第十六章二次根式
16.1 二次根式
第1课时二次根式的概念和性质
1.二次根式的概念和应用.
2.二次根式的非负性.
重点
二次根式的概念.
难点
二次根式的非负性.
一、情景导入
师:(多媒体展示)请同学们看屏幕,这是东方明珠电视塔.
电视节目信号的传播半径r/km与电视塔高h/km之间有近似关系r=2Rh(R
为地球半径).如果两个电视塔的高分别为h
1km,h
2
km,那么它们的传播半径
之比为多少?同学们能化简这个式子吗?
由学生计算、讨论后得出结果,并提问.
生:半径之比为2Rh
1
2Rh
2
,暂时我们还不会对它进行化简.
师:那么怎么去化简它呢?这要用到二次根式的运算和化简.如何进行二次根式的运算?如何进行二次根式的化简?这将是本章所学的主要内容.
二、新课教授
活动1:知识迁移,归纳概念
(多媒体演示)用含根号的式子填空.
(1)17的算术平方根是________;
(2)如图,要做一个两条直角边长分别为7 cm和4 cm的三角形,斜边长应为________cm;
(3)一个长方形的围栏,长是宽的2倍,面积为130 m2,则它的宽为________m;
(4)面积为3的正方形的边长为________,面积为a的正方形的边长为____________;
(5)一个物体从高处自由落下,落到地面所用的时间t(单位:s)与开始落下时的高度h(单位:m)满足关系h=5t2.如果用含有h的式子表示t,则t=________.
【答案】(1)17 (2)65 (3)65 (4) 3 a
(5)h 5
活动2:二次根式的非负性
(多媒体展示)
(1)式子a表示的实际意义是什么?被开方数a满足什么条件时,式子a才有意义?
(2)当a>0时,a________0;当a=0时,a________0;二次根式是一个________.
【答案】(1)a的算术平方根,被开方数a必须是非负数(2)>=非负数
老师结合学生的回答,强调二次根式的非负性.
当a>0时,a表示a的算术平方根,因此a>0;
当a=0时,a表示0的算术平方根,因此a=0.
也就是说,当a≥0时,a≥0.
三、例题讲解
【例】当x是怎样的实数时,x-2在实数范围内有意义?
解:由x-2≥0,得x≥2.
所以当x≥2时,x-2在实数范围内有意义.
四、巩固练习
1.已知a -2+
b +12
=0,求-a 2
b 的值.
【答案】a -2≥0,b +12≥0,又∵它们的和为0,∴a -2=0且b +12
=
0,解得a =2,b =-1
2
.
∴-a 2
b =-22
×(-1
2
)=2.
2.若x ,y 使x -1+1-x -y =3有意义,求2x +y 的值. 【答案】-1 五、课堂小结
1.本节课主要学习了二次根式的概念.形如a (a≥0)的式子叫做二次根式,“ ”称为二次根号.
2.二次根式的被开方数必须是什么数才有意义?a (a≥0)又是什么数?
1.本节课的教学过程中,通过创设情境,给出实例,学生积极主动探索,教师引导与启发,师生互动,体现教师的组织者、引导者与合作者地位.
2.注重知识之间的衔接,在温故知新的过程中引出新知,讲练结合旨在巩
固学生对新知的理解.
第2课时 二次根式的化简
1.理解(a)2=a(a≥0),并能利用它进行计算和化简.
2.通过具体数据的解答,探究a 2=a(a≥0),并利用这个结论解决具体问题.
重点
理解并掌握(a)2=a(a≥0),a 2=a(a≥0)以及它们的运用.
难点
探究结论.
一、复习导入
教师复习口述上节课的重要内容,并板书:
1.形如a(a≥0)的式子叫做二次根式.
2.a(a≥0)是一个非负数.
那么,当a≥0时,(a)2等于什么呢?下面我们一起来探究这个问题.二、新课教授
活动1:
(多媒体演示)根据算术平方根的意义填空:
(4)2=________;(2)2=________;
(1
3
)2=________;(
5
2
)2=________;
(0.01)2=________;(0)2=________.
由学生计算、讨论得出结果,并提问部分过程,教师进行点评.
老师点评:
4是4的算术平方根,根据算术平方根的意义,4是一个平方等于4的非负数,因此(4)2=4.
同理:(2)2=2;(1
3
)2=
1
3
;(
5
2
)2=
5
2
;(0.01)2=0.01;(0)2=0.
所以归纳出:(a)2=a(a≥0).【例1】教材第3页例2
活动2:
(多媒体展示)填空:
22=________;0.12=________;
(1
3
)2=________;(
3
7
)2=________;
(21
2
)2=________;02=________.
教师点评:
根据算术平方根的意义,我们可以得到:
22=2;0.12=0.1;(1
3
)2=
1
3
;
(3
7
)2=
3
7
;(2
1
2
)2=2
1
2
;02=0.
所以归纳出:a2=a(a≥0).
【例2】教材第4页例3
教师点评:
当a≥0时,a2=a;
当a≤0时,a2=-a.
三、课堂小结
本节课应理解并掌握(a)2=a(a≥0)和a2=a(a≥0)及其运用,同时应理解a2=-a(a≤0).
1.注意前后知识之间的联系,在复习旧知的过程中导入本节课的教学内容.按照由特殊到一般的规律,降低学生理解的难度.
2.在总结二次根式性质的过程中,由学生经过观察、分析的过程,让学生在交流活动中体会成功.
16.2 二次根式的乘除
第1课时二次根式的乘法
理解并掌握a·b=ab(a≥0,b≥0),a·b=a·b(a≥0,b≥0),会利用它们进行计算和化简.
重点
a·b=ab(a≥0,b≥0),a·b=a·b(a≥0,b≥0)及它们的运用.
难点
利用逆向思维,导出a·b=a·b(a≥0,b≥0).
一、创设情境,导入新课
活动1:发现探究
(多媒体展示)填空:
(1)4×9=____________________________________________________________________ ____,
4×9=____________________________________________________________________ ____;
(2)25×16=____________________________________________________________________ ____,
25×16=____________________________________________________________________ ____;
(3)1
9
×36=
____________________________________________________________________ ____,
1
9
×36=____________________________________________________________________ ____;
(4)100×0=____________________________________________________________________ ____,
100×0=
____________________________________________________________________ ____.
生:(1)4×9=6,4×9=6;(2)25×16=20,25×16=20;(3)1 9
×36=2,1
9
×36=2;(4)100×0=0,100×0=0.
试一试,参考上面的结果,比较四组等式的大小关系.
生:上面各组中两个算式的结果相等.
二、新课教授
活动2:总结规律
结合刚才的计算,学生分组讨论,教师提问部分学生,最后教师综合学生的答案,加以点评,归纳出二次根式的乘法法则.
教师点评:
1.被开方数都是非负数.
2.两个非负数算术平方根的积等于它们积的算术平方根.
一般地,二次根式的乘法法则为:
a·b=ab(a≥0,b≥0)
由等式的对称性,反过来:
ab=a·b(a≥0,b≥0)
活动3:讲练结合
教材第6~7页例题
三、巩固练习
完成课本第7页的练习.
【答案】
课本练习第1题:(1)10;(2)6;(3)23;(4)2.
第2题:(1)77;(2)15;(3)2y;(4)4bc ac.
第3题:4 5.
四、课堂小结
本节课应掌握:a·b=ab(a≥0,b≥0),ab=a·b(a≥0,b≥0)
及其应用.
1.创设情境,给出实例.学生积极主动探索,教师引导启发,按照由特殊到一般的规律,降低学生理解的难度.
2.在二次根式乘法法则的形成过程中,由学生大胆猜测,经过思考、分析、
讨论的过程,让学生在交流中体会成
功.第2课时二次根式的除法
理解a
b
=
a
b
(a≥0,b>0)和
a
b
=
a
b
(a≥0,b>0),会利用它们进行计
算和化简.
重点
理解并掌握a
b
=
a
b
(a≥0,b>0),
a
b
=
a
b
(a≥0,b>0),利用它们进
行计算和化简.
难点
归纳二次根式的除法法则.
一、复习导入
活动1:
1.由学生回答二次根式的乘法法则及逆向等式.2.填空(多媒体展示).
(1)
9
25
=________,
9
25
=________;
(2)16
4
=________,
16
4
=________;
(3)81
49
=________,
81
49
=________;
(4)
36
64
=________,36
64
=________. 二、新课教授 活动2:
先由学生对上面的结果进行比较,观察每组两个算式结果的大小关系,并总结规律.
教师点评:
一个非负数的算术平方根除以一个正数的算术平方根,等于它们商的算术平方根.
一般地,二次根式的除法法则是: a b
=a
b
(a≥0,b >0) 由等式的对称性,反过来:
a b =a
b (a≥0,b >0) 【例】教材第8~9页例题 三、巩固练习
课本第10页练习第1题. 【答案】(1)3 (2)2 3 (3)3
3
(4)2a 四、课堂小结 本节课应掌握
a b =a b (a≥0,b >0)和a
b
=a
b
(a≥0,b >0)及其应用.
1.创设情境,复习二次根式的乘法,旨在类比学习二次根式的除法,培养学生继续探究的兴趣.
2.二次根式除法的学习过程,按照由特殊到一般的规律,由学生经历思考、讨论、分析的过程,让学生大胆猜测,使学生在交流中体会成功.
第3课时最简二次根式
最简二次根式的概念、利用最简二次根式的概念和性质进行二次根式的化简和运算.
重点
最简二次根式的运用.
难点
会判断这个二次根式是否是最简二次根式.
一、复习导入
(学习活动)请同学们完成下列各题.(请四位同学上台板书)
计算:(1)2
3
;(2)
26
18
;(3)
8
2a
;(4)
x3
x2y
.
教师点评:
(1)2
3
=
6
3
;(2)
26
18
=
23
3
;(3)
8
2a
=
2a
a
;(4)
x3
x2y
=
xy
y
.
二、新课教授
教师点评:上面这些式子的结果具有如下两个特点:
1.被开方数不含分母.
2.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
师:我们把满足上述两个条件的二次根式,叫做最简二次根式.(教师板书) 教师强调:在二次根式的运算中,一般要把最后结果化为最简二次根式.【例1】判断下列式子是不是最简二次根式,为什么?
(1)3xy 1
2
x;(2)25a3a3;(3)
1
x
;(4)0.2a.
解:(1)被开方数中有因数1
2
,因此它不是最简二次根式;(2)被开方数中有
开得尽方的因式a2,因此它不是最简二次根式;(3)被开方数中有分母,因此它