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2017_2018学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2椭圆2.2.2第2课时椭圆方程及性质的应用优化练习

2.2.2 第2课时 椭圆方程及性质的应用

[课时作业]

[A 组 基础巩固]

1.直线y =kx +1与椭圆x 25+y 2m

=1总有公共点,则m 的取值范围是( ) A .m >1

B .m ≥1或0

C .0

D .m ≥1且m ≠5

解析:∵直线y =kx +1恒过(0,1)点,

若5>m ,则m ≥1,若5

∴m ≥1且m ≠5.

答案:D 2.椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为33

,若直线y =kx 与其一个交点的横坐标为b ,则k 的值为( )

A .±1

B .± 2

C .±

33 D .± 3 解析:因为椭圆的离心率为

33,所以有c a =33,即c =33a ,c 2=13a 2=a 2-b 2,所以 b 2=2

3a 2.当x =b 时,交点的纵坐标为y =kb ,即交点为(b ,kb ),

代入椭圆方程b 2a 2+k 2b 2b 2=1,即23+k 2=1,k 2=13,所以k =±33

,选C. 答案:C

3.已知椭圆x 2a 2+y 2

b

2=1(a >b >0)的左焦点为F ,右顶点为A ,点B 在椭圆上,且BF ⊥x 轴,直线AB 交y 轴于点P .若AP →=2PB →,则椭圆的离心率是( ) A.32 B.22 C.13 D.12

解析:由题意知:F (-c,0),A (a,0),B ?

????-c ,±b 2a . ∵BF ⊥x 轴,∴AP PB =a

c

. 又∵AP →=2PB →,∴a c =2即e =c a =12

. 答案:D

4.若点(x ,y )在椭圆4x 2+y 2=4上,则

y x -2的最小值为( ) A .1

B .-1

C .-23

3 D .以上都不对 解析:由题意知y

x -2的几何意义是椭圆上的点(x ,y )与点(2,0)两点连线的斜率,∴当直线

y =k (x -2)与椭圆相切(切点在x 轴上方)时,y x -2

=k 最小.

由?

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???? y =k x - 4x 2+y 2=4 整理得(4+k 2)x 2-4k 2x 2+4k 2-4=0. Δ=(-4k 2)2-4(4+k 2)(4k 2-4)=16(4-3k 2

)=0,即k =-

233(k =233舍去)时,符合题意.

答案:C 5.已知椭圆C :x 22

+y 2=1的右焦点为F ,直线l :x =2,点A ∈l ,线段AF 交椭圆C 于点B ,若FA →=3FB →,则|AF →|=( ) A. 2 B .2 C. 3

D .3 解析:设点A (2,n ),B (x 0,y 0). 由椭圆C :x 22

+y 2=1知a 2=2,b 2=1, ∴c 2=1,即c =1.∴右焦点F (1,0).

由FA →=3FB →,

得(1,n )=3(x 0-1,y 0).

∴1=3(x 0-1)且n =3y 0. ∴x 0=43,y 0=13

n . 将x 0,y 0代入x 22

+y 2=1,得 12×? ????432+? ??

??13n 2=1. 解得n 2=1,

∴|AF →|=

-2+n 2=1+1= 2. 故选A.

答案:A

6.如果椭圆的对称轴为坐标轴,短轴的一个端点与两焦点组成一正三角形,焦点在x 轴上,且a -c =3,那么椭圆的方程是________.

解析:若短轴的端点与两焦点组成一个正三角形,则a =2c ,

又a -c =3,

故c =3,a =23,

∴b 2=(23)2-3=9,

椭圆的方程为x 212+y 29

=1. 答案:x 212+y 29

=1 7.设P ,Q 分别为圆x 2+(y -6)2=2和椭圆x 210

+y 2=1上的点,则P ,Q 两点间的最大距离是________.

解析:如图所示,设以(0,6)为圆心,以r 为半径的圆的方程为x

2

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+(y -6)2=r 2(r >0),与椭圆方程x 210+y 2

=1联立得方程组,消掉x 2得9y 2+12y +r 2-46=0.

令Δ=122-4×9(r 2-46)=0,解得r 2=50,

即r =5 2.

由题意易知P ,Q 两点间的最大距离为r +2=6 2.

答案:6 2

8.已知动点P (x ,y )在椭圆x 225+y 216=1上,若A 点坐标为(3,0),|AM →|=1,且PM →·AM →=0,则|PM →|的最小值是________.

解析:易知点A (3,0)是椭圆的右焦点.

∵PM →·AM →=0,

∴AM →⊥PM →.

∴|PM →|2=|AP →|2-|AM →|2=|AP →|2-1,

∵椭圆右顶点到右焦点A 的距离最小,故|AP →|min =2,

∴|PM →|min = 3. 答案: 3

9.已知椭圆的短轴长为23,焦点坐标分别是(-1,0)和(1,0).

(1)求这个椭圆的标准方程;

(2)如果直线y =x +m 与这个椭圆交于不同的两点,求m 的取值范围.

解析:(1)∵2b =23,c =1,

∴b =3,a 2=b 2+c 2=4.

∴椭圆的标准方程为x 24+y 23=1. (2)联立方程组????? y =x +m ,x 24+y 23

=1, 消去y 并整理得7x 2+8mx +4m 2-12=0.

若直线y =x +m 与椭圆x 24+y 23

=1有两个不同的交点, 则有Δ=(8m )2-28(4m 2-12)>0,即m 2<7, 解得-7<m <7.

10.过椭圆x 25+y 24

=1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ,B 两点,O 为坐标原点,求△OAB 的面积.

解析:椭圆的右焦点为F (1,0),

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∴l AB :y =2x -2.

设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 由????? y =2x -2,x 25+y 24=1,得3x 2

-5x =0, ∴x =0或x =53

, ∴A (0,-2),B ? ??

??53,43, ∴S △AOB =12

|OF |(|y B |+|y A |) =12×1×? ????2+43=53

. [B 组 能力提升]

1.已知F 1,F 2是椭圆x 2a 2+y 2

b 2=1(a >b >0)的左,右焦点,过F 1的直线与椭圆相交于A ,B 两点,若A B →·A F →2=0,|A B →|=|A F →2|,则椭圆的离心率为( ) A.6- 3 B.3- 2 C.3-1 D.2-1 解析:在Rt △ABF 2中,设|AF 2|=m ,则|AB |=m ,|BF 2|=2m ,所以4a =(2+2)m . 又在Rt △AF 1F 2中,|AF 1|=2a -m =

22m ,|F 1F 2|=2c ,所以(2c )2=? ????22m 2+m 2=32m 2,则2c =62

m . 所以椭圆的离心率e =2c 2a =621+22

=6- 3. 答案:A

2.设椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率e =12

,右焦点为F (c,0),方程ax 2+bx -c =0的两个实根分别为x 1和x 2,则点P (x 1,x 2)( )

A .必在圆x 2+y 2=2内

B .必在圆x 2+y 2=2上

C .必在圆x 2+y 2=2外

D .以上三种情形都有可能

解析: ∵e =12

, ∴a =2c ,

∴a 2=4c 2,b 2=a 2-c 2=3c 2,

∴b =3c ,

方程ax 2+bx -c =0,

可化为2cx 2+3cx -c =0,

即2x 2+3x -1=0, ∴x 1+x 2=-32,x 1x 2=-12

, x 2

1+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1x 2=34-2×? ??

??-12 =74

<2, ∴P (x 1,x 2)必在圆x 2+y 2=2内.故选A.

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