第十章
10-5 试确定图示各体系的动力自由度，忽略弹性杆自身的质量。 (a) (b)
EI 1=∞
EI
m
y
?
分布质量的刚度为无穷大，由广义坐标法可知，体系仅有两个振动自由度y ，?。 (c)
(d)
在集中质量处施加刚性链杆以限制质量运动体系。有四个自由度。
10-8 图示结构横梁具有无限刚性和均布质量m ，B 处有一弹性支座（刚度系数为k ），C 处有一阻尼器（阻尼系数为c ），梁上受三角形分布动力荷载作用，试用不同的方法建立体系的运动方程。
解：1）刚度法
该体系仅有一个自由度。
可设A 截面转角a 为坐标顺时针为正，此时作用于分布质量m 上的惯性力呈三角形分布。其端部集度为..
ml a 。
取A 点隔离体，A 结点力矩为：....
3121233
I M ml a l l mal =???= 由动力荷载引起的力矩为：
()()2121
233
t t q l l q l ??= 由弹性恢复力所引起的弯矩为：.21
33
la k l c al ?
?+ 根据A 结点力矩平衡条件0I p s M M M ++=可得：
(
)
3
(3221393)
t q l ka m al l c al ++=
整理得：()
.
..
33t q ka c a m a l l l
++= 2）力法
.
c
α
解：取AC 杆转角为坐标，设在平衡位置附近发生虚位移α。根据几何关系，虚
功方程为：() (2)
01110333
l t q l l k l l l c m x xdx ααααααα-?-?-?=?
则同样有：()
.
..
33t q ka c a m a l l l
++=。
10-9 图示结构AD 和DF 杆具有无限刚性和均布质量m ，A 处转动弹簧铰的刚度系数为k θ，C 、E 处弹簧的刚度系数为k ，B 处阻尼器的阻尼系数为c ，试建立体系自由振动时的运动方程。
解：
取DF 隔离体，
0F M =∑：
..2220.23
223
24
a R a mx dx ka R ma ka αα
αα
?=+?=+?
取AE 隔离体：
0A
M
=∑
..
.
32
220
430a
k mx dx ca ka Ra θαααα++++=?
将R 代入，整理得：
..
32
251504
R ma ka k θα
αα=+
+= 10-10 试建立图示各体系的运动方程。 (a)
解：（1）以支座B 处转角作为坐标，绘出梁的位移和受力图如下所示。图中惯性力为三角形分布，方向与运动方向相反。
(t )
..α
（2）画出p M 和1M 图（在B 点处作用一附加约束）
()324
t l M α-()
t p
3EI l
1
M
（3）列出刚度法方程
113EI
k l
=
，()..3124p t m R l M α=-，1110p k R α+=
代入1p R 、11k 的值，整理得：()..43
2472t M EI
m l l αα+=
(b) 解：
11
=
21P =2
l
1M 图 2M 图
试用柔度法解题
此体系自由度为1 。设质量集中处的竖向位移y 为坐标。 y 是由动力荷载()p t F 和惯性力矩I M 共同引起的。
l
l 2
m (t )
l 2 l 2
11112()p t y M F δα=+
由图乘法：
3
21112233l l l EI EI
δ=?=，312/252622248l l l l l l EI EI δ??=??+?=
??? 惯性力矩为..
m y l -，()3
3
..
5348p t l
l y m yl F EI
EI ??=
?-+ ???
经整理得，体系运动方程为：()..
335
16p t EI m y y F l
+=。
10-11 试求图示各结构的自振频率，忽略杆件自身的质量。 (a)
解：
2
1M 图
图乘得：3
1111225222223236a a a f a a a a EI EI
??=??
???+??
?=
??? ω=
=(b)
解：此体系为静定结构，内力容易求得。
在集中质量处施加垂直力P ，使质量发生竖向单位位移，可得弹簧处位移为2
3
。 由此根据弯矩平衡可求得4
9
P
k =
。 ω=
= (c)
解：可以将两个简支梁视为两个并联的弹簧。
上简支梁柔度系数为()
3
32486l l EI EI =
下简支梁柔度系数为3
96l EI
于是两者并联的柔度系数为33
1696
102l EI EI EI
l δ==+并，ω==
(d)
解：在原结构上质量运动方向加上一根水平支杆后，施加单位水平位移后画得弯矩
图如下。
水平支杆中力为
33013EI
l ，即11
3
30
13EI
k l =。，ω=
l 2 l 2 l
2
l 2
2a
a
a
(e)忽略水平位移
解：
1M 图
22
112455272213362a a a f a EA EA EA ????
=??+??+?=
? ?????
ω=
= (f)
解：
332
332
1M 图 2M 图 M 图
3
1312331323162130.0149743223323221933219364l l l l l l l l EI EI
δ??=???+????+??=
??? ω= 10-15 设已测得某单自由度结构在振动10周后振幅由1.188mm 减小至0.060mm ，试求该结构的阻尼比ξ。解：0475.006
.0188.1ln 201ln 21==≈
+ππξ
n k k y y n 10-16 设有阻尼比ξ＝0.2的单自由度结构受简谐荷载F P (t )= F t θsin 作用，且有ωθ75.0=。
若阻尼比降低至ξ＝0.02，试问要使动位移幅值不变，简谐荷载的幅值应调整到多大？
解：
2
2
22222411ωθξωθω+???
? ??-?=
m F A 已知ξ从0.2降低至0.02.
ωθ75.0=，t F F θsin 1=，A 不变。
122222
2
1
827.016902.041691169
2.041691F F F F =??
?+??
? ??-?
?+??
? ??-=
F 简谐荷载的幅值应调整到0.827F 。
10-19 试求图示梁在简谐荷载作用下作无阻尼强迫振动时质量处以及动力荷载作用点的动位
l
2
l 2
4a
4a 3a
移幅值，并绘制最大动力弯矩图。设36ml EI =θ。
(a)
解：由力法可知，单位荷载作用在B 点引起3
3l EI
位移。
ω=
=
θ=()3222
1sin sin 31t F Fl y t t EI m θθθωω=
?=--
即幅值为3
3Fl EI
当幅值最大时，弯矩也最大。
Fl
max M 图
(b)
解：
1M 图 2M 图
（1）求结构运动方程
如所示弯矩图，图乘后，333
112212215,,24348l l l f f f f EI EI EI
====
()..
11121112..3
sin sin 245sin 2I t C y f F f F t f m y f F t
EI F y y t
m ml θθθ??
=+=-+ ???
+=
其中2*3
245,2EI P F ml ω==，稳态解：()*
2
22
3
3
1
sin 1512 =sin 12414
5 =sin 36t C
P y t
m Fl
t EI Fl t
EI
θωθω
θθ=?-?- 所示结构的运动方程为()35=sin 36t C Fl y t EI θ，C 点最大动位移幅值为
3
536Fl EI
（2）求B 点的动位移反应
()()..
21222122sin sin I t B
t B y f F f P t f m y f P t θθ??
=+=-+ ???
()*
2
2
2
1
sin 1t B
P y t m θωθω
=?-，()*
..
2
2
22
1
sin 1
t B
P y t m θθωθω
=-?
-
2l
2
l t θ
sin t θ sin l
()()3
2*212222232322
2322222
3
5=sin 361sin 1551 =sin 48231251 =1sin 33217132 =
3t C t B Fl y t
EI y f P Pf t
l l
P P t EI EI Pl t EI Pl EI θθθωθωθθωθωθθωθωθ???
?
?? ?
?? ?=??+?? ?
- ??????
?
??
?????+????-?????? ? ???+ ?- ?
??-22233
sin 11214 =sin 31283121 =sin 288t Pl t
EI Pl t
EI
ωθθωθθ??
? ? ?
- ?
?
???
B 点的动位移幅值为3
121288Pl EI
（3）绘制最大动力弯矩图
22
1M 图 2M 图 ()33max 2212135122812883696A Pl EI Pl EI M Pl EI EI l l =?+?= ()
3max 21213121288192
2C Pl EI M Pl EI l =?=
121
192Pl 281
96
Pl
最大动力弯矩图
10-20 试求图示集中质量体系在均布简谐荷载作用下弹簧支座的最大动反力。设杆件为无限刚性，弹簧的刚度系数为k 。
解：
α
若()t q 为静力荷载，弹簧中反力为
ql 8
9
。 已知图示体系为静定结构，具有一个自由度。设为B 点处顺时针方向转角α为坐标。建立动力方程：
?=?+?+l xdx q l l k l m l l m l 230..
..
2
332322αααα
ααα
q k m l q l k l m 8
9
89..22
22
..
=+?=+αααααα
2
211
ω
θμ-=
则弹簧支座的最大动反力为
l 8
9112
2
?-
ωθ。
2
l 2
l l
10-21 设图a 所示排架在横梁处受图b 所示水平脉冲荷载作用，试求各柱所受的最大动剪力。已知EI =6×106N ·m 2，t 1＝0.1s ，F P0＝8×104N 。 (a)
解：求排架自振频率，横梁无限刚性，则各排架水平侧移相同。 可将排架柱视为三个并联的弹簧。 边柱刚度柔数331
3h EI k k =
= 中柱326h EI k =，3
12h EI
k =并 s rad N
m m N m k /645.01080006106122332
6=?????==ω
s T 73.92==
ω
π
，
3
.971
73.91.01=
=T t 数值很小 所以认为当()t P F 作用结束时，结构位移很小，弹性力忽略不计，于是根据动量守恒原理可得：
s
m v v Ft v m t t t /1051
.010821
108213141511-?=????=??=?
再根据势能守恒得：
()
m
y y ky mv st st
t 0077.0103
12110510821
2121262
352max 21=????=?????=- N k y F st Q 128310610077.06=??=?=中中，N F F Q 中Q 边6422
1
==
10-22 设图a 所示排架横梁为无限刚性，并有图b 所示水平短时动力荷载作用，试求横梁的动位移。
(a) 解：在三角形冲击荷载作用下单自由度体系的质点位移反应可分两个阶段考虑。
第一阶段（10t t
≤≤）
： ()()()()???
??
???????-??? ??=?
???
??-??? ?????
? ??=?
??
?????? ??-=???
??????
??-=
-=-=??1111112
0100022sin 2sin 21
sin 1 sin 1 sin sin 1t t t T t T y t t T t t T y t t t y t t t m F dZ
Z t t Z m F dZ Z t F m y s s s P t P t
Z P t ππππ
ωωω
ωωωωωω
求T 的过程。
2
6EI h 2
6h 2
h
1M 图
3
1124h
EI
k =，311
24mh EI m k ==
ω，EI
mh T 24223
π
ωπ
==
第二阶段（1t t >）
因为不受外力作用，所以横梁以1t 时刻的位移和速度为初始值做自由振动。
(b)
10-23 设题10-22图a 所示刚架m ＝4000kg ，h ＝4m ，刚架作水平自由振动时因阻尼引起振幅的对数递减率γ＝0.10。若要求振幅在10秒内衰减到最大振幅的5％，试求刚架柱子的弯曲刚度EI 至少为何值。
解：（1）求周期数。
301
.005
.0ln 05.000=-=
?=-n e y y n Y （2）求k ：k
m n t n
π
2= ()()m N t m n k n
/10223.142110100.43014159.32232
3
2
2
2?=????==?π
两柱并联
2631079.312
2m N EI k h
EI ??=?=?
10-24 设某单自由度体系在简谐荷载F P (t )= F t θsin 作用下作有阻尼强迫振动，试问简谐荷载频率θ分别为何值时，体系的位移响应、速度响应和加速度响应达到最大？
解：在简谐荷载F P (t )= F t θsin 作用下，稳态位移响应可表示为()
()αθ-=t A y t sin
其中：?
????
?
?
????
??
??
??
??-==+???? ??-?=-22122
2222212tan 411ωθωθξαμωθξωθωst y m F A
（1）使动位移最大，即使μ最大，从而得出22
22
2241ωθξωθ+???? ??-最小。 设()22
22
2241ωθξωθθ+???? ??-=f ，()222
2222414ωθξωθωθθ+???
? ??--='f 使()0='θ
f ，则221ξωθ-= （2）())cos(αθθ-='t A y t 设()222
22
22
221
411
41ωξ
ωθθωθξωθθ
θ+??
? ??-=
+???
? ??-=
g
如果使速度响应最大，则()θg 最大，设()222
1141ωξωθθθ+??
?
??-=g ，显然要求
()θ1g 最小。使：()011
12221
=??? ??--??? ??-='ωθ
ωθθθg 得ωθ=。 （3）())sin(2
αθθ--=''t A y t
F P (t )
t
F P0
t 1
O
()2
222
2222
22
222
411
1
41θωξωθ
ωθξωθθθ+??? ??-=
+???
? ??-=
h
令()2222
221411
θωξωθ
θ+??? ??-=h 显然要求()θ1h 最小。
则()0211
2
2
2
1
=--
='ω
ξθ
θh 解的：2
21ξ
ω
θ-=
10-26 试用柔度法求下列集中质量体系的自振频率和主振型。 (a) 解：
2
l
2l
1M 图 2M 图
（1）EI
l f l l l l l l EIf 42322222123222123
1111=
??????+?????=
EI
l f l l l l l l EIf 1252223222123
2222
=
???+?????=，
02112==f f
（2）振型方程
???
????=???? ??-?+?=?+???
?
??-01212500014223
12123A m EI l A A A m EI l ωω 令2
312ωλ
ml EI
=
，频率方程为：0-10 00 3=-=λ
λD ()()3
32331212312 095.110123
,100103ml EI
ml EI ml EI ml EI ==
==?==?=-
-?ωωλλλλ
（3）振型图如下
第二振型
(b)
解：
体系具有两个自由度。先求柔度系数，做出单位弯矩图，由图乘法可得：
()
EI l l l l l l l EI 32132221322113
11+=
??? ????+??=δ
EI l l l l EI 6223222113
1221=
??? ?????==δδ EI
l l l l EI 622322212123
22=
??? ??????=δ
得振型方程：
()
062132123
123=+??
?
? ??-+mA EI l A m EI l ω 01626222313=???? ??-+A m EI
l mA EI l ω，令λω=?3231ml EI
λ
λ-0.707 0.7070.707 414.2-=
D ，由频率方程D=0
解得：331
576.24535.03ml EI
ml EI =?=
ω，3
32060
.16675.23ml EI
ml EI =?=
ω
1773.2707.0414.211121-=--=λA A ，1
358
.0707.0414.221222=--=λA A
(c)
解：
/2
l
1M 图 2M 图
（1）
EI l f 3311=，EI l f 1213322=，EI
l f f 1253
2112=
=
（2）振型方程
???????=???? ??-?+????? ?
?=????
? ??+????
??-0121213125012513223
1323123A m EI l A m EI l A m EI l A m EI l ωω 令2
312ωλ
ml EI
=
，频率方程为：0-13 55 4=-=λ
λD 3
32331212602
.2773.112 888
.0227.1512773
.1,227.150255217ml EI
ml EI ml EI ml EI ==
==?==?=-+-?ωωλλλλ
l l l l