(一)绝对值
绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即
,0,||0,0,,0.a a a a a a >??
==??-
绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． 两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离．
例1、 解不等式：|x |1≥ 例2、 解不等式：|1|2x -≤ 你自己能总结出一般性的结论吗?
例3、解不等式：13x x -+-＞4．
解法一：由01=-x ，得1=x ；由30x -=，得3x =； ①若1
②若12x ≤<，不等式可变为(1)(3)4x x --->， 即1＞4，
∴不存在满足条件的x ；
③若3x ≥，不等式可变为(1)(3)4x x -+->， 即24x -＞4， 解得x ＞4． 又x ≥3， ∴x ＞4．
综上所述，原不等式的解为 x ＜0，或x ＞4．
解法二：如图1．1－1，1-x 表示x 轴上坐标为x 的点P 到坐标为1的点A 之间的距离|P A |，即|P A |＝|x －1|；|x －3|表示x 轴上点P 到坐标为2的点B 之间的距离|PB |，即|PB |＝|x －3|．
所以，不等式13x x -+-＞4的几何意义即为
|P A |＋|PB |＞4． 由|AB |＝2，可知
点P 在点C (坐标为0)的左侧、或点P 在点D (坐标为4)的右侧．
x ＜0，或x ＞4．
A C P |x －1|
|x －3|
图1．1－1
练习
1．填空题：
（1）若5=x ，则x =_________；若4-=x ，则x =_________.
（2）如果5=+b a ，且1-=a ，则b ＝________；若21=-c ，则c ＝________ 2．选择题：
下列叙述正确的是 （ ）
（A ）若a b =，则a b = （B ）若a b >，则a b > （C ）若a b <，则a b < （D ）若a b =，则a b =± 3．化简：|x －5|－|2x －13|（x ＞5）．
4．解下列不等式： （1）3233x x ++-≥
（2）134x x +-->-
（二）二次根式（1）
0)a ≥的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不
能够开得尽方的式子称为无理式. 例如 32a b 等是无理
式，而212
x ++，22x y ++ 1．分母（子）有理化
把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，
例如
等等． 一般地，与，b 与b 互为有理化因式．
分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程
在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，
0,0)a b =≥≥；而对于二次根式的除法，通常先
写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式．
2．二次根式的意义
a ==,0,
,0.
a a a a ≥??
-
例1 将下列式子化为最简二次根式：
（1） （20)a ≥； （30)x <．
解： （1=
（20)a ==≥；
（3220)x x x ==-<．
例2 (3．
解法一： (3-
解法二： (3
＝
1
2
． 例3 试比较下列各组数的大小：
（1； （2
.
解： （1
1=
==
，
1===
，
>
∴．
（2）∵
1=
== 又 4＞22，
∴6＋4＞6＋22，
∴
练习：
1．将下列式子化为最简二次根式：
（1） （2）
2．计算：
3．比较下大小：-
例4 化简：20042005+?．
解：20042005?-
＝20042004??
＝2004
??+????
＝20041?
例 5 化简：（1） （21)x <<．
解：（1）原式=
=
=
2=2=．
（2）原式=1x x =-，
∵01x <<， ∴1
1x x
>>， 所以，原式＝1
x x
-．
例 6 已知x y ==
22353x xy y -+的值 ．
解： ∵2210x y +==+=，
1xy =
=， ∴22223533()1131011289x xy y x y xy -+=+-=?-=．
练习
1．填空题：
（1
＝__ ___；
（2(x =-x 的取值范围是_ _ ___；
（3）=__ ___；
（4）若
x ==______ __．
(5)
= 。
（6）比较大小：2－4（填“＞”，或“＜”）．
2．若1
b a =+，求a b +的值．
（三）分式 1．分式的意义
形如
A B 的式子，若B 中含有字母，且0B ≠，则称A B 为分式．当M ≠0时，分式A B 具有下列性质：
A A M
B B M ?=?；
A A M
B
B M
÷=÷．
上述性质被称为分式的基本性质．
2．繁分式
像a
b c d
+，2m n p
m n p
+++这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．
例1．若54(2)2
x A B
x x x x +=+++，求常数,A B 的值．
解： ∵(2)()254
2(2)(2)(2)A B A x Bx A B x A x x x x x x x x x ++++++===++++，
∴5,
24,A B A +=??=?
解得 2,3A B ==．
例2．（1）试证：111
(1)1n n n n =-++（其中n 是正整数）；
（2）计算：111
1223910
+++
???L ； （3）证明：对任意大于1的正整数n ， 有
11112334(1)2
n n +++
1(1)(1)n n n n n n n n +--==+++，
∴111
(1)1
n n n n =-++（其中n 是正整数）成立．
（2）解：由（1）可知
1111223910+++???L 11111
(1)()()223910
=-+-++-L
1
110=-
＝910
． （3）证明：∵1112334(1)n n +++??+L ＝111111
()()()23341n n -+-++-+L
＝11
21
n -+，
又n ≥2，且n 是正整数，
∴1
n ＋1
一定为正数，
∴111
2334(1)
n n +++??+L ＜12 ． 例3 设c
e a
=，且e ＞1，2c 2－5ac ＋2a 2＝0，求e 的值．
解：在2c 2－5ac ＋2a 2＝0两边同除以a 2，得 2e 2－5e ＋2＝0， ∴(2e －1)(e －2)＝0，
∴e ＝1
2 ＜1，舍去；或e ＝2． ∴e ＝2．
练习
1.对任意的正整数n ，1(2)n n =+ (11
2
n n -+)；
2.若
223
x y x y -=+，则x
y ＝ 。 3．正数,x y 满足22
2x y xy -=，求x y x y
-+的值．
4．计算1111
(12233499100)
++++
????．
习题
A 组
1．填空题：
（1）1819
(2(2+-＝________；
（22=，则a 的取值范围是________； （3
=________．
2．解不等式：
(1) 13x ->； (2) 327x x ++-< ； (3) 116x x -++>．
3．已知1x y +=，求33
3x y xy ++的值．
B 组
1．填空题：
（1）12a =，1
3
b =，则22
23352a ab a ab b -=+- ； （2）若22
20x xy y +-=，则2222
3x xy y x y
++=+ ；
2．已知：11
,23x y =
=的值．
3．解方程22112()3()10x x x x
+-+-=．