仲元中学 中山一中 南海中学
2013—2014学年 高三第一次联考
潮阳一中 宝安中学 普宁二中
理 科 数 学
本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．
第一部分 （选择题 满分40分）
一．选择题：（本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．）
1．设i z -=1（为虚数单位），则=+
z
z 2
2 （ ）
A ．i --1
B ．i +-1
C ．i +1
D ． i -1
2．设U=R ，集合2{|2,},{|40}x A y y x R B x Z x ==∈=∈-≤，则下列结论正确的是（ ） A ．(0,)A B =+∞ B ．(](),0U C A B =-∞
C ．(){2,1,0}U C A B =--
D ．(){1,2}U C A B =
3．如果直线(2a +5)x +(a －2)y+4=0与直线(2－a )x +(a +3)y －1=0互相垂直，则a =（ ）
A ． 2
B ．－2
C ．2,－2
D ．2,0,－2
4. 如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“同簇函数”． 给出下列函数： ①()sin cos f x x x =； ②()2sin()4
f x x π
=+
；
③()sin f x x x =；
④()21f x x +．其中“同簇函数”的是（ ） A ．①② B ．①④ C ．②③ D ．③④ 5．右图为某几何体三视图，按图中所给数据,该几何体的体积为 （ ）
A ．16
B ．163
C ．64+163
D ． 16+3
3
4
正视图
俯视图
侧视图
A 1
C 6．已知实数x ，y 满足约束条件??
?
??≤-≤≥02
1y x y x ’
则y x z -=2的取值范围是 （ ）
A ．[0，1]
B ．[1，2]
C ．[1，3]
D ．[0，2]
7．若等边ABC ?的边长为2，平面内一点M 满足1132
CM CB CA =+ ，则MA MB ?=
( )
A .98
B .913
C ．98-
D ．9
13- 8．定义：关于x 的不等式||x A B -<的解集叫A 的B 邻域．已知2a b +-的a b +邻域为区间
(2,8)-，其中a b 、分别为椭圆122
22=+b
y a x 的长半轴和短半轴．若此椭圆的一焦点与抛物线
x y 542=的焦点重合，则椭圆的方程为（ ） A ． 13
82
2=+y x B ． 14
92
2=+y x C ．18922=+y x D ．19162
2=+y x
第二部分 （非选择题 满分110分）
二、填空题：（本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分） （一）必做题（9~13题）
9．已知数列{}n a 的首项11=a ，若N n *
?∈，21-=?+n n a a ，则=n a ．
10．执行程序框图，如果输入4=a ，那么输出=n ．
11．某校开设A 类选修课3门，B 类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有
种(用数字作答) ．
12．如图，在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -内 （含正方体表面）任取一点M ，则
11≥?的概率
=p ．
13.设函数()y f x =在（-∞，+∞）内有意义．对于给定的正数k ，已知函数
(),()(),()k f x f x k f x k f x k ≤?=?
>?，取函数()f x =x
e x ---3．若对任意的x ∈（-∞，+∞），恒有()k
f x =()f x ，则k 的最小值为 ．
（二）选做题：考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分．
14．（坐标系与参数方程选做题）
在极坐标系中，过点π4?
? ??
?作圆
4sin ρθ=的切线，则切线的极坐标方程是 ．
15．（几何证明选讲选做题）如图所示，圆O 的直径6AB =，
C 为圆周上一点，3BC =，过C 作圆的切线l ，过A 作l
的垂线AD ，垂足为D ，则DAC ∠=
．
三、解答题：（本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明证
明过程或演算步骤．）
16．(本小题满分12分)
设(6cos ,a x = , (cos ,sin 2)b x x =
,()f x a b =? （1）求()f x 的最小正周期、最大值及()f x 取最大值时x 的集合； （2）若锐角α
满足()3f α=-4tan 5
α的值．
17．(本小题满分12分) 某市,,,A B C D 四所中学报名参加某高校今年自主招生的学生人数如下表所示：
为了了解参加考试的学生的学习状况，该高校采用分层抽样的方法从报名参加考试的四所中学的学生当中随机抽取50名参加问卷调查． （1）问,,,A B C D 四所中学各抽取多少名学生？
（2）从参加问卷调查的50名学生中随机抽取两名学生，求这两名学生来自同一所中学的概率； （3）在参加问卷调查的50名学生中，从来自,A C 两所中学的学生当中随机抽取两名学生，用ξ表示抽得A 中学的学生人数，求ξ的分布列．
第15题图
18．(本小题满分14分) 如图，直角梯形ABCD 中，
CD AB //，BC AB ⊥，1=AB ，2=BC ，
21+=CD ，过A 作CD AE ⊥，垂足为E ．
F 、
G 分别是CE 、AD 的中点．现将ADE ?沿 AE 折起，使二面角C AE D --的平面角为0135．
（1）求证：平面⊥DCE 平面ABCE ； （2）求直线FG 与面DCE 所成角的正弦值．
19．(本小题满分14分) 已知椭圆C 的中心在原点O ，离心率2
3
=e ，右焦点为)0 , 3( F ．（1）求椭圆C 的方程；（2）设椭圆的上顶点为A ，在椭圆C 上是否存在点P ，使得向量+与共线？若存在，求直线AP 的方程；若不存在，简要说明理由．
20．(本小题满分14分)设n S 为数列{}n a 的前n 项和，对任意的n N +∈，都有(1)n n S m ma =+-（m 为正常数）．（1）求证：数列{}n a 是等比数列； （2）数列{}n b 满足1
111
2,,(2,)1n n n b b a b n n N b -+-==
≥∈+，求数列{}n b 的通项公式；
（3）在满足（2）的条件下，求数列12n n b +??
????
的前n 项和n T ．
21. (本小题满分14分)设函数2
1()ln .2
f x x ax bx =--
(Ⅰ)当1
2
a b ==
时，求函数)(x f 的最大值； (Ⅱ)令21()()2a F x f x ax bx x =+++（03x <≤）其图象上任意一点00(,)P x y 处切线的斜率k ≤2
1
恒成立，求实数a 的取值范围；
(Ⅲ)当0a =，1b =-，方程2
2()mf x x =有唯一实数解，求正数m 的值．
2013-2014学年度高三第一次教学质量检测试题（理科数学）评分参考
一、选择题 D C C C D D C B
二、填空题 9．?
??-=是正偶数是正奇数 ， 2 , 1n n a n ，或23)1(211±-+-=n n a ； 10．4； 11． 30；
12．
4
3
； 13． 2； 14. cos 2ρθ= 15. 30o
16．解：（1）解：2()6cos 2f x a b x x =?=
…………………1分
1cos 2
622x x +=?
3cos23x x =+ 1
sin 232x x ?=-+???
…3分
236x π?
?=++ ???
……4分 最小正周期22T π==π ……5分
当22,6
Z x k k π
π+
=∈，即,12
Z x k k π
π=-
∈时，()f x 有最大值3，
此时，所求x 的集合为{|,}12
Z x x k k π
π=-
∈．………7分
（2）由()32f α=- c o s 2336απ?
?
++=- ???cos 216απ?
?+=- ???
…9分
又由02απ<<
得 2666απππ<+<π+， 故26απ+=π，解得5
12α=
π．……11分
从而4tan tan 53
απ
== ………………12分
17．解：（1）由题意知，四所中学报名参加该高校今年自主招生的学生总人数为100名，
抽取的样本容量与总体个数的比值为
．
∴应从四所中学抽取的学生人数分别为
． …………… 4分
（2）设“从50名学生中随机抽取两名学生，这两名学生来自同一所中学”为事件M ，
从50名学生中随机抽取两名学生的取法共有2
501225C =种，… 5分 来自同一所中学的取法共有22221520105350C C C C +++=． …………… 6分
∴3502
()12257
P M =
=． 答：从50名学生中随机抽取两名学生来自同一所中学的概率为
2
7
． … 7分
（3）由（1）知，50名学生中，来自,A C 两所中学的学生人数分别为15,10． 依题意得，ξ的可能取值为0,1,2， ………… 8分
2102253(0)20C P C ξ===，1115102251(1)2C C P C ξ===，2152
257
(2)20
C P C ξ===．…… 11分
∴ξ的分布列为： … 12分
18．（1）证明： DE ⊥AE ，CE ⊥AE ，,DE CE E DE CE CDE =? ，平面，
∴ AE ⊥平面CDE ， ……3分
AE ?平面ABCE ，∴平面⊥DCE 平面ABCE ．……5分
（2）（方法一）以E 为原点，EA 、EC 分别为,x y 轴，建立空间直角坐标系……6分
DE ⊥AE ，CE ⊥AE ，∴DEC ∠是二面角C AE D --的平面角，即DEC ∠=0135，……7分
1=AB ，2=BC ，21+=CD ，
∴A （2，0，0），B （2，1，0），C （0，1，0），E （0，0，0），D （0，1-，1）．……9分
F 、
G 分别是CE 、AD 的中点，∴F
1002（，，），G 11
122
-（，，） ……10分 ∴FG =1112-(，，)，AE =(2,0,0)-，……11分
由（1）知AE
是平面DCE 的法向量， ……12分
设直线FG 与面DCE 所成角02παα≤≤（），则22
sin ||||33
||||22
FG AE FG AE α?-===??
， 故求直线FG 与面DCE 所成角的正弦值为
2
3
． ……14分（列式1分，计算1分） （方法二）作AE GH //，与DE 相交于H ，连接FH ……6分
由（1）知AE ⊥平面CDE ，所以⊥GH 平面CDE ，GFH ∠是直线FG 与平面DCE 所成角……7分
G 是AD 的中点，GH 是ADE ?的中位线，1=GH ，2
2
=
EH ……8分
因为DE ⊥AE ，CE ⊥AE ，所以DEC ∠是二面角C AE D --的平面角，即DEC ∠=0
135…9分
在EFH ?中，由余弦定理得，FEH EH EF EH EF FH ∠???-+=cos 22
22
11152(4224=
+-?=（或2
5
=
FH ）……11分（列式1分，计算1分） ⊥GH 平面CDE ，所以FH GH ⊥，在GFH Rt ?中， 2
3
22=
+=FH GH GF ……13分 所以直线FG 与面DCE 所成角的正弦值为3
2
sin ==
∠GF GH GFH ……14分 19．解：（1）设椭圆C 的方程为22
221(0)x y a b a b
+=>>， ……1分
离心率23=
e ，右焦点为)0 , 3( F ，
∴2
c c a ==∴2a =，21b =…… 3分 故椭圆C 的方程为2
214
x y +=．…… 4分 （2）假设椭圆C 上存在点P （00,x y ），使得向量+与共线，……5分
00(,1)OP OA x y +=+
，(FA =
，
∴001)x y =+ （1） ……6分
又 点P （00,x y ）在椭圆22
14x y +=上，∴220014
x y += （2） ……8分 由（1）、（2）组成方程组解得：(0,1)P -
，或1
()7
P ， ……11分 当点P 的坐标为(0,1)-时，直线AP 的方程为0y =， 当点P
的坐标为1
()77
P -
时，直线AP
440y -+=， 故直线AP 的方程为0y =
440y -+=． ……14分
20．解：（1）证明：当1n =时，111(1)a S m ma ==+-，解得11a =．…………………1分
当2n ≥时，11n n n n n a S S ma ma --=-=-．即1(1)n n m a ma -+=．…………………2分 又m 为常数，且0m >，∴
1(2)1n n a m
n a m
-=≥+．………………………3分 ∴数列{}n a 是首项为1，公比为
1m
m
+的等比数列．……………………4分
（2）解：1122b a ==…5分 ∵111n n n b b b --=
+，∴1111n n b b -=+，即1
11
1(2)n n n b b --=≥．…7分
∴1n b ??????
是首项为1
2，公差为1的等差数列．………………………………………8分
∴
1121
(1)122
n n n b -=+-?=
，即2()21n b n N n *=∈-．……………………………9分
（3）解：由（2）知221n b n =-，则1
22(21)n n n
n b +=-．
所以2341
123122222n n n n n
T b b b b b +-=+++++
， …10分 即12312123252(23)2(21)n n n T n n -=?+?+?++?-+?- ， ① ……11分 则234122123252(23)2(21)n n n T n n +=?+?+?++?-+?- ， ②………12分 ②－①得13412(21)2222n n n T n ++=?------ ，……………………13分 故311
12(12)2
(21)22(23)612
n n n n T n n -++-=?---=?-+-．……………………14分
21.解：（1）依题意，知()f x 的定义域为(0,)+∞， 当12a b ==时，211
()ln 42
f x x x x =--，
111(2)(1)()222x x f x x x x
-+-'=
--=……………………2分 令，解得 1.(0)x x =>
因为()0g x =有唯一解，所以2()0g x =，当01x <<时，()0f x '>，此时()f x 单调递增； 当1x >时，()0f x '<，此时()f x 单调递减。 所以()f x 的极大值为3
(1)4
f =-，此即为最大值……………………4分 （2）()ln ,(0,3]a F x x x x =+
∈，则有00201
(),2
x a k F x x -'==≤在0(0,3]x ∈上恒成立， ∴a ≥max 02
0)2
1(x x +-
，]3,0(0∈x
当10=x 时，02021x x +-
取得最大值21，所以a ≥2
1
……………8分 (3)因为方程2
)(2x x mf =有唯一实数解，所以22ln 20x m x mx --=有唯一实数解，
设2
()2ln 2g x x m x mx =--，则2222().x mx m
g x x
--'=
令()0g x '=，20x mx m --= 因为0,0,m x >>
所以10x =<（舍去）
，2x = 当2(0,)x x ∈时，()0g x '<，()g x 在2(0,)x 上单调递减，
当2(,)x x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 在2(,)x +∞上单调递增， 当2x x =时，2()0g x '=，()g x 取最小值2()g x .……………10分
则22()0()0g x g x =??'=? 即22222222ln 20
x m x mx x mx m ?--=??--=??
所以222ln 0,m x mx m +-=因为0,m >所以222ln 10()x x +-=*……………12分 设函数()2ln 1h x x x =+-，因为当0x >时，()h x 是增函数，所以()0h x =至多有一解.
∵0)1(=h ，∴方程(*)的解为21x =
1=，解得21
=m ………14分