2.2.2 第2课时 椭圆方程及性质的应用
[课时作业]
[A 组 基础巩固]
1．直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m
＝1总有公共点，则m 的取值范围是( ) A ．m >1
B ．m ≥1或0 C ．0 D ．m ≥1且m ≠5 解析：∵直线y ＝kx ＋1恒过(0,1)点， 若5>m ，则m ≥1，若5 ∴m ≥1且m ≠5. 答案：D 2．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为33 ，若直线y ＝kx 与其一个交点的横坐标为b ，则k 的值为( ) A ．±1 B ．± 2 C ．± 33 D ．± 3 解析：因为椭圆的离心率为 33，所以有c a ＝33，即c ＝33a ，c 2＝13a 2＝a 2－b 2，所以 b 2＝2 3a 2.当x ＝b 时，交点的纵坐标为y ＝kb ，即交点为(b ，kb )， 代入椭圆方程b 2a 2＋k 2b 2b 2＝1，即23＋k 2＝1，k 2＝13，所以k ＝±33 ，选C. 答案：C 3．已知椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交y 轴于点P .若AP →＝2PB →，则椭圆的离心率是( ) A.32 B.22 C.13 D.12 解析：由题意知：F (－c,0)，A (a,0)，B ? ????－c ，±b 2a . ∵BF ⊥x 轴，∴AP PB ＝a c . 又∵AP →＝2PB →，∴a c ＝2即e ＝c a ＝12 . 答案：D 4．若点(x ，y )在椭圆4x 2＋y 2＝4上，则 y x －2的最小值为( ) A ．1 B ．－1 C ．－23 3 D ．以上都不对 解析：由题意知y x －2的几何意义是椭圆上的点(x ，y )与点(2,0)两点连线的斜率，∴当直线 y ＝k (x －2)与椭圆相切(切点在x 轴上方)时，y x －2 ＝k 最小． 由? ???? y ＝k x － 4x 2＋y 2＝4 整理得(4＋k 2)x 2－4k 2x 2＋4k 2－4＝0. Δ＝(－4k 2)2－4(4＋k 2)(4k 2－4)＝16(4－3k 2 )＝0，即k ＝－ 233(k ＝233舍去)时，符合题意． 答案：C 5．已知椭圆C ：x 22 ＋y 2＝1的右焦点为F ，直线l ：x ＝2，点A ∈l ，线段AF 交椭圆C 于点B ，若FA →＝3FB →，则|AF →|＝( ) A. 2 B ．2 C. 3 D ．3 解析：设点A (2，n )，B (x 0，y 0)． 由椭圆C ：x 22 ＋y 2＝1知a 2＝2，b 2＝1， ∴c 2＝1，即c ＝1.∴右焦点F (1,0)． 由FA →＝3FB →， 得(1，n )＝3(x 0－1，y 0)． ∴1＝3(x 0－1)且n ＝3y 0. ∴x 0＝43，y 0＝13 n . 将x 0，y 0代入x 22 ＋y 2＝1，得 12×? ????432＋? ?? ??13n 2＝1. 解得n 2＝1， ∴|AF →|＝ －2＋n 2＝1＋1＝ 2. 故选A. 答案：A 6．如果椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点组成一正三角形，焦点在x 轴上，且a －c ＝3，那么椭圆的方程是________． 解析：若短轴的端点与两焦点组成一个正三角形，则a ＝2c ， 又a －c ＝3， 故c ＝3，a ＝23， ∴b 2＝(23)2－3＝9， 椭圆的方程为x 212＋y 29 ＝1. 答案：x 212＋y 29 ＝1 7．设P ，Q 分别为圆x 2＋(y －6)2＝2和椭圆x 210 ＋y 2＝1上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是________． 解析：如图所示，设以(0,6)为圆心，以r 为半径的圆的方程为x 2 ＋(y －6)2＝r 2(r ＞0)，与椭圆方程x 210＋y 2 ＝1联立得方程组，消掉x 2得9y 2＋12y ＋r 2－46＝0. 令Δ＝122－4×9(r 2－46)＝0，解得r 2＝50， 即r ＝5 2. 由题意易知P ，Q 两点间的最大距离为r ＋2＝6 2. 答案：6 2 8．已知动点P (x ，y )在椭圆x 225＋y 216＝1上，若A 点坐标为(3,0)，|AM →|＝1，且PM →·AM →＝0，则|PM →|的最小值是________． 解析：易知点A (3,0)是椭圆的右焦点． ∵PM →·AM →＝0， ∴AM →⊥PM →. ∴|PM →|2＝|AP →|2－|AM →|2＝|AP →|2－1， ∵椭圆右顶点到右焦点A 的距离最小，故|AP →|min ＝2， ∴|PM →|min ＝ 3. 答案： 3 9．已知椭圆的短轴长为23，焦点坐标分别是(－1,0)和(1,0)． (1)求这个椭圆的标准方程； (2)如果直线y ＝x ＋m 与这个椭圆交于不同的两点，求m 的取值范围． 解析：(1)∵2b ＝23，c ＝1， ∴b ＝3，a 2＝b 2＋c 2＝4. ∴椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1. (2)联立方程组????? y ＝x ＋m ，x 24＋y 23 ＝1， 消去y 并整理得7x 2＋8mx ＋4m 2－12＝0. 若直线y ＝x ＋m 与椭圆x 24＋y 23 ＝1有两个不同的交点， 则有Δ＝(8m )2－28(4m 2－12)＞0，即m 2＜7， 解得－7＜m ＜7. 10．过椭圆x 25＋y 24 ＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，求△OAB 的面积． 解析：椭圆的右焦点为F (1,0)， ∴l AB ：y ＝2x －2. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由????? y ＝2x －2，x 25＋y 24＝1，得3x 2 －5x ＝0， ∴x ＝0或x ＝53 ， ∴A (0，－2)，B ? ?? ??53，43， ∴S △AOB ＝12 |OF |(|y B |＋|y A |) ＝12×1×? ????2＋43＝53 . [B 组 能力提升] 1．已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点，过F 1的直线与椭圆相交于A ，B 两点，若A B →·A F →2＝0，|A B →|＝|A F →2|，则椭圆的离心率为( ) A.6－ 3 B.3－ 2 C.3－1 D.2－1 解析：在Rt △ABF 2中，设|AF 2|＝m ，则|AB |＝m ，|BF 2|＝2m ，所以4a ＝(2＋2)m . 又在Rt △AF 1F 2中，|AF 1|＝2a －m ＝ 22m ，|F 1F 2|＝2c ，所以(2c )2＝? ????22m 2＋m 2＝32m 2，则2c ＝62 m . 所以椭圆的离心率e ＝2c 2a ＝621＋22 ＝6－ 3. 答案：A 2．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝12 ，右焦点为F (c,0)，方程ax 2＋bx －c ＝0的两个实根分别为x 1和x 2，则点P (x 1，x 2)( ) A ．必在圆x 2＋y 2＝2内 B ．必在圆x 2＋y 2＝2上 C ．必在圆x 2＋y 2＝2外 D ．以上三种情形都有可能 解析： ∵e ＝12 ， ∴a ＝2c ， ∴a 2＝4c 2，b 2＝a 2－c 2＝3c 2， ∴b ＝3c ， 方程ax 2＋bx －c ＝0， 可化为2cx 2＋3cx －c ＝0， 即2x 2＋3x －1＝0， ∴x 1＋x 2＝－32，x 1x 2＝－12 ， x 2 1＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝34－2×? ?? ??－12 ＝74 <2， ∴P (x 1，x 2)必在圆x 2＋y 2＝2内．故选A.