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非结构网格下2D Riesz分数阶方程的Galerkin有限元方法卜玮平【摘要】讨论了2D Riesz分数阶扩散方程的Galerkin有限元方法. 基于非结构网格,采用Lagrange线性分片多项式作为基函数,详细描述了分数阶扩散方程的有限元实现. 与现有方法相比, 该方法有效地降低了计算成本, 提高了刚度矩阵的精度.最后,数值算例验证了所提方法的有效性.【期刊名称】《纯粹数学与应用数学》【年(卷),期】2019(035)002【总页数】13页(P169-181)【关键词】Riesz分数阶扩散方程;有限元方法;非结构网格【作者】卜玮平【作者单位】湘潭大学数学与计算科学学院,湖南湘潭 411105【正文语种】中文【中图分类】O1781 引言最近,分数阶微分方程数值方法的研究越来越受关注.有限差分方法(FDM)是求解分数阶微分方程最常见的数值方法之一.文献[1]是研究FDM求解分数阶微分方程数值方法的先驱.随后,利用有限差分方法人们对各种分数阶微分方程进行了求解[2-5].谱方法(SM)和谱元方法(SEM)是求解分数阶微分方程的重要方法,它们通常具有很高的收敛精度.目前,SM和SEM求解分数阶微分方程的工作有文献[6-8]等.相比于FDM方法和SM(或SEM)方法,有限元方法(FEM)的主要特征是它能够较易处理复杂区域且对解的光滑性要求较低.文献[9]首次尝试用有限元方法求解分数阶微分方程,并给出了有限元逼近的理论框架.此后,文献[10]建立了有限元求解一维和二维分数阶对流弥散方程的理论框架.随后,在有限元求解分数阶微分方程方面涌现了越来越多的工作,其中包括文献[11-15]等.近年来,关于二维分数阶微分方程的有限元方法也有一些研究成果.文献[10]考虑了基于分数阶方向导数的二维分数阶对流-弥散方程的有限元方法.通过使用矩阵转换技术,文献[16]讨论了基于分数阶拉普拉斯算子的二维分数阶扩散方程有限元方法.文献[17]发展了基于分数拉普拉斯算子的分数阶扩散方程自适应有限元方法.为了求解二维Risez/Riemann-Liouville分数阶扩散方程(2DRFDE/2DRLFDE),基于一致三角网格剖分,文献[18-19]考虑了Galerkin有限元方法.然而,对于不规则区域上2DRFDE/2DRLFDE的有限元方法,通常需要采用非结构网格.基于非结构网格,文献[20]利用三角形上定义的Lagrange多项式,建立了2DRLFDE的间断Galerkin方法.文献[21]考虑了非线性2DRFDE的有限元方法,并描述了有限元方法的实现.文献[22]讨论了二维时空分数阶波方程在非规则凸域上的有限元方法.尽管在文献[20-22]中已有非结构网格下有限元求解分数阶微分方程的工作,但是这些工作使用的是相同的有限元实现技巧.值得注意,上述文中提到的有限元实现方法有不足之处.因此,在这篇文章中将提出一些新的技巧,以改进现有的有限元实现方法.本文的主要贡献如下:首先,对于刚度矩阵的计算降低了计算花销,原来的计算花销为O(Ne3),现在的花销为O(Ne2),Ne为总剖分单元数;其次,提高了刚度矩阵的元素的精度,对于三角形单元的高斯积分,不同于现有的计算方法,高斯积分区域为被积函数的非零的区域,这比由以往方法得到的刚度矩阵元素更精确;第三,将Riemann-Liouville导数转化为Caputo导数,简化了内积的计算.本文的结构安排如下:在第2节,给出了分数阶导数的定义、模型问题及有限元全离散格式的推导;在第3节,首先介绍了现有的刚度矩阵计算方法,然后详细描述了有限元的实现方法,并与现有方法进行了比较;在第4节,给出了数值实验来证明方法的有效性;最后,对本文进行了总结.2 准备工作令Ω⊂R2,则x,y方向的左右Riemann-Liouville分数阶导数定义如下:其中γ,n−1<γ≤n,n∈N,a(y),b(y),c(x),d(x)定义如图1.图1 关于Ω上a(y),b(y),c(x),d(x)的定义进一步,定义x,y方向的γ(γ1,3,···)阶 Riesz分数阶导数如下类似地,x,y方向γ阶右Caputo分数阶导数定义如下在文献[23]中已经讨论了Riemann-Liouville分数阶导数和Caputo分数阶导数的等价关系,如果u(a(y),y)=0,u(x,c(x))=0,0<γ<1,则本文考虑如下分数阶扩散方程其中,β<1,P,Q,A为常数.对上述方程,首先考虑其变分形式和有限元全离散格式.对于任意γ≥0,记γ(Ω)为Hγ(Ω)的子集且其元素在Ω 外的零扩张属于Hγ(R2).令V=α(Ω)∩ β(Ω).于是,由文献[18]中引理5可得如下变分问题:寻找u∈V使得其中(·,·):=(·,·)L2(Ω),F(v):=(f,v),且为了得到上述变分问题的全离散格式,先将Ω进行剖分.令{Th}是Ω的一个正则的三角剖分,h为所有三角形单元的最大直径.定义如下有限元空间这里PK(x,y)为K次多项式,接下来,定义(10)式的全离散格式:寻找uh∈XhK使得3 有限元方法的实现为了计算全离散格式(14),需要计算刚度矩阵和荷载向量.由于分数阶导数为非局部算子,与整数阶微分方程相比,其主要区别在于分数阶微分方程刚度矩阵的计算非常复杂.因此,方法实现的重点将放在刚度矩阵的计算上.令 ,则uh可写成,其中ϕi(x,y)是属于剖分节点i的Lagrange线性基函数,N为剖分节点总数目.如果三角形单元e包含顶点i且它的三个顶点逆时针排列依次为i,j,k,则有这里∆e为三角形单元e的面积,(xi,yi),(xj,yj),(xk,yk)是对应顶点i,j,k的坐标.接下来,考虑B(uh,vh)的计算.令这里S={Sij}N×N为刚度矩阵,其元素为3.1 已有的实现方法目前,文献[20-22]已经考虑了Sij的计算.然而,应该注意这些文章关于Sij的计算方法是类似的.这里简单对文献[20-22]中Sij的计算方法进行描述.由于(17)中四个内积的计算具有相似性,因此仅仅以为例进行讨论.考虑分数阶算子的非局部性并利用高斯积分可得这里Ge为三角形单元e上的高斯点,ωl是高斯点(xl,yl)对应的权重.上面(18)式中的方法可以用来计算Sij,然而该方法有三点不足之处.令Ne为剖分三角形单元的总数.首先,对于Sij的计算需要考虑如下积分在每个三角形单元的高斯积分因此,为了得到刚度矩阵的一个元素Sij,上述积分需要进行Ne次,而为了获得整个刚度矩阵,需要计算次,这将使得刚度矩阵的计算花销随Ne的增涨而快速增涨.其次,对于下列积分考虑被积函数在三角形单元上的非零区域.由于分数阶算子具有非局部性,显然存在满足下列情形的三角形单元:被积函数在三角形的某些部分为零,在其他部分非零.因此,被积函数在满足上述条件的三角形单元上为间断函数.如果对这些单元,在整个三角形上运用高斯积分势必达不到数值积分的相应精度.图2给了描述上述情形的例子(图形(a)描述了的非零区域,其中ϕi为节点i的基函数,ϕk为节点k的基函数;图形(b)描述了被积函数的非零区域,它为支集的交集).图2 的非零区域和的非零区域最后,对于被积函数 ,将说明它在某些区域光滑性差的特点.假设ϕi(x,y)和点(xp,yp)由图3给出在(xp,yp)的计算涉及的三角形的边界点p0,p1,p2,它们为积分路径与三角形单元e1,e2,e3边界的交点,它们在x轴方向的坐标分别设为x0,x1,x2).图3 在(xp,yp)的计算结果计算ϕi(x,y)的左Riemann-Liouville分数阶导数在(xp,yp)点的值从公式(21)可以看出, 在支集ϕi(x,y)的某些点处光滑性较差.类似地,也可以证明存在光滑性较差的区域.因此,为了保持(19)式的精度,计算时需要取大量的高斯点. 3.2 实现方法针对已有方法的不足,设计一种新的求解二维Riesz分数阶扩散方程的有限元实现方法.因为,显然因此,为了计算(16)中刚度矩阵S,根据对称性仅需要计算Sx和Sy.下面以为例来描述计算方法.假设ϕi(x,y),ϕj(x,y)的支集定义如图4(Lagrange线性基函数ϕi(x,y),ϕj(x,y)的支集如图4,其中为ϕi(x,y)支集上的三角形单元).图4 Lagrange线性基函数ϕi(x,y),ϕj(x,y)的支集这里是ϕi(x,y)关于变量x的系数.比较 (26)式与 (18)式,显然的计算花销将要下降.为了得到刚度矩阵,此时仅仅需要计算次积分.为了计算积分Ii,已有的方法是在整个三角形单元ei上使用高斯积分.然而,上面已经提到这样做将降低高斯积分的效果,因为分数阶算子具有非局部性, 的非零区域在某些单元可能只占有一部分(即在该单元为间断函数),如图5.图5 的支集的支集包含三角形单元因此,I1,I2能够在上选择高斯点来计算.然而, 仅仅含有支集的一部分.因此,可得其中为在上的支集.由于是一个三角形区域,因此在其上可以选用高斯点来计算I3.由于是四边形区域,因此要计算I4,I5,一种方法是在四边形上选用高斯点,另一种方法是将四边形分解成两个三角形然后分别作高斯积分.考虑图6所描述的情形,即是一个多边形区域.因此对I5的计算,一种方法是将该区域剖分成三角形与四边形然后进行高斯积分,另一种方法可以将积分区域全部剖分成三角形在每个三角形上进行高斯积分.图6 的支集注意到,对于ϕi(x,y), 由 (9)式可得于是利用高斯积分有这里e为的非零区域,ai,∆e定义在(15)式中.假设ϕj(x,y)及其积分路径被定义在图3中,对于高斯点(xp,yp),有显然(30)式比(21)式更容易计算.4 数值实验本节给出一个数值例子来验证方法的有效性.例 4.1在模型方程(10)中,取P=Q=2,A=4.考虑如下两种情形:(a)假设考虑问题区域为[0,1]×[0,1],其精确解为u=100x2(1−x)2y2(1−y)2;(b)假设考虑问题区域为,其精确解为,相应的右端函数分别定义如下当选择不同的α和β时,表1-表4分别列出了情形(a)和情形(b)所得的数值结果. 可以看出,所得误差的收敛率是最优收敛率.表1 基于Lagrange线性多项式与α=0.6,β=0.6计算情形(a)的数值误差与收敛率h‖uh −u (x,y) ‖ 0 收敛率1 4 2.193 4e-2 –1 8 4.730 6e-3 2.213 1 1 16 1.106 0e-3 2.096 7 1 32 2.489 8e-4 2.151 2表2 基于Lagrange线性多项式与α=0.7,β=0.8计算情形(a)的数值误差与收敛率h‖uh −u (x,y) ‖ 0 收敛率1 4 2.259 1 e− 2 –1 8 4.998 3 e− 3 2.176 2 1 16 1.173 6 e− 3 2.090 5 1 32 2.906 8 e− 4 2.013 4表3 基于Lagrange线性多项式与α=0.7,β=0.6计算情形(b)的数值误差与收敛率h‖uh −u (x,y) ‖ 0 收敛率1 4 4.567 0 e− 3 –1 8 1.106 5 e− 3 2.045 2 1 16 2.374 1 e− 4 2.220 6 1 32 5.610 1 e− 5 2.081 3表4 基于Lagrange线性多项式与α=0.6,β=0.8计算情形(b)的数值误差与收敛率h‖uh −u (x,y) ‖ 0 收敛率1 4 4.712 8 e− 3 –1 8 1.133 7 e− 3 2.055 5 1 16 2.467 7 e− 4 2.199 8 1 32 5.767 4 e− 5 2.097 25 总结本文研究了非结构网格下利用Lagrange线性基函数求解2D Riesz分数阶扩散方程的有限元方法实现.首先,描述了现有有限元全离散格式的实现方法,并指出了现有方法的不足之处.随后,针对这些缺点设计了一种新的实现方法,提高了有限元方法的计算效率和刚度矩阵的精度.最后,给出了数值算例,数值结果验证了本文所提方法的有效性.参考文献【相关文献】[1]Lubich C.Discretized fractional calculus[J].SIAM J.Math.Ana.,1986,17(3):704-719.[2]Liu F,Zhuang P,Anh V,et al.Stability and convergence of the difference methods for the space-time fractional advection-diffusion equation[J]pu.,2007,191(1):12-20.[3]Sun Z,Wu X.A fully discrete difference scheme for a diffusion-wave system[J].Applied Numerical Mathematics,2006,56(2):193-209.[4]Ding Z,Xiao A,Li M.Weighted finite difference methods for a class of space fractional partial differential equations with variablecoefficients[J].Appl.Math.,2010,233(8):1905-1914.[5]Tian W Y,Zhou H,Deng W.A class of second order difference approximations for solving space fractional diffusion equations[J].Mathematics of Computation,2015,84(294):1703-1727.[6]Zayernouri M,Karniadakis G E.Fractional Sturm-Liouville eigen-problems:theory and numerical approximation[J].Journal of Computational Physics,2013,252:495-517.[7]Li X,Xu C.Existence and uniqueness of the weak solution of the space-time fractional diffusion equation and a spectral method approximation[J].Phy.,2010,8(5):1016-1021.[8]Zeng F,Liu F,Li C,et al.A Crank–Nicolson ADI spectral method for a two-dimensional Riesz space fractional nonlinear reaction-diffusion equation[J].SIAMJ.Num.Ana.,2014,52(6):2599-2622.[9]Fix G J,Roof J P.Least squares finite-element solution of a fractional order two-point boundary value problem[J].Computers&Mathematics with Applications,2004,48(7-8):1017-1033.[10]Roop J P.Variational solution of the fractional advection dispersion equation[D].South Carolina:Clemson University,2004.[11]Wang H,Yang D.Wellposedness of variable-coefficient conservative fractional elliptic differential equations[J].SIAM Journal on Numerical Analysis,2013,51(2):1088-1107. [12]Jin B,Lazarov R,Pasciak J,et al.Error analysis of a finite element method for the space-fractional parabolic equation[J].SIAM Journal on Numerical Analysis,2014,52(5):2272-2294.[13]Deng W.Finite element method for the space and time fractional Fokker-Planck equation[J].SIAM journal on numerical analysis,2008,47(1):204-226.[14]Li C,Zhao Z,Chen Y Q.Numerical approximation of nonlinear fractional differential equations with subdiffusion and superdiffusion[J].Compu.Math.Appl.,2011,62(3):855-875.[15]Ma J,Liu J,Zhou Z.Convergence analysis of moving finite element methods for space fractional differential equations[J].Journal of Computational and Applied Mathematics,2014,255:661-670.[16]Yang Q,Turner I,Liu F,et al.Novel numerical methods for solving the time-space fractional diffusion equation in two dimensions[J].SIAM .,2011,33(3):1159-1180.[17]Chen L,Nochetto R H,Otrola E,et al.A PDE approach to fractional diffusion:a posteriori error analysis[J].Journal of Computational Physics,2015,293:339-358.[18]Bu W,Tang Y,Yang J.Galerkin finite element method for two-dimensional Riesz space fractional diffusion equations[J].Journal of Computational Physics,2014,276:26-38. [19]Zhao Y,Bu W,Huang J,et al.Finite element method for two-dimensional space-fractional advection-dispersion equations[J].Applied Mathematics andComputation,2015,257:553-565.[20]Qiu L,Deng W,Hesthaven J S.Nodal discontinuous Galerkin methods for fractional diffusion equations on 2D domain with triangular meshes[J].Phy.,2015,298:678-694.[21]Yang Z,Yuan Z,Nie Y,et al.Finite element method for nonlinear Riesz space fractionaldiffusion equations on irregular domains[J].Journal of ComputationalPhysics,2017,330:863-883.[22]Fan W,Liu F,Jiang X,et al.A novel unstructured mesh finite element method for solving the time-space fractional wave equation on a two-dimensional irregular convex domain[J].Fractional Calculus and Applied Analysis,2017,20(2):352-383.[23]Bu W,Tang Y,Wu Y,et al.Finite difference/ finite element method for two-dimensional space and time fractional Bloch-Torrey equations[J].Journal of Computational Physics,2015,293:264-279.。
CG算法的预处理技术：、为什么要对A进行预处理：其收敛速度依赖于对称正定阵A的特征值分布特征值如何影响收敛性：特征值分布在较小的范围内，从而加速CG的收敛性特征值和特征向量的定义是什么？（见笔记本以及收藏的网页）求解特征值和特征向量的方法：Davidson方法：Davidson 方法是用矩阵( D - θI)- 1( A - θI) 产生子空间，这里D 是A 的对角元所组成的对角矩阵。
θ是由Rayleigh-Ritz 过程所得到的A的近似特征值。
什么是子空间法：Krylov子空间叠代法是用来求解形如Ax=b 的方程，A是一个n*n 的矩阵，当n充分大时，直接计算变得非常困难，而Krylov方法则巧妙地将其变为Kxi+1=Kxi+b-Axi 的迭代形式来求解。
这里的K(来源于作者俄国人Nikolai Krylov姓氏的首字母)是一个构造出来的接近于A的矩阵，而迭代形式的算法的妙处在于，它将复杂问题化简为阶段性的易于计算的子步骤。
如何取正定矩阵Mk为：Span是什么？:设x_(1,)...,x_m∈V ,称它们的线性组合∑_(i=1)^m?〖k_i x_i \|k_i∈K,i=1,2...m〗为向量x_(1,)...,x_m的生成子空间，也称为由x_(1,)...,x_m张成的子空间。
记为L（x_(1,)...,x_m），也可以记为Span（x_(1,)...,x_m）什么是Jacobi迭代法：什么是G_S迭代法：请见PPT《迭代法求解线性方程组》什么是SOR迭代法：什么是收敛速度：什么是可约矩阵与不可约矩阵？：不可约矩阵（irreducible matrix）和可约矩阵（reducible matrix）两个相对的概念。
定义1：对于n 阶方阵A 而言，如果存在一个排列阵P 使得P'AP 为一个分块上三角阵，我们就称矩阵A 是可约的；否则称矩阵A 是不可约的。
定义2：对于n 阶方阵A=(aij) 而言，如果指标集{1，2，...，n} 能够被划分成两个不相交的非空指标集J 和K，使得对任意的j∈J 和任意的k∈K 都有ajk=0, 则称矩阵 A 是可约的；否则称矩阵A 是不可约的。
采用Belikov列推和跨阶次递推方法计算超高阶缔合勒让德函数欧阳明达;张敏利;于亮【摘要】超高阶球谐重力场模型的精确构制与快速计算取决于缔合勒让德函数的计算方法.在前人研究的基础上,文中对适合超高阶缔合勒让德函数计算的Belikov 列推和跨阶次递推方法进行介绍,为验证精度,通过两种途径对计算结果进行检验,并比较其计算速度.结果表明,采用两种算法得到的每个勒让德函数的绝对精度均优于10-12,在低阶,跨阶次递推方法的计算用时大约是Belikov列推法的2倍,随着阶数的升高,跨阶次递推算法表现出明显的速度优势.%Precision construction and rapid calculation of ultra-high-order spherical harmonic gravity field model,depend on the calculation method of the associated legendre functions.On the basis of previous studies,the suitable Belikov column method and recursion method between every other order and degree for ultra-high-order legendre function are introduced.The accuracy of calculations verified results in two ways after are their calculation speeds compared.The result shows that:every associated legendre function calculated by this two algorithms is obtained with absolute accuracy better than 10-12.In low-order,the recursion method between every other order and degree takes time as twice as Belikov column method extrapolation.As the order increasing,the recursion method between every other order and degree shows a significant speed advantage.【期刊名称】《测绘工程》【年(卷),期】2017(026)007【总页数】5页(P12-15,21)【关键词】勒让德函数;递推公式;球谐分析【作者】欧阳明达;张敏利;于亮【作者单位】地理信息工程国家重点实验室,陕西西安710054;西安测绘总站,陕西西安710054;西安测绘总站,陕西西安710054;西安测绘总站,陕西西安710054【正文语种】中文【中图分类】P223随着地球重力场模型的不断精化，超高阶次缔合勒让德函数的计算已经成为了地球重力场和相关领域中的重要研究课题[1-8]。
稳定渗流分析的局部间断伽辽金有限元法何朝葵;速宝玉;盛金昌【摘要】Based on the characteristics of the steady seepage equation, a basic calculation formula of the local discontinuous Galerkin finite element method for steady seepage analysis was deduced according to the principle of the method, and the feasibility of the formula was studied. The variational formula of the basic formula was analyzed with consideration of the stability and boundedness of the bilinear operator in the variational formula. The Lax-Milgram theorem was used to verify the existence and uniqueness of the solution of the basic formula, in order to demonstrate that the local discontinuous Galerkin finite element method is applicableto steady seepage analysis. Through a priori error analysis, the formula was proved to have p + 1-order accurate approximations, indicating that the local discontinuous Galerkin finite element method is a high-precision numerical method compared with commonly used finite element methods.%针对稳定渗流分析问题的特征,依据局部间断伽辽金有限元法原理,推导出稳定渗流分析问题的局部间断迦辽金有限元法基本计算格式,并对该计算格式的有效性进行探讨.通过分析基本计算格式相应的变分形式,考虑变分形式中双线性算子的稳定性及有界性,利用Lax-Milgram定理论证这一基本计算格式解的存在性、唯一性,从而证明局部间断伽辽金有限元法可以用来处理稳定渗流分析问题.通过对该格式的解进行先验误差分析,证明其近似解具有p+1阶的精度,表明相对于一般的有限元法来说,局部间断伽辽金有限元法是一种高精度的数值计算方法.【期刊名称】《河海大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2012(040)002【总页数】5页(P206-210)【关键词】渗流;间断有限元;局部间断伽辽金有限元;误差分析【作者】何朝葵;速宝玉;盛金昌【作者单位】河海大学水利水电学院,江苏南京210098;河海大学理学院,江苏南京210098;河海大学水利水电学院,江苏南京210098;河海大学水利水电学院,江苏南京210098【正文语种】中文【中图分类】O357.3间断有限元法[1-3]是一种在有限元法、有限体积法和有限差分法基础上发展起来的数值计算方法，它的特点在于允许插值函数在剖分单元边界处不连续，使得其在处理大梯度问题上具有独特的优势，并使其在多个领域得到广泛的应用[2-4].国外部分学者对间断有限元法在椭圆问题上的应用进行了分析[5-6]，国内则鲜见这方面的文献.局部间断伽辽金有限元法[2，7](the local discontinuous Galerkin methods，简称LDG法)是间断有限元法中最有效的方法之一，它具有良好的稳定性.笔者主要从理论上分析LDG法在稳定渗流分析问题中的应用.1 渗流方程稳定渗流方程及定解条件如下:式中:Ω——求解区域;H——水头函数;k——渗透系数(考虑各向同性，分片常数情形);ΓD，ΓN——第一类边界和第二类边界，且∂Ω=ΓD∪ΓN;n——边界ΓN上的外法线方向单位向量;g D，g N——常数.2 LDG法原理把水力梯度σ=k▽H作为中间变量，则式(1)中的二阶方程化为一阶方程组:假设 T h为Ω的1个剖分，E表示其中的任意1个单元，n E表示E的单位外法线方向向量.用σh和H h表示单元内插值函数，LDG法允许插值函数在单元边界处不连续，故插值函数在单元边界上的值用数值流通量[1-3]替代.数值流通量定义如下:若e为单元E和单元E′的公共边界，用 n E表示单元E在边界e上的外法线单位向量，H h，E和σh，E分别表示 H h和σh在边界上单元E侧的值，则有式中:α——边界e上的常数;β——边界e上的常向量.在式(2)中第1个方程两边分别乘以测试函数v，在第2个方程两边分别乘以测试向量函数τ，然后在每个单元上积分，得式中:▽h——单元内梯度算子;k E——单元E的渗透系数.单元方程(式(3)和式(4))通过数值流通量建立联系，构成整体代数方程.3 基本计算格式相对于剖分 T h，ε表示剖分单元边界的集合，ε0表示区域内部的单元边界的集合，εD表示在ΓD上的单元边界的集合，εN表示在ΓN上的单元边界的集合，要求ε=ε0+εD+εN.把式(3)和式(4)相对于剖分 T h在求解域Ω上对所有单元叠加，整理得式(5)和式(6)就称为渗流问题的LDG法基本计算格式.4 变分形式的稳定性和有界性若引入3个算子，则由式(6)可得σh在有限元空间∑h上的L 2投影:式中∏为投影算子.把式(7)代入式(5)，整理得基本计算格式的变分形式为其中显然B h(H h，v)是对称双线性算子.为证明变分的稳定性和有界性，定义如下半范数和范数[8-10]:式中‖u‖和分别为单元E上的Sobolev范数和半范数.在证明之前，先看下面的引理[9].引理其中C是与h无关的常数.证明再由L2投影的稳定性可得不等式(9).利用引理可以得 B h(H h，v)的稳定性，即对∀v∈V h有同样利用引理亦可得到B h(v，v)的有界性，即对∀v，w∈V h有结合引理有因而根据Lax-Milgram定理知变分问题B h(H h，v)=F h(v)存在唯一解.5 误差估计设H为渗流问题(式(1))的解，H I为相对剖分 T h下的某一插值函数，则由插值函数局部估计有其中的常数C仅与插值函数的次数p和单元E的最小角度有关.为了得到LDG法数值解误差的L2估计，先看2个定理[11]:定理1 若H为式(1)的解，H I为H的某个插值函数，则存在正数C使得式(13)成立.证明由迹不等式知存在常数C，使得定理2 若H为式(1)的解，H h为式(8)的解，则存在正数C使得式(15)成立.证明设 H I为 H的分片插值函数，由式(11)和式(12)有所以，再由三角不等式‖|H-H h|‖Ω=‖|H-H I+H I-H h|‖Ω ≤‖|H-H I|‖Ω+‖|H I-H h|‖Ω，结合定理 1得式(15).由定理1和定理2可得到误差的L2估计.定理3 若 H为式(1)的解，H h为式(8)的解，则存在正数C使得式(16)成立.证明由于LDG法的数值流通量是守恒的，因而变分格式(8)是自相容的，即对∀v∈H2(T h)有B h(v，，其中ψ为方程-Δψ=g，(x，y)∈ Ω以及ψ=0，(x，y)∈ ∂Ω的解[10].若取g=H-H h，则有B h(v，ψ)=(H-H h，v)，∀v ∈ V h.设ψI为ψ的线性插值，则根据椭圆边值问题的正则性，有2，Ω≤C2‖H-H h‖0，Ω，其中常数 C2只与Ω有关.结合式(15)即得‖H-H h ‖0，Ω ≤Chp+1p+1 ，Ω.6 结语间断有限元法已推广到水动力、气动力学等多个领域.笔者通过对稳定渗流分析的局部间断伽辽金有限元法的理论分析，给出其计算格式，并论证说明该格式具有良好的稳定性.论证结果表明，运用局部间断伽辽金有限元法来处理稳定渗流分析是有效的;在运用本文格式计算时，可以通过选取正交的基函数来简化整体代数方程组.对这一方法的近似解进行的先验误差分析表明其具有p+1阶精度，所以相对于一般的有限元法来说，局部间断伽辽金有限元法是一种具有较高精度的数值计算方法.关于局部间断伽辽金有限元法在渗流问题上的一些具体计算及验证可见文献[12]，其他一些结论笔者正在整理中.参考文献:【相关文献】[1]REED WH，HILL T R.Triangular mesh methods for the neutron transportequation[R].Alamos:Los Alamos Scientific Laboratory，1973.[2]COCKBURN B，KAMIADAKISG，SHU Chi-wang，et al.Discontinuous Galerkin Methods[M].Berlin:Spring Verlag，2000:89-101.[3]刘儒勋，舒其望.计算流体力学的若干新方法[M].北京:科学出版社，2003:159-179.[4]FAGHERAZZIS，FURBISH D J，RASETARINERA P，et al.Application of the discontinuous spectral Galerkinmethod togroundwater flow[J].Advances in Water Resources，2004，27:129-140.[5]ARNOLD DN，BREZZIF，COCKBURN B，et al.Unified analysis of discontinuous Galerkinmethodsfor elliptic problems[J].SIAM J Numer Anal，2002，39(5):1749-1779. [6]CASTILLO P.Performance of discontinuous Galerkin methods for elliptic pde's[J].SIAM JSci Comput，2002 ，24(2):524-547.[7]COCKBURN B，SHU Chi-wang.The local discontinuous Galerkin finite element method for convection-diffusion systems[J].SIAM J Numer Anal，1998，35:2440-2463.[8]CASTILLO P，PERUGIA I，SCHOTZAU D.An a priori error analysis of the local discontinuous Galerkin method for elliptic problems[J].SIAM JNumer Anal，2000，38:1676-1706.[9]PERUGIA I，SCHOTZAU D.An hp-analysis of the local discontinuous Galerkin method for diffusion problems[J].JSci Comp，2002，17:561-571.[10]肖捷，刘韶鹏.求解间断系数椭圆型问题的一种改进的DG方法[J].计算数学，2007，29(4):377-390.(XIAO Jie，LIU Shao-peng.A modified DG method for elliptic problems with discontinuous coefficients[J].Journal of Cumputational Mathematics，2007，29(4):377-390.(in Chinese)).[11]LEEMA ，SHINJY.Error estimiates for a discontinuous Galerkinmethod for elliptic problems[J].Appl Math&Computing，2006，21(1/2):189-201.[12]何朝葵，速宝玉，盛金昌，等.用局部间断伽辽金有限元法分析渗流场[J].水利水电科技进展，2010，30(2):21-23.(HE Zhao-kui，SU Bao-yu，SHENG Jin-chang，et al.Analysis of seepage field for aquifer problems by the local discontinuous Galerkinmethod[J].Advances in Science and Technology of Water Resources，2010，30(2):21-23.(in Chinese)).。
二维抛物方程的有限差分法二维抛物方程的有限差分法摘要二维抛物方程是一类有广泛应用的偏微分方程，由于大部分抛物方程都难以求得解析解，故考虑采用数值方法求解。
有限差分法是最简单又极为重要的解微分方程的数值方法。
本文介绍了二维抛物方程的有限差分法。
首先，简单介绍了抛物方程的应用背景，解抛物方程的常见数值方法，有限差分法的产生背景和发展应用。
讨论了抛物方程的有限差分法建立的基础，并介绍了有限差分方法的收敛性和稳定性。
其次，介绍了几种常用的差分格式，有古典显式格式、古典隐式格式、Crank-Nicolson隐式格式、Douglas差分格式、加权六点隐式格式、交替方向隐式格式等，重点介绍了古典显式格式和交替方向隐式格式。
进行了格式的推导，分析了格式的收敛性、稳定性。
并以热传导方程为数值算例，运用差分方法求解。
通过数值算例，得出古典显式格式计算起来较简单，但稳定性条件较苛刻；而交替方向隐式格式无条件稳定。
关键词：二维抛物方程；有限差分法；古典显式格式；交替方向隐式格式FINITE DIFFERENCE METHOD FORTWO-DIMENSIONAL PARABOLICEQUATIONAbstractTwo-dimensional parabolic equation is a widely used class of partial differential equations. Because this kind of equation is so complex, we consider numerical methods instead of obtaining analytical solutions. finite difference method is the most simple and extremely important numerical methods for differential equations. The paper introduces the finite difference method for two-dimensional parabolic equation.Firstly, this paper introduces the background and common numerical methods for Parabolic Equation, Background and development of applications. Discusses the basement for the establishment of the finite difference method for parabolic equation And describes the convergence and stability for finite difference method.Secondly, Introduces some of the more common simple differential format,for example, the classical explicit scheme, the classical implicit scheme, Crank-Nicolson implicit scheme, Douglas difference scheme, weighted six implicit scheme and the alternating direction implicit format. The paper focuses on the classical explicit scheme and the alternating direction implicit format. The paper takes discusses the derivation convergence,and stability of the format . The paper takes And the heat conduction equation for the numerical example, using the differential method to solve. Through numerical examples, the classical explicit scheme is relatively simple for calculation, with more stringent stability conditions; and alternating direction implicit scheme is unconditionally stable.Keywords:Two-dimensional Parabolic Equation; Finite-Difference Method; Eclassical Explicit Scheme; Alternating Direction Implicit Scheme1绪论1.1课题背景抛物方程是一类特殊的偏微分方程，二维抛物方程的一般形式为u Lu t ∂=∂ (1-1)其中1212((,,))((,,))(,,)(,,)(,,)u u u u u u L a x y t a x y t b x y t b x y t C x y t x x y y x y∂∂∂∂∂∂=++++∂∂∂∂∂∂ 120,0,0a a C >>≥。
第35卷第2期力 学学 报V o l 35，N 。
2竺兰!!垒呈三垒竺竺竺竺坠型竺———竺兰竺一个基于非均匀网格上的二阶基本无振荡差分格式u申义庆蚶高智+‘(清华大学数学科学系，北京100084)03t(中国科学院力学研究所高温气动实验室，北京100080)摘要在基本无振荡格式的构造中，将通常的对流通量，的逼近方式推广到对通量导数的逼近，这一构造方法 可以有效地应用到非均匀或非结构网格．直接基于非均匀网格上，构造r 一个：阶的基本无振荡(ENO)差分 格式．该格式具有形式简单，对嘲格的划分灵活，与传统格式相比不增加计算量等优点．几个数值算例证明了 格式的有效性．关键词TVD 格式，ENO 格式，非均匀网格引言 Burgers 方程检验了格式对定常正激波和无黏非定常Bur gers 方程检验格式对运动激波的捕捉能力，TVD(totalvar iatio n diminishing)格式tl,21和一维激波管问题验证了格式在方程组中的应用．ENO(essentially non-oscillatory)格式"J 是近20年发展起来的高精度高分辨率格式，众多的TVD 或 1新的导数差分逼近算子 ENO 格式都是基于等距网格来进行构造的，对于物 理尺度变化较大的区域，通常采用坐标变换，在新坐 标系下划分为均匀计算网格来进行数值计算，当物 塑Ot+筹=o理尺度变化剧烈时坐标变换带来变化悬殊的Jac obi 。
az值，因此对物理量导数的逼近将出现较大的误差Is 】． 如在高船数流动计算中，由于边界层厚度很小，通 常在壁面进行加密变换，从而导致物理网格尺度变￡‘2。
’“面1(厶+l —fj-1)化很大；而且对于很多不规则的流动区域，要进行坐 标变换而获得规则的计算区域并不是很容易的事． 本文直接基于非均匀网格，构造了·一个二阶的基本无振荡差分格式．首先引入TVD 格式的限制器 ∥*{ 2Tz[afj-4fj-1+fj-2]。
电-热多物理场耦合的对偶有限元分析殷英;徐小宇;闰帅;任卓翔【摘要】随着集成电路、微机电系统的快速发展,各种物理场的交互作用成为影响电路可靠性或者增加设计难度的重要问题.其中,大量工程应用中都会发生稳恒电流场和热场的相互作用.电流场产生的焦耳热与电阻率的温变持性是这两个物理场之间双向相互耦合的联系因素.当几何结构复杂时,分析该多物理场问题会有计算方面的挑战.通常利用有限元法来求解多物理问题,其中采取节点单元法来处理电流场.本论文首先在多物理耦合分析中实现了棱边单元法来分析电流场,并通过一个典型的微阻梁算例问题,与常规方法进行充分对比,考察了随着网格加密、与热场耦合迭代深度的对偶持点及收敛持性.【期刊名称】《电子设计工程》【年(卷),期】2018(026)021【总页数】5页(P11-15)【关键词】对偶方程方法;有限元法;多物理场;稳态电热耦合【作者】殷英;徐小宇;闰帅;任卓翔【作者单位】中国科学院微电子研究所北京100029;中国科学院大学北京100049;三维及纳米集成电路设计自动化北京市重点实验室北京100029;中国科学院微电子研究所北京100029;三维及纳米集成电路设计自动化北京市重点实验室北京100029;中国科学院微电子研究所北京100029;三维及纳米集成电路设计自动化北京市重点实验室北京100029;中国科学院微电子研究所北京100029;三维及纳米集成电路设计自动化北京市重点实验室北京100029【正文语种】中文【中图分类】TN402集成电路沿着More Moore、More than Moore等方向不断迅速发展，一方面，集成电路的集成度越来越高，功耗与散热成为影响与制约电路性能与可靠性的核心因素，另一方面，各种物理效应也可以在微机电系统（MEMS）之中用于各类传感器、执行器等的设计。
因而，电磁学、热学、力学等多物理场的耦合分析变得尤其必要，并已经在集成电路领域受到关注及快速发展[1-5]。
