式，对数计算，求数列极限等基础知识，以及综合运用数学知识的能力．
例12．已知抛物线
24x y =，过原点作斜率1的直线交抛物线于第一象限内一点1P ，又过点1P 作斜率为12的直线交抛物线于点2P ，再过2P
作斜率为1
4的直线交抛物线于点3P ， ，如此继续，一般地，过点n P 作斜率为1
2n 的直线交抛物线于点1n P +，设点(,)n n n P x y ．
（Ⅰ）令
2121n n n b x x +-=-，求证：数列{}n b 是等比数列．
（Ⅱ）设数列{}n b 的前n 项和为n S ，试比较31
4n S +与1
310n +的大小．
解：（1）因为(,)n n n P x y 、111(,)n n n P x y +++在抛物线上，故24,n
n x y =①2
114n n x y ++=②，
又因为直线
1
n n P P +的斜率为12n ，即11
12n n n n y y x x ++-=
-，①②代入可得22112
1111
422n n n n n n n n x x x x x x ++-+-=?+=-2121212221()()n n n n n n n b x x x x x x +-+-∴=-=+-+
22
23
22
111222n n n ---=-=-
，故11{}
4n n n b b b +=?是以14为公比的等比数列；
（2）
4131(1)13444n n n n
S S =--?+=，故只要比较4n 与310n +的大小． 方法（一）
1222
(1)4(13)133133139310(3)2n n n n n n C C n n n n -=+=+?+?+>++
>++=+≥ ，
当1n =时，3114
310n S n +>+； 当2n =时31
14310n S n +=
+；
当*
3,n n N ≥∈时，3114
310n S n +<
+． 方法（二）用数学归纳法证明，其中假设(3,)n k k k N =≥∈时有4310k
k >+,
则当1n k =+时,1
4444(310)[3(1)10]9273(1)10k k k k k k +=?>+=++++>++.
a n )，…
是公差为-1的等差数列，又2a 2-a 1，2a 3-a 2，…，2a 1n +-a n ，…
(1)求数列{a n }的通项公式； (2)计算
(a 1+a 2+…+a n )．[来源:Z_xx_https://www.doczj.com/doc/ef11860598.html,]
分析：由于题设中的等差数列和等比数列均由数列{an}的相关项构成，分别求出它们的通项公式构造关于a n 的方程组．
解：(1)设b n =log 2(3a 1n +-a n )，因为{bn}是等差数列，d=-1．b1=log 2
3a 1n +-a n ＝2
n
- ①
设c n =2a 1n +-a n ，{c n }是等比数列，公比为q ，|q|＜1，
c 1=2a 2-a 1=
[来源:学科网ZXXK]
例14．等比数列{a n}中，已知a1≠0，公比q＞0，前n项和为S n，自然数b，c，d，e满
足b＜c≤d＜e，且b+e=c+d．求证：S b·S e＜S c·S d．
分析：凡是有关等比数列前n项Sn的问题，首先考虑q=1的情况，证明条件不等式时，正确适时地应用所给的条件是成败的关键．
(证明不等式首选方法是差比较法，即作差—变形—判定符号，变形要有利于判定符号．) be-cd=(c+d-e)e-cd=ce+de-e2-cd=(c-e)(e-d)．
因为c＜e，d＜e，所以c-e＜0，e-d＞0，于是(c-e)(e-d)＜0．又
同理
(要比较S b·S e与S c·S d的大小，只要比较(1-qb)(1-qe)与(1-qc)(1-qd)的大小，仍然运用差比较法．)
(1-qb)(1-qe)-(1-qc)(1-qd)=qc+qd-qb-qe=(qc-qb)-(qe-qd)．
(能否将qc-qb 用qe-qd 表示是上式化成积的关键，利用给定的c+d=b+e ，寻求变形的途径，c=b+e-d ，d 、e 出现了，于是qc-qb=qb+e-d-qb=qb(qe-d-1)=qbq-d(qe-qd)．恒等变形只有目标明确，变形才能有方向．)
上式=qbq-d(qe-qd)-(qe-qd)=(qe-qd)(qbq-d-1)=q-d(qe-qd)(qb-qd)．因为q ＞0．所以q-d ＞0． (运用函数的思想将问题转化为根据指数函数的单调性判别乘积的符号)事实上，由b ＜d ＜e ，q ＞0， ①当0＜q ＜1时，y=qx 是减函数，qe ＜qd ，qb ＞qd ，即qe-qd ＜0，qb-qd ＞0； ②当q ＞1时，y=qx 是增函数，qe ＞qd ，qb ＜qd ，即qe-qd ＞0，qb-qd ＜0．
所以无论0＜q ＜1还是q ＞1，都有qe-qd 与qb-qd 异号，即(qe-qd)(qb-qd)＜0．
综上所述，无论q=1还是q ≠1，都有S b ·S e ＜S c ·S d ．
说明：复习课的任务在于对知识的深化，对能力的提高、关键在落实．根据上面所研究的问题，进一步提高运用函数的思想、方程的思想解决数列问题的能力． 例15．（北京高考）如图，在边长为l 的等边△ABC 中，圆O1为△ABC 的内切圆，圆O2与圆O1外切，且与AB ，BC 相切，…，圆On+1与圆On 外切，且与AB ，BC 相切，如此无限继续下去.记圆On 的面积为.
（Ⅰ）证明是等比数列；
（Ⅱ）求
的值. （Ⅰ）证明：记rn 为圆On 的半径，
则
所以
故成等比数列.
（Ⅱ）解：因为所以
说明：本小题主要考查数列、数列极限、三角函数等基本知识，考查逻辑思维能力.
例16．（2004年北京春季高考20）下表给出一个“等差数阵”：
（） 其中每行、每列都是等差数列，a ij
表示位于第i 行第j 列的数。
（I ）写出a 45的值；（II ）写出
a ij
的计算公式；
（III ）证明：正整数N 在该等差数列阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积。
分析：本小题主要考查等差数列、充要条件等基本知识，考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力。
解：（I ）a 4549=
（II ）该等差数阵的第一行是首项为4，公差为3的等差数列：
a j j 1431=
+-()
第二行是首项为7，公差为5的等差数列：
a j j 2751=
+-()
……
第i 行是首项为431+-()i ，公差为21i +的等差数列，因此
a i i j i j i j i j j i j =
+-++-=++=++431211221()()()()[来源:Z&xx&https://www.doczj.com/doc/ef11860598.html,]
（III ）必要性：若N 在该等差数阵中，则存在正整数i ，j 使得N i j j =++()21 从而2122121Ni j j +=+++()=++()()2121i j
即正整数2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积。
充分性：若2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积，由于2N+1是奇数，则它必为两个不是1的奇数之积，即存在正整数k ，l ，使得
212121N k l +=++()()，从而N k l la k l =++=()21
可见N 在该等差数阵中。 综上所述，正整数N 在该等差数阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之
积。
（Ⅲ）、强化训练
1．设S n和T n分别为两个等差数列的前n项和，若对任意n∈N，
（）
A．4∶3B．3∶2C．7∶4D．78∶71
2．一个首项为正数的等差数列中，前3项的和等于前11项的和，当这个数列的前n项和最大时，n等于．（）
A．5 B．6C．7 D．8
3．若数列{}
n
a
中，1
3
a=，且2
1
n n
a a
+
=*
()
n N
∈，则数列的通项
n
a=．
4．设在等比数列{}
n
a
中，
,
126
,
128
,
66
1
2
1
=
=
?
=
+
-n
n
n
S
a
a
a
a
求n及q
5．根据下面各个数列{}
n
a
的首项和递推关系，求其通项公式
⑴
=
=
+1
1
,1
n
a
a)
(
2*
N
n
n
a
n
∈
+
⑵
=
=
+1
1
,1
n
a
a1
+
n
n
)
(*
N
n
a
n
∈
⑶
=
=
+1
1
,1
n
a
a1
2
1
+
n
a
)
(*
N
n∈
6．数列{}
n
a
的前n项和
r
ra
S
n
n
(
1+
=
为不等于0，1的常数)，求其通项公式n
a
7．某县位于沙漠地带，人与自然长期进行着顽强的斗争，到2001年底全县的绿化率已达30%。从2002年开始，每年将出现这样的局面，即原有沙漠面积的16%将被绿化，与此同时，由于各种原因，原有绿化面积的4%又被沙化。
（1）设全县面积为1，2001年底绿化面积为
,
10
3
1
=
a
经过n年绿化总面积为
.
1+
n
a
求证
.
5
4
25
4
1n n
a a+
=
+
（2）至少需要多少年（年取整数，
3010
.0
2
lg=）的努力，才能使全县的绿化率达到60%？8．（2002年春招试题）已知点的序列（，0），，其中=0，，A3是线钱A1A2的中点，A4是线段A2A3的中点，…，An是线段的中点，…。
（I）写出与、之间的关系式（≥3）
（II ）设，计算，，，由此推测数列{}的通项公式，并加以证明。
9．(94年全国理)设｛an ｝是正数组成的数列，其前n 项和为Sn ，并且对所有自然数n ，an
与2的等差中项等于Sn 与2的等比中项.
(1)写出数列｛an ｝的前三项； (2)求数列｛an ｝的通项公式(写出推证过程)；
(3)令bn=(n ∈N)，求：b1+b2+…+bn -n.
（Ⅳ）、参考答案
1．解：设这两个等差数列分别为{an}和{bn}．
故选择A ．
说明：注意巧妙运用等差中项的性质来反映等差数列的通项an 与前2n-1项和S2n-1的内在联系．
2．解：依题意知．数列单调递减，公差d ＜0．因为 S3=S11=S3+a4+a5+…+a10+a11
所以 a4+a5+…+a7+a8+…+a10+a11=0 即 a4+a11=…=a7+a8=0， 故当n=7时，a7＞0，a8＜0．选择C ．
解选择题注意发挥合理推理和估值的作用． 3．解：多次运用迭代，可得21
1
22222
2
1221()[()]()()3n n n n n n a a a a a -----======
4．解：
128,128112=∴=?-n n a a a a ，又661=+n a a ，由以上二式得
12,64n a a ==或164,2n a a ==；由此得2,6==g n 或21
.
说明：本例主要复习数列的基本运算和方程思想的应用。 5．解：（1）
n a a n n 21+=+ ，n a a n n 21=-∴+，
)()()(123121--++-+-+=∴n n n a a a a a a a a 1
)1(1)
1(2221212+-=-?+=-?++?+?+=n n n n n
（2）
11+=+n n
a a n n
123121-????=∴n n n a a a a a a a a =n n n 1132211=-????
又解：由题意，
n n na a n =++1)1(对一切自然数n 成立，11)1(11=?==-=∴-a a n na n n
.1n a n =
∴
（3）
}2{)2(21
212111-∴-=-∴+=
++n n n n n a a a a a 是首项为121-=-a
公比为21的等比数列，.
)21
(2,)21(1211---=∴?-=-∴n n n n a a
说明：本例复习求通项公式的几种方法：迭加法、迭乘法、构造法。
6．解：由
n n ra S +=1可得当2≥n 时111--+=n n ra S ，)(11---=-∴n n n n a a r S S ，
1--=∴n n n ra ra a ，,)1(1-=-∴n n ra r a ,1≠r ∴11-=
-r r
a a n n ，0≠r ，}{n a ∴是公
比为1-r r 的等比数列. 又当1=n 时，111ra S +=，∴r a -=111，1
)
1(11---=∴n n r r r a 。
说明：本例复习由有关
n S 与n a 递推式求n a ，关键是利用n S 与n a 的关系进行转化。 7．（1）证明：由已知可得
n a 确定后，1+n a 表示如下：1+n a =n a %16)1(%)41(?-+-?n a
即1+n a =80%n a +16%=54n a +254
（2）解：由1+n a =54n a +254可得：-+1n a 54=54（-n
a 54）=（54）2（--1n a 54
）=…
=)
54()5
4(1-a n 故有1+n a =54)54(21+-n ，若1+n a .53≥则有54)54(21+-n .53≥即1
)54(21-≥n
两边同时取对数可得)12lg 3)(1()5lg 2lg 2)(1(2lg --=--≥-n n
故
4
12lg 312
lg >+-≥
n ，故使得上式成立的最小*N n ∈为5，
故最少需要经过5年的努力，才能使全县的绿化率达到60%.
8．（I ）解：当n≥3时，
（II ）解：
.
由此推测。
证法一：因为，且
（n≥2）所以。
证法二：（用数学归纳法证明：）
（i）当时，，公式成立，
（ii）假设当时，公式成立，即成立。
那么当时，
=式仍成立。
根据（i）与（ii）可知，对任意，公式成立
评注：本小题主要考查中点坐标公式、等比数列等基本知识，考查运算能力和逻辑思维能力。9．解：(1)由题意=an＞0
令n=1时，=S1=a1解得a1=2
令n=2时有==a1+a2 解得a2=6
令n=3时有=S3=a1+a2+a3解得a3=10
故该数列的前三项为2、6、10.
(2)解法一：由(1)猜想数列｛an｝有通项公式an=4n-2，下面用数学归纳法证明数列｛an｝的通项公式是an=4n-2(n∈N)
1°当n=1时，因为4×1-2＝2，又在(1)中已求得a1=2，所以上述结论正确.
知识框架 111111(2)(2)(1)( 1)()22()n n n n n n m p q n n n n a q n a a a q a a d n a a n d n n n S a a na d a a a a m n p q --=≥=?? ←???-=≥?? =+-??-?=+=+??+=++=+??两个基等比数列的定义本数列等比数列的通项公式等比数列数列数列的分类数列数列的通项公式函数角度理解 的概念数列的递推关系等差数列的定义等差数列的通项公式等差数列等差数列的求和公式等差数列的性质1111(1)(1) 11(1)() n n n n m p q a a q a q q q q S na q a a a a m n p q ---=≠--===+=+???? ? ???????????????? ??? ???????????? ???? ????????????? ?????? ? ?? ?? ?? ?? ??? ???????? 等比数列的求和公式等比数列的性质公式法分组求和错位相减求和数列裂项求和求和倒序相加求和累加累积 归纳猜想证明分期付款数列的应用其他??????? ? ? 掌握了数列的基本知识，特别是等差、等比数列的定义、通项公式、求和公式及性质，掌握了典型题型的解法和数学思想法的应用，就有可能在高考中顺利地解决数列问题。 一、典型题的技巧解法 1、求通项公式 （1）观察法。（2）由递推公式求通项。 对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。 (1)递推式为a n+1=a n +d 及a n+1=qa n （d ，q 为常数） 例1、 已知{a n }满足a n+1=a n +2，而且a 1=1。求a n 。 例1、解 ∵a n+1-a n =2为常数 ∴{a n }是首项为1，公差为2的等差数列 ∴a n =1+2（n-1） 即a n =2n-1 例2、已知{}n a 满足11 2 n n a a +=，而12a =，求n a =？ （2）递推式为a n+1=a n +f （n ） 例3、已知{}n a 中112a = ，121 41 n n a a n +=+-，求n a . 解： 由已知可知)12)(12(11-+= -+n n a a n n )1 21 121(21+--=n n 令n=1，2，…，（n-1），代入得（n-1）个等式累加，即（a 2-a 1）+（a 3-a 2）+…+（a n -a n-1） 2 43 4)1211(211--= --+=n n n a a n ★ 说明 只要和f （1）+f （2）+…+f （n-1）是可求的，就可以由a n+1=a n +f （n ）以n=1，2，…，（n-1）代 入，可得n-1个等式累加而求a n 。 (3)递推式为a n+1=pa n +q （p ，q 为常数） 例4、{}n a 中，11a =，对于n ＞1（n ∈N ）有132n n a a -=+，求n a . 解法一： 由已知递推式得a n+1=3a n +2，a n =3a n-1+2。两式相减：a n+1-a n =3（a n -a n-1） 因此数列{a n+1-a n }是公比为3的等比数列，其首项为a 2-a 1=（3×1+2）-1=4 ∴a n+1-a n =4·3n-1 ∵a n+1=3a n +2 ∴3a n +2-a n =4·3n-1 即 a n =2·3n-1 -1 解法二： 上法得{a n+1-a n }是公比为3的等比数列，于是有：a 2-a 1=4，a 3-a 2=4·3，a 4-a 3=4·32，…，a n -a n-1=4·3n-2 ， 把n-1个等式累加得： ∴an=2·3n-1-1 (4)递推式为a n+1=p a n +q n （p ，q 为常数） )(3211-+-= -n n n n b b b b 由上题的解法，得：n n b )32(23-= ∴n n n n n b a )31(2)21(32-== (5)递推式为21n n n a pa qa ++=+
最新高考数列递推公式题型归纳解析完整答案版 类型1 ) (1n f a a n n +=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。 变式1.1:（2004，全国I ，个理22．本小题满分14分） 已知数列1}{1=a a n 中，且a 2k =a 2k －1+(－1)K , a 2k+1=a 2k +3k , 其中k=1,2,3,……. （I ）求a 3, a 5； （II ）求{ a n }的通项公式. 解：Θk k k a a )1(122-+=-，k k k a a 3212+=+ ∴k k k k k k a a a 3)1(312212+-+=+=-+，即k k k k a a )1(31212-+=--+ ∴)1(313-+=-a a ，2235)1(3-+=-a a …… ……k k k k a a )1(31212-+=--+ 将以上k 个式子相加，得 ]1)1[(2 1 )13(23])1()1()1[()333(22112--+-=-+???+-+-++???++=-+k k k k k a a 将11=a 代入，得1)1(21321112--+?=++k k k a ， 1)1(2 1 321)1(122--+?=-+=-k k k k k a a 。 经检验11=a 也适合，∴???????--?+?--?+?=-+)(1)1(2132 1)(1)1(21321222 1 21为偶数为奇数n n a n n n n n 类型2 n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为 )(1 n f a a n n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。 例3:已知31=a ，n n a n n a 2 31 31+-= + )1(≥n ，求n a 。 解：12 31 32231232)2(31)2(32)1(31)1(3a n n n n a n +-?+?-??????+---?+---= 3437526331348531n n n n n --= ????=---L 。 变式2.1:（2004，全国I,理15）已知数列{a n }，满足a 1=1，1321)1(32--+???+++=n n a n a a a a (n ≥2)， 则{a n }的通项1 ___ n a ?=? ? 12n n =≥ 解：由已知，得n n n na a n a a a a +-+???+++=-+13211)1(32，用此式减去已知式，得
高中数学知识点总结 1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素,及元素的“确定性、互异性、无序性”。 {}{}{}如：集合，，，、、A x y x B y y x C x y y x A B C ======|lg |lg (,)|lg 中元素各表示什么？ 2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。? 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 {} {}如：集合，A x x x B x ax =--===||22301 若，则实数的值构成的集合为 B A a ? （答：，，）-? ?? ???1013 3． 注意下列性质： {}（）集合，，……，的所有子集的个数是；1212a a a n n （）若，；2A B A B A A B B ??== (３）德摩根定律： ()()()()()()C C C C C C U U U U U U A B A B A B A B ==， 4. 你会用补集思想解决问题吗？(排除法、间接法) 如：已知关于的不等式 的解集为，若且，求实数x ax x a M M M a --<∈?5 0352 的取值范围。 ()（∵，∴ ·∵，∴ ·，，）335 30 555 5015392522 ∈--
6. 命题的四种形式及其相互关系是什么? (互为逆否关系的命题是等价命题。） 原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。 7. 对映射的概念了解吗？映射f:Ａ→B ，是否注意到A 中元素的任意性和B 中与之对应元素的唯一性,哪几种对应能构成映射? （一对一,多对一，允许B 中有元素无原象。） 8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ (定义域、对应法则、值域） 9. 求函数的定义域有哪些常见类型？ ()() 例：函数的定义域是 y x x x = --432 lg ()()()（答：，，，）022334 1０． 如何求复合函数的定义域? [] 如：函数的定义域是，，，则函数的定f x a b b a F(x f x f x ())()()>->=+-0 义域是＿____＿_____＿_。 [] （答：，）a a - 1１． 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时,注明函数的定义域了吗？ ( ) 如：，求f x e x f x x +=+1(). 令，则t x t =+≥10 ∴x t =-21 ∴f t e t t ()=+--2 1 21 ()∴f x e x x x ()=+-≥-2 1 210 12. 反函数存在的条件是什么? （一一对应函数) 求反函数的步骤掌握了吗？ （①反解x ；②互换x 、ｙ；③注明定义域) () () 如：求函数的反函数f x x x x x ()=+≥---
高一数学必修1知识网络 集合 123412n x A x B A B A B A n A ∈??? ????? ∈?∈?（）元素与集合的关系：属于（）和不属于（）（）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性集合与元素（）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集（）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法子集：若 ，则，即是的子集。、若集合中有个元素，则集合的子集有个， 注关系集合集合与集合{}00(2-1)23,,,,.4/n A A A B C A B B C A C A B A B x B x A A B A B A B A B A B x x A x B A A A A A B B A A B ?????????? ????????????≠∈?????=???=∈∈?=??=??=???真子集有个。、任何一个集合是它本身的子集，即 、对于集合如果，且那么、空集是任何集合的（真）子集。 真子集：若且（即至少存在但），则是的真子集。集合相等：且 定义：且交集性质：，，，运算{}{},/()()()-()/()()()()()()U U U U U U U U A A B B A B A B A A B x x A x B A A A A A A B B A A B A A B B A B A B B Card A B Card A Card B Card A B C A x x U x A A C A A C A A U C C A A C A B C A C B ????????=????=∈∈???=??=?=????????=???=+?=∈?=?=??==?=?，定义：或并集性质：，，，，， 定义：且补集性质：，，，， ()()()U U U C A B C A C B ????? ?? ?? ?? ?? ?????????? ???????? ??????????????????????? ?????????????????????=???????
数列必会基础题型 题型一：求值类的计算题（多关于等差等比数列） A ）根据基本量求解（方程的思想） 1、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，63,6,994=-==n S a a ，求n ； 2、等差数列{}n a 中，410a =且3610a a a ，，成等比数列，求数列{}n a 前20项的和20S ． 3、设{}n a 是公比为正数的等比数列，若16,151==a a ，求数列{}n a 前7项的和. 4、已知四个实数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为37， 中间两数之和为36，求这四个数. 5在等差数列{a n }中， (1)已知a 15＝10，a 45＝90，求a 60； (2)已知S 12＝84，S 20＝460，求S 28； (3)已知a 6＝10，S 5＝5，求a 8和S 8． 6、有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数． 7、已知△ABC 中，三内角A 、B 、C 的度数成等差数列，边a 、b 、c 依次成等比数列．求证：△ABC 是等边三角形． B ）根据数列的性质求解（整体思想） 1、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，1006=a ，则=11S ； 2、设n S 、n T 分别是等差数列{}n a 、 {}n a 的前n 项和，327++=n n T S n n ，则=5 5b a . 3、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若 ==5 935,95S S a a 则（ ） 4、等差数列{}n a ,{}n b 的前n 项和分别为n S ,n T ,若231n n S n T n =+,则n n a b =（ ） 5、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，)(,m n n S m S m n ≠==，则=+n m S .. 6、已知等比数列{a n }中，a 1·a 9＝64，a 3＋a 7＝20，则a 11＝ ．
1 高中数学总复习 高中数学第一章-集合 I. 基础知识要点 1. 集合中元素具有确定性、无序性、互异性. 2. 集合的性质： ①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ?； ②空集是任何集合的子集，记为A ?φ； ③空集是任何非空集合的真子集； 如果B A ?，同时A B ?，那么A = B. 如果C A C B B A ???，那么，. [注]：①Z = {整数}（√） Z ={全体整数} （×） ②已知集合S 中A 的补集是一个有限集，则集合A 也是有限集.（×）（例：S=N ； A=+N ，则C s A= {0}） ③ 空集的补集是全集. ④若集合A =集合B ，则C B A = ?， C A B = ? C S （C A B ）= D （ 注 ：C A B = ?）. 3. ①{（x ，y ）|xy =0，x ∈R ，y ∈R }坐标轴上的点集. ②{（x ，y ）|xy ＜0，x ∈R ，y ∈R }二、四象限的点集. ③{（x ，y ）|xy ＞0，x ∈R ，y ∈R } 一、三象限的点集. [注]：①对方程组解的集合应是点集. 例： ? ??=-=+1323 y x y x 解的集合{(2，1)}. ②点集与数集的交集是φ. （例：A ={(x ，y )| y =x +1} B={y |y =x 2+1} 则A ∩B =?） 4. ①n 个元素的子集有2n 个. ②n 个元素的真子集有2n －1个. ③n 个元素的非空真子集有2n －2个. 5. ⑴①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真. 否命题?逆命题. ②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题?逆否命题. 例：①若325≠≠≠+b a b a 或，则应是真命题.
数列常见题型分析与做法 一、等差、等比数列的概念与性质 1、已知等比数列432,,,}{a a a a n 中分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项，且1,641≠=q a 公比，求n a ； （I ）依题意032),(32244342=+--+=a a a a a a a 即 03213131=+-∴q a q a q a 2 1101322 = =?=+-∴q q q q 或2 11= ∴≠q q 1)2 1 (64-?=n n a 故 二、求数列的通项 类型1 )(1n f a a n n +=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。 例:已知数列{}n a 满足2 11=a ，n n a a n n ++ =+2 11，求n a 答案：n n a n 12 3112 1- = - += ∴ 类型2 n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。 例:已知数列{}n a 满足321= a ，n n a n n a 1 1+= +，求n a 答案：n a n 32= ∴ 类型3 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。 解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中p q t -=1，再利用换元 法转化为等比数列求解。 例:已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a . 提示：)3(231+=++n n a a 答案：321-=+n n a . 类型4 递推公式为n S 与n a 的关系式。(或()n n S f a =) 解法：这种类型一般利用???≥???????-=????????????????=-) 2() 1(11n S S n S a n n n 与)()(11---=-=n n n n n a f a f S S a 消去n S )2(≥n 或与)(1--=n n n S S f S )2(≥n 消去n a 进行求解。 例：已知数列{}n a 前n 项和2 2 14---=n n n a S . （1）求1+n a 与n a 的关系；（2）求通项公式n a . 解：（1）由2 2 14-- -=n n n a S 得：1 112 14-++- -=n n n a S 于是) 2 12 1( )(1 2 11--++- +-=-n n n n n n a a S S 所以1 112 1 -+++ -=n n n n a a a n n n a a 2 12 11+ = ?+.
知识框架 111111(2)(2)(1)(1)()22()n n n n n n m p q n n n n a q n a a a q a a d n a a n d n n n S a a na d a a a a m n p q --=≥=?? ←???-=≥?? =+-??-?=+=+??+=++=+??两个基等比数列的定义本数列等比数列的通项公式等比数列数列数列的分类数列数列的通项公式函数角度理解 的概念数列的递推关系等差数列的定义等差数列的通项公式等差数列等差数列的求和公式等差数列的性质1111(1)(1) 11(1)() n n n n m p q a a q a q q q q S na q a a a a m n p q ---=≠--===+=+???? ? ???????????????? ??? ???????????? ???? ????????????? ?????? ? ?? ?? ?? ?? ??????????? 等比数列的求和公式等比数列的性质公式法分组求和错位相减求和数列裂项求和求和倒序相加求和累加累积归纳猜想证明分期付款数列的应用其他??????? ? ? 掌握了数列的基本知识，特别是等差、等比数列的定义、通项公式、求和公式及性质，掌握了典型题型的解法和数学思想法的应用，就有可能在高考中顺利地解决数列问题。 一、典型题的技巧解法 1、求通项公式 （1）观察法。（2）由递推公式求通项。 对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。 (1)递推式为a n+1=a n +d 及a n+1=qa n （d ，q 为常数） 例1、 已知{a n }满足a n+1=a n +2，而且a 1=1。求a n 。 例1、解 ∵a n+1-a n =2为常数 ∴{a n }是首项为1，公差为2的等差数列 ∴a n =1+2（n-1） 即a n =2n-1 例2、已知{}n a 满足11 2 n n a a +=，而12a =，求n a = （2）递推式为a n+1=a n +f （n ） 例3、已知{}n a 中112a = ，12141 n n a a n +=+-，求n a . 解： 由已知可知)12)(12(11-+= -+n n a a n n )1 21 121(21+--=n n 令n=1，2，…，（n-1），代入得（n-1）个等式累加，即（a 2-a 1）+（a 3-a 2）+…
高三数学知识点总结大全 高中数学重难点 高中数学(文)包含5本必修、2本选修，(理)包含5本必修、3本选修，每学期学**两本书。 必修一：1、集合与函数的概念 (这部分知识抽象，较难理解)2、基本的初等函数(指数函数、对数函数)3、函数的性质及应用 (比较抽象，较难理解) 必修二：1、立体几何(1)、证明：垂直(多考查面面垂直)、平行(2)、求解：主要是夹角问题，包括线面角和面面角 这部分知识是高一学生的难点，比如：一个角实际上是一个锐角，但是在图中显示的钝角等等一些问题，需要学生的立体意识较强。这部分知识高考占22---27分 2、直线方程：高考时不单独命题，易和圆锥曲线结合命题 3、圆方程： 必修三：1、算法初步：高考必考内容，5分(选择或填空)2、统计：3、概率：高考必考内容，09年理科占到15分，文科数学占到5分 必修四：1、三角函数：(图像、性质、高中重难点，)必考大题：15---20分，并且经常和其他函数混合起来考查 2、平面向量：高考不单独命题，易和三角函数、圆锥曲线结合命题。09年理科占到5分，文科占到13分
必修五：1、解三角形：(正、余弦定理、三角恒等变换)高考中理科占到22分左右，文科数学占到13分左右2、数列：高考必考，17---22分3、不等式：(线性规划，听课时易理解，但做题较复杂，应掌握技巧。高考必考5分)不等式不单独命题，一般和函数结合求最值、解集。 文科：选修1—1、1—2 选修1--1：重点：高考占30分 1、逻辑用语：一般不考，若考也是和集合放一块考 2、圆锥曲线： 3、导数、导数的应用(高考必考) 选修1--2：1、统计：2、推理证明：一般不考，若考会是填空题3、复数：(新课标比老课本难的多，高考必考内容) 理科：选修2—1、2—2、2—3 选修2--1：1、逻辑用语 2、圆锥曲线3、空间向量：(利用空间向量可以把立体几何做题简便化) 选修2--2：1、导数与微积分2、推理证明：一般不考3、复数 选修2--3：1、计数原理：(排列组合、二项式定理)掌握这部分知识点需要大量做题找规律，无技巧。高考必考，10分2、随机变量及其分布：不单独命题3、统计： 高考的知识板块 集合与简单逻辑：5分或不考 函数：高考60分：①、指数函数②对数函数③二次函数④
高考数学高考必备知识点 总结 Jenny was compiled in January 2021
高考前重点知识回顾 第一章-集合 （一）、集合：集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 1、集合的性质：①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ?； ②空集是任何集合的子集，记为A ?φ ； ③空集是任何非空集合的真子集； ①n 个元素的子集有2n 个. n 个元素的真子集有2n －1个. n 个元素的非空真子集有2n －2个. [注]①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真.否命题?逆命题. ②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题?逆否命题. 2、集合运算：交、并、补. {|,}{|} {,} A B x x A x B A B x x A x B A x U x A ?∈∈?∈∈?∈?U 交：且并：或补：且C （三）简易逻辑 构成复合命题的形式：p 或q(记作“p ∨q ” )；p 且q(记作“p ∧q ” )；非p(记作“┑q ” ) 。 1、“或”、 “且”、 “非”的真假判断 4、四种命题的形式及相互关系： 原命题：若P 则q ； 逆命题：若q 则p ； 否命题：若┑P 则┑q ；逆否命题：若┑q 则┑p 。 ①、原命题为真，它的逆命题不一定为真。 ②、原命题为真，它的否命题不一定为真。 ③、原命题为真，它的逆否命题一定为真。 6、如果已知p ?q 那么我们说，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件。
若p ?q 且q ?p,则称p 是q 的充要条件，记为pq. 第二章-函数 一、函数的性质 （1）定义域： （2）值域： （3）奇偶性：（在整个定义域内考虑） ①定义：偶函数： )()(x f x f =-，奇函数：)()(x f x f -=- ②判断方法步骤：a.求出定义域；b.判断定义域是否关于原点对称；c.求 )(x f -；d.比较)()(x f x f 与-或)()(x f x f --与的关系。 定义：对于函数f(x)的定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1,x 2, ⑴若当x 1
知识框架 掌握了数列的基本知识，特别是等差、等比数列的定义、通项公式、求和公式及性质，掌握了典型题型的解法和数学思想法的应用，就有可能在高考中顺利地解决数列问题。 一、典型题的技巧解法 1、求通项公式 （1）观察法。（2）由递推公式求通项。 对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。 (1)递推式为a n+1=a n +d 及a n+1=qa n （d ，q 为常 数） 例1、已知{a n }满足a n+1=a n +2，而且a 1=1。求a n 。 例1、解∵a n+1-a n =2为常数∴{a n }是首项为1，公差为2的等差数列 ∴a n =1+2（n-1）即a n =2n-1 例2、已知{}n a 满足11 2n n a a +=，而12a =，求 n a =？ （2）递推式为a n+1=a n +f （n ） 例3、已知{}n a 中112 a = ，12 141 n n a a n +=+ -，求n a . 解：由已知可知 )12)(12(11-+= -+n n a a n n )1 21 121(21+--=n n 令n=1，2，…，（n-1），代入得（n-1）个等式累加，即（a 2-a 1）+（a 3-a 2）+…+（a n -a n-1） ★ 说明只要和f （1）+f （2）+…+f （n-1）是可求的，就可以由a n+1=a n +f （n ）以n=1，2，…，（n-1）代入，可得n-1个等式累加而求a n 。 (3)递推式为a n+1=pa n +q （p ，q 为常数） 例4、{}n a 中，11a =，对于n ＞1（n ∈N ）有 132n n a a -=+，求n a . 解法一：由已知递推式得a n+1=3a n +2，a n =3a n-1+2。两式相减：a n+1-a n =3（a n -a n-1） 因此数列{a n+1-a n }是公比为3的等比数列，其首项为a 2-a 1=（3×1+2）-1=4 ∴a n+1-a n =4·3n-1∵a n+1=3a n +2∴3a n +2-a n =4·3n-1 即a n =2·3n-1-1 解法二：上法得{a n+1-a n }是公比为3的等比数列，于是有：a 2-a 1=4，a 3-a 2=4·3，a 4-a 3=4·32，…，a n -a n-1=4·3n-2， 把n-1个等式累加得：∴an=2·3n-1-1 (4)递推式为a n+1=pa n +qn （p ，q 为常数） )(3 2 11-+-=-n n n n b b b b 由上题的解法， 得：n n b )3 2(23-=∴ n n n n n b a )31(2)21(32 -== (5)递推式为21n n n a pa qa ++=+ 思路：设21n n n a pa qa ++=+,可以变形为： 211()n n n n a a a a αβα+++-=-， 想 于是{a n+1-αa n }是公比为β的等比数列，就转化 为前面的类型。 求n a 。 (6)递推式为S n 与a n 的关系式 系；（2）试用n 表示a n 。 ∴)2121( )(1 2 11 --++- +-=-n n n n n n a a S S ∴1 11 2 1 -+++ -=n n n n a a a ∴ n n n a a 2 1 211+= + 上式两边同乘以2n+1得2n+1a n+1=2n a n +2则{2n a n }是公差为2的等差数列。 ∴2n a n =2+（n-1）·2=2n 数列求和的常用方法： 1、拆项分组法：即把每一项拆成几项，重新组合分成几组，转化为特殊数列求和。
高三数学专题复习知识点 【篇一】 1.进行集合的交、并、补运算时，不要忘了全集和空集的特殊情况，不要忘记了借助数轴和文氏图进行求解. 2.在应用条件时，易A忽略是空集的情况 3.你会用补集的思想解决有关问题吗? 4.简单命题与复合命题有什么区别?四种命题之间的相互关系是什么?如何判断充分与必要条件? 5.你知道“否命题”与“命题的否定形式”的区别. 6.求解与函数有关的问题易忽略定义域优先的原则. 7.判断函数奇偶性时，易忽略检验函数定义域是否关于原点对称. 8.求一个函数的解析式和一个函数的反函数时，易忽略标注该函数的定义域. 9.原函数在区间[-a,a]上单调递增，则一定存在反函数，且反函数也单调递增;但一个函数存在反函数，此函数不一定单调 10.你熟练地掌握了函数单调性的证明方法吗?定义法(取值,作差,判正负)和导数法 11.求函数单调性时，易错误地在多个单调区间之间添加符号“∪”和“或”;单调区间不能用集合或不等式表示. 12.求函数的值域必须先求函数的定义域。 13.如何应用函数的单调性与奇偶性解题?①比较函数值的大小;②解抽象函数不等式;③求参数的范围(恒成立问题).这几种基本应用你掌握了吗? 14.解对数函数问题时，你注意到真数与底数的限制条件了吗? (真数大于零，底数大于零且不等于1)字母底数还需讨论 15.三个二次(哪三个二次?)的关系及应用掌握了吗?如何利用二次函数求最值?
16.用换元法解题时易忽略换元前后的等价性，易忽略参数的范围。 17.“实系数一元二次方程有实数解”转化时，你是否注意到：当时，“方程有解”不能转化为。若原题中没有指出是二次方程，二次函数或二次不等式，你是否考虑到二次项系数可能为的零的情形? 18.利用均值不等式求最值时，你是否注意到：“一正;二定;三等”. 19.绝对值不等式的解法及其几何意义是什么? 20.解分式不等式应注意什么问题?用“根轴法”解整式(分式)不等式的注意事项是什么? 21.解含参数不等式的通法是“定义域为前提，函数的单调性为基础，分类讨论是关键”，注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是……”. 22.在求不等式的解集、定义域及值域时，其结果一定要用集合或区间表示;不能用不等式表示. 23.两个不等式相乘时,必须注意同向同正时才能相乘,即同向同正可乘;同时要注意“同号可倒”即a>b>0，a24.解决一些等比数列的前项和问题，你注意到要对公比及两种情况进行讨论了吗? 25.在“已知，求”的问题中,你在利用公式时注意到了吗?(时，应有)需要验证，有些题目通项是分段函数。 26.你知道存在的条件吗?(你理解数列、有穷数列、无穷数列的概念吗?你知道无穷数列的前项和与所有项的和的不同吗?什么样的无穷等比数列的所有项的和必定存在? 27.数列单调性问题能否等同于对应函数的单调性问题?(数列是特殊函数，但其定义域中的值不是连续的。) 28.应用数学归纳法一要注意步骤齐全，二要注意从到过程中，先假设时成立，再结合一些数学方法用来证明时也成立。
高中数学《数列》常见、常考题型总结 题型一 数列通项公式的求法 1．前n 项和法（知n S 求n a ）?? ?-=-11n n n S S S a )2()1(≥=n n 例1、已知数列}{n a 的前n 项和212n n S n -=，求数列|}{|n a 的前n 项和n T 1、若数列}{n a 的前n 项和n n S 2=，求该数列的通项公式。 2、若数列}{n a 的前n 项和32 3-= n n a S ，求该数列的通项公式。 3、设数列}{n a 的前n 项和为n S ，数列}{n S 的前n 项和为n T ，满足22n S T n n -=， 求数列}{n a 的通项公式。 2.形如)(1n f a a n n =-+型（累加法） （1）若f(n)为常数,即：d a a n n =-+1,此时数列为等差数列，则n a =d n a )1(1-+. （2）若f(n)为n 的函数时，用累加法. 例 1. 已知数列｛a n ｝满足)2(3 ,1111≥+==--n a a a n n n ,证明2 13-=n n a
1. 已知数列{}n a 的首项为1，且*12()n n a a n n N +=+∈写出数列{}n a 的通项公式. 2. 已知数列}{n a 满足31=a ，)2() 1(11≥-+ =-n n n a a n n ，求此数列的通项公式. 3.形如 )(1n f a a n n =+型（累乘法） （1）当f(n)为常数，即：q a a n n =+1（其中q 是不为0的常数），此数列为等比且n a =11-?n q a . （2）当f(n)为n 的函数时,用累乘法. 例1、在数列}{n a 中111,1-+= =n n a n n a a )2(≥n ，求数列的通项公式。 1、在数列}{n a 中1111,1-+-= =n n a n n a a )2(≥n ，求n n S a 与。 2、求数列)2(1232,11 1≥+-==-n a n n a a n n 的通项公式。
高中数列题型大全Newly compiled on November 23, 2020
高中数学：《递推数列》经典题型全面解析 类型1 )(1n f a a n n +=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。 例:已知数列{}n a 满足211= a ，n n a a n n ++=+211，求n a 。 类型2 n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为 )(1n f a a n n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。 例:已知数列{}n a 满足321= a ，n n a n n a 11+=+，求n a 。 例:已知31=a ，n n a n n a 2 3131+-=+ )1(≥n ，求n a 。 类型3 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。 例:已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a . 变式:递推式：()n f pa a n n +=+1。解法：只需构造数列{}n b ，消去()n f 带来的差异． 类型4 n n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）。 （1n n n a pa rq +=+,其中p ，q, r 均为常数） 。 例:已知数列{}n a 中，651=a ,11)2 1(31+++=n n n a a ，求n a 。 类型5 递推公式为n n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为常数）。 解法一（待定系数——迭加法）:数列{}n a ： ),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++， b a a a ==21,，求数列{}n a 的通项公式。 解法二（特征根法）：数列{}n a ：),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++， b a a a ==21,的特征方程是：02532=+-x x 。
简单的递推数列 类型一 )(1n f a a n n +=+ 把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用迭加法求解 1.已知数列{}n a 中，* 111,3,1N n a a a n n n ∈+==-+，则n a = 2.在数列{}n a 中，12a =， 11ln(1)n n a a n +=++，则n a = 类型二 n n a n f a ?=+)(1 把原递推公式转化为)(1 n f a a n n =+，利用累乘法求解 1.已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n a 11+=+，则n a = 2.已知31=a ，n n a n n a 2 3131+-=+ )1(≥n ，则n a = 类型三 周期型解法：由递推式计算出前几项，寻找周期 1.已知数列}{n a 满足)(1 33,0*11N n a a a a n n n ∈+-= =+，则2014a =（ ） A ．0 B ．3- C ．3 D ． 2 3 2.已知数列}{n a 满足=??-+==+52012111,11,2a a a a a a a n n n Λ则 类型四. q pa a n n +=+1（其中q p ,均为常数，)0)1((≠-p pq 1．已知数列{}n a 中，11=a ，231+=+n n a a ，则n a = 2.在数列{}n a 中，若111,23(1)n n a a a n +==+≥，则n a = 3.已知数列{}n a 满足* 111,21().n n a a a n N +==+∈则n a =
（长春市普通高中2016届高三质量监测（二）理科数学）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ， 10a >且 659 11 a a =，当n S 取最大值时，n 的值为 A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 （辽宁省沈阳市2015届高三教学质量监测（一）数 学（理）试题）设等差数列{}n a 满足 27a =，43a =，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则使得n S 0>最大的自然数n 是（ ） A ．9 B.10 C.11 D.12 （辽宁省沈阳市2016届高三教学质量监测（一）数 学（理）试题）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，123n n a S +=+，则4S =____________. （新疆乌鲁木齐地区2017年高三年级第一次诊断性测试数学（理）试题）等差数列{}n a 中， 365,S 36,a ==则9S = （ ） A. 17 B. 19 C. 81 D. 100 （新疆乌鲁木齐地区2016年高三年级第一次诊断性测试数学（理）试题）设数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和n S 满足21 =346 n n n S a a +-（），则=n a . (甘肃省定西市通渭县榜罗中学2016届高三上学期期末数学（理）试题)已知数列{a n }是递增等比数列，a 2=2，a 4﹣a 3=4，则此数列的公比q=（ ） A ．﹣1 B ．2 C ．﹣1或2 D ．﹣2或1 （甘肃省张掖市2016届高三第一次诊断考试数学(理科)试题）等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则3132310log log log a a a +++=L A ．5 B ．9 C ．3log 45 D ．10
高三数学必考知识点汇总 一 1.等差数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示. 2.等差数列的通项公式 若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an=a1+n-1d. 3.等差中项 如果A=a+b/2，那么A叫做a与b的等差中项. 4.等差数列的常用性质 1通项公式的推广：an=am+n-mdn，m∈N_. 2若{an}为等差数列，且m+n=p+q， 则am+an=ap+aqm，n，p，q∈N_. 3若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak+m，ak+2m，…k，m∈N_是公差为md的等差数列. 4数列Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，…也是等差数列. 5S2n-1=2n-1an. 6若n为偶数，则S偶-S奇=nd/2; 若n为奇数，则S奇-S偶=a中中间项. 注意： 一个推导 利用倒序相加法推导等差数列的前n项和公式： Sn=a1+a2+a3+…+an，① Sn=an+an-1+…+a1，② ①+②得：Sn=na1+an/2
两个技巧 已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元. 1若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a-2d，a-d，a，a+d，a+2d，…. 2若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a-3d，a-d，a+d，a+3d，…，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元. 四种方法 等差数列的判断方法 1定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an-an-1为同一常数; 2等差中项法：验证2an-1=an+an-2n≥3，n∈N_都成立; 3通项公式法：验证an=pn+q; 4前n项和公式法：验证Sn=An2+Bn. 注：后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列. 二 1.不等式的定义 在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，叫做不等式. 2.比较两个实数的大小 两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的， 有a-b>0?;a-b=0?;a-b<0?. 另外，若b>0，则有>1?;=1?;<1?. 概括为：作差法，作商法，中间量法等. 3.不等式的性质 1对称性：a>b?; 2传递性：a>b，b>c?; 3可加性：a>b?a+cb+c，a>b，c>d?a+cb+d;