整式与分式必考知识典型例题专题 1、 理解整式与分式的区别，并能准确识别整式还是分式 2、 整式的乘方：a m ·a n =a m+n (a m )n =a mn (ab)n =a n b n a m ÷a n =a m+n a 0=1(a ≠0) 3、 单乘单，单乘多，多乘多，特殊的多乘多:(a+b)2 =a 2 +2ab+b 2 (a-b)2=a 2-2ab+b 2 (a+b)(a-b)= a 2-b 2 4、 因式分解：提公因式法：找公因式系数的最小公倍数，相同字母的最低次幂， 而后用多项式每一项除以公因式。 5、 公式法： a 2+2ab+ b 2=(a+b)2 a 2-2ab+ b 2=(a-b)2 a 2- b 2= (a+b)(a-b)（公式法关键在于准确的找准公式中的a 和b ） 注:一般考法：就是先提公因式而后用公式，所以因式分解先看能否提公因式而后才看两项还是三项确定用用公式。 6、 整式乘法是把积展开进行合并，结果为和的形式。 7、 因式分解是把和的形式化成为结果为积的形式。 典型例题： 1、 若x 2 +mx+4是关于x 的一次式的完全平方式，则m=_________________________。 2、 （2x －y ）（y+x ）－（2y+x ）（2y －x ） （多乘多减“括号”） 3、 4 2 2 4 2 2 3 3 2 2 ()()()()()()x x x x x x x x +-?--?-?-（一定看清楚共 4项） 4、 [（x+y ）2－（x －y ）2]÷2xy （展开进行合并在除） 5、 )2)(4)(22 2 y x y x y x +--（（展开进行合并结果注意不要倒回去） ))((y)-(x 2 y x y x -+-（区别完全平方公式和平方差公式）
辅导教案
18、已知实数x ，y 满足x 2+y 2－4x －2y+5=0，则32x y y x +-的值为________ 19、计算：（318+ 151504)322-÷= 20、如果 ，则=_______. 21、若 互为相反数，则_______。 22、将 根号外的a 移到根号内，得 __________ 23、在实数范围内分解因式 （1） ； （2） 24、 的整数部分是_________，小数部分是________。 25、 若 =3，则x 的取值范围是______ 26、 观察下列各式及其验证过程： ， 验证：； 验证： .
（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想 4 4 15 的变形结果，并进行验证； （2）针对上述各式反映的规律，写出用n(n≥2，且n是整数)表示的等式，并给出验证过程. 27、已知，则a_________ 28、已知，则a______ 29、二次根式、、的大小关系是______ 30、当0 35、如果xy= ，x －y=5－1，那么（x+1）（x －1）的值为________。 36、若m 为正实数，且13m m - =，221m m -则= 37、若a<－2， 的化简结果是________ 38、已知x=2+1，求（ 22121x x x x x x +---+）÷1x 的值． 39、对于题目“化简求值：1a +2212a a +-，其中a=15”，甲、乙两个学生的解答不同． 甲的解答是：1a +2212a a +-=1a +21()a a -=1a +1a －a=2495 a a -= 乙的解答是： 1a +2212a a +-=1a +21()a a -=1a +a －1a =a=15 谁的解答是错误的？为什么？ 40、已知x =12，x=________ 41、化简 = 42、已知三个数x ，y ，z 满足xy x y +＝－2，yz y z +＝43，zx z x +＝－43 ．则xyz xy yz zx ++的值为 . 分式练习题 1. （2013年天津市3分）若x=－1，y=2，则 222x 1x 64y x 8y ---的值等于【 】 A ．117- B ．117 C ．116 D ．115 2. （2013年内蒙古包头3分）函数1y x 1=+中，自变量x 的取值范围是【 】 A ．x ＞﹣1 B ．x ＜﹣1 C ．x ≠﹣1 D ．x ≠0 3. （2013年广东深圳3分）分式2x 4x 2 -+的值为0，则【 】 A.x=－2 B. x=±2 C. x=2 D. x=0 4. （2013年湖南娄底3分）有意义的x 的取值范围是【 】 A ．1x 2≥-且x≠1 B ．x≠1 C ．1x 2 ≥- D ．1x>2-且x≠1 5. （2013年湖北襄阳3分）有意义的x 的取值范围是 ． 6. （2013年重庆市B10分）先化简，再求值：2x 2x 1x 4x x 2x 4x 4+--??-÷ ?--+??，其中x 是不等式3x 71>+的负整数解。 7. （2013年贵州贵阳6分）先化简，再求值：22312x x x 1x x 2x 1 -??-÷ ?+++??，其中x=1． 8 （2013年黑龙江牡丹江农垦5分）先化简：24x 4x 4x x x ++??-÷ ?? ?，若﹣2≤x≤2，请你选择一个恰当的x 值（x 是整数）代入求值． 二次根式练习题 1.（2013年上海市4分）下列式子中，属于最简二次根式的是【】 （A）（B（C）（D 2.（2013年广东珠海3分）实数4的算术平方根是【】 A．－2 B．2 C．±2 D．±4 3.（2013年广西贺州3分）1的值在【】 A．2到3之间B．3到4之间C．4到5之间D．5到6之间 4.（2013年广西崇左3分）下列根式中，与是同类二次根式的是【】 A B C D 5.（2013年湖北武汉3分）x的取值范围是【】A．x<1 B．x≥1 C．x≤－1 D．x<－1 6.（2013年湖北荆州3分）计算】 A B C D 7.（2013年海南省3分）】 A B．C．D．2 8.（2013年山东临沂3分）】 A．B C．D 9. （2013年湖南常德3分）】 A．﹣1 B．1 C．4-D．7 10.（2013年湖北襄阳3分）有意义的x的取值范围是． 11.（2013年江苏宿迁3分）+的值是． 12.（2013年内蒙古包头3分）=． 第二讲 整式、分式 一、课标下复习指南 (一)代数式 1．代数式 用运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连接而成的式子，叫做代数式．单独一个数或表示数的字母也叫做代数式． 2．求代数式的值 用数值代替代数式里的字母，按照代数式指明的运算计算出结果，叫做求代数式的值． 3．代数式的分类 (二)整式 1．整式的有关概念 (1)单项式及有关概念 由数字和字母的积组成的代数式叫单项式，单独的一个数和单独的一个字母也叫单项式． 单项式的数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数之和叫做这个单项式的次数． (2)多项式及有关概念 几个单项式的和叫做多项式．在多项式中，每个单项式叫多项式的项，其中，不含字母的项叫做常数项．多项式里次数最高的项的次数叫多项式的次数． (3)同类项的概念 多项式中，所含字母相同，相同字母的指数也相同的项，叫做同类项．两个常数项也是同类项． 2．整式的运算 (1)整式的加减 ①合并同类项 把多项式中的同类项合并成一项，即把它们的系数相加作为新的系数，而字母部分不变，叫做合并同类项． ②添(去)括号法则 如果括号前面是正号，括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括号里的各项都改变符号． ③整式的加减 几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接；然后去括号，合并同类项． (2)整数指数幂及其运算性质 ①整数指数幂 正整数指数幂：?? ???≥????==),2(),1(为正整数个n n a a a a n a a n n 零指数幂：10=a (a ≠0)． 负整数指数幂：n n a a 1= -(a ≠0，n 为正整数)． ②整数指数幂的运算性质(以下四式中m ，n 都是整数) a m ·a n ＝a m ＋n ： (a m )n ＝a mn ； (ab )m ＝a m ·b m ． a m ÷a n ＝a m －n (a ≠0)． (3)整式的乘法 ①单项式乘以单项式，把它们的系数、相同字母分别相乘；对于只在一个单项式里含的字母，连同它的指数作为积的一个因式． ②单项式乘以多项式，根据分配律用这个单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加． ③多项式乘以多项式，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加． ④乘法公式： (a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2； (a ±b )2＝a 2±2ab ＋b 2； 常用的几个乘法公式的变形： a 2＋ b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝(a －b )2＋2ab ； (a －b )2 ＝(a ＋b )2 －4ab ． (4)整式的除法(结果为整式的) ①单项式除以单项式，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，只在被除式里含有的字母，连同它的指数也作为商的一个因式． ②多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加． 3．因式分解的概念 (1)因式分解的概念 把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解． 在因式分解时，应注意： ①在指定数(有理数、实数)的范围内进行因式分解，一定要分解到不能再分解为止，若题目中没有指定数的范围，一般是指在有理数范围内因式分解． ②因式分解后，如果有相同的因式，应写成幂的形式，并且要把各个因式化简，同时，每个因式的首项不含负号． ③多项式的因式分解是多项式乘法的逆变形． (2)因式分解的方法 ①提公因式法： ma ＋mb ＋mc ＝m (a ＋b ＋c )． ②运用公式法： a 2 －b 2＝(a ＋b )(a －b )； a 2±2ab ＋b 2＝(a ±b )2： *③十字相乘法： x 2＋(a ＋b )x ＋ab ＝(x ＋a )(x ＋b )． ④用一元二次方程求根公式分解二次三项式的方法： §1．4整式与分式 ★课标视点把握课程标准, 做到有的放矢 1.了解整数指数幂的意义和基本性质，会用科学记数法表示数（包括在计算器上表示）。 2.了解整式的概念，会用简单的整式的加、减运算；会进行简单的整式的乘法运算（其 中多项式相乘仅指一次式相乘）。 3.会推导乘法公式：（a+b）（a-b）=a2-b2；（a+b）2=a2+2ab+b2，了解公式的几何背景。 4.会用提取公因式法、公式法（直接用公式不超过二次）进行因式分解（指数是正整数）。 5.了解分式的概念，会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行简单的分式加、减 乘、除运算。 ★热点探视把握考试脉搏, 做到心中有数 1.把记作 ＋ C. D. (2009丽水市) 2.计算：a2·a3的结果是( ) A．a9 B．a8 C．a6 D．a5. (2009泉州市) 3.下列运算正确的是 A． B． C． D．(2009长沙市) 4.下列运算正确的是( )． A． 6a+2a=8a2 B． a2÷a2=0 C． a-(a-3)=-3 ·a2=a 5. 因式分解4—4a+a2，正确的是( )． A．4(1-a)+a2 B．(2-a)2 C． (2-a)(2-a) D． (2+a)2(2009 玉林) 6．已知：a＋b＝m，ab＝－4, 化简（a－2）（b－2）的结果是 A. 6 B. 2 m－8 C. 2 m D. －2 m (2009厦门) 7． (2009 扬州) 8．计算的结果为（）. （A）1 （B）x+1 （C）（D）（2009 武汉）9．若代数式的值是零，则＝；若代数式的值是零，则 ; 当x时，式子有意义． (2009 镇江) 10.如下图是由边长为a和b的两个正方形组成，通过用不同的方法，计算下图中阴影部分的面积，可以验证的一个公式是 .（ 2009泰州） a b a－b b 分式和二次根式专题训练 一、填空题：（每题 3 分，共 36 分） １、当 x ＿＿＿＿时，分式有意义。 ２、当＿＿＿＿时，有意义。 ３、计算：－a －1＝＿＿＿＿。 ４、化简：(x 2 －xy)÷＝＿＿＿＿。 ５、分式 ，，的最简公分母是＿＿＿＿。 ６、比较大小：2＿＿＿＿3。 ７、已知 ＝，则的值是＿＿＿＿。 ８、若最简根式和是同类根式，则 x ＋y ＝＿＿＿＿。 ９、仿照2＝·＝＝的做法，化简3 ＝＿＿＿＿。 10、当 2＜x ＜3 时，－＝＿＿＿＿。 11、若的小数部分是 a ，则 a ＝＿＿＿＿。 12、若 ＝＋＋2成立，则 x ＋y ＝＿＿＿＿。 二、选择题：（每题 4 分，共 24 分） １、下列各式中，属于分式的是（ ） A 、 B 、 C 、x ＋ D 、 ２、对于分式 总有（ ） A 、＝ B 、＝ C 、＝ D 、＝ ３、下列根式中，属最简二次根式的是（ ） A 、 B 、 C 、 D 、 ４、可以与合并的二次根式是（ ） A 、 B 、 C 、 D 、 x 2x －3 a －2a 2 a －1 x －y xy b 2a 24a 3b c a 5c 2 32x ＋2y 2y 5 2x ＋y y x ＋1y 30.5220.54×0.521 3 (2－x)2(x －3)2 31－x x －1x －y 22x ＋y 12x 2 1 x －1 1x －1x －1(x －1)21x －1x ＋1x 2－11x －112 (x －1)21x －11 1－x 27x 2＋11 2 a 2 b 182761 3 8y y ５、如果分式 中的 x 和 都扩大为原来的 2 倍，那么分式的值（ ） A 、扩大 2 倍 B 、扩大 4 倍 C 、不变 D 、缩小 2 倍 ６、当 x ＜0 时，｜－x ｜等于（ ） A 、0 B 、－2x C 、2x D 、－2x 或0 三、计算：（每题 6 分，共 24 分） １、()3÷()0×(－)－2 ２、(＋)÷ ３、－＋ ４、(3－2)2 四、计算：（每题 6 分，共 24 分） １、－＋ ２、÷(x ＋ 1)· ３、－· ４、4b ＋－3ab (＋) 五、解答题：（每题 8 分，共 32 分） １、某人在环形跑道上跑步，共跑两圈，第一圈的速度是 x 米/分钟，第二圈的速度是 米/分钟（x ＞），则他平均一分钟跑的路程是多少？ 2x x ＋y x 2b 2a 22b 23a b a x 2x －242－x x ＋2 2x 84 2 1223x x ＋y y y －x 2xy x 2－y 2x 2－1x 2＋4x ＋4x 2＋3x ＋2 x －1 20＋55 1312a b 2a a 5b 31 ab 4ab y y y 页脚内容1 整式的乘法与因式分解 一、选择题： 1.下列计算中正确的是 ( ) A ．842a a a =? B ．22a a a =÷ C ．5322a b a =+ D ．632)(a a -=- 2.下列运算中，正确的是 ( ) A. 632x x x =? B. 623)(x x =- C.2523a a a =+ D. 333)(b a b a =+ 3.化简23)()(x x -?-的结果正确的是 ( ) A.6x - B.6x C.5x D.5x - 4.下面是某同学在一次测验中的计算摘录，其中正确的个数有 ( ) ①5236)2(3x x x -=-?；②ab b a b a 2)2(423-=-÷③523)(a a = ； ④2 3)()(a a a -=-÷- A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 5.如果)(m x +与)3(+x 的乘积中不含x 的一次项，则m 的值为 ( ) A ．－3 B ．3 C ．0 D ．1 6.若153=x ,53=y 则y x -3等于 ( ) A ．5 B ．3 C ．15 D ．10 页脚内容2 7.))((22a ax x a x ++-的计算结果是 ( )． A ．3232a ax x -+ B ．33a x - C.3232a x a x ++ D ．322322a a ax x -++ 8.计算232x x ÷的结果是（ ） A ．x B ．x 2 C ．52x D ．62x 9.下列各式是完全平方式的是 ( )． A ．4 12+-x x B ．21x + C ．1++xy x D ．122-+x x 10. 若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m 的值等于 ( ) A. 3 B. -5 C. 7 D. 7或-1 11.把多项式a ax ax 22--分解因式，下列结果正确的是 ( ) A ．)1)(2(+-x x a B ．)1)(2(-+x x a C ．2)1(-x a D ．)1)(2(+-ax ax 12.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（ ） A. 22)(b a -+ B. mn m 2052- C. 22y x -- D.92+-x 二、填空题： 13.计算：23)(y x -= 532)(x x ÷ = 14.计算：)3 2)(32(n m n m --+-＝__________. 整式与分式 学员姓名：年级：课时数：2课时 辅导科目：数学学科教师：上课时间： 知识点： 例题讲解： 一、整式的基本概念 （1）单项式 6a、vt、n-这样的式子叫做单项式。 像100t、2 注：单独的一个数字或一个字母也是单项式。 （2）系数 单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，例如：10n的系数是10，-的系数是-1。 n （3）次数 一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数，例如： 242x y 的次数为6，534a b -的次数为8。 （4）多项式 几个单项式的和叫做多项式。其中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。例如：4723323424313a b x y z a b c +-+有4项，常 数项为13。 （5）多项式的次数 多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。例如： 4723323424313 a b x y z a b c +-+的次数为11次， 4711233923424313a b x y z a b c +-+的次数还是11次。 (6)整式 单项式与多项式统称整式。 （7）同类项 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项。例如：3221x y 与2312y x -是同类项，而3214a b c 与3213a b -就不是同类项。 注：几个常数项也是同类项。 （8）合并同类项 合并同类项就是将同类项的系数相加减，字母及字母的指数不变。例如： 323232132310a b a b a b -+=。 注：整式的加减就是合并同类项的过程。 （一）单项式与多项式 1、观察下列代数式 ⑴2 2 a x ay +； ⑵2 122 x y -+； ⑶223xy -； ⑷0； ⑸29x -； ⑹832y x -； ⑺a a a 122-+；⑻xy y x -+53； ⑼33a b c －； ⑽x －y ； ⑾－a ； ⑿2 0.1－； ⒀2m m ； ⒁m m ππ+； 其中，单项式： 多项式： 二、同类项 2、下列各组中,不是同类项的是( ) （A ）2 n n x y +-与2+n n x y (n 为正整数) （B ）y x 25与23yx - 中考总复习：分式与二次根式—知识讲解（提高）【考纲要求】 1. 了解分式的概念，会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行分式的加、减、乘、除、乘方运算；能够根据具体问题数量关系列出简单的分式方程，会解简单的可化为一元一次方程的分式方程； 2. 利用二次根式的概念及性质进行二次根式的化简，运用二次根式的加、减、乘、除法的法则进行二次根式的运算．【知识网络】 【考点梳理】 考点一、分式的有关概念及性质 1．分式 设A、B表示两个整式．如果B中含有字母，式子就叫做分式．注意分母B的值不能为零，否则分式没有意义. 2.分式的基本性质 （M为不等于零的整式）. 3．最简分式 分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．如果分子分母有公因式，要进行约分化简. 要点诠释： 分式的概念需注意的问题： (1)分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线则可以理解为除号，还含有括号的作用； （2）分式中，A和B均为整式，A可含字母，也可不含字母，但B中必须含有字母且不为0； （3）判断一个代数式是否是分式，不要把原式约分变形，只根据它的原有形式进行判断． （4）分式有无意义的条件：在分式中， ①当B≠0时，分式有意义；当分式有意义时，B ≠0． ②当B=0时，分式无意义；当分式无意义时，B=0． ③当B≠0且A = 0时，分式的值为零． 考点二、分式的运算 1．基本运算法则 分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下: （1）加减运算错误！未找到引用源。±错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。 同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减. ； 异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算. （2）乘法运算 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母. （3）除法运算 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘. （4）乘方运算（分式乘方） 分式的乘方，把分子分母分别乘方． 2．零指数. 3．负整数指数 ? ２．５一整式 二 分式与二次根式综合题一能综合运用整式二 分式以及二次根式的知识解决问题．１．(２０１２ 湖北孝感)先化简,再求值:a －b a ?a －２a b －b ２a (),其中a ＝３＋１,b ＝３－１． ２．(２０１２ 湖北襄阳) 先化简,再求值:b ２－a ２a ２－a b ?a ＋２a b ＋b ２a () １a ＋１b (),其中a ＝２＋３,b ＝２－３． ３．(２０１２ 湖南湘潭) 先化简,再求值:１a ＋１－１a －１()?１a －１,其中a ＝２－１． ４．(２０１２ 湖北随州)先化简再求值: ３x －２＋２x ＋２()?５x ２＋２x x ２－４ ,其中x ＝６３．学科王独家 侵权必究 https://www.doczj.com/doc/e817968174.html,/ 第二章一式５．(２０１２ 江苏苏州) 先化简,再求值:２a －１＋a ２－４a ＋４a ２－１ a ＋１a －２,其中,a ＝２＋１．６．(２０１２ 青海)先化简,再求值:１－１x －１() ?１x ２－２x ＋１＋３x －４,其中x ＝７．７．(２０１２ 宁夏)化简,求值:x ２－x x ２－２x ＋１－x x ＋１ ,其中x ＝２．８．(２０１２ 四川泸州)先化简,再求值:x ２－２x x ２－１?x －１－２x －１x ＋１() ,其中x ＝２．９．(２０１２ 湖北荆门) 先化简,再求值:１a －３－a ＋１a ２－１() (a －３),其中a ＝２＋１．１０．(２０１２ 湖北黄石)先化简,后计算:８１－a ２a ２＋６a ＋９?９－a ２a ＋６ １a ＋９ ,其中a ＝３－３．１１．(２０１２ 辽宁阜新)先化简,再求值:a ＋１－２a a ()?１－a a ,其中a ＝１－２． １２．(２０１２ 湖北恩施)先化简,再求值:x ２＋２x ＋１x ＋２?x ２－１x －１ －x x ＋２ ,其中x ＝３－２．１３．(２０１２ 山东德州)已知:x ＝３＋１,y ＝３－１,求 x ２－２x y ＋y ２x ２－y ２的值．１４．(２０１２ 辽宁丹东)先化简,再求值:x ２x －１＋１１－x () ?１x ,其中x ＝２－１．１５．(２０１２ 贵州毕节)先化简,再求值:１x ＋１－３－x x ２－６x ＋９ ?x ２＋x x －３,其中x ＝２．１６．(２０１２ 广东广州) 已知１a ＋１b ＝５(a ?b ),求a b (a －b )－b a (a －b )的值． 1、当x=－0.2时，求代数式2x 2－3x+5－7x 2 +3x －5的值． 2、化简： 3、已知 ，求代数式 的值。 4、给出三个多项式： ， ， ．请选择你最喜欢的两个多项式进行加法运 算，并把结果因式分解． 5、先化简，再求值： ， 其中x=2,y=-1 6、 7、(ab 2)2·(－a 3b )3 ÷(－5ab )； 8、 9、． 10、 11、 12、(2x －5)2－(2x+5) 2 13、 14、（x －3）2－（x ＋2）（x －2）． 15、 . 16、计算：(1－)(1－)……(1－)(1－). 17、 18、(x＋1)(x2＋1)(x4＋1)(x－1) 19、化简： 20、 21、[(m+3n)2-(m-3n)2]÷(-3mn) 22、因式分解 23、.因式分解：3x 3-12xy 2 24、.因式分解：3x 2+6xy+3y 2 25、因式分解： 26、分解因式： 2m2－6m－20．27、计算与求值29×20.03+72×20.03+13×20.03 －14×20.03. 28、分解因式： 9a2(x－y)＋4b2(y－x)； 29、分解因式： 30、分解因式：； 31、分解因式：a n＋2＋a n＋1－3a n； 32、因式分解： 33、计算： 34、 35、 36、； 37、 38、 39、． 40、 参考答案 一、计算题 1、化简，得－5x2，代入得－0.2． 2、 3、解：∵ ∴ 4、+（）=x2+6x=x(x+6) +()=x2-1=(x+1)(x-1) +()=x2+2x+1=(x+1)2 5、解：原式= = 当x=2,y=-1 原式= =16 6、6a3-35a2+13a； 7、； 8、 9 、原式 10、 11、 12、－40x 13、 =6x+5 14、 15、 . = = 16、原式＝（1－）（1+）（1－）（1+）…… （1－）（1+）（1－）（1+） ＝ ＝. 17、； 18、； 19、 1.整式 用运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连结而成的式子叫代数式．单独的一个数或一个字母也是代数式． 只含有数与字母的积的代数式叫单项式． 注意：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数 表示，如：b a 2314-这种表示就是错误的，应写成：b a 2313 -．一个单项式中， 所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．如：c b a 235-是六次单项式． 几个单项式的和叫多项式．其中每个单项式叫做这个多项式的项．多项式中不含字母的项叫做常数项．多项式里次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数． 单项式和多项式统称整式． 用数值代替代数式中的字母，按照代数式指明的运算，计算出的结果，叫代数式的值． 注意：(1)求代数式的值，一般是先将代数式化简，然后再将字母的取值代入 (2)求代数式的值，有时求不出其字母的值，需要利用技巧，利用“整 体”代入． 2.同类项 所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项．几个常数项也是同类项． 注意：(1)同类项与系数大小没有关系； (2)同类项与它们所含字母的顺序没有关系． 把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项． 合并同类项的法则是：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变． 去括号法则1：括号前是“＋” ，把括号和它前面的“＋”号一起去掉，括号里各项都不变号． 去括号法则2：括号前是“－” ，把括号和它前面的“－”号一起去掉，括号里各项都变号． 整式的加减法运算的一般步骤：(1)去括号；(2)合并同类项． 同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．如： 知识点大全 2. 代数式（分类） 2.1. 整式（包含题目总数：15） 001020； 001030； 001040； 001050； 001070； 001110； 001130； 001140； 001150； 001160； 001170； 001180； 001200； 001220； 001230； 2.1.1. 整式的有关概念 用运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连结而成的式子叫代数式．单独的一个数或一个字母也是代数式． 只含有数与字母的积的代数式叫单项式． 注意：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示，如： b a 2314-这种表示就是错误的，应写成：b a 23 13-．一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．如：c b a 235-是六次单项式． 几个单项式的和叫多项式．其中每个单项式叫做这个多项式的项．多项式中不含字母的 项叫做常数项．多项式里次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数． 单项式和多项式统称整式． 用数值代替代数式中的字母，按照代数式指明的运算，计算出的结果，叫代数式的值． 知识点大全 注意： (1)求代数式的值，一般是先将代数式化简，然后再将字母的取值代入． (2)求代数式的值，有时求不出其字母的值，需要利用技巧，利用“整体”代入． 2.1.2. 同类项、合并同类项 所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项．几个常数项也是同类项． 注意： (1)同类项与系数大小没有关系； (2)同类项与它们所含字母的顺序没有关系． 把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项． 合并同类项的法则是：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变． 2.1. 3. 去括号法则 去括号法则1：括号前是“＋”，把括号和它前面的“＋”号一起去掉，括号里各项都不变号． 1、整式的概念和指数： 与 统称为整式。 单项式包括： 、 、 ； 一个单项式中所有字母的 叫做这个单项式的次数。 多项式：几个单项式的代数和多项式。 单项式中次数最 的项就是这个多项式的次数。 2、分式的概念和意义： 一般地，形如式子B A ，且 B ≠0叫做分式。 （1）、分式有意义的条件： （2）、分式无意义的条件： （3）、分式为0的条件： （4）、分式的基本性质：分式的分子与分母同时 （一个不等于0）的整式，分式的值不变。 （5）、约分： （6）、最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式时，这种分式叫做最简分式。 （7）、通分： （8）、最简公分母： （9）、分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。注意：分母有理化时，分子与分母需要同时乘分母的有理化因式。 3、二次根式的概念和意义： （1）、定义：形如a （a ≥0）的式子，叫做二次根式。 （2）、二次根式有意义的条件： 二次根式无意义的条件： （3）、二次根式的性质： ()a 2 =a(a ≥0); a 2=a =?????<-=>)0()0(0)0(a a a a a a b =a b ? (a ≥0, b ≥0); ④b a =b a ( a ≥0, b ＞0)。 （4）、最简二次根式： 中不含二次根式； 被开方数中不含能开得尽的因数或因式。 （5）、 同类二次根式：最简二次根式后，被开方数相同，叫做同类二次根式。 知识点二：代数式的运算 (一)、整式的加减运算 (1)、同类项： （2）、合并同类项法则： （3）、去括号法则： （4）、整式的加减的实质就是合并同类项。 （二）、整式的乘除 （1）、同底数幂的乘法：a m ·a n = ，底数不变，指数相加. （2）、幂的乘方与积的乘方：(a m )n = ，底数不变，指数相乘； （3）、(ab)n = ，积的乘方等于各因式乘方的积. （4）、单项式的乘法：系数相乘，相同字母 ，只在一个因式中含有的字母，连同指数写在积里. （5）、单项式与多项式的乘法：m(a+b+c)= ，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 整式与分式必考知识典型例题专题 1、 理解整式与分式的区别，并能准确识别整式还是分式 2、 整式的乘方：a m ·a n =a m+n (a m )n =a mn (ab)n =a n b n a m ÷a n =a m+n a 0=1(a ≠0) 3、 单乘单，单乘多，多乘多，特殊的多乘多:(a+b)2=a 2+2ab+b 2 (a-b)2=a 2-2ab+b 2 (a+b)(a-b)= a 2-b 2 4、 因式分解：提公因式法：找公因式系数的最小公倍数，相同字母的最低次幂， 而后用多项式每一项除以公因式。 5、 公式法： a 2+2ab+b 2=(a+b)2 a 2-2ab+b 2=(a-b)2 a 2- b 2= (a+b)(a-b)（公式法关键在于准确的找准公式中的a 和b ） ， 注:一般考法：就是先提公因式而后用公式，所以因式分解先看能 否提公因式而后才看两项还是三项确定用用公式。 6、 整式乘法是把积展开进行合并，结果为和的形式。 7、 因式分解是把和的形式化成为结果为积的形式。 典型例题： 1、 若x 2+mx+4是关于x 的一次式的完全平方式，则 m=_________________________。 2、 （2x －y ）（y+x ）－（2y+x ）（2y －x ） （多乘多减“括号”） 3、 4224223322()()()()()()x x x x x x x x +-?--?-?-（一定看清楚共4项） < 4、 5、 [（x+y ）2－（x －y ）2]÷2xy （展开进行合并在除） 6、 )2)(4)(22 2y x y x y x +--（（展开进行合并结果注意不要倒回去） ))((y)-(x 2y x y x -+-（区别完全平方公式和平方差公式） 7、 (－m+n) (－m －n)（正确找准公式里的ab 是关键） " 8、 先化简再求值()()()737355322 -----a a a ，其中a=-2 9、 2)2 331(2y x --（先处理完全平方公式展开，而后于2相乘，注意符号） 10、 已知ab=2 a+b=3 求(a-b)2 =(a+b)2-4ab; a 2+b 2=(a+b)2-2ab 11、 ? 12、 因式分解（1）16(m －n ) 2－9(m ＋n )2 （2）9x 2－(x －2y ) 2 （3）－4(x ＋2y )2＋9(2x －y )2 （4）3375a a -= ； （5）39a b ab -= 2224m m n -= ； < （6）-a 2+4ab-4b 2= 分式：1、分母中含有字母是分式 2、分式的有无意义“分母”≠0有意义，等于0无意义； 3、分式的值为0（分子为0值为0，但保证分母不等于0） 4、分式的基本性质（分式分子分母的每一项乘以或除以一个不 中考总复习：分式与二次根式 【考纲要求】 1. 了解分式的概念，会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行分式的加、减、乘、除、乘方运算；能够根据具体问题数量关系列出简单的分式方程，会解简单的可化为一元一次方程的分式方程； 2. 利用二次根式的概念及性质进行二次根式的化简，运用二次根式的加、减、乘、除法的法则进行二次根式的运算． 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、分式的有关概念及性质 1．分式设A、B表示两个整式．如果B中含有字母，式子就叫做分式．注意分母B的值不能为零， 否则分式没有意义. 2.分式的基本性质（M为不等于零的整式）. 3．最简分式分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．如果分子分母有公因式，要进行约分化简. 要点诠释： 分式的概念需注意的问题： (1)分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线则可以理解为除号，还含有括号的作用； （2）分式中，A和B均为整式，A可含字母，也可不含字母，但B中必须含有字母且不为0； （3）判断一个代数式是否是分式，不要把原式约分变形，只根据它的原有形式进行判断． （4）分式有无意义的条件：在分式中， ①当B≠0时，分式有意义；当分式有意义时，B≠0． ②当B=0时，分式无意义；当分式无意义时，B=0． ③当B≠0且A = 0时，分式的值为零． 考点二、分式的运算 1．基本运算法则 分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下: （1）加减运算±= 同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减. ； 异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算. （2）乘法运算 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母. （3）除法运算 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘. （4）乘方运算（分式乘方） 分式的乘方，把分子分母分别乘方． 2．零指数. 3．负整数指数 4．分式的混合运算顺序 先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的． 5．约分把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分． 约分需明确的问题： (1)对于一个分式来说，约分就是要把分子与分母都除以同一个因式，使约分前后分式的值相等； 第五章整式、分式、二次根式的知识梳理 1、整式的概念和指数： 与统称为整式。 单项式包括：、、； 一个单项式中所有字母的叫做这个单项式的次数。多项式：几个单项式的代数和多项式。 单项式中次数最的项就是这个多项式的次数。 2、分式的概念和意义： A，且B≠0叫做分式。 一般地，形如式子 B （1）、分式有意义的条件： （2）、分式无意义的条件： （3）、分式为0的条件： （4）、分式的基本性质：分式的分子与分母同时（一个不等于0）的整式，分式的值不变。 （5）、约分： （6）、最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式时，这种分式叫做最简分式。 （7）、通分： （8）、最简公分母： （9）、分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。注意：分母有理化时，分子与分母需要同时乘分母的有理化因式。 3、二次根式的概念和意义： （1）、定义：形如a （a ≥0）的式子，叫做二次根式。 （2）、二次根式有意义的条件： 二次根式无意义的条件： （3）、二次根式的性质： ()a 2 =a(a ≥0); a 2=a =?? ???<-=>)0()0(0)0(a a a a a ab =a b ? (a ≥0, b ≥0); ④b a =b a ( a ≥0, b ＞0)。 （4）、最简二次根式： 中不含二次根式； 被开方数中不含能开得尽的因数或因式。 （5）、 同类二次根式：最简二次根式后，被开方数相同，叫做同类二次根式。 知识点二：代数式的运算 (一)、整式的加减运算 (1)、同类项： （2）、合并同类项法则： （3）、去括号法则： （4）、整式的加减的实质就是合并同类项。 （二）、整式的乘除 （1）、同底数幂的乘法：a m ·a n = ，底数不变，指数相加. 2019-2020年中考数学专题复习：整式与分式测试题 一、选择题(本大题共6题,每题4分,满分24分) 1..化简(－x 2)3的结果是 …………………………………………( ) (A)x 5 ; (B) x 6 ; (C) －x 5 ; (D) － x 6 . 2. 下列计算中，正确的是……………………………………… ( ) (A) ; (B); (C); (D) . 3.化简：(a ＋1)2－(a －1)2＝……………………………………… ( ) （A ）2; （B ）4; C ）4a; （D ）2a 2＋2. 4.计算()()??? ? ?+??? ??-+-+313191331x x x x 的结果是………………( ) (A)； (B)； （C ）0； (D). 5.若把分式中的x 和y 都扩大3倍，那么分式的值………( ) (A)扩大3倍； (B)不变； （C ）缩小3倍； (D)缩小6倍. 6. 计算：结果为…………………………………( ) (A)；1； (B)-1；； （C ）； (D). 二、填空题(本大题共12题,每题4分,满分48分) 7.当x =2，代数式的值为________________． 8.分解因式： ． 9.a 3÷a ·=___________________ 10.计算(a +2b )(a —b )= _______ ． 11. (a －b )2+ ____ =(a +b ) 2 12.分解因式: x 2－xy －2y 2＝ ． 13.当x 时,分式值为0；x 时,这个分式值无意义. 14.若是同类项，则m +n ＝____________. 15.计算：＝ _______________________. 16.化简： __________________ ． 分式和二次根式 (三) （分式和二次根式） 一、填空题：（每题 3 分，共 36 分） １、当 x ＿＿＿＿时，分式x 2 x －3 有意义。 ２、当＿＿＿＿时，a －2有意义。 ３、运算：a 2 a －1 －a －1＝＿＿＿＿。 ４、化简：(x 2－xy)÷x －y xy ＝＿＿＿＿。 ５、分式b 2a 2，4a 3bc ，a 5c 2的最简公分母是＿＿＿＿。 ６、比较大小：23＿＿＿＿32。 ７、已知x ＋2y 2y ＝ 5 2，则x ＋y y 的值是＿＿＿＿。 ８、若最简根式x ＋1和y 3是同类根式，则 x ＋y ＝＿＿＿＿。 ９、仿照20.5＝22·0.5＝4×0.5＝2的做法，化简3 1 3 ＝＿＿＿＿。 10、当 2＜x ＜3 时，(2－x)2－(x －3)2 ＝＿＿＿＿。 11、若3的小数部分是 a ，则 a ＝＿＿＿＿。 12、若 ＝1－x ＋x －1＋2成立，则 x ＋y ＝＿＿＿＿。 二、选择题：（每题 4 分，共 24 分） １、下列各式中，属于分式的是（ ） A 、x －y 2 B 、2 x ＋y C 、12x ＋ D 、x 2 ２、关于分式1 x －1总有（ ） A 、1 x －1＝x －1(x －1)2 B 、1x －1＝x ＋1x 2－1 C 、1x －1＝12(x －1)2 D 、1x －1＝11－x ３、下列根式中，属最简二次根式的是（ ） A 、27 B 、x 2＋1 C 、1 2 D 、a 2b ４、能够与18合并的二次根式是（ ） A 、27 B 、6 C 、1 3 D 、8 ５、假如分式 2x x ＋y 中的 x 和 都扩大为原先的 2 倍，那么分式的值（ ） A 、扩大 2 倍 B 、扩大 4 倍 C 、不变 D 、缩小 2 倍 ６、当 x ＜0 时，｜x 2－x ｜等于（ ） y y y 整式与分式 一选择题： 1.若2x2y1﹣2m和3x n﹣1y2是同类项，则m n的值是（） A. B.﹣ C. D.﹣ 2.下列各式：①（x﹣2y）（2y+x）；②（x﹣2y）（﹣x﹣2y）；③（﹣x﹣2y）（x+2y）；④（x﹣2y）（﹣x+2y）．其中能用平方差公式计算的是（） A.①② B.①③ C.②③ D.②④ 3.计算（﹣2a2b）3的结果是（） A.﹣6a6b3 B.﹣8a6b3 C.8a6b3 D.﹣8a5b3 4.下列因式分解正确的是（） A.ax2﹣ay2=a（x2+y2） B.x2+2x+1=x（x+2）+1 C.（x+y）（x﹣y）=x2﹣y2 D.x2+4x+4=（x+2）2 5.若，，则等于( ) A.18 B.12 C.11 D.8 6.函数y= 中自变量x的取值范围是（） A.x≥0 B.x≠2 C.x≠3 D.x≥0，x≠2 且x≠3 7.下列与的结果相等的为（） A.； B.； C.64； D.-64； 8.如果，那么M等于( ) A. B. C. D. 9.计算的结果是（） A.1； B.x+1； C.； D.； 10.代数式2a2－3a+1的值是6，则4a2－6a+5的值是（） A.17 B.15 C.20 D.25 11.如果（x﹣2）（x﹣3）=x2+px+q，那么p、q的值是（） A.p=﹣5，q=6 B.p=1，q=﹣6 C.p=1，q=6 D.p=1，q=﹣6 12.设P=，Q=，则P与Q的关系是( ) A.P=Q B.P＞Q C.P＜Q D.互为相反数 13.化简÷（1+）的结果是（） A. B. C. D. 14.若m+n=3，则2m2+4mn+2n2﹣6的值为（） A.12 B.6 C.3 D.0 15.若a+b=5，ab=﹣24，则a2+b2的值等于（） A.73 B.49 C.43 D.23 16.若ab=﹣3，a﹣2b=5，则a2b﹣2ab2的值是（） A.﹣15 B.15 C.2 D.﹣8 17.已知两数和的平方是x2＋(k－2)x＋81，则k的值为( ) A.20 B.－16 C.20或－16 D.－20或16 18.在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”．如记 ，; 已知，则m的值是( ) A.40 B.- 70 C.- 40 D.- 20 19.若x、y是有理数，设N=3x2+2y2﹣18x+8y+35，则N（） A.一定是负数 B.一定不是负数 C.一定是正数 D.N的取值与x、y的取值有关 20.为了求的值，可令S=，则2S=,因此2S-S=,所以=仿照以上推理计算出值是（） A. B. C. D.
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