一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．
12i
2i
-=+（ ） A ．1i +
B ．i -
C ．i
D ．1i -
2．复数z 满足(i)(2i)5z ++=，则z =（ ） A ．22i --
B ．22i -+
C ．22i -
D ．22i +
3．已知复数z 满足()2i i z -=，则复数z 的虚部为（ ） A ．15
-
B ．
25
C ．
2i 5
D ．1i 5
4．设1i z =+，则3z -=（ ）
A B ．5
C
D ．2
5．若复数z 满足i 24i z =+（其中i 为虚数单位），在复平面内z 对应的点位于（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
6．若复数12z z 、满足12z z =，则12z z 、在复数平面上对应的点12Z Z 、（ ） A ．关于x 轴对称 B ．关于y 轴对称 C ．关于原点对称
D ．关于直线y x =对称
7．若
53i
i 12i m n -=++，其中,m n ∈R ，则m n -=（ ） A ．145 B ．125 C ．125
-
D ．14
5
-
8．下面给出了四种类比推理：
①由实数运算中的=a b b a ??类比得到向量运算中的=??a b b a ；
②由实数运算中的()()a b c a b c ??=??类比得到向量运算中的()()??=??a b c a b c ； ③由向量a 的性质2
2
||=a a 类比得到复数z 的性质2
2
||z z =； ④由向量加法的几何意义类比得到复数加法的几何意义； 其中结论正确的是（ ） A ．①②
B ．③④
C ．②③
D ．①④
9．已知20191i z =-，则2i z +=（ ）
A B ．C ．2
D
10．i 是虚数单位，若
2i
i 1i
a b +=++（a ，b ∈R ），则()2log a b -的值是（ ）
A ．1-
B ．1
C ．0
D ．
12
11．设复数2
i (
)1i
a
z +=+，其中a 为实数，若z 的实部为2，则z 的虚部为（ ） A ．12-
B ．1i 2
-
C ．32
-
D ．3i 2
-
12．设复数(1)i(,)z x y x y =-+∈R ，若||1z ≤，记事件A ：实数x y ，满足10x y --≥，则事件A 的概率为（ ） A ．1
4
B ．
12
C ．
12π
D ．
1π
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）
13．已知复数032i z =+，其中i 是虚数单位，复数z 满足003z z z z ?=+，则复数z 的模等于__________． 14．已知复数z ，且||1z =，则|34i |z ++的最小值是________． 15．若复数(
)()2
2
64i k
k
-+--所对应的点在第三象限，则实数k 的取值范围是_______．
16．复数112i z =-，2||3z =，则21||z z -的最大值是___________．
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（10分）如图，在复平面内，已知复数123,,z z z 对应的向量分别是OA OB OC ，，，i 是虚数单位，若复数123z z z z ?=
，求
11
i 2
z +．
18．（12分）已知复数2i z =+（i 是虚数单位）． （1）求z z ?的值；
（2）复数w 满足z w ?是实数，且w =w 的值．
19．（12分）已知m ∈R ，复数(
)(
)
2
2
56215i z m m m m =+++--． （1）若z 对应的点在第一象限，求m 的取值范围； （2）若z 与复数()()1i 57i +--相等，求m 的值．
20．（12分）已知虚数z 满足|21i ||22i |z z +-=+-（i 为虚数单位）． （1）求||z 的值；
（2）若1
mz z
+∈R ，求实数m 的值．
21．（12分）已知复数2i z a =- (a ∈R ，i 表示虚数单位)． （1）若(2i)z -为纯虚数，求复数z ；
（2）在复平面内，若满足(2i)w z -=的复数w 对应的点在直线0x y -=上，
求复数z ．
22．（12分）（1）在复数范围内解方程()2
3i
i 2i
z z z -++=
+（i 为虚数单位）． （2）设z 是虚数，1
z z
ω=+
是实数，且12ω-<<，
（i ）求z 的值及z 的实部的取值范围； （ii ）设11z
z
μ-=
+，求证：μ为纯虚数； （iii ）在（ii ）的条件下求2
ωμ-的最小值．
§3.1.1数系的扩充和复数的概念（教学设计） 教学目标： 知识与技能目标： 了解引进复数的必要性；理解并掌握复数的有关概念（复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部、复数相等）。理解虚数单位i 以及i 与实数的四则运算规律。 过程与方法目标： 通过问题情境，了解扩充数系的必要性，感受数系的扩充过程，体会引入虚数单位i 和复数形式的合理性，使学生对数的概念有一个初步的、完整的认识。 情感、态度与价值观目标： 通过问题情境，体会实际需求与数学内部矛盾在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系。 教学重点： 复数的概念，虚数单位i ，复数的分类(实数、虚数、纯虚数)和复数相等等概念是本节课的教学重点.复数在现代科学技术中以及在数学学科中的地位和作用 教学难点： 虚数单位i 的引进及复数的概念是本节课的教学难点.复数的概念是在引入虚数单位i 并同时规定了它的两条性质之后，自然地得出的.在规定i 的第二条性质时，原有的加、乘运算律仍然成立 教学过程： 一、创设情境、新课引入： 数的概念是从实践中产生和发展起来的.早在人类社会初期，人们在狩猎、采集果实等劳动中，由于计数的需要，就产生了1，2，3，4等数以及表示“没有”的数0.自然数的全体构成自然数集N 随着生产和科学的发展，数的概念也得到发展 为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题，人们引进了分数；为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数的需要，人们又引进了负数.这样就把数集扩充到有理数集Q .显然N Q .如果把自然数集(含正整数和0)与负整数集合并在一起，构成整数集Z ，则有Z Q 、N Z .如果把整数看作分母为1的分数，那么有理数集实际上就是分数集 有些量与量之间的比值，例如用正方形的边长去度量它的对角线所得的结果，无法用有理数表示，为了解决这个矛盾，人们又引进了无理数.所谓无理数，就是无限不循环小数.有理数集与无理数集合并在一起，构成实数集R .因为有理数都可看作循环小数(包括整数、有限小数)，无理数都是无限不循环小数，所以实数集实际上就是小数集 因生产和科学发展的需要而逐步扩充，数集的每一次扩充，对数学学科本身来说，也解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾，分数解决了在整数集中不能整除的矛盾，负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾，无理数解决了开方开不尽的矛盾.但是，数集扩到实数集R 以后，像x 2=－1这样的方程还是无解的，因为没有一个实数的平方等于－1.由于解方程的需要，人们引入了一个新数i ，叫做虚数单位.并由此产生的了复数 二、师生互动、新课讲解 1.虚数单位i : (1)它的平方等于-1，即 2 1i =-; (2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立. 2. i 与－1的关系: i 就是－1的一个平方根，即方程x 2=－1的一个根，方程x 2=－1的另一个根是－i ! 3. i 的周期性：i 4n+1=i, i 4n+2=-1, i 4n+3=-i, i 4n =1 4.复数的定义：形如(,)a bi a b R +∈的数叫复数，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示* 3. 复数的代数形式: 复数通常用字母z 表示，即(,)z a bi a b R =+∈，把复数表示成a +bi 的形式，叫
《数系的扩充与复数的引入》第1课时教案设计学校：江西省抚州市临川二中姓名：黄志彬联系方式： 学情分析： “数系的扩充与复数的引入”是北师大版选修2-2第五章第一节内容，是在学生已经学习了 x+=没有实数解，但实际需要要求此方程的解，实数以及实数有关的运算，知道方程210 所以有必要引出复数的概念以及复数的有关运算，建立新的数系。 ●教学理念： 本着“以学生为主体，教师为主导”的理念，采用探究式教学方法，按照提出问题，思考、交流进而分析得出结论的方法进行启发式教学。 教学目标： 知识技能： 1．了解数系发展原因，数集的扩展过程； 2．理解复数的有关概念以及符号表示； 过程与方法：经历了数系的扩充过程，体验了复数引入的必要，探究了复数相等的概念，领悟了类比的思想方法． 情感态度与价值观：在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求；在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系． ●教学重难点： 重点：对引入复数的必要性的认识，理解复数的基本概念 难点：虚数单位的引入以及复数概念的生成. ●设计思路： 本节课主要采用“问题发现”与“讨论探究”等方式组织教学，凸显学生的主体地位，让教师成为活动的组织者、引导者、合作者，课堂展示学生的研究过程来激发学生的探索勇气。并灵活运用多媒体辅助教学，增强教学的直观性，激发学生的学习兴趣。 教学过程： 以问题为载体，以学生思考为主线 创设情境→建构知识→知识运用→归纳总结→作业布置→课后探究 1.提出问题，探究新知：以一分四十秒数学史录音视频开始，提出问题：自然数集，整数集，有理数集，实数集的关系，继续提出问题：数集扩充到实数集之后,是不是所有的方
专题二 复数 【1】复数的基本概念 （1）形如a + b i 的数叫做复数（其中R b a ∈，）；复数的单位为i ，它的平方等于－1，即1i 2-=.其中a 叫做复数的实部，b 叫做虚部 实数：当b = 0时复数a + b i 为实数 虚数：当0≠b 时的复数a + b i 为虚数； 纯虚数：当a = 0且0≠b 时的复数a + b i 为纯虚数 （2）两个复数相等的定义： 00==?=+∈==?+=+b a bi a R d c b a d b c a di c bi a ）特别地，，，，（其中，且 （3）共轭复数：z a bi =+的共轭记作z a bi =-； （4）复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面；z a bi =+，对应点坐标为(),p a b ；（象限的复习） （5）复数的模：对于复数z a bi =+，把z =z 的模； 【2】复数的基本运算 设111z a b i =+，222z a b i =+ （1） 加法：()()121212z z a a b b i +=+++； （2） 减法：()()121212z z a a b b i -=-+-； （3） 乘法：()()1212122112z z a a b b a b a b i ?=-++ 特别22z z a b ?=+。 （4）幂运算：1i i =21i =-3i i =-41i =5i i =61i =-?????? 【3】复数的化简 c di z a bi +=+（,a b 是均不为0的实数）；的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数：()()22ac bd ad bc i c di c di a bi z a bi a bi a bi a b ++-++-==?=++-+ 对于()0c di z a b a bi +=?≠+，当c d a b =时z 为实数；当z 为纯虚数是z 可设为c di z xi a bi +==+进一步建立方程求解
第1章：复数与复变函数 §1 复数 1．复数域 形如iy x z +=的数，称为复数，其中y x ,为实数。实数x 和实数y 分别称为复数iy x z +=的实部与虚部。记为 z x Re =， z y Im = 虚部为零的复数可看成实数，虚部不为零的复数称为虚数，实部为零虚部不为零的复数称为纯虚数。复数iy x z -= 和iy x z +=称为互为共轭复数，z 的共轭复数记为z 。 设 ，复数的四则运算定义为 加（减）法： 乘法： 除法： 相等： 当且仅当 复数的四则运算满足以下运算律 ①加法交换律 1221z z z z +=+ ②加法结合律 321321)()(z z z z z z ++=++ ③乘法交换律 1221z z z z ?=? ④乘法结合律 321321)()(z z z z z z ??=?? ⑤乘法对加法的分配律 3121321)(z z z z z z z ?+?=+? 全体复数在引入相等关系和运算法则以后，称为复数域. 在复数域中，复数没有大小. 正如所有实数构成的集合用R 表示，所有复数构成的集合用C 表示。
例 设i 3,i 5221+=-=z z ，求 2 1 z z ． 分析：直接利用运算法则也可以，但那样比较繁琐，可以利用共轭复数的运算结果。 解 为求 2 1 z z ，在分子分母同乘2z ，再利用1i 2-=，得 i 101710110i 171)i 3)(i 52(2222121-=-=--=??=z z z z z z z 2．复平面 一个复数iy x z +=本质上由一对有序实数唯一确定。于是能够确定平面上全部的点和全体复数间一一对应的关系。如果把x 和y 当作平面上的点的坐标，复数z 就跟平面上的点一一对应起来，这个平面叫做复数平面或z 平面，x 轴称为实轴，y 轴称为虚轴. 在复平面上，从原点到点 所引的矢量 与复数z 也构成一一对应 关系，且复数的相加、减与矢量相加、减的法则是一致的，即满足平行四边形法则，例如： 这样，构成了复数、点、矢量之间的一一对应关系. 3． 复数的模与辐角 向量 的长度称为复数 的模或绝对值，即：
7.数系的扩充和复数的概念 教学目标 班级______姓名________ 1.了解虚数的定义及复数的概念. 2.掌握虚数与实数之间的关系. 教学过程 一、知识要点. 1.复数的概念： （1）复数定义：形如bi a +的数叫做复数，其中R b a ∈,，i 叫做虚数单位（12-=i ）.a 叫做复数的实部，b 叫做复数的虚部. （2）复数表示方法：复数通常用字母z 表示，即bi a z +=. （3）复数集定义：全体复数所成的集合叫做复数集，常用大写字母C 表示. 2.复数的分类： （1）复数（bi a +，R b a ∈,） 实数（0=b ） 虚数（0≠b ） 纯虚数（0=a ） 非纯虚数（0≠a ） （2）数系的分类： 分数 有理数 实数 整数 复数 无理数 虚数 纯虚数 非纯虚数 3.复数相等的充要条件：设R d c b a ∈,,,，那么c a di c bi a =?+=+且d b =. 二、例题分析. 例1：请说出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数还是纯虚数. ①i 32+；②i 2 13+ -；③i +2；④π；⑤i 3-；⑥0.
例2：实数m 取什么值时，复数i m m z )1(1-++=是（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数. 练2：实数m 为何值时，复数i m m m m m z )32(1 )2(2-++-+= 是（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数. 例3：已知x 、y 均为实数，且满足i y y i x )3()12(---=+-，求x 与y . 练3：已知i x x x x x )32(1 622--=+--（R x ∈），求x 的值. 作业：已知i m m m z )1()1(2 -++=为纯虚数，求实数m 的值.
高二数学复数复习 一、复数的基本概念 1、虚数单位的性质 i 叫做虚数单位，并规定：①i 可与实数进行四则运算；②21i =-；这样方程 21x =-就有解了，解为x i =或x i =- 2、复数的概念 （1）定义：形如bi a +(R b a ∈,)的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位，a 叫做 ，b 叫做 。全体复数所成的集合C 叫做复数集。复数通常用字母z 表示 （2）分类： 例题：当实数m 为何值时，复数226(2)m m z m m i m +-=+-为： （1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数. 二、复数相等 ),,,(,R d c b a d b c a di c bi a ∈==?+=+ 也就是说，两个复数相等，充要条件是 注意：只有两个复数全是实数，才可以比较大小，否则无法比较大小 例题：已知21(3),,,x i y y i x y R -+=+-∈其中则x = ， y = ． 三、共轭复数 bi a +与di c +共轭),,,(,R d c b a d b c a ∈-==?，bi a z +=的共轭复数记作 四、复数的几何意义 1、复平面的概念 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做 ，y 轴叫做 。显然，实轴上的点都表示实数；除了 外，虚轴上的点都表示纯虚数。 2、复数的几何意义
复数bi a z +=与复平面内的点),(b a Z 及平面向量),(b a OZ =→ ),(R b a ∈是 关系 例题：复平面内)6,2(=→AB ，已知→→AB CD //，求→ CD 对应的复数。 3、复数的模： 向量→OZ 的模叫做复数bi a z +=的模，记作z 或bi a +，表示点),(b a 到原点的距离，即=z 22b a bi a +=+，z z = 若bi a z +=1，di c z +=2，则21z z -表示 之间的，即12z z -=例题：已知i z +=2，求i z +-1的值 五、复数的运算 （1）运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ?êR ①i d b c a di c bi a z z )()(21+++=+++=± ②i ad bc bd ac di c bi a z z )()()()(21++-=+?+=? ③2 221)()()()())(()()(d c i ad bc bd ac di c di c di c bi a di c bi a z z +-++=-?+-+=++= 例题：（1） )35()43i i --++（； （2）)45)(3-4i i --（； （3）i i 311++； （4）i i i i +--13222-1 （2）几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行. 如图给出的平行四边形OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法的几何意 义，即OZ →＝OZ 1→＋OZ 2→，Z 1Z 2→＝OZ 2→－OZ 1→. 例题：ABCD 是复平面内的平行四边形，,,A B C 三点对应的复数分别是i 31+，i -，i +2，则点D 对应的复数为 六、常用结论 （1）i ，12-=i ，i i -=3，14=i =675i （2）自己证明：i i 2)1(2=+，i i 2)1(2-=-，1)2 321(3=±-i ，
§3.1.1数系的扩充和复数的概念 教案 李 志 文 【教学目标】 知识与技能：1.了解数系的扩充过程；2.理解复数的基本概念 过程与方法：1.通过回顾数系扩充的历史，让学生体会数系扩充的一般性方法. 2.类比前几次数系的扩充，让学生了解数系扩充后，实数运算律均可应用于 新数系中，在此基础上，理解复数的基本概念. 情感态度与价值观: 1、虚数单位的引入，产生复数集，让学生体会在这个过程中蕴含的创 新精神和实践能力，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系; 2、初步学会运用矛盾转化，分与合，实与虚等辩证唯物主义观点看待和 处理问题。 【重点难点】 重点: 理解虚数单位i 的引进的必要性及复数的有关概念． 难点：复数的有关概念及应用． 【学法指导】 1、回顾以前学习数的范围扩充过程，体会数系扩充的必要性及现实意义； 2、思考数系扩充后需考虑的因素，譬如运算法则、运算律、符号表示等问题，为本节学习奠定方法基础. 【知识链接】 前两个学段学习的数系的扩充： 但是，数集扩到实数集R 以后，像x 2=－1这样的方程还是无解的，因为在实数范围内，没有一个实数的平方等于负数．联系从自然数到实数系的扩充过程，你能设想一种方法，使这个方程有解吗？ Q N Z R 人们在狩猎、采集果实等劳动中，由于计数的需要，就产生了1，2，3，4等数以及表示“没有”的数0.自然数 的全体构成自然数集N 为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数的需要，人们又引进了负整，将数系扩充至整数集Z. 为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题， 人们引进了分数，将数系扩充至有理数集Q. 用方形的边长去度量它的对角线所得的结果，无法用有 理数表示，为了解决这个矛盾，人们又引进了无理数.有 理数集与无理数集合并在一起，构成实数集R . N x 2=－1，x =?
高二数学 4.3数系的扩充(第一课时) 【精品】 高二数学 4、3数系的扩充(第一课时)从容说课复数系的建立经历了一个漫长的过程、事实上,在德国数学家高斯首次引进“复数”这一名词,并把这类新数与坐标平面(他称之为复平面,后人也称之为高斯平面)内的点一一对应起来之前,欧洲的数学家们已对“虚数”及其几何意义进行了将近三百年的研究、“虚数”产生于解方程需要的实际背景应向学生交待,这是矛盾产生的结果,是数学内部发展的自身需要,也是其他科学发展的需要,揭示了数形结合思想在推动这一新的研究对象发生、形成和发展中所起的重要作用;同时要告诉学生,将一个数集进行扩张,还要解决原有的运算律是否保持这样一个基本问题、通过前几节的学习,学生已经知道在复数集内如何进行四则运算,原有的加、乘运算律仍然成立,并知道开方运算在复数集内总可以实施、作为复数知识的重要应用,应引导学生运用所学知识(共轭复数、加减法运算)证明“虚根成对定理”和一元二次方程的根与原数关系的推广真正的“韦达定理”,并向学生指明复数广阔的应用领域和发展前景,着重培养学生热爱科学、追求科学、献身科学的精神、第六课时课题 4、3 数系的扩充教学目标 一、教学知识点
1、复数集与实数集的关系,CRQZNN*、 2、实系数一元二次方程的根的问题及根与系数的关系、 二、能力训练要求 1、了解数系的建立发展的过程,学会尊重科学、 2、会运用求根公式及根与系数的关系解决有关问题、 三、德育渗透目标 1、培养学生的探索与创新精神,学会尊重他人的辛勤劳动、 2、培养学生的科学文化素养,提高自身的素质(包括数学素质),懂得数学与文化的关系、教学重点在复数集中解一元二次方程、教学难点复系数一元二次方程根的探索、教学方法探索建构法:在学生已经掌握复数的运算法则和实数一元二次方程的求解的基础上,逐步让学生主动建构出各数集之间的关系,探索出实系数一元二次方程在复数集中的求解公式、韦达定理,以及复系数一元二次方程的求解法、教学过程Ⅰ、复习导入［师］我们已经学习了哪几类数?［生］正整数、零、负整数、分数、无理数、虚数等等、［师］那么这些数集之间有什么关系呢?这些数又是在什么背景下产生的呢?这一节课我们来研究:数系的扩充(板书课题)、Ⅱ、讲授新课［师］数的概念是从实践中产生和发展起来的,早在人类社会初期,人们在狩猎、采集果实等劳动中由于计数的需要,就产生了
复数专题 一、选择题 1 ．（2012年高考（天津理）） i 是虚数单位,复数7= 3i z i -+ （ ） A ．2i + B ．2i - C ．2i -+ D ．2i -- 2 ．（2012年高考（新课标理））下面是关于复数2 1z i = -+的四 个命题:其中的真命 题为 1:2p z = 22:2p z i = 3:p z 的共轭复数为1i + 4:p z 的虚部为1- （ ） A ．23,p p B ．12,p p C ．,p p 24 D ．,p p 34 3 ．（2012年高考（浙江理））已知i 是虚数单位,则 3+i 1i -= （ ） A ．1-2i B ．2-i C ．2+i D ．1+2i 4 ．（2012年高考（四川理））复数2(1)2i i -= （ ） A ．1 B ．1- C ． i D ．i - 5 ．（2012年高考（上海理））若i 21+是关于x 的实系数方程02=++c bx x 的一个复数根,则 （ ） A ．3,2==c b . B ．3,2=-=c b . C ．1,2-=-=c b . D ．1,2-==c b . 6 ．（2012年高考（陕西理））设,a b R ∈, 是虚数单位,则“0ab =”是“复数b a i + 为纯虚数”的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 7 ．（2012年高考（山东理））若复数z 满足(2)117z i i -=+( i 为虚数单位),则z 为 （ ） A ．35i + B ．35i - C ．35i -+ D ．35i -- 8 ．（2012年高考（辽宁理））复数 22i i -=+ （ ） A ．34i - B ．34i + C ．41i - D ．3 1i +
数系的扩充和复数的概念 【教学目标】 1.在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求在数系扩充过程中的作用理解复数的基本概念 2.理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件 3.了解复数的代数表示方法 【教学重难点】 重点：引进虚数单位i的必要性、对i的规定、复数的有关概念 难点：实数系扩充到复数系的过程的理解，复数概念的理解 【教学过程】 一、创设情景、提出问题 1：我们知道，对于实系数一元二次方程，没有实数根。我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？ 2：类比引进，就可以解决方程在有理数集中无解的问题，怎么解决在实数集中无解的问题呢？ 3：把实数和新引进的数i 像实数那样进行运算，并希望运算时有关的运算律仍成立，你得到什么样的数？ 二、学生活动 1．复数的概念： （1）虚数单位：数＿＿叫做虚数单位，具有下面的性质： ①＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ②＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ （2）复数：形如＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿叫做复数，常用字母＿＿＿表示，全体复数构成的集合叫做＿＿＿＿＿＿，常用字母＿＿＿表示。 （3）复数的代数形式：＿＿＿＿＿＿＿＿＿，其中＿＿＿＿叫做复数的实部，＿＿＿叫做复数的虚部，复数的实部和虚部都是＿＿＿数。 （4）对于复数a + bi(a，b∈R)， 当且仅当＿＿＿＿＿时，它是实数； 当且仅当＿＿＿＿＿时，它是实数0；
当＿＿＿＿＿＿＿时，叫做虚数； 当＿＿＿＿＿＿＿时，叫做纯虚数； 2．学生分组讨论 （1）复数集C和实数集R之间有什么关系？ （2）如何对复数a + bi(a，b∈R)进行分类？ （3）复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，可以用韦恩图表示出来吗？ 三、练习： 1．下列数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？并分别指出这些复数的实部与虚部各是什么？ 2+2i，0.618，2i/7，0，5i+8，3-9i 2．判断下列命题是否正确： （1）若A．b为实数，则Z=a + bi为虚数 （2）若b为实数，则Z=bi必为纯虚数 （3）若a为实数，则Z= a一定不是虚数 四、归纳总结、提升拓展 【例1】实数m分别取什么值时，复数z＝m+1＋(m-1)i是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？ 【练习】实数m分别取什么值时，复数z＝M2+m-2＋(M2-1)i是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？ 两个复数相等，即两个复数相等的充要条件是它们的实部与虚部分别对应相等。也就是A + bi=c + di _______________________（A．B．C．d为实数） 由此容易出：a +bi=0 _______________________ 【例2】已知x +2y +(2x+6)i=3x-2 ，其中，x，y为实数，求x与y。 五、反馈训练、巩固落实 1．若x，y为实数，且 2x-2y+(x+y)i=x-2 i，求x与y。 2．若x为实数，且(2x2-3x-2)+(x2-5x+6)i=0，求x的值。
导读：本文高二数学复数知识点总结，仅供参考，如果觉得很不错，欢迎点评和分享。 【一】 复数的概念： 形如a+bi(a，b∈R)的数叫复数，其中i叫做虚数单位。全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示。 复数的表示： 复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式，其中a叫复数的实部，b叫复数的虚部。 复数的几何意义： (1)复平面、实轴、虚轴： 点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。显然，实轴上的点都表示实数，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数 (2)复数的几何意义：复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即 这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应;反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应。 这就是复数的一种几何意义，也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法。 复数的模：
复数z=a+bi(a、b∈R)在复平面上对应的点Z(a，b)到原点的距离叫复数的模，记为|Z|，即|Z|= 虚数单位i： (1)它的平方等于-1，即i2=-1; (2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立 (3)i与-1的关系：i就是-1的一个平方根，即方程x2=-1的一个根，方程x2=-1的另一个根是-i。 (4)i的周期性：i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i，i4n=1。 复数模的性质： 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系： 对于复数a+bi(a、b∈R)，当且仅当b=0时，复数a+bi(a、b∈R)是实数a;当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数;当a=0且b≠0时，z=bi 叫做纯虚数;当且仅当a=b=0时，z就是实数0。 【二】 两个复数相等的定义： 如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等，即：如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+di a=c，b=d。特殊地，a，b∈R时，a+bi=0 a=0，b=0. 复数相等的充要条件，提供了将复数问题化归为实数问题解决的途径。
数系的扩充与复数的引入知识点总结 一．数系的扩充和复数的概念 １．复数的概念 (1) 复数:形如(,)a bi a R b R +∈∈的数叫做复数，a 和b 分别叫它的实部和虚部. (2) 分类:复数(,)a bi a R b R +∈∈中,当0b =,就是实数; 0b ≠,叫做虚数;当0,0a b =≠时,叫做纯虚数. (3) 复数相等:如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等. 即：如果：,,,a b c d R ∈，那么：=+=+b=d a c a bi c di ????，特别地: . (4) 共轭复数:当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数. 即：=+=-(,)z a bi z a bi a b R ∈的共轭复数是 ２．复数的几何意义 （１）数（）可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的 平面叫做复平面，也叫高斯平面， 轴叫做实轴，轴叫做虚轴. 实轴上的点都表示实数.除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数. 复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即复数 复平面内的点每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应，这就是复数的一种几何意义，也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法. （２）复数的几何意义 坐标表示:在复平面内以点表示复数（）； 向量表示:以原点 为起点，点为终点的向量表示复数. 向量的长度叫做复数的模，记作 .即. ３．复数的运算 （１）复数的加，减，乘，除按以下法则进行 设12,(,,,)z a bi z c di a b c d R =+=+∈则 12()()z z a c b d i ±=±+±
复数专题训练（一） 班级________ 姓名__________ 记分___________ 一、选择： 1、设z0=1，z1=2＋i Z0顺时针旋转900Z2对 应的复数是（） (A)i (B)-1＋i (C)1-i (D)2-i 2、非零复数z1、z2为坐标原点)，若 ，则（） (A)O、Z1、Z2三点共线(B)ΔOZ1Z2是等边三角形 (C)ΔOZ1Z2是直角三角形(D)以上都不对 3、把复数2-i对应的向量，按顺时针方向旋转900，所得向量对应的复数是( ) (A)2+i (B)-2-i (C)-1-2i (D)1+2i 4、复数∈R，b≠0)所表示的图形是( ) (A)直线(B)圆(C)抛物线(D)双曲线 5、若z1、z2、z3是复数，则这三个复数相等是(z1-z2)2＋(z2-z3)2＝0的( ) (A)充分条件(B)必要条件 (C)不充分又不必要条件(D)充分且必要条件 6、实系数方程x2＋ax＋b=0有虚根x=1-i是等式a＋b2=2成立的( ) (A)充分条件(B)必要条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件 7、设-1 R. 其中假命题有( ) (A)1个(B)2个(C)3个(D)4个 9、复平面上有点A、B，其所对应的复数分别为-3＋i和-1-3i，O为原点， 那么ΔAOB是( ) (A)直角三角形(B)等腰三角形(C)等腰直角三角形(D)等边三角形 10、设复数2-i和3-i的辐角主值分别为α、β则α+β等于( ) (A)135°(B)315°(C)675°(D)585° 11、在复平面上复数i, 1, 4+2i所对应的点分别是A、B、C,则平行四边形ABCD的对角线BD的长为（） (A)5 (B)13(C)15(D) 17 12、在复数集中,一个数的平方恰好为这个数的共轭复数,具有这种特性的数一共有（） (A)1个(B)2个(C)3个(D)4个 数系的扩充与复数的引入知识点总结 一。数系的扩充和复数的概念 1.复数的概念 (1) 复数:形如(,)a bi a R b R +∈∈的数叫做复数，a 和b 分别叫它的实部和虚部. (2) 分类:复数(,)a bi a R b R +∈∈中,当0b =，就是实数; 0b ≠，叫做虚数;当0,0a b =≠时，叫做纯虚数. (3) 复数相等:如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等． 即:如果：,,,a b c d R ∈，那么：=+=+b=d a c a bi c di ????，特别地: 。 (4) 共轭复数:当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数。 即：=+=-(,)z a bi z a bi a b R ∈的共轭复数是 ２。复数的几何意义 （1)数（)可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平 面叫做复平面,也叫高斯平面， 轴叫做实轴,轴叫做虚轴. 实轴上的点都表示实数．除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数. 复数集Ｃ和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即复数 复平面内的点每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来,复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应,这就是复数的一种几何意义，也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法. (２)复数的几何意义 坐标表示：在复平面内以点表示复数（)； 向量表示：以原点为起点，点为终点的向量表示复数. 向量的长度叫做复数的模，记作．即 . ３．复数的运算 (1）复数的加，减,乘，除按以下法则进行 设12,(,,,)z a bi z c di a b c d R =+=+∈则 12()()z z a c b d i ±=±+± 一、复数选择题 1．在复平面内，复数534i i -（i 为虚数单位）对应的点的坐标为（ ） A ．()3,4 B ．()4,3- C ．43,55??- ?? ? D ．43,55?? - ??? 2．若复数z 满足()13i z i +=+（其中i 是虚数单位），复数z 的共轭复数为z ，则（ ） A ．z 的实部是1 B ．z 的虚部是1 C ．z = D ．复数z 在复平面内对应的点在第四象限 3．若复数()()24z i i =--，则z =（ ） A ．76i -- B ．76-+i C ．76i - D ．76i + 4．已知i 是虚数单位，则复数41i i +在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 5．若复数1z i =-，则1z z =-（ ） A B ．2 C ． D ．4 6．若 1m i i +-是纯虚数，则实数m 的值为（ ）． A ．1- B ．0 C ．1 D 7．设复数2i 1i z =+，则复数z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 8．复数z 的共轭复数记为z ，则下列运算：①z z +；②z z -；③z z ?④z z ，其结果一定是实数的是（ ） A ．①② B ．②④ C ．②③ D ．①③ 9．已知复数z 满足2 2z z =，则复数z 在复平面内对应的点(),x y （ ） A ．恒在实轴上 B ．恒在虚轴上 C ．恒在直线y x =上 D ．恒在直线y x =-上 10．已知(),a bi a b R +∈是()()112i i +-的共轭复数，则a b +=（ ） A ．4 B ．2 C ．0 D ．1- 11．复数()()212z i i =-+在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3.1.2 复数的几何意义 [学习目标] 1．理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系． 2．掌握实轴、虚轴、模等概念． 3．掌握用向量的模来表示复数的模的方法． [知识链接] 1．下列命题中不正确的有________． (1)实数可以判定相等或不相等； (2)不相等的实数可以比较大小； (3)实数可以用数轴上的点表示； (4)实数可以进行四则运算； (5)负实数能进行开偶次方根运算； 答案 (5) 2．实数可以用数轴上的点来表示，实数的几何模型是数轴．由复数的定义可知任何一个复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，都和一个有序实数对(a ，b )一一对应，那么类比一下实数，能否找到用来表示复数的几何模型呢？ 答案 由于复数集与平面直角坐标系中的点集可以建立一一对应，所以可以用直角坐标系作为复数的几何模型． [预习导引] 1．复数的几何意义 (1)复平面的定义 建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． (2)复数与点、向量间的对应 ①复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )――→对应 复平面内的点Z (a ，b )； ②复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )――→对应平面向量OZ →＝(a ，b )． 2．复数的模 复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )对应的向量为OZ →，则OZ →的模叫做复数z 的模，记作|z |，且|z |＝a 2＋b 2. 要点一 复数与复平面内的点 例1 在复平面内，若复数z ＝(m 2－2m －8)＋(m 2＋3m －10)i 对应的点(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在第二、四象限；(4)在直线y ＝x 上，分别求实数m 的取值范围． 解 复数z ＝(m 2－2m －8)＋(m 2＋3m －10)i 的实部为m 2－2m －8，虚部为m 2＋3m －10. (1)由题意得m 2－2m －8＝0. 解得m ＝－2或m ＝4. (2)由题意，? ??? ? m 2－2m －8＜0m 2＋3m －10＞0，∴2 高二数学第7课时：复数的乘法 学习目标： 1.复数乘法运算. 2.(a+bi)(a-bi)的结果 3.i 的周期性 新授： 目标一：复数乘法 问：设a ，b ，c ，d ∈R ，则(a ＋b )(c ＋d )怎样展开？ 设复数z1＝a ＋b i ，z2＝c ＋d i ，其中a ，b ，c ，d ∈R ，则z1z2＝(a ＋b i)(c ＋d i)， 按照上述运算法则将其展开，z1z2等于什么？ 注意： 我们比较容易证明这些性质： 1.交换律：z1·z2=z2·z1 2.结合律: (z1·z2) ·z3=z1· (z2·z3) 3.分配律：z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 4.正整数指数幂运算律 另外，实数中的完全平方公式，平方差公式，立方差公式，立方和公式在复数中仍适用，请大胆使用. 例 1 已知z1=2+i, z2=3-4i,计算z1·z2. 练习 (1) (7-6i )(-3i ); (2) (3+4i )(-2-3i ); (3) (1+2i )(3-4i )(-2-i ) 第七课时复数的乘法第一页 22(4)(1i). (5)(1i). +-4 (6)(1)i + 目标二： (a+bi)(a-bi) 计算下列各式，你发现其中有什么规律吗？ 小结：两个共轭复数的乘积等于这个复数（或其共轭复数）模的平方. 目标三：i 的周期性 你能发现规律吗？有怎样的规律？ 课堂小结： 1. 2. 3 课堂小测课本94页：练习A 布置作业同步练习册：A 卷 第七课时复数的乘法第二页 (32)(32) i i +-) 32)(32(i i +---1 ,,1,4 321=-=-==i i i i i i __ ,__,__,__8 765 ====i i i i = n i 4=+1 4n i = +24n i = +3 4n i 2000 90 1928 37)1(,,,,i i i i i +选做题：已知z ＝x ＋y i(x ， y ∈R)且z ＝1 z ，(z ＋1)(z ＋ 1)＝x 2＋y 2，求复数z . 高二数学复数的知识点归纳 高二数学复数的知识点归纳 定义 数集拓展到实数范围内，仍有些运算无法进行。比如判别式小于 0的一元二次方程仍无解，因此将数集再次扩充，达到复数范围。 形如z=a+bi的数称为复数(complexnumber)，其中规定i为虚数单位，且i^2=i*i=-1(a，b是任意实数)我们将复数z=a+bi中的实数 a称为复数z的实部(realpart)记作Rez=a实数b称为复数z的虚 部(imaginarypart)记作Imz=b.已知：当b=0时，z=a，这时复数成 为实数当a=0且b≠0时，z=bi，我们就将其称为纯虚数。 运算法则 加法法则 复数的加法法则：设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数。两者和的实部是原来两个复数实部的和，它的'虚部是原来两个虚部的和。 两个复数的和依然是复数。 即(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. 乘法法则 复数的乘法法则：把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，结果中i^2=1，把实部与虚部分别合并。两个复数的积仍然是一个复数。 即(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i. 除法法则 复数除法定义：满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x,y∈R) 叫复数a+bi除以复数c+di的商运算方法：将分子和分母同时乘以 分母的共轭复数，再用乘法法则运算， 即(a+bi)/(c+di) =[(a+bi)(c-di)]/[(c+di)(c-di)] =[(ac+bd)+(bc-ad)i]/(c^2+d^2). 开方法则 若z^n=r(cosθ+isinθ)，则 z=n√r[cos(2kπ+θ)/n+isin(2kπ+θ)/n](k=0，1，2，3……n-1) 《数系的扩充与复数的概念》 教学设计 -----高中人教A版选修2-2 王 海 艳 唐山市第六十二中学 【教材分析】 本章《数系的扩充与复数的概念》是中学课程里数的概念的最后一次扩展。引入复数后，不仅可以使学生对数的概念有一个初步完整的认识，也为进一步学习数学奠定基础。教材编写的线索是：先将复数看成是有序实数对，然后学习复数代数形式的四则运算，最后介绍复数的几何意义。本节是该章的基础课、起始课，具有承上启下的作用。 【学情分析】 在学习本节之前，学生对数的概念已经扩充到实数，也已清楚各种数集之间的包含关系等内容，但知识是零碎、分散的，对数的生成发展的历史和规律缺乏整体认识与理性思考，知识体系还未形成。另一方面学生对方程解的问题会默认为在实数集中进行，缺乏严谨的思维习惯。 【三维目标】 知识与技能：了解数系的扩充过程；理解复数的基本概念、代数表示法以及复数相等的条件 过程与方法：经历数的概念的发展和数系扩充的过程，体会数学发现和创造的过程，以及数学发生、发展的客观需求，让学生学会对事件归纳与认识的方法。 情感、态度与价值观： （１）培养学生分类讨论、等价转化等数学思想和方法； （２）培养学生矛盾转化、分与合、实与虚等辩证唯物主义观点； （３）感受人类理性思维的作用。 【教学重点】复数的基本概念、代数表示法以及复数相等的条件 【教学难点】数集扩充的必要性和过程 【教学设计】 设计思想 知识来源于实际生活。教学中应注重把教材内容与生活实践结合起来，加强数学教学的实践性。本节课对知识结构进行创造性地“教学加工”，教学方法上则采用“合作－探究”的模式，保证学生对知识的主动获取，促进学生充分、和谐、自主、个性化发展。 媒体设计 本节课是概念课，要避免单一下定义再作练习模式，应努力使课堂元素更丰富，因此借助于多媒体课件配合教学，添加与教学内容匹配的图片背景，激发学生的学习兴趣；而例习题用媒体展示分析，则可以提高课堂教学效率。 设计特色 （１）重视数学的人文价值。（２）知识建构采用合作探究模式。 【教学过程】 一、创设情境，提出问题 回顾数的发展史：数，是数学中的基本概念。到目前为止，我们学习了哪些数集？用符号表如何表示？它们之间有怎样的包含关系？用图示法可以如何表示（投影） （设计意图：数集及之间关系的回顾，特别是“图示法”的直观表示，旨在帮助学生对“数系的扩充”有个初步感受）数系的扩充与复数的引入知识点总结
高二数学复数练习试题百度文库
高中数学人教A版选修2-2(课时训练)：3.1 数系的扩充和复数的概念3.1.2
复数的乘法
高二数学复数的知识点归纳
《数系的扩充》教学设计
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