第二十九讲 用“份数法”巧解应用题
有些应用题含有几上量，并且几个量之间成倍数关系，在解题时先确定一倍的量，将一倍的量看做“一份”，将几倍的量看做“几份”。然后再根据其他条件列式解答，求出最后的部题。我们就把这种解应用题的方法叫做份数法。
用份数法解题的关键是先要确定出几个量之间的倍数关系，确定出一倍的量及几倍的量，将一倍的量看做一份，将几倍的量看做几份。有些复杂的数学应用题，从份数入手可以巧妙地求解，不但可以简化思路，而且独辟蹊径，令人耳目一新。
一、用“份数法”解答工程问题
有些工程应用题，可以根据题中的已知条件，将工作总量、几个工队的工作量或每个工队单个时间的工作量看做“份数”，利用份数关系解答，数量关系会更加简明清楚。
难题点拨
甲管注水速度是乙管的一半，同时开放甲管向池中注水，16小时可以注满。现在先开甲管向池中注水若干小时，剩下的由乙管注10小时将水池注满。问：甲管先注水多少小时？
点拨 设甲管1小时的注水量为1份，则乙管1小时的注水量是2份，全池水为（1+2）×16=48（份），所以甲管先注水48-20=28（份）。甲管注水时间是28÷1=28（小时）。
答：甲管先注水28小时。
难题点拨
甲、乙、丙三名搬运工同时分别在三个条件和工作量完全相同的仓库工作，搬完货物甲用8小时，乙用10小时，丙用12小时。第二天三人又到两个较大的仓库搬运货物，这两个仓库的工作量也相同，甲在A仓库，乙在B仓库，丙先帮甲后帮乙，结果干了20小时后同时搬运完毕。问：丙在A仓库做了多少小时？
点拨 由三名搬运工分别搬完条件和工作量完全相同的三个仓库的货物，甲需8小时，乙需10小时，丙需12小时，可以分别求出三人的工作效率，甲是81，乙是101，丙是121。三人工作效率的比是81：101：121=15：12：10，即在相同的时间里，甲做15份，乙做12份，丙做10份工作，三人一共做15+12+10=37（份）工作。三人在相同的时间里（20小时）搬完了两个仓库的货物，每个仓库的货物量是37÷2=18.5(份）。甲搬了15份货物，因此，丙帮甲搬了18.5-15=3.5（份）货物。
三人的工作效率比为：81：101：121=15：12：10
每个仓库的货物量是：（15+12+10）÷2=18.5（份）
丙帮甲搬了：18.5-15=3.5(份）
丙帮甲搬的时间是20÷10×3.5=7（小时）
答：丙在A仓库做了7小时。
二、用“份数法”解答比的应用题
在行程问题中，两个数的比往往表现为两个动动的物体速度的比或运动路程的比：在工程问题中，两个数的比往往表现为两队工作效率的比或两队工作量的比------如果知道两个数的比，可以将两个数分别看做“份数”，将两个数比的关系转化为份数关系。
难题点拨
一种铜和铝的合金重150千克，而铜和铝的质量比是2：3。问：这种合金中铜比铝少多少千克？
点拨 铜和铝的质量比是2：3，即铜是2份，铝是3份，铜各铝共2+3=5（份），铜比铝少3-2=1（份），因此，1份的量是铜比铝少的质量数。
150÷（2+3）=30（千克）
答：这种合金中铜比铝少30千克。 难题点拨④
甲、乙两车分别从A, B两地同时出发，相向而行。出发时，甲、乙两车的速度比是5：4，相遇后甲车的速度减少20％，乙车的速度增加20％，这样当甲车到达B地时，乙车离A地还有10千米。A , B两地相距多少千米？
点拨 根据题意，可以把A , B两地的路程平均分成9份，则相遇时甲车行了5份，乙车行了4份，相遇后甲、乙两车的速度比[5×（1-20％）] ：[4×（1+20％）]=4：4.8。所以当甲车用新的速度行完4份路程时，乙车行了4.8份，这样离A地还有5-4.8=0.2（份），这0.2份正好是10千米，所以A, B两地相距10÷0.2×9=450（千米）。
答：A ,B两地相距450千米。
难题点拨⑤
甲、乙两车分别从A ,B两地同时出发相向而行。出发时，两车的速度比是3：2，两车相遇后甲车的速度提高了20％，乙车的速度提高了30％.这样当甲车到达B地时，乙车离A地还有56千米。A, B 两地相距多少千米？
点拨 这道题如果依照常规直接分析，寻找56千米的对应分率，难度很大，解法也很繁琐，但是如果用“份数法”解答，就容易得多。
由于两车的速度比为3：2，如果假设A ,B两地的距离是5份，那么两车相遇时，甲车生了总路程的3份，乙车行了总路程的2份。
两车相遇后，由于甲车的速度提高了20％，乙车的速度提高了30％，那么乙车的速度是甲车速度的)%2013%3012（）（=1813
两车相遇后，当甲车再行2份路程到达B地时，乙车的行程为2×1813=194（份）。
这样56千米的对应分率是3-194=195
所以A ,B两地间的距离是：
56÷[3-2％）（（%2013%)3012]×（3+2）
=56÷[3-194]×5
=56÷195×5
=180（千米）
答：A ,B两地相距180千米。
三、用“份数法”解答分数、百分数应用题
分数、百分数应用题往往可以转化成“份数”进行解答，而且解答方法更加巧妙、简便。
难题点拨
小林买了一支圆珠笔和一支钢笔共用去12元，圆珠笔的单价是钢笔的51。圆珠笔和钢笔的单价各是多少元？
点拨 用“份数法”解答。因为“圆珠笔的单价是钢笔的51”，如果将一支圆珠笔的价钱看做1份，那么一支钢笔的价钱就是5份，两种笔的总价钱就是5+1=6（份），即12元。可以分别求出一支圆珠笔和一支钢笔的价钱。 一支圆珠笔多少元？12÷（5+1）=2(元)
一支钢笔多少元？2×5=10（元）
答：圆珠笔的单价是2元，钢笔的单价是10元。
难题点拨⑦
甲、乙两箱苹果，每箱装2004个，现在从乙箱拿出若干苹果放入甲箱后，甲箱的苹果数恰好比乙箱多40％.从乙箱放到甲箱的苹果有多少个？
点拨 两箱苹果数变动后，甲箱苹果数是乙箱苹果数的140％，即57，因此，把变动后乙箱的苹果数看做5份，甲箱的苹果数就是7份，两箱苹果的总数为5+7=12（份），原来每箱有12÷2=6（份）。从乙箱拿到甲箱的苹果恰好占6-5=1（份），即2004÷6=344（个）。
答：从乙箱放到甲箱的苹果有334个。
难题点拨⑧
一个数增加它的52后是4.9，这个数是多少？
点拨 根据题意画图如下：
将“一个数”看做5份。增加52，就是增加了2份，则这个数现在是（5+2）份为4.9，所以1份是4.9÷（5+2）=0.7.因此，这个数就是0.7×5=3.5.
答：这个数是3.5
难题点拨⑨
某汽车厂去年计划生产汽车12600辆，结果上半年完成全年计划的95，下半年完成全年计划的53。去年超产汽车多少辆？
点拨 因为“上半年完成计划的95，下半年完成全年计划的53”，所以全年就完成了计划的95+53=4552.将全年计划看做单位“1”，平均分成45份，完成了52份，超产了（52-45）份。
如果求出1份的量，就可以求出超产汽车的数量。
1份是：12600÷45=280（辆）
超产了（52-45）份，所以超产了：280×（52-45）=1960（辆）
答：去年超产汽车1960辆。
难题点拨⑩
水果店昨天卖出水果36千克，比前天多卖出81。水果店前天卖出水果多少千克？
点拨 由题中条件可知，如果将前天卖出的水果看做单位“1”，昨天卖出的水果就是前天的1+81=89。这样前天卖出的水果就是8份，昨天卖出的水果就是9份。
9份是36千克，所以1份就是36÷9=4(千克）。
前天卖出了8份，前天卖出的水果4×8=32（千克）。
答：水果店前天卖出水果32千克。
四、用“份数法”解答他应用题
难题点拨（11）
远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增，共灯三百八十一。问：每层各有几盏灯？
点拨 因为相邻两层灯的数量成倍数关系，所以此题可用份数法解答。显然，这塔上的灯是上少下多。现在将从上到下的第一层（最上层）灯的数目看做1份，则以下各层灯的数目分别是2，4，6，8，16，32，64份，整座塔上灯的总份数就是1+2+4+8+16+32+64=127（份）。可以算出1份的数是381÷127=3（盏）。
从上到下各层灯的盏数分别是：第一层3盏，第二层3×2=6（盏），第三层6×2=12（盏），第四层12×2=24（盏），第五层24×2=48(盏），第六层48×2=96（盏），第七层96×2=192（盏——。
答：从上到下第一层有3盏灯，第二层有6盏灯，第三层有12盏，第四层有24盏灯，第五层有48盏灯，第六层有96盏灯，第七层有192盏灯。
难题点拨（12)
一个农妇要到37.8千米远的地方去，开始时走得快，走多了脚疼难走，每相邻两天中，后一天走的路程是前一天的一半，走了6天才到达目的地。求这个农妇每天各走多少千米？
点拨 由条件“每相邻两天中，后一天走的路程是前一天的一半”可得，如果将第六天走的路程看做1份数，则第五天走的路程是2份数，第四天走的路程是4份数，第三天走的路程是8份数，第二天走的路程是16份数，第一天走的路程是32份数。
6天走的路程是：1+2+4+8+16+32=63（份）
第六天走的路程是：37.8÷63=0.6（千米）
第五天走的路程是：0.6×2=1.2（千米）
第四天走的路程是：0.6×4=2.4（千米）
第三天走的路程是：0.6×8=4.8（千米）
第二天走的路程是：0.6×16=9.6（千米）
第一天走的路程是：0.6×32=19.2（千米）
答：这个农妇第一天走了19.2千米，第二天走了9.6千米，第三天走了4.8千米，第四天走了2.4千米，第五天走了1.2千米，第六天走了0.6千米。
难题点拨（13）
欧几里得是古希腊著名的数学家，他著的《几何原本》是世界上最早公理化的著作。欧几里得曾经编写过这样一道数学题：
骡子和驴驮着谷物一起在路上走着，途中，骡子对驴说：“如果把你驮的谷物给我一包，我驮的包数就是你的二倍；如果把我驮的包数给你一包，我们俩驮的包数就相等。”你能求出骡子和驴各驴了多少包谷物吗?
点拨 由“骡子对驴说：‘------如果把我驮的包数给你一包，我们俩驮的包数就相等。’”可知，骡子比驴多驮了2包；又由“如果把你驮的谷物给我一包，我驮的包数就是你的二倍。”可知，在骡子比驴多驮2包的情况下，驴又给了骡子1包，这时候骡子比驴多驮（2+2）包，即4包。这4包对应的正好是一倍的量。
所以驴驮的谷物是：4+1=5（包）
骡子驮的谷物是：5+2=7(包）
答：驴驮了5包谷物，骡子驮了7包谷物。
难题点拨（14）
我国北魏数学家张丘建撰写的《张丘建算经》一书中有这样一道题：甲、乙二人各有钱若干枚，如果乙给甲10枚钱，则甲比乙多的钱数是乙剩下钱的5倍;如果甲给乙10枚钱，则，甲、乙二人的钱数正好相等。问：甲、乙二人原来各有多少枚钱？
点拨 由“如果甲给乙10枚钱，则甲、乙二人的钱数正好相等”（如下图）可知，甲比乙多20枚钱。
可知这时候，甲比乙多（20+10×2）枚钱，即5倍的量是40枚钱，可以求出1倍的量（乙给甲10枚钱后乙的钱数）是40÷5=8（枚)钱。
因此，乙原来有钱：8+10=18（枚）
甲原来有钱：8×6-10=38（枚）
答：甲原来有38枚钱，乙原来有18枚钱。
