高等数学竞赛（微积分竞赛）参赛感言
数学思维是数学学科的重要组成部分，其变换的形式以及严谨的结构逻辑是数学之美上的一颗璀璨明珠。本文简单阐述我对数学以及微积分，这个数学的重要分支的一些理解以及参加工科微积分竞赛的一些感想。
我认为，首先，数学赋予了我们一个淸晰的头脑，这使得我们可以肴淸事物之间的联系；其次，数学加深了我们对事物的判断能力；第三，数学开发了我们的逻辑思维。
最近几年，我不断的体会到数学在学习以及生活等方而都为我们提供了大量的可利用资源，并不是所有人都理解这一点，毕竟数学是一门非常抽象的学科，数学在本质上完全不同于物理化学。员然应用学科带来了巨大的经济效益，伹倘若没有数学作为基础，所有的学科都将变成空中楼阁。一个人要想成为一名科学家，他酋先必须成为一名数学家。数学产生一种魔力控制着我们的思维，大脑一旦失去数学的作用有如身体失去地心引力一样虚无缥缈，数学的魔力不仅使人的大脑产生了严谨的逻辑性，而且使人的工作效率大大提高，这是我们有目共睹的。
学习数学需要两个前提：一是要有悟性，一是要有一定的计算能力，二者缺一不可。悟性的提髙在于勤思考，多发现。在这点上我深有体会，在学习数学的过程中，我常常把一些离散的信息进行加工，得到另一些连续的或更有价值的信息(如将特殊式反推得到一般式就可以看到式子变化的规律)以便增加已知银来解决我所要而对的问题。
数学是一门计算科学，所以学好数学就必须要有一定的计算能力。而数学没学好的人通常有两个原因：一是逻辑思维发生混乱，一是分析计算能力差。
只要找到自己的弱项，努力的拼搏，最终是会成功的。学习数学是没有终点的，成功只是漫漫旅途的一站，而旅途上更多的是失畋，数学上的成功来源于实力而不是靠运气，而实力则是在坚持不懈的奋斗中点点滴滴麽练出来的。那么我们应该怎么样培养我们学习数学的方法呢？
数学学方法总结
在学数学的过程中，一足会遇到外种.各种各样的公式，定理和规律，这些都是前人毕生心血总结出来的，是人类智惹的结晶，为我们的学习指明了光明的道路。而我们也应该认识到一点：这些仅仅只是大的轮廓，其中所容纳的空间是十分空旷的。前人的路需要我们不断地开拓，不断地完善，然而这一切又一切的实现要靠敢于创新的自我。
学习数学，好比建筑一栋大楼，在打好地某一砖一瓦建筑的同时，首先应该检验地基的牢固性，是否经得起百层的建筑。在这之后才能随心所欲地装饰你的大楼。从这里可以看出，学习数学既要在"守旧"中"创新'又要在‘’创新中‘’守旧'这是最浅显的知识上追求新的发展，在新领域中不脱离根本的原理。这里最重要的是知识的联系，学会举一反三，做到融会贳通，这样才会有学习上的进步，否则只能是在原地踏步。创新是引发历史革命的根本动力，它很可能引发新的数学革命，最终将带动整个社会向前发展。因此，我们应该在具有创新的精神的同时，具有大胆提出问题、汄真研究问题、合理想象问题、巧妙解决问题的信念以及学习数学的热情。
培养对数学的热情
无论学什么，兴趣总是最好的老师，数学更是如此。兴趣的培养在于你对数学的认识，那么对于那些对数学没有兴趣又不得不学的人来说，只有培养你对数学的热情了。20 世纪初的大数学家希尔伯特教授曾说过，真正的数学大师是能够在乡间小迸上向偶然遇见的农夫讲淸楚什么是微分几何的人。从这里我们可以肴出数学不只是纯粹的柚象，它是与每个人都密切相关的知识，农夫正是有着对*数学*的热情才津津有味的欣赏着数学大师的”数学表演'由你怀着对数学的一丝希望，请不要放弃，因为这是难能可进的。当你真正的静下心来做几道数学题，可以毫不含糊的说，已经在你的心中唤起了对数学的渴望，燃起了学数学的热情，那么珍惜这份热情，让它变成激情，带着你"飞"向成功吧！
丰富你的数学思想
数学思想既丰富又实用，比如说微积分思想、数形结合思想、等价变换思想、相关科学知识互动的思想等等，用途非常的广泛。在数学的城堡里，可以演绎出大量的题型，它们有着规棒般的解题模式，这些思想是需要你点点滴滴的积累。
微积分是高等数学中研究函数的微分。积分以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科。内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。
微积分的结题思想我认为包含以下三类：
转化思想。
在日常的学习中，我们都习惯了一些简单的转化方法，比如将1+x2中将x转换为tanx，但是在题目中各类数学形式往往是交叉出现的，这就要求我们要了解转化思维的内涵，而不是浮于表面，能够将转化与函数灵活的结合起来，这样面对复杂的问题时才能正确分析。构造思维
构造法要求去构建一个辅助函数，并在其中运用已知条件中的各类因素
一题多解
为什么我们面对难题时会大脑发懵，甚至毫无应对方法，以至于放弃呢？答案就是惰性。也是我们平常用的最习惯的解决问题的方式，也使得我们放弃了思考。缺乏思考变无法做到厚积薄发。
当然，工科所学的微积分涉及面较窄，这在一定程度上缩小了工科学生对于数学的认知范围，所以，可以试着把工学中的学习方法带入到微积分的学习中来；通过此次竞赛，我发现工科所学的微积分的深度有待提高，这不仅是最基本的计算能力的提升，更是一种数学思维和分析方法的培养。由于难度的降低，使得很多人投入的时间不是很多，这会在很大程度上减少对数学的兴趣，并且会直接影响到未来对工科中一些学科的深入探究。所以，我们对微积分的探究需要有所深入才能灵活自如的运用。微积分在我们眼中不仅仅是题目那么简单，它更是一种认知工具，是一种探索的方法。
当代数学分析权威柯朗(R．Courant)指出：“微积分乃是一种震撼心灵的智力奋斗的结晶。而在我看来，微积分的意义可从下面几个方面去看。
(1)对数学自身的作用
由古希腊继承下来的数学是常量的数学，是静态的数学。自从有了解析几何和微积分，就开辟了变量数学的时代，是动态的数学。数学开始描述变化、描述运动，改变了整个数学世界的面貌。数学也由几何的时代而进人分析的时代。
微积分给数学注入了旺盛的生命力，使数学获得了极大的发展，取得了空前的繁荣。如微分方程、无穷级数、变分法等数学分支的建立，以及复变函数，微分几何的产生。严密的微积分的逻辑基础理论进一步显示了它在数学领域的普遍意义。
(2)对其他学科和工程技术的作用
有了微积分，人类把握了运动的过程，微积分成了物理学的基本语言，寻求问题解答的有力工具。有了微积分就有了工业大革命，有了大工业生产，也就有了现代化的社会。航天飞机、宇宙飞船等现代化的交通工具都是微积分的直接后果。在微积分的帮助下，牛顿发现了万有引力定律，发现了宇宙中没有哪一个角落不在这些定律所包含的范围内，强有力地证明了宇宙的数学设计。
(3)对人类物质文明的影响
现代的工程技术直接影响到人们的物质生产，而工程技术的基础是数学，都离不开微积分。如今微积分不但成了自然科学和工程技术的基础，而且还渗透到人们广泛的经济、金融活动中，也就是说微积分在人文社会科学领域中也有着其广泛的应用。
(4)对人类文化的影响
如今无论是研究自然规律，还是社会规律都是离不开微积分，因为微积分是研究运动规律的科学。
高等数学竞赛 不定积分 不定积分的概念与性质 1、设)10(tan 2cos )(sin 2 2 <<+='x x x x f ，求)(x f 2、设x x f +='1)(ln ，求)(x f 3、已知]1)([)(-'=-'x f x x f ，试求函数)(x f 利用基本积分法求不定积分 一、利用凑微分法求不定积分 1、 求下列不定分; (1) ?+dx x x x cos sin 12cos （2）?++dx x x 5212（3）?+x x dx 22cos 2sin （4）?+-dx x x x x 5)sin (cos cos sin 2、求下列不定积分 （1） ?+++dx e x x e x x x x )13()(22 （2）?+dx x x x )1(ln )ln (2 3 （3） dx x x ? +2 11 arctan （4） ?+-dx xe x x x x ) cos 1(cos sin cos sin 2 （5）?++dx x x x x x )ln 1(ln 2ln 2 二、利用第二换元积分法求不定积分 1、三角代换求下列积分 （1） ?-+2 2 1)1(x x xdx （2） ? +2 323) 1(x dx x （3） dx x x ? -2 29 （4）?-+211x dx 2、倒代换（即令t x 1 =）求下列积分 （1） )0(2 2 2>+?a x a x dx （2）? +) 2(7x x dx 3、指数代换（令,t a x =则t dt a dx ?= ln 1） （1）?++x x x dx 4 212 （2）?+++6 3 2 1x x x e e e dx 4、利用分部积分法求不定积分 （1）?+dx e x x 22)1( （2）? ++xdx x x 2cos )52(3 （3）?xdx x arccos 2 （4）? dx x x 2 3)(ln （5）? xdx e x cos
关于高等数学函数的极限与连续习题及答案 1、函数 ()12 ++=x x x f 与函数()11 3 --=x x x g 相同． 错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。 ∴()12 ++=x x x f 与()113--=x x x g 函数关系相同，但定义域不同，所以()x f 与 ()x g 是不同的函数。 2、如果()M x f >（M 为一个常数），则()x f 为无穷大． 错误 根据无穷大的定义，此题是错误的。 3、如果数列有界，则极限存在． 错误 如：数列()n n x 1-=是有界数列，但极限不存在 4、a a n n =∞ →lim ，a a n n =∞ →lim ． 错误 如：数列()n n a 1-=，1)1(lim =-∞ →n n ，但n n )1(lim -∞ →不存在。 5、如果()A x f x =∞ →lim ，则()α+=A x f （当∞→x 时，α为无穷小）． 正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。 6、如果α～β，则()α=β-αo ． 正确 ∵1lim =α β ，是 ∴01lim lim =?? ? ??-=-αβαβα，即βα-是α的高阶无穷小量。 7、当0→x 时，x cos 1-与2x 是同阶无穷小． 正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim 2 02 2 020=????? ? ????==-→→→x x x x x x x x x 8、 01 sin lim lim 1sin lim 000=?=→→→x x x x x x x ． 错误 ∵x x 1 sin lim 0→不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。 9、 e x x x =?? ? ??+→11lim 0 ． 错误 ∵e x x x =?? ? ??+∞ →11lim 10、点0=x 是函数x x y =的无穷间断点． 错误 =-→x x x 00lim 1lim 00-=--→x x x ，=+→x x x 00lim 1lim 00=+→x x x ∴点0=x 是函数x x y =的第一类间断点．
前三届高数竞赛预赛试题（非数学类） （参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看 一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。） 2009-2010年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题（每小题5分） 1．计算=--++??y x y x x y y x D d d 1) 1ln()(16/15，其中区域D 由直线1=+y x 与 两坐标轴所围成三角形区域. 解:令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =??? ? ??-=， ? -=10 2 d 1u u u （*） 令u t -=1，则21t u -= dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-， 2．设)(x f 是连续函数，且满足?--=2 022d )(3)(x x f x x f ,则 =)(x f ____________. 解:令?=2 0d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ， A A x A x A 24)2(28d )23(20 2-=+-=--= ? , 解得3 4=A 。因此3 10 3)(2- =x x f 。 3．曲面22 22 -+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是 __________. 解:因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-，而曲面 2 2 22-+=y x z 在 ) ,(00y x 处的法向量为 )1),,(),,((0000-y x z y x z y x ，故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平 行，因此，由 x z x =， y z y 2=知
高等数学求极限的14种方法 一、极限的定义 1.极限的保号性很重要：设 A x f x x =→)(lim 0 ， （1）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ； （2）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。 2. 极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。 要特别注意判定极限是否存在在： （1）数列{} 的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推论，即“一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ” （2）A x x f x A x f x =+∞ →= -∞ →? =∞ →lim lim lim )()( (3) A x x x x A x f x x =→=→?=→+ - lim lim lim 0 )( (4) 单调有界准则 （5）两边夹挤准 （夹逼定理/夹逼原理） (6) 柯西收敛准则（不需要掌握）。极限 )(lim 0 x f x x →存在的充分必要条件。是： εδεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当 二．解决极限的方法如下： 1.等价无穷小代换。只能在乘除．． 时候使用。例题略。 2.洛必达（L’ho spital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法） 它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况： （1）“ 00”“∞ ∞ ”时候直接用 (2)“∞?0”“∞-∞”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通 项之后，就能变成(i)中的形式了。即)(1)()()()(1)()()(x f x g x g x f x g x f x g x f ==或；) ()(1 )(1 )(1 )()(x g x f x f x g x g x f -=- (3)“00”“∞1”“0 ∞”对于幂指函数,方法主要是取指数还取对数的方法，即 e x f x g x g x f ) (ln )()()(=，
高等数学试题库 第二章 导数和微分 一．判断题 2-1-1 设物体的运动方程为S=S(t),则该物体在时刻t 0的瞬时速度 v=lim lim ()()??????t t s t s t t s t t →→=+-0000与 ?t 有关. ( ) 2-1-2 连续函数在连续点都有切线. ( ) 2-1-3 函数y=|x|在x=0处的导数为0. ( ) 2-1-4 可导的偶函数的导数为非奇非偶函数. ( ) 2-1-5 函数f(x)在点x 0处的导数f '(x 0)=∞ ,说明函数f(x)的曲线在x 0点处的切 线与x 轴垂直. ( ) 2-1-6 周期函数的导数仍是周期函数. ( ) 2-1-7 函数f(x)在点x 0处可导,则该函数在x 0点的微分一定存在. ( ) 2-1-8 若对任意x ∈(a,b),都有f '(x)=0,则在(a,b)内f(x)恒为常数. ( ) 2-1-9 设f(x)=lnx.因为f(e)=1,所以f '(e)=0. ( ) 2-1-10(ln )ln (ln )'ln x x x x x x x x x 2224 3 21 '=-=- ( ) 2-1-11 已知y= 3x 3 +3x 2 +x+1,求x=2时的二阶导数: y '=9x 2 +6x+1 , y '|x=2=49 所以 y"=(y ')'=(49)'=0. ( ) 二．填空题 2-2-1 若函数y=lnx 的x 从1变到100,则自变量x 的增量 ?x=_______,函数增量 ?y=________. 2-2-2 设物体运动方程为s(t)=at 2 +bt+c,(a,b,c 为常数且a 不为0),当t=-b/2a 时, 物体的速度为____________,加速度为________________. 2-2-3 反函数的导数,等于原来函数___________. 2-2-4 若曲线方程为y=f(x),并且该曲线在p(x 0,y 0)有切线,则该曲线在 p(x 0,y 0) 点的切线方程为____________. 2-2-5 若 lim ()() x a f x f a x a →-- 存在,则lim ()x a f x →=______________. 2-2-6 若y=f(x)在点x 0处的导数f '(x)=0,则曲线y=f(x)在[x 0,f(x 0)]处有 __________的切线.若f '(x)= ∞ ,则曲线y=f(x)在[x 0,f(x 0)]处有 _____________的切线. 2-2-7 曲线y=f(x)由方程y=x+lny 所确定,则在任意点(x,y)的切线斜率为 ___________在点(e-1,e)处的切线方程为_____________. 2-2-8 函数
江苏省第一届（1991年）高等数学竞赛 本科竞赛试题（有改动） 一、填空题（每小题5分，共50分） 1.函数sin sin y x x =（其中2 x π ≤ ）的反函数为________________________。 2.当0→x 时，34sin sin cos x x x x -+x 与n x 为同阶无穷小，则n =____________。 3.在1x =时有极大值6，在3x =时有极小值2的最低幂次多项式的表达式是 _____________________________________。 4.设(1)()n m n n d x p x dx -=，n m ,是正整数，则(1)p =________________。 5. 22 2 [cos()]sin x x xdx π π - +=? _______________________________。 6. 若函数)(t x x =由?=--x t dt e t 102 所确定的隐函数，则==0 2 2t dt x d 。 7.已知微分方程()y y y x x ?'= +有特解ln x y x =，则()x ?=________________________。 8.直线21x z y =?? =?绕z 轴旋转，得到的旋转面的方程为_______________________________。 9.已知a 为单位向量，b a 3+垂直于b a 57-，b a 4-垂直于b a 27-，则向量b a 、的夹 角为____________。 10. =? ????????? ??+???? ??+???? ??+∞→n n n n n n 12222 2212111lim 。 二、（7分） 设数列{}n a 满足1,2,21≥+=->+n a a a n n n ，求n n a ∞ →lim 。 三、（7分）求c 的值，使? =++b a dx c x c x 0)cos()(，其中a b >。
高等数学竞赛极限与连续真题 1. 计算：22 2 sin )(cos 112lim 2x e x x x x x -+-+→ 析： ),(08 21144 22 x x x x +-+=+ )(08 1 1124422x x x x +=+-+ 又)(02 3 )](01[)](0211[cos 2222224 x x x x x x e x x +-=++-+- =- 故22 2 sin )(cos 112lim 2x e x x x x x -+-+→ 121sin )(023)(081lim sin 1)(023)(081lim 222244022 22 24 40-=?+-+=??+-+=→→x x x x x x x x x x x x x x x 2.计算求n n n n n n n ln )ln ln ( lim -+∞→的值。 （选自广东省大学生高等数学竞赛试题） 析：n n n n n n n ln )ln ln (lim -+∞→=n n n n n n n n n n ln 2ln 2ln ])ln ln 21[(lim --∞→-+ 令,ln t n n =则原式.)11(lim 21 0e t t t t =-++ → 3.计算：)1)1(31211(lim 1n n n -∞→-+++- 析： )21 4121(12131121312112n n n S n +++--+++=- -+-= =n n n n n n ++++++=+++-++++1 2111)214121(22131211 =)11 211111(1n n n n n ++++++
前三届高数竞赛预赛试题（非数学类） （参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看 一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。） 2009-2010年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题（每小题5分） 1．计算=--++??y x y x x y y x D d d 1) 1ln()(16/15，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 解: 令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =??? ? ??-=， v u u v u u u y x y x x y y x D D d d 1ln ln d d 1) 1ln()(????--= --++ ????----=---=10 2 1 0d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln (u u u u u u u u u u v v u u v u u u u u ? -=1 2 d 1u u u （*） 令u t -=1，则2 1t u -= dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-， ?+--=0 1 42d )21(2(*)t t t
? +-=10 4 2 d )21(2t t t 1516513 2 21 053= ??????+-=t t t 2．设)(x f 是连续函数，且满足? -- =20 22d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________. 解: 令? = 20 d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ， A A x A x A 24)2(28d )23(20 2-=+-=--= ? , 解得34= A 。因此3 10 3)(2-=x x f 。 3．曲面22 22 -+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 解: 因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-，而曲面2222 -+=y x z 在) ,(00y x 处 的 法 向 量 为 ) 1),,(),,((0000-y x z y x z y x ，故 )1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平行，因此，由x z x =，y z y 2=知0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====， 即1,200==y x ，又5)1,2(),(00==z y x z ，于是曲面022=-+z y x 在 )),(,,(0000y x z y x 处的切平面方程是0)5()1(2)2(2=---+-z y x ，即曲面 22 22-+=y x z 平行平面 022=-+z y x 的切平面方程是0122=--+z y x 。 4．设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，则 =2 2d d x y ________________. 解: 方程29ln )(y y f e xe =的两边对x 求导，得 29ln )()()(y e e y y f x e y y f y f '=''+ 因)(29ln y f y xe e =，故 y y y f x '=''+)(1 ，即))(1(1y f x y '-= '，因此 2 222)](1[)())(1(1d d y f x y y f y f x y x y '-' ''+'--=''= 3 22 232)] (1[)](1[)())(1(1)](1[)(y f x y f y f y f x y f x y f '-'--''='--'-''= 二、（5分）求极限x e nx x x x n e e e )( lim 20+++→Λ，其中n 是给定的正整数. 解 :因
设，求证：．lim ()lim ()x x x x f x A f x A →→==0 求极限lim sin sin x x x x →0 21 []求极限lim cosln()cosln x x x →+∞ +-1 求极限．lim sin x x x →+011 求极限．lim arctan x x x x →∞+2112 求极限lim ()x x x e →∞+11 求极限limarctan arcsin x x x →∞?1 求极限．lim x x x →-+0121 22 )sin 1(sin lim n n n -+∞→求数列的极限 []A x f A u f u x u x x x u u x x =?=≠?=?→→→)(lim )(lim )()(lim 0 00试证：，又，且设 设试确定实数，之值，使得：当时，为无穷小； 当时，为无穷大。 f x x x a b x a f x x b f x ()ln ()()= -→→1 设，问：当趋于何值时，为无穷小。f x x x x f x ()tan ()=2 ． 该邻域内 的某去心邻域，使得在证明：存在点，且，若)()()(lim )(lim 00 x f x g x A B B x g A x f x x x x >>==→→ 设，试证明： 对任意给定的，必存在正数，使得对适含不等式；的一切、，都有成立。 lim ()()()x x f x A x x x x x x f x f x →=><-<<-<-<0 00010201221εδδδε ．，试用极限定义证明：已知：A x f A x f x x x x =>=→→)(lim 0)(lim 0 {}{}{}是否也必发散？同发散，试问数列与若数列n n n n y x y x + 求的表达式f x x x x n n n ()lim =-+→∞+2121
【最新整理，下载后即可编辑】 第二十届高等数学竞赛试卷 一、填空题（每小题5分，本题共50分）： 1. 若0→x 时，1)1(4 1 2 --ax 与x x sin 是等价无穷小，则= a . 2. = +→) 1ln(1 2) (cos lim x x x . 3. 设函数2 301sin d ,0,(),0,x t t x f x x a x ?≠?=??=?? 在0x =处连续，则a = . 4. =??+??=y z y x z x x y xy z 则设,sin . 5. 的解为： 满足微分方程9 1 )1(ln 2-==+'y x x y y x . _______ )()( ,,)()(,.=-=???≤≤==>??D dxdy x y g x f I D x a x g x f a 则表示全平面， 而其他若设01 006 7.. d tan )cos (222 22005= +? -x x x x π π 8. . sin 2sin sin 1lim = ??? ??+++∞→n n n n n n πππ 9. . ,1222= ≤++Ω???Ω dv e z y x z 计算 所界定由设空间区域 10. 设在上半平面{}(,)|0D x y y =>内，函数 (,)f x y 具有连续偏导 数，且对任意的0t >都有2(,)(,)f tx ty t f x y -=. 对D 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L ，则 .. ),(),(= -?dy y x f x x d y x f y L 二、计算题（每小题6分，本题共42分）： . ,)()(cos .的解，并求满足化简微分方程：用变量代换2101010 2=' ==+'-''-<<===x x y y y y x y x t t x π 解题过程是：
．求证：存在，且，＝时，设当βα=β+βα+αβαβ=βαα→→→→000lim lim lim )()(1 1110x x x x x x o o x x 答（ ） ．． ． ． ．是等价无穷小，则与时，若当2 32123211cos )(1)1()(0312--= -=β-+=α→D C B A a x x ax x x （ ） 答 阶的是 时，下述无穷小中最高当x x D x C x B x A x sin 11cos 1022----→ []之值．求)12ln()12ln(lim --+∞→n n n n ．求极限)2sin()1(lim 2+π-+∞→n n n n ．求极限)11ln()21(lim n n n ++∞→ _____________sin 1lim 3202 =--→的值x x x e x x ．及求证：，，设有数列n n n n n n n n n n a a a y a a a a b b a a a ∞→+∞→∞→++-=+= ≠==lim )(lim lim 2)( 11221 ．及，求记：， ．，设n n n n n n n n n n n n x y x x y x x x x x a b b x a x ∞→∞→++++-=+= >>==lim lim 11 2)0(111221 求极限之值．lim ()cos sin x x x x x →+-0212 设，；且试证明：．lim ()lim ()lim ()()x x x x x x v x B u x A A v x B u x A →→→=>==00 00 [] 答（ ） ． ． ． ．2 ln 01)1ln(lim 2)1(1 1D C B A x x x ∞=+-→
中国大学生数学竞赛竞赛大纲 为了进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，激励大学生学习数学的兴趣，发现和选拔数学创新人才，更好地实现“中国大学生数学竞赛”的目标，特制订本大纲。 一、竞赛的性质和参赛对象 “中国大学生数学竞赛”的目的是：激励大学生学习数学的兴趣，进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，发现和选拔数学创新人才。 “中国大学生数学竞赛”的参赛对象为大学本科二年级及二年级以上的在校大学生。 二、竞赛的内容 “中国大学生数学竞赛”分为数学专业类竞赛题和非数学专业类竞赛题。 中国大学生数学竞赛（非数学专业类）竞赛内容为大学本科理工科专业高等数学课程的教学内容，具体内容如下： 一、函数、极限、连续 1．函数的概念及表示法、简单应用问题的函数关系的建立. 2．函数的性质：有界性、单调性、周期性和奇偶性. 3．复合函数、反函数、分段函数和隐函数、基本初等函数的性质及其图形、初等函数. 4．数列极限与函数极限的定义及其性质、函数的左极限与右极限. 5．无穷小和无穷大的概念及其关系、无穷小的性质及无穷小的比较. 6．极限的四则运算、极限存在的单调有界准则和夹逼准则、两个重要极限. 7．函数的连续性（含左连续与右连续）、函数间断点的类型. 8．连续函数的性质和初等函数的连续性. 9．闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理). 二、一元函数微分学 1. 导数和微分的概念、导数的几何意义和物理意义、函数的可导性与连续性之间的关系、平面曲线的切线和法线. 2. 基本初等函数的导数、导数和微分的四则运算、一阶微分形式的不变性. 3. 复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法. 4. 高阶导数的概念、分段函数的二阶导数、某些简单函数的n阶导数. 5. 微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理. 6. 洛必达(L’Hospital)法则与求未定式极限. 7. 函数的极值、函数单调性、函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(水平、铅直和斜渐近线)、函数图形的描绘. 8. 函数最大值和最小值及其简单应用. 9. 弧微分、曲率、曲率半径. 三、一元函数积分学 1.原函数和不定积分的概念. 2.不定积分的基本性质、基本积分公式. 3.定积分的概念和基本性质、定积分中值定理、变上限定积分确定的函数及其导数、
高数竞赛预赛试题（非数学类） （参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书 及相关题目，主要是一些各大高校的试题。） 2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题（每小题5分，共20分） 1．计算=--++??y x y x x y y x D d d 1) 1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 解: 令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 11 10 det d d =??? ? ? ?-=， v u u v u u u y x y x x y y x D D d d 1ln ln d d 1) 1ln()(????--= --++ ????----=---=10 2 1 00 0d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln ( u u u u u u u u u u v v u u v u u u u u ? -=1 2 d 1u u u （*） 令u t -=1，则21t u -= dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-， ?+--=0 1 42d )21(2(*)t t t ? +-=10 42d )21(2t t t 1516513 2 21 053= ??????+-=t t t 2．设)(x f 是连续函数，且满足? -- =20 22d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________. 解: 令? = 20 d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ， A A x A x A 24)2(28d )23(20 2-=+-=--= ? , 解得34= A 。因此3 10 3)(2-=x x f 。 3．曲面22 22 -+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________.
高等数学综合练习题 1、设0>a ，}{n x 满足： ,00>x ,2,1,0),(211 =+= +n x a x x n n n 证明：}{n x 收敛，并求。n n x ∞ →lim 分析：用数列通项表示的这种类型题目，往往要用单调有界必有极限这个定理来解决，因此先要用不等式技术证明}{n x 单调且有界。 证明: （1） 证明：易见，),,2,1,0(,0 =>n x n 则 a x x n x a n n =≥+1， 从而有： 02)(212 1≤-=-+=-+n n n n n n n x x a x x a x x x ， 故}{n x 单调减少，且有下界。所以}{n x 收敛。 （2）设l x n n =∞ →lim ， 在)(211n n n x a x x += +两边同时取极限得 1lim +∞ →=n n x l ),(21)(lim 21l a l x a x n n n +=+=∞ → 解之得a l =，即a x n n = ∞ →lim 。 2、设)(x f 在0=x 的邻域具有二阶导数，且3 1 0)(1 lim e x x f x x x =????? ?++→，试求)0(f ，)0(f '及)0(f ''. 分析：这种类型的题目，先要取对数将指数去掉化成分式。再根据分式极限为常数而分母极限为零，得到分子极限为零。另外求一点的导数往往要用定义。 解 由31 0])(1[lim e x x f x x x =+ +→得
3] ) (1ln[lim =++→x x x f x x ， 因为分母极限为零，从而分子极限为零，即 0]) (1ln[lim 0 =+ +→x x f x x ， 可以得到0) (lim =→x x f x ， 同样，我们有 )0(0)(lim 0 f x f x ==→， 由导数的定义得 00 ) 0()(lim )0('0 =--=→x f x f f x 。 因为)(x f 在0=x 的邻域具有二阶导数，由泰勒公式得 )0)((0)0("2 1 )(22→+= x x x f x f ） 两边取极限得 2]) (0)0("21[lim 220=+→x x f x ， 故4)0("=f 。 3、设0>a ，且)(x f 在),[+∞a 满足： ),[,+∞∈?a y x ，有|||)()(|y x K y f x f -≤-（0≥K 为常数）。 证明： x x f ) (在),[+∞a 有界。 证明： 由条件知，),[+∞∈?a x ，有 |||)()(|a x K a f x f -≤-， 则 |)(||||)(||)()(||)(|a f a x K a f a f x f x f +-≤+-≤， 从而
2010年江苏省《高等数学》竞赛试题（本科二级） 一 填空题（每题4分，共32分） 1.0sin sin(sin ) lim sin x x x x →-= 2.22 ln(1)1x x y x ++=+，/y = 3.2cos y x =，()()n y x = 4.21x x e dx x -=? 5.4 2 1 1dx x +∞ =-? 6.圆222 222042219 x y z x y z x y z +-+=?? ?++--+≤??的面积为 7.(2,)x z f x y y =-，f 可微，//12(3,2)2,(3,2)3f f ==，则(,)(2,1)x y dz == 8.级数1 1(1)! 2!n n n n n ∞ =+-∑的和为 . 二.（10分） 设()f x 在[],a b 上连续，且()()b b a a b f x dx xf x dx =??，求证：存在点(),a b ξ∈，使得 ()0a f x dx ξ =? .
三．（10分）已知正方体1111ABCD A B C D -的边长为2，E 为11D C 的中点，F 为侧面正方形11BCC B 的中点，（1）试求过点1,,A E F 的平面与底面ABCD 所成二面角的值。（2）试求过点1,,A E F 的平面截正方体所得到的截面的面积. 四（12分）已知ABCD 是等腰梯形，//,8BC AD AB BC CD ++=,求,,AB BC AD 的长，使得梯形绕AD 旋转一周所得旋转体的体积最大。
五（12分）求二重积分() 22cos sin D x y dxdy +??，其中22:1,0,0D x y x y +≤≥≥ 六、（12分）求()()21x x y e dx x y dy Γ ++++?，其中Γ为曲线22201 212x x x y x x ?≤≤?+=≤≤? 从()0,0O 到()1,1A -.
大学生数学竞赛训练一（极限） 一、计算()()() 234 00 sin ln 138 lim sin 1 x x x x x t t dt x x e →+-+--? 解：因为()()3 3333 11sin 66 6 x x x x x x x x x οο??-=--+=+ ??? 原式()()3432 00054 sin ln 1sin ln 1382lim lim 1566 x x x x x x t t dt x x x x x →→+-++-+==? 又因为()()()332332 332 sin ln 126232x x x x x x x x x x x x x οο????+-+ =-+-++-+ ??????? ()4 44 116 6 x x x ο= + 所以()()() 234 00sin ln 11 38 lim 5sin 1 x x x x x t t dt x x e →+-+=--?。 二、计算()ln lim x x x e x →+∞ ?+? ??? 解：因为 10lim lim x t x t t + →+∞ → = = 0lim t +→=?? ()()32432011134lim 12t t t t t t t t t t +→?? +++++ ?=-=- ? ? ?? ()ln lim 1x x x e x →+∞? ???+ ? ?- ? ????? ()() lim ln x x x e x →+∞?? =+- ? ?? ?
()() lim ln ln x x x x e e →+∞??=+- ? ?? ? ()lim ln 10x x xe -→+∞??=+= ? ??? 所以()ln 1lim 12 x x x e x →+∞?+?=-??? 。 三、计算() ()221 011221!2x n n n x x t dt n ∞ +→--+∑? 解：设()() ()210 1 1221! n n n n S t t n ∞ +== -+∑，则 ( )()( )21 01121!n n n S t n +∞ ==- + ()()()() 122 113 3 3 x e x x x x x x x οοο=++-++=- +-，所以 ()()221 00 4113 x n n n x x x t dt x ∞ +→ →--+=-∑? 2 20 0031122lim 8 323 x x x x x x →→→-?====--。 四、计算220 3 02 2sin lim lim 2arctan 1arctan t x x x t y dy x t t π+ →+∞ →???? -?? ??????? ? ? 解：因为22ln arctan 22lim arctan 1lim 1x x x t x x x e t ππ→+∞→+∞??????-=- ??? ? ????????? 22 22 422 1 11 2arctan ln arctan 12lim ln arctan lim lim 11x x x x x x t x t t t x t x x ππ→+∞→+∞→+∞+==- 422 24222lim x t x t t t x ππ →+∞-==- +
第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类） 一、填空题（每小题5分，共20分） 1．计算____________，其中区域由直线与两坐标轴所 围成三角形区域. 解 令，则，， （*） 令，则，，，， 2．设 是连续函数，且满足, 则____________. 解 令，则， , 解得。因此。 3．曲面平行平面的切平面方程是__________. 解 因平面的法向量为，而曲面在处的法向量为，故与平行，因此，由 =--++??y x y x x y y x D d d 1) 1ln()(D 1=+y x v x u y x ==+ ,v u y v x -==,v u v u y x d d d d 1110det d d =??? ? ??-=v u u v u u u y x y x x y y x D D d d 1ln ln d d 1) 1ln()(????--= --++????----=---=10 2 1 00 0d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln ( u u u u u u u u u u v v u u v u u u u u ? -=1 2 d 1u u u u t -=121t u -=dt 2d t u -=42221t t u +-=)1)(1()1(2t t t u u +-=-?+--=01 42d )21(2(*)t t t ? +-=10 4 2 d )21(2t t t 1516513 2 21 053=??????+-=t t t )(x f ?--=2 2 2d )(3)(x x f x x f =)(x f ? = 2 d )(x x f A 23)(2--=A x x f A A x A x A 24)2(28d )23(2 2-=+-=--=?3 4= A 3103)(2 - =x x f 22 22 -+=y x z 022=-+z y x 022=-+z y x )1,2,2(-22 22 -+=y x z ),(00y x )1),,(),,((0000-y x z y x z y x )1),,(),,((0000-y x z y x z y x )1,2,2(-
2012年省第十一届高等数学竞赛试题（专科） 一．填空（4分*8=32分） 1.=-+-+→5614 34lim 4x x x 2. =+++∞→4 3 3321lim n n n Λ 3. =?→x x tdt t x x 32030sin sin lim 4.)1ln(x y -=，则=)(n y 5.=? xdx x arctan 2 6.?=2 11arccos dx x x 7.点)3,1,2(-到直线22311z y x =-+=-的距离为 8.级数∑∞=--21)1(n k n n n 为条件收敛，则常数k 的取值围是 二．（6分*2=12分） （1）求))(13(lim 31223 ∑=∞→+-i n i n n n （2）设)(x f 在0=x 处可导，且,2)0(,1)0(='=f f 求201)1(cos lim x x f x --→ 三．在下面两题中，分别指出满足条件的函数是否存在？若存在，举一例，若不存在，请给出证明。（4分+6分=10分） （1）函数)(x f 在),(δδ-上有定义（0>δ），当0<<-x δ时，)(x f 严格增加，当δ<
四．（10分） 求一个次数最低的多项式)(x p ，使得它在1=x 时取得极大值13，在4=x 时取得极小值－14。 五．（12分） 过点)0,0(作曲线x e y -=Γ:的切线L ，设D 是以曲线Γ、切线L 及x 轴为边界的无界区域。 （1）求切线L 的方程。 （2）求区域D 的面积。 （3）求区域D 绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积。 六．（12分） 点)3,2,5(,)1,2,1(--B A 在平面322:=--∏z y x 的两侧，过点B A ,作球面∑使其在平面∏上截得的圆Γ最小。 （1）求直线AB 与平面∏的交点M 的坐标。 （2）若点M 是圆Γ的圆心，求球面∑的球心坐标与该球面的方程。 （3）证明：点M 确是圆Γ的圆心。 七．（12分） 求级数∑∞ =-++12)1()1(n n n n n n 的和。
1 第一部分 一元函数极限 1991年江苏省第一届高等数学竞赛试题（本科一级） 一、填空（每题5分，共50分） 1.函数sin sin y x x =（其中2x π ≤）的反函数为 . 20x →时，34sin sin cos x x x x -+与n x 为同阶无穷小，则n = 1994年江苏省第二届高等数学竞赛试题（本科一级） 一、填空（每题5分，共40分） 1. 111lim 414242n n n n n →∞??+++= ?+++?? 1996年江苏省第三届高等数学竞赛试题（本科一级） 一、填空（每题5分，共40分） 1. 若0a >，2006 1lim lim[sin()tan 3]sin 6x x x t dt x x x x a t ππ→→=--+?，则0a = 3.已知当12x + →时，3arccos x π-与1()2b a x -为等价无穷小，则a = b = 1998年江苏省第四届高等数学竞赛试题（本科一级） 一、填空（每题5分，共40分） 1. 2240112lim 11x x x x →++--+-= 2000年江苏省第五届高等数学竞赛试题（本科一级） 一、填空（每题3分，共15分） 1.设()f x x x =+，则()f f x =???? . 2. 1lim ln 1 x x x x x x →-=-+ . 二、选择题（每题3分，共15分） 1.对于函数11 21 21x x y -=+，点0x =是( )
2 A. 连续点； B. 第一类间断点；C. 第二类间断点；D 可去间断点 4.若()()0000,,,x y x y f f x y ????都存在，则(),f x y 在()00,x y ( ) A. 极限存在，但不一定连续； B. 极限存在且连续； C. 沿任意方向的方向导数存在； D 极限不一定存在，也不一定连续 三（6分）设()f x 有连续导数，()()00,00f f '=≠，求()()20 020lim x x x f t dt x f t dt →??. 2002年江苏省第六届高等数学竞赛试题（本科一级） 一.填空（每题5分，共40分） 1.()tan 0lim 0x x k x e e c c x →-=≠，则k = ，c = 2004年江苏省第七届高等数学竞赛试题（本科一级） 一.填空（每题5分，共40分） 1.0x →时，sin cos cos 2x x x x -??与k cx 为等价无穷小，则c = 2. 2 1lim arctan x x x x →∞??= ??? 3. 2222111lim 4 164n n n n n →∞??+++= ?+++?? 2006年江苏省第八届高等数学竞赛试题（本科一级） 一.填空（每题5分，共40分） 1.()3x f x a =，()()()4 1lim ln 12n f f f n n →∞=???? 2. ()() 25001lim 1x tx x e dt x -→-=? 2008年江苏省第九届高等数学竞赛题（本科一级） 一．填空题（每题5分，共40分） 1.a = ，b = 时，2lim arctan 2 x ax x x bx x p +=-- 2. a = ， b = 时()ln(1)1x f x ax bx =-++在0x ?时关于x 的无穷小的阶数最高。