有关数学的学习方法
各科学对数学的看法
赖汉卿
最近翻阅日本《Mathematical seminare》，5 - 1979， pp.68-85，发现了非数学本科的人，报导他们对数学的看法，以及他们所用到的数学，对数学学习方法等等。我以为数学这一门为一般学生所畏惧，为现实社会所冷淡，也为一般人所不易理解数学是什么的今天，似乎可借助于这些非数学专家们，在数学领域中所获得的经验与观点，传播给读者参考，或许能收些许助益，并开拓其视野。下面大都是翻译的资料。
为物理学而学的数学
(坪井忠二(Tuboe Chuej)，东京大学名誉教授)
做为手段的数学:
进入自然科学系的人，或想进这些系的人，大概不少。因此这些人，对于数学就各有其目的，其中欲为数学本身继续研究，有志为数学家的人，也必定会有，这些人当然就以数学为目的直走，但为数并不多，大部分的人大概都不以数学本身为目的，可说只把数学当做谋求自己工作之发展的一手段而已。如同学习外国语之目的相似，那些已进入自然科学界的，以及准备想进去的，是为英语去读英语，至于英语学或英文学并不是其本身的目的，求取将来以英语写成的自然科学书籍或论文，能毫无不自由地阅读，同时自己也可用英语写些报告或论文，或能与做同方面学问之外国
人交谈为目的，他们就不是以学英语本身为目的，而是当做一种手段而已。
要这么说，目的与手段似乎无太严密的区别。在学习过程中，用手段使用数学的内容，可能也会浮起兴趣来，而原以数学本身为目的的人，也可能对应用方面浮起兴趣，以致原欲做为目的的数学，及做为手段的数学都变成无法区别，而混为一体了。举个可能稍为夸大之例，如牛顿在思考万有引力时，看来是位物理学家，而在以微积分之创始者来说，那是位数学家，硬是把他分做数学家或物理学家，实际上并无多大意义。
这些我们暂且忘了它不提，只以多数人使用数学做为其手段者，来进行我们的话题。
数学表现的物理学意义:
如果说以使用数学当做手段，其道具之长处与优点，就须充分了解。因而对此道具要如何使用，就非得熟练不可。以用数学做为手段的人，读数学时是学习如何使用
为其主要目的。所谓使用法，如以研究物理学的人，他就很会将物理学与数学结合在一起，于是他对于在什么范围内，有可能结合;超过了那个范围，则不可能结合，必须要有充分的了解，否则他所得的「数学」也就止于演习而已，与物理学就毫无关连了。为了要理解物理学现象，必须要能以使用数学做为手段，同时也得不忘物理学思考之发展。在物理学中，常常会出现种种数学的表现，但对于其物理意义(physical meaning)则非时常反省不可。
说「这些结果，是由计算器算出来的，绝不可能有错误」的人是有的，计算器的数值计算即使无误，但计算器程序的想法或设计若有误，则以此错误的程序命令计算器「算算这个」，其结果当然定是错的。故不管你使用多高级的「数学」，若其用法不当，其结果也就无意义了。与之相反的，一件好象是简单的「数学」但与物理学结合得好，则会产生很深奥的结果。例如
在数学来说，那只不过是极为简单之二阶微分方程式，但它却是牛顿的壮大堂皇的学理基础。公式
f=ma
可写成更一般的形式为
y=ax
这是x与y的一次式。这个式子却是表示种种物理事象的关系式。比方说：a为物体运动时之定速度，x视为时间，则y就是其移动的距雕。若a视为利率，x 为期间，则y为此期间所得到的利息。又当a为弹性系数时，x为微小的弯曲，则y为此时所产生的张力(stress)。要是a为铁丝的线密度，x为其长度，则y为铁丝全体的重量，…。不管x是代表时间、期间、弯曲或线长度，上式都能成立，也就是说x可表任何东西，说大些，这是数学所与的光荣。但在物理学中就不那样广泛，它只是x所表示何物之问题而已。这就是以数学的数学，以手段之数学有所不同之处。
另一方面再回到
之式子来看。d2x/dt2在x- t坐标所画之曲线中，它不外乎表其弯曲度，即斜率之变化率而已。画出曲线时，弯度较大的，就具有较大的力量，d2x/dt2> 0则其力f 为正，此时曲线是向上凹，表示力是向上的意思。这种曲线的曲率是掌握着力的大小与方向。再举个简单的例子，如数式
写成
则为并联电阻的关系式。如果写成
则为凸镜像之位置与焦点距离之式。如图，若f与u给定，则v之值马上可求得，此式不外乎是直线
y=ax+b
在x轴上取点(u，0)，截y轴于点(0，v)，此时之直线方程式为
且该直线通过x=f; y=f，因之得
又如以Δ之距离，去程与回程的速度分别为v1,v2，则全部的平均速度为V时，其间的关系式为
总之
是一个数式，这个式子可表示电阻之式，镜像之式，速度之式等等。所以在物理上应用数学做为手段，是很有趣的情形。要是如在并联电阻全体中流过电流为I时，分配到电阻是r1,r2之电流设为i1,i2，则全电力W为最小的条件该如何呢?那就是从电力
W=(i1+i2)2R-(i12r1+i22r2)
对于i1,i2分别微分令为0 后，求得之式为
这是使W为最小之条件，所以「条件该如何」是具有其物理意味的。
依目的而为的数学:
前面一直以简单且容易的话题写来，如果在物理上，以数学做为手段，其重要且较高水平之例子还有很多。要是欲以使用数学为手段，按其目的，非得真正知道数学不可，这该是做物理的人所必要的「学数学的方法」。
为工程而学数学
(三浦宏文(Miura Hirofumi)，东京大学)
1.回忆
为写本稿，乃找出于进大学当时之兴奋心情，在数学课所记得笔记来浏览，恰遇有同事井上博允助教授从傍窥视，说「写得很整齐呀！」，这是大学入学后最初的笔记本之一页；细心的笔迹，象征着我青春的开始。自忖井上先生没看第二页，可说真侥幸。
第一页开始写着下面事项：
『实数的性质
.对于加法，乘法自成为一个体
.顺序公理(省略)
.阿基米得公理
.连续性公理(Weierstrass公理)
…』
至今回想当时之情景，不由得浮现出教室内的新纳文雄老师，他左手边将垂发拨上，笑容可恭地默默在黑板上书写的情形，记得当天就写了 10页。我要是遇考试，不管题目怎么出，自信还可如愿解出，但却不知为什么随着老师抄写黑板。这个笔记在学生寮 (宿舍)之木板床上，以悲凄之心情，翻阅至深夜无法入睡。
第二天，在校园内巧遇高中时的前辈，乃问以「大学的数学，真够怪的」，前辈乃说「进了大学，不念《解析概论》-(即分析导论或称高等微积分)是不可以的，且要对ε,δ能习惯」。于是用妈妈的朋友祝贺我考取大学的千圆，买了一本高木贞治着的《解析概论》(该书有中译本，由叶能哲、赖汉卿合译，名为《高等微积分》)，就开始啃，此乃我修习数学的第一部。
在高中时对于「数列的收敛」所授之「无限接近之事」乃改用「任意给定之正数ε，与之对应的一正整数n0而于
来决定」。在这种非常严密的叙述下，才算是数学，是当时所以领会到的记忆。
于是前辈所说的ε,δ，到「连续的均匀性」之概念来想象时，也就能习惯了。ε,δ是读函数解析(即泛函分析)的基本事项，在感觉里，这是与高中所读的数学最不同之点，且此对自己也很有助益，这些都要谢谢我那位前辈先给与我的忠告。
2.有许多记忆的事象
当ε,δ 已习惯后，才再记起大学入试前所读的数学与大学中之数学，有很大不同；高中数学，在给与的题目中都以能「漂亮地」解出为主，所以入试前的数学，都想漂亮能解出的问题，是为数学问题之运用而生。这种浅见，认为数学所表现的问题，都要能漂亮解出来。因此对ε,δ 也以为会出现这类问题。
回顾入试数学领域中，乘法公式只要记得几个，则因式问题必能克服;二次方程式之根与系数的关系，要是能十分理解，一定能解决许多问题，心里想只要利用很少的道具，就有许多收获，乃是数学。所以在高中时之数学表现，都能享受数学说明的乐趣，说实在的，在问题集里，分组取用就有此现象。比如讨论二次方程式时，祇要记得根的公式，则不论什么方程式，都能容易解出，就像导入虚数i来说，只要以一公式，便能扩展到复数的整个世界去，觉得自己学到了万能的方法，这是一很深刻的记忆。
但来到大学的数学时，这种万能的公式却不复存在，于是开始注意到非记忆不可的事项太多了，就是最单纯的一阶常微分方程式 (当开始学习时的想法)，其形式就有 Bernoulli形，Riccati 形等之称呼，而其解法则完全不同，同时非将此解法记到某程度不可，盖因它无法导到简易之解法。因有此情形，读者诸君，在开始学习微分方程式论初期，大概会体会到「结果只取能解的方程式，而能解之方程式大概都很受限制吧!」这不过是我自己的经验，随意下的结论，但为加强工程方面之有用数学，则非记忆很多公式不可。工程学家是数学的使用者，数学家所开发出来的多彩多姿的道具，紧握在手中即可。
3.数学的奇妙
本稿开始，是介绍自己的笔记，这是属解析(即分析)的讲义。另有一种所谓「几何」，是由谷山丰先生(年青早逝)讲授，这是一门难以理解的课，他常以「n维空间」为对象，如全班同学，最初是合成班，二年后要进到各自专门的院别，班里同学得解散分发，而其系别名称很多，乃由「n维」所决定。但此时所学，到现在却非常有用，这也可以说是扩展到很广泛范围的一门学问。其它如线性规划，弹性矩阵分析，有限数学等，在工程学上也是极有用的应用技法，当时的笔记本甚有见效，乃是最高兴的一件事。
学工程的人，决定自己专门方向后，在学数学的使用时，必须要认识数学的奇妙所在。虽然前述之微分方程，想到能解的毕竟有限，然而这些能解的微分方程式，却说明了自然现象上，最适切而取用的情形。当然这也可能是在研究进展下，将解法形成定式化而已。在高中时，埋首于「漂亮」解，所能期待的也就是这种时期，即能具体的被应用于自然现象的事项。
具有「圆对称性」领域上之偏微分方程式，如波动方程式，热传导方程式
等，几乎全部之应用都适用于 Bessel微分方程式。同样的 Laplace方程式 (表示着许多的自然现象)用空间之极坐标表现，如欲解此方程式 (可
用变量分离法)，则其出现之一常微分方程式为 Legendre方程式。球形
物之热传导或流动的分析，就是为这种方程式所约束，当你读这一带之东西时，还是会觉得数学具有万能。
我的恩师渡边茂先生，因具有很优秀之数学修养，很幸运地从研究院时代起，使我对数学的各部门有接触的机会。在上述的情形，我对数学常会有下面三步骤之想法:
1.以为不易突破。
2.因要记的东西太多，带着手册(公式、方法)那就大概够了。
3.遇到大事情，就感到数学的伟大。
为计算器科学的数学
(有泽诚(Arizawa Makato)，山梨大学)
计算器科学之英文名称为 Computer Science，这门科学的数学，也有「计算几何学」之邀请，实际上这是笔者在大学之一必修科由其中包含微分几何。由Riemann Christoffel 之张量积开始，含有诸多难予了解的概念。其次就注意到比此要容易的软件，这是笔者现在为什么走这一方面之一理由，或许以往也曾在那里叙述过。
关于计算器科学之我的想法，是如下情形:中央有软件的大柱，而两侧有硬件及数学理论来支持着。因此各种应用，乃置于此整体之上。要是去掉数学之一支柱，软件使开始崩塌，结果在应用方面之各种，恐怕也都会受到崩落殆尽之累。
学数学本身所得之知识或结果，可能随时光消逝而成过去，但对数学的思考法，以及数学的方法(技巧)，以身历其境，乃更为重要。一般化之抽象概念、严密的理论思考、系统化尝试之错误经验、单调之作业能无错误地实行的持久力、以及时而有突破之观念能开拓，等等可说都是学数学所得的本质。这些对计算器科学(因而渗透到其它各方面之应用亦然)想必定很有助益的部分。
事实上与这里所述，大致具有相同的功用，即为未来的享乐，并非以利益为前提者 (按:日语的数学与数乐是同样的发音，乃以数学为数乐)。
这里所说的思考法与数学之名称并列，也有人喜欢用数理的称呼。如数理工学或情报数理等名称，即信息工学，信息科学等名称，也时常并列使用。
有人说计算器是否为「只为计算之机械」，此问就如同数学是否为「数的学问」，以这相似的比喻来理解，当能更适切的体会出来。因此所谓计算科学的数学，也就包含着种种的领域。首先以其最为基础的算则 (Algorithm) 之数学或理论来说，那是解决问题之实效性的一种手段。计算器科学是不是能把问题解决，是须靠有细密的解析与严密的推理。于此若有些许欠陷，则计算器之「机械」就不能圆满地为你工作。
在高中一直都很有亲密感的代数、解析、机率统计等领域，与计算器科学有深切的关连，比较新的领域则有离散数学。现在于计算器所取用之数并非连续量，而是离散量。譬如要直接微分，乃换成差分来处理，而微分方程式就换成差分方程式。一般并不只是求问题之解的封闭数式形式，而是以所给定的边界值，求此对应的数值解姿势，在实用上常很有效，因此就开拓了数值分析的领域。
其它如图论或组合论等与计算器科学也结了很深的缘。又数理符号语言，Automaton 理论，归纳性函数的计算理论，规划理论，更有在应用方面的作业研究等等，都在数学领域里打滚，目前虽未整理成形的领域，不久的将来，必能充分成长为一体系的分科。
为计算器科学的数学，可说遍历数学的许多枝，但并不必精读所有的领域，重要的乃是在某领域有所必要时，有能处理的基础力之储备。因此大概少不得有下面二种读(数学)法。
第一，要以广而浅的方针，历遍各领域，而有概观的认识。在高中时之数学，特别应有认识「大学入试可能出的数学」外的数学，广收其见识。
第二，不论那一个领域，宜择其一或二，彻底的学习。例如说所选之领城，不一定在尔后直接用到，但能在一领域学成，以后为某种需要所迫，学习另一领域时，此经验经常是相当有效的。这里所要强调的是宜以选择自己有兴趣的领域为主。
在准备大学入试时之读书法是，所有科目都要能平衡发展，方能获取高分的目标，若有某一科目不得意，乃以大部分时间花费在此科目上，这是求取录取的特殊策略。故在刚进大学的学生中，有不少人忘了读书乐。在大学生时代是一生中，能读自己喜爱之书，最难能可贵之一机会。不少人在大学毕业后，刚步入社会时，
常感叹的说:「学生时代，要是能多用功一点就好了」。在四年间学得到的知识，算不了什么，但能稳定念书的习惯与方法，其后之发展必有很大的差别。
另一力面，数学或与之相近的方面，得注意「过饱不消化」。每天一点点的积蓄，即积分是很重要的一件事，跟联考入试的准备一样，开一整夜车数学，并不很奏效，这该是能想象得到的认识。在计算器科学也具有此性格的一门学问，是幸或不幸不得而知。
笔者在以前有同在一研究室工作的电研所之岛田俊夫氏，他意味下面叙述的一段话:「喝酒对于定性之议论力量并不改变，但对于定量之说法，则醉了时的力量会减弱。即讨论天下国家大事，酒精并不会使之变成为负，数学定理的证明或计算器的算则理论，对于酒精而言并不会(影响)变成为负的意思。
为计算器科学的数学，是与传统(纯粹)数学不同，并不祇追求艺术的「美」，或科学的「真理」，而是常把工程学的实用性或经济性置于脑中。如光说原理性所能解决，而在计算器却要花上几年，那就毫无价值了。但反过来说，只要得到结果，其推理稍欠严密也无妨，这种想法也不健全，如果对于推理有缺陷，利用计算器所产生的结果，将会有敏锐的影响出现。欲求科学的精密度，工学与工程两方面的意义，都属计算器科学的分野。
单在计算器周围打转，而忽略了自己在做之工作的局部性部分，以致丧失在整体中所占的位置。这在计算器社会中，所能影响的成果，恐怕就不易看见。像这种情形，由计算器外侧观望，而为使全体能保持平衡的感觉，则数学意味想必很有用处。
与长久传统数学所不同的，计算器科学可以说是数学的一新分科，在这个世界里，尚未确立的公理系，或绝对性公理，是几乎不存在，这对富有冒险精神的年青人，说不定是一损失。但十年或廿年后，我想计算器科学将会以不同之容貌出现，笔者以稍感不安的想象而期待着。
经济学与数学
(饭尾要(Iio, Kaname)，和歌山大学)
1.Sancta cosa la masserizia
异于从前，因「对数学有厌恶，才到经济系来」的学生，一般好象已减少了。经济
学在文科系中，是「最须用数学」的认识=心感，已经扩展了，具有此心感的可说大略是「正确解」。经济学是社会科学的一种，以人与人之间的关系，来研究社会关系的一种学问。不过这里所出现的社会关系，主要的是以财物货币结合出现，以劳动、资源、时间及其它种种的组合做比较、分析是占极重要的部分。不论如何，这种种
形式，都以数学来思考。
在经济学与数学的关系中，常浮现于脑中的是在一本《家政论》中之一句名言- Sancta cosa la masserizia， Sancta cosa是「神圣」的意思，masserizia是十分理性的秤量。详言之即为「施行合理性的经济分析，是人间很重要的一件事」。此精神在今天的经济学中可以说是不能缺少的。当今所谓「合理的经济人」常备受批评，相信这并不是「合理性」本身的不是，而是在狭窄的个人利益上着想的「合理性」，才会受到批判。如果在自然中之人类，站在人性、社会的立场，为大众利益的「合理性」，绝不可能被否定或批判。故要紧的是到底为谁的「合理性」。也许我们可以说「由小理到大理」的思想，就是当今我们要建造的「合理性」。为求这种合理性，则非借助于数学的基础及思考的方法不可。
2.在经济学意识下之问题中学数学
要为经济学来学数学，到底该读什么样的数学?事实上，在同学们或研究者同仁最感遗憾的是，对经济学与数学的交集不易寻找得到，因而似乎无法说那些数学是必要的，那些数学为不需要的。不过数学家银林浩先生对于学经济的学生有下面的看法，似乎对学经济的人有些帮助。「像数学家去熟习数学定理的证明技巧，并无必要，也不必要求解难题，只要把握数学的思考方法就够了」(参照「经济学与数学」经济???-1974年6月号)，但得先提第一必要的是微分，积分，微分方程式，线性数学，差分方程式，机率统计，这些在传统性都列为必要的数学。除此而外，最近更加上符号逻辑、集合、位相、代数结构等正确之知识也多列在要求之领域。或许有人以为「真不得了，这么一来，读经济的时间就没了」，但具此想法的人，他的读书法就不对了。也就是说上述方式，并不是说读数学就离开学习经济，要不是一面学经济，一面就其中所需再学数学，则不能达身历其境的优点。这里我就以学经济的朋友，从他以往的体验来叙述-我是昭和21年(1946年)进入旧制的高等学校，当时之旧制的高等学校，那时之数学老师是秋月康夫先生，他说「你们文科的学生，数学那里能懂」，因而一年之间，只听他讲授Poincaré的《科学价值》(那也得相当的努力)，后来进到大学时，东大恰为「马克斯经济」全盛期，我们的统计学是由有泽广已先生讲授，一年间接连听到「唯物辩证法」，最后乃说明「大量现象是偶然与必然的关系」，因而在当时，我们的数学修养，-一般的说，并不很丰富，其详情从略。大学毕业后，在友人当中，对「数理经济重新学习」的就逐渐地出现，当时有人说「只要关在山中，接受一个月之特训，则数学就会有些概念，然后下山来接触数理经济」的无心提案，但并没实现。大略持有此思想的人，大多因自己无法接近也无从接近数学的思考法，而暗中劝人学些必要的数理经济学，计量经济学。听说当时有人在必要时，参照数学的教科书，慢慢地自修，直到大概能了解时，再回到经济学的论文中来(即使未必全部如此)，以这样形式来学习的人，在某程度也多能稍有成就。其原因虽不很清楚，但总有些理由，其一就是出现在经济学中之数学思考法，有几个流动，为熟习此情况，后者的学习法可能较佳。有句口头语说「必要是学习之母」，在经济学学习的实践当中，为经济学的意义、内容以及问题意识而导出的数学学习
法，是最能近身，以它再逐渐推展。今与昔不同，目前学经济的学生在「教养部的数学」大概迫得相当紧。但愿就此用功多学些数学，以期能持有如上述学数学的想法。
3.学概念或思考法的发展
在今天经济关系的概念，愈形复杂，要想把握其构造或运动法则，则必须要有数学的思想及概念。这个意思暗示着学经济的人，不单是要学会数学的计算方法及技巧，就是数学的根基「思考法」或概念的意会也甚为重要。特别在今天的现代数学，被称为「量与构造的科学」。这里所说构造概念，当然不是社会构造概念，而是包含有益于社会的诸多事象。特别是常受指摘的以微分、积分为中心之数学，有趋向自然科学开发之倾向，其应用有数学物理学化学生物学…等之连锁性。但在社会科学上之应用，也多介绍物理学、工程学。在被称为构造科学(Structurewise Science)的现代数学中，其「形构」(configulation)的基本概念，也会直接影响社会科学的一面。其意义并不是由物理学或工程学「导入」或「模仿」，而是为社会科学本身的数学正处于被开发的时代。学经济的诸君，如能多读数学杂志，以不亚于理学院的学生，大胆地运用数学的新概念，从而能思考出新的发展。
这种思想，在数年前有一、二位数学家说「在初等教育要教集合论，不如教以传统的计算技巧做中心为上策」时，定有相当不安的情绪。以数学家的眼光来说，虽不知如何，但以数学使用者的社会科学家之立场来说反而希望多教些符号逻辑或位相数学 (拓扑学)等新数学。这在传统性之理论经济学;大声呼吁再检讨时，是甚具其重要的意味。另一方面对文科系学生，能学一些「数学史」也是非常重要的一点，说来还是秋月先生有此卓见;在可能范围内，对根基的书或古今数学家、科学家等成功史，能多读些，以增广见识是有需要的。
最后来提与学数学有关的问题。在日本学经济的学生，都有一共有的疑问。即「该取马克斯经济或取近代经济」的问题。对这一点，我的答复是，如果在「昔时」或许不甚清楚，但从现在起的学生，若仅知此两者之一，则大概会有些苦恼，当然主修的话，可能取其一，或依个人的社会观及「嗜好」来决定。不过近年来虽然近代经济学也有种种形态，而马克斯经济学中最近也很有数学倾向。因此不论选马克斯经济或选近代经济，都极需学数学。以具备适当的数学修养及心得，方能对所选取的方向有发展。
注：马克斯经济与近代经济：按马克斯经济派指专家以哲理观点讨论经济学，所用数式较少。近代经济派系指以数理观点讨论经济学，所用数式较多，如数理经济，计量经济等。