2.2.2双曲线的简单几何性质
学习目标：
1、通过对双曲线标准方程的讨论，掌握双曲线的范围，对称性，顶点，渐近线和离心率等几何性质与双曲线的中心，实轴，虚轴，渐进线，等轴双曲线的概念，加深对a 、b 、c 、e 的关系及其几何意义的理解。
2、能利用双曲线的简单几何性质及标准方程解决相关的基本问题。 【学习重点】双曲线的简单几何性质及其应用。 【学习难点】渐近线方程的导出。 知识回顾
1、双曲线的定义：
2、双曲线的标准方程：
3、回想椭圆有哪些几何性质，是如何探讨的？
学习过程
一、 双曲线的几何性质
（一）试一试
类比探究椭圆的简单几何性质的方法，根据双曲线的标准方程
22
221,(0,0)x y a b a b
-=>>，研究它的几何性质。 ①范围 ：由双曲线的标准方程可得：=22
b
y 从
而得x 的范围： ；即双曲线在不等式 和
所表示的区域内。22
a
x = 从而得y 的范
围为 。
②对称性：以x -代x ，方程不变，这说明
所以双曲线关于 对称。同理，以y -代y ，方程不变
得双曲线关于 对称，以x -代x ，且以y -代y ，方程也不变，得双曲线关于 对称。
③顶点：即双曲线与对称轴的交点。在方程122
22=-b
y a x 里，令y=0,得x= 得到
双曲线的顶点坐标为1A （ ）2A （ ） ；我们把1B （ ）2B （ ）也画在y 轴上（如图）。线段 分别叫做双曲线的实轴和虚轴，它们的长分别为 。
④离心率：双曲线的离心率e= ，范围为 。
思考：离心率可以刻画椭圆的扁平程度，双曲线的离心率刻画双曲线的什么几何特征？
探究：在学习椭圆时，以原点为中心，2a 、2b 为邻边的矩形，对于估计
仍以原点为中心，2a 、2b 为邻边作一矩形(板书图形)，那么双曲线和这个矩形有什么关系？
当a 、b 为已知时，这个矩形的两条对角线的方程是什么？
○
5双曲线特有性质----- 双曲线22
221x y a b
-=的渐近线方程为 ,双曲线各支向外延伸时，与它的渐
近线 ， 。
（二）想一想
1、根据上述五个性质，画出椭圆 191622=+y x 与双曲线19
162
2=-y x 的图象。
探究案：
1）整合前面的探究结果，类比出双曲线焦点在y 轴时的几何性质，完成下表。
3）探究共渐近线的双曲线系？
二 、 例题讲解
（一）已知双曲线方程研究几何性质
例1 求双曲线 2
2
916144y x -= 的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、顶点坐标、离心率、
渐进线方程.
练习(1) ：2
2
832x y -=的实轴长 虚轴长 ，顶点坐标 焦点坐标 离心率
（2）2
2
4x y -=-的实轴长为 虚轴长 顶点坐标 焦点坐标 离心率 渐近线方程 拓展提升
1y -4
x 22
=的渐近线方程为： 2244x y -=的渐近线方程为： 2
214
x y -=-的渐近线方程为：
22
44
x y -=-的渐近线方程
为： 。
思考:共渐近线的双曲线方程有什么特点？
（二）由双曲线方程性质求双曲线方程
例2 求中心在原点，对称轴为坐标轴，过点A （-5，3），且离心率e=2的双曲线的标准方程.
变式：求顶点在x 轴上，两顶点间距离为8，离心率e=4
5
的双曲线的标准方程.
三、小结
四、 当堂检测
1．双曲线14
32
2=-y x 的实轴长和虚轴长分别是( ) A.32 ，4 B.4，32 C.3，4 D. 2，3 2．如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为( ) A.
23 B. 26 C. 2
3 D.2 3．双曲线的渐近方程是x y 2
1
±
=，焦点在坐标轴上，焦距为10，其方程为( ) A. 152022=-y x B. 15202
2=-y x 或 152022=-x y C. 12052
2=-y x D. 15
2022±=-x y 4. 等轴双曲线的一个焦点是F 1（4，0），则它的标准方程是 ，渐近线方程是
5.求与椭圆
1244922=+y x 有公共焦点，且离心率4
5
=e 的双曲线方程.
6.若双曲线的渐近线方程为x 4
3
y ±=求双曲线的离心率.
7.若双曲线1k
-42
2=y x 的离心率）
（2,1e ∈，求k 的范围.
8、双曲线12
2=-y x 的左支上一点P （a ，b ）到直线y=x 的距离为2，求a+b 的值.
五、【课后反思】
本次课我掌握了哪些知识
我还有哪些不懂得知识