第1节 平面向量的概念及线性运算
最新考纲 1.了解向量的实际背景；2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；3.理解向量的几何表示；4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；6.了解向量线性运算的性质及其几何意义
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知 识 梳 理
1.向量的有关概念
(1)向量：具有大小和方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或模). (2)零向量：长度等于零的向量；其方向不确定.
(3)单位向量：给定一个非零向量a ，与a 同向且模为1的向量，叫做向量a 的单位向量，可记作a 0.
(4)共线(平行)向量：如果向量的基线互相平行或重合，则称这些向量共线或平行. 规定：0与任一向量平行.
(5)相等向量：同向且等长的有向线段表示同一向量，或相等的向量. (6)相反向量：与向量a 反向且等长的向量，叫做a 的相反向量. 2.向量的线性运算
3.共线向量定理
向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa . [常用结论与微点提醒]
1.若P 为线段AB 的中点，O 为平面内任一点，则OP
→＝12(OA →＋OB →).
2.OA
→＝λOB →＋μOC →(λ，μ为实数)，若点A ，B ，C 共线，则λ＋μ＝1. 3.解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件.要特别注意零向量的特殊性. 4.在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误.
诊 断 自 测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)零向量与任意向量平行.( ) (2)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .( )
(3)向量AB
→与向量CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上.( )
(4)当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之成立.( ) 解析 (2)若b ＝0，则a 与c 不一定平行.
(3)共线向量所在的直线可以重合，也可以平行，则A ，B ，C ，D 四点不一定在一条直线上.
答案 (1)√ (2)× (3)× (4)√
2.给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a ，b 都是单位向量，则a ＝b ；③向量AB →与BA →相等.则所有正确命题的序号是( )
A.①
B.③
C.①③
D.①②
解析 根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模
相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量AB →与BA →
互为相反向量，故③错误. 答案 A
3.(2018·潍坊调研)如图所示，已知AC →＝3BC →，OA →＝a ，OB →＝b ，OC
→＝c ，则下列等式中成立的是( ) A.c ＝32b －12a B.c ＝2b －a C.c ＝2a －b D.c ＝32a －12b
解析 因为AC
→＝3BC →，OA →＝a ，OB →＝b ，所以OC →＝OA →＋AC →＝OA →＋32AB →＝OA →＋3
2(OB →－OA →
)＝32OB →－12OA →＝32b －12a . 答案 A
4.(教材习题改编)已知?ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，
则DC
→＝______，BC →＝________(用a ，b 表示).
解析 如图，DC →＝AB →＝OB →－OA →＝b －a ，BC →＝OC →－OB →＝－OA →－OB →
＝－a －b .
答案 b －a －a －b
5.(2015·全国Ⅱ卷)设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝____________.
解析 ∵向量a ，b 不平行，∴a ＋2b ≠0，又向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则存在唯一的实数μ，使λa ＋b ＝μ(a ＋2b )成立，即λa ＋b ＝μa ＋2μb ，则得???λ＝μ，1＝2μ，解
得λ＝μ＝1
2.
答案 12
考点一 平面向量的概念 【例1】 给出下列四个命题： ①若|a |＝|b |，则a ＝b ；
②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则“AB →＝DC →”是“四边形ABCD 为平行四
边形”的充要条件； ③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ； ④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b . 其中正确命题的序号是( ) A.②③
B.①②
C.③④
D.②④
解析 ①不正确.两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同.
②正确.∵AB
→＝DC →，∴|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →，又A ，B ，C ，D 是不共线的四点，
∴四边形ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则|AB →|
＝|DC
→|， AB
→∥DC →且AB →，DC →方向相同，因此AB →＝DC →. ③正确.∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同，又b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同，∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c .
④不正确.当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，故|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件. 综上所述，正确命题的序号是②③. 答案 A
规律方法 1.相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性. 2.共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.
3.向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.解题时，不要把它与函数图象的移动混为一谈.
4.非零向量a 与a |a |的关系：a
|a |是与a 同方向的单位向量. 【训练1】 下列命题中，正确的是________(填序号). ①有向线段就是向量，向量就是有向线段；
②向量a 与向量b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； ③两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小.
解析 ①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，有向线段也不是向量；
②不正确，若a 与b 中有一个为零向量，零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相同或相反；
③正确，向量既有大小，又有方向，不能比较大小；向量的模均为实数，可以比较大小. 答案 ③
考点二 平面向量的线性运算
【例2】 (1)(2018·枣庄模拟)设D 为△ABC 所在平面内一点，AD
→＝－13AB →＋43AC →，
若BC →＝λDC →(λ∈R )，则λ＝( )
A.2
B.3
C.－2
D.－3
(2)在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝
________；y ＝________.
解析 (1)由AD
→＝－13AB →＋43AC →，可得3AD →＝－AB →＋4AC →，即4AD →－4AC →＝AD →－
AB
→，则4CD →＝BD →，
即BD
→＝－4DC →，可得BD →＋DC →＝－3DC →，故BC →＝－3DC →，则λ＝－3. (2)由题中条件得，MN
→＝MC →＋CN →＝13AC →＋12CB →＝13AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →－16AC →＝
xAB
→＋yAC →，所以x ＝12，y ＝－16.
答案 (1)D (2)12 －1
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规律方法 1.解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反
向量将加减法相互转化.
2.用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：(1)观察各向量的位置；(2)寻找相应的三角形或多边形；(3)运用法则找关系；(4)化简结果.
【训练2】 (1)如图所示，已知AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧的两个三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →＝( )
A.a －1
2b B.1
2a －b C.a ＋1
2b
D.1
2a ＋b
(2)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →
＋λ2AC →(λ1
，λ2为实数)，则
λ1＋λ2的值为________.
解析 (1)连接CD ，由点C ，D 是半圆弧的三等分点，得CD ∥AB 且CD
→＝12AB →＝ 12a ，
所以AD
→＝AC →＋CD →＝b ＋12a . (2)DE
→＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC → ＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝－16AB →＋23AC →
， ∵DE →＝λ1AB →＋λ2AC →， ∴λ1＝－16，λ2＝23， 因此λ1＋λ2＝1
2. 答案 (1)D (2)1
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考点三 共线向量定理及其应用 【例3】 设两个非零向量a 与b 不共线.
(1)若AB
→＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b ).求证：A ，B ，D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线.
(1)证明 ∵AB
→＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b ).
∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →.∴AB →，BD
→
共线，又它们有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线.
(2)解 ∵k a ＋b 与a ＋k b 共线，∴存在实数λ， 使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即k a ＋b ＝λa ＋λk b ， ∴(k －λ)a ＝(λk －1)b .
∵a ，b 是不共线的两个非零向量， ∴k －λ＝λk －1＝0，∴k 2－1＝0，∴k ＝±1.
规律方法 1.证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线. 2.向量a ，b 共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0成立. 【训练3】 已知向量a ，b 不共线，且c ＝λa ＋b ，d ＝a ＋(2λ－1)b ，若c 与d 共线反向，则实数λ的值为( ) A.1 B.－12 C.1或－12
D.－1或－1
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解析 由于c 与d 共线反向，则存在实数k 使 c ＝k d (k <0)，于是λa ＋b ＝k [a ＋(2λ－1)b ]. 整理得λa ＋b ＝k a ＋(2λk －k )b .
由于a ，b 不共线，所以有???λ＝k ，
2λk －k ＝1，
整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－1
2. 又因为k <0，所以λ<0，故λ＝－1
2. 答案 B
基础巩固题组 (建议用时：30分钟)
一、选择题
1.已知下列各式：①AB →＋BC →＋CA →；②AB →＋MB →＋BO →＋OM →；③OA
→＋OB →＋BO →＋CO →；