习题课：动能定理的应用
[学习目标] 1.进一步理解动能定理，领会应用动能定理解题的优越性.2.会利用动能定理分析变力做功、曲线运动以及多过程问题．
一、利用动能定理求变力的功
例1 如图1所示，质量为m 的小球自由下落d 后，沿竖直面内的固定轨道ABC 运动，AB 是半径为d 的1
4光滑圆弧，BC 是直径为d 的粗糙半圆弧(B 是轨道的最低点)．小球恰能通过
圆弧轨道的最高点C .求：
图1
(1)小球运动到B 处时对轨道的压力大小．
(2)小球在BC 上运动过程中，摩擦力对小球做的功．(重力加速度为g )
解析 (1)小球下落到B 的过程由动能定理得2mgd ＝12m v 2
，在B 点：F N －mg ＝m v 2d ，得：F N
＝5mg ，根据牛顿第三定律：F N ′＝F N ＝5mg . (2)在C 点，mg ＝m v 2C
d 2.小球从B 运动到C 的过程：
12m v 2C －12m v 2＝－mgd ＋W f ，得W f ＝－3
4mgd . 答案 (1)5mg (2)－34mgd
[方法总结]
利用动能定理求变力的功是最常用的方法，这种题目中，物体受到一个变力和几个恒力作用，这时可以先求出几个恒力所做的功，然后用动能定理间接求变力做的功，即W F ＋W 其他＝ΔE k . 针对训练
如图2所示，质量为m 的物体与水平转台间的动摩擦因数为μ，物体与转轴相距R ，物体随转台由静止开始转动．当转速增至某一值时，物体即将在转台上滑动，此时转台开始匀速转
动．(设物体的最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力)．则在这一过程中摩擦力对物体做的功是( )
图2
A ．0
B ．2μmgR
C ．2πμmgR D.μmgR 2
答案 D
解析 物体即将在转台上滑动但还未滑动时，转台对物体的最大静摩擦力恰好提供向心力，设此时物体做圆周运动的线速度为v ，则有μmg ＝m v 2
R ①.在物体由静止到获得速度v 的过程
中，物体受到的重力和支持力不做功，只有摩擦力对物体做功，由动能定理得：W ＝1
2m v 2－0②
联立①②解得W ＝1
2μmgR .
二、利用动能定理分析多过程问题
例2 如图3所示，ABCD 为一位于竖直平面内的轨道，其中BC 水平，A 点比BC 高出10m ，BC 长1m ，AB 和CD 轨道光滑且与BC 平滑连接．一质量为1kg 的物体，从A 点以4m /s 的速度开始运动，经过BC 后滑到高出C 点10.3 m 的D 点速度为零．g 取10 m/s 2，求：
图3
(1)物体与BC 轨道间的动摩擦因数； (2)物体第5次经过B 点时的速度； (3)物体最后停止的位置(距B 点多少米)． 解析 (1)由动能定理得 mg (H －h )－μmgx BC ＝0－1
2m v 21，
解得μ＝0.5.
(2)物体第5次经过B 点时，物体在BC 上滑动了4次，由动能定理得 mgH －μmg ·4x BC ＝12m v 22－12m v 2
1，
解得v 2＝411m/s.
(3)分析整个过程，由动能定理得 mgH －μmgs ＝0－1
2m v 21，
解得s ＝21.6m.
所以物体在轨道上来回运动了10次后，还有1.6m ，故距B 点的距离为2m －1.6m ＝0.4m. 答案 (1)0.5 (2)411m/s (3)距B 点0.4m [技巧点拨]
对于包含多个运动阶段的复杂运动过程，可以选择分段或全程应用动能定理．
(1)分段应用动能定理时，将复杂的过程分割成一个个子过程，对每个子过程的做功情况和初、末动能进行分析，然后针对每个子过程应用动能定理列式，然后联立求解．
(2)全程应用动能定理时，分析整个过程中出现过的各力的做功情况，分析每个力做的功，确定整个过程中合外力做的总功，然后确定整个过程的初、末动能，针对整个过程利用动能定理列式求解．
当题目不涉及中间量时，选择全程应用动能定理更简单，更方便．
注意 当物体运动过程中涉及多个力做功时，各力对应的位移可能不相同，计算各力做功时，应注意各力对应的位移．计算总功时，应计算整个过程中出现过的各力做功的代数和． 三、动能定理和动力学方法的综合应用
例3 为了研究过山车的原理，某兴趣小组提出了下列设想：取一个与水平方向夹角为37°、长为l ＝2m 的粗糙倾斜轨道AB ，通过水平轨道BC 与半径为R ＝0.2m 的竖直圆轨道相连，出口为水平轨道DE ，整个轨道除AB 段以外都是光滑的．其中AB 与BC 轨道以微小圆弧相接，如图4所示．一个质量m ＝1kg 小物块以初速度v 0＝5m /s 从A 点沿倾斜轨道滑下，小物块到达C 点时速度v C ＝4 m/s.取g ＝10m/s 2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8.
图4
(1)求小物块到达C 点时对圆轨道压力的大小； (2)求小物块从A 到B 运动过程中摩擦力所做的功；
(3)为了使小物块不离开轨道，并从轨道DE 滑出，求竖直圆弧轨道的半径应满足什么条件？ 解析 (1)设小物块到达C 点时受到的支持力大小为F N ，
根据牛顿第二定律有，F N －mg ＝m v 2
C
R
解得：F N ＝90N
根据牛顿第三定律得，小物块对圆轨道压力的大小为90N
(2)小物块从A 到C 的过程中，根据动能定理有： mgl sin37°＋W f ＝12m v 2C －12m v 2
A 解得W f ＝－16.5J
(3)设小物块进入圆轨道到达最高点时速度大小为v 1，根据牛顿第二定律有：
F N ＋mg ＝m v 2
1
R
，
为使小物块能通过圆弧轨道的最高点， 则v 1≥gR
小物块从圆轨道最低点到最高点的过程中，根据机械守恒定律有： 12m v 2C ＝12m v 2
1
＋2mgR ，当v 1＝gR 时，联立得R ＝0.32m ， 所以为使小物块能通过圆弧轨道的最高点，R ≤0.32m. 答案 (1)90N (2)－16.5J (3)R ≤0.32m [技巧点拨]
动能定理常与平抛运动、圆周运动相结合，解决这类问题要特别注意：
(1)与平抛运动相结合时，要注意应用运动的合成与分解的方法，如分解位移或分解速度求平抛运动的有关物理量．
(2)与竖直平面内的圆周运动相结合时，应特别注意隐藏的临界条件：
①有支撑效果的竖直平面内的圆周运动，物体能过最高点的临界条件为v min ＝0. ②没有支撑效果的竖直平面内的圆周运动，物体能过最高点的临界条件为v min ＝gR .
1．如图5所示，光滑斜面的顶端固定一弹簧，一小球向右滑行，并冲上固定在地面上的斜面．设小球在斜面最低点A 的速度为v ，压缩弹簧至C 点时弹簧最短，C 点距地面高度为h ，则从A 到C 的过程中弹簧弹力做功是( )
图5
A ．mgh －12m v 2
B.1
2
m v 2－mgh C ．－mgh D ．－(mgh ＋1
2
m v 2)
答案 A
解析 由A 到C 的过程运用动能定理可得： －mgh ＋W ＝0－1
2
m v 2，
所以W ＝mgh －1
2
m v 2，故A 正确．
2.如图6所示，质量为m ＝1kg 的小球从A 点以v 0＝10m /s 的初速度沿水平轨道向右运动，之后进入半径为r ＝0.9 m 的竖直圆轨道，恰能通过圆轨道的最高点P ，求此过程中小球克服摩擦阻力做的功．(g 取10 m/s 2)
图6
答案 27.5J
解析 由题意可知，小球在最高点P 时，有mg ＝m v 2
r ，得v ＝gr ＝10×0.9m /s ＝3 m/s.
A 到P 由动能定理得－mg ×2r ＋W f ＝12m v 2－12m v 20，代入数据，得W f ＝12m v 2－12m v 2
0＋2mgr ＝－27.5J.
故小球克服摩擦阻力做的功W f ′＝27.5J.
3．滑板运动是极限运动的鼻祖，许多极限运动项目均由滑板项目延伸而来．如图7是滑板运动的轨道，BC 和DE 是两段光滑圆弧形轨道，BC 段的圆心为O 点，圆心角为60°，半径OC 与水平轨道CD 垂直，水平轨道CD 段粗糙且长8m ．某运动员从轨道上的A 点以3m /s 的速度水平滑出，在B 点刚好沿轨道的切线方向滑入圆弧轨道BC ，经CD 轨道后冲上DE 轨道，到达E 点时速度减为零，然后返回．已知运动员和滑板的总质量为60 kg ，B 、E 两点到水平轨道CD 的竖直高度为h 和H ，且h ＝2 m ，H ＝2.8 m ，g 取10 m/s 2.求：
图7
(1)运动员从A 点运动到达B 点时的速度大小v B ； (2)轨道CD 段的动摩擦因数μ；
(3)通过计算说明，第一次返回时，运动员能否回到B 点？如能，请求出回到B 点时速度的大小；如不能，则最后停在何处？
答案 (1)6m/s (2)0.125 (3)最后停在D 点左侧6.4m 处，或C 点右侧1.6m 处 解析 (1)由题意可知：v B ＝
v 0
cos60°
解得：v B ＝2v 0＝6m/s.①
(2)由B 点到E 点，由动能定理可得： mgh －μmgx CD －mgH ＝0－1
2m v 2B ②
由①②代入数据可得：μ＝0.125.
(3)设运动员能到达左侧的最大高度为h ′，从B 到第一次返回左侧最高处，根据动能定理mgh －mgh ′－μmg ·2x CD ＝0－12m v 2B
解得h ′＝1.8m 所以第一次返回时，运动员不能回到B 点 设运动员从B 点运动到停止，在CD 段的总路程为s ，由动能定理可得： mgh －μmgs ＝0－1 2m v 2B ④ 解得：s ＝30.4m 因为s ＝3x CD ＋6.4m ，所以运动员最后停在D 点左侧6.4m 处，或C 点右侧1.6m 处． 一、选择题(1～4为单项选择题，5～7为多项选择题) 1.如图1所示，AB 为1 4圆弧轨道，BC 为水平直轨道，圆弧的半径为R ，BC 的长度也是R ，一 质量为m 的物体，与两个轨道间的动摩擦因数都为μ，当它由轨道顶端A 从静止开始下落，恰好运动到C 处停止，那么物体在AB 段克服摩擦力所做的功为( ) 图1 A.1 2μmgR B.1 2 mgR C ．－mgR D ．(1－μ)mgR 答案 D 解析 物体从A 运动到B 所受的弹力要发生变化，摩擦力大小也要随之变化，所以克服摩擦力所做的功，不能直接由做功的公式求得．而在BC 段克服摩擦力所做的功，可直接求得．对从A 到C 全过程运用动能定理即可求出物体在AB 段克服摩擦力所做的功． 设物体在AB 段克服摩擦力所做的功为W AB ，物体从A 到C 的全过程，根据动能定理， 有mgR －W AB －μmgR ＝0. 所以有W AB ＝mgR －μmgR ＝(1－μ)mgR . 2．在离地面高为h 处竖直上抛一质量为m 的物块，抛出时的速度为v 0，当它落到地面时速度为v ，用g 表示重力加速度，则在此过程中物块克服空气阻力所做的功等于( ) A ．mgh －12m v 2－1 2m v 20 B.12m v 2－1 2m v 20－mgh C ．mgh ＋12m v 20－12m v 2 D ．mgh ＋12m v 2－12m v 20 答案 C 解析 选取物体从刚抛出到正好落地时的过程，由动能定理可得： mgh －W f 克＝12m v 2－12m v 2 解得：W f 克＝mgh ＋12m v 20－12 m v 2 . 3.质量为m 的物体以初速度v 0沿水平面向左开始运动，起始点A 与一轻弹簧O 端相距s ，如图2所示．已知物体与水平面间的动摩擦因数为μ，物体与弹簧相碰后，弹簧的最大压缩量为x ，则从开始碰撞到弹簧被压缩至最短，物体克服弹簧弹力所做的功为( ) 图2 A.12m v 20－μmg (s ＋x ) B.12m v 20－μmgx C ．μmgs D ．μmgx 答案 A 解析 设物体克服弹簧弹力所做的功为W ，则物体向左压缩弹簧过程中，弹簧弹力对物体做功为－W ，摩擦力对物体做功为－μmg (s ＋x )，根据动能定理有－W －μmg (s ＋x )＝0－1 2m v 20， 所以W ＝1 2m v 20 －μmg (s ＋x )． 4.一质量为m 的小球，用长为l 的轻绳悬挂于O 点，小球在水平拉力F 作用下，从平衡位置P 点很缓慢地移动到Q 点，如图3所示，则拉力F 所做的功为( ) 图3 A ．mgl cos θ B ．mgl (1－cos θ) C ．Fl cos θ D ．Fl sin θ 答案 B 解析 小球缓慢移动，时时都处于平衡状态，由平衡条件可知，F ＝mg tan θ，随着θ的增大，F 也在增大，是一个变化的力，不能直接用功的公式求它所做的功，所以这道题要考虑用动能定理求解．由于物体缓慢移动，动能保持不变，由动能定理得：－mgl (1－cos θ)＋W ＝0，所以W ＝mgl (1－cos θ)． 5.在平直公路上，汽车由静止开始做匀加速直线运动，当速度达到v max 后，立即关闭发动机直至静止，v －t 图象如图4所示，设汽车的牵引力为F ，受到的摩擦力为F f ，全程中牵引力做功为W 1，克服摩擦力做功为W 2，则( ) 图4 A ．F ∶F f ＝1∶3 B ．W 1∶W 2＝1∶1 C ．F ∶F f ＝4∶1 D ．W 1∶W 2＝1∶3 答案 BC 解析 对汽车运动的全过程，由动能定理得：W 1－W 2＝ΔE k ＝0，所以W 1＝W 2，选项B 正确，选项D 错误；由图象知x 1∶x 2＝1∶4.由动能定理得Fx 1－F f x 2＝0，所以 F ∶F f ＝4∶1，选项A 错误，选项C 正确． 6．质量为m 的汽车在平直公路上行驶，发动机的功率P 和汽车受到的阻力F f 均恒定不变，在时间t 内，汽车的速度由v 0增大到最大速度v m ，汽车前进的距离为s ，则此段时间内发动机所做的功W 可表示为( ) A ．W ＝Pt B ．W ＝F f s C ．W ＝12m v 2m －12m v 2 0＋F f s D ．W ＝12m v 2m ＋F f s 答案 AC 解析 由题意知，发动机功率不变，故t 时间内发动机做功W ＝Pt ，所以A 正确；车做加速 运动，故牵引力大于阻力F f ，故B 错误；根据动能定理W －F f s ＝12m v 2m －12m v 2 0，所以C 正确，D 错误． 7.如图5所示，半径为R 的1 4光滑圆弧槽固定在小车上，有一小球静止在圆弧槽的最低点．小 车和小球一起以速度v 向右匀速运动．当小车遇到障碍物突然停止后，小球上升的高度可能是( ) 图5 A ．等于v 2 2g B ．大于v 2 2g C ．小于v 2 2g D ．与小车的速度v 有关 答案 ACD 解析 小球冲上圆弧槽，则有两种可能，一是速度较小，滑到某处小球速度为0.根据动能定理有12m v 2 ＝mgh ，解得h ＝v 22g ；另一可能是速度较大，小球滑出弧面做斜抛运动，到最高点 还有水平速度，则此时小球所能达到的最大高度要小于v 2 2g ，故A 、C 、D 正确，B 错误． 二、非选择题 8.如图6所示，一个质量为m ＝0.6kg 的小球以初速度v 0＝2m /s 从P 点水平抛出，从粗糙圆弧 ABC 的A 点沿切线方向进入(不计空气阻力，进入圆弧时无动能损失)且恰好沿圆弧通过最高 点C ，已知圆弧的圆心为O ，半径R ＝0.3 m ，θ＝60°，g ＝10 m/s 2.求： 图6 (1)小球到达A 点的速度v A 的大小； (2)P 点到A 点的竖直高度H ； (3)小球从圆弧A 点运动到最高点C 的过程中克服摩擦力所做的功W . 答案 (1)4m/s (2)0.6m (3)1.2J 解析 (1)在A 点由速度的合成得v A ＝v 0cos θ 解得v A ＝4m/s (2)P 点到A 点小球做平抛运动，竖直分速度v y ＝v 0tan θ 由运动学规律有v 2y ＝2gH 由以上两式解得H ＝0.6m (3)恰好过C 点满足mg ＝m v 2 C R 由A 点到C 点由动能定理得 －mgR (1＋cos θ)－W ＝12m v 2C －12m v 2 A 代入数据解得W ＝1.2J. 9.如图7所示，绷紧的传送带在电动机带动下，始终保持v 0＝2m/s 的速度匀速运行，传送带与水平地面的夹角θ＝30°，现把一质量m ＝10kg 的工件轻轻地放在传送带底端，由传送带传送至h ＝2m 的高处．已知工件与传送带间的动摩擦因数μ＝ 3 2 ，g 取10m/s 2. 图7 (1)通过计算分析工件在传送带上做怎样的运动？ (2)工件从传送带底端运动至h ＝2m 高处的过程中摩擦力对工件做了多少功？ 答案 (1)工件以2.5m /s 2的加速度先做匀加速直线运动，运动0.8 m 与传送带达到共同速度2 m/s 后做匀速直线运动 (2)220J 解析 (1)工件刚放上传送带时受滑动摩擦力： F f ＝μmg cos θ， 工件开始做匀加速直线运动，由牛顿运动定律： F f －mg sin θ＝ma 可得： a ＝F f m －g sin θ ＝g (μcos θ－sin θ) ＝10×?? ? ?32cos30°－sin30°m/s 2 ＝2.5m/s 2. 设工件经过位移x 与传送带达到共同速度，由匀变速直线运动规律可得：x ＝v 20 2a ＝222×2.5m ＝ 0.8m ＜ h sin θ ＝4m 故工件先以2.5m /s 2的加速度做匀加速直线运动，运动0.8 m 与传送带达到共同速度2 m/s 后做匀速直线运动． (2)在工件从传送带底端运动至h ＝2m 高处的过程中，设摩擦力对工件做功W f ，由动能定理 得W f －mgh ＝1 2m v 20 ， 可得：W f ＝mgh ＋12m v 20＝10×10×2J ＋12 ×10×22 J ＝220J. 10．如图8所示，光滑斜面AB 的倾角θ＝53°，BC 为水平面，BC 长度l BC ＝1.1m ，CD 为光滑的1 4圆弧，半径R ＝0.6m ．一个质量m ＝2kg 的物体，从斜面上A 点由静止开始下滑，物体 与水平面BC 间动摩擦因数μ＝0.2轨道在B 、C 两点光滑连接．当物体到达D 点时，继续竖直向 上运动，最高点距离D 点的高度h ＝0.2m ．sin53°＝0.8，cos53°＝0.6.g 取10m/s 2.求： (1)物体运动到C 点时速度大小v C ； (2)A 点距离水平面的高度H ； (3)物体最终停止的位置到C 点的距离s . 图8 答案 (1)4m/s (2)1.02m (3)0.4m 解析 (1)物体由C 点到最高点，根据动能定理得： －mg (h ＋R )＝0－12m v 2C 代入数据解得：v C ＝4m/s (2)物体由A 点到C 点，根据动能定理得： 12m v 2 C －0＝mgH －μmgl BC 代入数据解得：H ＝1.02m (3)从物体开始下滑到停下，根据动能定理得： mgH －μmgs ＝0 代入数据，解得：s ＝5.1m 由于s ＝4l BC ＋0.7m 所以，物体最终停止的位置到C 点的距离为：Δx ＝0.4m. 最新高考物理动能定理的综合应用常见题型及答题技巧及练习题(含答案) 一、高中物理精讲专题测试动能定理的综合应用 1．如图所示，半径为R ＝1 m ，内径很小的粗糙半圆管竖直放置，一直径略小于半圆管内径、质量为m ＝1 kg 的小球，在水平恒力F ＝250 17 N 的作用下由静止沿光滑水平面从A 点运动到B 点，A 、B 间的距离x ＝ 17 5 m ，当小球运动到B 点时撤去外力F ，小球经半圆管道运动到最高点C ，此时球对外轨的压力F N ＝2.6mg ，然后垂直打在倾角为θ＝45°的斜面上(g ＝10 m/s 2)．求： (1)小球在B 点时的速度的大小； (2)小球在C 点时的速度的大小； (3)小球由B 到C 的过程中克服摩擦力做的功； (4)D 点距地面的高度． 【答案】(1)10 m/s (2)6 m/s (3)12 J (4)0.2 m 【解析】 【分析】 对AB 段，运用动能定理求小球在B 点的速度的大小；小球在C 点时，由重力和轨道对球的压力的合力提供向心力，由牛顿第二定律求小球在C 点的速度的大小；小球由B 到C 的过程，运用动能定理求克服摩擦力做的功；小球离开C 点后做平抛运动，由平抛运动的规律和几何知识结合求D 点距地面的高度． 【详解】 (1)小球从A 到B 过程，由动能定理得：212 B Fx mv = 解得：v B ＝10 m/s (2)在C 点，由牛顿第二定律得mg ＋F N ＝2 c v m R 又据题有：F N ＝2.6mg 解得：v C ＝6 m/s. (3)由B 到C 的过程，由动能定理得：－mg ·2R －W f ＝22 1122 c B mv mv - 解得克服摩擦力做的功：W f ＝12 J (4)设小球从C 点到打在斜面上经历的时间为t ，D 点距地面的高度为h ， 则在竖直方向上有：2R －h ＝ 12 gt 2 动能定理及应用 动能定理 1、内容： ________________________________________________________________________________ 2、动能定理表达式：_____________________________________________________________________ 3、理解：①F合在一个过程中对物体做的功，等于物体在这个过程中动能的变化。 F合做正功时，物体动能增加；F合做负功时，物体动能减少。 ②动能定理揭示了合外力的功与动能变化的关系。 4、适用范围：适用于恒力、变力做功；适用于直线运动，也适用于曲线运动。 5、应用动能定理解题步骤： A、明确研究对象及研究过程 B进行受力分析和做功情况分析 C确定初末状态动能 D列方程、求解。 1、一辆5吨的载重汽车开上一段坡路，坡路上S=100m坡顶和坡底的高度差h=10m汽车山坡前的速度是10m/s， 上到坡顶时速度减为 5.0m/s。汽车受到的摩擦阻力时车重的0.05倍。求汽车的牵引力。 2、一小球从高出地面H米处，由静止自由下落，不计空气阻力，球落至地面后又深入沙坑h米后停止，求沙坑对 球的平均阻力是其重力的多少 倍。 3、质量为5 x 105kg的机车，以恒定的功率沿平直轨道行驶，在大 速度15m/s ?若阻力保持不变，求机车的功率和所受阻力的数值. 3min内行驶了1450m,其速度从10m/s增加到最 4、质量为M、厚度为d的方木块，静置在光滑的水平面上，如图所示，一子弹以初速度V。水平射穿木块，子弹 的 质量为m,木块对子弹的阻力为f且始终不变，在子弹射穿木块的过程中，木块发生的位移为L。求子弹射穿木块后，子弹和木块的速度各为多少? 5、如图所示，质量m=1kg的木块静止在高h=1.2m的平台上，木块与平台间的动摩擦因数使木块产生位移S=3m时撤去，木块又滑行9=1m时飞出平台，求木块落地时速度的大小？"=0.2,用水平推力F=20N, 2 （空气阻力不计， g=10m/s ） 图6-3-1 正玄定理 一、教学内容解析 本节课《正弦定理》第一课时，出自新人教A版必修5第一章第一节《正弦定理和余 弦定理》。课程安排在“三角、向量”知识之后，是三角函数知识在三角形中的具体运用， 更是初中“三角形边角关系”和“解直角三角形”内容的直接延续和拓展，同时也是处理可 转化为三角形计算的其他数学问题及生产生活实际问题的重要工具。 本节课的内容共分为三个层次：第一，从实际问题导入，在解直角三角形的边角关系的 基础上，触碰解斜三角形的思维困惑点，自然生成疑问，激发学生探究欲望，从熟悉的解直 角三角形顺利过渡到即将要面对的解任意三角形，实现知识的螺旋式上升，符合学生的认知思维；第二，带着疑问，在探究得到直角三角形边角量化关系的基础上，以此作为启发点， 首先对特殊的斜三角形边角量化关实验验证。其次是严密的数学推导证明，得到正弦定理， 以解直角三角形为知识基础，验证和证明，教学过程中充分体现了转化化归的数学思想；第三，解决引例，首尾呼应，并学以致用。 正弦定理其实是把“大边对大角、小边对小角”这一几何关系的解析化。从三角学的历 史发展来看，三角函数其实就是有关三角形、圆的性质的解析表达。这样在悄无声息中，渗 透了学科发展中研究观点和研究方法的嬗变。这其实是一个推陈出新的过程。 通过这三个层次：探索发现——推导证明——实际应用。从实际中来，到实际中去。 课堂上，引导学生充分体验、直观感知、大胆猜想、实验探究、理论验证以及实际应用。 二、教学目标设置 《数学课程标准》中关于本节课的课程目标要求是：“在本章中，学生将在已有知 识的基础上，通过对任意三角形边角关系的探究，发现并掌握三角形中的边长和角度之间的 数量关系，并认识运用它们可以解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。” 根据课程目标，依据教材内容和学生情况，确定本节课的学习目标为： 1、如图所示，质量m=0.5kg的小球从距地面高H=5m处自由下落，到达地面恰能沿凹陷于地面的半圆形槽壁运动，半圆槽半径R=0.4m.小球到达槽最低点时的速率为10m／s，并继续滑槽壁运动直至槽左端边缘飞出，竖直上升，落下后恰好又沿槽壁运动直至从槽右端边缘飞出，竖直上升、落下，如此反复几次.设摩擦力大小恒定不变:(1)求小球第一次离槽上升的高度h.(2)小球最多能飞出槽外几次 (g取10m／s2) 2、如图所示，斜面倾角为θ，滑块质量为m，滑块与斜 面的动摩擦因数为μ，从距挡板为s0的位置以v0的速度 沿斜面向上滑行.设重力沿斜面的分力大于滑动摩擦 力，且每次与P碰撞前后的速度大小保持不变，斜面足 够长.求滑块从开始运动到最后停止滑行的总路程s. 3、有一个竖直放置的圆形轨道，半径为R，由左右两部分组成。如图所示，右半部分AEB是光滑的，左半部分BFA 是粗糙的．现在最低点A给一个质量为m的小球一个水平向右的初速度，使小球沿轨道恰好运动到最高点B，小球在B 点又能沿BFA轨道回到点A，到达A点时对轨道的压力为4mg 1、求小球在A点的速度v0 2、求小球由BFA回到A点克服阻力做的功 * 4、如图所示，质量为m的小球用长为L的轻质细线悬于O点，与O 点处于同一水平线上的P点处有一根光滑的细钉，已知OP = L/2，在A点给小球一个水平向左的初速度v ，发现小球恰能到达跟P点在同一竖直线上的最高点B．则：（1）小球到达B点时的速率（2）若不计空气阻力，则初速度v0为多少 （3）若初速度v0=3gL，则在小球从A到B的过程中克服空气阻力做了多少功v0 E F… R 5、如图所示，倾角θ=37°的斜面底端B 平滑连接着半径r =0.40m 的竖直光滑圆轨道。质量m =0.50kg 的小物块，从距地面h =2.7m 处沿斜面由静止开始下滑，小物块与斜面间的动摩擦因数μ=，求：（sin37°=，cos37°=，g =10m/s 2 ） （1）物块滑到斜面底端B 时的速度大小。 （2）物块运动到圆轨道的最高点A 时，对圆轨道的压力大小。 { 6、质量为m 的小球被系在轻绳一端，在竖直平面内做半径为R 的圆周运动，运动过程中小球受到空气阻力的作用.设某一时刻小球通过轨道的最低点，此时绳子的张力为7mg,此后小球继续做圆周运动，经过半个圆周恰能通过最高点，则在此过程中小球克服空气阻力所做的功为（ ） ， 7\如图所示，AB 与CD 为两个对称斜面，其上部都足够长，下部 分分别与一个光滑的圆弧面的两端相切，圆弧圆心角为1200 ，半径R=2.0m,一个物体在离弧底E 高度为h=3.0m 处，以初速度V 0=4m/s 沿斜面运动，若物体与两斜面的动摩擦因数均为μ=,则物体在两斜面上（不包括圆弧部分）一共能走多少路程 （g=10m/s 2 ）. / 8、如图所示，在光滑四分之一圆弧轨道的顶端a 点，质量为m 的物块(可视为质点)由静止开始下滑，经圆弧最低点b 滑上粗糙水平面，圆弧轨道在b 点与水平轨道平滑相接，物块最终滑至c 点停止．若圆弧轨道半径为R ，物块与水平面间的动摩擦因数为μ， 则：1、物块滑到b 点时的速度为 2、物块滑到b 点时对b 点的压力是 3、c 点与b 点的距离为 θ A B O h A B C D O > E h 学习目标 1. 能够推导并理解动能定理知道动能定理的适用围 2. 理解和应用动能定理，掌握外力对物体所做的总功的计算，理解“代数和”的含义。 3. 确立运用动能定理分析解决具体问题的步骤与方法 类型一 .常规题型 例1. 用拉力F 使一个质量为m 的木箱由静止开始在水平冰道上移动了s ，拉力 F 跟 木 箱 前进的方向的夹角为，木箱与冰道间的动摩擦因数为，求木箱获得的速度αμ 例2. 质量为m 的物体静止在粗糙的水平地面上，若物体受水平力F 的作用从静止起通过位移s 时的动能为E1，当物体受水平力2F 作用，从静止开始通过相同位移s ，它的动能为E2，则： A. E2＝E1 B. E2＝2E1 C. E2＞2E1 D. E1＜E2＜2E1 针对训练 材料相同的两个物体的质量分别为m1和m2，且m m 124=，当它们以相同的初动能在水平面上滑行，它们的滑行距离之比s s 12：和滑行时间之比 t t 12：分别是多少？（两物体与水平面的动摩擦因数相同） 类型二、应用动能定理简解多过程问题 例3：质量为m的物体放在动摩擦因数为μ的水平面上，在物体上施加水平力F 使物体由静止开始运动，经过位移S后撤去外力，物体还能运动多远？ 例4、一个物体从斜面上高h处由静止滑下并紧接着在水平面上滑行一段距离后停止，测得停止处对开始运动处的水平距离为S，如图2-7-6，不考虑物体滑至斜面底端的碰撞作用，并设斜面与水平面对物体的动摩擦因数相同．求动摩擦因数μ． 2-7-6 针对训练2 将质量m=2kg的一块石头从离地面H=2m高处由静止开始释放，落入泥潭并陷入泥中h=5cm深处，不计空气阻力，求泥对石头的平均阻力。（g 取10m/s2） 2016年全国高中青年数学教师优秀课教学设计 2016年10月 正弦定理 第一课时 一、教学内容解析 本节课《正弦定理》第一课时，出自新人教A版必修5第一章第一节《正弦定理和余弦定理》。课程安排在“三角、向量”知识之后，是三角函数知识在三角形中的具体运用，更是初中“三角形边角关系”和“解直角三角形”内容的直接延续和拓展，同时也是处理可转化为三角形计算的其他数学问题及生产生活实际问题的重要工具。 本节课的内容共分为三个层次：第一，从实际问题导入，在解直角三角形的边角关系的基础上，触碰解斜三角形的思维困惑点，自然生成疑问，激发学生探究欲望，从熟悉的解直角三角形顺利过渡到即将要面对的解任意三角形，实现知识的螺旋式上升，符合学生的认知思维；第二，带着疑问，在探究得到直角三角形边角量化关系的基础上，以此作为启发点，首先对特殊的斜三角形边角量化关实验验证。其次是严密的数学推导证明，得到正弦定理，以解直角三角形为知识基础，验证和证明，教学过程中充分体现了转化化归的数学思想；第三，解决引例，首尾呼应，并学以致用。 正弦定理其实是把“大边对大角、小边对小角”这一几何关系的解析化。从三角学的历史发展来看，三角函数其实就是有关三角形、圆的性质的解析表达。这样在悄无声息中，渗透了学科发展中研究观点和研究方法的嬗变。这其实是一个推陈出新的过程。 通过这三个层次：探索发现——推导证明——实际应用。从实际中来，到实际中去。课堂上，引导学生充分体验、直观感知、大胆猜想、实验探究、理论验证以及实际应用。 二、教学目标设置 《数学课程标准》中关于本节课的课程目标要求是：“在本章中，学生将在已有知识的基础上，通过对任意三角形边角关系的探究，发现并掌握三角形中的边长和角度之间的数量关系，并认识运用它们可以解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。” 根据课程目标，依据教材内容和学生情况，确定本节课的学习目标为： 1、通过观察、实验、验证、猜想、证明，从特殊到一般得到正弦定理； 动能定理典型基础例题 应用动能定理解题的基本思路如下： ①确定研究对象及要研究的过程 ②分析物体的受力情况，明确各个力是做正功还是做负功，进而明确合外力的功 ③明确物体在始末状态的动能 ④根据动能定理列方程求解。 例1．质量M=×103 kg 的客机，从静止开始沿平直的跑道滑行，当滑行距离S=×lO 2 m 时，达到起飞速度ν=60m／s 。求： (1)起飞时飞机的动能多大 (2)若不计滑行过程中所受的阻力，则飞机受到的牵引力为多大 (3)若滑行过程中受到的平均阻力大小为F=×103 N ，牵引力与第(2)问中求得的值相等，则要达到上述起飞速度，飞机的滑行距离应多大 ~ 例2．一人坐在雪橇上，从静止开始沿着高度为 15m 的斜坡滑下，到达底部时速度为10m/s 。人和雪橇的总质量为60kg ，下滑过程中克服阻力做的功。 例3．在离地面高为h 处竖直上抛一质量为m 的物块，抛出时的速度为v 0，当它落到地面时速度为v ，用g 表示重力加速度，则在此过程中物块克服空气阻力所做的功等于：( ) 例4．质量为m 的小球被系在轻绳一端，在竖直平面内做半径为R 的圆周运动，运动过程中小球受到空气阻力的作用。设某一时刻小球通过轨道的最低点，此时绳子的张力为7mg ，此后小球继续做圆周运动，经过半个圆周恰能通过最高点，则在此过程中小球克服空气阻力所做的功为：（ ） A ． 4mgR B ．3mgR C ．2 mgR D ．mgR 例5．如图所示，质量为m 的木块从高为h 、倾角为α的斜面顶端由静止滑下。到达斜面底端时与固定不动的、与斜面垂直的挡板相撞，撞后木块以与撞前相同大小的速度反向弹回，木块运动到 高 2 h 处速度变为零。求： （1）木块与斜面间的动摩擦因数 （2）木块第二次与挡板相撞时的速度 （3）木块从开始运动到最后静止，在斜面上运动的总路程 ， 例6．质量m=的物块（可视为质点）在水平恒力F 作用下，从水平面上A 点由静止开始运动，运动一段距离撤去该力，物块继续滑行t=停在B 点，已知A 、B 两点间的距离s=，物块与水平面间的动摩擦因数μ=，求恒力F 多大。（g=10m/s 2 ） 1、在光滑水平地面上有一质量为20kg 的小车处于静止状态。用30牛水平方向的力推小车，经过多大距离小车才能达到3m/s 的速度。 2、汽车以15m/s 的速度在水平公路上行驶，刹车后经过20m 速度减小到5m/s ，已知汽车质量是，求刹车动力。（设汽车受到的其他阻力不计） 3、一个质量是的小球在离地5m 高处从静止开始下落，如果小球下落过程中所受的空气阻力是，求它落地时的速度。 4、一辆汽车沿着平直的道路行驶，遇有紧急情况而刹车，刹车后轮子只滑动不滚动，从刹车开始 到汽车停下来，汽车前进12m 。已知轮胎与路面之间的滑动摩擦系数为，求刹车前汽车的行驶速度。 5、一辆5吨的载重汽车开上一段坡路，坡路上S=100m ，坡顶和坡底的高度差h=10m ，汽车山坡前的速度是10m/s ，上到坡顶时速度减为s 。汽车受到的摩擦阻力时车重的倍。求汽车的牵引力。 6、质量为2kg 的物体，静止在倾角为30o 的斜面的底端，物体与斜面间的摩擦系数为，斜面长1m ，用30N 平行于斜面的力把物体推上斜面的顶端，求物体到达斜面顶端时的动能。 7、质量为的铅球从离沙坑面高处自由落下，落入沙坑后在沙中运动了后停止，求沙坑对铅球的平均阻力。 ^ h m 正 弦 定理教 学 设 计 《正弦定理》教学设计 一、教学内容分析 本节课《正弦定理》第一课时，出自新人教 A 版必修 5 第一章第一节《正弦定理和余弦定理》。课程安排在“三角、向量”知识之后，是三角函数知识在三角形中的具体运用， 更是初中“三角形边角关系”和“解直角三角形”内容的直接延续和拓展，同时更是处理可 转化为三角形计算的其他数学问题及生产生活实际问题的重要工具。 本节课的内容共分为三个层次：第一，从实际问题导入，在解直角三角形的边角关系的 基础上，触碰解斜三角形的思维困惑点，形成疑问，激发学生探究欲望，提出斜三角形的边 角关系的猜想；第二，带着疑问，对猜想进行验证，首先对特殊的斜三角形边角关系进行验 证和实验探究验证，其次是严密的数学推导证明；第三，得到正弦定理，解决引例，首尾呼 应，并学以致用，简单应用。 正弦定理其实是把“大边对大角、小边对小角”这一几何关系的解析化，从三角学的历史发展来看，三角函数其实就是有关三角形、圆的性质的解析表达。这样在悄无声息中，渗 透了学科发展中研究观点和研究方法的嬗变。这其实是一个推陈出新的过程。 通过这三个层次，探索——发现——证明，从实际中来，到实际中去。通过课堂，体会直观感知、大胆猜想、实验探究、理论验证、实际应用的学习过程。 二、教学目标设置 1、从已有三角形知识出发，通过观察、实验、猜想、验证、证明，从特殊到一般得到 正弦定理，掌握正弦定理，了解正弦定理的一些推导方法，并学会应用正弦定理解决斜三角 形的两类基本问题； 2、通过对实际问题的探索，培养学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能 力，增强学生的协作能力和交流能力，发展学生的创新意识，培养学生的缜密思维； 二项式定理公开课教案 1、重点：二项式定理的发现、理解和初步应用。 2、难点：二项式定理的发现。 三、教学过程 1、情景设置 问题1：若今天是星期一，再过30天后是星期几？怎么算？ 预期回答：星期三，将问题转化为求“30被7除后算余数”是多少。 问题2：若今天是星期一，再过)(8* ∈N n n 天后是星期几？怎么算？ 预期回答：将问题转化为求“n n )17(8+=被7除后算余数”是多少，也就是研究)()(*∈+N n b a n 的展开式是什么？这就是本节课要学的内容，学完本课后，此题就不难求解了。2、新授 第一步：让学生展开 b a b a +=+1)( 2222)(b ab a b a ++=+； 32232333)()()(b ab b a a b a b a b a +++=++=+； 43223434464)()()(b ab b a b a a b a b a b a ++++=++=+ 5432234555510105)()()(b ab b a b a b a a b a b a b a +++++=++=+ 教师将以上各展开式的系数整理成如下模型 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 问题1：请你找出以上数据上下行之间的规律。 预期回答：下一行中间的各个数分别等于上一行对应位置的相邻两数之和。 问题2：以5 )(b a +的展开式为例，说出各项字母排列的规律；项数与乘方指数的关系；展开式第二项的系数与乘方指数的关系。 预期回答：①展开式每一项的次数按某一字母降幂排列、另一字母升幂排列，且两个字母的和等于乘方指数；②展开式的项数比乘方指数多1项；③展开式中第二项的系数等于乘方指数。 初步归纳出下式： ()()()()()n n n n n n b b a b a b a a b a +++++=+--- 33221)( （※） （设计意图：以上呈现给学生的由系数排成的“三角形”，起到了“先行组织者”的作用，虽然，教师将此“三角形”模型以定论的形式呈现给学生，但是，它毕竟不是最后的结果，而是一种寻找系数规律的有效工具，便于学生将新的学习材料同自己原有的认知结构联系起来，并纳入到原有认知结构中而出现意义。这样的学习是有意义的而不是机械的，是主动建构的而不是被动死记的心理过程。）练习：展开7 )(b a + 教师作阶段性评价，告诉学生以上的系数表是我国宋代数学家杨辉的杰作，称为杨辉三角形，这项发明比欧洲人帕斯卡三角早400多年。你们今天做了与杨辉同样的探索，以鼓励学生探究的热情，并激发作为一名文明古国的后代的民族自豪感和爱国热情。第二步：继续设疑 如何展开100) (b a +以及)()(*∈+N n b a n 呢？ （设计意图：让学生感到仅掌握杨辉三角形是不够的，激发学生继续学习新的更简捷 的方法的欲望。） 继续新授 师：为了寻找规律，我们将))()()(()(4b a b a b a b a b a ++++=+中第一个括号中的字母分别记成11,b a ；第二个括号中的字母分别记成22,b a ；依次类推。请再次用多项式乘法运算法则计算：))()()(()(443322114b a b a b a b a b a ++++=+ 动能定理典型例题 ————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期: ? 动能定理典型例题 【例题】 1、一架喷气式飞机，质量m=５.0×103ｋg，起飞过程中从静止开始滑跑的路程为s=５.3×102m，达到起飞速度v＝60ｍ/s，在此过程中飞机受到的平均阻力是飞机重量的0．02倍(k＝０.０2）。求飞机受到的牵引力。 2、在动摩擦因数为μ的粗糙水平面上,有一个物体的质量为ｍ,初速度为V1,在与 运动方向相同的恒力Ｆ的作用下发生一段位移Ｓ，如图所示,试求物体的末速度Ｖ2。 拓展：若施加的力F变成斜向右下方且与水平方向成θ角,求物体的末速度V2 V滑上动摩擦因数为μ的粗糙水平面上，最后3、一个质量为m的物体以初速度 静止在水平面上,求物体在水平面上滑动的位移。 4、一质量为ｍ的物体从距地面高h的光滑斜面上滑下，试求物体滑到斜面底端 的速度。 拓展1:若斜面变为光滑曲面，其它条件不变,则物体滑到斜面底端的速度是多少？ 拓展2：若曲面是粗糙的，物体到达底端时的速度恰好为零，求这一过程中摩擦力做的功。 类型题 题型一:应用动能定理求解变力做功 1、一质量为m的小球,用长为Ｌ的轻绳悬挂于O点，小球在水平力F作用下，从平衡位置缓慢地移Q点如图所示，则此过程中力F所做的功为（) A．mｇＬcoｓ0 B.FLsinθ C.FLθ?D．(1cos). - mgLθ ２、如图所示，质量为m的物体静放在光滑的平台上,系在物体上的绳子跨过光 V向右匀速运动的人拉着，设人从地面上由平台的滑的定滑轮由地面上以速度 边缘向右行至绳与水平方向成30角处，在此过程中人所做的功为多少? ３、一个质量为m的小球拴在钢绳的一端,另一端用大小为Ｆ1的拉力作用,在水平面上做半径为R1的匀速圆周运动（如图所示)，今将力的大小改为Ｆ２，使小球仍在水平面上做匀速圆周运动，但半径变为R2,小球运动的半径由R1变为R2过程中拉力对小球做的功多大？ 4、如图所示，AＢ为１/４圆弧轨道，半径为R=0．８m,ＢＣ是水平轨道，长S ＝３ｍ，BＣ处的摩擦系数为μ=1/1５，今有质量m=1kg的物体，自A点从静止起下滑到C点刚好停止。求物体在轨道AB段所受的阻力对物体做的功。 《正弦定理》第一课时 尊敬的各位专家、评委、老师们： 大家好！ 我是第号参赛选手，我今天说课的课题是：正弦定理 （选自人教A版新课程标准实验教材必修5第一章第一节第一课时） 这里我将从教学背景分析、教法学法分析两大块先谈谈我对本节课的教学认识，再以“教什么，怎么教，为什么这样教”的思路，来说明我的教学过程和设计，最后是教学评价。 首先是教学背景分析我分三小点来说明： 一、教学背景分析 1、教材分析 随着解三角形在实际测量和物理中的广泛使用，正弦定理作为解三角形最有力的工具之一，有着很高的学习价值，从知识上讲它又是函数知识和平面三角形知识的的交汇，是任意三角形边角关系准确量化的表示，通过本节课对定理的探索，无论在知识上，还是思想方法上对后续的学习都有重要的意义，因此我认为，本节课的重点是定理的发现和证明，及定理的简单运用。 2、学情分析 正弦定理是在学生已经学习三角形知识，解直角三角形、向量知识，三角函数等知识后对任意三角形边角关系的探索，学生有了一定的知识基础，但学生对知识的构建、论证能力还不强，探究过程中在思维上难免会受限，另外学生的合作交流意识、知识的运用能力还有待加强。因此我认为本节课的难点是定理的发现、证明及已知两边和一边对角时的解三角形。 根据上述教材、学情的分析，我制定如下教学目标： 3、教学目标 （1）知识和技能 引导学生发现正弦定理的内容，探索证明正弦定理的方法； 简单运用正弦定理解三角形。 (2)过程和方法 通过对定理的探究，培养学生发现数学规律的思维方法和能力； 通过对定理的证明和运用，培养学生独立解决问题的能力、体会分类讨论和数形结合的思想方法. （3）情感态度价值观 通过对三角形边角关系的探究学习，经历数学探究活动的过程，体会由特殊到一般再由一般到特殊的认识事物的规律，培养探索精神和创新意识，体会数学的使用价值。 为了使学生能够达到本节课设定的教学目标，我再从教法和学法上进行分析。（首先是教法分析） 二、教法学法分析 1、教法分析 根据教材的内容和编排的特点，本讲我将以“教师为主导，以学生为主体”，'采用“师生互动"为基础的“启发——探究式课堂教学模式”，用层层深入的话题将学生引入对定理的发现证明运用过程中，使教师始终站在学生思维和兴趣的最近发展区上，有效的组织教学。 【物理】物理动能定理的综合应用题20套(带答案) 一、高中物理精讲专题测试动能定理的综合应用 1．北京老山自行车赛场采用的是250m 椭圆赛道，赛道宽度为7.6m 。赛道形如马鞍形，由直线段、过渡曲线段以及圆弧段组成，圆弧段倾角为45°（可以认为赛道直线段是水平的，圆弧段中线与直线段处于同一高度）。比赛用车采用最新材料制成，质量为9kg 。已知直线段赛道每条长80m ，圆弧段内侧半径为14.4m ，运动员质量为61kg 。求： （1）运动员在圆弧段内侧以12m/s 的速度骑行时，运动员和自行车整体的向心力为多大； （2）运动员在圆弧段内侧骑行时，若自行车所受的侧向摩擦力恰为零，则自行车对赛道的压力多大； （3）若运动员从直线段的中点出发，以恒定的动力92N 向前骑行，并恰好以12m/s 的速度进入圆弧段内侧赛道，求此过程中运动员和自行车克服阻力做的功。（只在赛道直线段给自行车施加动力）。 【答案】（1）700N;（2）2；（3）521J 【解析】 【分析】 【详解】 （1）运动员和自行车整体的向心力 F n =2(m)M v R + 解得 F n =700N （2）自行车所受支持力为 ()cos45N M m g F += ? 解得 F N 2N 根据牛顿第三定律可知 F 压=F N 2N （3）从出发点到进入内侧赛道运用动能定理可得 W F -W f 克+mgh = 212 mv W F =2 FL h = 1 cos 452 d o =1.9m W f 克=521J 2．在某电视台举办的冲关游戏中，AB 是处于竖直平面内的光滑圆弧轨道，半径 R=1.6m ，BC 是长度为L 1=3m 的水平传送带，CD 是长度为L 2=3.6m 水平粗糙轨道，AB 、CD 轨道与传送带平滑连接，参赛者抱紧滑板从A 处由静止下滑，参赛者和滑板可视为质点，参赛者质量m=60kg ，滑板质量可忽略．已知滑板与传送带、水平轨道的动摩擦因数分别为μ1=0.4、μ2=0.5，g 取10m/s 2.求： （1）参赛者运动到圆弧轨道B 处对轨道的压力； （2）若参赛者恰好能运动至D 点，求传送带运转速率及方向； （3）在第（2）问中，传送带由于传送参赛者多消耗的电能． 【答案】（1）1200N ，方向竖直向下（2）顺时针运转，v=6m/s （3）720J 【解析】 (1) 对参赛者：A 到B 过程，由动能定理 mgR(1－cos 60°)＝12 m 2B v 解得v B ＝4m /s 在B 处，由牛顿第二定律 N B －mg ＝m 2B v R 解得N B ＝2mg ＝1 200N 根据牛顿第三定律：参赛者对轨道的压力 N′B ＝N B ＝1 200N ，方向竖直向下． (2) C 到D 过程，由动能定理 －μ2mgL 2＝0－ 12 m 2C v 解得v C ＝6m /s B 到 C 过程，由牛顿第二定律μ1mg ＝ma 7．动能和动能定理 教学目标】 1、知识与技能 ①．知道动能的定义式，会用动能的定义式进行计算； ②．理解动能定理及其推导过程，知道动能定理的适用范围。 2 、过程与方法 ①．运用归纳推导方式推导动能定理的表达式；②．对比分析动力学知识 与动能定理的应用。 3、情感态度与价值观 通过动能定理的归纳推导，培养学生对科学研究的兴趣。教学重难点】 1 、重点：动能的概念和表达式。 2、难点：动能定理的理解和应用。 授课类型】新授课 主要教学方法】讲授法 直观教具与教学媒体】多媒体投影、ppt 课件、黑板、粉笔课时安排】 1 课时【教学过程】 一、复习引入 通过本章第一节伽利略理想斜面实验复习重力势能的表达式和动能的定义。 重力势能：E P mgh 动能：物体由于运动而具有的能量。例如：跑动的人、下落的重物。 二、新课教学 思考：物体的动能与哪些量有关？ 情景1 ：让滑块A 从光滑的导轨上滑下，与木块B 相碰，推动木块做功。A 滑下时所处的高度越高，碰撞后B 运动的越远。 情景2 ：质量不同的滑块从光滑的导轨上同一高度滑下，与木块B 相碰，推动木块做功。滑块质量越大，碰撞后木块运动的越远。 师：根据以上两个情景，说明物体动能的大小与物体的速度和质量有关，且随着速度和质量的增大而增大。所以动能的表达式应该满足这样的特征。 另外，物体能量的变化一定伴随着力对物体做功，所以我们还是从 力对物体做功来探究物体动能的表达式。 （一）动能的表达式首先我们来看这样一个问题。设物体的质量为m ，在与运动方向 相同的恒定外力 F 的作用下发生一段位移所 示。试用牛顿运动定律和运动学公式，推导出力 F 对物体做功的表达式（用m 、v1、v2 表示）。 分析：根据牛顿第二定律有 F ma 又根据运动学规律v22v122al 得 v2 2 2a 则力F 对物体所做的功为： 从这个式子可以看出，“12mv2”是一个具有特定意义的物理量，它的特殊意义在于：①与力对物体做的功密切相关；②随着物体质量的增大、 1 2 速度的增大而增大。这满足物体动能的特征，所以“21 mv2” 就是我们要寻 找的动能的表达式，动能用E k 来表示，则 E 1 mv 2 k2 1、定义：物体由于运动而具有的能量； 1 2 2 、表达式：E k 2mv； 3、单位：焦耳，简称焦，有符号J 表示； 2 2 1kg m2/ s21N m 1J w Fl 2 2 2 2 v v m(v v ) 2 1 ma 2 1 2a 2 1 2 1 2 mv2 mv1 2 2 2 1 1） l ，速度由v1 增加到v2，如图 第 1 课时： §1.1 正弦定理（1） 民和高级中学 刘永宏 【三维目标】 一、知识与技能 1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容和推导过程； 2. 会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题 二、过程与方法 让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。 三、情感、态度与价值观 1. 在问题解决中,培养学生的自主学习和自主探索能力和处理解三角形问题的运算能力； 2.培养学生合情推理探索数学规律的数学思想能力，通过三角函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。 【教学重点与难点】 重点：正弦定理的证明和应用 难点：1向量知识在证明正弦定理时的应用； 2 正弦定理在解三角形时的应用思路. 【教学教法的选择】 以问题驱动、层层铺垫，运用“发现—探究”教学模式。 【学法与教学用具】学法指导：引导学生首先从直角三角形中揭示边角关系： sin sin sin a b c A B C == ，接着就一般斜三角形进行探索，发现也有这一关系；分别 利用传统证法和向量证法对正弦定理进行推导，让学生发现向量知识的简捷，新颖。 2. 教学用具：多媒体、直尺、 【授课类型】新授课 【课时安排】1课时 【教学设计】 教学流程及过程 学生活动 设计意图 一. 复习引入、发现问题 问题1、 在Rt △ABC,C 为直角,那么边角之间有哪些关系? sinA=c a ,sinB=c b ,sinC=c c =1,…… 即c=A a sin ,c=B b sin ,c=C c sin ． ∴A a sin =B b sin =C c sin 引导学生发现问题 高中物理动能定理的综合应用常见题型及答题技巧及练习题(含答案) 一、高中物理精讲专题测试动能定理的综合应用 1．为了研究过山车的原理，某物理小组提出了下列设想：取一个与水平方向夹角为θ=60°、长为L 1=23m 的倾斜轨道AB ，通过微小圆弧与长为L 2= 3 2 m 的水平轨道BC 相连，然后在C 处设计一个竖直完整的光滑圆轨道，出口为水平轨道上D 处，如图所示.现将一个小球从距A 点高为h =0.9m 的水平台面上以一定的初速度v 0水平弹出，到A 点时小球的速度方向恰沿AB 方向，并沿倾斜轨道滑下.已知小球与AB 和BC 间的动摩擦因数均为μ= 3 ，g 取10m/s 2. （1）求小球初速度v 0的大小； （2）求小球滑过C 点时的速率v C ； （3）要使小球不离开轨道，则竖直圆弧轨道的半径R 应该满足什么条件？ 【答案】（16m/s （2）6m/s （3）0 动能和动能定理、重力势能·典型例题剖析例1一个物体从斜面上高h处由静止滑下并紧接着在水平面上滑行一段距离后停止，量得停止处对开始运动处的水平距离为S，如图8－27，不考虑物体滑至斜面底端的碰撞作用，并设斜面与水平面对物体的摩擦因数相同．求摩擦因数μ． [思路点拨]以物体为研究对象，它从静止开始运动，最后又静止在平面上，考查全过程中物体的动能没有变化，即ΔEK=0，因此可以根据全过程中各力的合功与物体动能的变化上找出联系． [解题过程]设该面倾角为α，斜坡长为l，则物体沿斜面下滑时， 物体在平面上滑行时仅有摩擦力做功，设平面上滑行距离为S2，则 对物体在全过程中应用动能定理：ΣW=ΔEk． mgl·sinα－μmgl·cosα－μmgS2=0 得h－μS1－μS2=0． 式中S1为斜面底端与物体初位置间的水平距离．故 [小结]本题中物体的滑行明显地可分为斜面与平面两个阶段，而且运动性质也显然分别为匀加速运动和匀减速运动．依据各阶段中动力学和运动学关系也可求解本题．比较上述两种研究问题的方法，不难显现动能定理解题的优越性．用动能定理解题，只需抓住始、末两状态动能变化，不必追究从始至末的过程中运动的细节，因此不仅适用于中间过程为匀变速的，同样适用于中间过程是变加速的．不仅适用于恒力作用下的问题，同样适用于变力作用的问题． 例2 质量为500t的机车以恒定的功率由静止出发，经5min行驶2.25km，速度达到最大值54km/h，设阻力恒定且取g=10m/s2．求：(1)机车的功率P=？(2)机车的速度为36km/h时机车的加速度a=？ [思路点拨]因为机车的功率恒定，由公式P=Fv可知随着速度的增加，机车的牵引力必定逐渐减小，机车做变加速运动，虽然牵引力是变力，但由W=P·t可求出牵引力做功，由动能定理结合P=f·vm，可 课题：§1.3.1二项式定理（人教A版高中课标教材数学选修2-3） 《二项式定理》教学设计 一、教学内容解析 《二项式定理》是人教A 版选修2-3第一章第三节的知识内容，它是初中学习的多项式乘法的继续．在计数原理之后学习二项式定理，一方面是因为它的证明要用到计数原理，可以把它作为计数原理的一个应用，另一方面也是解决整除、近似计算、不等式证明的有力工具，同时也是后面的数学期望等内容的基础知识，二项式定理起着承上启下的作用．另外，由于二项式系数是一些特殊的组合数，利用二项式定理可进一步深化对组合数的认识．总之，二项式定理是综合性较强的、具有联系不同内容作用的知识． 二、教学目标设置 新课标指出教学目标应体现学生学会知识与技能的过程也同时成为学生学会学习，形成正确价值观的过程．新课标要求：用计数原理分析2()a b +，3()+a b ，4()+a b 的展开式，归纳类比得到二项式定理，并能用计数原理证明．掌握二项展开式的通项公式，解决简单问题；学会讨论二项式系数性质的方法．根据新课标的理念及本节课的教学要求，制定了如下教学目标： 1.学生在二项式定理的发现推导过程中，掌握二项式定理及推导方法、二项展开式、通项公式的特点，并能运用二项式定理计算或证明一些简单的问题． 2.学生经历二项式定理的探究过程，体验“从特殊到一般发现规律，从一般到特殊指导实践”的思想方法，获得观察、归纳、类比、猜想及证明的理性思维探究能力． 3.通过二项展开式的探究，培养学生积极主动、勇于探索、不断创新的精神，感受合作探究的乐趣，感受数学内在的和谐、对称美及数学符号应用的简洁美．结合数学史，激发学生爱国热情和民族自豪感． 三、学情分析 １．有利因素 授课对象是高二的学生，具有一般的归纳推理能力，思维较活跃，初步具备了用联系的观点分析问题的能力．学生刚刚学习了计数原理和排列组合的知识，对本节()+n a b 展开式中各项系数的研究会有很大帮助． ２．不利因素 本节内容思维量较大，对思维的严谨性和分类讨论、归纳推理等能力有较高要求，学生学习起来有一定难度．在数学学习过程中，大部分学生习惯于重视定理、公式的结论，而不重视其形成过程． 四、教法策略分析 遵循“以学生为主体、教师是数学课堂活动的组织者、引导者和参与者”的现代教育原则，采用“启发式教学法”，学生主要采用“探究式学习法”， 并利用多媒体辅助教学． 本课以问题的提出、问题的解决为主线，始终在学生知识的“最近发展区”设置问题，倡导学生主动参与，通过不断探究、发现，在师生互动、生生互动中，完成二项式定理的探究，让学习过程成为学生心灵愉悦的主动认知过程． 五、教学过程 （一）创设情境 引入课题 引入：通过“牛顿发现二项式定理”的历史引入课题．提出问题：2()+=a b ？ 3()+=a b ？ 1．下面各个实例中，机械能守恒的是( ) A 、物体沿斜面匀速下滑 B 、物体从高处以0.9g 的加速度竖直下落 C 、物体沿光滑曲面滑下 D 、拉着一个物体沿光滑的斜面匀速上升 3．某人用手将1Kg 物体由静止向上提起1m ，这时物体的速度为2m/s （g 取10m/s 2 ），则下列说法不正确的是( ) A ．手对物体做功12J B ．合外力做功2J C ．合外力做功12J D ．物体克服重力做功10J 4．如图所示，某段滑雪雪道倾角为30°，总质量为m(包括雪具在内)的滑雪运动员从距底端高为h 处的雪道上由静止开始匀加速下滑，加速度为 13 g.在他从上向下滑到底端的过程中，下列说法正确的是( ) A ．运动员减少的重力势能全部转化为动能 B ．运动员获得的动能为13 mgh C ．运动员克服摩擦力做功为23 mgh D ．下滑过程中系统减少的机械能为 13mgh 5．如图所示，在地面上以速度o v 抛出质量为m 的物体，抛出后物体落在比地面低h 的海平面上，若以地面为零势能参考面，且不计空气阻力。则： A ．物体在海平面的重力势能为mgh B ．重力对物体做的功为mgh C ．物体在海平面上的动能为mgh m +202 1υ D ．物体在海平面上的机械能为 mgh m +202 1υ 7．某游乐场中一种玩具车的运动情况可以简化为如下模型：竖直平面内有一水平轨道AB 与1/4圆弧轨道BC 相切于B 点，如图所示。质量m=100kg 的滑块（可视为质点）从水平轨道上的 P 点在水平向右的恒力F 的作用下由静止出发沿轨道AC 运动，恰好能到达轨道的末端C 点。已知P 点与B 点相距L=6m ，圆轨道BC 的半径R=3m ，滑块与水平轨道AB 间的动摩擦因数μ=0.25，其它摩擦与空气阻力均忽略不计。（g 取10m/s 2)求： （1）恒力F 的大小． （2）滑块第一次滑回水平轨道时离B 点的最大距离 （3）滑块在水平轨道AB 上运动经过的总路程S 参考答案 1．C 【解析】物体在只有重力做功的情况下，机械能守恒，选项A 中，物体受到斜面的阻力作用，阻力做负功，物体机械能减小，A 错；B 选项中有mg-f=ma ，f=0.1mg ，阻力做负功，机械能减小，B 错；D 选项中物体机械能增大，D 错； 3．C 【解析】由动能定理221mv mgh W =-，J mv mgh W 122 12=+=，合外力做功等于动能增量为2J ，B 对；克服重力做功mgh=10J ，C 错最新高考物理动能定理的综合应用常见题型及答题技巧及练习题(含答案)
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