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湖北省黄冈中学2007年秋季高二数学期中考试试题(理科)

湖北省黄冈中学2007年秋季高二数学期中考试试题（理科）

命题：熊斌校对：罗欢

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的）

1．抛物线2

y x

=的焦点坐标为（）

A．（1，0）B．

C．

D．

2．如果双曲线

x y

-=右支上一点P到双曲线右焦点的距离是2，那么点P到右准线的距

离是（）

A ．26

B ．

C ．22

D ．2

3．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是A1D1、C1D1的中点，则异面直线AB1与EF 所成的角的大小为（）

A．60°B．90°

C．45°D．30°

4．下列说法正确的是（）

A．平面α和平面β只有一个公共点B．两两相交的三条直线共面

C．不共面的四点中，任何三点不共线D．有三个公共点的两平面必重合

5．过双曲线

x y

-=左焦点F1的直线交双曲线的左支于M、N两点，F2为其右焦点，则|MF2|

＋|NF2|－|MN|的值为（）

A．6 B．8 C．10 D．16

6．P是曲线

1cos

sin

=-+

上任意一点，则点P到点A（2，-4）的最远距离是（）

A．6 B ．6C ．26D．5 C1

A1D D1

B1A

B C

7．抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，经过F 且斜率为3的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK ⊥l ，垂足为K ，则AKF ?的面积是（） A ．4

B ．33

C ．43

D ．8

8．圆22210x y x +--=关于直线230x y -+=对称的圆的方程是（） A ．221(3)(2)2

x y ++-=

B ．221(3)(2)2

x y -++=

C ．22(3)(2)2x y ++-=

D ．22(3)(2)2x y -++=

9．椭圆22

221(0)x y a b a b +=>>的中心、右焦点、右顶点、右准线与x 轴的交点依次为O 、F 、

A 、H ，则||

FA OH 的最大值为（）

A ．1

B ．13

C ．14

D ．不能确定

10．设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为1

e =，右焦点为F （c, 0），方程20

ax bx c +-=的两个实根分别为x 1和x 2，则点P （x 1, x 2）（） A ．必在圆222x y +=内

B ．必在圆222x y +=上

C ．必在圆222x y +=外

D ．以上三种情形都有可能

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上）

11．双曲线2

1x y m

-=的虚轴长是实轴长的2倍，则m =_____________.

12．从圆222210x x y y -+-+=外一点P （3，2）向这个圆作一条切线PA ，A 为切点，则

PA =_______________.

13．已知正方形ABCD ，则以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的离心率为_________. 14．已知圆C 1：22(3)1x y ++=和圆C 2：22(3)9x y -+=，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外

切，则动圆圆心M 的轨迹方程为_____________.

15．设F 为抛物线24y x =的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若0FA FB FC ++=，则

||||||FA FB FC ++=____________.

班级：__________ 姓名：____________ 座号：_________ 成绩：___________

答题卡

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案

题号 11 12 13 14 15 答案

三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本小题满分12分）以抛物线28y x 上的点M 与定点(6,0)A 为端点的线段MA 的中点

为P ，求P 点的轨迹方程．

17．（本小题满分12分）已知长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 1是上底面对角线A 1C 1、B 1D 1的

交点，体对角线A 1C 交截面AB 1D 1于点P ，求证：O 1、P 、A 三点在同一条直线上.

x y

18．（本小题满分12分）设P 是双曲线

1416

x y -=右支上任一点，过点P 分别作两条渐近线的垂线，垂足分别为E 、F ，求||||PE PF ?的值.

19．（本小题满分12分）已知椭圆22

221(0)y x a b a b

+=>>的一个焦点1(0,22)F -，对应的准

线方程为92

y =-

. （1）求椭圆的方程；

（2）直线l 与椭圆交于不同的两点M 、N ，且线段MN 恰被点13,22P ??

- ???

平分，求直线l 的

方程.

20．（本小题满分13分）设F 1、F 2分别是椭圆2

214

x y +=的左、右焦点. （1）若P 是该椭圆上的一个动点，求12PF PF ?的最大值和最小值；

（2）设过定点M （0，2）的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且∠AOB 为锐角（其中

O 为坐标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围.

21．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，过定点C （0，p ）作直线与抛物

线22(0)x py p =>相交于A 、B 两点.

（1）若点N 是点C 关于坐标原点O 的对称点，求ANB ?面积的最小值；

（2）是否存在垂直y 轴的直线l ，使得l 被以AC 为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存

在，求出l 的方程；若不存在，说明理由.

湖北省黄冈中学2007年秋季高二数学期中考试参考答案

1．D 2．A 3．A 4．C 5．B 6． A7．C 8．C 9．C 10．A 11．4

12．2

13．21-

14．2

1(1)8

y x x -=-≤

15．6

16．解：设点00(,),(,)M x y P x y ，则00

x x y y +?=????=??，∴00262x x y y =-??=?．

代入2

008y x =得：2412y x =-．此即为点P 的轨迹方程．

17．证明：如答图所示，∵11111,AC B D O = ∴111111,.O AC O B D ∈∈

又∵111111111111,,,.AC AC B D AB D O AC O AB D ??∴∈∈平面平面平面平面

又∵1111111,,..AC AB D P P AC P AB D P AC =∴∈∈∴∈平面平面平面

又∵111,,A AC A AB D ∈∈平面平面

∴O 1、P 、A 三点都是平面AB 1D 1与平面A 1C 的公共点. ∴O 1、P 、A 三点在同一条直线上.

18．解：渐近线方程为20x y ±=，设P （x 0, y 0），则22

00001416416

x y x y -=?-=

由点到直线的距离公式有0000|2|

|2|

||,||5

x y x y PE PF --=

∴2200|4|16

||||.55

x y PE PF -?==

19．解：（1）由2

22222924.c a

c a b c ?-=-??-=-??

?=+?

得3,1a b ==

即椭圆的方程为2

1.9

y x +=

（2）易知直线l 的斜率一定存在，设l ：313,.2222k y k x y kx ?

?-=+=++ ??

?即

设M （x 1, y 1），N （x 2, y 2），由2

23,221.9k y kx y x ?

=++????+=??

得2222

327(9)(3)0.424k k x k k x k +++++-= ∵x 1、x 2为上述方程的两根，则222

327(3)4(9)042

4k k k k k ??

?=+-+?+-> ???

①

∴2

122

3.9k k x x k ++=-+

∵MN 的中点为13,22P ??- ???

，∴1212 1.2x x ??

+=?-=- ??? ∴22

3 1.9k k k +-=-+ ∴2239k k k +=+，解得k =3.

代入①中，229927184(99)180424??

?=-+?+-=> ???

∴直线l ：y =3x +3符合要求.

20．解：（1）易知2,1,3a b c ===，所以12(3,0),(3,0).F F -

设P （x, y ），则

2121

(3,)(3,)313(38).44

x PF PF x y x y x y x x ?=---?--=+-=+--=-

因为[2,2]x ∈-，故当x =0，即点P 为椭圆短轴端点时，21PF PF ?有最小值-2. 当2x =±，即点P 为椭圆长轴端点时，21PF PF ?有最大值1.

（2）显然直线x =0不满足题设条件，可设直线l ：11222,(,),(,).y kx A x y B x y =+ 联立22

1,4

y kx x y =+???+=?

?消去y ，整理得22

1430.4k x kx ??+++= ??? ∴12122243

,.114

k x x x x k k +=-

+ 由2221(4)43430,4k k k ?

??=-+?=-> ??? 得33

.22

k k >

<-或 ①

又0900.AOB OA OB <∠ ∴12120.OA OB x x y y ?=+>

又2

222

12121212222

381

(2)(2)2()44.111444

k k k y y kx kx k x x k x x k k k --+=++=+++=

++=+++

∴

2223

0.1144

k k k -++>++

即k 2<4. ∴-2

故由①②得33

2 2.22

k k -<<-

<<或 21．解法一：（1）依题意，点N 的坐标为N （0，-p ），可设A （x 1, y 1），B （x 2, y 2），直线AB

的方程为y kx p =+，与x 2

=2py 联立得22,

x py y kx p ?=?=+? 消去y 得22220.x pkx p --= 由韦达定

理得212122,2.x x pk x x p +==-于是

212121212

2||||()42

ABN BCN ACN S S S p x x p x x p x x x x ???=+=?-=-=+-222224822,p p k p p k =+=+

∴当k =0时，2min ()22.ABN S p ?=

（2）假设满足条件的直线l 存在，其方程为y=a , AC 的中点为O '，l 与以AC 为直径的圆

相交于点P 、Q ，PQ 的中点为H ，则,O H PQ O ''⊥点的坐标为

11,.2

x y p +?? ?

∵222

2111111||||(),222

O P AC x y p y p '==+-=+

|||2|,22

y p O H a a y p +'=-=-- ∴2

2222211111||||||())(2)(),442p PH O P O H y p a y p a y a p a ?

?''=-=+---=-+- ???

∴221||(2||)4().2p PQ PH a y a p a ??

??==-+- ???????

令02p a -

=，得2p a =，此时|PQ |=p 为定值，故满足条件的直线l 存在，其方程为2

y =，即抛物线的通径所在的直线. 解法二：（1）前同解法一，再由弦长公式得

222222222121212||2||1()414821 2.

AB k x x k x x x x k p k p p k k =+-=+?+-=+?+=+?+又由点到直线的距离公式得2

21p d k =

+，从而，

22222112||21222221ABN p

S d AB p k k p k k

??=?+?+?=++，

（2）假设满足条件的直线l 存在，其方程为y=a ，则以AC 为直径的圆的方程为

11(0)()()()0x x x y p y y --+--=，将直线方程y=a 代入得211()()0,x x x a p a y -+--=

则21114()()4().2p x a p a y a y a p a ??

??=---=-

+- ????

???

设直线l 与以AC 为直径的圆的交点为P （x 3, y 3），Q （x 4, y 4），则有

3411||||4()2().22p p PQ x x a y a p a a y a p a ?????

?=-=-+-=-+- ? ?????????

令0,22p p a a -

==得，此时|PQ |=p 为定值，故满足条件的直线l 存在，其方程为2

y =，即抛物线的通径所在的直线.

O A

C B

y x

O '