直线与双曲线的交点个数

直线与双曲线地相交弦问答

实用标准 文档大全 直线与双曲线的相交弦问题 直线与双曲线相交的弦长公式 ①2 2 1212()()AB x x y y =-+-（两点之间的距离） ②]4))[(1(1212212122x x x x k x x k AB -++=-?+= ③221121222 111(1)[()4]AB y y y y y y k k =+-=+?+-一、已知双曲线方程和直线方程求弦长 例1、 过双曲线1322 =-y x 的左焦点1F ，作倾斜角为6 π 的弦AB ，求AB ；⑵AB F 2?的面积（2F 为双曲线的右焦点）。 1、求直线1y x =+被双曲线2 2 14 y x -=截得的弦长； 2、过双曲线1449162 2=-y x 的右焦点作倾斜角为 3 π 的弦AB ，求弦长AB ；

3、已知斜率为2的直线L 被双曲线22 154 x y -=截得的弦长为52，求直线L 的方程； 4、过双曲线12 2=-y x 的左焦点2F ，作倾斜角为 3 π 的直线与双曲线相交于B A ,两点，求： （1）弦长AB （2）△AB F 1?的周长（2F 为双曲线的右焦点）

二、已知弦长求双曲线方程 5、 已知焦点在x 轴上的双曲线上一点P ，到双曲线两个焦点的距离分别为4和8，直线2-=x y 被双曲线截得的弦长为220，求此双曲线的标准方程． 6、已知倾斜角为4 π的直线l 被双曲线6042 2=-y x 截得的弦长28=AB ，求直线l 的方程． 例2、 已知双曲线方程为332 2 =-y x ，求以定点A(2,1)为中点的弦所在的直线方程．

解圆锥曲线与直线相交所得的中点弦问题，一般不求直线与圆锥曲线的交点坐标，而是利用根与系数的关系或“平方差法”求解．此时，若已知点在双曲线的内部，则中点弦一定存在，所求出的直线可不检验，若已知点在双曲线的外部，中点弦可能存在，也可能不存在，因而对所求直线必须进行检验，以免增解，若用待定系数法时，只需求出k 值对判别式△>0进行验证即可． 例3、 双曲线方程为332 2 =-y x . 问：以定点B(1,1)为中点的弦存在吗？若存在，求出其所在直线的方程；若不存在，请说明理由． 7、已知中心在原点，顶点12,A A 在x 轴上，离心率为 21 3 的双曲线经过点(6,6)P

直线与双曲线的相交弦问题

直线与双曲线的相交弦问题 直线与双曲线相交的弦长公式 ①221212()()AB x x y y = -+- ②]4))[(1(1212212122x x x x k x x k AB -++=-?+= ③221121222 111(1)[()4]AB y y y y y y k k =+-=+?+-一、已知双曲线方程和直线方程求弦长 例1、 过双曲线1322 =-y x 的左焦点1F ，作倾斜角为6 π 的弦AB ，求AB ；⑵AB F 2?的面积（2F 为双曲线的右焦点）。 1、求直线1y x =+被双曲线2 2 14 y x -=截得的弦长； 2、过双曲线1449162 2=-y x 的右焦点作倾斜角为 3 π 的弦AB ，求弦长AB ；

3、已知斜率为2的直线L 被双曲线22 154 x y -=截得的弦长为52，求直线L 的方程； 4、过双曲线12 2 =-y x 的左焦点2F ，作倾斜角为3 π 的直线与双曲线相交于B A ,两点，求： （1）弦长AB （2）△AB F 1?的周长（2F 为双曲线的右焦点） 二、已知弦长求双曲线方程 5、 已知焦点在x 轴上的双曲线上一点P ，到双曲线两个焦点的距离分别为4和8，直线2-=x y 被双曲线截得的弦长为220，求此双曲线的标准方程． 6、已知倾斜角为4 π的直线l 被双曲线6042 2=-y x 截得的弦长28=AB ，求直线l 的方程．

例2、 已知双曲线方程为332 2 =-y x ，求以定点A(2,1)为中点的弦所在的直线方程． 解圆锥曲线与直线相交所得的中点弦问题，一般不求直线与圆锥曲线的交点坐标，而是利用根与系数的关系或“平方差法”求解．此时，若已知点在双曲线的内部，则中点弦一定存在，所求出的直线可不检验，若已知点在双曲线的外部，中点弦可能存在，也可能不存在，因而对所求直线必须进行检验，以免增解，若用待定系数法时，只需求出k 值对判别式△>0进行验证即可． 例3、 双曲线方程为3322 =-y x . 问：以定点B(1,1)为中点的弦存在吗若存在，求出其所在直线的方程；若不存在，请说明理由．

直线与双曲线位置关系

直线与双曲线的位置关系和抛物线及其标准方程 知识点1：直线与双曲线的位置关系 1.直线与双曲线的位置关系的判断 设直线y=kx+b ，双曲线x 2a 2－ y 2b 2 ＝1 (a >0，b >0)联立消去y 得Ax 2+Bx+C=0（a≠0），Δ=B 2 －4AC 。 若A=0即，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点； 若Δ>0,直线与双曲线相交，有两个交点； 若Δ=0，直线与双曲线相切，有一个交点； 若Δ<0，直线与双曲线相离，无交点； 直线与双曲线有一个公共点是直线与双曲线相切的必要不充分条件。 2.弦长问题 设直线l:y=kx+n ，圆锥曲线：F(x,y)=0，它们的交点为P1 (x 1,y 1)，P2 (x 2,y 2)， 且由，消去y→ax 2+bx+c=0（a≠0），Δ=b 2 －4ac 。 弦长公式：12||PP =1212x y y -=-（k 为直线斜率） 例题选讲： 例1：直线l ：y ＝kx ＋1与双曲线C ：2x 2－y 2＝1的右支交于不同的两点A 、B ．求实数k 的取值范围； 解 (1)将直线l 的方程y=kx+1代入双曲线C 的方程2x 2-y 2=1后，整理得(k 2-2)x 2+2kx+2=0.① 依题意，直线l 与双曲线C 的右支交于不同两点，

故????? k 2－2≠0， Δ＝(2k )2 －8(k 2 －2)>0，－2k k 2－2>0， 2 k 2 －2>0. 解得k 的取值范围是－2

直线与圆锥曲线的交点个数问题

直线与圆锥曲线的交点个数问题 直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题，对于消元后的一元二次方程，必须讨论二次项系数和判别式?，若能数形结合，借助图形的几何性质则较为简便。 一、直线与圆锥曲线的交点个数的探求 设直线:0l Ax By C ++=，圆锥曲线:()0C f x y =，，由0()0A x B y C f x y ++=??=? ，，，，即将直线l 的方程与圆锥曲线C 的方程联立，消去y 便得到关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=（当然，也可以消去x 得到关于y 的一元二次方程），通过一元二次方程解的情况判断关系，见下表： 注意：(1)对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切；(2)有关直线与圆锥曲线公共点的个数问题，要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法。 例1、讨论直线:1l y kx =+与双曲线22:1C x y -=的公共点的个数． 解：联立方程2211y kx x y =+??-=? ，，整理得22(1)220k x kx ---=， 当1k =±时，1x = ． 当1k ≠±时，22248(1)84k k k ?=+-=-， 若0?> ，则k <0?= ，则k =0?< ，则k < 或k > 综上所述，当k =时，直线与双曲线相切于一点；1k =± 时，直线与双曲线相交

于一 点；k< 或k>时，直线与双曲线没有公共点 ；1k <<或11 k -<< 或1 k<-时，直线与双曲线有两个公共点． 点评：直线与圆锥曲线有无公共点的问题，实际上就是相应的方程组有无实数解的问题．直线与双曲线公共点的个数，特别是只有一个公共点时，除了相切的情况之外，还有直线与双曲线渐近线相平行时的情况．抛物线同样也存在这样的问题，应特别引起注意．二、借助于直线与圆锥曲线的交点个数探求直线方程 例2、已知双曲线C：2x2－y2=2与点Q(1，1)，试判断以Q为中点的弦是否存在. 解：假设以Q为中点的弦存在，设为AB，且A(x1,y1),B(x2,y2)，则2x12－y12=2,2x22－y22=2两式相减得：2(x1－x2)(x1+x2)=(y1－y2)(y1+y2) 又∵x1+x2=2,y1+y2=2，∴2(x1－x2)=y1－y1，即k AB= 2 1 2 1 x x y y - - =2 但渐近线斜率为±2,结合图形知直线AB与C无交点，所以假设不正确，即以Q为中点的弦不存在. 点评：解答利用了“点差法”，但前提应是直线与曲线有交点，故求出斜率后必须进行验证，本题的验证利用了数形结合法，也可利用判别式法进行验证。 三、借助于直线与圆锥曲线的交点个数探求参数 例3、若直线1 y kx =+与焦点在x轴上的椭圆 22 1 5 x y m +=总有公共点，求m的取值范围．解法一：考虑到直线与椭圆总有公共点，由直线与圆锥曲线的位置关系的充要条件可求．解：由椭圆方程及椭圆的焦点在x轴上，知05 m <<． 由22 1 1 5 y kx x y m =+ ? ? ? += ? ? ， ， 得22 (5)105(1)0 m k x kx m +++-=． 又∵直线与椭圆总有公共点，∴上述方程0 ?≥对一切实数k成立， 即22 (10)4(5)5(1)0 k n k m -?+?-=，亦即2 51 k m - ≥对一切实数k成立．10 m - ∴≤，即1 m≥．故m的取值范围为[) 15 m∈，． 解法二：由于直线过定点(01) ，，而直线与椭圆总有公共点，所以定点(01) ，必在椭圆内部或边界上，由点与椭圆的位置关系的充要条件易求． 解：由椭圆的方程及椭圆的焦点在x轴上知05 m <<． 又∵直线与椭圆总有公共点．∴直线所经过的定点(01)，必在椭圆内部或边界上．22 01 1 5m + ∴≤，即1 m≥．故m的取值范围为[) 15 m∈，． 点评：解法一由直线与圆锥曲线的位置关系的充要条件求，思路易得，但计算量大；解法二首先判断直线是否过定点，定点在椭圆内、外还是干脆就在椭圆上，然后借助曲线特征判断，思路灵活，且简捷． 总之，讨论直线与圆锥曲线的交点个数实际上就是讨论方程组的解的个数，在讨论方程组的解时需要对二次项系数及一次项系数进行讨论，体现了分类讨论和数形结合的思想方法

《直线和双曲线的交点个数问题》教学设计

《直线和双曲线的交点个数问题》教学设计

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《直线和双曲线的交点个数问题》教学设计 昌黎汇文二中 李小庆 一、教学目的： 1.通过多媒体演示让学生掌握求直线与双曲线的交点个数的方法； 2.使学生认识到数形结合在解决问题中起到的重要作用。 二、教学重点和难点： 1. 直线与双曲线的交点个数的讨论； 2. 数形结合思想方法在解题中的应用 三、教学过程： 1、复习提问：双曲线的方程和性质 双曲线的标准方程 顶点 渐近线 焦点在x 轴上 22 221(0,0)x y a b a b -=>> 12(,0),(,0)A a A a - b y x a =± 焦点在y 轴上 22 2 21(0,0)y x a b a b -=>> 12(,0),(,0)B a B a - a y x b =± 思考问题：求双曲线12 2 =-y x 与下列直线的交点的个数： ①y=x+1 ②y= -x+1 ③12+= x y ④12+-=x y ⑤y=1.2x+1 ⑥y= -1.2x+1 ⑦y=1 ⑧y=2x+1 ⑨y= -2x+1 老师提示：在求双曲线与直线的交点个数时，请说出它们的位置关系。 ① 与②的答案：1 直线与双曲线相交（直线与渐近线平行）。 ③与④的答案：1 直线与双曲线相切。 ⑤与⑥的答案：2 直线与双曲线相交，交点在一支上。 ⑦的答案：2 直线与双曲线相交，交点在两支上。 ⑧与⑨的答案：0 直线与双曲线相离。 （以上内容都有多媒体演示） 总结：当直线与双曲线相交（直线与渐近线平行）或直线与双曲线相切时直线与双曲线有一个公共点。 例1：论直线y=kx+1与双曲线C: 122=-y x 公共点的个数。

B 知识讲解 直线与双曲线的位置关系(理)

直线与双曲线的位置关系 编稿：张希勇 审稿：李霞 【学习目标】 1.能正熟练使用直接法、待定系数法、定义法求双曲线的方程； 2.能熟练运用几何性质（如范围、对称性、顶点、离心率、渐近线）解决相关问题； 3.能够把直线与双曲线的位置关系的问题转化为方程组解的问题，判断位置关系及解决相关问题. 【知识网络】 【要点梳理】 【高清课堂：双曲线的性质 371712一、复习】 要点一、双曲线的定义及其标准方程 双曲线的定义 在平面内，到两个定点1F 、2F 的距离之差的绝对值等于常数2a （a 大于0且122a F F <）的动点P 的轨迹叫作双曲线.这两个定点1F 、2F 叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距. 双曲线的标准方程： 焦点在x 轴上的双曲线的标准方程 说明：焦点是F 1(-c ，0)、F 2(c ，0)，其中c 2=a 2-b 2 焦点在y 轴上的双曲线的标准方程 双曲线 双曲线的定义与标准方程 双曲线的几何 性质 直线与双曲线的位 置关系 双曲线的综合 问题 双曲线的弦问题 双曲线离心率及渐近线问题 22 221(0,0) x y a b a b -=>>2 2 22 1(0,0)y x a b a b -=>>

说明：焦点是F 1(0，-c)、F 2(0，c)，其中c 2=a 2-b 2 要点诠释：求双曲线的标准方程应从“定形”、“定式”和“定值”三个方面去思考.“定形”是指对称中心在原点，以坐标轴为对称轴的情况下，焦点在哪条坐标轴上；“定式”根据“形”设双曲线方程的具体形式；“定量”是指用定义法或待定系数法确定a,b 的值. 要点二、双曲线的几何性质 标准方程 22 2 21x y a b -=(0,0)a b >> 22 2 21y x a b -=(0,0)a b >> 图形 性质 焦点 1(,0)F c -，2(,0)F c 1(0,)F c -，2(0,)F c 焦距 2212||2()F F c c a b ==+ 2212||2()F F c c a b ==+ 范围 {}x x a x a ≤-≥或，y R ∈ {}y y a y a ≤-≥或，x R ∈ 对称 性 关于x 轴、y 轴和原点对称 顶点 (,0)a ± (0,)a ± 轴 实轴长=a 2，虚轴长=2b 离心率 (1)c e e a = > 渐近线方程 x a b y ± = a y x b =± 要点三、直线与双曲线的位置关系 直线与双曲线的位置关系 将直线的方程y kx m =+与双曲线的方程22 221x y a b -=(0,0)a b >>联立成方程组，消元转化为关于x

《直线和双曲线的交点个数问题》教学设计1

《直线和双曲线的交点个数问题》教学设计 昌黎汇文二中 李小庆 一、教学目的： 1.通过多媒体演示让学生掌握求直线与双曲线的交点个数的方法； 2.使学生认识到数形结合在解决问题中起到的重要作用。 二、教学重点和难点： 1. 直线与双曲线的交点个数的讨论； 2. 数形结合思想方法在解题中的应用 三、教学过程： 思考问题：求双曲线122=-y x 与下列直线的交点的个数： ①y=x+1 ②y= -x+1 ③12+= x y ④12+-=x y ⑤y=1.2x+1 ⑥y= -1.2x+1 ⑦y=1 ⑧y=2x+1 ⑨y= -2x+1 老师提示：在求双曲线与直线的交点个数时，请说出它们的位置关系。 ① 与②的答案：1 直线与双曲线相交（直线与渐近线平行）。 ③与④的答案：1 直线与双曲线相切。 ⑤与⑥的答案：2 直线与双曲线相交，交点在一支上。 ⑦的答案：2 直线与双曲线相交，交点在两支上。 ⑧与⑨的答案：0 直线与双曲线相离。 （以上内容都有多媒体演示） 总结：当直线与双曲线相交（直线与渐近线平行）或直线与双曲线相切时直线与双曲线有一个公共点。 例1：论直线y=kx+1与双曲线C: 122=-y x 公共点的个数。 分析：直线y=kx+1过定点（0，1），解决这个问题的关键在于找什么？就是找与双曲线有一个交点的直线。

通过多媒体演示得到答案 解：⑴k=±1或k=±2时L 与C 有一个公共点； ⑵有两个交点：在左支上时1＜k ＜2 在右支上时 –2＜k ＜-1 在两支上时 -1＜k ＜1 所以k ∈(–2,-1)∪(-1,1)∪(1, 2)时L 与C 有两个公共点。 ⑶k ∈(-∞,-1)∪(1,+∞)时L 与C 没有公共点。 例2：讨论过（1，1）点的直线与双曲线12 2 =-y x 公共点的个数。 解：⑴直线x=1和直线y=-x+2 与双曲线有一个交点;

讨论直线与双曲线的公共点的个数.

例１讨论直线与双曲线的公共点的个数． 分析直线与圆锥曲线公共点的个数问题的讨论实际上是相应方程组的解的问题． 解联立直线与双曲线方程 消去y得， 当时，． 当时，．由得；由得；由得．所以当时，直线l与双曲线Ｃ相交于两点； 当时，直线l与双曲线Ｃ相切于一点； 当时，直线l与双曲线Ｃ相交于一点； 当时，直线l与双曲线Ｃ没有公共点，直线l与双曲线Ｃ相离． 点评该题讨论了过定（０，１）的直线系与等轴双曲线的位置关系．按是否等于０来分类讨论．容易犯的两个错误一是不讨论二次项系数为零的情况，二是讨论判别式时，丢掉前提条件二次项系数不为零． ９．设双曲线(>0，>0)的右焦点为F，右准线与一条渐近线交于A (1)若直线FA与另一条渐近线交于B点，且线段AB被 左准线平分，求离心率; (2)若直线FA与双曲线的左右支都相交，求离心率e 的取值范围．

１０．直线y=kx＋1与双曲线3x2－y2=1相交于两点A．B， (1)当k为何值时，以AB为直径的圆经过坐标原点; (2)是否存在实数k，使A．B关于直线y=2x对称?若存在，求出k;若不存在，说明理由． （19）（本小题满分14分） x2y2 抛物线y=2x-3的焦点是F，准线是直线l，双曲线C：2-2=1（a>0，ab2 b>0），以F为右焦点，l为右准线。 （I）求双曲线C的方程； （II）直线l：y=k(x-2)与双曲线C交于A、B两点，若AB>6，求k的取值范围。（19）本小题主要考查直线、抛物线、双曲线等基本知识，考查分析问题、解决问题的能力及探究问题的能力。满分14分。 解：（I）抛物线方程为y=2 x-?，顶点 2? ?3?2??3?，0?，焦参数p=1 ?2? ∴焦点F（2，0），准线x=1………………2分 x2y2a2 =1 故在双曲线C：2-2=1中c=2，cab ∴a=2，b=c-a=2 2222 x2y2 -=1………………4分∵双曲线方程为22 ?y=k(x-2)?（II）由?x2，消y，整理得： y2 =1?-2?2 2222 1-kx+4kx-4k-2=0 () ∵直线l与双曲线C有两个交点 2?1-k≠0?k≠±1?∴???22 ??=-4k2+41-k24k2+2>0?8k+8>0 ? ∴k≠±1<1>()()() 设Ax1，y1、Bx2，y2 ()()

直线与双曲线的位置关系及中点弦问题

课题：直线与双曲线的位置关系及中点 弦问题 1.直线与双曲线的位置关系的判断 设直线)0(:≠+=m m kx y l ，双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 联立解得 02)(222222222=----b a m a mkx a x k a b 若0222=-k a b 即a b k ±=，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点； 若0222≠-k a b 即a b k ±≠， ))((4)2(222222222b a m a k a b mk a -----=? 0>??直线与双曲线相交，有两个交点； 0=??直线与双曲线相切，有一个交点； 0

直线与双曲线的相交弦问题

直线与双曲线的相交弦问题 直线与双曲线相交的弦长公式 ①221212()()AB x x y y = -+-（两点之间的距离） ②]4))[(1(1212212122x x x x k x x k AB -++=-?+= ③221121222 111(1)[()4]AB y y y y y y k k =+?-=+?+- 一、已知双曲线方程和直线方程求弦长 例1、 过双曲线13 22 =- y x 的左焦点1F ，作倾斜角为6π 的弦AB ，求AB ；⑵AB F 2?的面积（2F 为双曲线的右焦点）。 1、求直线1y x =+被双曲线2 2 14 y x -=截得的弦长； 2、过双曲线1449162 2 =-y x 的右焦点作倾斜角为3 π 的弦AB ，求弦长AB ；

3、已知斜率为2的直线L 被双曲线22 154 x y -=截得的弦长为52，求直线L 的方程； 4、过双曲线122=-y x 的左焦点2F ，作倾斜角为3 π 的直线与双曲线相交于B A ,两点，求： （1）弦长AB （2）△AB F 1?的周长（2F 为双曲线的右焦点） 二、已知弦长求双曲线方程 5、 已知焦点在x 轴上的双曲线上一点P ，到双曲线两个焦点的距离分别为4和8，直线2-=x y 被双曲线截得的弦长为220，求此双曲线的标准方程． 6、已知倾斜角为4 π的直线l 被双曲线6042 2=-y x 截得的弦长28=AB ，求直线l 的方程．

例2、 已知双曲线方程为332 2=-y x ，求以定点A(2,1)为中点的弦所在的直线方程． 解圆锥曲线与直线相交所得的中点弦问题，一般不求直线与圆锥曲线的交点坐标，而是利用根与系数的关系或“平方差法”求解．此时，若已知点在双曲线的内部，则中点弦一定存在，所求出的直线可不检验，若已知点在双曲线的外部，中点弦可能存在，也可能不存在，因而对所求直线必须进行检验，以免增解，若用待定系数法时，只需求出k 值对判别式△>0进行验证即可． 例3、 双曲线方程为332 2 =-y x . 问：以定点B(1,1)为中点的弦存在吗？若存在，求出其所在直线的方程；若不存在，请说明理由．

直线与双曲线位置关系

直线与双曲线的位置关系和抛物线及其标准方程 知识点1：直线与双曲线的位置关系 1.直线与双曲线的位置关系的判断 设直线y=kx+b ，双曲线x 2a 2－ y 2b 2 ＝1 (a >0，b >0)联立消去y 得Ax 2+Bx+C=0（a≠0），Δ=B 2 －4AC 。 若A=0即，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点； 若Δ>0,直线与双曲线相交，有两个交点； 若Δ=0，直线与双曲线相切，有一个交点； 若Δ<0，直线与双曲线相离，无交点； 直线与双曲线有一个公共点是直线与双曲线相切的必要不充分条件。 2.弦长问题 设直线l:y=kx+n ，圆锥曲线：F(x,y)=0，它们的交点为P1 (x 1,y 1)，P2 (x 2,y 2)， 且由，消去y→ax 2+bx+c=0（a≠0），Δ=b 2 －4ac 。 弦长公式：12||PP =1212x y -=-（k 为直线斜率） 例题选讲： 例1：直线l ：y ＝kx ＋1与双曲线C ：2x 2－y 2＝1的右支交于不同的两点A 、B ．求实数k 的取值范围； 解 (1)将直线l 的方程y=kx+1代入双曲线C 的方程2x 2-y 2=1后，整理得(k 2-2)x 2+2kx+2=0.① 依题意，直线l 与双曲线C 的右支交于不同两点，

故????? k 2－2≠0， Δ＝(2k )2 －8(k 2 －2)>0，－2k k 2－2>0， 2 k 2 －2>0. 解得k 的取值范围是－2