角的概念：
1角的概念的推广
⑴“旋转”形成角
B
一条射线由原来的位置 OA绕着它的端点0按逆时针方向旋转到另一位 置0B就形成角a.旋转开始时的射线 0A叫做角a的始边，旋转终止的射 线0B叫做角a的终边，射线的端点 0叫做角a的顶点.
⑵•“正角”与“负角”“ 0角”
我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角， 把按顺时针方向旋转所
形成的角叫做负角，如图，以0A为始边的角a =210°, 3 =-150 ° , 丫 =660°,
特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个
角，并把这个角叫做零角•记法：角 或 可以简记成 ■
⑶意义：用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了，角的概念推广以后， 它包括任意大小的正角、负角和零角.
2•“象限角”
角的顶点合于坐标原点，角的始边合于 X轴的正半轴，这样一来，角的终
边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上， 则此角不属于任何一个象限）
3 .终边相同的角 三角函数
基础知识整理
a
210 0
结论：所有与 终边相同的角连同 在内可以构成一个集合：
S | k 360 , k Z
即:任何一个与角 终边相同的角，都可以表示成角 与整数个周角的和
注意：
⑴k Z
(2) 是任意角；
(3) k 360°与 之间是“ +”号，
如：k 360°-30。，应看成 k 360°+(-30 ° )；
(4) 终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同，终边相同的角有 无数多个，它们相差 360 °的整数倍.
弧度制：
1.定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为 1弧度的角•它的单位是rad读作
弧度，这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制.
如下图，依次是 1rad , 2rad , 3rad , a rad
2•弧长公式：I r
n r
比公式I 简单 180
即弧长等于弧所对的圆心角(的弧度数)的绝对值与半径的积
3•扇形面积公式 1
S -IR 其中I是扇形弧长，R是圆的半径.
2
o ：RS l 由公式:
的终边上任取(异于原点的)一点 P ( x,y )
则P与原点的距离r J|x|2 |y|2 Jx2 y2 0
即凡是终边相同的角的三角函数值相等
② 实际上，如果终边在坐标轴上，上述定义同样适用
③ 三角函数是以“比值”为函数值的函数
④ r 0而x,y的正负是随象限的变化而不同， 故三角函数的符号应由象限确定
⑤ 定义域：
sin y的定义域：R r
x
cos 的定义域：R r
tan —的定义域： | k ,k Z x 2
注意：⑴ 以后我们在平面直角坐标系内研究角的问题, 与x轴的非负半轴重合•
(2)比值只与角的大小有关• 三角函数的定义:
1.设是一个任意角，在
2.比值 y叫做
r 的正弦 记作： sin y
r
比值 x叫做 的余弦 记作： cos x
r r
比值 y叫做 的正切 记作： tan y
x x
比值 -叫做 的余切 记作： cot x
y y
比值 -叫做 的正割 记作： sec r
x x
比值 二叫做 的余割 记作： csc r
y y
以上六种函数， 统称为三角函数 .
'/P（x, y） r/
/
①角是“任意角”，当=2k + (k Z)时, 与 的同名三角函数值应该是相等的,
其顶点都在原点，始边都 3.突出探究的几个问题:
4.三角函数在各象限内的符号规律：正弦在第一、二象限为正;
余弦在第一、四象限为正;
正切在第一、三象限为正
四.诱导公式:
诱导公式二：
si n( ) -sin
cos( ) cos
tan( ) tan
2.诱导公式的变形规则：奇变偶不变，符号看象限
诱导公式三： 用弧度制可表示如卜
sin (180 ) sin si n( ) sin
cos(180 ) -cos cos( ) -cos
tan (180 ) tan tan( ) tan
诱导公式四：
用弧度制可表示如下
sin (180 ) -si n si n( ) -sin
cos(180 ) -cos cos( ) -cos
tan (180 ) tan tan( ) tan
诱导公式五：
用弧度制可表示如下
sin (90 ) cos sin (― 2 ) cos
cos(90 ) sin cos(― 2 ) sin
tan (90 ) cot tan (— ) cot sin( k 360 ) sin si n( 2k ) sin
cos( k 360 ) cos cos( 2k ) cos
tan( k 360 ) tan tan( 2k ) tan 1必须熟记的两组诱导公式:
诱导公式一（其中 k Z ） 用弧度制可写成
诱导公式六： 用弧度制可表示如卜：
sin (90 ) cos sin (― 2 ) cos
cos(90 ) sin cos(― 2 ) sin
tan (90 ) cot tan (― 2 )cot
补充公式七：
用弧度制可表示如下：
sin (360 ) -si n sin (2 )-sin
cos(360 ) cos cos(2 )cos
tan (360 ) tan tan (2 ) tan
补充公式八：
用弧度制可表示如下：
sin (270 ) cos 3 si n( 2 ) cos
cos(270 ) sin cos(—— 2 ) sin
tan (270 ) cot 3 tan( 2 )cot
补充公式九：
用弧度制可表示如下：
sin (270 ) cos • ,3 si n( 2 ) cos
cos(270 ) sin 3 cos(—— 2 )sin
tan (270 ) cot 3 tan( ) cot
2
五.两角和与差的三角函数关系式:
1.两角和与差的三角函数关系式
cos( ) cos cos sin sin
cos( ) cos cos sin sin
sin( ) sin cos sin cos
sin( ) sin cos sin cos
tan( tan tan
1 tan tan
tan( tan tan
tan tan
2推导公式:
asin bcos ——sin b2 cos )
因为（ / 2 b2)2 b —2)2
、a b 1.所以 2 2 sin 0 + cos
（i）若令 a
a2 b2 =sin 0 ,贝U ——
v'a2 b2 =cos 0
asin a + bcos a= .. a2 b2 (sin 0 sin a + cos 0 cos a )
⑵若令 a
a2 ——=cos
b2
a + bcos =■. a2 b2 cos ( 0 — a)
(或=a b cos ( a
，则 ’ b = sin 7a2 b2
a = . a2 b2 ( sin a cos 0 ))
+ cos a sin )
六.二倍角公式:
1.二倍角公式：
sin 2 2si
n cos ； (S2 )
cos2 2 cos .2 sin ；(C2 )
tan 2 2 tan
1 tan2 ;(T2 ) 2
cos2 2 cos2 1
2 cos2 1 2sin (C2 )
注意：(1)二倍角公式的作用在于用单角的三角函数来表达二倍角的三角函数，
它适用于二倍角与单角的三角函数之间的互化问题.
(2) 二倍角公式为仅限于 2是 的二倍的形式，尤其是“倍角”的意义 是相对的*
(3) 二倍角公式是从两角和的三角函数公式中，取两角相等时推导出，记 忆时可联想相应角的公式.
(4) 公式(S2 ) , (C2 ) , (C2 ),仃2 )成立的条件是：公式仃2 )成立
的条件是 R, k , k , k Z .其他 R.
2 4
(5) 熟悉“倍角”与“二次”的关系(升角一降次，降角一升次)
(6) 特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形：
2 1 cos 2 . 2 1 cos 2 cos , sin 2 2
这两个形式今后常用+
七.万能公式：
1. 万能公式
2ta n —
sin —, cos
1 tan2 — 2
cos 2 cos ・2 —sin — 1 tan2 2 2 2 cos
1 ・2 2 , 2
sin — cos — 1 tan — 2 2 2 1 tan2 —— 2ta n —
2 , tan 2
1 tan2 —— 1 tan2 — 2 2
证明：1 sin sin
1 2sin cos— 2 2_
.2 2 sin cos — 2 2 2ta n— 2_
1 tan2 — 2
