必修五第一章
§5-1正余弦定理
【课前预习】阅读教材P-完成下面填空
1、正弦定理：在?AB C中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，R为?AB C的外接圆的半径，则有====2R
2、正弦定理的变形公式：
错误!未找到引用源。a=2R sin A，b=2R sin B，c=2R sin C；
错误!未找到引用源。sin A=，sin B=，sin C=；
错误!未找到引用源。a:b:c=；
错误!未找到引用源。
3、三角形面积公式：
a+b+c a b c
===
sin A+sin B+sin C sin A sin B sin C．
S
?AB C
===
4、余弦定理：在?AB C中，有a2=，b2=，c2=．
5、余弦定理的推论：c os A=，
cos B=，cos C=．
6、设a、b、c是?AB C的角A、B、C的对边，则：错误!未找到引用源。若a2+b2=c2，则C=90o；
错误!未找到引用源。若a2+b2>c2，则C<90o；
错误!未找到引用源。若a2+b2
【课初5分钟】课前完成下列练习，课前5分钟回答下列问题
1、在△ABC中，a=7，c=5，则sinA：sinC的值是（）
A、
5
=
775 B、C、D、
751212
2、在△ABC中，已知a=8，B=600，C=750，则b=（）
A、42
B、43
C、46
D、32 3
3、在△ABC中，已知b=1，c=3，A=600，则
△S A BC。
4、在△ABC中，已知a=6，b=8，C=600，则c=。强调（笔记）：
【课中35分钟】边听边练边落实
5．在△ABC中，若a2=b2+bc+c2,则A=_________。
6．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（）A．900B．1200C．1350D．1500
7．在△ABC中，若sin A∶sin B∶sin C=7∶8∶13，则C=_____________。
8．设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2b sin A．（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）若a=33，c=5，求b．
【课末5分钟】知识整理、理解记忆要点
1.
2.
3.
2
C ． 3
4.
【课后 15 分钟】自主落实，未懂则问
1．在△ABC 中， A : B : C = 1: 2 : 3 ，则 a : b : c 等于（ ）
A ．1: 2 : 3
B ． 3: 2 :1
C ．1: 3 : 2
D ． 2 : 3 :1
2．在 △ABC 中， AB = 3 ， A = 45o ， C = 75o ，则 BC = （ ）
Ａ． 3 - 3
Ｂ． 2
Ｃ． 2
Ｄ． 3 + 3
3．在 △ABC 中， AB = 1，BC = 2，B = 60o ，则 AC =
．
4．若 A 为△ABC 的内角，则下列函数中一定取正值的是（ ）
A ． sin A
B ． cos A
C ． tan A
D ．
1
tan A
5．在△ ABC 中，若 b = 2a sin B ，则 A 等于（
）
A ． 30 0 或60 0
B ． 45 0 或60 0
C ．120 0 或60 0
D ． 30 0 或150 0
6．等腰三角形一腰上的高是 3 ，这条高与底边的夹角为 60 0 ，则底边长为（ ）
A ． 2
B ． 3
D ． 2 3
3C、2π
7、在△ABC中，已知a2=b2+c2-bc，则角A为（）
A、π
6B、
ππ2π
D、或
333
互助小组长签名：
§1.1 正弦定理导学案 一．学习目标： 1、熟练掌握正弦定理及其变式的结构特征和作用 2、探究三角形的面积公式,能根据条件判断三角形的形状,能根据条件判断某些三角形解的个数. 3、激情投入，高效学习，体验灵活运用公式的快乐。 二、学法指导 1.利用正弦定理可以将三角形中的边角关系互化，同时要注意互补角的正弦值相等这一关系的应用； 2.利用正弦定理判定三角形形状，常运用变形形式，结合三角函数的有关公式，得出角的大小或边的关系。 三、问题导学： 阅读课本P45—P48面回答下面的问题 1、 在初中我们学习的直角三角形和等边三角形的边角之间存在这样的数量关系： sin sin a b A B = sin c C =，那么这个优美的关系式，对其他的三角形成立吗？ 2、 在课本中又是如何证明“正弦定理”的？你还有其他的证明方法吗？ 3、 “正弦定理”有什么作用？运用正弦定理能够解决什么样的三角形问题？ 4、 正弦定理的得到里面体现什么数学思想在其中呢？ 四、抽象概括 正弦定理:____________________________________________________________ ___________________________________________ 五、合作探究 例1 （1） 在三角形ABC 中，已知A= 45，B= 30,,2=a 解三角形； （2） 已知在三角形中，,105,8,7 ===A b a 求解三角形； （3） 已知在三角形中，,30,6,32 ===A b a 求解三角形； 思考： 1、 通过以上例题你的发现正弦定理适合解什么类型的三角形问题？ 2、 如何判断三角形的解的个数呢？ 例2 探究一 在直角三角形ABC 中，斜边AB 是三角形ABC 外接圆的直径（设直角三角形ABC 的外接圆的半径为R ），因此 sin sin a b A B = sin c C ==2R ，那么这个结论对任意的三角形能否成立呢？ 探究结果：正弦定理常用的变形公式 (1) __________________________________________________________ (2)___________________________________________________________ (3)_____________________________________________________________ (4)____________________________________________________________ (5)____________________________________________________________ 探究二 在直角三角形ABC 中，C=90 ，则三角形ABC 的面积S=C ab ab sin 21 21=，对于任 意的三角形ABC ，已知，则及C b a ,三角形ABC 的面积S=C ab ab sin 2 1 21=，这一结论 也是成立的，怎么证明呢？ 试一试： 如图在三角形ABC 中，).,(),,(v u AC y x AB ==→ → 试证明三角形ABC 的面积 yu xv S -=2 1
高二数学导学案 §1.1.1 函数的平均变化率导学案 【学习要求】 1．理解并掌握平均变化率的概念． 2．会求函数在指定区间上的平均变化率． 3．能利用平均变化率解决或说明生活中的一些实际问题． 【学法指导】 从山坡的平缓与陡峭程度理解函数的平均变化率，也可以从图象上数形结合看平均变化率的几何意义. 【知识要点】 1．函数的平均变化率：已知函数y ＝f (x )，x 0，x 1是其定义域内不同的两点，记Δx ＝ ，Δy ＝y 1－y 0＝f (x 1)－f (x 0)＝ ，则当Δx ≠0时，商x x f x x f ?-?+) ()(00＝____叫做函数y ＝f (x )在x 0到x 0＋Δx 之间 的 ． 2．函数y ＝f (x )的平均变化率的几何意义：Δy Δx ＝__________ 表示函数y ＝f (x )图象上过两点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))的割线的 . 【问题探究】 在爬山过程中，我们都有这样的感觉：当山坡平缓时，步履轻盈；当山坡陡峭时，气喘吁吁．怎样用数学反映山坡的平缓与陡峭程度呢？下面我们用函数变化的观点来研究 这个问题． 探究点一 函数的平均变化率 问题1 如何用数学反映曲线的“陡峭”程度？ 问题2 什么是平均变化率，平均变化率有何作用？ 例1 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率． 问题3 平均变化率有什么几何意义？ 跟踪训练1 如图是函数y ＝f (x )的图象，则： （1）函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为________； （2）函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为________． 探究点二 求函数的平均变化率 例2 已知函数f (x )＝x 2，分别计算f (x )在下列区间上的平均变化率： （1）[1,3]；（2）[1,2]；（3）[1,1.1]；（4）[1,1.001]． 跟踪训练2 分别求函数f (x )＝1－3x 在自变量x 从0变到1和从m 变到n (m ≠n )
高中数学必修5知识点总结 第一章 解三角形 1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°-(A+B)； 2、三角形三边关系：a+b>c; a-b
必修1 第一章集合与函数概念 1．1 集合 1．2 函数及其表示 1．3 函数的基本性质 第二章基本初等函数（Ⅰ）2．1 指数函数 2．2 对数函数 2．3 幂函数 第三章函数的应用 3．1 函数与方程 3．2 函数模型及其应用 必修2 第一章空间几何体 1．1 空间几何体的结构 1．2 空间几何体的三视图和直观图 1．3 空间几何体的表面积与体积 第二章点、直线、平面之间的位置关系 2．1 空间点、直线、平面之间的位置关系 2．2 直线、平面平行的判定及其性质 2．3 直线、平面垂直的判定及其性质 第三章直线与方程 3．1 直线的倾斜角与斜率 3．2 直线的方程 3．3 直线的交点坐标与距离公式 必修3 第一章算法初步 1．1 算法与程序框图 1．2 基本算法语句 1．3 算法案例 阅读与思考割圆术 第二章统计 2．1 随机抽样 阅读与思考一个著名的案 例 阅读与思考广告中数据的 可靠性 阅读与思考如何得到敏感 性问题的诚实反应 2．2 用样本估计总体 阅读与思考生产过程中的 质量控制图 2．3 变量间的相关关系 阅读与思考相关关系的强 与弱 第三章概率 3．1 随机事件的概率 阅读与思考天气变化的认 识过程 3．2 古典概型 3．3 几何概型 必修4 第一章三角函数 1．1 任意角和弧度制 1．2 任意角的三角函数 1．3 三角函数的诱导公式 1．4 三角函数的图象与性质 1．5 函数y=Asin（ωx+ψ） 1．6 三角函数模型的简单应 用 第二章平面向量 2．1 平面向量的实际背景及 基本概念 2．2 平面向量的线性运算 2．3 平面向量的基本定理及 坐标表示 2．4 平面向量的数量积 2．5 平面向量应用举例 第三章三角恒等变换 3．1 两角和与差的正弦、余 弦和正切公式 3．2 简单的三角恒等变换 必修5 第一章解三角形 1.1正弦定理和余弦定理 1.2应用举例 1.3实习作业 第二章数列 2.1数列的概念与简单表示法 2.2等差数列 2.3等差数列的前n项和 2.4等比数列 2.5等比数列的前n项和 第三章不等式 3.1不等关系与不等式 3.2一元二次不等式及其解法 3.3二元一次不等式（组）与简 单的线性规划问题 3.3.1二元一次不等式（组）与平 面区域 3.3.2简单的线性规划问题 3.4基本不等式 选修1-1 第一章常用逻辑用 语 1.1命题及其关系 1.2充分条件与必要条件 1.3简单的逻辑联结词 1.4全称量词与存在量词 第二章圆锥曲线与 方程 2.1椭圆 2.2双曲线 2.3抛物线 第三章导数及其应 用 3.1变化率与导数 3.2导数的计算
课题： 正弦定理 （新课） 学科： 数学 年级： 高2015级 主备人： 彭江龙 学习目标： 1、通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法； 2、会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。 重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用 难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 自主学习 1、三角形的内角和C B A ++= 。 2、三角形的三边之间的关系： 。 3、三角形的边、角之间的关系： 。 4、ABC ?的基本元素： 。 5、由已知的边和角求出未知的边和角，称为解三角形. 已学习过任意三角形的哪些边角关系？（内角和、大边对大角） 是否可以把边、角关系准确量化？ ________________________________________ 6、在△ABC 中，若0 30,6,90===B a C ，则b c -________ （一）课题导入 如图，固定?ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动. A 思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大.能否 用一个等式把这种关系精确地表示出来？ 引出课题———正弦定理 《设计意图》：激发学生学习兴趣，引导学生思考，为后续学习做好铺垫。 （二）探索研究：在三角形，如果已知角A ，所对的边BC 长为a ，角B 所对的边AC 长为b ，角C 所对的边AB 长为c ，研究角A 、B 、C 与边a 、b 、c 之间的关系 首先我们研究特殊的三角形————直角三角形 如图1．1-2，在Rt ?ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 老师：要建立角与边之间了连线，就目前而言？可通过什么建立？ 生：正弦、余弦、正切函数定义。 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有 sin a A c =，sin b B c =，又 sin 1c C c ==, 则 sin sin sin a b c c A B C = = = 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b c A B C = = 1页 得分： 等级 备课组长审核签字： 得分： 等级 中层领导审核签字： 得分： 等级 校级领导审核签字： B C
第一章解三角形 1.1正弦定理和余弦定理 1.1.1正弦定理 知识结构梳理 几何法证明 正弦定理的证明 向量法证明 已知两角和任意一边 正弦定理正弦定理 正弦定理的两种应用 已知两边和其中一角的对角 解三角形 知识点1 正弦定理及其证明 1正弦定理： 2.正弦定理的证明： （1）向量法证明 （2）平面几何法证明 3.正弦定理的变形 知识点2 正弦定理的应用 1.利用正弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题： （1）已知两角和任意一边，求其他两边和另一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求出其他的边和角。 2.应用正弦定理要注意以下三点： （1） （2） （3） 知识点3 解三角形
1.1.2余弦定理 知识点1 余弦定理 1. 余弦定理的概念 2. 余弦定理的推论 3. 余弦定理能解决的一些问题： 4. 理解应用余弦定理应注意以下四点： （1） （2） （3） （4） 知识点2 余弦定理的的证明 证法1： 证法2： 知识点3 余弦定理的简单应用 利用余弦定理可以解决以下两类解三角的问题： （1）已知三边求三角； （2）已知两边和它们的夹角，可以求第三边，进而求出其他角。 例1（山东高考）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，tanC=73. (1) 求C cos ； (2) 若 =2 5 ,且a+b=9，求c.
1.2应用举例 知识点1 有关名词、术语 （1）仰角和俯角： （2）方位角： 知识点2 解三角形应用题的一般思路 （1）读懂题意，理解问题的实际背景，明确已知和所求，准确理解应用题中的有关术语、名称，如仰角、俯角、视角、方位角等，理清量与量之间的关系； （2）根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形模型； （3）合理选择正弦定理和余弦定理求解； （4）将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位、结果要求近似等。 1.3实习作业 实习作业的方法步骤 （1）首先要准备皮尺、测角仪器，然后选定测量的现场（或模拟现场），再收集测量数据，最后解决问题，完成实习报告。要注意测量的数据应尽量做到准确，为此可多测量几次，取平均值。要有创新意识，创造性地设计实施方案，用不同的方法收集数据，整理信息。 （2）实习作业中的选取问题，一般有：○1距离问题，如从一个可到达点到一个不可到达点之间的距离，或两个不可到达点之间的距离；②高度问题，如求有关底部不可到达的建筑物的高度问题。一般的解决方法就是运用正弦定理、余弦定理解三角形。
人教版普通高中课程标准实验教科书数学 必修一 第一章集合与函数概念 1．1集合 1．2函数及其表示 1．3函数的基本性质 第二章基本初等函数（Ⅰ） 2．1指数函数 2．2对数函数 2．3幂函数 第三章函数的应用 3．1函数与方程 3．2函数模型及其应用 必修二 第一章空间几何体 1．1空间几何体的结构 1．2空间几何体的三视图和直观图 1．3空间几何体的表面积与体积 第二章点、直线、平面之间的位置关系2．1空间点、直线、平面之间的位置关系 2．2直线、平面平行的判定及其性质 2．3直线、平面垂直的判定及其性质 第三章直线与方程 3．1直线的倾斜角与斜率 3．2直线的方程 3．3直线的交点坐标与距离公式 必修三： 第一章算法初步 1．1算法与程序框图 1．2基本算法语句 1．3算法案例 第二章统计 2．1随机抽样 阅读与思考一个著名的案例 阅读与思考广告中数据的可靠性 阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实反应 2．2用样本估计总体 阅读与思考生产过程中的质量控制图 2．3变量间的相关关系 阅读与思考相关关系的强与弱 第三章概率 3．1随机事件的概率 阅读与思考天气变化的认识过程3．2古典概型 3．3几何概型 阅读与思考概率与密码 必修四： 第一章三角函数 1．1任意角和弧度制 1．2任意角的三角函数 1．3三角函数的诱导公式 1．4三角函数的图象与性质 1．5函数y=Asin（ωx+ψ） 1．6三角函数模型的简单应用 第二章平面向量 2．1平面向量的实际背景及基本概念 2．2平面向量的线性运算 2．3平面向量的基本定理及坐标表示 2．4平面向量的数量积 2．5平面向量应用举例 第三章三角恒等变换
§1.1.1 正弦定理 1. 掌握正弦定理的内容； 2. 掌握正弦定理的证明方法； 一、课前准备 试验：固定?ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动． 思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而 ．（简：大角对大边）能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？ 二、新课导学 ※ 学习探究 探究1：在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系. 如图，在Rt ?ABC 中，设BC =a ，AC =b ，AB =c ， 根据锐角三角函数中正弦函数的定义， 有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1c C c ==， 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b c A B C ==． 探究2：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义， 有CD =sin sin a B b A =，则sin sin a b A B =， 同理可得sin sin c b C B =，从而sin sin a b A B =sin c C =． 类似可推出，当?ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立．请你试试推导. 新知：正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等，即 sin sin a b A B =sin c C =． 试试： （1）在ABC ?中，一定成立的等式是（ ）． A ．sin sin a A b B = B .cos cos a A b B = C . s i n s i n a B b A = D .cos cos a B b A = （2）已知△ABC 中，a ＝4，b ＝8，∠A ＝30°，则∠B 等于 ．
9.1随机抽样 考点学习目标核心素养 抽样调查 理解全面调查、抽样调查、总体、个体、 样本、样本量、样本数据等概念 数学抽象 简单随机抽样 理解简单随机抽样的概念，掌握简单随机 抽 样的两种方法：抽签法和随机数法 数学抽象、逻辑推理分层随机抽样 理解分层随机抽样的概念，并会解决相关 问题 数学抽象、逻辑推理 问题导学 预习教材P173－P187的内容，思考以下问题： 1.全面调查、抽样调查、总体、个体、样本、样本量、样本数据的概念是什么？ 2.什么叫简单随机抽样？ 3.最常用的简单随机抽样方法有哪两种？ 4.抽签法是如何操作的？ 5.随机数法是如何操作的？ 6.什么叫分层随机抽样？ 7.分层随机抽样适用于什么情况？ 8.分层随机抽样时，每个个体被抽到的机会是相等的吗？ 9.获取数据的途径有哪些？ 1.全面调查与抽样调查 （1）对每一个调查对象都进行调查的方法，称为全面调查，又称普查Ｗ. （2）在一个调查中，我们把调查对象的全体称为总体，组成总体的每一个调查对象称为个体Ｗ. （3）根据一定的目的，从总体中抽取一部分个体进行调查，并以此为依据对总体的情况
作出估计和推断的调查方法，称为抽样调查Ｗ. （4）把从总体中抽取的那部分个体称为样本Ｗ. （5）样本中包含的个体数称为样本量Ｗ. （6）调查样本获得的变量值称为样本的观测数据，简称样本数据. 2.简单随机抽样 （1）有放回简单随机抽样 一般地，设一个总体含有N （N 为正整数）个个体，从中逐个抽取n （1≤n 期末测试题 考试时间：90分钟 试卷满分：100分 一、选择题：本大题共14小题，每小题4分，共56分. 在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在等差数列3，7，11…中，第5项为( )． A ．15 B ．18 C ．19 D ．23 2．数列{}n a 中，如果n a ＝3n (n ＝1，2，3，…) ，那么这个数列是( )． A ．公差为2的等差数列 B ．公差为3的等差数列 C ．首项为3的等比数列 D ．首项为1的等比数列 3．等差数列{a n }中，a 2＋a 6＝8，a 3＋a 4＝3，那么它的公差是( )． A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 4．△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a ＝3，b ＝4，∠C ＝60°， 则c 的值等于( )． A ．5 B ．13 C ．13 D ．37 5．数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1(n ∈N +)，那么a 4的值为( )． A ．4 B ．8 C ．15 D ．31 6．△ABC 中，如果A a tan ＝B b tan ＝C c tan ，那么△ABC 是( )． A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰直角三角形 D ．钝角三角形 7．如果a ＞b ＞0，t ＞0，设M ＝b a ，N ＝t b t a ++，那么( )． A ．M ＞N B ．M ＜N C ．M ＝N D ．M 与N 的大小关系随t 的变化而变化 8．如果{a n }为递增数列，则{a n }的通项公式可以为( )． A ．a n ＝－2n ＋3 B ．a n ＝－n 2－3n ＋1 C ．a n ＝ n 21 D ．a n ＝1＋log 2n 第1章 解三角形 【知识结构】 正、余弦定理的应用解三角形余弦定理正弦定理→→? ?? 【重点难点】 重点：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。 难点：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题 1.1 正弦定理 第1课时 【学习导航】 知识网络 直角三角形的边角关系→任意三角形的边角关系→正弦定理 学习要求 1．正弦定理的证明方法有几种，但重点要突出向量证法； 2．正弦定理重点运用于三角形中“已知两角一边”、“已知两边一对角”等的相 关问题 3.利用正弦定理判断解的情况（画图） 【课堂互动】 自学评价 1．正弦定理：在△ABC 中，===C c B b A a sin sin sin ______, 2．正弦定理可解决两类问题： （1）________________________________（解的情况唯一吗）； （2）_________________________________（解的情况唯一吗） 【精典范例】 【例1】在ABC ?中，30A =?，105C =?，10a =，求b ，c ． 分析：正弦定理可以用于解决已知两角和一边的解三角形问题，直接运用定理。 【解】 【例2】根据下列条件解三角形（难点）： （1）60,1b B c ==?=； （2）45,2c A a ==?=． 分析：正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角的解三角形问题。 技巧理解：注重分析解的情况，经常使用大边对大角。 如果解的情况不唯一，分类讨论即可。 【例3】根据下列条件，判断ABC ?有没有解？有解，解的个数？（画图判断） 分析：本题的知识点理解即可 （1）5a =，4b =，120A =?，求B ； （2）5a =，4b =，90A =?，求B ； （3）a =b =45A =?，求B ； （4）a =b =45A =?，求B ； （5）4a =，3b = ，60A =?，求B ． 追踪训练： 1．在△ABC 中，已知3=a ，4=b ，32sin = B ，则A sin = （ ） A 43 B 61 C 21 D 1 2．在△ABC 中， （1）已知075=A ，045=B ，23=c ，解三角形 （2）13=b ，26=a ，030=B ，解三角形 3.在ABC ?中，已知8b c +=，30B ∠=?，45C ∠=?，则b = ，c = ． 高中数学必修五知识点汇总 第一章 解三角形 一、知识点总结 正弦定理: 1．正弦定理:2sin sin sin a b c R A B C === (R 为三角形外接圆的半径). 步骤1. 证明：在锐角△ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c 。作CH ⊥AB 垂足为点H CH=a ·sinB CH=b ·sinA ∴a ·sinB=b ·sinA 得到b b a a s i n s i n = 同理，在△ABC 中， b b c c sin sin = 步骤2. 证明：2sin sin sin a b c R A B C === 如图，任意三角形ABC,作ABC 的外接圆O. 作直径BD 交⊙O 于D. 连接DA. 因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90° 因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D 等于∠C. 所以C R c D sin 2sin == 故2sin sin sin a b c R A B C === 2.正弦定理的一些变式： ()sin sin sin i a b c A B C ::=::；()sin ,sin ,sin 22a b ii A B C R R ==2c R =； ()2sin ,2sin ,2sin iii a R A b R B b R C ===； （4）R C B A c b a 2sin sin sin =++++ 3．两类正弦定理解三角形的问题： （1）已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. （2）已知两边和其中一边的对角，求其他边角.（可能有一解，两解，无解） 4.在ABC ?中，已知a,b 及A 时，解得情况： 解法一：利用正弦定理计算 解法二：分析三角形解的情况，可用余弦定理做，已知a,b 和角A ，则由余弦定理得 即可得出关于c 的方程：0cos 2222=-+-a b Ac b c 分析该方程的解的情况即三角形解的情况 ①△=0,则三角形有一解 ②△>0则三角形有两解 ③△<0则三角形无解 余弦定理: §1.1.1 正弦定理(一)导学案 学习目标: 1、通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容 及其证明方法； 2、会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题； 3、通过正弦定理的探究学习，培养学生探索数学规律的思维能力， 培养学生用数学的方法解决实际问题的能力，激发学生对数学学习的 热情。 教学重点:正弦定理的证明及基本运用。 教学难点:正弦定理的探索和证明及灵活应用。 一、预习案: “我学习，我主动，我参与，我收获！” 1、预习教材P45---48 2、基础知识梳理： (1)正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的_______________的比相 等，即在ABC ?中,___________=__________=____________=2R. ， (其中2R 为外接圆直径) （2）由正弦定理 2sin sin sin a b c R A B C ===可以得到哪些变形公式？ （3）三角形常用面积公式： 对于任意ABC ?，若a ，b ，c 为三角形的三边，且A,B,C 为三 边的对角，则三角形的面积为： ①1_____(2ABC a a S h h ?=表示a 边上的高）. ②11sin sin ____________22 ABC S ab C ac B ?===. 3、预习自测： （1）有关正弦定理的叙述： ①正弦定理只适用于锐角三角形； ②正弦定理不适用于直角三角形； ③在某一确定的三角形中，各边与它的对角的正弦的比是定值； ④在ABC ?中，sin :sin :sin ::A B C a b c =。 其中正确的个数是（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 （2）在ABC ?中，一定成立的等式是（ ）． A ． a sin A = b sin B B . a cos A = b cos B C . a sin B = b sin A D . a cos B = b cos A （3）在ABC ?中,sin sin A C =,则ABC ?是（ ） A 、直角三角形 B 、等腰三角形 C 、锐角三角形 D 、钝角三角形 (4) 在ABC ?中，三个内角A,B,C 的对边分别为a ，b ，c ，已知 A:B:C=1:2:3,则a ：b ：c=_____________________. 我的疑惑:__________________________________________ 二、探究案: “我探究，我分析，我思考，我提高！” 高中数学必修二复习全册导学案 必修2 第一章 §2-1 柱、锥、台体性质及表面积、体积计 算 【课前预习】阅读教材P1-7,23-28完成下面填空1．棱柱、棱锥、棱台的本质特征 ⑴棱柱：①有两个互相平行的面（即底面），②其余各面（即侧面）每相邻两个面的公共边都互相平行（即侧棱都）. ⑵棱锥：①有一个面（即底面）是，②其余各面（即侧面）是 . ⑶棱台：①每条侧棱延长后交于同一点， ②两底面是平行且相似的多边形。 2．圆柱、圆锥、圆台、球的本质特征 ⑴圆柱： . ⑵圆锥： . ⑶圆台：①平行于底面的截面都是圆， ②过轴的截面都是全等的等腰梯形， ③母线长都相等，每条母线延长后都与轴交于同一点. (4)球： . 3．棱柱、棱锥、棱台的展开图与表面积和体积的计算公式 (1)直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面展开图分别是 ①若干个小矩形拼成的一个， ②若干个， ③若干个 . （2）表面积及体积公式： 4．圆柱、圆锥、圆台的展开图、表面积和体积的计算公式 5．球的表面积和体积的计算公式【课初5分钟】课前完成下列练习，课前5分钟回答下列问题 1．下列命题正确的是（） (A).有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱。 (B)有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱。 (C) 有两个面平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱。 (D)用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台。 2．根据下列对于几何体结构特征的描述，说出几何体的名称： （1）由8个面围成，其中两个面是互相平行且全等的六边形，其他面都是全等的矩形。 （2）一个等腰三角形绕着底边上的高所在的直线旋转180°形成的封闭曲面所围成的图形。 3．五棱台的上下底面均是正五边形，边长分别是6cm和16cm，侧面是全等的等腰梯形，侧棱长是13cm，求它的侧面面积。 4．一个气球的半径扩大a倍，它的体积扩大到原来的几倍？ 强调（笔记）： 【课中35分钟】边听边练边落实 5．如图：右边长方体由左边的平面图形围成的是（）（图在教材P8 T1 (3)） 加油吧，少年，拼一次，无怨无悔！ 高二数学必修五全套学案 §1.1.1 正弦定理 学习目标 1. 掌握正弦定理的内容； 2. 掌握正弦定理的证明方法； 3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题． 学习过程 一、课前准备 试验：固定?ABC的边CB及∠B，使边AC绕着顶点C转动． 思考：∠C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB的长度随着其对角∠C的大小的增大而．能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？ 二、新课导学 ※学习探究 探究1：在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直 角三角形中，角与边的等式关系. 如图，在Rt?ABC中，设BC=a， AC=b，AB=c， 根据锐角三角函数中正弦函数的定义， 有 sin a A c =，sin b B c =，又sin 1c C c ==， 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b c A B C == ． ( 探究2：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义， 有CD =sin sin a B b A =，则sin sin a b A B = ， 同理可得sin sin c b C B = ， 从而sin sin a b A B = sin c C =． 类似可推出，当?ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立．请你试试导. 新知：正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等，即 sin sin a b A B = sin c C =． 试试： （1）在ABC ?中，一定成立的等式是（ ）． A ．sin sin a A b B = B .cos cos a A b B = 姓名： 教学过程 一、引入新课 1．如右图，ABC Rt ?中的边角关系： =A sin ______ _______； =B sin ______________； =C sin _________ ___； 边=c _________=_________=_________． 2．任意ABC ?中的边角关系是否也可以如此？如何证明？ 3．正弦定理（内容）： 4．练习： （1）在ABC ?中，已知14=a ，7=b ，?=30B ，则=A _________； （2）在ABC ?中，已知6= a ，?=45A ，?=75B ，则=c _________； （3）一个三角形的两个内角分别为?30和?45，如果?45角所对的边长为8，那么?30角所对的边长是_________； 二、典例赏析 例1 尝试用其他方法证明正弦定理． C A B b c a 例2 在ABC ?中，?=30A ，?=135C ，10=a ，求b ，c ． 例3 根据下列条件解三角形： （1）26=a ，326=b ，?=30A ； （2）26=a ，13=b ，?=30A ． 归纳小结： 利用正弦定理解以下两类斜三角形： （1）已知两角与任一边,求其他 和 ； （2）已知两边与其中一边的对角，求另一边的 （从而进一步求出其他的 和 ）． 仿照正弦定理的证法一，证明C ab S ABC sin 2 1= ?，并运用此结论解决下面问题： （1）在ABC ?中，已知2=a ，3=b ，?=150C ，求ABC S ?； （2）在ABC ?中，已知10=c ，?=45A ，?=30C ，求b 和ABC S ?； 三、针对训练： 1．在ABC ?中， （1）已知?=75A ，?=45B ，23=c ，求a ，b ； （2）已知?=30A ，?=120B ，12=b ，求a ，c ． 2．根据下列条件解三角形： （1）40=b ，20=c ，?=45C ； （2）67=b ，14=a ，?=60B ． 例4 1.2.2函数的表示法 第1课时函数的表示法 1．函数的表示法 (1)解析法：□1用数学表达式表示两个变量之间的对应关系． (2)图象法：□2用图象表示两个变量之间的对应关系． (3)列表法：□3列出表格来表示两个变量之间的对应关系． 2．对三种表示法的说明 (1)解析法：利用解析式表示函数的前提是变量间的对应关系明确，且利用解析法表示函数时要注意注明其定义域． (2)图象法：图象既可以是连续的曲线，也可以是离散的点． (3)列表法：采用列表法的前提是函数值对应清楚，选取的自变量要有代表性． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任何一个函数都可以用列表法表示．() (2)任何一个函数都可以用解析法表示．() (3)函数的图象一定是定义区间上一条连续不断的曲线．() 答案(1)×(2)×(3)× 2．做一做 (1)函数f(x)是一次函数，若f(1)＝1，f(2)＝2，则函数f(x)的解析式是________． (2)某教师将其1周课时节次列表如下： X(星期)12345 Y (节次) 2 4 5 3 1 从这个表中看出这个函数的定义域是________，值域是________． (3)(教材改编P 23T 3)画出函数y ＝|x ＋2|的图象． 答案 (1)f (x )＝x (2){1,2,3,4,5} {2,4,5,3,1} (3) 探究1 作函数的图象 例1 作出下列函数的图象并求出其值域． (1)y ＝2 x ，x ∈[2，＋∞)； (2)y ＝x 2＋2x ，x ∈[－2,2]． 解 (1)列表： x 2 3 4 5 … y 1 23 12 25 … 画图象，当x ∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y ＝2 x 的一部分(图1)，观察图象可知其值域为(0,1]． 课题: §1．1．1正弦定理 授课类型：新授课 ●教学目标 知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。 过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。 情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。 ●教学重点 正弦定理的探索和证明及其基本应用。 ●教学难点 已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 如图1．1-1，固定?ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。 A 思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。能否 用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B Ⅱ.讲授新课 [探索研究] (图1．1-1) 在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1．1-2，在Rt ?ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定 义 ， 有 sin a A =， sin b B =，又s i n 1 c C == , A 则sin sin sin a b c c A B C = = = b c 从而在直角三角形ABC 中， sin sin sin a b c = = C a B (图1．1-2) 思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ （由学生讨论、分析） 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 如图1．1-3，当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则sin sin a b A B = ， C 同理可得sin sin c b C B = ， b a 从而 sin sin a b A B = sin c C = A c B 《§2.1.1 正弦定理》导学案 使用说明： 1．自学45~47页内容，提高自学能力； 2．限时完成导学案的预习案部分，找出自己的疑惑和需要解决的问题，准备课上讨论探究，学有余力的学生可提前完成其他部分。 【学习目标】1. 掌握正弦定理的内容；2. 掌握正弦定理的证明方法； 3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题． 【重点难点】1正弦定理的探索和证明及其基本应用.2. 已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数. 预习案 课前准备 试验：固定?ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动． 思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而 ．能否 用一个等式把这种关系精确地表示出来？ 新课导学 ※ 学习探究 探究1：在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系. 如图，在Rt ?ABC 中，设BC =a ，AC =b ，AB =c ， 根据锐角三角函数中正弦函数的定义， 有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1c C c ==， 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b c A B C ==． 探究2：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义， 有CD =sin sin a B b A =，则sin sin a b A B =，同理可得sin sin c b C B =， 从而sin sin a b A B =sin c C =． 类似可推出，当?ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立．请你试试导. 新知：正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等，即 sin sin a b A B =sin c C =． 探究案人教版高中数学必修5期末测试题
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