高三年级第三次调研考试数学试题(附答案)

2023—2024学年安康市高三年级第三次质量联考理科数学（答案在最后）考试满分：150分考试时间：120分钟注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名､准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.2.全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效.3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案用0.5mm 黑色笔迹签字笔写在答题卡上.4考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设()2341i i i i z +=++，则z =（）A.11i 22+ B.11i 22- C.11i 22-- D.11i 22-+2.集合{{,M xy N y y ====∣∣，则下列选项正确的是（）A.M N R ⋃=B.M N N ⋃=C.M N N⋂= D.M N ⋂=∅3.已知函数()1f x x =-，公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若()()10121013f a f a =，则2024S =（）A.1012B.2024C.3036D.40484.若实数,x y 满足约束条件15117x y x y x y -≥-⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，则2z x y =-的最大值为（）A.0B.2C.9D.115.甲､乙､丙三人被随机的安排在周六､周日值班，每天至少要有一人值班，每人只在其中一天值班.则甲､乙被安排在同一天值班的概率为（）A.16B.14C.13 D.126.在ABC 中，M 是AB 的中点，3,AN NC CM = 与BN 相交于点P ，则AP =（）A.3155AB AC +B.1355AB AC +C.1324AB AC +D.3142AB AC +7.已知πtan 24θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πsin 24θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.7210-B.210-C.210D.72108.侧棱长与底面边长均为a 的正三棱柱的外接球的表面积为84π，则a =（）A.12B.8C.6D.49.已知直线l 与椭圆2213y x +=在第四象限交于A B ､两点，l 与x 轴，y 轴分别交于C D ､两点，若AC BD =，则l 的倾斜角是（）A.π6B.π4 C.π3D.5π1210.已知723456701234567(12)x a a x a x a x a x a x a x a x -=+++++++，则012345672345678a a a a a a a a +++++++=（）A.-15B.-6C.6D.1511.若直线y ax b =+是曲线x y e =的一条切线，则b =（）A.()1ln a a +B.()1ln a a -C.()1aa e+ D.()1aa e-12.已知直线()1:30l mx y m m R --+=∈与直线()2:50l x my m m R +--=∈相交于点P ，则P 到直线270x y ++=的距离的取值集合是（）A. B.C.⎡⎣D.(二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.写出一个对称中心为()1,0的奇函数()f x =__________.14.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n a S =+，则79a S +=__________.15.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，位于第一象限的点P 在C 上，O 为坐标原点，且满足PO PF =，则OPF 外接圆的半径为__________.16.已知函数()()1212ln sin ,,0,,f x x ax x x x x x ∞=++∀∈+≠，都有()()21211f x f x x x ->-，则a 的取值范围为__________.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（12分）作为一个基于大型语言处理模型的文字聊天工具，ChatGPT 走红后，大模型的热度持续不减，并日渐形成了“千模大战”的局面.百度的文心一言､阿里的通义千问､华为的盘古､腾讯的混元以及科大讯飞的星火等多种大模型正如火如茶的发布上线.现有某大模型给出了会员有效期30天的两种不同费用，100次的使用费为6元，500次的使用费为24元.后台调取了购买会员的200名用户基本信息，包括个人和公司两种用户，统计发现购买24元的用户数是140，其中个人用户数比公司用户数少20，购买6元的公司用户数是个人用户数的一半.（1）完成如下用户类别与购买意向的22⨯列联表；购买6元购买24元总计个人用户公司用户总计（2）能否有99.5%的把握认为购买意向与用户类别有关？（运算结果保留三位小数）附：()()()()22()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，临界值表如下：()20P K k ≥0.100.050.0250.010.0050.001k 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.82818.（12分）在三边均不相等的ABC 中，角A B C ､､对应的边分别为a b c ､､，若()()2222sin sin sin sin a A C b B C -=-.点D 在线段AB 上，且CD 平分角C .（1）求C ；（2）若3,5a b ==，求CD 的长度.19.（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，且,CB BP CD DP ⊥⊥，2PA =，点,E F 分别为,PB PD 的中点.（1）求证：PA ⊥平面ABCD ；（2）求平面AEF 与平面PAB 夹角的余弦值.20.（12分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>> 的离心率为2，其中一个焦点到一条渐近线的距离等于23（1）求该双曲线的标准方程；（2）若直线l 与双曲线C 交于P Q ､两点，且坐标原点O 在以PQ 为直径的圆上，求PQ 的最小值.21.（12分）已知函数()cos xf x e ax b x =+-.（1）当0b =时，求()f x 的单调区间；（2）当()20a f ='且1b =时，讨论()f x 在R 上的零点个数.（二）选考题：共10分.请考生在第22､23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为π3sin 34ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，曲线的参数方程为()21121x t t y t ⎧=+-⎪⎨⎪=-⎩（t 为参数），（1）分别求曲线C 和直线l 的直角坐标方程；（2）若直线l 交曲线C 于,A B 两点，过线段AB 的中点Q 作x 轴的平行线交C 于一点P ，求点P 的横坐标.23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数()124f x x x =+++.（1）求函数()f x 的最小值；（2）若,,a b c 为正实数，且()()()27f a f b f c ++=，求149a b c++的最小值.2023—2024学年安康市高三年级第三次质量联考理科数学参考答案1.【答案】D【解析】由条件可得()()1i 1i 1i z +=-+-+=-，所以()()()()i 1i i i 11i 1i 1i 1i 222z -----====--++-，即1i22z =-+.故选D .2.【答案】A【解析】由条件可得{}{}1,0M xx N y y =≤=≥∣∣，所以[],0,1M N M N ⋃=⋂=R ，故选A.3.【答案】B【解析】由题可知函数()f x 的图象关于直线1x =对称，所以1012101312a a +=，所以101210132a a +=，又()()1202410121013202420242024202422a a a a S ++===，故选B.4.【答案】D【解析】由约束条件15117x y x y x y -≥-⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，画出可行域，2z x y =-，化为斜截式方程得2y x z =-，联立5117x y x y +=⎧⎨+=⎩得61x y =⎧⎨=⎩，即()6,1C .由题意可知，当直线2y x z =-过点C 时，直线在y 轴上的截距最小，此时z 最大.把点()6,1C 代入目标函数可得最大值，即最大值26111z =⨯-=.故选D .5.【答案】C【解析】由题意可知将3人分成两组，其中一组只有1人，另一组有2人.分别安排在周六､周日值班共有6种情况（甲乙，丙）､（甲丙，乙）､（乙丙，甲）､（甲，乙丙）､（乙，甲丙）､（丙，甲乙）.显然甲､乙被安排在同一天有2种情况，所以甲､乙被安排在同一天的概率为2163=.故选C.6.【答案】B【解析】设AP AB AC λμ=+ ，由M 是AB 的中点，得2AB AM =，由3AN NC = ，得43AC AN = .所以2AP AM AC λμ=+，且43AP AB ANλμ=+由CM 与BN 相交于点P 可知，点P 在线段CM 上，也在线段BN 上，由三点共线的条件可得21413λμλμ+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得1535λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以1355AP AB AC =+ ，故选B.7.【答案】A【解析】由πtan tanπ4tan 2π41tan tan 4θθθ-⎛⎫-== ⎪⎝⎭+⋅，解得tan 3θ=-，所以222222222222sin cos 2tan 3cos sin 1tan 4sin22sin cos ,cos2cos sin sin cos tan 15cos sin 1tan 5θθθθθθθθθθθθθθθθθθ--====-=-===-++++，所以π2272sin 2sin242210θθθ⎛⎫+=+=- ⎪⎝⎭.故选A.8.【答案】C【解析】由球的表面积公式24π84πS R ==，解得外接球半径R =.因为底面三角形是边长为a 的等边三角形，所以此三角形的外接圆半径为12233a a =，由正三棱柱的外接球的特点可得，222123R a ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得6a =.故选C.9.【答案】C【解析】由AC BD =可得线段AB 的中点，也是线段CD 的中点，设()()1122,,,A x y B x y ，线段AB 的中点坐标为()00,M x y ，则()()1200012022,0,0,2,2x x x C x D y y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩.又点,A B 在椭圆上，所以221122221313y x y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减可得222221203y y x x -+-=，()()()()121212123y y y y x x x x +-=-+-，所以121212123y y y y x x x x +-⋅=-+-，所以00232AB y k x ⋅=-，即003AB yk x ⋅=-.又因为A B C D ､､､四点共线，所以00002002AB CD y yk k x x -===--，综上可得AB k =A B ､在第四象限得0AB k >即AB k =π3.故选C.10.【答案】A【解析】令()234567801234567f x a x a x a x a x a x a x a x a x =+++++++，即()7(12)f x x x =-，对函数()f x 求导可得，()234567012345672345678f x a a x a x a x a x a x a x a x =+++++++'，且()()76(12)7(12)2f x x x x '=-+⋅-⋅-，所以()()760123456723456781(1)17(1)211415a a a a a a a a f '+++++++==-+⋅-⋅-=--=-.故选A.11.【答案】B【解析】设切点坐标为()00,Q x y ，则切点在直线上，也在曲线上，所以0000x y ax by e =+⎧⎨=⎩，又切线斜率()00'x xx x k e e ===，且k a =，所以00,ln x a e x a ==，代入可得()0000ln 1ln x b y ax e ax a a a a a =-=-=-=-，故选B .12.【答案】D【解析】由两直线垂直的判断条件12120A A B B +=，可知()110m m ⋅+-⋅=，所以直线1l 与2l 始终垂直，又由条件可得直线1l 恒过定点()1,3M ，直线2l 恒过定点()5,1N ，所以两直线的交点P 是在以线段MN 为直径的圆上，所以该圆的圆心坐标为()3,2，半径为，但需挖去点()1,1，此点()1,1是过定点()1,3M 且斜率不存在的直线与过定点()5,1N 且斜率为0的直线的交点，故点P 到直线270x y ++=的距离的最大值与最小值可转化为圆心()3,2到直线270x y ++=的距离()1,1到直线270x y ++=的距离为(.选D.13.【答案】sinπx【解析】因为奇函数关于原点对称，且此函数又关于点()1,0对称，所以此函数可类比于正弦函数，因为正弦函数sin y x =是奇函数，且关于点()π,0对称，所以可联想到()sinπf x x =.14.【答案】-4【解析】当1n =时，1122a S =+，解得12a =-.当2n ≥时，1122,22n n n n a S a S --=+=+，两式相减得1n n a a -=-，因为120a =-≠，所以10n a -≠，所以11nn a a -=-，所以数列{}n a 是首项为-2，公比为-1的等比数列，所以()12(1)n n a -=-⋅-，即数列{}n a 是2,2,2,2,--⋯⋯，故792,2a S =-=-，所以794a S +=-.15.【答案】16【解析】由题可得()1,0F ，由PO PF =，可得点P 的横坐标为12，所以12P ⎛ ⎝，所以131,sin 32232PO PF POF ∠==+===，设OPF 外接圆的半径为R ，则由正弦定理可得2sin PF R POF∠==392283==，所以外接圆的半径R 为9216.16.【答案】[)2,∞+【解析】由()1212,0,,x x x x ∞∀∈+≠，不妨设12x x <，则210x x ->，所以()()21211f x f x x x ->-，可变形化简为()()1122f x x f x x -<-，构造函数()()g x f x x =-，则()()12g x g x <，所以()g x 在()0,∞+上是单调递增函数，所以()()11cos 10g x f x a x x''=-=++-≥恒成立，即1cos 1a x x ⎛⎫≥-++ ⎪⎝⎭在()0,x ∞∈+上恒成立，当0x >时，[]10,cos 1,1x x >∈-，又x ∞→+时，10x →，而[]cos 1,1x ∈-，所以1cos 1x x+>-，所以1cos 12x x ⎛⎫-++<⎪⎝⎭，所以a 的取值范围为[)2,∞+.故答案为：[)2,∞+17.【解析】（1）设购买24元的个人用户数为x ，则购买24元的公司用户数为20x +，设购买6元的公司用户数为y ，则购买6元的个人用户数为2y ，则有220140260x y y +=⎧⎨+=⎩，解得60,20x y ==，所以用户类别与购买意向22⨯列联表如下：购买6元购买24元总计个人用户4060100公司用户2080100总计60140200（2）由（1）中22⨯列联表得()()()()222()200(32001200)9.5247.87910010014060n ad bc K a b c d a c b d -⨯-==≈>++++⨯⨯⨯，所以有99.5%的把握认为用户类别与购买意向有关系.18.【解析】（1）由()()2222sin sin sin sin a A C b B C -=-，得()()2222a a cb bc -=-化简得()()222a b a b ab c-++-=因为ABC 三边均不相等，所以a b ≠，即2220a b ab c ++-=由余弦定理得2221cos 22a b c C ab +-==-在ABC 中，由0180C << ，得120C =（2）在ABC 中，22249c a b ab =++=，故7c =由sin sin c a C A =得3sin120sin 714A == ，易得13cos 14A ==在ACD 中，60,180ACD ADC A ACD ∠∠∠∠=++= ，所以()31313343sin sin 602142147ADC A ∠=+=⨯+⨯= 在ACD 中，由sin sin CD b A ADC∠=，得5sin 1514sin 87b A CD ADC ∠⨯⋅===19.【解析】（1）证明：因为底面ABCD 为正方形，所以CB AB ⊥，又因为,,,CB BP AB BP B AB BP ⊥⋂=⊂平面ABP ，所以CB ⊥平面ABP因为PA ⊂平面ABP ，所以CB PA ⊥，同理CD PA ⊥，又因为,,CB CD C CB CD ⋂=⊂平面ABCD ，所以PA ⊥平面,ABCD （2）由（1）知PA ⊥底面ABCD ，即,,AB AD AP 两两相互垂直，如图，以点A 为坐标原点，,,AB AD AP 所在直线分别为x 轴､y 轴､z 轴，建立空间直角坐标系.则()()()()()()0,0,0,2,0,0,0,2,0,0,0,2,1,0,1,0,1,1A B D P E F ，()()1,0,1,0,1,1AE AF ==.设平面AEF 的一个法向量为()1,,n x y z =，则()()()()111,0,1,,00,1,1,,0AE n x y z x z AF n x y z y z ⎧⋅=⋅=+=⎪⎨⋅=⋅=+=⎪⎩ ，令1x =，则1,1y z ==-，得()11,1,1n =-，由（1）知平面PAB 的一个法向量为()0,2,0BC =，所以平面AEF 与平面PAB 夹角的余弦值是1113cos ,3n BC n BC n BC⋅==20.【解析】（1）解：由题意得2,c e b a ===又因为222c a b =+，解得2a =.所以双曲线方程为：221412x y -=（2）因为以PQ 为直径的圆过坐标原点，所以OP OQ ⊥，所以OP OQ ⊥ ，即：0OP OQ ⋅= ..①当直线l 的斜率不存在时，设直线l 的方程为x n =，设()(),,,(0)P n t Q n t t ->，由0OP OQ ⋅= 可得220n t -=，又点P Q ､在双曲线上，代入可得221412n t -=，解得226,6n t ==.所以2PQ t ==②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx m =+，由22312y kx m x y =+⎧⎨-=⎩联立消去y 整理得()()22232120*k x kmx m ----=，因为直线l 与双曲线交于,P Q 两点，所以230k -≠，且判别式()()()22222Δ(2)4312124120km km m k =----=-+>.设()()1122,,,P x y Q x y ，则122212223123km x x k m x x k ⎧+=⎪⎪-⎨+⎪=-⎪-⎩，由0OP OQ ⋅= 得到：12120x x y y +=，所以()()12120x x kx m kx m +++=，即()()22121210k x xkm x x m ++++=，所以()222221221033m km k km m k k ++-⋅+=--，化简得2266m k =+.所以PQ =.当0k =时上式取等号，且方程()*有解.综上可得PQ 的最小值是.21.【解析】（1）显然()f x 定义域为R ，由()x f x e ax =+得()xf x e a '=+当0a ≥时，()()0,xf x e a f x =+>'单调递增区间为(),∞∞-+，无减区间，当0a <时，由()0x f x e a =+>'，得()ln x a >-，所以()f x 单调递增区间为()()ln ,a ∞-+；由()0x f x e a =+<'，得()ln x a <-，所以()f x 单调递减区间为()(),ln a ∞--（2）由题可得函数()()20cos x f x e f x x -'=+，所以()()20sin x f x e f x '=++'()()()0020sin0120f e f f =++=+'''，解得()01f '=-所以()2cos x f x e x x=--①当0x ≤时，有e 1,sin 1x x ≤≤，所以()e sin 20x f x x '=+-≤恒成立，所以，()f x 在(],0∞-上单调递减，()()00,0f x f ≥=是一个零点；②当0x >时，()e sin 2x f x x =+-'，设()sin 2x g x e x =+-，则()cos 1cos 0x g x e x x =+>+≥'恒成立，即()f x '在()0,∞+上单调递增.又()()010,1e sin120f f '=-<'=+->，所以根据零点存在定理可知，()10,1x ∃∈，使得()10f x '=当10x x <<时，()0f x '<，所以()f x 在()10,x 上单调递减；当1x x >时，()0f x '>，所以()f x 在()1,x ∞+上单调递增又()0110f =-=，所以()10f x <.因为()222e 4cos2e 40f =-->->，根据零点存在定理可知，()21,2x x ∃∈，使得()20f x =综上所述，()f x 在R 上的零点个数为2.22.【解析】（1）由1y t =-可得1t y =+，代入()2112x t t =+-消去参数t ，可得C 的直角坐标方程为：22y x =化简πsin 34ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭可得1cos sin 224ρθθ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭，所以)sin 2ρθθ-=.将cos ,sin x y ρθρθ==代入l 的极坐标方程，可得l02y --=.（2）曲线2:2C y x =是抛物线，其焦点1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，准线12x =-，直线1:2AB y x ⎫=-⎪⎭，恰好过抛物线的焦点.由221122030,22y y x x x y x ⎧⎫=--+=⎪⎪⎭⎨⎪=⎩消去并整理得，设()()1122,,,A x y B x y ，则1253x x +=，线段AB 的中点Q 的横坐标12526Q x x x +==，中点Q的纵坐标3Q y =，过点Q 作x 轴的平行线交C 于一点P ，则点P的纵坐标也等于3，所以点P 的横坐标为1623.【解析】（1）()35,21243,2135,1x x f x x x x x x x --<-⎧⎪=+++=+-≤<-⎨⎪+≥-⎩，()f x 在(),2∞--上单调递减，在()2,∞-+上单调递增，所以()min ()21f x f =-=，即当2x =-时，函数()f x 取得最小值（2）由（1）可得当x 为正实数时，()35f x x =+，则由()()()27f a f b f c ++=可得：4a b c ++=，所以()914944a b c a b c a b c a b c a b c++++++++=++999444444a b c a b c a b c a a a b b b c c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭199********b c a c a b a a bb c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭199971224444442b a c a c b a b a c b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++++≥+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭773139,222=+++=+++=当且仅当99,,4444b a c a c b a b a c b c ===时，又4a b c ++=，即当246,,2333a b c ====时，等号成立.所以149a b c ++的最小值为9。

川大附中2022—2023学年下期高三三诊热身考试高三数学 理科（时间：120分钟 分值：150分）第Ⅰ卷（共60分）一、单选题（本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，选出符合题目的一项）1. 已知集合，，则集合( ) A. B. C. D.2. 人口普查是世界各国所广泛采用的搜集人口资料的一种科学方法，是提供全国基本人口数据的主要来源.根据人口普查的基本情况，可以科学的研究制定社会、经济、科教等各项发展政策，是国家科学决策的重要基础工作，人口普查资料是制定人口政策的依据和前提.截止目前，我国共进行了七次人口普查，如图是这七次普查的全国人口及年均增长率情况，下列说法正确的是( ) A. 年均增长率逐次减小B. 年均增长率的极差是C. 这七次普查的人口数逐次增加，且第四次增幅最小D. 第七次普查的人口数最多，且第三次增幅最大3. 已知平面，，直线，则“”是“”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件4. 已知函数的图象如图所示，则函数的图象为( )A. B. C. D.5. 下列关于统计概率知识的判断，正确的是( )A. 将总体划分为2层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为，和，，且已知，则总体方差B. 在研究成对数据的相关关系时，相关关系越强，相关系数 r 越接近于1C. 已知随机变量 X 服从正态分布，若，则D. 回归直线恒过样本点的中心，且至少过一个样本点6. 设等比数列中，使函数在时取得极值，则的值为A.B. 或C.D.2{|230}A x x x =--<B N =A B ⋂={0}{0,1}{0,1,2}{1,2,3}1.08%αβa α⊂b β⊂//a b //αβ()f x ()(||)g x f x =-1x 2x 21s 22s 12x x =222121()2s s s =+2(,)N μσ(1)(5)1P X P X -+=……2μ=ˆˆˆybx a =+()x y {}n a 37,a a ()3223733f x x a x a x a =+++=1x -05a ()±±7. 欧拉公式其中i 为虚数单位，是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位．依据欧拉公式，下列选项正确的是A. 为虚数B. 函数不是周期函数C. 若，则D.8. 如图，已知三棱锥的侧棱长均为2，，，点D 在线段PA 上，点E 在线段PC 上，则周长的最小值为( ) A. B. 4 C.D. 69. 已知函数的部分图象如图所示．若，则的值为( )A.B. C. D. 10. 设，给出下列四个结论：①②③④其中正确结论有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个11. 在四面体中，两两垂直且C 为球心，2为半径的球与该四面体每个面的交线的长度和的值为( )A. B. C. D. 12. 已知函数，若函数恰有5个零点，且，，则的取值范围是( )A.B.C.D.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（本大题共4小题，共20分）13. 已知向量，，，且A ，B ，C 三点共线，则__________.xi cos sin (e x i x =+)xR ∈()i e π()xi f x e =xi e =23x π=34i i e e ππ⋅P ABC -35APB BPC ︒∠=∠=50APC ︒∠=BDE V ()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<6()625f πα+=22sincos 22αα-354535-45-10a b c >>>>11;ac bc >;c c ba ab >(1)(1);a b c c -<-log ()log ()b a a c b c +>+⋅A BCD -,,AB AC AD AB AC AD ===O 56ππ43π32π22()3[f (x)]()2()g x mf x m m R =--∈12345,,,,x x x x x 12345x x x x x <<<<(,12)OA k = (4,5)OB = (,10)OC k =-k =14. 已知实数满足，______．15. 《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中诗篇《李白沽酒》里记载：“今携一壶酒，游春郊外走，逢朋加一倍，入店饮斗九”意思是说，李白去郊外春游时，带了一壶酒，遇见朋友，先到酒店里将壶中的酒增加一倍假定每次加酒不会溢出，再饮去其中的3升酒．那么根据这个规则，若李白酒壶中原来有酒升，将李白在第家店饮酒后所剩酒量记为升，则__________用和n 表示16. 已知双曲线G 的方程，其左、右焦点分别是，，已知点P 坐标为，双曲线G 上点，满足，则__________. 三、解答题（本大题共7小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 本小题12分在中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且 求角A 的大小；若的周长．18. 本小题12分2020年上半年受新冠疫情的影响，国内车市在上半年累计销量相比去年同期有较大下降．国内多地在3月开始陆续发布促进汽车消费的政策，开展汽车下乡活动，这也是继2009年首次汽车下乡之后开启的又一次大规模汽车下乡活动．某销售商在活动的前2天大力宣传后，从第3天开始连续统计了6天的汽车销售量单位：辆如下图： 第x 天3 4 5 6 7 8 销售量单位：辆172019242427从以上6天中随机选取2天，求这2天的销售量均在20辆以上含20辆的概率．根据上表中前4组数据，求y 关于x 的线性回归方程用中的结果计算第7，8天所对应的，再求与当天实际销售量的差，若差值的绝对值都不超过1，则认为求得的线性回归方程“可行”，若“可行”则能通过些回归方程预测以后的销售量，请根据题意进行判断，中的结果是否可行，若可行，请预测第9天的销售量；若不可行，请说明理由．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，,x y ()2221x y +-=ω⋯()00(3)a a >*(1,)n n n N ∈…n a n a =(0a ).221169x y -=1F 2F (4,2)00(,)Q x y 00(0,0)x y >>11211121||||QF PF F F PF QF F F ⋅⋅=12F PQ F PQ S S -=V V ()ABC V 2sin 0.2AA +=(1)(2)ABC V R =ABC V ()(y )(y )(1)()(2)ˆˆˆ.y bx a =+(3)(2)ˆyˆy (2)ˆˆˆy bx a =+1122211()()ˆ()n ni iiii i nniii i x y nxy x x y y bxnx x x ====---==--∑∑∑∑ˆˆ.a y bx=-19. 本小题12分如图所示多面体ABCDEF 中，平面平面ABCD ，平面ABCD ，是正三角形，四边形ABCD 是菱形，，求证：平面ABCD ；求二面角的正弦值．20. 本小题12分已知O为坐标原点，点在椭圆上，椭圆C 的左、右焦点分别为，，且 求椭圆C 的标准方程； 若点，，在椭圆C 上，原点O 为的重心，证明：的面积为定值．21. 本小题12分已知函数求在处的切线方程；若恒成立，求a 的取值范围；当时，证明：()ADE ⊥CF ⊥ADE V 2AB =CF =.3BAD π∠=(1)//EF (2)E AF C --()1)2P 2222:1(0)x y C a b a b+=>>1F 2F 12||F F =(1)(2)0P 1P 2P 012P PP V 012P PP V ()ln 1().a x a f x x+-=(1)()f x (1,(1))f (2)(i)()1xf x x -…(ii)1a =(2)(3)()1.232219224f f f n n n n ++⋯+<+-+请考生在第22、23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑. 22. 本小题10分在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为写出曲线的参数方程；设A 是曲线上的动点，B 是曲线上的动点，求A ，B 之间距离的最大值.23. 本小题10分已知函数 解不等式；记函数的最小值为m ，若a ，b ，，且，求的最小值．()1C 2cos ρθ=2C ρ=(1)2C (2)1C 2C ()()|21||+1|.f x x x =-+(1)()6f x …(2)()=()|+1|g x f x x +c R ∈+2+3=0a b c m -222++a b c川大附中2022—2023学年下期高三三诊热身考试—参考答案一、单选题CDDBC CDAAB DB1. 已知集合2{|230}A x x x =−−<，B N =，则集合A B ⋂=( C ) A. {0} B. {0,1} C. {0,1,2} D. {1,2,3}2. 人口普查是世界各国所广泛采用的搜集人口资料的一种科学方法，是提供全国基本人口数据的主要来源.根据人口普查的基本情况，可以科学的研究制定社会、经济、科教等各项发展政策，是国家科学决策的重要基础工作，人口普查资料是制定人口政策的依据和前提.截止目前，我国共进行了七次人口普查，如图是这七次普查的全国人口及年均增长率情况，下列说法正确的是.( D ) A. 年均增长率逐次减小B. 年均增长率的极差是1.08%C. 这七次普查的人口数逐次增加，且第四次增幅最小D. 第七次普查的人口数最多，且第三次增幅最大3. 已知平面α，β，直线a α⊂，b β⊂则“//a b ”是“//αβ”的( D ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件4. 已知函数()f x 的图象如图所示，则函数()(||)g x f x =−的图象为( B )A. B.C. D.5. 下列关于统计概率知识的判断，正确的是( C )A. 将总体划分为2层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为1x ，2x 和21s ，22s ，且已知12x x =，则总体方差222121()2s s s =+B. 在研究成对数据的相关关系时，相关关系越强，相关系数 r 越接近于1C. 已知随机变量 X 服从正态分布2(,)N μσ，若(1)(5)1P X P X −+=，则2μ= 文：C. 用2R 来刻画回归效果，2R 值越大，说明拟合效果越好D. 回归直线ˆˆˆybx a =+恒过样本点的中心(,)x y ，且至少过一个样本点 【解答】解：对于A ，设2层数据分别记为1212,,,;,,,m n x x x x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，因为12x x =，所以总体样本平均数为121112mx nx mx nx x x x m n m n++====++，所以222111111()()m m i i i i s x x x x m m ===−=−∑∑，2222j 2j j 1j 111()()n n s x x x x n n ===−=−∑∑，所以总体方差22121()ms ns m n =++ 2212m n s s m n m n =+++，只有当m n =时，222121()2s s s =+才成立，A 错误; 对于B ，相关性越强，||r 越接近于1，B 错误;对于C ，若(1)(5)1P XP X −+=，则(1)(5)P X P X −=<，5(1)22μ+−∴==，C 正确; 对于D ，回归直线ˆˆˆy bx a =+恒过样本点的中心(,)x y ，可以不过任一个样本点， D 错误.故选.C6. 设等比数列{}n a 中，37,a a 使函数()3223733f x x a x a x a =+++在=1x −时取得极值0，则5a 的值为 ( C )A. 3±或32±B. 3或32C. 32D. 32±【解答】由题意知：()23736f x x a x a '=++，()f x 在=1x −处取得极值0，()()23733711301360f a a a f a a '⎧−=−+−+=⎪∴⎨−=−+=⎪⎩，解得：3713a a =⎧⎨=⎩或3729a a =⎧⎨=⎩；当31a =，73a =时，()()22363310f x x x x '=++=+≥，f x 在R 上单调递增，不合题意；当32a =，79a =时，()()()23129313f x x x x x '=++=++，∴当()(),31,x ∈−∞−−+∞时，0f x ；当()3,1x ∈−−时，()0f x '<；f x 在()(),3,1,−∞−−+∞上单调递增，在()3,1−−上单调递减， 1x ∴=−是()f x 的极小值点，满足题意；253718a a a ∴==，又5a 与37,a a 同号，532a ∴=.故选.C7. 欧拉公式xi cos sin (e x i x =+其中i 为虚数单位，)x R ∈是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位．依据欧拉公式，下列选项正确的是 ( D )A. i e π为虚数B. 函数()xi f x e =不是周期函数C. 若132xi i e −=，则23x π= D. 34i i e e ππ⋅的共轭复数是262644i −+−8. 如图，已知三棱锥P ABC −的侧棱长均为2，35APB BPC ︒∠=∠=，50APC ︒∠=，点D 在线段PA 上，点E 在线段PC 上，则BDE 周长的最小值为( A ) A. 23 B. 4 C. 43 D. 6【解答】解：如图，将三棱锥的侧面展开，则BDE 周长的最小值为12.B B在12PB B 中，122PB PB ==，12353550120B PB ︒︒︒︒∠=++=，在12PB B 中，根据余弦定理可得：2221212122cos120B B PB PB PB PB ︒=+−⋅，所以1223B B =，即BDE 周长的最小值为2 3. 故选：A9. 已知函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图象如图所示．若6()625f πα+=，则22sin cos 22αα−的值为( A )A. 35− B. 45C. 35 D. 45−10. 设10a b c >>>>，给出下列四个结论：①11;ac bc>②;c c ba ab >③(1)(1);a b c c −<−④log ()log ()b a a c b c +>+⋅其中正确结论有( B ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个11. 在四面体A BCD −中，,,AB AC AD 两两垂直且3AB AC AD ===，以C 为球心，2为半径的球O 与该四面体每个面的交线的长度和的值为( D )A. 56πB. πC. 43π D. 32π【解答】解：因为四面体A BCD −中， AB ， AC ， AD 两两垂直 且3AB AC AD ===， 由题意知RtACD 、Rt ABC 为等腰直角三角形，且3AB AC AD ===，以点 C 为球心，2为半径作一个球O ，设球O 与Rt ACD 的边 CD 、 AD 分别交于点 M 、 N ，如图1； 与Rt ABC 的边 AB 、 CB 分别交于点 H 、 G ，如图2； 易得3cos 2ACN ∠=， 则6ACN π∠=，tan 16AN AC π=⋅=，所以4612NCM ACD ACN πππ∠=∠−∠=−=，所以弧 MN 的长2126MN ππ=⨯=，同理，弧.6GH π=在ABD 内，如图3，因为1AH AN ==，2HAN π∠=，则122HN ππ=⨯=，又如图4，易知弧 GM 是以顶点 C 为圆心，2为半径，圆心角为3π，则2233GM ππ=⨯=， 所以球面与该四面体每个面的交线的长度和为23.66232πππππ+++= 故选.D12. 已知函数，若函数22()3[f (x)]()2()g x mf x m m R =−−∈恰有5个零点12345,,,,x x x x x ，且12345x x x x x <<<<，，则的取值范围是( B )A. B. C.D.【解答】解：当0x <时，()x f x xe =，此时()(1)x f x x e '=+， 令，解得10,x −<<令，解得1x <−，可得()f x 在(,1)−∞−上单调递减，在(1,0)−上单调递增，且1(1);f e−=−当0x >时，22()2(1)1f x x x x =−+=−−+，而易得函数()f x 连续，且(0)0f =， 作出()f x 的大致图象如图所示.函数恰有5个零点1x ，2x ，3x ，4x ，5x ， 等价于方程有5个不同的实数根，解得()f x m =或2()3mf x =−，0m ≠，该方程有5个根， 且34()()f x f x =，则342x x +=，125()()().f x f x f x ==当0m <时，1251()()()(,0)f x f x f x m e ===∈−，342()()(0,1)3m f x f x ==−∈，故1(,0)m e∈−， 所以1332()()(2)f x f x f x ++−1342()()()f x f x f x =++134222()2()2(,0);333m m f x f x m e=+=−=∈−当0m >时，12521()()()(,0)3m f x f x f x e ===−∈−， 34()()(0,1)f x f x m ==∈，故3(0,)2m e∈， 所以1331342()()(2)2()()()f x f x f x f x f x f x ++−=++134212()2()2(0,).33m m f x f x m e=+=−+=∈综上，1332()()(2)f x f x f x ++−的取值范围是21(,0)(0,).3e e−⋃故选.B二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知向量(,12)OA k =，(4,5)OB =，(,10)OC k =−，且A ，B ，C 三点共线，则k =__________.【答案】23−14. 已知实数,x y 满足()2221x y +−=，223x y ω=+的取值范围是______．【答案】[]1,215. 《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中诗篇《李白沽酒》里记载：“今携一壶酒，游春郊外走，逢朋加一倍，入店饮斗九⋯”意思是说，李白去郊外春游时，带了一壶酒，遇见朋友，先到酒店里将壶中的酒增加一倍(假定每次加酒不会溢出)，再饮去其中的3升酒．那么根据这个规则，若李白酒壶中原来有酒00(3)a a >升，将李白在第*(1,)n n n N ∈家店饮酒后所剩酒量记为n a 升，则n a =__________(用0a 和n 表示).【答案】023(12)nna +−升16. 已知双曲线G 的方程221169x y −=，其左、右焦点分别是1F ，2F ，已知点P 坐标为(4,2)，双曲线G 上点00(,)Q x y ，00(0,0)x y >>满足11211121||||QF PF F F PF QF F F ⋅⋅=，则12F PQ F PQ S S −=__________.【答案】8【解答】解：如图，设12QF F 的内切圆与三边分别相切于D ，E ，G ，可得QD QG =，11F D F E =，22F E F G =， 又由双曲线定义可得1228QF QF a −==，则121212()2QD DF QG GF DF GF EF EF a +−+=−=−=， 又122EF EF c +=，解得1EF a c =+，则E 点横坐标为a ，即内切圆圆心横坐标为.a又11211121||||QF PF F F PF QF F F ⋅⋅=，可得，化简得112cos cos PFQ PF F ∠=∠，即112PFQ PF F ∠=∠，即1PF 是12QF F ∠的平分线， 由于(4,2)P ，可得4a =，可得P 即为12QF F 的内心，且半径r 为2，则故答案为：8.三、解答题（本大题共7小题，共84.0分。

数学(理科)参考答案 第1 页(共9页)湘豫名校联考2023年5月高三第三次模拟考试数学(理科)参考答案题号123456789101112答案C C B B C D D C D A A B一㊁选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.C ʌ命题意图ɔ本题考查元素与集合的关系,考查数据分析的核心素养.ʌ解析ɔ因为U ={1,2,3,4,5},∁U A ={2,4},所以A ={1,3,5}.又∁UB ={3,4},所以B ={1,2,5}.所以3ɪA ,3∉B .故选C .2.C ʌ命题意图ɔ本题考查复数相等,考查数学运算的核心素养.ʌ解析ɔ由i 3=a -b i (a ,b ɪR ),得-i =a -b i .所以a =0,b =1.所以a +b =1.故选C .3.B ʌ命题意图ɔ本题考查向量的投影,考查直观想象㊁数学运算的核心素养.ʌ解析ɔ由题知,向量b =a +b -a =(-1,7)-(1,3)=(-2,4),所以a ㊃b =-2+12=10.又|b |=4+16=25.所以向量a 在向量b 方向上的投影为a ㊃b |b |=1025=5.故选B .4.B ʌ命题意图ɔ本题考查排列组合㊁古典概型,考查逻辑推理㊁数学运算的核心素养.ʌ解析ɔ依题意,可得三个小区中恰有一个小区未分配到任何工作人员的概率为C 13C 24C 222+C 14㊃C 33()㊃A 2234=3ˑ3+4()ˑ234=1427.故选B .5.C ʌ命题意图ɔ本题考查双曲线的标准方程,考查数学运算㊁逻辑推理的核心素养.ʌ解析ɔ设双曲线C 1的方程为x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)或y 2a 2-x 2b2=1(a >0,b >0),因为C 1和C 2有相同的焦距,双曲线C 2:x 27-y 2=1的焦距为42,所以双曲线C 1的焦距2c =42.若C 1的焦点在x 轴上,将点(3,1)代入x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0),得32a 2-12b2=1①.又a 2+b 2=c 2=8②,联立①②两式得a 2=6,b 2=2.所以双曲线C 1的标准方程为x 26-y 22=1.若C 1的焦点在y 轴上,将点(3,1)代入y 2a 2-x 2b 2=1(a >0,b >0),得12a2-32b2=1③.又a 2+b 2=c 2=8④,联立③④两式得a 2=9-73,b 2=73-1,所以双曲线C 1的标准方程为y 29-73-x 273-1=1.综上所述,双曲线C 1的标准方程为x 26-y 22=1或y 29-73-x 273-1=1.故选C .6.D ʌ命题意图ɔ本题考查四个平均数的大小关系,基本不等式的性质,考查数学运算的核心素养.ʌ解析ɔ方法一:a b ɤa +b 2()2=14(当且仅当a =b 时取等号),A 正确;易知a +b 2ɤa 2+b 22,则12ɤa 2+b 22,即a 2+b 2ȡ12(当且仅当a =b 时取等号),B 正确;由题得1a +1b +1=11-b +1b +1=21-b 2,1-b 2ɪ(0,1),故1a +1b +1>2,C 正确;易知a +b 2ɤa +b 2=12,即a +b ɤ2(当且仅当a =b 时取等数学(理科)参考答案 第2 页(共9页)号),D 错误.故选D.方法二(特殊情况):取a =b =12,则a +b =12+12=2,故D 错误.故选D.7.D ʌ命题意图ɔ本题考查程序框图,考查数学运算㊁逻辑推理的核心素养.ʌ解析ɔ执行程序框图,第一次循环:1<5,M =12+12=2,b =2,a =0,n =2;第二次循环:2<5,M =02+22=4,b =1,a =2,n =3;第三次循环:3<5,M =22+12=5,b =3,a =3,n =4;第四次循环:4<5,M =32+32=18,b =4,a =16,n =5;第五次循环:5=5,M =162+42=272,b =17,a =270,n =6,此时6>5,退出循环,输出M =272.故选D .8.C ʌ命题意图ɔ本题考查二项式定理,考查数学运算的核心素养.ʌ解析ɔ1y +x ()(x +3y )6=1y (x +3y )6+x (x +3y )6.(x +3y )6的展开式的通项为T r +1=C r 6x 6-r (3y )r =C r 63r x 6-r y r .因为1y (x +3y )6的展开式中没有x 4y 3项,x (x +3y )6的展开式中x 4y 3项为x ˑC 3633x 3y 3=540x 4y 3,所以1y+x ()(x +3y )6的展开式中x 4y 3的系数为540.故选C .9.D ʌ命题意图ɔ本题考查等差数列的基本运算,数列的前n 项和,考查数学抽象㊁逻辑推理和数学运算的核心素养.ʌ解析ɔ设等差数列的首项为a 1,公差为d ,则由a 1+a 8=2a 5-2,a 3+a 11=26,{得a 1+a 1+7d =2(a 1+4d )-2,a 1+2d +a 1+10d =26,{化简得7d =8d -2,2a 1+12d =26,{解得a 1=1,d =2.{所以a n =1+(n -1)ˑ2=2n -1.设数列a n ㊃c o s n π{}的前n 项和为S n ,则S 2022=-a 1+a 2-a 3+a 4- -a 2021+a 2022=(a 2-a 1)+(a 4-a 3)+ +(a 2022-a 2021)=1011d =2022.故选D .10.A ʌ命题意图ɔ本题考查三棱锥的外接球的体积,考查直观想象㊁逻辑推理和数学运算的核心素养.ʌ解析ɔ在әP A Q 中,设A Q =x ,则P Q =x 2+(2)2=x 2+2.所以әP A Q 的周长为2+x +x 2+2ȡ1+2+3.所以x 2+2ȡ1+3-x ,不等式两边平方,得x 2+2ȡ4+23-2(1+3)x +x 2,解得x ȡ1,即A Q 的最小值是1.所以点A 到边B C 的距离为1.当A Q 取最小值时,因为在R t әA B Q 中,A B =2,所以øB A Q =60ʎ.又øB A C =60ʎ,所以C ,Q 两点重合,所以øA C B =90ʎ,即A C ʅB C .又P A ʅ平面A B C ,B C ⊂平面A B C ,所以P A ʅB C .因为P A ɘA C =A ,所以B C ʅ平面P A C .因为P C ⊂平面P A C ,所以B C ʅP C .因为P B 是R t әP A B 和R t әP C B 的公共斜边,所以P B 为三棱锥P A B C 的外接球的直径,设外接球的半径为R ,则R =12P B =12P A 2+A B 2=12(2)2+22=62,所以三棱锥P A B C 的外接球的体积V =43πR 3=43πˑ62æèçöø÷3=6π.故选A .11.A ʌ命题意图ɔ本题考查直线与抛物线的位置关系,考查直观想象㊁数学抽象和逻辑推理的核心素养.ʌ解析ɔ如图,不妨设点A 在x 轴上方,由抛物线的定义可知|A F |=|AM |,因为øF MD =30ʎ,所以øAM F =90ʎ-30ʎ=60ʎ,所以әAM F 是正三角形.由y 2=4x 可知F (1,0),D (-1,0),设A (x A ,y A ),B (x B ,yB ),因为øF M D =30ʎ,|D F |=2,所以|D M |=23,|M F |=|AM |=4.所以x A =4-1=3.所以点A 的坐标为(3,23),所数学(理科)参考答案 第3 页(共9页)以直线A B 的方程为y -230-23=x -31-3,整理得y =3x -3.由y =3x -3,y 2=4x ,{得3x 2-10x +3=0,解得x A =3,x B =13.将x B =13代入直线A B 的方程,得y B =3ˑ13-3=-233.所以点B 的坐标为13,-233æèçöø÷.所以S 四边形A M D B =S 四边形A M D F +S әB D F =12ˑ(2+4)ˑ23+12ˑ2ˑ233=2033.故选A .12.B ʌ命题意图ɔ本题考查通过构造函数,利用导数比较大小,考查数学抽象和逻辑推理的核心素养.ʌ解析ɔa =11+e 2=1-11e 2+1,b =1e =1e 2,c =l n 1+e 2e 2=l n 1e 2+1(),令f (x )=x -l n (x +1),0<x <1,则f '(x )=1-1x +1=x x +1>0,所以f (x )在(0,1)上单调递增.所以f (x )>f (0)=0,即x >l n (x +1).令g (x )=l n (x +1)-1+1x +1,0<x <1,则g '(x )=1x +1-1(x +1)2=x (x +1)2>0,所以g (x )在(0,1)上单调递增.所以g (x )>g (0)=0,即l n (x +1)>1-1x +1.又当0<x <1时,x >x ,所以当0<x <1时,x >x >l n (x +1)>1-1x +1.所以当x =1e 2时,1e 2>1e 2>l n 1e 2+1()>1-11e 2+1,即b >c >a .故选B .二㊁填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.14x -y -8=0 ʌ命题意图ɔ本题考查导数的几何意义,考查逻辑推理和数学运算的核心素养.ʌ解析ɔ由题得f '(x )=6x 2+8x ,所以曲线f (x )在点(1,f (1))处的切线的斜率为f '(1)=14.又f (1)=6,所以曲线f (x )=2x 3+4x 2在点(1,f (1))处的切线方程为y -6=14ˑ(x -1),即14x -y -8=0.14.3(答案不唯一,答对即可得分) ʌ命题意图ɔ本题考查直线与圆的位置关系,考查逻辑推理㊁直观想象㊁数学运算的核心素养.ʌ解析ɔ因为圆心C (a ,1)到直线l 的距离d =|a -1|12+(-1)2=|a -1|2,所以r =d 2+|A B |2()2=|a -1|2æèçöø÷2+(2)2,即r 2=|a -1|22+2.由题意,得|a -1|22必为整数,且0<|a -1|2<r ,所以可取a =-1或a =3,此时r =2.因此a 的值可以取3.15.7或8(只答一个不得分) ʌ命题意图ɔ本题考查等比数列的基本运算,考查逻辑推理和数学运算的核心素养.ʌ解析ɔ由题可知a 4ʂ0,因为8a 7=a 4,所以q 3=a 7a 4=18,解得q =12.又S 6=252,所以a 11-12()6[]1-12=252,解得a 1=128.所以a n =128ˑ12()n -1.令a n =128ˑ12()n -1ɤ1,得n ȡ8.又a 8=128ˑ12()7=1,所以当n =7或8时,a 1a 2 a n 最大.16.15π ʌ命题意图ɔ本题考查正弦函数的图象与性质,考查逻辑推理㊁直观想象㊁数学运算的核心素养.ʌ解析ɔ由题图知A =2.由f 3π4-x ()=f (x )知,函数f (x )的图象关于直线x =3π8对称.则由图象可知3π8--π8()=K 2T (K ɪN *),解得T =πK (K ɪN *).又π8<T 4,所以T >π2.所以K =1,最小正周期T =π.所以ω=2πT =2.所以f (x )=2s i n (2x +φ).因为函数f (x )的图象经过点-π8,-2(),所以f -π8()=数学(理科)参考答案 第4 页(共9页)2s i n -π4+φ()=-2,解得φ=-π4+2k π(k ɪZ ).又|φ|<π2,所以φ=-π4,所以f (x )=2s i n 2x -π4().设方程f (x )=1在(0,λ)上的8个根从小到大依次为x 1,x 2, ,x 8.令2x -π4=π2,则x =3π8.根据f (x )的图象的对称性,可得x 1+x 22=3π8.由f (x )的周期性可得x 3+x 42=3π8+T =11π8,x 5+x 62=3π8+2T =19π8,x 7+x 82=3π8+3T =27π8,所以ð8i =1x i =2ˑ3π8+11π8+19π8+27π8()=15π.三㊁解答题:共70分.解答应写出文字说明㊁证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22㊁23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.ʌ命题意图ɔ本题考查解三角形,三角形的面积与周长,考查逻辑推理和数学运算的核心素养.ʌ解析ɔ(1)因为3a s i n C +c c o s A =a +b ,所以由正弦定理得3s i n A s i n C +s i n C c o s A =s i n A +s i n B .1分…………………………………………………………………………………………………………………因为B =π-A -C ,所以s i n B =s i n (π-A -C )=s i n (A +C )=s i n A c o s C +c o s A s i n C ,所以3s i n A s i n C =s i n A c o s C +s i n A .3分……………………………………………………………………因为A ɪ(0,π),所以s i n A ʂ0,所以3s i n C =c o s C +1,即3s i n C -c o s C =1.4分………………………所以2s i n C -π6()=1,即s i n C -π6()=12.5分………………………………………………………………又C ɪ(0,π),所以C =π3.6分…………………………………………………………………………………(2)因为әA B C 的面积为3,所以12a b s i n C =3.由(1)知C =π3,所以a b =4①.8分……………………………………………………………………………由余弦定理得c 2=a 2+b 2-2a b c o s C ,又c =2,所以a 2+b 2=8②.10分………………………………………………………………………………由①②解得a =b =2.11分………………………………………………………………………………………故әA B C 的周长为a +b +c =6.12分……………………………………………………………………………18.ʌ命题意图ɔ本题考查独立性检验思想㊁离散型随机变量的分布列与数学期望,考查逻辑推理㊁数学运算㊁数据分析的核心素养.ʌ解析ɔ(1)因为套餐价格在[898,1498]内的频率为(0.00100+0.00050+0.00025)ˑ200=0.35,所以选择 尊享套餐 的客户有0.35ˑ200=70(名).2分………………………………………………………完善2ˑ2列联表如下:选择 尊享套餐 选择 普通套餐合计年龄不低于45岁5070120年龄低于45岁206080合计70130200K 2的观测值k =200ˑ(50ˑ60-70ˑ20)2120ˑ80ˑ70ˑ130ʈ5.861<6.635.4分……………………………………………所以没有99%的把握认为是否选择尊享套餐 与年龄有关.5分……………………………………………数学(理科)参考答案 第5 页(共9页)(2)由题设,年龄低于45岁的所有客户中,估计选择 普通套餐 的概率为6080=34,6分……………………易知ξ~B 3,34().7分……………………………………………………………………………………………所以P (ξ=0)=C 03ˑ34()0ˑ14()3=164,P ξ=1()=C 13ˑ34()1ˑ14()2=964,P (ξ=2)=C 23ˑ34()2ˑ14()1=2764,P ξ=3()=C 33ˑ34()3ˑ14()0=2764,9分…………………………所以ξ的分布列为ξ0123P1649642764276410分………………………………………………………………………………………………………………所以E (ξ)=3ˑ34=94.12分……………………………………………………………………………………19.ʌ命题意图ɔ本题考查面面垂直的证明㊁三棱柱的体积㊁二面角等,考查直观想象㊁逻辑推理和数学运算的核心素养.ʌ解析ɔ(1)方法一(几何法):如图,作C E ʅA B 于点E ,E F ʊB B 1交A B 1于点F ,连接D F .因为A C =2,B C =3,A B =13,所以A C 2+B C 2=22+32=(13)2=A B 2.所以A C ʅB C .1分……………………………………………………………所以C E =A C ㊃B C A B =2ˑ313=61313.由勾股定理得A E =A C 2-C E 2=22-61313æèçöø÷2=41313,所以E F B B 1=A E A B =4131313=413=C D C C 1,所以E F =C D .3分………………………………………………………又E F ʊB B 1,C D ʊB B 1,所以E F ʊC D .所以四边形E F D C 是平行四边形,所以D F ʊC E .4分…………………………………………………………因为平面A B C ʅ平面A B B 1A 1,平面A B C ɘ平面A B B 1A 1=A B ,C E ʅA B ,所以C E ʅ平面A B B 1A 1.5分……………………………………………………………………………………所以D F ʅ平面A B B 1A 1.又D F ⊂平面A B 1D ,所以平面A B 1D ʅ平面A B B 1A 1.6分……………………………………………………方法二(向量法):因为A C =2,B C =3,A B =13,所以A C 2+B C 2=22+32=(13)2=A B 2.所以A C ʅB C .1分………………………………………………………………………………………………由题知C C 1ʅ平面A B C ,又A C ⊂平面A B C ,B C ⊂平面A B C ,所以C C 1ʅA C ,C C 1ʅB C .以点C 为原点,以C A ,C B ,C C 1所在直线分别为x 轴㊁y 轴㊁z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,设C C 1=a (a >0),则A (2,0,0),A 1(2,0,a ),B 1(0,3,a ),D 0,0,4a 13().数学(理科)参考答案 第6 页(共9页)所以A B 1ң=(-2,3,a ),A D ң=-2,0,4a 13(),A A 1ң=(0,0,a ).2分………设平面A B 1D 的法向量为m =(x ,y ,z ),由m ㊃A B 1ң=-2x +3y +a z =0,m ㊃A D ң=-2x +4a z 13=0,{得x =2a z 13,y =-3a z 13.ìîíïïïï令z =13,得平面A B 1D 的一个法向量为m =(2a ,-3a ,13).3分………设平面A B B 1A 1的法向量为n =(x ',y',z '),由n ㊃A B 1ң=-2x '+3y '+a z '=0,n ㊃A A 1ң=a z '=0,{得y '=23x ',z '=0.{令x '=3,得平面A B B 1A 1的一个法向量为n =3,2,0().4分…………………………………………………因为m ㊃n =6a -6a +0=0,所以m ʅn .5分……………………………………………………………………………………………………所以平面A B 1D ʅ平面A B B 1A 1.6分……………………………………………………………………………(2)因为直三棱柱A B C A 1B 1C 1的体积为392,所以12ˑ2ˑ3ˑC C 1=392,解得C C 1=132.所以C D =2,C 1D =92.7分………………………………………………………………………………………由题知C C 1ʅ平面A B C ,又A C ⊂平面A B C ,B C ⊂平面A B C ,所以C C 1ʅA C ,C C 1ʅB C .以点C 为原点,以C A ,C B ,C C 1所在直线分别为x 轴㊁y 轴㊁z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A (2,0,0),B 10,3,132(),D (0,0,2),所以A B 1ң=-2,3,132(),A D ң=(-2,0,2).8分…………………………设平面A B 1D 的法向量为u =(x 1,y1,z 1),由u ㊃A B 1ң=-2x 1+3y 1+132z 1=0,u ㊃A D ң=-2x 1+2z 1=0,{得y 1=-32z 1,x 1=z 1.{令z 1=2,得平面A B 1D 的一个法向量为u =(2,-3,2).9分……………易知平面B B 1D 的一个法向量为v =(1,0,0),10分……………………设二面角A B 1D B 的大小为θ,则c o s θ=u ㊃v |u ||v |=(2,-3,2)㊃(1,0,0)17ˑ1=21717.易知θ为锐角,所以二面角A B 1D B 的余弦值为21717.12分………………………………………………………………20.ʌ命题意图ɔ本题考查椭圆的标准方程㊁直线与椭圆的位置关系㊁三角形的周长等,考查直观想象和数学运算的核心素养.ʌ解析ɔ(1)依题意,әMN F 2的周长为|M F 2|+|MN |+|N F 2|=|M F 1|+|M F 2|+|N F 1|+|N F 2|=4a =12,解得a =3.1分……………………………………………………………………………………………………数学(理科)参考答案 第7 页(共9页)设椭圆C 的半焦距为c ,因为椭圆C 的离心率为23,所以e =c a =23,即c 3=23,解得c =2.2分……………………………………………………………………因为a 2=b 2+c2,所以b =a 2-c 2=32-22=5.3分…………………………………………………………………………所以椭圆C 的标准方程为y 29+x 25=1.4分……………………………………………………………………(2)由(1)知,F 1(0,2),A (0,3).易知直线l 的方程为y =k x +2(k ʂ0).5分…………………………………由y =k x +2,y 29+x 25=1,{消去y 得(5k 2+9)x 2+20k x -25=0,Δ>0.6分……………………………………………设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),则x 1+x 2=-20k 5k 2+9,x 1x 2=-255k 2+9.7分………………………………………所以k 1=y 1-3x 1=k x 1+2-3x 1=k x 1-1x 1,k 2=y 2-3x 2=k x 2+2-3x 2=k x 2-1x 2.8分………………………………所以k 1+k 2=k -1x 1+k -1x 2=2k -x 1+x 2x 1x 2=65k .k 1㊃k 2=k-1x 1()㊃k -1x 2()=k 2-k ˑx 1+x 2x 1x 2+1x 1x 2=-925.所以1k 1+1k 2=k 1+k 2k 1㊃k 2=-103k .11分……………………………………………………………………………所以1k 1k 1+1k 2()=-103,为定值.12分………………………………………………………………………21.ʌ命题意图ɔ本题考查导数的几何意义,考查利用导数解决不等式恒成立问题,考查逻辑推理㊁数学运算的核心素养.ʌ解析ɔ(1)由f (x )=e x -s i n x -c o s x -12a x 2,得f '(x )=e x-c o s x +s i n x -a x .1分……………………所以曲线y =f (x )在点π4,fπ4()()处的切线的斜率为f 'π4()=e π4-π4a .2分…………………………所以e π4-π4a =e π4-π,解得a =4.4分…………………………………………………………………………(2)由(1)知,f'(x )=e x-c o s x +s i n x -a x ,所以不等式f '(x )ȡl n (1-x ),即e x-c o s x +s i n x -a x -l n (1-x )ȡ0对任意x ɪ(-ɕ,1)恒成立.5分…………………………………………………………………………………………………………………令g (x )=e x+s i n x -c o s x -a x -l n (1-x )(x <1),则g '(x )=e x+c o s x +s i n x -a +11-x .6分……………………………………………………………………因为g (x )ȡ0,g (0)=0,所以∀x ɪ(-ɕ,1),g (x )ȡg (0),即g (0)为g (x )的最小值,x =0为g (x )的一个极小值点.所以g '(0)=e 0+c o s 0+s i n0-a +11-0=0,解得a =3.7分…………………………………………………当a =3时,g (x )=e x+s i n x -c o s x -3x -l n (1-x )(x <1),所以g '(x )=e x +c o s x +s i n x -3+11-x =e x+2s i n x +π4()-3+11-x.8分……………………………数学(理科)参考答案 第8 页(共9页)令φ(x )=e x+11-x -3,h (x )=2s i n x +π4(),易知φ(x )在(-ɕ,1)上单调递增.①当0ɤx <1时,[φ(x )]m i n =φ(0)=-1,[h (x )]m i n =h (0)=1,所以g '(x )ȡg '(0)=0(当且仅当x =0时等号成立),所以g (x )在[0,1)上单调递增.9分…………………………………………………………………………………………………………………②当x <0时,若-π2ɤx <0,则φ(x )<φ(0),h (x )<h (0),所以g '(x )<g '(0)=0;若x <-π2,则φ(x )<φ-π2()=e -π2+2π+2-3,h (x )ɤ2,所以g '(x )<e -π2+2-3+2π+2<12+32-3+2π+2<0.所以g (x )在(-ɕ,0)上单调递减.11分…………………………………………………………………………综上所述,g (x )在(-ɕ,0)上单调递减,在[0,1)上单调递增.所以当a =3时,g (x )ȡg (0)=0.12分…………………………………………………………………………(二)选考题:共10分.请考生在22㊁23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22.ʌ命题意图ɔ本题考查极坐标与参数方程,考查直观想象㊁逻辑推理㊁数学运算的核心素养.ʌ解析ɔ(1)因为直线l 的参数方程为x =3-32t ,y =3-12t ìîíïïïï(t 为参数),所以消去参数t 可得直线l 的普通方程为x -3y =0.2分……………………………………………………因为曲线C 的极坐标方程为ρ=2s i n θ+π6(),即ρ=3s i n θ+c o s θ,所以ρ2=3ρs i n θ+ρc o s θ.由x =ρc o s θ,y =ρs i n θ,{得x 2+y 2-x -3y =0.所以曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2-x -3y =0.4分……………………………………………………(2)因为点P 的极坐标为23,π6(),所以点P 的直角坐标为(3,3).易得点P 在直线l 上,将直线l 的参数方程x =3-32t ,y =3-12t ìîíïïïï(t 为参数)代入x 2+y 2-x -3y =0,6分………………………………化简得t 2-33t +6=0,Δ>0.设A ,B 两点所对应的参数分别为t 1,t 2,则t 1+t 2=33,t 1t 2=6,8分………………………………………所以t 1>0,t 2>0.所以1|P A |+1|P B |=1|t 1|+1|t 2|=1t 1+1t 2=t 1+t 2t 1t 2=336=32.10分………………………………………23.ʌ命题意图ɔ本题考查绝对值不等式的求解,绝对值不等式恒成立问题,考查逻辑推理和数学运算的核心素养.数学(理科)参考答案 第9 页(共9页)ʌ解析ɔ(1)当a =2时,f (x )=|x +4|+|x -4|,1分……………………………………………………………不等式f (x )ɤ13,即为|x +4|+|x -4|ɤ13.则x ɤ-4,-(x +4)-(x -4)ɤ13,{或-4<x <4,(x +4)-(x -4)ɤ13,{或x ȡ4,(x +4)+(x -4)ɤ13.{3分……………………解得-132ɤx ɤ-4或-4<x <4或4ɤx ɤ132.4分……………………………………………………………故不等式f (x )ɤ13的解集为-132,132[].5分…………………………………………………………………(2)f (x )=|x +4|+|x -2a |ȡ|x +4-(x -2a )|=|2a +4|(当且仅当(x +4)(x -2a )ɤ0时等号成立)6分…………………………………………………………………………………………………………………因为f (x )ȡa 2+5a 恒成立,所以|2a +4|ȡa 2+5a .7分………………………………………………………所以2a +4ȡa 2+5a ①或2a +4ɤ-(a 2+5a )②.8分…………………………………………………………由①解得-4ɤa ɤ1,由②解得-7-332ɤa ɤ-7+332.9分………………………………………………综上所述,-7-332ɤa ɤ1,故实数a 的取值范围是-7-332,1[].10分………………………………。

盐城市2018年职业学校对口单招高三年级第三次调研考试数 学 试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（填充题.解答题）．两卷满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（共40分）注意事项：将第Ⅰ卷每小题的答案序号写在答题纸上一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题列出的四个选项中，只有一项是符合要求的）1. 设集合}0,1,2{--=A ，}1,2{2+-+=x x x B ，}1{-=⋂B A ，则x =（ ）A.1B .-1 C.-2 D .-32. 已知复数Z 满足2)2()1(i z i +=-，则在复平面内z 表示的点在（ ） A. 第一象限 B . 第二象限 C. 第三象限 D . 第四象限 3. 将二进制数转换成十进制：2(101101)=(________10)的结果为（ ） A.44 B .45 C.46 D .47 4.某项工程的流程图如下图（单位：天），该工程的总工期是（ ） A.13天 B .15天 C.16天 D .17天5. 若正四棱锥的侧棱长为2，且侧棱与底面成045的角，则该正四棱锥的体积为（ ） 423 B . 22 223D .426. 已知,sin cos )(2x x x f -=则)(x f 的最小值等于（ ） A.-2 B .45-C.-1 D .0 7. 若圆2220x y x +-=与圆222440x y x y ++--=的交点为,A B ，则线段AB 的垂直平分线的方程是（ ）A.10x y -+= B .210x y -+= C.210x y -+= D .10x y +-=8. 从7人中选择3人分别担任学习委员，劳动委员，体育委员，且甲、乙两人中至少有1人入选的不同选法种数为（ ）A.50 B .150 C.160 D.1809. 已知wx wx x f cos sin 3)(+=在（0，π]上为增函数，则w 的最大值为（ ） A.1 B .21 C.31 D .4110. 已知c 是椭圆22ax ＋22by ＝1(a>b>0)的半焦距，则b ＋ca的取值范围是( )A. (1，＋∞)B . (2，＋∞) C. (1，2)D . (1，2]第Ⅰ卷的答题纸题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中的横线上） 11． 已知一个算法的流程图如右图，则输出的结果S 的值 是___________．12. 某公司招聘职员，对甲、乙两位候选人进行了面试和笔试，成绩（百分制）如下）：如果公司要求形体、口才、专业水平、创新能力按照5%、30%、35%、30%计算总分，那么将录取_____________．13. 设f(x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f(x )＝2x+2x +b ，则f(-1)＝ .14. 过抛物线x y 42=的焦点作直线l 交抛物线于AB ，两点,若线段AB 中点的横坐标为3，则||AB 长为 ．15. 给出函数()⎪⎩⎪⎨⎧<+≥=)4()1()4()(21x x f x x f x，则)3(log 2f = .候选人 面试笔试形体 口才 专业水平 创新能力 甲 86 90 96 92 乙92889593三、解答题：（本大题共8题，共90分） 16．（本题满分8分）求函数82)(22-=-xxx f 的定义域．17.（本题满分10分）已知复数ω满足i )23(4ωω-=-（i 为虚单位）．（1）求复数ω；（2）若复数ω是关于x 的方程02=++q px x （p 、R q ∈）的一个根，求p ．q 的值．18.（本题满分12分）在△ABC 中，3tan -=B ，53sin sin =C A ． (1)求cosC ；(2)若S △ABC=153，求点B 到边AC 的距离．19．（本题满分12分）已知袋子中放有大小和形状相同的小球4个，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球2个．现从袋子中放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为m ，第二次取出的小球标号为n ． （1）记“3=+n m ”为事件A ，求事件A 发生的概率；（2）在区间[]4,0中任取两个实数y x ,，求事件“222)(n m y x +>+恒成立”发生的概率．20. （本题满分14分）已知数列{}n a 满足1121,3n n a a a +=-=. （1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）若)1(log 2-=n n a b ，数列}{n b 的前n 项和n S ，求数列}1{nS 的前n 项和n T .21. （本题满分10分）随着盐城市近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高．某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润与投资量成正比例关系，如图21-（1）所示；种植花卉的利润与投资量成二次函数关系，如图21-（2）所示(注：利润与投资量的单位：万元)图21-（1）图21-（2）（1）分别求出利润与关于投资量的函数关系式；（2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？22.（本题满分10分）某研究所准备研发甲、乙两种型号的机器，该所要根据甲、乙两种型号的研制所需资金、劳动力和预期利润来决定具体安排，通过调查，有关数据如下表：且乙种型号的机器数量至少是甲种型号的机器数量的2倍，那么这两种机器各生产多少台，才能使利润达到最大，最大利润是多少？23.（本题满分14分）已知椭圆22221x y a b+=()0,0a b >>的左焦点F 为圆0222=++x y x的圆心，且椭圆的离心率为2错误!未找到引用源。

一、单选题1. 设函数，则（ ）A ．3B ．6C ．9D ．122. 已知实数､满足，有结论：①若，，则有最大值；②若，，则有最小值；正确的判断是（ ）A ．①成立，②成立B ．①不成立，②不成立C ．①成立，②不成立D ．①不成立，②成立3. 已知函数是定义域为的偶函数，且满足，当时，，则关于的方程在上所有实数解之和为（ ）A ．9B．C．D ．74.设，若，，，则下列关系式中正确的是A．B．C．D．5. 设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是A ．若，则B ．若，则C ．若，则D ．若，则6. 某圆锥的底面直径和高均是2，则其内切球（与圆锥的底面和侧面均相切）的半径为（ ）A．B．C．D．7. 已知，则（ ）A．B ．﹣3xC ．﹣3x +1D．8. 已知集合，，则（ ）A．B．C．D．9. 若，则的值为（ ）A．B．C．D．10.把函数的图象向右平移一个单位，所得图象与函数的图象关于直线对称；已知偶函数满足，当时，；若函数有五个零点，则正数的取值范围是（ ）A．B．C．D．11.如图，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若，那么原三角形的周长是（）A．B．广东省惠州市2024届高三上学期第三次调研考试数学试题二、多选题C．D．12. 已知实数，满足等式，下列五个关系式：①；②；③；④；⑤．其中不可能成立的关系式有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个13. 若周长为15的三角形δ的三边长均为整数，则（ ）A ．δ的任一边长不超过7B ．不同的δ的个数不超过8C ．δ的面积不小于4D ．δ的面积可能超过1214. 数学中有各式各样富含诗意的曲线，螺旋线就是其中比较特别的一类．螺旋线这个名词源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”．小明对螺旋线有着浓厚的兴趣，连接嵌套的各个正方形的顶点就得到了近似于螺旋线的美丽图案，其具体作法是：在边长为1的正方形中，作它的内接正方形，且使得；再作正方形的内接正方形，且使得；与之类似，依次进行，就形成了阴影部分的图案，如图所示．设第个正方形的边长为（其中第1个正方形的边长为，第2个正方形的边长为，…），第个直角三角形（阴影部分）的面积为（其中第1个直角三角形的面积为，第2个直角三角形的面积为，…），则（）A ．数列是公比为的等比数列B．C ．数列是公比为的等比数列D ．数列的前项和15. 某养老院有110名老人，经过一年的跟踪调查，过去的一年中他们是否患过某流行疾病和性别的相关数据如下表所示：性别是否患过某流行疾病合计患过该疾病未患过该疾病男b女c合计80110下列说法正确的有（ ）参考公式：，其中．附表：0.10.050.0250.010.0012.7063.8415.0246.63510.828A．B．C ．根据小概率值的独立性检验，认为是否患过该流行疾病与性别有关联D．根据小概率值的独立性检验，没有充分的证据推断是否患过该流行疾病与性别有关联三、填空题四、填空题五、解答题六、解答题七、解答题16. 给出下列命题，其中是真命题的是（ ）A．若函数的定义域为[0，2]，则函数的定义域为[0，1]；B．函数的单调递减区间是；C．若定义在上的奇函数在区间上是单调递增，则在区间上也是单调递增的；D ．定义域内存在两个值，，且，若，则是减函数.17.若，则的展开式中常数项为______．18. 已知，若，则______．19.若是定义在上的奇函数，当时，，则=_____；20. 已知函数则________；方程的解为________．21. 已知圆心在原点的圆与直线相切，则圆的半径为______；若圆沿着直线向上滚动一周得到圆，则圆的圆心坐标为______.22.已知函数．（1）化简并求函数的最小正周期；（2）求使函数取得最大值的集合．23.已知函数.从下面的两个条件中任选其中一个：①；②若，且的最小值为，，求解下列问题：(1)化简的表达式并求的单调递增区间；(2)已知，求的值.24. 为保护学生视力，让学生在学校专心学习，促进学生身心健康发展，教育部于2021年1月15日下发文件《关于加强中小学生手机管理工作的通知》，对中小学生的手机使用和管理作出了规定．某中学研究型学习小组调查研究“中学生每日使用手机的时间”，从该校中随机调查了100名学生，得到如下统计表：时间人数1038321073(1)估计该校学生每日使用手机的时间的平均数（同一组数据用该组区间的中点值作代表）；(2)以频率估计概率，若在该校学生中随机挑选3人，记这3人每日使用手机的时间在的人数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望．25. 已知函数，．(1)当时，求证：．(2)令，若的两个极值点分别为m ，n （m <n ）．①当时，求曲线在，处的切线方程（为的导函数）；八、解答题九、解答题②求证：．26. 已知数列为等差数列，，，前项和为，数列满足，求证：(1)数列为等差数列；(2)数列中任意三项均不能构成等比数列.27. 羽毛球运动是中学生喜爱的体育运动项目之一．为了研究中学生打羽毛球的水平，下表统计了甲同学参加的60局羽毛球比赛的数据．获胜局数失败局数甲先发球2010甲未先发球1515(1)根据小概率值的独立性检验，能否认为甲同学在比赛中是否先发球与胜负之间有关联？(2)已知甲同学与乙同学进行总决赛，采取五局三胜制，每局比赛没有平局且各局结果互相独立．视频率为概率，每局比赛甲同学获胜的概率为上表中的频率，经抽签，第一局甲同学先发球，第二局乙同学先发球，依次轮换．设为甲同学在总决赛中获胜的局数，求的分布列和数学期望．附：，其中．0.100.050.010.0052.7063.8416.6357.87928. 某地区2016至2022年生活垃圾无害化处理量（单位：万吨）如下表：年份2016201720182019202020212022年份代号x1234567生活垃圾无害化处理量y 3.94.34.65.45.86.26.9(1)求y 关于x 的线性回归方程；(2)根据（1）中的回归方程，分析过去七年该地区生活垃圾无害化处理的变化情况，并预测该地区2024年生活垃圾无害化处理量.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.参考数据。

2023—2024学年浙江省职教高考研究联合体第三次联合考试数学试卷2024-03本试卷共三大题，共4页.满分150分，考试时间120分钟. 考生注意：1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上.2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试卷上的作答一律无效.一、单项选择题（本大题共20小题，1-10小题每小题2分，11-20小题每小题3分，共50分） 在每小题列出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的.错涂、多涂或未涂均无分.1. 设全集U =R ，若集合{03Z}M x x x =≤≤∈且∣，*}{21,N N x x k k ==+∈∣的关系如图所示，则阴影部分表示的集合为（ ）A. {|03}x x ≤≤B. {}3|1x x <<C. {}0,2D. {}0,1,2 2. 设R a ∈，R b ∈，R c ∈，且b c >，下列不等式恒成立的是（ ）A. 22a b a c +>+B. 22a b a c +>+C. 22ab ac >D. 22a b a c > 3. 函数1()2lg(1)f x x x =+-+的定义域为（ ）A []22-,B. [2,0)(0,2]-C. (1,0)(0,2]-⋃D.(1,2]- 4. 当角α为第二象限角时，|sin |cos sin |cos |αααα-的值是（ ）.A. 2B. 1C.0 D. 1- 5. 舟山市是浙江省辖地级市．据此可知，“学生甲在浙江省”是“学生甲在舟山市”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 若直线l 的方程为13(2)y x -=+，则直线l 的倾斜角为．（ ） Aπ3 B. π6 C. π2 D. 2π37. 若n S 为数列{}n a 的前n 项和，且1n nS n =+，则31a 等于（ ）A.34 B. 43C. 112D. 12 8. 已知用30cm 长的铁丝围成一个扇形，且扇形的面积为2225cm 4，则这个扇形的圆心角为（ ） A. 2rad B. 1rad C. 1rad 2D. 4rad9. 如图所示,设正方形的边长为x ,且它的外接圆的半径为y ,则y 关于x 的函数解析式为（ ）A. 2y x =B. 24y x =C. 8y x =D.216y x = 10. 已知△ABC 的顶点坐标为()1,5A -，()2,1B --，()4,7C ，且点M 是BC 边的中点，则BC 边上的中线AM 的长为（ ）A.2B. 2C.2D. 22.11. 若向量(1,2)AB =，且点A 的坐标为()2,3，则点B 的坐标为（ ）A. ()2,6B. ()3,5C. ()1,1D. ()1,1-- 12. 若三条直线210y x =+，1y x =+，2y ax =-相交于同一个点，则实数a 的值是（ ） A.12B. 12-C. 23 D.23- 13. 已知从1，2，3，4，5这5个数字中随机地选取2个数字，则“选取的2个数字之积大于5”的概率为（ ） A.25 B. 12 C. 35 D. 71014. 经过圆2220x x y ++=的圆心，且与直线0x y +=垂直的直线方程是（ ）A. 10x y -+=B.10x y +-= C. 10x y ++= D. 10x y --= 15. 已知1sin cos 3αα-=，则πcos 22α⎫⎛+ ⎪⎝⎭的值为（ ） A. 89- B. 9C. 89D. 3- 16. 杭州第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日举行，组委会将甲、乙、丙、丁四名志愿者随机派往黄龙体育中心、杭州奥体中心、浙江大学紫金港校区及杭州师范大学仓前校区四座体育馆工作．若每名志愿者只去一座体育馆工作，每座体育馆必须有一名志愿者，其中甲不去黄龙体育中心，则不同的分配方案有（ ）A. 12种B. 18种C. 24种D. 96种 17. 已知0x <，0y <，且22x y +=-，则42x y +的最小值为（ ）A. 1B.C.218. 若直线x a =与双曲线2214xy -=有两个交点,则实数a 的值可以是（ ）A. 2-B. 4C. 2D. 1 19. 如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，已知E ，F ，M ，N 分别为棱11B C ，11C D ，11A B ，11A D 的中点，下列结论正确的是（ ）A. AN DF ∥B. 直线AM 与直线DF 是异面直线C. 平面AMN ∥平面BEFDD. 直线DF 与平面ABCD 所成的角为45︒20. 如图所示，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>左焦点和右焦点分别为1F 和2F ，椭圆C 的右顶点为A ，椭圆C 的上顶点为B ，点P 为椭圆C 上一点，且1PF x ⊥轴，2PF AB ∥，则椭圆C 的离心率为（ ）A.12B. 22C. 13D. 5 二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）21. 如图所示，已知函数()f x 的图像是折线段ABC ，且点A ，B ，C 的坐标分别为()0,2，()2,2-，()4,2，则()0f f ⎡⎤=⎣⎦________．的22. 已知数列{}n a 和{}n b 均为等差数列，且它们的公差分别为11d =-，22d =-．设32n n n c a b =+，由等差数列的定义知，数列{}n c 是等差数列，则数列{}n c 的公差为________．23. 在二项式22nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，已知第2项和第6项的二项式系数相等，则其展开式中的常数项为________．24. 如图所示，设圆锥的底面中心为O ，已知PB 和PC 是圆锥的两条母线，且2BC =．若三棱锥O PBC -是正三棱锥，则这个圆锥的侧面积为________．25. 已知函数()3cos (00)f x x m x m ωωω=+>>且的最小值为3-，且图像上相邻两个最高点的距离为π，则mω的值为________26. 已知抛物线214y x =-上的动点M 到两定点()0,1F -，()1,3E -的距离之和的最小值为________． 27. 每到冬季来临，候鸟从北方飞到南方过冬．鸟类科学家发现，两岁燕子飞行速度v （单位：m/s ）可以表示为耗氧量x 的函数2log 10xv a =．若两岁燕子的耗氧量达到40个单位时，其飞行速度为30m /s v =，则两岁燕子的耗氧量达到80个单位时，其飞行速度为________． 三、解答题（本大题共8小题，共72分）解答应写出文字说明及演算步骤.28. 计算：1222311π2220!lg 252lg 2sin 5426-⎛⎫⎛⎫+⨯++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的29. 已知钝角α的顶点与坐标原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，且终边上有一点()12,5P -． （1）求πcos 2α⎛⎫+ ⎪⎝⎭及2sin 2α的值； （2）若3sin()5αβ+=-，且π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求cos β的值． 30. 已知圆C 的圆心坐标是()0,m ,半径是r ,且直线230x y -+=与圆C 相切于点()2,1--. （1）求圆C 的标准方程；（2）若直线l 与直线230x y -+=平行,直线l 与圆C 相交于,P Q 两点,且2PQ =,求直线l 的方程. 31. 已知锐角三角形ABC 三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin 23sin b C c B =，△ABC 的面积为2，33a b +=．求： （1）cos C 的值； （2）边c 的长．32. 如图所示，已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为菱形，且60DAB ∠=︒，PB PC BC ===，2PD =．求：（1）二面角P BC D --的余弦值； （2）四棱锥P ABCD -的体积．33. 2023年的冬天，哈尔滨冰雪旅游热度暴涨．如图所示为哈尔滨跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x 轴，经过跳台终点A 作水平线的垂线为y 轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线1C ：2171126y x x =-++近似表示滑雪场地上的一座小山坡，小琪从点O 正上方4米处的A 点滑出，滑出后沿一段抛物线2C ：218y x bx c =-++运动．（1）求小山坡坡顶高度；（2）当小琪运动到离A 处的水平距离为4米时，离水平线的高度为8米，求抛物线2C 的函数解析式； （3）在（2）的条件下，当小琪运动的水平距离为多少米时，小琪与小山坡的竖直距离为1米?34. 如图所示，已知双曲线2213y x -=的两条渐近线与抛物线C ：()220y px p =>的准线l 相交于A ，B 两点，且3AOB S =O 为坐标原点），抛物线C 的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为K ．（1）求抛物线C 的标准方程； （2）若点M 在抛物线C 上，且||2||MK MF =，求点M 的坐标．的35. 某市2023年发放6万张燃油型汽车牌照和2万张电动型汽车牌照．为了节能减排和控制汽车总量，从2024年开始，每年电动型汽车牌照按50%增长，而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少0.5万张．同时规定：一旦某年发放的牌照总数超过10万张，以后每一年发放的电动型汽车牌照的数量维持在这一年的水平不变．（1）记2023年为第1年，每年发放的燃油型汽车牌照数构成数列{}n a ，每年发放的电动型汽车牌照数构成数列{}n b ，完成下列表格，并写出这两个数列的通项公式；16a = 2 5.5a = 3a =________4a =________12b =2b =________3b =________4b =________（2）从2023年算起，到2030年底为止，该市累计发放的牌照数为多少万张?参考答案：DBCAB ADAAD BCCAA BABCD 填空题：2-7-60234 45m/s 解答题： 28.9229.（1）π5cos 213α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，225sin 226α= （2）336530.（1）22(2)5x y ++=（2）220x y -+-=或220x y ---=. 31.（1）3cos 4C = （2）c = 32.（1）79（2）333.（1）6112米 .（2）213482y x x =-++ （3）12米34.（1）24y x = （2）()1,2或()1,2-．35.（1）表格见解析，**0.5 6.5,112N 0,13N n n n n a n n ⎧-+≤≤∈=⎨≥∈⎩且且，1**32,14N26.75,5N n n n n b n n -⎧⎛⎫⋅≤≤∈⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪≥∈⎩且且 （2）77.25万张。

福建省漳州市2023届高三毕业班第三次质量检测数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}2280A x x x =--<，{}32B x x =-<，则A B ⋃=（）A ．()2,5-B ．()2,4-C ．()1,4D ．()2,1-2．已知复数z 为复数z 的共轭复数，且满足2z z =，z 在复平面内对应的点在第二象限，则z =（）AB C ．1D ．123．已知数列{}n a 为递减的等比数列，n *∈N ，且2732a a =，3618a a +=，则{}n a 的公比为（）A ．12B ．3512⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．352D ．24．英国物理学家和数学家牛顿曾提出物体在常温环境下温度变化的冷却模型.如果物体的初始温度是1θ，环境温度是0θ，则经过min t 物体的温度θ将满足()010e ktθθθθ-=+-，其中k 是一个随着物体与空气的接触情况而定的正常数.现有90C 的物体，若放在10C 的空气中冷却，经过10min 物体的温度为50C ，则若使物体的温度为20C ，需要冷却（）A ．17.5minB ．25.5minC ．30minD ．32.5min5．已知πsin 64α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则5πsin 26α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．34-B ．34C ．4-D ．46．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左焦点为1F ，直线()0y kx k =>与双曲线C交于,P Q 两点，且12π3PFQ ∠=，114PF FQ ⋅= ，则当22212b a a+取得最小值时，双曲线C 的离心率为（）A ．3BC ．2D7．已知正三棱锥-P ABC 的侧面与底面所成的二面角为π3，侧棱2PA =，则该正三棱锥的外接球的表面积为（）A ．74πB ．712πC ．494πD ．4912π8．已知函数()2ln 1f x x x a =++-和函数()2ex a g x x =-，具有相同的零点0x ，则0220e ln x x 的值为（）A ．2B ．e-C ．4-D ．2e 二、多选题9．已知附件某地区甲、乙两所高中学校的六次联合模拟考试的数学平均分数（满分150分）的统计如图所示，则（）A ．甲校的平均分均高于乙校的平均分B ．甲校六次平均分的方差小于乙校六次平均分的方差C ．甲校六次平均分第25百分位数小于乙校六次平均分的第75百分位数D ．甲校的平均分极差小于乙校的平均分极差10．在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1B C 上的动点，则（）A ．//AP 平面11AC DB ．1B D ⊥平面1ACD C ．三棱锥11C PDA -的体积为定值D ．直线AP 与1A D 所成角的取值范围是ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦11．已知函数()()21sin cos cos 02222x x x f x ωωωω=+->在[]0,π上有且仅有4条对称轴；则（）A ．1317,44ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭B ．π可能是()f x 的最小正周期C ．函数()f x 在ππ,1616⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增D ．函数()f x 在()0,π上可能有3个或4个零点12．已知数列{}n a ，212a =，且满足211n n n n a a a a ++=-，n *∈N ，则（）A ．141929a a -=B ．n a 的最大值为1C ．111n a n ++≥D10⋅⋅⋅+三、填空题13．已知函数()f x 是定义在[]22-,上的奇函数，且()2,011,12x x x f x x x ⎧-<≤=⎨-<≤⎩，则()31022f f f ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎝⎭⎝⎭_________.14．()5222x y -+的展开式中42x y 项的系数为_________.15．已知ABC ，点D 满足34BC BD =，点E 为线段CD 上异于C ，D 的动点，若AE AB AC λμ=+，则22λμ+的取值范围是_________.四、双空题16．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的长轴长为4，离心率为2，,P Q为C 上的两个动点，且直线OP 与OQ 斜率之积为14-（O 为坐标原点），则椭圆C 的短轴长为_______，22OP OQ +=_________.五、解答题17．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，n *∈N ，2536a a -=，654S =.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若()312nnn b a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .18．如图，平面四边形ABCD 内接于圆O ，内角B D >，对角线AC 的长为7，圆O 的半径为3.(1)若5BC =，AD CD =，求四边形ABCD 的面积；(2)求ABC 周长的最大值.19．如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，13DD =，2π3ABC ∠=，G 为棱1DD 上一点，2DG =，过1,,A G C 三点的平面α交1BB 于点E .(1)求点D 到平面1BC G 的距离；(2)求平面AEC 与平面BEC 所成锐二面角的余弦值.20．2022年11月17日，由工业和信息化部、安徽省人民政府共同主办的第十七届“中国芯”集成电路产业大会在合肥成功举办．此次大会以“强芯固基以质为本”为主题，旨在培育壮大我国集成电路产业，夯实产业基础、营造良好产业生态.2022年，全国芯片研发单位相比2006年增加194家，提交芯片数量增加299个，均增长超过6倍.某芯片研发单位用在“A 芯片”上研发费用占本单位总研发费用的百分比y （%）如表所示.年份2016201720182019202020212022年份代码1234567y20%30%32%39%42%46%50%(1)根据表中的数据，作出相应的折线图；并结合相关数据，计算相关系数r ，并推断y 与t 线性相关程度；（已知：0.81r ≤≤，则认为y 与t 线性相关很强；0.30.8r ≤<，则认为y 与t 线性相关一般；0.3r <，则认为y 与t 线性相关较弱）(2)求出y 与t 的回归直线方程（保留一位小数）；(3)请判断，若2024年用在“A 芯片”上研发费用不低于295万元，则该单位2024年芯片研发的总费用预算为500万元是否符合研发要求?附：相关数据：71259i i y ==∑2.65≈25.34≈，()()71132i i i t ty y =--=∑.相关计算公式：①相关系数()()niit t y y r --=∑在回归直线方程ˆˆˆybx a =+中，()()()121ˆnii i nii tty y b tt==--=-∑∑，ˆˆay bt =-.21．已知函数()()ln e 0x xf x ax a a=-+>.(1)证明：当1a =时，函数()f x 在区间()0,∞+上不是单调函数；(2)证明：当()0,e a ∈时，()0f x <对任意的()0,1x ∈恒成立.22．已知椭圆C 的中心为坐标原点O ，对称轴为x 轴、y 轴，且点和点)2在椭圆C 上，椭圆的左顶点与抛物线()2:20y px p Γ=>的焦点F 的距离为4.(1)求椭圆C 和抛物线Γ的方程；(2)直线():0l y kx m k =+≠与抛物线Γ变于,P Q 两点，与椭圆C 交于,M N 两点.（ⅰ）若m k =，抛物线Γ在点,P Q 处的切线交于点S ，求证：22PF SQ QF SP ⋅=⋅；（ⅱ）若2m k =-，是否存在定点()0,0T x ，使得直线,MT NT 的倾斜角互补?若存在，求出0x的值；若不存在，请说明理由.参考答案：1．A【分析】解不等式可分别求得集合,A B ，由并集定义可得结果.【详解】由2280x x --<得：24-<<x ，即()2,4A =-；由32x -<得：232x -<-<，解得：15x <<，即()1,5B =；()2,5A B ∴=- .故选：A.2．C【分析】根据共轭复数的定义，利用复数的运算以及复数相等，建立方程组，结合复数的几何意义，可得实部与虚部，根据复数的模长公式，可得答案.【详解】设i z a b =+，z 在复平面内对应的点在第二象限，故0,0a b <>，则i z a b =-，即()222i 2i z a b a b ab =-=--，由2z z =，得222a a b b ab ⎧=-⎨=-⎩，结合0,0a b，解得122a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则12z =-，故1z =.故选：C.3．A【分析】由等比数列下标和性质，结合数列单调性可求得36,a a ，根据等比数列通项公式可求得结果.【详解】{}n a 为递减的等比数列，2736363218a a a a a a ==⎧∴⎨+=⎩，解得：36216a a =⎧⎨=⎩（舍）或36162a a =⎧⎨=⎩，{}n a ∴的公比12q ==.故选：A.4．C【分析】根据已知函数模型和冷却10min 的数据可求得k ，再代入所求数据，解方程即可求得结果.【详解】由题意得：()1050109010e k-=+-，即101e2k-=，1ln 210k ∴=，()ln 210010et θθθθ-∴=+-，由()ln 21020109010et -=+-得：ln 2101e8t-=，即1ln 2ln 3ln 2108t -==-，解得：30t =，∴若使物体的温度为20C ，需要冷却30min .故选：C.5．B【分析】利用诱导公式和二倍角余弦公式直接化简求解即可.【详解】25πππππsin 2sin 2cos 212sin 63236αααα⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++=+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭⎝⎭131284=-⨯=.故选：B.6．D【分析】根据对称关系可知21PF F Q = ，12π3F PF ∠=，利用双曲线定义和向量数量积的定义可构造方程求得2b ，由此化简22212b a a+，根据基本不等式取等条件可知22a =，由双曲线离心率e =.【详解】不妨设P 位于第一象限，双曲线C 的右焦点为2F ，连接2PF ，2F Q ，O 为12,PQ F F 中点，∴四边形12PFQF 为平行四边形，21PF F Q ∴= ，12π3F PF ∠=；设1PF m =，()2,0PF n m n =>，则2m n a-=由114PF FQ ⋅= 得：12π1cos 432PF PF mn mn ⋅=== ，解得：8mn =；在12PF F △中，()22222212π2cos 4843F F m n mn m nmn a c =+-=-+=+=，2222b c a ∴=-=，2222212222b a a a a ∴+=+≥（当且仅当22a =时取等号），∴当22212b a a +取得最小值时，双曲线C 的离心率e =.故选：D.7．C【分析】根据二面角的定义，作图，求得其平面角，利用正三棱锥的性质以及余弦定理，求得底面边长，假设球心的位置，利用勾股定理，建立方程，可得答案.【详解】由题意，作正三棱锥-P ABC ，取AB 中点D ，连接,PD CD ，取等边ABC 的中心O ，连接PO ，如下图所示：在正三棱锥-P ABC 中，易知AP BP =，PO ⊥平面ABC ，D 为AB 中点，PD AB ∴⊥，在等边ABC 中，D 为AB 中点，CD AB ∴⊥，CD ⊂ 平面ABC ，PD ⊂平面APB ，π3PDC ∴∠=，设AD x =，则在Rt APD 中，PD ==在Rt ADC 中，πtan3CD AD =⋅=，在PDC △中，根据余弦定理，2222cos PD DC PD DC PDC PC +-⋅⋅⋅∠=，则2221π2132cos 434x x +--=，化简可得：2x =，解得32x =，则32AD =，2CD =，在等边ABC 中，O 是中心，O CD ∴∈，132OD CD =⋅=，23CO CD =⋅=PO ⊥ 平面ABC ，CD ⊂平面ABC ，PO CD ∴⊥，在Rt POD 中，π3tan32PO OD =⋅=，设正三棱锥-P ABC 的外接球的半径为r ，假设正三棱锥-P ABC 的外接球球心在线段PO 上，则()222PO r CO r -+=，可得22332r r ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，解得7342r =>，不符合题意；假设正三棱锥-P ABC 的外接球球心在线段PO 的延长线上，则()222r PO CO r -+=，可得22332r r ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，解得7342r =>，符合题意.故正三棱锥-P ABC 的外接球表面积2494ππ4S r ==.故选：C.8．C【分析】根据零点定义可整理得到02000e2ln 10x x x x ---=，令()()2e 2ln 10xh x x x x x =--->，利用导数，结合零点存在定理的知识可确定()h x 在()0,t 上单调递减，在(),t +∞上单调递增，并得到21e tt=，2ln t t =-，由()2min e 2ln 10t h x t t t =---=可确定0t x =，由此化简所求式子即可得到结果.【详解】由题意知：()0002ln 10f x x x a =++-=，()00020e x a g x x =-=，联立两式可得：02000e2ln 10x x x x ---=，令()()2e 2ln 10xh x x x x x =--->，则()()()2221112e 12e x x x h x x x x x +⎛⎫'=+-=+- ⎪⎝⎭；令()21e xm x x=-，则()m x 在()0,∞+上单调递增，又1404m ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，()21e 1m =-，()m x ∴在()0,∞+上存在唯一零点t ，且1,14t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，21e t t ∴=，2ln t t =-；当()0,x t ∈时，()0h x '<；当(),x t ∈+∞时，()0h x '>；()h x ∴在()0,t 上单调递减，在(),t +∞上单调递增，()()2min e 2ln 11ln ln 10t h x h t t t t t t ∴==---=+--=，又02000e2ln 10x x x x ---=，0t x ∴=，()02222202e ln e ln 2e ln 24x t t x t t t t∴===⋅-=-.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查函数零点、利用导数求解函数单调性的相关问题；解题关键是能够灵活应用零点存在定理确定导函数的正负，并得到隐零点所满足的等量关系式，进而利用等量关系式化简最值和所求式子.9．BCD【分析】根据图表，结合方差、百分位数、极差的概念依次判断各个选项即可.【详解】对于A ，甲校第2次考试的平均分低于乙校第2次考试的平均分，A 错误；对于B ，由图可知：甲校六次考试的平均分相对于乙校六次考试的平均分更加集中，说明数据更加稳定，则甲校六次平均分的方差小于乙校六次平均分的方差，B 正确；对于C ，625% 1.5⨯= ，∴甲校平均分按从小到大顺序排列，第2个成绩为第25百分位数，由图可知，为第5次考试的平均分，约为90分；675% 4.5⨯= ，∴乙校平均分按从小到大顺序排列，第5个成绩为第75百分位数，由图可知，为第2次考试的平均分，高于90；∴甲校六次平均分第25百分位数小于乙校六次平均分的第75百分位数，C 正确；对于D ，由图可知：甲校平均分的最高值和最低值的分差明显小于乙校平均分最高值和最低值的分差，即甲校的平均分极差小于乙校的平均分极差，D 正确.故选：BCD.10．ABC【分析】根据面面平行的判定定理证明出平面1//ACB 平面11AC D ，判断选项A ；根据线面垂直的判定定理证出1B D ⊥平面1ACD ，判断选项B ；根据三棱锥的等体积转换结合面面平行，判断选项C ；根据异面直线所成角的平移，判断选项D ．【详解】选项A ，1111//,A B CD A B CD = ，∴四边形11A B CD 是平行四边形，111//,A D B C A D ∴⊂平面11AC D ，1B C ⊄平面11AC D ，1//B C ∴平面11AC D ；1111//,B C AD B C AD = ，∴四边形11C B AD 是平行四边形，111//,AB C D C D ∴⊂平面11AC D ，1AB ⊄平面11AC D ，1//AB ∴平面11AC D ；又1B C 11AB B =，且1B C ⊂平面1ACB ，1AB ⊂平面1ACB ，所以平面1//ACB 平面11AC D ，而P 为线段1B C 上的动点，AP ⊂平面1ACB ，//AP ∴平面11AC D ，正确；CD ⊥ 平面11ADD A ，1AD ⊂平面11ADD A ，1CD AD ∴⊥，11A D AD ⊥ ，1A D CD D = ，1,A D CD ⊂平面11A B CD ，1AD ∴⊥平面11A B CD ，而1B D ⊂平面11A B CD ，11AD B D ∴⊥，同理可证，11CD B D ⊥，又111CD AD D ⋂=，11,CD AD ⊂平面1ACD ，1B D ∴⊥平面1ACD ，正确；选项C ，三棱锥11C PDA -的体积即为三棱锥11P DA C -的体积，由选项A 可得，P ∈平面1ACB ，平面1//ACB 平面11AC D ，则P 到平面11AC D 的距离为定值，又底面积为定值，所以三棱锥11C PDA -的体积为定值，正确；选项D ，11//A D B C ，∴直线AP 与1A D 所成角即直线AP 与1B C 所成角，在1ACB 中，当点P 与1B 或C 重合时，取到最小值π3，当点P 在线段1B C 中点时，取到最大值π2，故错误.故选：ABC.11．AD【分析】利用二倍角和辅助角公式化简得到()π24f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；根据对称轴条数可确定7ππ9ππ242ω≤+<，进而解得ω范围，知A 正确；2ω=不符合A 中范围，知B 错误；根据ππ29π33π,1646464ω⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，可知当πππ33π,164264ω⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭时，函数不单调，知C 错误；根据π7π9ππ,422ω⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，分类讨论可得零点个数，知D 正确.【详解】()2111πsincos cos sin cos sin 22222224x x x f x x x x ωωωωωω⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭；对于A ，当[]0,πx ∈时，πππ,π444x ωω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，()f x 在[]0,π上有且仅有4条对称轴，7ππ9ππ242ω∴≤+<，解得：131744ω≤<，即1317,44ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，A 正确；对于B ，若π是()f x 的最小正周期，则13172,44ω⎡⎫=∉⎪⎢⎣⎭，π∴不能是()f x 的最小正周期，B错误；对于C ，当ππ,1616x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，πππππ,4164164x ωωω⎛⎫+∈-++ ⎪⎝⎭；1317,44ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭ ，πππ3π,1646464ω⎡⎫∴-+∈-⎪⎢⎣⎭，ππ29π33π,1646464ω⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，29ππ33π64264<<，∴当πππ33π,164264ω⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭时，()f x 不是单调函数，C 错误；对于D ，当()0,πx ∈时，πππ,π444x ωω⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，1317,44ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭ ，π7π9ππ,422ω⎡⎫∴+∈⎪⎢⎣⎭；当π7ππ,4π42ω⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭时，()f x 在()0,π上有3个零点；当π9ππ4π,42ω⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭时，()f x 在()0,π上有4个零点；∴()f x 在()0,π上可能有3个或4个零点，D 正确.故选：AD.12．BCD【分析】根据递推关系式可求得14,a a ，知A 错误；由121nn n a a a +=+，采用作商法可证得数列{}n a 为正项递减数列，由此知B 正确；由递推关系式可求得111n n na aa +-=，采用累加法，结合121n a a a na ++⋅⋅⋅+≤可推导得C 正确；结合C 中，2>，裂项相消可求得D 正确.【详解】对于A ，当1n =时，22112a a a a =-，即2111122a a =-，解得：11a =；当2n =时，23223a a a a =-，即331142a a =-，解得：325a =；当3n =时，24334a a a a =-，即4442255a a =-，解得：41029a =；41101912929a a ∴-=-=-，A 错误；对于B ，由211n n n n a a a a ++=-得：121nn n a a a +=+，又11a =，211n a +>，0n a ∴>，21011na <<+，()1210,11n n n a a a +∴=+，∴数列{}n a 为正项递减数列，()1max 1n a a ∴==，B 正确；对于C ，由121n n n a a a +=+得：21111n n n n na a a a a +=++=，111n n n a a a +∴-=，1211211111111111n n n n n n a a a a a a a a a a a +-+∴++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-=-， 数列{}n a 为正项递减数列，11a =，121n a a a na n ∴++⋅⋅⋅+≤=（当且仅当1n =时取等号），1111111n n n a a a ++∴-=-≤，即111n n a +≤+，111n a n +∴≥+，C 正确；对于D ，由C 知：1n a n ≥，2≥=>=，21>-)212510==⨯=，D 正确.故选：BCD.【点睛】关键点点睛：本题考查利用数列递推关系式研究数列的有关性质、数列求和与数列放缩的知识；本题判断CD 选项的关键是能够对于数列的通项进行准确的放缩，从而根据不等关系，结合数列求和方法来得到结论.13．34-##0.75-【分析】根据奇函数的性质，结合题目中的函数解析式，可得答案.【详解】由函数()f x 是定义在[]22-,上的奇函数，则333112222f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()00f =，由211112224f ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()311130022244f f f ⎛⎫⎛⎫-++=--+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：34-.14．240【分析】利用二项式定理的展开原理，写出通项，利用方程，可得答案.【详解】由()5222x y -+，则其展开式的通项()()2555C C 22rkr kk r r T x y ---=-⋅，化简可得()525522C C kk rrk rkrT x y ---=-⋅，令242r k =⎧⎨=⎩，则22r k =⎧⎨=⎩，即()22242424253543222C C 422402121T x y x y x y ⨯⨯=-⨯⋅=⨯⨯⨯=⨯⨯.故答案为：240.15．171,9⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】利用向量得加减法，利用,AB AC 为基底，表示出AE，整理方程，结合二次函数得性质，可得答案.【详解】由题意设CE mCD =，()0,1m ∈，因为34BC BD = ，所以()1133CD BC AC AB ==- ，所以()1333m m m AE AC CE AC AC AB AC AB ⎛⎫=+=+-=+- ⎪⎝⎭，又AE AB AC λμ=+ ，则313m m λμ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，所以()222222223921139924m m x λμλμλμ⎡⎤⎛⎫+=+-=++=+-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，又因为()0,1m ∈，由二次函数得性质得22391711,9249y x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-+∈⎢ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以22λμ+得取值范围为171,9⎛⎫⎪⎝⎭.故答案为：171,9⎛⎫⎪⎝⎭.16．25【分析】根据椭圆长轴长、离心率可求得b ，由此可得短轴长及椭圆方程；设()2cos ,sin P αα，()2cos ,sin Q ββ，根据斜率关系，结合两角和差公式可整理得到()ππ2k k αβ-=+∈Z ，利用两点间距离公式，结合诱导公式和同角三角函数关系可求得结果.【详解】 椭圆C 的长轴长为24a =，2a ∴=，又离心率c e a ==c ∴=1b ∴==，∴椭圆C 的短轴长为22b =，∴椭圆22:14x C y +=；设()2cos ,sin P αα，()2cos ,sin Q ββ，sin sin sin sin 12cos 2cos 4cos cos 4OP OQ k k αβαβαβαβ∴⋅=⋅==-，()cos cos sin sin cos 0αβαβαβ∴+=-=，()ππ2k k αβ∴-=+∈Z 2222224cos sin 4cos sin OP OQ ααββ∴+=+++2222ππ4cos πsin π4cos sin 22k k ββββ⎛⎫⎛⎫=+++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22224sin cos 4cos sin 5ββββ=+++=.故答案为：2；5.【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆的几何性质，求解距离平方和的关键是能够通过三角换元的方式，结合斜率关系得到,αβ所满足的关系式，进而结合诱导公式来进行求解.17．(1)22n a n =+(2)()()25131223n n nT n n +=++【分析】（1）利用等差数列通项公式和求和公式可直接构造方程组求得1,a d ，进而得到n a ；（2）由（1）可得n b ，采用裂项相消法可求得结果.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则25111611333426656615542a a a d a d a d S a d a d -=+--=-=⎧⎪⎨⨯=+=+=⎪⎩，解得：142a d =⎧⎨=⎩，()42122n a n n ∴=+-=+.（2）由（1）得：()31222nn b n +=+，()()111113213n b n n n n ⎛⎫∴==- ⎪++++⎝⎭，111111111112243546213n T n n n n ⎛⎫∴=-++-+⋅⋅⋅+-+- ⎪+++⎝⎭()()211111513223231223n n n n n n +⎛⎫=+--=⎪++++⎝⎭.18．(1)7【分析】（1）在AOC 中利用余弦定理求得2π3AOC ∠=，从而证得ACD 为等边三角形，求得其面积，再在ABC 中利用余弦定理求得3AB =，从而利用三角形面积公式求得ABC 的面积，由此得解；（2）利用余弦定理得到()249a c ac +=+，从而利用基本不等式推得a c +≤解.【详解】（1）如图所示，连结,OA OC，在AOC中，3OA OC ==，7AC =，所以222494949133cos 492223OA OC AC AOC OA OC +-+-∠===-⋅⨯，因为0πAOC <∠<，所以2π3AOC ∠=，则π3ADC ∠=，因为AD CD =，所以ACD为等边三角形，21π1sin 4923224ACD S AC ∴=⋅=⨯⨯=，πABC ADC ∠+∠= ，2π3ABC ∴∠=，在ABC 中，2222π2cos3AC BC AB BC AB =+-⋅，即249255AB AB =++，又0,3AB AB >∴= ，1115sin 352224ABC S AB BC ABC ∴=⋅⋅∠=⨯⨯⨯=，ABCD ABC ACD S S S ∴=+= （2）设BC a =，AB c =，则在ABC 中，2π3ABC ∠=，7AC =，则2249122a c ac +-=-，即2249a c ac ++=，故()249a c ac +=+，因为0,0a c >>，所以22a c ac +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，当且仅当a c =时，等号成立，所以()2249492a c a c ac +⎛⎫+=+≤+ ⎪⎝⎭，当且仅当a c =时，等号成立，23()494a c ∴+≤，则2449()3a c ⨯+≤，0a c +> ，故a c +≤a c =时，等号成立，所以7a c AC ++≤+，即ABC 周长的最大值为73+.19．(1)5【分析】（1）连接,AC BD 交于点O ，以O 为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用点到平面距离的向量求法可求得结果；（2）根据面面平行和线面平行性质可证得四边形1AGC E 为平行四边形，由此可求得E 点坐标，利用面面角的向量求法可求得结果.【详解】（1）连接,AC BD 交于点O ，四边形ABCD 为菱形，AC BD ∴⊥，则以O 为坐标原点，,OA OB正方向为,x y 轴，作z 轴//1DD ，可建立如图所示空间直角坐标系，2AB BC == ，2π3ABC ∠=，AC ∴=，2BD =，()0,1,0B ∴，()0,1,0D -，()1C ，()0,1,2G -，()0,2,0DB ∴=，()11,3BC =- ，()0,2,2BG =- ，设平面1BC G 的法向量(),,n x y z =，则130220BC n y z BG n y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令y =z =，2x =，(n ∴= ，∴点D 到平面1BC G的距离5DB n d n⋅==.（2）由直棱柱的结构特征知：平面11//ADD A 平面11BCC B ，AG ⊂ 平面11ADD A ，//AG ∴平面11BCC B ，平面1AGC 平面111=BCC B C E ，AG ⊂平面1AGC ，1//AG C E ∴，同理可得：1//C G AE ，∴四边形1AGC E 为平行四边形，1AG C E ∴=，又11AD B C =，11π2ADG C B E ∠=∠=，12B E DG ∴==，1BE ∴=，()0,1,1E ∴，又)A，()0,1,0B，()C，()AE ∴=，)CE =，()0,0,1BE =，设平面AEC 的法向量()1111,,n x y z =，则1111111100AE n y z CE n y z ⎧⋅=++=⎪⎨⋅=++=⎪⎩，令11y =，解得：11z =-，10x =，()10,1,1n ∴=- ；设平面BEC 的法向量()2222,,n x y z =，则22222200BE n z CE n y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩，令11x =，解得：2y =20z =，()21,n ∴=；121212cos ,4n n n n n n ⋅∴<>===⋅ ，即平面AEC 与平面BEC所成锐二面角的余弦值为4.20．(1)折线图见解析；0.98r ≈；y 与t 线性相关很强(2)ˆ 4.718.2yt =+(3)符合研发要求【分析】（1）根据表格数据可绘制折线图，结合公式可求得相关系数r ，对比已知线性相关强度判断依据即可得到结论；（2）采用最小二乘法即可求得回归直线；（3）将9t =代入回归直线可求得ˆy，进而计算得到预算为500万元时的研发费用的预估值，由此可得结论.【详解】（1）折线图如下：由题意得：()1123456747t =⨯++++++=，()721941014928i i t t=∴-=++++++=∑，=()()70.98ii t ty y r --∴=∑，0.980.8> ，y ∴与t 线性相关很强.（2）由题意得：()()()71721132ˆ 4.728i i i i i t t y y b t t ==--==≈-∑∑，259ˆˆ 4.7418.27a y bt ∴=-≈-⨯=，y ∴关于t 的回归直线方程为ˆ 4.718.2y t =+.（3）2024年对应的年份代码9t =，则当9t =时，ˆ 4.7918.260.5y=⨯+=，∴预测2024年用在“A 芯片”上的研发费用约为50060.5%302.5⨯=（万元），302.5295> ，∴符合研发要求.21．(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）求导后，结合零点存在定理可确定()f x '的正负，由此可得函数单调性，从而得到结论；（2）将所证不等式转化为2ln e x x a a x <-，构造函数()()2e 01x h x a a x x =-<<，利用导数分别讨论(]0,1a ∈和()1,e a ∈时()h x 的单调性，求得()0h x >；由ln 0x <可得结论.【详解】（1）当1a =时，()()e ln 0x f x x x x =-+>，则()11e x f x x'=-+，令()()g x f x '=，则()21e 0x g x x '=--<，()f x '∴在()0,∞+上单调递减，又1302f ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，()120f '=-<e ，01,12x ⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭，使得()00f x '=，且当()00,x x ∈时，()0f x ¢>；当()0,x x ∈+∞时，()0f x '<；()f x \在()00,x 上单调递增，在()0,x +∞上单调递减，综上所述：当1a =时，()f x 在区间()0,∞+上不是单调函数.（2）当()0,e a ∈时，要证()0f x <对任意的()0,1x ∈恒成立，即证当()0,e a ∈时，ln e 0x x ax a-+<对任意的()0,1x ∈恒成立，即证2ln e x x a a x <-对任意的()0,1x ∈恒成立；令()()2e 01x h x a a x x =-<<，则()()2e e x x h x a a a a '=-=-，()0,1x ∈ ，()e 1,e x ∴∈；①当(]0,1a ∈时，()0h x '>在()0,1上恒成立，()h x ∴在()0,1上单调递增，()()00h x h a ∴>=>；②当()1,e a ∈时，令()0h x '=，解得：ln x a =，∴当()0,ln x a ∈时，()0h x '<；当()ln ,1x a ∈时，()0h x '>；()h x ∴在()0,ln a 上单调递减，在()ln ,1a 上单调递增，()()()ln 22ln e ln 1ln 0a h x h a a a a a a ∴≥=-=->；综上所述：当()0,e a ∈时，()0h x >；ln y x = 在()0,1上单调递增，ln ln10x ∴<=，∴当()0,e a ∈时，2ln e x x a a x <-对任意的()0,1x ∈恒成立，即当()0,e a ∈时，()0f x <对任意的()0,1x ∈恒成立.【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性、恒成立问题的求解；本题证明不等式恒成立的关键是将问题转化为两函数最值的比较问题，从而利用导数求出新函数的最值，使得原不等式得证.22．(1)椭圆22:1129y x C +=；抛物线2:4y x Γ=；(2)（ⅰ）详见解析；（ⅱ）存在，092x =.【分析】（1）设椭圆方程，代入两点坐标即可求得结果；根据椭圆左顶点和抛物线焦点坐标，可构造方程求得p ，进而得到抛物线方程；（2）（ⅰ）联立直线l 与抛物线方程，可得韦达定理的结论；假设切线方程，并联立求得S 点坐标，再结合两点间距离公式求得所证等式中的各个基本量，整理可得结论；（ⅱ）假设存在点()0,0T x ，由倾斜角互补可知斜率和为0，将直线l 与椭圆方程联立，可得韦达定理的结论；利用两点连线斜率公式表示出两直线斜率，根据斜率和为0可构造等式，消元整理得到0x .【详解】（1）设椭圆C 的方程为：()221,0,0x y λμλμλμ+=≠>>，和)2在椭圆C 上，381641λμλμ+=⎧∴⎨+=⎩，解得：19112λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴椭圆C 的标准方程为：221129y x +=；由椭圆方程可知：椭圆C 的左顶点为()3,0-，又,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()342p ∴--=，解得：2p =，∴抛物线Γ的方程为24y x =；（2）（ⅰ）当m k =时，直线():1l y k x =+，即11x y k =-，令1n k=，则直线:1l x ny =-，设()11,P x y ，()22,Q x y ，由214x ny y x=-⎧⎨=⎩得：2440y ny -+=，则216160n ∆=->，21n ∴>，124y y n ∴+=，124y y =；设抛物线Γ在点,P Q 处的切线方程分别为：()111x n y y x =-+，()222x n y y x =-+，由()11124x n y y x y x⎧=-+⎨=⎩得：211114440y n y n y x -+-=，2111111616160n n y x ∴∆=-+=，又2114y x =，则211416y x =，()22211111116164420n n y y n y ∴-+=-=，则112n y =；同理可得：222n y =；联立两切线方程()()111222x n y y x x n y y x ⎧=-+⎪⎨=-+⎪⎩，将112n y =，222n y =代入，可解得：12121422y y x y y y n ⎧==⎪⎪⎨+⎪==⎪⎩，()1,2S n ∴，()()2221112SP x y n ∴=-+-，又111x ny =-，()()()2222221111221844SP ny y n n y ny n ∴=-+-=+-++；同理可得：()2222221844SQ n y ny n =+-++；111222111111PFx ny y QF x ny y +-+===+-+ ，∴要证22PF SQ QF SP ⋅=⋅，等价于证明2212y SQ y SP ⋅=⋅，()()22221121211841y SQ n y y ny y n y ⋅=+-++ ，又124y y =，()()221124132y SQ n y y n ∴⋅=++-，同理可得：()()222124132y SP n y y n ⋅=++-，2212y SQ y SP ∴⋅=⋅，即22PF SQ QF SP ⋅=⋅；（ⅱ）当2m k =-时，直线():2l y k x =-，假设存在点()0,0T x ，使直线,MT NT 的倾斜角互补，则直线,MT NT 的斜率之和为0；设()()3344,,,M x y N x y ，由()2221129y k x y x ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得：()2222341212360k x k x k +-+-=，()()()222221243412360k k k ∴∆=-+->，即25120k +>恒成立，23421234k x x k ∴+=+，2342123634k x x k -=+，3430400y y x x x x +=-- ，()()()()340430220k x x x k x x x ∴--+--=，即()()3403402240x x x x x x -+++=，()2200222472122403434k k x x k k -∴-+⋅+=++，即021672034x k -=+，解得：092x =，∴假设成立，即存在点9,02T ⎛⎫ ⎪⎝⎭，使得直线,MT NT 的倾斜角互补.【点睛】思路点睛：本题考查直线与圆锥曲线综合应用中的定点定值问题，求解此类问题的基本思路如下：①假设直线方程，与曲线方程联立，整理为关于x 或y 的一元二次方程的形式；②利用0∆>求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；③利用韦达定理表示出所求量，将所求量转化为关于变量的函数或方程的形式；④化简所得式子，消元整理即可求得定点或定值.。

惠州市2019届高三第三次调研考试文科数学注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。2．作答选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合

题目要求.

（1）已知集合，集合，则集合（ ）2|2Axxx



|BxxAB

A． B． C． D． |1xx|2xx|0xx|2xx

（2）要得到函数的图象，只需要将函数的图象（ ） sin43yx



sin4yx

A．向左平移个单位 B．向右平移个单位1212



C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 33



（3）若、满足约束条件，则的最大值为（ ）xy

10040xxyxy







2zxy

A． 2 B． 6 C． 7 D． 8（4）已知双曲线：的一条渐近线方程为，C222210,0)xyabab(

1

3yx

则双曲线的离心率等于（ ）C

A． B． C． D．22231010

3

（5）已知函数是奇函数，若，4()2xxafx

(21)(2)0fmfm

则的取值范围是（ ）mA． B． C． D．1m1m1m1m（6）已知，，则（ ）(0,)210cos101sin2cos2







A． B． C． D．13121312

（7）如图所示，△ABC中，，点E是线段AD的中点，则（ ）2BDDCAC

A． B． 3142ADBE34ADBE



C． D．5142ADBE54ADBE

2023届四川省成都市高三下学期三诊热身考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合，则集合（ ）{}2230,A x x x B N=--<=∣A B = A ．B ．C ．D ．{0}{0,1}{0,1,2}{1,2,3}【答案】C【分析】先解出集合A 再求.A B ⋂【详解】由得，.{}{}2230|13,A x x x x x B N =--<=-<<=∣{0,1,2}A B ⋂=故选：C【点睛】集合的交、并、补运算：(1)离散型的数集用韦恩图；(2) 连续型的数集用数轴．2．人口普查是世界各国所广泛采用的搜集人口资料的一种科学方法，是提供全国基本人口数据的主要来源．根据人口普查的基本情况，可以科学的研究制定社会、经济、科教等各项发展政策，是国家科学决策的重要基础工作，人口普查资料是制定人口政策的依据和前提．截止目前，我国共进行了七次人口普查，下图是这七次普查的全国人口及年均增长率情况，下列说法正确的是（ ）A ．年均增长率逐次减小B ．年均增长率的极差是1.08%C ．这七次普查的人口数逐次增加，且第四次增幅最小D ．第七次普查的人口数最多，且第三次增幅最大【答案】D【分析】增幅其实就是增长率，不是增长量。

增长率为正的时候，总人口都是增加的；增长率为负的时候，总人口才减少。

看图，排除错误选项即可.【详解】对于A 选项，由图可知第三次增幅最大，之后增幅减小，所以年增长率是先增后减的，故A 错；对于B 选项，极差为，故B 错；2.09%0.53% 1.56%-=对于C 选项，第七次增幅最小，故C 错；对于D 选项，第七次普查的人口数最多，且第三次增幅最大，故正确故选：D3．已知平面，，直线，满足，，则“”是“”的（ ）αβm n m α⊂n β⊂//m n //αβA ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】利用平面与平面的位置关系判断充分条件和平面平面平行的性质定理判断必要条件.【详解】，，若，则或相交，故不充分；m α⊂n β⊂//m n //αβ若，由面面平行的性质定理得平行或异面 ，故不必要；//αβm n ，故选：D【点睛】本题主要考查以直线、平面的位置关系为载体的逻辑条件判断，属于基础题.4．已知函数的图象如图所示，则函数的图象为（ ）()f x ()()g x f x =-A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据函数的奇偶性及判断函数正负即可得解.x -≤【详解】因为，所以为偶函数，其图象关于轴对称，()()g x g x -=()g x y 排除C 与D .又，所以：x -≤()()0g x f x =-≤故选：B.5．下列关于统计概率知识的判断，正确的是（ ）A ．将总体划分为2层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为，和，1x 2x 21s ，且已知，则总体方差22s 12x x =222121()2s s s =+B ．在研究成对数据的相关关系时，相关关系越强，相关系数r 越接近于1C ．已知随机变量X 服从正态分布，若，则2(,)N μσ()()151P X P X ≥-+≥=2μ=D ．回归直线恒过样本点的中心，且至少过一个样本点ˆˆˆy bx a =+(,x y 【答案】C【分析】A 选项，根据均值和方差的定义，通过两层的均值和方差表示出总体的均值和方差，然后进行判断；B 选项，根据相关系数的定义进行判断；C 选项，根据正态曲线的性质进行判断；D 选项，根据回归直线的性质进行判断.【详解】解：对于A ，设2层数据分别记为，因为，1212,,,;,,,m nx x x x x x 12x x =所以总体样本平均数为，所以121112mx nx mx nx x x x m n m n ++====++，()()()()222222112211111111,mm n ni i j j i i j j s x x x x s x x x x m m n n =====-=-=-=-∑∑∑∑所以总体方差，()()222111m ni j i j s x x x x m n ==⎡⎤=-+-⎢⎥+⎣⎦∑∑()22121ms ns m n =++2212m n s s m n m n =+++只有当时，才成立，A 错误；m n =()2221212s s s =+对于B ，相关性越强，越接近于，B 错误；r1对于C ，若，则，C 正确；()()151P X P X ≥-+≥=()()511(5),22P X P X μ+-≥-=<∴==对于D ，回归直线恒过样本点的中心，可以不过任一个样本点，D 错误.ˆˆˆy bx a =+()x y 故选：C6．设等比数列中，使函数在时取得极值，则的值是{}n a 37,a a ()3223733f x x ax a x a =+++=1x -05a（ ）A ．B C ．D．±±【答案】D【分析】由极值点和极值可构造方程组求得，代回验证可知满足题意；结合等比数列37,a a 3729a a =⎧⎨=⎩性质可求得结果.【详解】由题意知：，()23736f x x a x a '=++在处取得极值，，()f x =1x -0()()23733711301360f a a a f a a '⎧-=-+-+=⎪∴⎨-=-+=⎪⎩解得：或；3713a a =⎧⎨=⎩3729a a =⎧⎨=⎩当，时，，31a =73a =()()22363310f x x x x '=++=+≥在上单调递增，不合题意；()f x \R 当，时，，32a =79a =()()()23129313f x x x x x '=++=++当时，；当时，；∴()(),31,x ∈-∞--+∞ ()0f x ¢>()3,1x ∈--()0f x '<在上单调递增，在上单调递减，()f x \()(),3,1,-∞--+∞()3,1--是的极小值点，满足题意；1x ∴=-()f x，又与同号，253718a a a ∴==5a 37,a a 5a ∴=故选：D.7．欧拉公式（其中为虚数单位，）是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该ie cos isin x x x =+i x ∈R 公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位.依据欧拉公式，下列选项正确的是（ ）A ．为虚数B ．函数不是周期函数πie i()e x f x =C ．若D ．i e x 2π3x =ππi i 34e e ⋅【答案】D【分析】A 选项，根据题意计算出，A 错误；B 选项，由是周期函数，得到答案；iπe 1=-sin ,cos x xC 选项，根据欧拉公式得到C 错误；D 选项，计算出1cos ,sin 2x x ==，得到共轭复数.ππ34e e =+⋅【详解】A 选项，，为实数，A 错误；πie cos πisin π1+=-=B 选项，，由于是最小正周期为的函数，所以i()e cos isin x f x x x ==+sin ,cos x x 2π是周期函数，B 错误；i ()e cos isin x f x x x ==+C 选项，由题意得，所以cos isin x x +1cos ,sin 2x x ==又时，C 错误；2π3x =1cos ,sin 2x x =-=D选项，ππi i 34ππππe e cos isin cos isin 133442⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎭⋅⎭+⎝⎝+⎝⎭⎭，=，D 正确.故选：D8．如图，已知三棱锥的侧棱长均为2，，，点D 在线段-P ABC 35APB BPC ︒∠=∠=50APC ︒∠=上，点在线段上，则周长的最小值为（ ）PA E PC BDE△A ．B ．4C ．D ．6【答案】A【分析】作三棱锥的侧面展开图，结合两点之间线段最短的结论及余弦定理可求-P ABC的最小值.BDE △【详解】如图，将三棱锥的侧面展开，则周长的最小值与展开图中的线段相等.BDE △12B B 在中，，12PB B △12122,353550120PB PB B PB ∠===++=在中，根据余弦定理可得：12PB B △2221212122cos120B B PB PB PB PB =+-⋅，22122222122⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭所以12B B =即周长的最小值为BDE △故选：A.9．已知函数（，，）的部分图象如图所示.若()()sin f x A x =+ωϕ0A >0ω>0πϕ<<，则的值为（ ）π6625f α⎛⎫+= ⎪⎝⎭22sin cos 22αα-A ．B ．C ．D ．354535-45-【答案】C【分析】根据题意，结合图像性质求出解析式，再根据诱导公式与二倍角公式，即可求解.【详解】根据题意，结合图像易知，，，因此，2A =254312T πππ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭22T πω==因为函数图像过点，所以，2,23π⎛⎫- ⎪⎝⎭242sin 233f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即，，由，解得，故.4232k ππϕπ+=-+Z k ∈0πϕ<<6πϕ=()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭又因为，所以，即，π6625f α⎛⎫+= ⎪⎝⎭62sin 2cos 365ππαα⎛⎫++== ⎪⎝⎭3cos 5α=因此.223sin cos cos 225ααα-=-=-故选：C.10．设，给出下列四个结论：①；②；③，④10a b c >>>>11ac bc >c c ba ab >()()11a b c c <--.其中正确结论有（ ）()()log log +>+b a a c b c A ．个B ．个C ．个D ．个1234【答案】B【分析】直接利用不等式的性质和对数函数以及指数函数的性质的应用对①②③④进行判断.【详解】由题意，，所以对于①，，故，所以①错误；对于②，取10a b c >>>>ac bc >11ac bc <，则，，故②错误；对于③，因为，13,2,2a b c ===c ba =cab c c baab <011c <-<且，所以，故③正确；对于④，，所以a b >()()11abc c <--1+>+>a c b c ，故④正确.()()log log log ()+>+>+a b b a c b b c c 故选：B.11．在四面体中，，，两两垂直且为球心，2为半A BCD -AB AC AD AB AC AD ===C 径的球与该四面体每个面的交线的长度和的值为（ ）2O A ．B ．C ．D ．56ππ43π32π【答案】D【分析】设球与的边CD 、AD 分别交于点M 、N ，与的边AB 、CB 分别交于点2O Rt ACD Rt ABC H 、G ，求出球与该四面体四个面的交线的长度，即得解.2O【详解】解：因为四面体中，两两垂直，且A BCD -,,AB AC AD AB AC AD ===由题意知、为等腰直角三角形，且C 为球心，2为半Rt ACD Rt ABC AB AC AD ===径作一个球，2O 设球与的边CD 、AD 分别交于点M 、N ，2O Rt ACD 如图1；与的边AB 、CB 分别交于点H 、G ，Rt ABC如图2；易得，，cos ACN ∠6ACN π∠=tan 16AN AC π=⋅=所以∠NCM =∠ACD -∠ACN =，所以弧MN 的长，4612πππ-=2126MNππ=⨯=同理，弧. 6GHπ=在内，如图3，因为AH =AN =1，∠HAN =，则，ABD △2π122HNππ=⨯=又如图4，易知弧GM 是以顶点C 为圆心，2为半径，圆心角为，则，所以球3π2233GMππ=⨯=面与该四面体的每个面的交线的长度和为.2366232πππππ+++=故选：D.12．已知函数，若函数恰有5个零点()2e ,02,0x x xf x x x x ⎧≤=⎨-+>⎩22()3[()]()2()g x f x mf x m m =--∈R ，且，，则的取值范围是12345,,,,x x x x x 12345x x x x x <<<<()()34f x f x =()()()13322f x f x f x ++-（ ）A ．B ．31,00,2e e ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 21,00,3e e ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C ．D ．32e ,00,2e 3⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22e ,00,3e 3⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】B 【分析】将看成整体解出或，作出的大致图象，将式子化为()f x ()f x m =2()3mf x =-()f x ，然后转化为的范围进行分()()()()()()()()1331341322222f x f x f x f x f x f x f x f x ++-=++=+m 类讨论即可判断.【详解】当时，，此时，，0x ≤()e x f x x =()()1e xf x x '=+令，解得：，令，解得：，()0f x ¢>10x -<<()0f x '<1x <-可得在上单调递减且恒负，在上单调递增且恒负，且，()f x (),1-∞-()1,0-()11e f -=-当时，，作出的大致图象如图所示，0x >()()22211f x x x x =-+=--+()f x 函数恰有5个零点，22()3[()]()2()g x f x mf x m m =--∈R 12345,,,,x x x x x 等价于方程有5个不同的实数根，223[()]()20f x mf x m --=解得：或，，该方程有5个根，()f x m=()23mf x =-0m ≠且，则，，()()34f x f x =342x x +=()()()125f x f x f x ==当时，，0m <()()()1251,0e f x f x f x m ⎛⎫===∈- ⎪⎝⎭，故，()()342(0,1)3m f x f x ==-∈1,0e m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭所以()()()()()()()()1331341322222f x f x f x f x f x f x f x f x ++-=++=+；4222,0333e m m m ⎛⎫=-=∈- ⎪⎝⎭当时，，0m >()()()12521,03e f x f x f x m ⎛⎫===-∈- ⎪⎝⎭，故，()()34(0,1)f x f x m ==∈30,2e m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以()()()()()()()()1331341322222f x f x f x f x f x f x f x f x ++-=++=+，42120,33e m m m ⎛⎫=-+=∈ ⎪⎝⎭综上：的取值范围是：.()()()13322f x f x f x ++-21,00,3e e ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 故选：B.【点睛】关键点点睛：本题的关键点是对的理解，将看成一个，解223()()20f x mf x m --=()f x t 出其值，然后通过图象分析，转化为直线与图象的交点情况.12,y t y t ==二、填空题13．已知向量，，，且、、三点共线，则_______(),12=OA k ()4,5=OB (),10=-OC k A B C k =【答案】23-【分析】先求出的坐标，再根据、、三点共线求出的值.,AB BC A B C k 【详解】由题得，(4,7)AB OB OA k =-=--，(4,5)BC OC OB k =-=--因为、、三点共线，A B C 所以，=AB BC λ 所以，(4)57(4)0k k -⋅+--=所以.23k =-故答案为：23-【点睛】本题主要考查向量的坐标运算和共线向量，考查三点共线，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.14．已知实数满足，的取值范围是______．,x y ()2221x y +-=ω=【答案】[]1,2【分析】设，，利用向量夹角坐标运算可求得，利用圆的切线的求(),a x y =(b =2cos ωθ=法可求得所在直线倾斜角的范围，从而确定的范围，进而求得的范围.(),a x y =θω【详解】由圆的方程知：点在以为圆心，为半径的圆上，(),x y ()0,21设，，与的夹角为，，(),a x y =(b = a bθcos 2ωθ∴=即；2cos ωθ=设直线与圆相切，则圆心到直线距离，y kx =()2221x y +-=1d ==解得：，k =结合图象可知：所在直线倾斜角为，(),a x y =π2π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦又所在直线倾斜角为，，(b =π3π0,3θ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦，则.1cos ,12θ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦[]1,2ω∈故答案为：.[]1,2【点睛】关键点点睛：本题考查直线与圆位置关系的综合应用问题，解题关键是能够利用平面向量夹角公式将所求式子转化为两向量夹角余弦值取值范围的求解问题，采用数形结合的方式来进行求解.15．《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中诗篇《李白沽酒》里记载：“今携一壶酒，游春郊外走，逢朋加一倍，人店饮斗九”意思是说，李白去⋯郊外春游时，带了一壶酒，遇见朋友，先到酒店里将壶中的酒增加一倍（假定每次加酒不会溢出），再饮去其中的3升酒．那么根据这个规则，若李白酒壶中原来有酒升，将李白在第00(3)a a >家店饮酒后所剩酒量记为升，则__（用和表示）．(1,)n n n N ∈︒ n a n a =0a n 【答案】升023(12)n na +-【分析】由题干递推列式，找寻规律，并根据规律计算即可.【详解】解：李白在第家店饮酒后所剩酒量记为升，(1,)n n n N ∈︒ n a 则第一家店饮酒后所剩酒量为升，1023a a =-第二家店饮酒后所剩酒量为升，22100232(23)323(12)a a a a =-=--=-+第三家店饮酒后所剩酒量为升，323202323(122)a a a =-=-++第四家店饮酒后所剩酒量为升，4234302323(1222)a a a =-=-+++⋯第家店饮酒后所剩酒量为n 升．211000122323(1222)2323(12)12nnn nn n n n a a a a a ---=-=-+++⋯+=-⨯=+--故答案为：升．023(12)n na +-16．已知双曲线G 的方程，其左、右焦点分别是，，已知点P 坐标为，双曲221169x y -=1F 2F ()4,2线G 上点，满足，则______．()00,Q x y ()000,0x y >>11211121QF PF F F PF QF F F ⋅⋅=12F PQ F PQS S-=△△【答案】8【分析】设的内切圆与三边分别相切于，利用切线长相等求得内切圆圆心横坐标为，12Q FF ,,D E G a 又由得在的平分线上，进而得到即为内心，应用双曲线的定义求11211121QF PF F F PF QF F F ⋅⋅= P 12QF F ∠P 得面积差即可.【详解】如图，设的内切圆与三边分别相切于，可得，又由双12Q FF ,,D E G 1122,,QD QG F D F E F E F G===曲线定义可得，则，又1228QF QF a -==()1212122QD DF QG GF DF GF EF EF a +-+=-=-=，解得，则点横坐标为，即内切圆圆心横坐标为.122EF EF c +=1EF a c=+E a a 又，可得，化简得11211121QF PF F F PF QF F F ⋅⋅=11121112121cos cos QF PF PF Q F F PF PF F QF F F ⋅∠⋅∠= ，即，112cos cos PF Q PF F ∠=∠112PF Q PF F ∠=∠即是的平分线，由于，，可得即为的内心，且半径为2，则1PF 12QF F ∠()4,2P 4a =P 12Q FF r .121211()28822F PQ F PQS Sr QF QF -=-=⨯⨯=△△故答案为：8.【点睛】本题关键点在于先利用切线长定理求得内切圆圆心横坐标为，再由12Q FF a 得到在的平分线上，结合的横坐标为进而得到即为内心，利用11211121QF PF F F PF QF F F ⋅⋅=P 12QF F ∠P a P 双曲线定义及面积公式即可求解.三、解答题17．在中，角的对边分别为，且.ABC ∆、、A B C a b c、、2sin 02AA += （Ⅰ）求角的大小；A（Ⅱ）若的周长.ABC ∆R ABC ∆【答案】（1）;（2）3A π=3【分析】(1)利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得结合范围，可求tan A =0A π<<的值；(2)由正弦定理可求 ,利用余弦定理可得,解得的值,可求周长.A a 260c -=c【详解】（1）2sin 02AA +=，∴1cos sin 02AA -+=即sin 0A A =又tan A ∴=0A π<<3A π∴=（2）2sin a R A =2sin π33a R A ∴===ABC ∆1sin 2bc A ∴=bc 4=2222cos a b c bc A=+- 229b c bc ∴+-=2()9391221b c cb ∴+=+=+=b c ∴+=3a b c ++=【点睛】本题主要考查余弦定理及正弦定理的应用，属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另2222cos a b c bc A =+-222cos 2b c a A bc +-=外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以30,45,60o o o便在解题中直接应用.18．2020年上半年受新冠疫情的影响，国内车市在上半年累计销量相比去年同期有较大下降.国内多地在3月开始陆续发布促进汽车消费的政策，开展汽车下乡活动，这也是继2009年首次汽车下乡之后开启的又一次大规模汽车下乡活动.某销售商在活动的前2天大力宣传后，从第3天开始连续统计了6天汽车销售量（单位：辆）如下表：y 第天x 345678销售量（单位：辆）y 172019242427（1）从以上6天中随机选取2天，求这2天的销售量均在20辆以上（含20辆）的概率.（2）根据上表中前4组数据，求关于的线性回归方程.y x ˆˆˆybx a =+（3）用（2）中的结果计算第7、8天所对应的，再求与当天实际销售量的差，若差值的绝ˆyˆy y 对值都不超过1，则认为求得的线性回归方程“可行”，若“可行”则能通过此回归方程预测以后的销售量.请根据题意进行判断，（2）中的结果是否可行？若可行，请预测第9天的销售量；若不可行，请说明理由.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计值分别为：ˆˆˆybx a =+1221ˆˆˆ,ni ii nii x y nx ybay bx xnx ==-⋅==--∑∑【答案】（1）；（2）；（3）可行，29.25ˆ211yx =+【分析】（1）先确定6天中销售量均在20辆以上（含20辆）有4天，再根据组合以及古典概型概率公式求结果；（2）先求均值，再代入公式求，即得结果；ˆˆ,b a （3）根据回归直线方程确定对应的，再根据定义判断是否“可行”，最后代入得结果.ˆy9x =【详解】（1）6天中销售量均在20辆以上（含20辆）有4天，242662155C P C ===（2）3456172019244.5,2044x y ++++++====41317420519624370i ii x y==⨯+⨯+⨯+⨯=∑4222221345686ii x==+++=∑23704 4.52028644ˆ.5b-⨯⨯==-⨯202ˆ 4.511a=-⨯=所以ˆ211yx =+（3）由（2）知，时，，25-24=1；7x =141125y =+=时，，27-27=08x =161127y =+=所以求得的线性回归方程“可行”时，9x =181129y =+=【点睛】本题考查古典概型概率公式、线性回归方程及其应用，考查基本分析求解能力，属基础题.19．如图所示多面体ABCDEF 中，平面平面ABCD ，平面ABCD ，是正三角形，ADE ⊥CF ⊥ADE四边形ABCD 是菱形，，2AB =CF =.3BAD π∠=(1)求证：平面ABCD ；EF (2)求二面角的正弦值.E AF C --【答案】(1)证明见解析【分析】（1）由面面垂直的性质定理与线面平行的判定定理证明即可；（2）建立空间直角坐标系，用坐标法计算面面角正弦值即可.【详解】（1）证明：取中点，连接，AD N NE NC ､因为是正三角形，ADE所以,2sin60EN AD EN ⊥=⋅=因为平面平面平面，平面平面ADE ⊥,ABCD EN ⊂ADE ADE ABCD AD =所以平面，又因为平面，EN ⊥ABCD CF ⊥ABCD 所以，又因为，EN CF ∥EN CF =所以四边形是平行四边形，所以，ENCF EF NC ∥又因为平面平面，NC ⊂,ABCD EF ⊄ABCD 所以平面.EF ABCD （2）连接交于，取中点，连接，AC BD ､O AF M OM 所以，因为平面，所以平面，OM CF ∥CF ⊥ABCD OM ⊥ABCD 因为平面，所以，OA OB ⊂､ABCD ,OM OA OM OB ⊥⊥又因为四边形是菱形，所以，ABCD OA OB ⊥所以两两垂直，OA OB OM ､､建立如图所示的空间直角坐标系，，)()()()(11,0,1,0,,0,1,0,,0,,22AB C D N E F ⎫---⎪⎪⎭，(1,2AF AE ⎛=-=- ⎝ 设平面的法向量为，AEF (),,m x y z=，令0102AF m AE m y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩()1,2,x m == 平面的法向量为，AFC ()0,1,0n =设二面角的大小为，E AF C --θcos θ==所以二面角E AF C --20．已知为坐标原点，点在椭圆上，椭圆的左右焦点分别为O 12P ⎫⎪⎭2222:1(0)x y C a b a b +=>>C，且12,F F 12F F =(1)求椭圆的标准方程；C (2)若点在椭圆上，原点为的重心，证明：的面积为定值.012,,P P P C O 012P PP012P PP 【答案】(1)2214x y +=(2)证明见解析【分析】（1）根据焦距可确定在椭圆上，代入方程解方程组可得答案.c =12P ⎫⎪⎭（2）设直线的方程为，和椭圆联立，整理得到根与系数的关系式，继而根据重心性12PPy kx m =+质表示出坐标为，代入椭圆方程得到参数之间的关系式，从而再表示出三角形0P2282(,1414km mk k -++的高,根据面积公式表示出的面积，将参数间的关系式代入化简即可证明.012P PP【详解】（1）由椭圆的左右焦点分别为，且C 12,F F 12F F =可知：，即① ，c =223a b =+将代入方程得： ②，12P ⎫⎪⎭2222:1(0)x y C a b a b +=>>223114a b +=① ②联立解得 ，224,1a b ==② 故椭圆的标准方程为.2214x y +=（2）证明：设，000111222(,),(,),(,)P x y P x y P x y 当直线 斜率不存在时，即 ，12PP12x x =由原点为的重心，可知O 012P PP 0120120,033x x x y y y++++==故可得此时有 ，该点在椭圆上，则 ，01,0)P x （-22114x =不妨取，则有，或，11x=012(2,0),(1,PP P -012(2,0),(1,P P P -则此时012132P P P S =⨯=当直线 斜率存在时，不妨设方程为 ，12PP12PP y kx m =+则联立 ，整理得：，2214y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩2221+4)8440k x kmx m ++-=（且需满足 ，22222(8)16(14)(1)16(41)0km k m k m ∆=-+-=+->则，212122284(1),1414km m x x x x k k --+==++所以，121222()214my y k x x m k +=+-=+由原点为的重心知， ，O 012P PP012012(),()x x x y y y =-+=-+故坐标为 ，代入到中，0P 2282(,1414km m k k -++2214x y +=化简得： ，即 ，222282()4(41414km m k k -+=++22414m k =+又原点为的重心，故到直线的距离为原点到直线距离的3倍，O 012P PPP 12PPO 12PP所以，d =而1212|||x x PP =-==，因此0121211||22P P P S PP d =⨯⨯===综合上述可知：的面积为定值.012P PP【点睛】本题考查了椭圆方程的求法以及重心性质的应用，以及椭圆内的特殊三角形面积问题，运算量比较复杂而且计算量较大，解决本题的关键是设出直线方程，要利用重心性质表示出一个点的坐标并代入椭圆方程中，找到两参数之间的关系式，然后三角形面积的表示这点并不困难，表示的方法也比较常规，但需要计算时十分细心还要有耐心.21．已知函数.()ln 1a x a f x x +-=(1)求在处的切线方程；()f x ()()1,1f (2)（i ）若恒成立，求的取值范围；()1xf x x ≤-a （ii ）当时，证明：.1a =()()()212323192224f f n n n n f +++<+-+ 【答案】(1)2y x a =+-(2)（i ）；（ii ）证明见解析[]0,1【分析】（1）求出、的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程；()1f ()1f '（2）（i ）由题意可得，设，其中，对实数的取值进行分ln 0x a x a --≥()ln h x x a x a=--0x >a 类讨论，利用导数分析函数在上的单调性，在、的情况下，验证在()h x ()0,∞+0a =0a <()0h x ≥上能否恒成立，在时，可得出，求出实数的取值范围，综合即可得解；()0,∞+0a >()min 0h x ≥a （ii ）当时，；结合（i ）中所求，可得，在时，直接验证结1a =()2ln f n nn n =22ln 1112n n n ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭2n =论即可；在时，利用不等式进行适度放缩，结合裂项求和，即可容易证明.3n ≥【详解】（1）解：因为，则，其中，()ln 1a x a f x x +-=()()22ln 11ln ax a x a a x x f x x x ⋅-+--'==0x >所以，，，()11f a =-()11f '=所以，函数在点处的切线方程为，即.()f x ()()1,1f ()11y a x --=-2y x a =+-（2）解：（i ），可得.()ln 11xf x a x a x =+-≤-ln 0x a x a --≥令，其中，则.()ln h x x a x a=--0x >()1a x ah x x x -'=-=①当时，，合乎题意；0a =()0h x x =>②当时，由基本不等式可得，a<0()()112a a a a ⎡⎤+=--+≤-=-⎢⎥-⎣⎦当且仅当时，等号成立，1a =-，当且仅当时，等号成立，221331244a a a ⎛⎫++=++≥ ⎪⎝⎭12a =-所以，，()1112221313e e e 1e 04e 4a a a a aa h a a a a a a +++-⎛⎫⎛⎫=-+-=-++<-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以，不恒成立，不合乎题意；()0h x ≥③当时，，0a >()1a x a h x x x -'=-=当时，，此时函数单调递减，0x a <<()0h x '<()h x 当时，，此时函数单调递增，x a >()0h x '>()h x 所以，，可得，解得.()()min ln ln 0h x h a a a a a a a ==--=-≥ln 0≤a 01a <≤综上所述，实数的取值范围是；a []0,1（ii ）当时，，所以.1a =()ln x f x x =()2ln f n n n n =由（i ）知：，即，所以.()1xf x x ≤-ln 1x x ≤-ln 11x x x ≤-令，得，即，所以.2x n =222ln 11n nn ≤-222ln 11n n n ≤-22ln 1112n n n ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭当时，，则，显然，结论成立；2n =()2ln 224f =1193222248n n +-=+ln213448<<当时，3n ≥()()()22222223ln2ln3ln 11111112323223f f f n n n n n ⎛⎫+++=+++≤-+-++- ⎪⎝⎭ ()()()222111111111112232434451n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎛⎫=--+++<--++++⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⨯⨯⨯+⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎝⎭⎣⎦()1111111112434451n n n ⎡⎤⎛⎫=--+-+-++- ⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦，结论成立.()171111911912121211222224n n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=---=+-=+- ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎣⎦因此，当时，成立.2n ≥()()()212323192224f f n n n n f +++<+-+ 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明()()f x g x >()()f x g x <（或），进而构造辅助函数；()()0f x g x ->()()0f x g x -<()()()h x f x g x =-（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.22．在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极xOy O x 1C坐标方程为，曲线的极坐标方程为.2cos ρθ=2C ρ=(1)写出曲线的参数方程；2C (2)设是曲线上的动点，是曲线上的动点，求之间距离的最大值.A 1CB 2C ,A B 【答案】(1)，（为参数）.2cos :2sin x C y ϕϕ=⎧⎨=⎩ϕ1【分析】（1）利用极坐标和直角坐标方程的互化公式和二倍角公式可得的直角坐标方程为2C ，再根据圆锥曲线参数方程可得的参数方程为，（为参数）；2214y x +=2C cos 2sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩ϕ（2）根据题意可得之间距离的最大值为点到圆心的距离的最大值再加上半径，根据二次,A B B 1C 函数性质即可求得最大值.【详解】（1）根据曲线的极坐标方程为可得，2C ρ=，即，()2226cos 8ρθ+=22828x y +=所以曲线的直角坐标方程为；2C 2214y x +=根据圆锥曲线参数方程定义可得，曲线的参数方程为，（为参数）.2C cos 2sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩ϕ（2）由曲线的极坐标方程为可得，1C 2cos ρθ=曲线的直角坐标方程为，其圆心，半径；1C ()2211x y -+=()11,0C 1r =由题意可得设，()cos ,2sin B ϕϕ易知之间距离的最大值为点到圆心的距离的最大值再加上半径，,A B B 1C即，1max 11AB BC r =+==由二次函数性质可知，当时，；1cos 3ϕ=-max 1AB =所以,A B 123． 已知函数.()211f x x x =-++（1）解不等式；()6f x ≤（2）记函数的最小值为，若，且，求()()1g x f x x =++m ,,a b c ∈R 230a b c m ++-=的最小值.222a b c ++【答案】（1）；（2）.{}22x x -≤≤914【分析】（1）利用零点分界法即可求解.（2）利用绝对值三角函数不等式可得，进而可得，再利用柯西不等式即可求解.3m =233a b c ++=【详解】解：（1）或或，()161216x f x x x ≤-⎧≤⇔⎨---≤⎩1121216x x x ⎧-<<⎪⎨⎪-++≤⎩122116x x x ⎧≥⎪⎨⎪-++≤⎩解得，即不等式的解集为.22x -≤≤()6f x ≤{}22x x -≤≤（2），()()1212221223g x f x x x x x x =++=-++≥---=当且仅当时取等号，∴.()()21220x x -+≤3m =故.233a b c ++=由柯西不等式，()()()2222222123239a b c a b c ++++≥++=整理得，222914a b c ++≥当且仅当，即，，时等号成立.123a b c ==314a =614b =914c =所以的最小值为.222a b c ++914【点睛】本题考查了分类讨论解不等式、绝对值三角不等式、柯西不等式，属于基础题.。

哈师大附中2024年高三第三次模拟考试数 学本试卷满分150分，考试时间120分钟注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 集合A 满足：{}{}1,2,3,41,2A = ，{}{}3,4,51,2,3,4,5A = ，则A 的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 42. 命题“π0,,sin cos 12x x x ⎛⎫∀∈+> ⎪⎝⎭”的否定是（ ） A. π0,,sin cos 12x x x ⎛⎫∃∈+ ⎪⎝⎭… B. π0,,sin cos 12x x x ⎛⎫∃∈+> ⎪⎝⎭C. π0,,sin cos 12x x x ⎛⎫∃∉+> ⎪⎝⎭D. π0,,sin cos 12x x x ⎛⎫∃∉+ ⎪⎝⎭… 3. 3男3女站成一排拍照，左右两端的恰好是一男一女，则不同的排法种数为（ ） A. 240B. 720C. 432D. 2164. 已知1F 是椭圆22:12x C y +=左焦点，直线1x =与C 交于A B 、两点，则1F AB 周长为（ ）A.B.C.D.5. 已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，且a BC =边上中线AD 长为1，则bc 最大值为（ ） A.74B.72C.D.的6. 已知函数()()()31sin 15f x x x =-+-+，则不等式()()21110f x f x ++-≥的解集为（ ）A. [)0,∞+B. [)1,+∞C. [)2,+∞D. [)3,+∞7. 已知122log a a =，121log 2bb ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则下面正确的是（ ） A. a b >B. 14a <C. b >D. 12a b -<8. 复数i(,R,i z a b a b =+∈是虚数单位)在复平面内对应点为Z ，设,r OZ θ=是以x 轴的非负半轴为始边，以OZ 所在的射线为终边的角，则()i cos isin z a b r θθ=+=+，把()cos isin r θθ+叫做复数i a b +的三角形式，利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，()()()*[cos isin ]cos isin N n n r r n n n θθθθ+=+∈，例如：3312π2πcos isin cos2πisin2π1233⎛⎫⎛⎫-+=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()44ππ(1i)cos isin 4cos πisin π444⎫⎫+=+=+=-⎪⎪⎭⎭，复数z 满足：31i z =+，则z 可能取值为（ ）A.ππcos isin 1212⎫+⎪⎭B. 3π3πcos isin 44⎫+⎪⎭C.5π5πcos isin 44⎫+⎪⎭D.17π17πcos isin 1212⎫+⎪⎭二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 下列说法正确是（ ）A. 数据的频率分布直方图的纵坐标为频率B. 已知样本数据12,,,n x x x 的平均数为x ，则数据12,,,,n x x x x 与原数据的极差､平均数都相同C. 若A B ､两组成对数据的样本相关系数分别为0.97,0.99A B r r ==-，则A 组数据比B 组数据的线性相关性强的D. 已知y 关于x 的回归直线方程为ˆ0.30.7yx =-，则样本点()2,3-的残差为-1.9 10. 正方体1111ABCD A B C D -中，M N ､分别为面对角线1AD 与BD 上点，1,MN AD MN BD ⊥⊥，则下面结论正确的是（ ） A. MN //平面11DCC DB. 直线MN 与直线1CC 所成角C. 1⊥MN ABD. 直线MN ⊥平面1BDC11. 已知函数π()sin()(0,)2f x x ωϕωϕ=+>≤，则下列结论正确的是（ ） A. 若2,3ωϕ==π，则()f x 在ππ,26⎛⎫-- ⎪⎝⎭上递增 B. 若()f x 为奇函数，则0ϕ=C. 若1π,23x ω==-是()f x 的极值点，则π13f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭D. 若π3x =和πx =都是()f x 的零点，()f x 在ππ,32⎛⎫ ⎪⎝⎭上具有单调性，则ω的取值集合为3,32⎧⎫⎨⎬⎩⎭三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12. 在等比数列{}n a 中，3112,8a a ==，则7a =__________. 13. 点(),M x y 为圆2210160x y x +-+=上的动点，则yx的取值范围为__________. 14. 正三棱柱111ABC A B C -E 为棱1AA 上一点，若二面角E BC A --为30 ，则平面BCE 截内切球所得截面面积为__________.四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15. 已知函数()1ln 1x f x x x -=-+ （1）求()f x 在()()1,1f 处的切线；的的（2）比较2023ln2024与14047-的大小并说明理由. 16. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且32nn n S a =-. （1）求证：数列{}2nn a -是等比数列；（2）设()13212n n n n b a λλ-⎛⎫=+⋅-+⋅ ⎪⎝⎭，若{}n b 是递增数列，求实数λ的范围.17. 甲､乙两人准备进行台球比赛，比赛规定：一局中赢球的一方作为下一局的开球方.若甲开球，则本局甲赢的概率为23，若乙开球，则本局甲赢的概率为13，每局比赛的结果相互独立，且没有平局，经抽签决定，第1局由甲开球.（1）求第3局甲开球的概率；（2）设前4局中，甲开球的次数为X ，求X 的分布列及期望. 18. 如图：四棱柱1111ABCD A B C D -底面ABCD 为等腰梯形，//,1,3,2,2AB DC DC AB AD BC BE EA =====.（1）求证：1//D E 平面11DB C ；（2）若11ADD A 为菱形，160A AD ∠=，平面11ADD A ⊥平面ABCD .①求平面11DB C 和平面1DCC 夹角的余弦； ②求点1A 到平面11DB C 的距离.19. 如图抛物线2:C y x =，过()2,1M 有两条直线121,,l l l 与抛物线交于2,,A B l 与抛物线交于,D E ，（1）若1l 斜率1，求AB ；（2）是否存在抛物线C 上定点N ，使得0NA NB ⋅=，若存在，求出N 点坐标并证明，若不存在，请说明理由； （3）直线12y x =与直线,AD BE 相交于,P Q 两点，证明：M 为PQ 中点.参考答案一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 集合A 满足：{}{}1,2,3,41,2A = ，{}{}3,4,51,2,3,4,5A = ，则A 的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】【分析】根据交集、并集的结果分析集合A 的元素，即可判断.【详解】因为{}{}1,2,3,41,2A ⋂=，所以1A ∈，2A ∈，3A ∉，4A ∉， 又{}{}3,4,51,2,3,4,5A ⋃=，所以5可能属于集合A ，也可能不属于集合A ， 所以集合{}1,2A =或{}1,2,5A =， 所以符合题意的集合A 有2个. 故选：B2. 命题“π0,,sin cos 12x x x ⎛⎫∀∈+> ⎪⎝⎭”否定是（ ）为的A. π0,,sin cos 12x x x ⎛⎫∃∈+ ⎪⎝⎭… B. π0,,sin cos 12x x x ⎛⎫∃∈+> ⎪⎝⎭C. π0,,sin cos 12x x x ⎛⎫∃∉+> ⎪⎝⎭D. π0,,sin cos 12x x x ⎛⎫∃∉+ ⎪⎝⎭… 【答案】A 【解析】【分析】根据全称命题的否定是存在命题，将原命题改写量词否定结论即可. 【详解】命题“π0,,sin cos 12x x x ⎛⎫∀∈+> ⎪⎝⎭” 的否定是“π0,,sin cos 12x x x ⎛⎫∃∈+≤ ⎪⎝⎭”. 故选：A3. 3男3女站成一排拍照，左右两端的恰好是一男一女，则不同的排法种数为（ ） A. 240 B. 720 C. 432 D. 216【答案】C 【解析】【分析】先排特殊位置，再排其它位置，由分步乘法计数原理计算. 【详解】3男3女站成一排拍照，左右两端的恰好是一男一女， 先排左右两端，有112332C C A 18=种排法， 再排中间4个位置，有44A 24=种排法， 所以不同的排法种数为1824432⨯=种. 故选：C.4. 已知1F 是椭圆22:12x C y +=的左焦点，直线1x =与C 交于A B 、两点，则1F AB 周长为（ ）A.B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】由题意可得1F AB 经过椭圆右焦点，结合椭圆定义计算即可得.1=，故1F AB 经过椭圆右焦点，故1F AB 的周长为144F AB C a ===故选：D.5. 已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，且a BC =边上中线AD 长为1，则bc 最大值为（ ） A.74B.72C.D.【答案】A 【解析】【分析】根据两角互补余弦值之和等于0，然后分别在三角形中利用余弦定理求出两角的余弦，列出方程求出2272b c +=，然后利用基本不等式求出最值即可 【详解】由题意得πADB ADC ∠+∠=， 所以cos cos 0ADB ADC ∠+∠=，又a =D 是BC的中点，所以DB DC ==在ABD △中，222cos 2AD BD c ADB AD BD +-∠==⋅ 在ADC △中，222cos 2AD CD b ADC AD CD +-∠==⋅所以cos cos 0ADC ADB ∠+∠==，即2272b c +=，得2277224bc b c bc ≤+=⇒≤，当且仅当b c == 故选：A6. 已知函数()()()31sin 15f x x x =-+-+，则不等式()()21110f x f x ++-≥的解集为（ ）A. [)0,∞+B. [)1,+∞C. [)2,+∞D. [)3,+∞【答案】A 【解析】【分析】由题意可得()()1101f x f x +=--，可将()()21110f x f x ++-≥转化为()()211f x f x +≥+，结合导数可得()f x 在(),-∞+∞上单调递增，即可得211x x +≥+.【详解】由题可得()315sin f x x x +-=+，所以()()()3315sin sin f x x x x x -+-=-+-=--，即有()()15150f x f x +-+-+-=，即()()1101f x f x +=--， 故不等式()()21110f x f x ++-≥等价于()()211f x f x +≥+， 又()()()231cos 1f x x x '=-+-， 当ππ1,122x ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦时，()cos 10x -≥，故()0f x '≥， 当ππ,11,22x ⎛⎫⎛⎫∈-∞-++∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时， ()22π31231x ⎛⎫≥⎝-⨯> ⎪⎭，()[]cos 11,1x -∈-，故()0f x '≥，即()0f x '≥恒成立，故()f x 在(),-∞+∞上单调递增， 故由()()211f x f x +≥+可得211x x +≥+，即0x ≥. 故选：A.7. 已知122log aa =，121log 2bb ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则下面正确的是（ ）A. a b >B. 14a <C. b >D. 12a b -<【答案】D 【解析】【分析】构造函数()22log xf x x =+，()21log 2xg x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，结合零点的存在性定理可得11,42a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，12b ⎛∈ ⎝，即可逐项判断.【详解】令()1222log 2log x xf x x x =-=+，由122log a a =，故()0f a =， 由2x y =与2log y x =在()0,∞+上单调递增，故()f x 在()0,∞+上单调递增，又11442112log 22044f ⎛⎫=+=-< ⎪⎝⎭，122112log 1022f ⎛⎫=+=-> ⎪⎝⎭，故11,42a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故B 错误；令()12211log log 22xxg x x x ⎛⎫⎛⎫=-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象及2log y x =-的图象可得()g x 在()0,∞+上只有一个零点，由121log 2bb ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故()0g b =，又1211111log 022222g ⎛⎛⎛⎫=+=->-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 11022211111log 11022222g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-<-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故12b ⎛∈ ⎝，故C 错误；有a b <，故A错误；1311442a b --<-=<=，故D 正确. 故选：D.8. 复数i(,R,i z a b a b =+∈是虚数单位)在复平面内对应点为Z ，设,r OZ θ=是以x 轴的非负半轴为始边，以OZ 所在的射线为终边的角，则()i cos isin z a b r θθ=+=+，把()cos isin r θθ+叫做复数i a b +的三角形式，利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，()()()*[cos isin ]cos isin N n n r r n n n θθθθ+=+∈，例如：3312π2πcos isin cos2πisin2π1233⎛⎫⎛⎫-+=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()44ππ(1i)cos isin4cosπisinπ444⎫⎫+=+=+=-⎪⎪⎭⎭，复数z满足：31iz=+，则z可能取值为（）A.ππcos isin1212⎫+⎪⎭B.3π3πcos isin44⎫+⎪⎭C.5π5πcos isin44⎫+⎪⎭D.17π17πcos isin1212⎫+⎪⎭【答案】D【解析】【分析】根据复数的三角形及运算，利用复数相等可得cos isin,Z2ππ2ππ312312k kz k⎛⎫⎛⎫=++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎤+∈⎥⎦，即可得解.详解】设()cos s i inz rθθ=+，则()33ππ1cos is cos3isii4n3n4z rθθ⎫=++=+⎪⎭，所以r=π32π,Z4k kθ=+∈，即2ππ,Z312kkθ=+∈，所以cos isin,Z2ππ2ππ312312k kz k⎛⎫⎛⎫=++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦故2k=时，17π12θ=，故z17π17πcos isin1212⎫+⎪⎭，故选：D【点睛】关键点点睛：理解复数三角形及三角形下复数的指数运算是解题的关键，通过三角形的运算，再利用复数相等，建立方程即可得出所求复数的一般形式.二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 下列说法正确的是（）A. 数据的频率分布直方图的纵坐标为频率B. 已知样本数据12,,,nx x x的平均数为x，则数据12,,,,nx x x x与原数据的极差､平均数都相同【C. 若A B ､两组成对数据的样本相关系数分别为0.97,0.99A B r r ==-，则A 组数据比B 组数据的线性相关性强D. 已知y 关于x 的回归直线方程为ˆ0.30.7yx =-，则样本点()2,3-的残差为-1.9 【答案】BD 【解析】【分析】根据频率分布直方图的制图规则判断A ；分别求出两组数据的平均数和极差可判断B ；比较相关系数绝对值大小判断C ；根据回归直线可求得估计值，再计算实际观测值与估计值的差可判断D 【详解】频率分布直方图纵坐标为频率与组距的比值，故A 错； 由题意得1212nn x x x x x x x nx n+++=⇒+++= ，数据12,,,,n x x x x 的平均数为1211n x x x x nx xx x n n +++++===++ ，所以数据12,,,,n x x x x 与原数据的平均数相等， 设数据12,,,n x x x 的最大数为a ，最小值为b ，若12n x x x === ，则a b =，所以数据12,,,n x x x 的极差为a b -，且b x a ≤≤， 所以数据12,,,,n x x x x 的极差也为a b -， 数据12,,,,n x x x x 与原数据的极差相等，故B 对，因为0.970.99<-，所以A 组数据比B 组数据的线性相关性弱，故C 错； 当2x =时， 0.30.72 1.1y =-⨯=-，样本点()2,3-的残差为()3 1.1 1.9---=-，故D 对； 故选：BD10. 正方体1111ABCD A B C D -中，M N ､分别为面对角线1AD 与BD 上的点，1,MN AD MN BD ⊥⊥，则下面结论正确的是（ ） A. MN //平面11DCC DB. 直线MN 与直线1CCC. 1⊥MN AB的D. 直线MN ⊥平面1BDC 【答案】BCD 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，对于A ，求出平面11DCC D 的一个法向量，判定0MN DA ⋅≠即可；对于B ，直接求出直线MN 与直线1CC 所成角的余弦值进而解出正切值即可；对于C ，直接证明出10MN AB ⋅=即可，对于D ，直接用向量证明出1,MN BD MN DC ⊥⊥，1BD DC D ⋂=，即可证明直线MN ⊥平面1BDC .【详解】如图：因为1111ABCD A B C D -为正方体，以D 为原点，1,,DA DC DD 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系D xyz -， 设棱长为1.则()()()()10,0,0,1,0,0,0,0,1,1,1,0D A D B ，()()11,0,1,1,1,0AD DB =-=，设1AM t AD =，则()1,0,M t t -， 设DN r DB =，则(),,0N r r ，()1,,MN r t r t =+--，10MN AD MN DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，所以1010t r t r t r ---=⎧⎨+-+=⎩， 解得：1313t r ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则2111,0,,,,03333M N ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，111,,333MN ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，对于A ，平面11DCC D 的一个法向量为()1,0,0DA =，由0MN DA ⋅≠，所以MN 不平行平面11DCC D ，所以选项A 错误；对于B ，由()10,0,1CC =，设直线MN 与直线1CC 所成角为θ，则11cos MN CC MN CC θ⋅==⋅，则si n θ=，t an θ=，所以选项B 正确；对于C ，()10,1,1AB = ，由10MN AB ⋅=，所以1⊥MN AB ，所以选项C 正确；对于D ，因为()1,1,0BD =-- ，()10,1,1DC = ，所以100MN BD MN DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ， 1,MN BD MN DC ⊥⊥，1BD DC D ⋂=，所以直线MN ⊥平面1BDC ，所以选项D 正确. 故选：BCD.11. 已知函数π()sin()(0,)2f x x ωϕωϕ=+>≤，则下列结论正确的是（ ） A. 若2,3ωϕ==π，则()f x 在ππ,26⎛⎫-- ⎪⎝⎭上递增B. 若()f x 为奇函数，则0ϕ=C. 若1π,23x ω==-是()f x 的极值点，则π13f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭D. 若π3x =和πx =都是()f x 的零点，()f x 在ππ,32⎛⎫ ⎪⎝⎭上具有单调性，则ω的取值集合为3,32⎧⎫⎨⎬⎩⎭【答案】BCD 【解析】【分析】用整体思想结合正弦函数的单调性判断A ；由奇函数(0)0f =即可判断B ；根据已知条件计算出,ωϕ即可判断C ；由已知求出ω范围，即可判断D ．【详解】对于A ，π()sin(23f x x =+，当ππ,26x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，π2π2,033x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，因为π2ππ2,332x ⎛⎫+∈-- ⎪⎝⎭时()f x 单调递减，ππ2,032x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭时，()f x 单调递增，故A 错误； 对于B ，若()f x 为奇函数，则(0)sin 0f ϕ==，则π,k k ϕ=∈Z ，又π2ϕ≤，所以0ϕ=，故B 正确；对于C ，当12ω=时，1()sin()2f x x ϕ=+，则11()cos()22f x x ϕ'=+， 又π3x =-是()f x 的极值点，所以π1π()cos()0326f ϕ'-=-+=，即πππ,62k k ϕ-+=+∈Z ，又π2ϕ≤，则π3ϕ=-，经检验π3x =-为1π()sin()23f x x =-的极值点，故πππ(sin()1363f -=--=-，故C 正确；对于D ，由π3x =和πx =都是()f x 的零点得，1212ππ,ππ,,3k k k k ωϕωϕ+=+=∈Z ，两式相减得()2133,22k k k k ω=-=∈Z ，由()f x 在ππ,32⎛⎫ ⎪⎝⎭上具有单调性且π3x =和πx =都是()f x 的零点得，2πππ4423π2ππ3220T T ωωω⎧=≥-⎪⎪⎪-≥=⎨⎪>⎪⎪⎩，解得332ω≤≤，所以ω的取值集合为3,32⎧⎫⎨⎬⎩⎭，故D 正确； 故选：BCD .【点睛】关键点睛：对于D 选项中求ω的范围，一是根据π3x =和πx =是()f x 的零点得出ππ32T -≥，二是结合在ππ,32⎛⎫⎪⎝⎭具有单调性，即区间左端点为零点，得出ππ423T ≥-.三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12. 在等比数列{}n a 中，3112,8a a ==，则7a =__________. 【答案】4【解析】【分析】利用等比数列的性质求解.【详解】等比数列{}n a 中，3112,8a a ==，由等比数列性质，23570a a a =>，则70a >， 又2311716a a a ==，所以74a =.故答案为：413. 点(),M x y 为圆2210160x y x +-+=上的动点，则yx的取值范围为__________. 【答案】33,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【解析】 【分析】法一：设yk x=，代入方程得到22210160x k x x +-+=，从而题目实际上就是求k 的取值范围使得该方程有解，而这直接使用二次方程判别式就可得到结果；法二：利用圆的几何性质，将命题转化为距离问题，再使用距离公式求解.【详解】法一：我们要求k 的取值范围使得存在,x y 满足2210160x y x +-+=，yk x=， 由于满足前一个方程的x 必不为零，故这等价于2210160x y x +-+=，y kx =. 而这又可以等价转化为22210160x k x x +-+=，y kx =，故我们就是要求k 的取值范围，使得关于x 的方程22210160x k x x +-+=有解. 该方程中2x 的系数显然非零，所以命题等价于()2Δ1006410k=-+≥，解得3344k -≤≤. 法二：由于圆2210160x y x +-+=和y 轴无公共点，故命题等价于求实数k 的取值范围， 使得y kx =直线和圆2210160x y x +-+=有公共点.该圆的方程可化为()2259x y -+=，故命题等价于点()5,0到直线y kx =的距离不超过3，即3≤.解得3344k -≤≤. 的故答案为：33,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.14. 正三棱柱111ABC A B C -E 为棱1AA 上一点，若二面角E BC A --为30 ，则平面BCE 截内切球所得截面面积为__________.【解析】【分析】由内切球的半径得正三棱柱的高和底面边长，求球心到平面BCE 的距离，勾股定理求截面圆的半径，可得截面面积.【详解】正三棱柱111ABC A B C -，则棱柱的高1AA =正三角形ABC 211322ABC S AB AB ==⨯ 得6AB =，1,D D 分别为11,BC B C 的中点，则AD =，AD BC ⊥，ED BC ⊥， 二面角E BC A --为30 ，则30EDA ∠= ，ABC 内切圆的圆心1O 为AD 上靠近D 点的三等分点，111A B C △内切圆的圆心2O 为11A D 上靠近1D 点的三等分点，O 为正三棱柱111ABC A B C -内切球球心，则O 为12O O 的中点，则1DO =，1OO =，111DD CC AA ==，111////DD CC AA ，由对称性可知，球心O 到平面EBC 的距离等于O 到直线ED 的距离，平面11D DAA 中，以D 为原点，DA 为x 轴，1DD 为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，有O，30EDA ∠= ，DE 所在直线方程为y x =，即0x -=，则O 点到直线DE 的距离d O 到平面EBC平面BCE 截内切球所得截面圆的半径为r ，则222r =-=所以截面圆的面积2πS r ==.. 【点睛】方法点睛：正三棱柱的内切球中，如果内切球的半径为r ，那么正三棱柱的高为2r ，底面正三角形的边长为，截面圆的半径由球的半径和球心到截面距离利用勾股定理计算.四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15. 已知函数()1ln 1x f x x x -=-+ （1）求()f x 在()()1,1f 处的切线； （2）比较2023ln2024与14047-的大小并说明理由. 【答案】（1）1122y x =- （2）20231ln 20244047<-，理由见解析 【解析】【分析】（1）求得()221,0(1)x f x x x x +'=>+，得到()112f '=，且()10f =，结合导数的几何意义，即可求解；（2）求得()0f x ¢>，得到()f x 在()0,∞+上单调递增，结合()10f =，得到1ln 1x x x -<+即可得到20231ln20244047<-. 【小问1详解】解：因为函数()1ln 1x f x x x -=-+，可得()221,0(1)x f x x x x +'=>+， 可得()112f '=，且()10f =， 所以()f x 在()()1,1f 处的切线方程为()1012y x -=-，即1122y x =-. 【小问2详解】解：由0x >，可得()2210(1)x f x x x +'=>+，所以()f x 在()0,∞+上单调递增， 又由()10f =，所以(0,1)x ∈时，()0f x <，即1ln 1x x x -<+在(0,1)x ∈上恒成立， 所以20231202312024ln 20232024404712024-<=-+，即20231ln 20244047<-. 16. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且32nn n S a =-.（1）求证：数列{}2nn a -是等比数列；（2）设()13212n nn n b a λλ-⎛⎫=+⋅-+⋅ ⎪⎝⎭，若{}n b 是递增数列，求实数λ的范围.【答案】（1）证明见解析（2）23λ>- 【解析】【分析】（1）利用11n n n a S S ++=-及已知条件得到递推式，然后证明()113222n n n n a a ++-=-并验证首项非零即可；（2）求出n a ，并将命题转化为()()31423nnλλ+⋅>+⋅恒成立，然后取1n =即得到23λ>-，再证明23λ>-时不等式恒成立.【小问1详解】由32nn n S a =-知11132a S a ==-，得11a =.由已知有()()111113232332n n n n n n n nn n a S S a aa a +++++=-=---=--，故11322n n n a a -+=+，得()11111333222322222n n n n n n n n n a a a a +-+-+-=+-=-⋅=-.而1121210a -=-=-≠，故数列{}2n n a -是首项为1-，公比为32的等比数列.【小问2详解】根据（1）的结论有1322n n n a -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即1322n n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭.那么就有()()()11332112222n n nnn n b a λλλλ--⎛⎫⎛⎫=+⋅-+⋅=+⋅-+⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.命题等价于1n n b b +>恒成立，即()()()()1133********nn n n λλλλ-+⎛⎫⎛⎫+⋅-+⋅>+⋅-+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.此即()()()()3232122122232nnnn λλλλ⎛⎫⎛⎫+⋅-+⋅>+⋅-+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得到()()31423n n λλ+⋅>+⋅.从而要求λ的取值范围使得()()31423nnλλ+⋅>+⋅恒成立.一方面，对该不等式取1n =可得到()()31423λλ+⋅>+⋅，即23λ>-； 另一方面，若23λ>-，则10λ+>，442λλ+>+， 故我们恒有()()44313144233nλλλλ⎛⎫+⋅≥+⋅=+>+ ⎪⎝⎭，即()()31423n n λλ+⋅>+⋅.所以λ的取值范围是23λ>-. 17. 甲､乙两人准备进行台球比赛，比赛规定：一局中赢球的一方作为下一局的开球方.若甲开球，则本局甲赢的概率为23，若乙开球，则本局甲赢的概率为13，每局比赛的结果相互独立，且没有平局，经抽签决定，第1局由甲开球.（1）求第3局甲开球的概率；（2）设前4局中，甲开球的次数为X ，求X 的分布列及期望. 【答案】（1）59（2）分布列见解析，()7427E x = 【解析】【分析】（1）设第i 局甲胜为事件i A ，则第3局甲开球为事件1212A A A A +，结合条件概率公式计算即可. （2）由X 的取值，根据对应的事件，求相应的概率，得分布列，由公式求解期望. 【小问1详解】设第i 局甲胜为事件i A ，则第i 局乙胜为事件i A ，其中1,2,3,i = 则“第3局甲开球”为事件2A ，()()()()()()()212121211212211533339P A P A A P A A P A P A A P A P A A =+=+=⋅+⋅=. 【小问2详解】 依题意1,2,3,4X =，()()1231224133327P X P A A A ===⋅⋅=，()()()()1231231232121111217233333333327P X P A A A P A A A P A A A ==++=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=， ()()()()1231231232212111128333333333327P X P A A A P A A A P A A A ==++=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=，()()1232228433327P X P A A A ===⋅⋅=，X ∴的分布列为 X1234P 427 727 827 827则()47887412342727272827E x =⨯+⨯+⨯+⨯=. 18. 如图：四棱柱1111ABCD A B C D -底面ABCD 为等腰梯形，//,1,3,2,2AB DC DC AB AD BC BE EA =====.（1）求证：1//D E 平面11DB C ；（2）若11ADD A 为菱形，160A AD ∠= ，平面11ADD A ⊥平面ABCD .①求平面11DB C 和平面1DCC 夹角的余弦；②求点1A 到平面11DB C 的距离.【答案】（1）证明见解析（2 【解析】【分析】（1）借助平行四边形的性质可得线线平行，结合线面平行的判定定理即可得；（2）建立适当的空间直角坐标系，借助空间向量可计算夹角，借助点到平面的距离公式计算距离.【小问1详解】在棱AB 上取点F ，使2AF FB =，连接1,DF FB ，由已知,//FB DC FB DC =， ∴四边形BCDF 为平行四边形，//DF BC ∴，又1111//,//BC B C DF B C ∴ ，即11,,,D F B C 四点共面，连接1FC ，由已知1111//,,//,EF DC EF DC DC D C DC D C == ，1111/,/D C E F F D C E =∴，∴四边形11EFC D 为平行四边形，11//D E FC ∴，1D E ⊄ 平面111,DFB C FC ⊂平面11DFB C ，1//D E ∴平面11DFB C ，即1//D E 平面11DB C ；【小问2详解】在菱形11ADD A 中，160A AD ∠=，取11A D 中点G ，连接DG ，则DG AD ⊥，又平面11ADD A ⊥平面ABCD ，平面11ADD A ⋂平面ABCD AD =， DG ⊂平面11ADD A ，DG ∴⊥平面ABCD ，在等腰梯形ABCD中，,DE DC DE ⊥=，,,DE DC DG 两两互相垂直，以D 为原点,,DE DC DG 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，()))()(0,0,0,1,0,2,0,0,1,0,D A B C G -，①)()1111113,,0,1,02DC DG GD D C C B DC =++=== ， 设(),,n x y z =为平面11DB C 的一个法向量，则1113020n DC x y n C B y ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅=+=⎩ ，取1x =，则有()1,2n = ， 设()111,,m x y z = 为平面1DCC 的一个法向量，则111113020m DC x y m DC y ⎧⋅=++=⎪⎨⎪⋅==⎩ ，取12x =，则有()2,0,1m = ， 设平面11DB C 与平面1DCC 夹角为θ，则cos cos ,m n m n m n θ⋅===⋅ ， ∴平面11DB C 与平面1DCC②1112DA DG GA =+=- ， ∴点1A 到平面11DB C.19. 如图抛物线2:C y x =，过()2,1M 有两条直线121,,l l l 与抛物线交于2,,A B l 与抛物线交于,D E ，（1）若1l 斜率为1，求AB ；（2）是否存在抛物线C 上定点N ，使得0NA NB ⋅= ，若存在，求出N 点坐标并证明，若不存在，请说明理由；（3）直线12y x =与直线,AD BE 相交于,P Q 两点，证明：M 为PQ 中点. 【答案】（1（2）存在，()1,1N -，证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意，得到直线AB 方程为1y x =-，联立方程组，结合弦长公式，即可求解； （2）设直线AB 的方程为(1)2=-+x m y ，联立方程组得到1212,2y y m y y m +==-，结合0NA NB ⋅= ，列出方程，求得1t =，即可求解；（3）设2222(,),(,),(,),(,)A a a B b b E c c D d d ，结合,AB ED 的方程求得21a b a -=-，21d c d -=-， 再由:()AD l a d y x ad +=+，联立方程组，求得,P Q x x ，得到2P Q M x x x +=，即可得证 【小问1详解】.解：由题意，直线AB 方程为12y x -=-，即1y x =-，联立方程组21y x y x=-⎧⎨=⎩，可得210y y --=，可得50∆=>且12121,1y y y y +==-，所以AB ===.【小问2详解】 解：设直线AB 的方程为(1)2=-+x m y ，联立方程组2(1)2x m y y x=-+⎧⎨=⎩，整理得220y my m -+-=， 设21122(,),(,),(,)N t t A x y B x y ，则1212,2y y m y y m +==-，可得22222212121212()()()()()()()()0NA NB x t x t y t y t y t y t y t y t ⋅=-⋅-+--=-⋅-+--= ，即112212()()()()()()0y t y t y t y t y t y t -+⋅-++--=，即1212()()[()()1]0y t y t y t y t --+++=，因为12y y t ≠≠，所以12()()10y t y t +++=，即21212()10y y t y y t ++++=，即2210m tm t -+++=，即2(1)(1)0t m t ++-=恒成立，解得1t =-，即()1,1N -.【小问3详解】解：设2222(,),(,),(,),(,)A a a B b b E c c D d d ，则:()AB l a b y x ab +=+过(2,1)M ，所以2a b ab +=+，所以21a b a -=-， :()ED l c d y x cd +=+过(2,1)M ，所以2c d cd +=+，所以21d c d -=-， :()AD l a d y x ad +=+，联立方程组()12a d y x ad y x +=+⎧⎪⎨=⎪⎩，可得22P ad x a d =+-，同理22Q bc x b c =+-，所以222()()2221122222211P Q a d ad bc ad a d x x a d a d b c a d a d ----+=+=+--+-+-+-+--- 2244844842222M ad ad a d a d x a d a d a d --++-+===+---+-， 所以,P Q 的中点为M .【点睛】方法点睛：解决抛物线问题的方法与策略：1、涉及抛物线的定义问题：抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化．2、涉及直线与抛物线的综合问题：通常设出直线方程，与抛物线方程联立方程组，结合根与系数的关系，合理进行转化运算求解，同时注意向量、基本不等式、函数及导数在解答中的应用.。

2013年广东省韶关市高考数学三模试卷（理科）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）（2013•韶关三模）已知复数z=1+i，则=（）
代入
解：=
2
22
．．
轴上，长轴长是短轴长的两倍，∴
4．（5分）（2013•韶关三模）△ABC中，∠A=，BC=3，AB=，则∠C=（）
．．D
或
解：由正弦定理，即
sinC=
（C=
5．（5分）（2013•韶关三模）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S2=10，S5=55，则过点P（n，a n）和*
解：由题意知
∴直线的斜率为
6．（5分）（2013•韶关三模）已知：函数f（x）的定义域为[﹣2，+∞），且f（4）=f（﹣2）=1，f′（x）为
f（x）的导函数，函数y=f′（x）的图象如图所示，则，所围成的平面区域的面积是（）
⇔
所以平面区域的面积为
7．（5分）（2013•韶关三模）一台机床有的时间加工零件A，其余时间加工零件B，加工零件A时，停机的概率为，加工零件B时，停机的概率是，则这台机床停机的概率为（）
．．D。

望江二中2013～2014学年下学期高三第三次质量检测数学（理科）试题考试时间：120min 总分：150分命题人：章得平第Ⅰ卷（客观题）注意：本试卷分第Ⅰ卷（客观题）和第Ⅱ卷（非客观题）两部分，第Ⅰ卷和第Ⅱ卷的试题均在答题卷内作答，只交答题卷，在本试卷上答题无效。

参与公式：正态分布函数：()()22,x x μσμσϕ--，(),x ∈-∞+∞，()0.6826P X μσμσ-<≤+=， ()220.9544P X μσμσ-<≤+=，()330.9974P X μσμσ-<≤+=．一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．每小题给出的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，请把答案填在答题卡的相应位置．）1．在回归分析中，代表了数据点和它在回归直线上相应位置的差异的是（ ） A ．总偏差平方和B ．残差平方和C ．回归平方和D ．相关指数2R答案：B ．本题概念出自选修2～31021P B -，旨在回归课本．2．右边方框中是一个求20个数的平均数的程序，则在横线上应填的语句为（ ）A ．20i >B ．20i <C ．20i >=D ．20i <= 答案：A ．一般都是考程序框图，程序语句也应引起注意．3．已知关于x 方程()2220x k i x ki ++++=（i 是虚数单位）至少有一个实根，那么实数k 的取值范围是（ ）A ．k -≤B ．k =C ．k =±D ．k ≥k ≤-答案：C ．旨在考查复数的相等．4．设实数,x y 满足223231x y x y x y -≥-⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，若222x y m +≤恒成立，则实数m 的最小值是（）A ．32B ．1318C ．54D ．1答案：B ．原题是：222x y m +≥，则实数m 的最大值是（A ）5．设,m n R ∈，若直线()()1120m x n y +++-=与圆()()221+11x y --=相切，则m n +的取值范围是（ ）A．1⎡⎣B．(),113,⎡-∞++∞⎣ C．22⎡-+⎣D ．(),2222,⎡-∞-++∞⎣答案：D ．本题若从基本不等式角度考虑，则条件就要改成0mn >，但可令m m t +=，此时可从判别式角度来求解，条件,m n R ∈是可以的． 6．设X 是一个离散型随机变量，其分布列为：则q =（ ）A ．1B ．12±C ．12-D ．12+答案：C7．四棱锥P ABCD -中，AD ⊥平面PAB ，BC ⊥平面PAB ，底面ABCD 为梯形， 4AD = ，8BC = ，6AB = ，APD CPB ∠=∠ ，满足上述条件的四棱锥顶点P 的轨迹是（ ）A ．圆B ．圆的一部分C ．抛物线D ．抛物线的一部分答案：B ．设APD CPB θ∠=∠=，则由题意可得481tan 2AD BC PA PA PB PA PB PB θ==⇒=⇒=，由平面解析几何中的坐标法可知P 点的轨迹是一个圆，但P 点又是四棱锥的顶点，所以选B ． 8．将函数()2cos 222f x x x =+的图像向右平移4π个单位后得到函数()g x 的图像，则4g π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）AB ．1-CD ．2答案：A9．若关于x 的方程112545x x m -+-+-⨯=有实根，则实数m 的取值范围是（ ）A ．0m <B ．4m ≥-C ．40m -≤<D ．30m -≤<答案：D10．若点O 和点()2,0F -分别是双曲线()22210x y a a-=>的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP FP ⋅的取值范围为（ ） A．)3⎡-+∞⎣B．)3⎡++∞⎣C ．7,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ D ．7,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭答案：B二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．请把答案填在答题卡的相应位置．） 11．已知函数()sin tan f x x x=+，项数为27的等差数列{}n a 满足,22n aππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，且公差0d ≠，若()()()12270f a f a f a +++=，则当k =时，()0k f a =．答案：1412．若由曲线22y x k =+与直线2y kx =及y 轴所围成的平面图形的面积9S =，则k =．答案：3±1314．设()()()()5914130113211x x a x a x -+=++++()13141a x a +++，则1313a a a +++=．（用数字作答）答案：996315．某地区高三学生的身高X 服从正态分布，其总体密度曲线图形 如图所示，则()170180P X <≤=．答案：0.1359三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答需写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤．请在答题卡的相应位置作答．）16．（本题满分12分）设锐角ABC ∆的内角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，且2s i n a b A =⋅．（1）求角B 的大小；（2）求cos sin A C +的取值范围．〖解析〗：（1）∵2sin a b A =⋅，则由正弦定理可得：sin 2sin sin A B A =⋅()sin 2sin 10A B ⇒-=， 锐角三角形中sin 0A ≠，所以2sin 10B -=1sin 2B ⇒=，∴6B π=或56B π=（舍）．（2）由（1）可得56A C π+=⇒56C A π=-， ∴5cos sin cos sin 66A C A A A ππ⎛⎫⎛⎫+=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而02A C π<<、，∴32A ππ<<663A πππ⇒<-<362A π⎛⎫⇒<-< ⎪⎝⎭，∴cos sin A C +的取值范围是：32⎫⎪⎪⎝⎭．17．（本题满分12分）某地区对12岁儿童瞬时记忆能力进行调查，瞬时记忆能力包括听觉记忆能力与视觉记忆能力．某班学生共有40人，下表为该班学生瞬时记忆能力的调查结果，例如表中听觉记忆能力为中等，且视觉记忆能力偏高的学生为3人．由于部分数据丢失，只知道从这40位学生中随机抽取一个，视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上的概率为25． （1）试确定a 、b 的值；（2）从40人中任意抽取3人，设具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生人数为ξ，求随机变量ξ的分布列．解析：（1）由表视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上的学生共有()10a +人．记“视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上”为事件A ， 则()102405a P A +==，解得6a =，从而()403240382b a =-+=-=． （2）由题知40个人中具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生共24人，从40位学生中任意抽取3位的结果数为340C ，而从40位学生中任意抽取3位,其中恰有k 位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的结果数为32416k kC C -， 所以32416340()k kC C P k C ξ-==()0,1,2,3k =．ξ的可能取值为0、1、2、3．因为()032416340140247C C P C ξ===，()122416340721247C C P C ξ===， ()21241634055221235C C P C ξ===，()30241634025331235C C P C ξ===， 所以ξ的分布列为18．（本题满分12分）已知函数()()2xf x x ax a e -=++(2a ≤，)x R ∈，问：是否存在实数a ，使()f x 的极大值为3？若存在，则求出a 的值；若不存在，则说明理由． 解析：假设存在这样的实数a （2a ≤），则()()()22x f x x a x e -'=-+-，令()0f x '=，得0x =，或2x a =-，（2a ≤）（1）若2a =，则()20x f x x e -'=-<恒成立，显然不存在极大值；（2）若2a <，则函数()f x 有两个稳定点为0x =，2x a =-，且单调性表如下：极大值24f a a e -=-又令()()24a g a a e -=-（2a ≤），则()()23a g a a e -'=-， 显然当2a <时，有()0g a '>恒成立，即函数()g a 在区间(),2-∞上单调递增，且()()213g a g <=<，从而函数()f x 不可能取到极大值3，即这样的a （2a ≤）是不存在的．19．（本题满分13分）如图所示的几何体由斜三棱柱111ABC A B C -和222111A B C A B C -组成，且满足112211ABB A A B B A ≅、112211BCC B B C C B ≅、112211CAAC C A AC ≅．（1）证明：211AA AC ⊥； （2）证明：2AA ⊥面ABC ；（3）若1AB AC AA ==，90CAB ∠=，面1AA B ⊥面ABC ，问：侧棱1AA 和底面ABC 所成的角是多少度时，12AC ∥11BCC B？ 解析：（1）方法一：（几何法）取2AA 的中点T ，连接1A T 、1C T ，∵11CAA C ≅2211C A A C ，∴112112A A A A C A C A =⎧⎨=⎩，∴2121AA AT AA C T ⊥⎧⎨⊥⎩，若1A 、1C 、T 共线，易知211AA AC ⊥；若1A 、1C 、T 不共线，则2AA ⊥面11A C T ，从而211AA AC ⊥， 综上，211AA AC ⊥，得证． 方法二：（向量法）（2）同（1）理可证明211AA B C T ⊥面，又∵面11A C T 与面11B C T 过公共点T ，所以面11A C T 与面11B C T 重合，即面111A B C ∥面ABC ， ∴2AA ⊥面ABC ，得证．（3）由面1AA B ⊥面ABC ，且结合（2）2AA ⊥面ABC ，知：2A ∈面1A AB ，所以面1AA B 与面211A A B 是同一个平面， 而90CAB ∠=，即AC AB ⊥，所以以A 为原点，2,,AB AC AA 所在直线分别为,,x y z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 又侧棱1AA 与面ABC 所成的角即1A AB ∠，不妨设1A AB θ∠=02πθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，11AB AC AA ===，所以可计算得22sin AA θ=，所以各点坐标为：()0,0,0A ，()1,0,0B ，()0,1,0C ，()1cos ,0,sin A θθ，()20,0,2sin A θ，()20,1,2sin C θ，()11cos ,0,sin B θθ+，所以()12cos ,1,sin AC θθ=-，()1,1,0BC =-，()1cos ,0,sin BB θθ=， 又设平面11BCC B 的法向量为(),,n x y z =， 则100cos sin 00BC n x y x z BB n θθ⎧⋅=-+=⎧⎪⇒⎨⎨+=⋅=⎩⎪⎩，取1x =，则cos 1,1,sin n θθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 若12AC ∥面11BCC B ，则()12cos 0cos ,1,sin 1,1,0sin n AC θθθθ⎛⎫⋅=⇒--= ⎪⎝⎭cos 1cos 0θθ⇒-+-=， 12cos 1cos 2θθ⇒=⇒=，所以3πθ=． 即当侧棱1AA 与面ABC 所成的角为3π时，有12AC ∥11BCC B ．20．（本题满分13分）已知A 、B 是抛物线C ：22x py =（0p >）上两个动点，且OA OB ⊥，AB 的中点R 到直线20y x -=（1）求p 的值；（2）设Q 为抛物线C 的准线上任意一点，过Q 作抛物线C 的两条切线，切点分别为M 、N ，求证：直线MN 过定点．解析：（1）设()11,A x y 、()22,B x y 、AB 中点()00,R x y ，则1212120120022OA OB x x y y x x x y y y⊥⇒+=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，()()()2221212121122222212121212124422222x x py y x x px py x py x x p y y x x x x p y y ⎧=⇒=-⎫=⎪⎪⇒⎬⎨=+=+⇒+-=+⎪⎪⎭⎩， ∴22002x p py +=20012y x p p⇒=+，又AB 中点R 到直线20y x -=的距离为：d ==所以当0x p =时，min 2d p ==⇒=； （2）如图，24x y =，准线方程是1y =-，设(), 1Q x -，()33,M x y ，()44,N x yMQ l ：()22333332424x x x x y x x x =-+=-； NQ l ：()22444442424x x x x y x x x =-+=-， 由1y =-可得：342x x x +=，344x x =-， 又直线MN 的方程为MN l ：()343334y y y x x y x x -=-+-， 而233343423444444x y y y x x x x x y ⎧=-+⎪⇒=⎨-=⎪⎩， ∴()343334y y y x x y x x -=-+-2343431444x x x x x x x ++=-+3414x xx +=+， 即当0x =时，1y =，所以直线MN 恒过定点()0, 1，故得证．21．（本题满分13分）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：12n n S kS +=+．又12a =，21a =．（1）求k 的值；（2）求数列{}n na 的前n 项和n T ； （3）是否存在整数m 、n ，使112n n S m S m +-<-成立？若存在，则求出这样的正整数；若不存在，则说明理由．解析：（1）1211222n n S kS S kS k +=+⇒=+⇒=， （2）由（1）可得211112222n n n n n n S S a a a -++⎛⎫=+⇒=⇒= ⎪⎝⎭，所以212n n na n -⎛⎫= ⎪⎝⎭，又11211111232222n n T n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()012211111111231222222n n n T n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭错位相减可得：()21822n n T n -⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．（3）假设存在这样的m 、n ，使得112n n S m S m +-<-，即()132202n n S m S m +--<-，又由（1）11112222n n n n n S S S a S ++=+⇒+=+⇒14142n n S ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭， 所以111412n n S ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以由()132202n n S mS m +--<-6244022n nm m ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⇒--⋅--< ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦， 即得624422n nm -<<-， 当1n =时，2m =，上式显然成立， 当2n =时，3m =，也满足， 当2n >时，1244442n -<-<，且3644442n -<-<，此时可验证这样的正整数m 不存在， 故存在这样的正整数1,2n m ==或2,3n m ==满足题意．。

江苏省盐城中学高三年级第三次模拟考试数学试卷（2023.5）命题人：胥容华沈巍龑审题人：蔡广军试卷说明：本场考试时间120分钟，总分150分.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数i z i +=-331）（，其中i 为虚数单位，则=z （）A ．14B ．12C ．1D ．22.如图所示的Venn 图中，B A ，是非空集合，定义集合B A ⊗为阴影部分表示的集合，若{},4,,12|≤∈+==n N n n x x A {}765432，，，，，=B ，则=⊗B A （）{}6421.，，，A {}9642.，，，B {}765432.，，，，，C {}96421.，，，，D 3.已知公差不为零的等差数列{}n a 满足：2781a a a +=+，且248,,a a a 成等比数列，则2023a =（）A ．2023B ．2023-C ．0D ．120234.在△ABC 中4AB AC ⋅= ，2BC = ，且点D 满足BD DC = ，则||AD =（）B.C.D.325.已知函数f (x )的导函数3)(x x f ='，)2(),2(31(log 34432-===-f c f b f a ，则（）A ．a ＜b ＜cB ．b ＜c ＜aC ．b ＜a ＜cD ．a ＜c ＜b 6.甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为23，乙在每局中获胜的概率为13，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ的期望E ξ为（）A ．24181B ．26681C ．27481D ．6702437.设函数()f x 的定义域为R ，其导函数为()f x '，若()()()(),2223f x f x f x f x -=+'-='，则下列结论不一定正确的是（）A.()()113f x f x -++=B.()()22f x x f ''=+-C.()()()()11f f x f f x -='+' D.()()()()2ff x f f x ''+=8.已知B A ,是椭圆()222210x y a b a b+=>>与双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的公共顶点，P 是双曲线上一点，PA ，PB 交椭圆于M ，N .若MN 过椭圆的焦点F ，且tan 3AMB ∠=-，则双曲线的离心率为（）A ．2B ．3C D 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知(),,0,1a b c ∈，随机变量ξ的分布列为：（）ξ123Pabc则A ．()()2E E ξξ-=B ．()()2D D ξξ-=C ．()()22[]E E ξξ≥D ．()()22[2]D D ξξ-=10.已知曲线2:14x x C y +=，则（）A.曲线C 关于原点对称B.曲线C 上任意点P 满足1OP ≥（O 为坐标原点)C.曲线C 与2240x y -=有且仅有两个公共点D.曲线C 上有无数个整点（整点指横纵坐标均为整数的点）11.已知正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，H 为棱1AA （包含端点）上的动点，下列命题正确的是（）A ．BDCH ⊥B ．二面角C ABD --11的大小为3πC ．点H 到平面11CD B 距离的取值范围是332,33[D ．若⊥CH 平面β，则直线CD 与平面β所成角的正弦值的取值范围为]2233[，12.已知函数()(1)x f x x e =+，()(1)g x x lnx =+，则（）A ．函数()g x 在(0,)+∞上存在唯一极值点B ．)(x f '为函数)(x f 的导函数，若函数a x f x h -'=)()(有两个零点，则实数a 的取值范围是)1,11(2e -C ．若对任意0x >，不等式)(ln )(2x f ax f ≥恒成立，则实数a 的最小值为2eD ．若12()()(0)f x g x t t ==>，则12(1)lnt x x +的最大值为1e 三．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有____种．14.已知点）（y x P ,为圆5)1()2(:22=-+-y x C 上任意一点，且点P 到直线042:1=+-y x l 和02:2=+-m y x l 的距离之和与点P 的位置无关，则实数m 的取值范围是．15.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，2a =，34A π=，若b c λ+有最大值，则实数λ的取值范围是______．16.已知正四面体ABCD 的棱长为3，点E 满足AE AB λ=(01)λ<<，过点E 作平面α平行于AC 和BD ，设α分别与该正四面体的棱BC ，CD ，DA 相交于点F ，G ，H ，则四边形EFGH 的周长为______，四棱锥A EFGH -的体积的最大值为______．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知正项数列{a n }中，a 1＝1，S n 是其前n 项和，且满足S n ＋1＝(S n ＋S 1)2．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）已知数列{b n }满足111)1(+++-=n n n n n a a a b ，设数列{b n }的前n 项和为T n ，求T n 的最小值．18.如图，该几何体是由等高的半个圆柱和14个圆柱拼接而成，点G 为弧CD 的中点，且C ，E ，D ，G 四点共面．（1）证明：平面BDF ⊥平面BCG ；（2）若平面BDF 与平面ABG 所成二面角的余弦值为155，且线段AB 长度为2，求点G 到直线DF 的距离．19.如图，在平面四边形ABCD 中，2AB BC CD ===，23AD =．（1）若DB 平分ADC ∠，证明：A C π+=；（2）记ABD △与BCD △的面积分别为1S 和2S ，求2212S S +的最大值．20.2021年奥运会我国射击项目收获丰盛，在我国射击也是一项历史悠久的运动．某射击运动爱好者甲来到靶场练习．（1）已知用于射击打靶的某型号枪支弹夹中一共有)(*N k k ∈发子弹，甲每次打靶的命中率均为21，一旦出现子弹脱靶或者子弹打光便立即停止射击．记标靶上的子弹数量为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望；（2）若某种型号的枪支弹巢中一共可装填6发子弹，现有一枪支其中有m 发为实弹，其余均为空包弹，现规定：每次射击后，都需要在下一次射击之前填充一发空包弹，假设每次射击相互独立且均随机，在进行)(N n n ∈次射击后，记弹巢中空包弹的发数为n X ，①当*N n ∈时，请直接写出数学期望)(n X E 与)(1-n X E 的关系；②求出)(n X E 关于n 的表达式．21.已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点在圆E ：221x y +=上．（1）设点P 是双曲线2214y x -=左支上一动点，过点P 作抛物线C 的两条切线，切点分别为A ，B ，证明：直线AB 与圆E 相切；（2）设点T 是圆E 上在第一象限内且位于抛物线开口区域以内的一点，直线l 是圆E 在点T 处的切线，若直线l 与抛物线C 交于M ，N 两点，求TM TN ⋅的最大值．22.已知函数()e cos xf x x =，()()cos 0g x a x x a =+<，曲线()y g x =在6x π=处的切线的斜率为32．（1）求实数a 的值；（2）对任意的,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π，()()0tf x g x '-≥恒成立，求实数t 的取值范围；（3）设方程()()f x g x '=在区间()2,232n n n ππππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭∈+N 内的根从小到大依次为21x x 、、L 、n x 、L ，求证：12n n x x +->π．江苏省盐城中学高三年级第三次模拟考试数学答案（2023.5）一、单选题：CDAA CBCB8.【解析】如图，设00(,)P x y ，点,,P M A 共线，点,,P B N 共线，所在直线的斜率分别为,PA PB k k ，点P 在双曲线上，即2200221x y a b -=，有200200y y b x a x a a ⋅=-+，因此22PA PB b k k a⋅=，点11(,)M x y 在椭圆上，即2211221x y a b +=，有211211y y b x a x a a⋅=--+，直线,MA MB 的斜率,MA MB k k ，有22MA MB b k k a ⋅=-，即22PA MB b k k a⋅=-，于是MB PB BN k k k =-=-，即直线MB 与NB 关于x 轴对称，又椭圆也关于x 轴对称，且,M N 过焦点F ，则MN x ⊥轴，令(c,0)F ，由22221x c x yab =⎧⎪⎨+=⎪⎩得2||b y a =，显然222tan ac a ac AMF b b a++∠==，222tan a c a acBMF b b a--∠==，22222222222tan tan 2tan 31tan tan 1a ac a acAMF BMF a b b AMB a ac a ac AMF BMF b a b b +-+∠+∠∠====-+--∠⋅∠--⋅，解得2213b a =，所以双曲线的离心率22221231133a b b e a a +==+=+=.故选：B二、多选题：BC BC ACD BCD12.【解析】对于A:x xx g ln 11)(++='，21()x g x x -''=，令()0g x ''>，解得：1x >，令()0g x ''<，解得：01x <<，故()g x '在(0,1)递减，在(1,)+∞递增，故()min g x g '='（1）20=>，故()g x 在(0,)+∞递增，函数()g x 在(0,)+∞上无极值点，故A 错误；对于B ：函数ax f x h -=)()(/得到a x f =')(作出)(x f y '=的图象注意渐近线1=y B正确对于C：由A得：()f x在(0,)+∞递增，不等式)(ln)(2xfaxf≥恒成立，则2ln xax≥恒成立，故xxa ln2≥，设2()lnxh xx=，则22(1)()lnxh xx-'=，令()0h x'>，解得：0x e<<，令()0h x'<，解得：x e>，故()h x在(0,)e递增，在(,)e+∞递减，故()maxh x h=（e）2e=，故ea2≥，故C正确；对于D：若12()()(0)f xg x t t==>，则1122(1)(1)xx e x lnx t+=+=，t>，1x∴>，21x>，且12xx e=，12xx e=时，111121[(1)](1)(1)xxln x elntx x x e+=++，设11(1)xk x e=+，设()lnkg kk=，则21()lnkg kk-'=，令()0g k'>，解得：0k e<<，令()0g k'<，解得：k e>，故()g k在(0,)e递增，在(,)e+∞递减，故()maxg k g=（e）1e=，此时1122(1)(1)xe x e x lnx=+=+，故12(1)lntx x+的最大值是1e，故D正确；故选：．BCD三、填空题：2168-≤m22⎛⎝6，22315.【解析】由于34Aπ=，所以04Bπ<<，由正弦定理得223sin sin sin sin4b c aB C Aπ====，所以2sinb B=，2sinc C=，所以2sin2sin2sin2sin4b c B C B Bπλλλ⎛⎫+=+=+-⎪⎝⎭2sin 2cos sin (222B B B B B λλ⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭.当20λ=，即22λ=时，b c B λ+=，没有最大值，所以22λ≠，则sin()b c B λϕ+=+，其中tanϕ=要使b c λ+有最大值，则B ϕ+要能取2π，由于04B π<<，所以42ππϕ<<，所以tan 1ϕ>，即1,>，解得22λ<<.所以λ的取值范围是2⎛ ⎝.16.【解析】//AC 平面α，平面α 平面ABC EF =，平面α 平面ADC GH =则//AC EF ，//AC GH ，则//EF GH又//BD 平面α，平面α 平面ABD EH =，平面α 平面BDC GF =则//BD EH ，//BD GF ，则//EH GF 则四边形EFGH 为平行四边形.由AE AB λ=，可得:=AE AB λ，则:=HE DB λ，:=1EF AC λ-又正四面体ABCD 的棱长为3，则=3HE GF λ=，()=31EF GH λ=-四边形EFGH 的周长为()=23+316HE GF EF GH λλ⎡⎤+++-=⎣⎦.由AE AB λ=，MQ =可得点A 到平面EFGH 的距离为，又平行四边形EFGH 为矩形，则四棱锥A EFGH -的体积2133(1)(1)3V λλλ=⨯⨯-=-令2()(1)(01)f x x x =-<<，则()(23)f x x '=-由()0f x '>得203x <<，由()0f x '<，得213x <<则()f x 在20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在2,13⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，在23x =时取最大值222222()()(1)3333f =-=2(1)λ-的最大值为223四、解答题：17.【解析】（1）由题意可知11=-+n n S S ，则数列}{n S 为等差数列，可得2,n S n S n n ==，当2≥n 时，121-=-=-n S S a n n n ，当1=n 时也成立，所以12-=n a n ；（2）12)1(12)1([21)12)(12(2)1(1)1(1111+----=+--=+-=-+++nnnnnaaab nnnnnnnn，]121)1(1[211+-+=+nT nn，当n为奇数时211211(21>++=nTn，当n为偶数时)1211(21+-=nTn，单调递增，则522=≥TT n，则T n的最小值为52.18.【解析】（1）过G作//GH CB，交底面弧于H，连接HB，易知：HBCG为平行四边形，所以//HB CG，又G为弧CD的中点，则H是弧AB的中点，所以45HBA∠=︒，而由题设知：45ABF∠=︒，则90HBF HBA ABF∠=∠+∠=︒，所以FB HB⊥，即FB CG⊥，由CB⊥底面ABF，FB⊂面ABF，则CB⊥FB，又CB CG C⋂=，所以FB⊥面BCG，又FB⊂面BDF，所以面⊥BDF面BCG.（2）由题意，构建如下图示空间直角坐标系A xyz-，令半圆柱半径为r，高为h，则(0,2,0)B r，(2,0,0)F r，(0,0,)D h，(,,)G r r h-，所以(2,0,)FD r h=-，(0,2,)BD r h=-，(0,2,0)AB r=，(,,)AG r r h=-，若(,,)m x y z=是面BDF的一个法向量，则2020m FD rx hzm BD ry hz⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令2z r=，则(,,2)m h h r=，若(,,)n a b c=是面ABG的一个法向量，则20n AB rbn AG ra rb hc⎧⋅==⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，令c r=，则(,0,)n h r=，所以2215|cos,|||5||||m nm nm n⋅<>===，整理可得2222(4)(2)0h r h r-+=，则2h r=，由题设可知，此时点)0,0,2(),2,0,0(),2,1,1(FDG-，可求得26=d.19.【解析】（1）DB平分ADC∠，ADB CDB∴∠=∠，则cos cosADB CDB∠=∠，由余弦定理得：22222222AD BD AB CD BD BCAD BD CD BD+-+-=⋅⋅，即22444BD BD +-=，解得：)241BD =；2221244131cos22AD AB BD A AD AB+-+-==⋅ ，22244411cos 282CD BC BD C CD BC +-++-===⋅，cos cos A C ∴=-，又()0,A π∈，()0,C π∈，A C π∴+=方法二：由正弦定理可得CBDCDB BC A BD ADB AB sin sin ,sin sin =∠=∠，代入数据可得C A sin sin =，又两角不相等，故A C π∴+=（2）222222cos 2cos AB AD AB AD A BC BC CD C =+-⋅=-⋅，1688cos A C ∴-=-，整理可得：cos 1C A =-；2222221211sin sin 12sin 4sin 22S S AD AB A BC CD C A C⎛⎫⎛⎫+=⋅+⋅=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭)22221212cos 44cos 1612cos 41A C A A =-+-=---22324cos 1224cos 146A A A ⎛⎫=-++=--+ ⎪ ⎪⎝⎭，()0,A π∈ ，∴当cos 6A =时，2212S S +取得最大值，最大值为14.20.【解析】(1)由题意，X 的所有可能取值为k k ,1,,2,1,0- ，k m k X P k m m X P 21()(),1,,2,1,0)(211()21()(==-=-== ，所以X 的分布列为X 012…1-k kP212)21(3)21(…k )21(k )21(所以X 的数学期望为kkk k X E21()21)(1()21(2)21()(32+-+++= 化简可得kX E21(1)(-=.(2)①第n 次射击后，可能包含两种情况：第n 次射出空包弹或第n 次射出实弹，第n 次射击前，剩余空包弹的期望是)(1-n X E ，若第n 次射出空包弹，则此时对应的概率为6)(1-n X E ，因为射击后要填充一发空包弹，所以此时空包弹的数量为)(11)(11--=+-n n X E X E ，若第n 次射出实弹，则此时对应的概率为6)(11--n X E ，所以此时空包弹的数量为1)(1+-n X E ，综上，1)(65]1)(6)(1[)(6)()(11111+=+-+⋅=-----nnnnnnXEXEXEXEXEXE.②当0=n时，弹巢中有m-6发空包弹，则mXE-=6)(，由1)(65)(1+=-nnXEXE可得]6)([656)(1-=--nnXEXE，则)()65(6)(,)65)((6)(NnmXEmXE nnnn∈-=-=-.21.【解析】（1）抛物线C：()220y px p=>的焦点为,02p⎛⎫⎪⎝⎭，故可知122p p=⇒=，设00(,)P x y，PA的直线方程为()00x m y y x=-+，PB的直线方程为()00x n y y x=-+，m n≠，则()22000044440y xy my my xx m y y x⎧=⎪⇒-+-=⎨=-+⎪⎩，由于PA与抛物线相切，所以()2200001644400m my x m my x∆=--=⇒-+=，故方程的根为2y m=，将其代入抛物线方程得2x m=，故()2,2A m m，同理2000n ny x-+=,()2,2B n n，因此,m n是方程200x y x x-+=的两个根，故00,m n y mn x+==，直线AB的方程为()222222m ny x m mm n-=-+-，化简得()222y x m my=-+，圆心(0,0)到直线AB的距离为d=由于22014yx-=，200m my x=-，将其代入得212xd rx====，故直线AB与圆E相切（2）联立2222441021y x x x xx y⎧=⇒+-=⇒=-+⎨+=⎩，设(,)T a b，且满足221ab+=，21a-<<，则OTbka=，则MNakb=-，此时MN的直线方程为()ay x a bb=--+，联立直线MN与抛物线方程()22444y x by ya a ay x a bb⎧=⎪⇒+-=⎨=--+⎪⎩，设()()1122,,,M x y N x y,所以121244,by y y ya a+=-=-，高三年级第三次模拟考试进而222221212121222241,416y y y y a b x x x x a a +++====，()()1122,,,MT a x b y TN x a y b =--=-- ，因此()()()()22212121212121MT TN x a a x y b b y ax x x a ax by y y b by ⋅=--+--=--++--+ ()()22221122112222241441411a b b MT TN a x x x x b y y y y b a a b a a a aa a +⎛⎫⋅=+-++---=⨯-+-+-=-+ ⎪⎝⎭ 2125a ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，由于21a -<≤，当12a =时，12a =时MT TN ⋅ 取最大值5，由于T 是圆E 上在第一象限内且位于抛物线开口区域以内的一点，所以,M N 在T 的两侧，故MT TM N T T N =⋅⋅ ，故此时TM TN ⋅的最大值为5，22.【解析】（1）因为()()cos 0g x a x x a =+<，则()1sin g x a x '=-，由已知可得131622g a π⎛⎫'=-= ⎪⎝⎭，解得1a =-.（2）由（1）可知()1sin g x x '=+，对任意的,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π，()()0tf x g x '-≥恒成立，即e cos 1sin x t x x ≥+对任意的,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π恒成立，当2x π=-时，则有00≥对任意的R t ∈恒成立；当02x π-<≤时，cos 0x >，则1sin e cos x x t x +≥，令()1sin e cos x x h x x +=，其中02x π-<≤，()()()()()()222e cos e cos sin 1sin 1cos 1sin 0e cos e cos x x x x x x x x x x h x x x --+-+'==≥且()h x '不恒为零，故函数()h x 在,02π⎛⎤-⎥⎝⎦上单调递增，则()()max 01h x h ==，故1t ≥.综上所述，1t ≥.（3）证明：由()()f x g x '=可得e cos 1sin x x x =+，令()e cos sin 1x x x x ϕ=--，则()()e cos sin cos x x x x x ϕ'=--，因为()2,232x n n n ππππ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭∈+N ，则sin cos 0x x >>，所以，()0x ϕ'<，所以，函数()x ϕ在()2,232n n n ππππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭∈+N 上单调递减，因为2233132e cos 2sin 21e 133322n n n n n πππππππϕπππ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-+-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭试数学试题·第4页共4页23e31022ππ+≥-->，2202n πϕ⎛⎫+=-< ⎪⎝⎭，所以，存在唯一的()02,232x n n n ππππ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭∈+N ，使得()00x ϕ=，所以，()2,232n x n n n ππππ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭∈+N ，则()122,232n x n n n πππππ+⎛⎫-∈++∈ ⎪⎝⎭+N ，所以，()()()121112e cos 2sin 21n x n n n x x x πϕπππ+-+++-=----()()1111122211111e cos sin 1e cos e cos e e cos 0n n n n n x x x x x n n n n n n x x x x x x πππϕ+++++---+++++=--=-=-<=因为函数()x ϕ在()2,232n n n ππππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭∈+N 上单调递减，故12n n x x +-π>，即12n n x x +->π.。

安徽省蚌埠市2023届高三年级第三次教学质量检查考试数学试卷及参考答案本试卷满分150分，考试时间120分钟注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.设集合{}1,0,2,3,5A =-，{B x y ==，则A B = （）A.{}0,2 B.{}1,0,2,3- C.{}5 D.{}1,3,5-2.已知i 为虚数单位，复数z 满足()21i 2z -=，则2023z =（）A.1-B.1C.i- D.i3.已知tan 34πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan α=（）A.2- B.12-C.12D.24.直线:10l x my m ++-=与圆()()22:129C x y -+-=的位置关系是（）A.相交B.相切C.相离D.无法确定5.已知某地区中小学生人数如图①所示，为了解该地区中小学生的近视情况，卫生部门根据当地中小学生人数，用分层抽样的方法抽取了10%的学生进行调查，调查数据如图②所示，则估计该地区中小学生的平均近视率为（）A.50%B.32%C.30%D.27%6.若椭圆22:12x y C m +=的离心率为63，则椭圆C 的长轴长为（）A.6B.3或C.D.或7.函数()e 1cos e 1x xf x x -=⋅+的图象大致为（）8.在ABC △中，D 为BC 上一点，且3BD DC = ，ABC CAD ∠=∠，23BAD π∠=，则tan ABC ∠=（）A.13B.3C.3D.5二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项积为n T ，则下列结论正确的是（）A.数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列B.数列{}222n n S S +-是等差数列C.数列222n n T T +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列D.数列{}lg n T 是等差数列10.已知F 是抛物线24y x =的焦点，()11,A x y ，()22,B x y 是抛物线上相异两点，则以下结论正确的是（）A.若126x x +=，那么8AB =B.若3AF BF +=，则线段AB 的中点到y 轴的距离为12C.若FAB △是以F 为直角顶点的等腰三角形，则4AB =D.若2AF FB =，则直线AB 的斜率为±11.已知AB 为圆锥SO 底面圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A ，B 的一点，E 为SA 的中点，5SA =，圆锥SO 的侧面积为15π，则下列说法正确的是（）A.圆O 上存在点F 使EF ∥平面SBCB.圆O 上存在点F 使AF ⊥平面SBCC.圆锥SO 的外接球表面积为62532πD.的正四面体在圆锥SO 内可以任意转动12.已知1a b >>，则下列结论正确的是（）A.ea ba b-> B.()ln 1ln 1b a a b +>+C.()()log 1log 1a b a b +>+ D.b aa ab b>三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知()1,2a = ，()2,b m = ，()3a a b ⊥-，则m =______.14.已知()()3423401234212x x a a x a x a x a x --+=++++，则024a a a ++=______.15.已知实数0a b >>，且5a b -=，则1112a b++-的最小值为______.16.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，且当10x -≤≤时，()12x f x m +=-，则当01x <≤时，()f x =______；若对[]0,1x ∀∈都有21224f x tx ⎛⎫-++≥ ⎪⎝⎭，则实数t 的取值范围为______.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出说明文字、演算式、证明步骤.17.（本小题满分10分）某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团.为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男、女同学各100名进行调查，部分数据如表所示：喜欢足球不喜欢足球合计男生40女生30合计（1）根据所给数据完成上表，依据0.001α=的独立性检验，能否认为该校学生喜欢足球与性别有关？（2）社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范点球射门.已知这两名男生进球的概率均为23，这名女生进球的概率为12，每人射门一次，假设各人射门相互独立，求3人进球总次数X 的分布列和数学期望.附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++α0.10.050.010.0050.001x α2.7063.8416.6357.87910.82818.（本小题满分12分）已知函数()()21cos cos02f x x x x ωωωω=+->.（1）若1ω=，求函数()f x 的最小正周期；（2）若()y f x =图象在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭内有且仅有一条对称轴，求8f π⎛⎫⎪⎝⎭的取值范围.已知数列{}n a 满足11a =，2121n n a a +=+，2212n n a a -=.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设12111n nT a a a =+++ ，求证：23n T <.20.（本小题满分12分）如图，在四面体ABCD 中，G 为ABC △的重心，E ，F 分别在棱BC ，CD 上，平面ABD ∥平面EFG.（1）求DFCF的值；（2）若AB ⊥平面BCD ，DC CB ⊥，且3AB BC CD ===，求平面EFG 与平面ACD 的夹角的大小.已知A ，B 是双曲线22:14x E y -=的左、右顶点，M 为双曲线上与A ，B 不重合的点.（1）设直线MA ，MB 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k ⋅是定值；（2）设直线:1l x =与直线MA 交于点P ，l 与x 轴交于点S ，点Q 满足2QS SP =，直线BQ 与双曲线E 交于点N （与A ，B ，M 不重合）.判断直线MN 是否过定点，若直线MN过定点，求出该定点坐标；若直线MN 不过定点，请说明理由.22.（本小题满分12分）已知函数()e 1xf x =-，()()lng x x a =+，a ∈R .（1）若1a =，求证：()()f x g x ≥；（2）若函数()f x 与函数()g x 存在两条公切线，求实数a 的取值范围.参考答案一、单选题12345678BCCADDAD二、多选题9101112ABCBCDADAD三、填空题13.61-；14.54-；15.21；16.221+--x（2分）；⎥⎦⎤⎢⎣⎡81381，（3分）.四、解答题17.解：（1）2×2列联表如下：喜欢足球不喜欢足球合计男生6040100女生3070100合计90110200假设为0H ：该校学生喜欢足球与性别无关联.根据列联表中的数据，经计算得到()001.022828.101801821109010010030407060200x =>≈⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=χ根据小概率值001.0=α的独立性检验，推断0H 不成立，即认为该校学生喜欢足球与性别有关.（2）依题意X 的所有可能取值为0，1,2,3，()181213102=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛==X P ，()18531212131321212=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯⨯⨯==C X P ，()9421322131322212=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⨯⨯==C X P ，()92213232=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛==X P .X 的分布列如下：X 0123P1811859492∴X 的数学期望()61192394218511810=⨯+⨯+⨯+⨯=X E .18.解：(1)∵()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=-+=62sin 2cos 212sin 2321cos cos sin 32πωωωωωωx x x x x x x f ∴函数()x f 的最小正周期πωπ==22T .（2）由⎪⎭⎫ ⎝⎛+∈+62,662πωπππωx ，∴函数()x f 的图象在⎪⎭⎫⎝⎛40π，内有且仅有一条对称轴，∴23622ππωππ≤+<，即3832≤<ω，∴65643ππωππ≤+<，∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛1,2164sin 8πωππf .19.解：（1）由题意12112212+=+=-+n n n a a a ，∴()1211212+=+-+n n a a ，∵0211≠=+a ，∴数列{}112+-n a 是首项为2，公比为2的等比数列，∴nn a 2112=+-，即1212-=-nn a ，而2221122-==+-n n n a a ，∴⎪⎩⎪⎨⎧--=++为偶数为奇数n n a n n n ,22,121221.（2）由（1）()()∑∑∑=++==----=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n i i i i n i i ni i i na a T 111112122121212231212311()()()()∑∑=+=++--=--<ni i ii n i i i i 1111112122312122233121131211213111<⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛---=+=+∑n ni i i .20.解：（1）延长CG 交AB 于点H ，连接DH CH ，，∵G 为ABC ∆的重心，∴H 为AB 的中点，且32=CH CG ，∵平面ABD ∥平面EFG ，平面ABD ∩平面DH DCH =，平面EFG ∩平面FGDCH =∴DH FG ∥，∴32==CH CG CD CF ，∴21=CF DF .（2）∵AB ⊥平面BCD ，BCD CD BC 平面，⊂，∴BC AB ⊥，CD AB ⊥，∵ABC AB BC B AB BC AB CD CB CD 平面，，，⊂=⋂⊥⊥,，∴ABC CD 平面⊥.如图，以BA 为x 轴，BC 为y 轴，过B 与CD 平行的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，由（1）同理可得BD EF ∥，则32==CB CE CD CF ，∴()()()010230003，，，，，，，，E F A ，()()()330030011，，，，，，，，D C G ，∴()()()3,0,00,0,1221=-=-=CD GE GF ，，，，，()033，，-=CA .设平面EFG 的一个法向量为()c b a m ,,=，则⎪⎩⎪⎨⎧=-=⋅=++-=⋅0022a GE m c b a GF m ，令1=b ，则10-==c a ，，则()1,1,0-=m ，设平面ACD 的一个法向量为()z y x n ,,=，则⎪⎩⎪⎨⎧=-=⋅==⋅03303y x CA n z CD n ，令1=x ，则1=y ，0=z ，则()0,1,1=n ，设平面EFG 与平面ACD 的夹角为θ，则21221cos =⨯==n m θ，∴平面EFG 与平面ACD 的夹角的大小为3π.21.解：（1）设()11,y x M ，由题意()()0202，，，B A -，且142121=-y x ，∴4141442221212121111121=--=-=-⋅+=x x x y x y x y k k .（2）设()11,y x M ，()22,y x N ，()t P ,1，BN 的斜率为3k ，由SP QS 2=知：()t Q 2,1-，∴()612122131=----==t tk k k k BQAP.由（1）知：4121=k k ，∴2332=k k.设()2,2,0:≠±≠≠+=n m m n my x MN ……①双曲线1422=-y x E ：……②联立①②得：()0424222=-++-n mny y m ，44422221221---=--=+m n y y m mn y y ，∴()()2322222121221132=-+-+=-⋅-=n my n my y y x y x y k k ，即()()()()0232323221212=-++-+-n y y n m y y m ，整理得710=n ，故直线MN 过定点⎪⎭⎫⎝⎛0710.22.解：（1）令()()x x f x F -=，则()001>⇒>-='x e x F x，∴()x F 在()0，∞-上单调递减，在()∞+，0上单调递增，∴()()00=≥F x F ，∴()x e x f x≥-=1，当且仅当0=x 时，等号成立，∴()()()1ln 1ln +≥=+x x x f ，当且仅当0=x 时，等号成立，即()()x g x x f ≥≥，当且仅当0=x 时，等号成立.（2）设()x f 与()x g 的公切线为l ，直线l 与()x f 和()x g 分别切于点()1,11-x ex A 和点()()a x x B +22ln ,，易知()x e x f ='，()ax x g +='1，由题意知，公切线()1:111-+-=xx e x x ey l ，()()a x x x ax y ++-+=222ln 1，∴()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-+=--+=a x x a x e x a x e x x 22212ln 11111，即()()()⎪⎩⎪⎨⎧+++=-+-=a x a a x e x a x x x 22121ln 1ln 1.()()ax aa x a x a x +++=+++2222ln ln 1，即()()01ln 122=-++-+a a x a x .令()()1ln 1-+-=a u u u G ，则()u G 在()∞+，0上存在两个零点.11∵()u u u u G 1ln -+='，()0112>+=''uu u G ，∴()u G '在()∞+，0上单调递增，又∵()01='G ，∴()u G 在()1,0上单调递减，在()∞+，1上单调递增.1°若1>a ，则()()011>-=≥a G u G ，∴()u G 在()∞+，0上没有零点.2°若1=a ，则()()01=≥G u G ，当且仅当1=u 时，等号成立.∴()u G 在()∞+，0上有且只有一个零点.3°若1<a ，令320-=a e u ，则21100<<<e u ，且0ln 0<u ，∴()()02112321ln 211ln 10000>=-+--=-+->-+-=a q a u a u u u G ，()011<-=a G ，()()()01ln 11ln 11ln 111111=-+>-++>-++=+-----a e a e a e e e G a a a a a ，∴()u G 在()∞+，0上存在两个零点.综上所述：1<a .。

山东省实验中学2024届高三第三次诊断考试数学试题注意事项：1．答卷前，先将自己的考生号等信息填写在试卷和答题纸上，并在答题纸规定位置贴条形2．本试卷满分150分，分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为第1页至第3页，第Ⅱ卷为第3页至第4页．3．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．4．非选择题的作答：用0.m 加黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．第Ⅰ卷（共60分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}220M x x x =--<，{210}N x x =∈+>Z ，则M N ⋂=（）A. 13,22⎛⎤-⎥⎝⎦ B. 1,12⎛⎤-⎥⎝⎦C. {0,1,2}D. {0,1}【答案】D 【解析】【分析】化简集合M,N ，根据交集运算得解.【详解】因为{}220{12}M x x x x x =--<=-<<，12N x x ⎧⎫=∈>-⎨⎬⎩⎭Z ，所以{0,1}M N ⋂=．故选：D ．2. 已知复数z 满足()12i 32i z +=-，则复数z 的实部为（ ）A.85B. 85-C.15D. 15-【答案】D 【解析】【分析】根据复数的除法运算求出复数z ，即可得答案.【详解】由()12i 32i z +=-可得()32i (12i)32i 18i 18i 12i 5555z -----====--+，故复数z 的实部为15-，故选：D3. 数列{}n a 满足21n n a a +=，*n ∈N ，则“12a =”是“{}n a 为单调递增数列”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断.【详解】解：由()2110n n n n n n a a a a a a +-=-=->，解得0n a <或1n a >，所以“12a =”是“{}n a 为单调递增数列”的充分不必要条件，故选：A4. 把一个正方体各面上均涂上颜色，并将各棱三等分，然后沿等分线把正方体切开．若从所得的小正方体中任取一个，恰好抽到2个面有颜色的小正方体的概率为（ ）A.29B.827C.49D.12【答案】C 【解析】【分析】根据古典概型概率计算公式求得正确答案.【详解】一共有33327⨯⨯=个小正方体，其中2个面有颜色的小正方体有12个，（每条棱上有1个）所以恰好抽到2个面有颜色小正方体的概率为124279=.故选：C5. 如图在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 的中点. 设点P 在线段1CC 上，直线OP 与平面1A BD 所成的角为α，则sin α的取值范围是的A.B.C.D.【答案】B 【解析】【详解】设正方体的棱长为1，则11111AC AC AO OC OC======所以11111cos,sin3A OC A OC∠==∠=11cos A OC A OC∠==∠=又直线与平面所成的角小于等于90 ，而1A OC∠为钝角，所以sinα的范围为，选B.【考点定位】空间直线与平面所成的角.6. 如图，1F､2F是双曲线C：()222210,0x ya ba b-=>>的左､右焦点，过2F的直线与双曲线C交于A､B两点.若A是2BF中点且12BF BF⊥则该双曲线的渐近线方程为（）A. y=±B. y=±C. y =D. y =【答案】A 【解析】【分析】设2AB AF m ==，利用双曲线的定义得121222,222AF AF a m a BF BF a m a =+=+=-=-，再利用勾股定理建立方程组，消去m ,得到2213a c =，进而得到b a的值，由by x a =±得到双曲线的渐近线方程.【详解】设21212,22,222AB AF m AF AF a m a BF BF a m a ===+=+=-=-， 222222111212,BF BA AF BF BF F F +=+=,()()222222m a m m a -+=+①，()2222244m a m c -+=②,由①可得3,m a =代入②式化简得：2213a c =,∴2212a b =,∴ba=,所以双曲线的渐近线方程为by x a=±=±.故选：A【点睛】本题考查双曲线的定义、渐近线方程，解题时要注意如果题干出现焦半径，一般会用到双曲线的定义.7. 已知函数()()3222,1131122,1326ax x f x x ax a x x -≤⎧⎪=⎨-++->⎪⎩，若对任意12x x <都有()()121222f x f x x x -<-，则实数a 的取值范围是（ ）A. (),2-∞-B. [)1,+∞ C. 12,2⎛⎤- ⎥⎝⎦D.3,4⎛⎤-∞-⎥⎝⎦【答案】A 【解析】【分析】转化为任意12x x <都有()()112222f x x f x x -<-，令 ()()2g x f x x =-，得到 ()g x 在R 上递增求解.【详解】解：因为若对任意12x x <都有()()121222f x f x x x -<-，所以对任意12x x <都有()()112222f x x f x x -<-，令 ()()2g x f x x =-，则 ()g x 在R 上递增，当1x ≤时， ()()22g x a x =-+，则20a +<，即 2a <-成立；当1x >时， ()322213112326g x x ax a x =-+-，则 ()2232g x x ax a '=-+，当312a ≤，即23a ≤时，()211320g a a '=-+≥，解得 12a ≤；当312a >，即23a >时， 231024a g a ⎛⎫'=-≥ ⎪⎝⎭，无解；又()21311222326a a a -+≤-+-，即2430a a --≥，解得34a ≤-或1a ≥，综上：2a <-，故选：A.8. 棱长为2的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则这些小球的最大半径为（ ）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】先求出正四面体的体积及表面积，利用A BCD O BCD O ABC O ACD O ABD V V V V V -----=+++求出内切球的半径，再通过11AO O HAO OF=求出空隙处球的最大半径即可.【详解】由题，当球和正四面体A BCD -的三个侧面以及内切球都相切时半径最大，设内切球的球心为O ，半径为R ，空隙处最大球的球心为1O ，半径为r ，G 为BCD △的中心，得AG ⊥平面BCD ，E 为CD 中点，球O 和球1O 分别和平面ACD 相切于F ，H ，在底面正三角形BCD 中，易求BE =，23BG BE ==AG∴===，又4ABC ABD ACD BCDS S S S=====，由A BCD O BCD O ABC O ACD O ABDV V V V V-----=+++，即得3A BCDBCD ABC ABD ACDVRS S S S-=+++，又13A BCDV-==，R∴==，AO AG GO=-==，12AO AG R r r r=--=-=-，又1AHO AFO，可得11AO O HAO OF=即r=.故选：C.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 一组数据1220231232023(),,,a a a a a a a⋯<<<⋯<，记其中位数为k，均值为m，标准差为1s，由其得到新数据123202321,21,21,,21a a a a+++⋯+的标准差为2s，下列结论正确的是（）A. 1012k a= B.10111012a m a<< C. m k≥ D. 212s s=【答案】AD【解析】【分析】利用中位数的定义可判断A选项；举反例可判断B选项C；利用均值和方差公式可判断D选项.【详解】对于A选项，因1232023a a a a<<<<，样本数据最中间项为1012a ，由中位数的定义可知，1012k a =，A 正确；对于B ，不妨令n a n =()820231,2,,2022,100n a =⋯=，则81012122022100122023101220232023m a +++++++=>== ，B 错误；对于C ，不妨令n a n =()20231,2,,2022,12022.n a =⋯=，则10121220222022.11220222023101220232023m k a ++++++===<= ，C 错误；对于D ，数据123202421,21,21,,21a a a a ++++ 的均值为：()202420241121212120242024iii i a a m ==+=+=+∑∑，其方差为122s s ===，D 对.故选：AD 10. 已知函数()()12πsin 0,,,2f x x x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭为()f x 的两个极值点，且12x x -的最小值为π2，直线π3x =为()f x 图象的一条对称轴，将()f x 的图象向右平移π12个单位长度后得到函数()g x 的图象，下列结论正确的是（ ）A. 4ω= B.π6ϕ=-C. ()f x 在间π,06⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 D. ()g x 图象关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称【答案】BCD 【解析】【分析】由题意可得π22T =，即可求出ω，再根据正弦函数的对称性即可求出ϕ，根据正弦函数的单调性和对称性即可判断CD .【详解】因为12,x x 为()f x 的两个极值点，且12x x -的最小值为π2，的所以π2π222T ω==，所以2ω=，故A 错误；则()()sin 2f x x ϕ=+，又直线π3x =为()f x 图象的一条对称轴，所以2πππ32k ϕ+=+，所以ππ,Z 6k k ϕ=-+∈，又π2ϕ<，所以π6ϕ=-，故B 正确；所以()πsin 26f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，由π,06x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，得πππ2,626x ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，所以()f x 在间π,06⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，故C 正确；将()f x 的图象向右平移π12个单位长度后得到函数()g x 的图象，则()πππsin 2sin 21263g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因为πππsin 0633g ⎛⎫⎛⎫=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()g x 图象关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称，故D 正确.故选：BCD .11. 已知函数()()2sin π,0212,22x x f x f x x ≤≤⎧⎪=⎨->⎪⎩，下列说正确的是（ ）A. 当[]()*2,22x n n n ∈+∈N 时，()()1sin π22nf x x n =-B. 函数()f x 在()*12,22n n n ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦N 上单调递增C. 方程()()lg 2f x x =+有4个相异实根D. 若关于x 的不等式()()2f x k x ≤-在[]2,4恒成立，则1k ≥【答案】BC【解析】【分析】A 、B 项利用函数的周期性和单调性求解；C 项，利用函数图象交点解决方程根的问题；D 项，利用切线性质解决不等式问题.【详解】A 项，()()2sin π,0212,22x x f x f x x ≤≤⎧⎪=⎨->⎪⎩，表示当[]0,2x ∈时，()f x 向右平移2个单位长度时，y 值变为原来的12倍，所以当[]()*2,22x n n n ∈+∈N ，()()11sin π22n f x x n -=-，A 项错误；B 项，当[]0,2x ∈时，()2sin πf x x =，增区间为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦和3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，当[]2,4x ∈时，增区间为52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦和7,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦，同理可得，所以()f x 在()*12,22n n n ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦N 上单调递增，B 项正确；C 项，如图所示，()y f x =与()()lg 2g x x =+的图象，满足5522f g ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，9922f g ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，两图象共有4个交点，所以方程()()lg 2f x x =+有4个相异实根，C 项正确；D 项，当[]2,4x ∈时，()()sin π2f x x =-，所以()()()()2sin π22f x k x x k x ≤--≤-⇒，当两函数相切时，k 有最小值，()()πcos π2f x x '=-，所以()2πf '=，所以πk ≥，D 项错误.故选：BC.12. 圆柱1OO 高为1，下底面圆O 的直径AB 长为2，1BB 是圆柱1OO 的一条母线，点,P Q 分别在上、下底面内（包含边界），下列说法正确的有（ ）．A. 若+=PA PB 3，则P 点的轨迹为圆B. 若直线OP 与直线1OB 成45︒，则P 的轨迹是抛物线的一部分C. 存在唯一的一组点,P Q ，使得AP PQ ⊥D. 1AP PQ QB ++的取值范围是【答案】BC 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用两点间距离公式以及向量夹角公式列式计算可得点P 的轨迹方程判断选项A 和选项B ，假设AP PQ ⊥，根据勾股定理列式结合均值不等式计算最值，即可判断选项C ，计算1AP PQ QB ++的最大值3AP 判断选项D.【详解】对B ，如图，不妨以O 为原点，以AB 的垂直平分线，1,OA OO 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0,(0,1,0),(0,1,0)OA B -，()10,1,1B -，设(),,1P x y ，则()()10,1,1,,,1OB OP x y =-=，=212y x =-，由于P 点在上底面内，所以P 的轨迹是抛物线的一部分，故B 正确；对A ， 3PA PB +=+=，化简得22119420x y +=，即P 点的轨迹为椭圆，故A 错误；对C ，设点P 在下平面投影为1P ，若AP PQ ⊥，则222AP PQ AQ +=，则222221111AP PQ AQ +++=，当1P 在线段AQ 上时，2211AP PQ +可取最小值，由均值不等式，222211242AQ AQ AP PQ +≥⨯=，当且仅当112AQ AP PQ ==时等号成立，所以2222112()2AQ AQ AP PQ =-+≤，即24AQ ≥，而点Q 只有在与点B 重合时，2A Q 才能取到4，此时点B 与点Q 重合，点P 与点1O 重合，故C 正确；对D ，当点P 与点1B ，点A 与点Q 重合，1AP PQ QB ++的值为3AP ==>，故D 错误.故选：BC【点睛】判断本题选项B 时，利用定义法计算线线所成的角不好计算时，可通过建立空间直角坐标系，利用向量夹角的计算公式列式计算.第Ⅱ卷（共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知点()1,1A -，()3,B y ，向量()1,2a = ，若AB 与a 成锐角，则y 的取值范围为________．【答案】(1,9)(9,)-+∞ 【解析】【分析】根据向量夹角为锐角利用数量积求解.【详解】因为(4,1)AB y =- ，()1,2a = ，AB 与a成锐角，的所以422220AB a y y ⋅=+-=+> ，解得1y >-，当AB 与a 同向时，(4,1)(1,2)(0)y λλ-=>，即412y λλ=⎧⎨-=⎩，解得9y =，此时满足0AB a ⋅> ，但AB 与a 所成角为0，不满足题意，综上，AB 与a 成锐角时，y 的取值范围为(1,9)(9,)-+∞ .故答案为：(1,9)(9,)-+∞ 14. 如果圆台的上底面半径为5，下底面半径为R ，中截面（与上、下底面平行且等距的平面）把圆台分为上、下两个部分，其侧面积的比为1:2，则R =_______．【答案】25【解析】【分析】中截面把圆台分为上、下两个圆台，则两个圆台的侧高相等，且中截面半径等于两底面半径和的一半，根据中截面把圆台分为上、下两个圆台的侧面积的比为1:2，我们易构造出关于R 的方程，解方程即可求出R 的值．【详解】设中截面的半径为r ，则52R r +=①，记中截面把圆台分为上、下两个圆台的侧面积分别为1S 、2S ，母线长均为l ，1 2 π(),π()S r l S R r l =+=+5，又 1 2 ::S S =12 ，(5):()1:2r R r ∴++=②，将①代入②整理得：25R =.故答案为：2515. 若关于x 的不等式()221e x x ax ≥+在()0,∞+恒成立，则实数a 的取值范围是______．【答案】(],2e -∞【解析】【分析】利用分离参数法，通过构造函数以及利用导数来求得a 的取值范围.【详解】依题意，不等式()221e x x ax ≥+()0,∞+恒成立，在即()221e x x a x +≤在()0,∞+恒成立，设()()()221e 0xx f x x x +=>，()()()23333312211e e e x x x x x x x x x x f x x x x -+++--+==='-，其中232e 0x x x x++>，所以()f x 在区间()0,1上，()()0,f x f x '<单调递减；在区间()1,+∞上，()()0,f x f x '>单调递增，所以()()12e f x f ≥=，所以2e a ≤，所以a 的取值范围是(],2e -∞.故答案为：(],2e -∞16. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，过C 中心的直线交C 于M ，N 两点，点P 在x 轴上其横坐标是点M 横坐标的3倍，直线NP 交C 于点Q ，若直线QM 恰好是以MN 为直径的圆的切线，则C 的离心率为_________．【解析】【分析】利用三条直线的斜率关系，结合点差法可得.【详解】设()11,M x y ，()22,Q x y ，则()11,N x y --，()13,0P x ，设1k 、2k 、3k ，分别为直线MN 、QM 、NP 的斜率，则111y k x =，21221y y k x x -=-，()113111101344y y k k x x x +===--，因直线QM 是以MN 为直径的圆的切线所以QM MN ⊥，121k k =-，所以2314k k =-，又Q 在直线NP 上，所以21321y y k x x +=+，因M 、Q 在()222210x y a b a b+=>>上，所以2211221x y a b +=，2222221x y a b+=，两式相减得22221212220x x y y a b --+=，整理得2212122121y y y y b x x x x a+-⋅=-+-，故223214b k k a =-=-，即2214b a =，222131144b e a =-=-=，故e =四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()()()sin sin sin sin C B c b a A B +-=-．（1）求角C 的大小（2）若ACB ∠的平分线交AB 于点D ，且2CD =，2AD DB =，求ABC 的面积．【答案】（1）π3C = （2【解析】【分析】（1）由(sin sin )()(sin sin )C B c b a A B +-=-，利用正弦定理转化为222a b c ab +-=，再利用余弦定理求解；（2）方法一 根据CD 平分ACB ∠，且2AD DB =，利用角平分线定理得到2b a =，23AD c =，13BD c =，再由1cos 2C =，cos ACD ∠=，求得边长，再利用三角形面积公式求解. 方法二根据 CD 平分ACB ∠，且2AD DB =，得到2b a =，然后由+= ACD BCD ABC S S S ，求得边a ，再利用三角形面积公式求解.【小问1详解】解：由(sin sin )()(sin sin )C B c b a A B +-=-及正弦定理，得()()()c b c b a a b +-=-，即222a b c ab +-=，所以2221cos 22a b c C ab +-==．因为(0,π)C ∈，所以π3C =．【小问2详解】方法一 因为CD 平分ACB ∠，且2AD DB =，所以由角平分线定理，得2CA AD CB DB ==，则有2b a =，23AD c =，13BD c =．由222214cos 24a a c C a +-==，得c =．又224449cos 8a c ACD a+-∠==，将c =代入，可得a =a =当a =时，32c =，则122DB CB +=+<，故舍去，所以a =所以11sin 22ABC S ab C ===△方法二 因为CD 平分ACB ∠，且2AD DB =，所以2CA AD CB DB==，则有2b a =．因为+= ACD BCD ABC S S S ，所以1π1π1π2sin 2sin sin 262623b a ab ⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=，则有232a =，所以a =所以21πsin 23ABC S ab ===△18. 如图，三棱锥–S ABC 的底面ABC 和侧面SBC 都是等边三角形，且平面SBC ⊥平面ABC ，点P 在侧棱SA 上．（1）当P 为侧棱SA 的中点时，求证：SA ⊥平面PBC ；（2）若二面角P BC A ––的大小为60°，求PA SA的值．【答案】（1）证明见解析；（2）PA SA =.【解析】【分析】（1）通过证明SA BP ⊥和SA CP ⊥即可得证；（2）取BC 的中点O ，连接SO ，AO ，以点O 为坐标原点，OB ，AO ，OS 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法建立关系可求解.【详解】（1）证明：因为ABC 为等边三角形，所以AB AC BC ==.因为SBC △为等边三角形，所以SB SC BC ==，所以AB SB =，AC SC =.在等腰BAS △和等腰CAS △中，因为P 为SA 的中点，所以SA BP ⊥，SA CP ⊥.又因为BP CP P = ，BP ，CP ⊂平面PBC ，所以SA ⊥平面PBC .（2）如图，取BC 的中点O ，连接SO ，AO ，则在等边ABC 和等边SBC △中，有BC AO ⊥，BC SO ⊥，所以AOS ∠为二面角S BC A --的平面角.因为平面SBC ⊥平面ABC ，所以90AOS ∠=︒，即AO SO ⊥.所以OA ，OB ，OS 两两垂直.以点O 为坐标原点，OB ，AO ，OS 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.设AB a =，则0,,0A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，1,0,02B a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,0,02C a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，S ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.因为P 在SA 上，设AP AS λ=()01λ<<，()0,,P y z ，则0,,AP y z ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭，AS ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，解得)1y a λ=-，z a =，即)1P a a λ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.显然平面ABC 的一个法向量(0,0,1)n = .设平面PBC 的一个法向量为()111,,m x y z = ，因为)112BP a a a λ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭ ，(),0,0CB a = .所以00m BP m CB ⎧⋅=⎨⋅=⎩ ，即()111010x y z λλ=⎧⎨-+=⎩，令1y λ=，则11z λ=-，所以()0,,1m λλ=- .因为二面角P BC A --的大小为60°，所以cos ,cos 60m n m n m n ⋅〈〉===︒，所以22630λλ-+=.又01λ<<，解得λ=，即PA SA =【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查向量法求空间中线段比例，属于中档题.19. 已知在数列{}n a 中，()()*11211,n n n a a a n n ++==⋅∈N （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 的通项公式n n a b n=在k b 和1k b +之间插入k 个数，使这2k +个数组成等差数列，将插入的k 个数之和记为k c ，其中1k =，2，…，n ，求数列{}n c 的前n 项和．【答案】（1）()1*2n na n n -=⋅∈N （2）()31212n n T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦【解析】【分析】（1）方法1：根据递推关系式，先变形；再采用累积法求数列通项公式；方法2：根据递推关系式，先构造出等比数列，再求数列通项公式.（2）先求出数列{}n c 的通项公式，再根据通项公式的特点利用错位相减法求前n 项和.【小问1详解】方法1：()()*121n n n a a n n++=⋅∈N ，∴()121n n n a a n ++=，∴当2n ≥时，132112112232121n n n n n n n a a a a a a a n a ---⨯⋅⨯⨯⨯==-=⋅⋅⋅ ∴12,2n n a n n -=⋅≥又 1n =也适合上式，∴()1*2n na n n -=⋅∈N ；方法2：∵()()*121n n n a a n n ++=⋅∈N ，∴121n n a a n n +=+，又111a =，故0n a n≠，∴n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为公比为2，首项为1的等比数列．∴12n n a n -=，∴()1*2n n a n n -=⋅∈N ．【小问2详解】 ()1*2n n a n n -=⋅∈N ，n n a b n =，∴12n n b -=.由题知，()()1112232222k k k k k k k b b k c k -+-++===⋅设数列{}n c 的前n 项和为n T ﹐则()012213333312223212222222n n n T n n --=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++-⋅+⋅ ()123133333212223212222222n nn T n n -=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++-⋅+⋅ 所以012213333331222222222222n n nn T n ---=⨯⨯+⨯+⨯++⨯+⨯-⋅ ()021********n n n -=⋅-⋅-()31122n n ⎡⎤=-+-⋅⎣⎦，故()31212n n T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦.20. 某中学有A ，B 两个餐厅为老师与学生们提供午餐与晚餐服务，王同学、张老师两人每天午餐和晚餐都在学校就餐，近一个月（30天）选择餐厅就餐情况统计如下：选择餐厅情况（午餐，晚餐）(),A A (),A B (),B A (),B B 王同学9天6天12天3天张老师6天6天6天12天假设王同学、张老师选择餐厅相互独立，用频率估计概率．（1）估计一天中王同学午餐和晚餐选择不同餐厅就餐的概率；（2）记X 为王同学、张老师在一天中就餐餐厅的个数，求X 的分布列和数学期望()E X ；（3）假设M 表示事件“A 餐厅推出优惠套餐”，N 表示事件“某学生去A 餐厅就餐”，()0P M >，已知推出优惠套餐的情况下学生去该餐厅就餐的概率会比不推出优惠套餐的情况下去该餐厅就餐的概率要大，证明．()()РP M N M N >．【答案】（1）0.6 （2）分布列见解析，1.9（3）证明见解析【解析】【分析】（1）由频率估计概率，按古典概型进行求解；（2）先确定随机变量的可能取值，再求出各值所对应的概率，列出分布列，根据期望的定义求期望；（3）用条件概率公式进行推理证明.【详解】（1）设事件C 为“一天中王同学午餐和晚餐选择不同餐厅就餐”，因为30天中王同学午餐和晚餐选择不同餐厅就餐的天数为61218+=，所以()180.630P C ==．（2）记X 为王同学、张老师在一天中就餐餐厅的个数，则X 的所有可能取值为1和2，所以()10.30.20.10.40.1P X ==⨯+⨯=，()()2110.9P X P X ==-==，所以X 的分布列为所以X 的数学期望()10.120.9 1.9E X =⨯+⨯=．（3）由题知()()|P N M P N M >，所以()()()()()()()1P NM P NM P N P NM P M P M P M ->=-所以()()()P NM P N P M >⋅，所以()()()()()()()P NM P N P NM P N P M P N P NM ->⋅-，即()()()()P NM P N P N P NM ⋅>⋅，所以()()()()P NM P NM P N P N >，即()()||P M N P M N >21. 已知函数()ln f x x =，()xg x e =．（1）若函数()()11x x f x x ϕ+=--，求函数()x ϕ的单调区间；（2）设直线l 为函数()f x 的图象上一点()()00,A x f x 处的切线．证明：在区间()1,+∞上存在唯一的0x ，使得直线l 与曲线()y g x =相切．【答案】（1）增区间()0,1和()1,+∞；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）求得函数()y x ϕ=定义域和导数，分析导数的符号变化，即可得出函数()y x ϕ=的单调递增区间和递减区间；（2）求得直线l 的方程为001ln 1y x x x =+-，设直线l 与函数()y g x =相切于点()(),t g t ，可得出0ln t x =-，进而可将直线l 的方程表示为0001ln 1x y x x x +=+，可得0001ln 1x x x +=-，然后利用（1）中的函数()1ln 1x x x x ϕ+=--在区间()1,+∞上的单调性结合零点存在定理可证得结论成立.【详解】（1）()()11ln 11x x x f x x x x ϕ++=-=---，定义域为()()0,11,+∞ ，()()()222121011x x x x x x ϕ+'=+=>--，所以，函数()y x ϕ=的单调递增区间为()0,1，()1,+∞；（2）()ln f x x =Q ，()001f x x '∴=，所以，直线l 的方程为()0001ln y x x x x -=-，即001ln 1y x x x =+-，()x g x e = ，则()x g x e '=，设直线l 与函数()y g x =相切于点()(),t g t ，则()01t g t e x '==，得0ln t x =-，则切点坐标为001ln ,x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以，直线l 的方程可表示为()00011ln y x x x x -=+，即0001ln 1x y x x x +=+，由题意可得000ln 1ln 1x x x +-=，则0001ln 1x x x +=-，下面证明：存在唯一的()01,x ∈+∞使得0001ln 1x x x +=-.由（1）知，函数()1ln 1x x x x ϕ+=--在区间()1,+∞上单调递增，()2ln 230ϕ=-< ，()22222132011e e e e e ϕ+-=-=>--，的由零点存在定理可知，存在唯一的()202,x e ∈，使得()00x ϕ=，即0001ln 1x x x +=-.所以，存在唯一的()01,x ∈+∞使得0001ln 1x x x +=-.因此，在区间()1,+∞上存在唯一的0x ，使得直线l 与与曲线()y g x =相切.【点睛】本题考查利用导数求解函数的单调区间，同时也考查了利用导数证明直线与曲线相切，考查了零点存在定理的应用，考查推理能力与计算能力，属于难题.22. 已知动圆过点(0,1)F ，且与直线:1l y =-相切，设动圆圆心D 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）过l 上一点P 作曲线C 的两条切线,PA PB ，,A B 为切点，,PA PB 与x 轴分别交于M ，N 两点．记AFM △，PMN ，BFN 的面积分别为1S 、2S 、3S ．（ⅰ）证明：四边形FNPM 为平行四边形；（ⅱ）求2213S S S 的值．【答案】（1）24x y =（2）（ⅰ）证明见解析（ⅱ）1【解析】【分析】（1）设出圆心(,)D x y ，利用条件建立方程，再化简即可得出结果；（2）（ⅰ）设出两条切线方程，从而求出,,M N P 的坐标，再利用向量的加法法则即可得出证明；（ⅱ）利用（ⅰ）中条件，找出边角间的关系，再利用面积公式即可求出结果.【小问1详解】设圆心(,)D x y|1|y =+，化简整理得：24x y =，所以曲线C 的方程为：24x y =．【小问2详解】（ⅰ）设()11,A x y ，()22,B x y ，因为24x y =，所以2x y '=，∴直线PA 的方程为：()1112x y x x y =-+，即2111124y x x x =-，令0y =，得到12x x =，同理可得直线PB 的方程为：2221124y x x x =-，令0y =，得到22x x =，∴1,02x M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,02x N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，联立21122211241124y x x x y x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，消y 解得122x x x +=，所以12,12x x P +⎛⎫- ⎪⎝⎭， 又(0,1)F ，∴1212,1,1,2222x x x x FM FN FP +⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以四边形FNPM 为平行四边形；（ⅱ）由（ⅰ）知直线PA 的方程为2111124y x x x =-，又2114x y =，所以11102x x y y --=，即11220x x y y --=，同理可知直线PB 的方程为22220x x y y --=，又因为P 在直线PA ，PB 上，设()0,1P x -，则有101202220220x x y x x y -+=⎧⎨-+=⎩，所以直线AB 的方程为：0220x x y -+=，故直线AB 过点(0,1)F ，∵四边形FNPM 为平行四边形，∴//FM BP ，//FN AP ，∴AMF MPN BNF ∠=∠=∠，FN PM =，PN MF =，BN BF MP NP FA MA ==，∴MP NP MA BN ⋅=⋅， ∵11sin 2S MA MF AMF =∠，21sin 2S PM PN MPN =∠，31||sin 2S NB NF BNF =∠‖，∴2222131sin (||||)||||2111||||||||||||sin ||sin 22PM PN MPN S PM PN PM PN S S MA MF NB NF MA NB MA MF AMF NB NF BNF ⎛⎫∠ ⎪⋅⋅⎝⎭====⋅⋅⋅⋅⎛⎫⎛⎫∠⋅∠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭‖．【点睛】关键点点睛：（2）中的第（ⅰ）问，关键在于利用向量来证明，从而将问题转化成求出点的坐标，将几何问题代数化；第（ⅰⅰ）问的关键在于求出直线AB恒过定点，再利用几何关系，求出相似比.。