精心整理
数论模块
数论题的特点就是简洁明了，信息量看起来往往比较少，所以很多同学在见到数论题的时候总会觉得无从入手，因此，做数论题时很重要的一点就是寻找突破口，走对方向。另外，数论模块的另一个特点就是：知识点非常多。但相比组合而言，数论至少显得更“有法可依”，考场上一定要敢去思考数论题，“战略上藐视，战术上重视”，战略上要相信，考题所用的知识点绝对不会超出小学知识范畴，而考前我们能做的，就是好好研究一下战术——如何应对每一类题目。
我就不详细讲每一个知识点（确实非常之多，关键在于平常积累），在这里，我就解数论题的三个突破口来谈谈考场上如何找到数论题的解题思路。
还是那个我在课堂上讲过很多遍的例子：任意找一个数，我们都可以从三个角度去分析它，例如154：
（1）我们可以说它是一百五十四，在这里，1是百位上的数字，它代表1个100，5代表5个10，4代表4个1，这可以说是位值原理的角度；
（2）154＝2×7×11，分解质因数；
（3）154除以5余4，除以9余1，我们可以研究它除以任意一个数所得的商和余数；
以上三种角度分析一个数也映射出数论体系的三大块内容，同时也是我们分析数论问题的三种方式，三个突破口。下面我来详细讲讲每一个角度。
一、位值原理和整除。
其实所有数字的整除特性都是利用位值原理推导出来的，从这个也反映出了学习数论的一个策略：找到知识点的源头，知道它们是怎么来的，这样就不用背那么多知识点了。
言归正传，什么样的题目我们往这个角度去思考呢？有些题目比较明显，就不用多说了，举个最简单的例子：55□39能被11整除，请问□是几？这种题就直接利用整除特性就OK了。考得比较多的，比如这样的题目：“一个三位数A的三个数字所组成的最大三位数与最小三位数的差仍是数A，这个三位数A是多少？”题中提到了X位数或者提到了这个数里面的某几位数字的，可以考虑用位值原理。利用位值原理对题目进行“翻译”——也就是把文字翻译成数学语言（数学式子），再结合其他的知识点去“加工”，一步步地解答它。
这就是我常常对学生说的：不要对着题目干想，一定要动笔，尝试“翻译”题目。借用薛威阳老师的理念，就是“把思路放在纸上”。
二、分解质因数。
这也是约数、倍数、质数、合数、平方数的核心。所以涉及到约倍质合及平方数的问题就可以从分解质因数的角度去研究研究，题目中如果有具体数字，不妨对其进行质因数分解，从它的因子中寻找解题思路。如果题目中没有给定具体数字，而是让你求这个数，那么也可以从题目中给的信息去探索这个数含有的质因子及其个数。这部分内容的知识点最多，同学们务必熟练掌握，否则一切都是空谈。
三、余数。
常考的余数问题基本可以分成四类：带余除法、余数周期问题、同余问题、“物不知其数”，解题时关键要分清楚它到底是想考你什么，这样才能拿出正确的破解方法。下面我简单谈谈这四类问题：1、带余除法。
最关键就是理清被除数、除数、商、余数的关系，特别需要注意的是，余数肯定小于除数。出题者常常会在这里设置陷阱。
2、余数周期。
这其中又分为递推数列（给一串数，要求第X个数除以某个数的余数）和次幂（求一个数的X次
方除以某个数的余数）相关的余数问题，处理这两类问题一个最直接的做法就是找规律，因为它们除以某数的余数都是有周期的。
3、同余问题。
很多人分不清同余问题和“物不知其数”问题的区别。举个例子：“一个自然数除429、791、500所得的余数分别是a＋5、2a、a，求这个自然数和a的值。”这是同余问题，已知被除数和余数，求除数。这种问题就是想办法把余数都化为相同的数，然后两两做差求最大公约数。
4、“物不知其数”。
与同余问题对应的，举个例子：“一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个数。”已知除数和余数，求被除数。接这种问题又两个万能方法：逐级满足和中国剩余定理。但是考试往往不考这两个方法，这两个方法往往也比较繁琐。考试题里不妨去研究研究题中给的除数和对应的余数的关系（和或差），若他们的和或差相同，那么就有简单的解题方法（即所谓“加同补”、“减同余”），实在没有，再考虑逐级满足和中国剩余定理。
最后我把小学数论里需要掌握的知识点列个简单的大纲，务必拿出来复习一下，如果这些基础都没有，那上面的这些都是空谈，甚至都看不懂。
1、奇偶性质；
2、特殊数（2、5、
3、9、11、13、……）的整除特定和余数特性；
3、质数、合数相关性质，判断一个数是质数或合数的方法，分解质因数；
4、约数、倍数、最大公约数、最小公倍数的求法和相关性质，约数个数定理；
5、完全平方数的性质；
6、带余除法，弃九法，同余问题和“物不知其数”问题的几个处理方法。
余数问题---四大绝技
（加同补；减同余；中国剩余定理；逐步约束法）
“差同减差，和同加和，余同取余，最小公倍加”这是同余问题的口诀。
所谓同余问题，就是给出“一个数除以几个不同的数”的余数，反求这个数，称作同余问题。
首先要对这几个不同的数的最小公倍数心中有数，下面以4、5、6为例，请记住它们的最小公倍数是60。
1、差同减差：用一个数除以几个不同的数，得到的余数，与除数的差相同，
此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数，减去这个相同的差数，称为：“差同减差”。例：“一个数除以4余1，除以5余2，除以6余3”，因为4-1=5-2=6-3=3，所以取-3，表示为60n-3。
【60后面的“n”请见4、，下同】
2、和同加和：用一个数除以几个不同的数，得到的余数，与除数的和相同，
此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数，加上这个相同的和数，称为：“和同加和”。例：“一个数除以4余3，除以5余2，除以6余1”，因为4+3=5+2=6+1=7，所以取+7，表示为60n+7。
3、余同取余：用一个数除以几个不同的数，得到的余数相同，
此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数，加上这个相同的余数，称为：“余同取余”。例：“一个数除以4余1，除以5余1，除以6余1”，因为余数都是1，所以取+1，表示为60n+1。
4、最小公倍加：所选取的数加上除数的最小公倍数的任意整数倍（即上面1、2、3中的60n）都满足条件，
称为：“最小公倍加”，也称为：“公倍数作周期”。
弃九法
从第4讲知道，如果一个数的各个数位上的数字之和能被9整除，那么这个数能被9整除；如果一个数各个数位上的数字之和被9除余数是几，那么这个数被9除的余数也一定是几。利用这个性质可以迅速地判断一个数能否被9整除或者求出被9除的余数是几。
例如，3645732这个数，各个数位上的数字之和为
3＋6＋4＋5＋7＋3＋2＝30，
30被9除余3，所以3645732这个数不能被9整除，且被9除后余数为3。
但是，当一个数的数位较多时，这种计算麻烦且易错。有没有更简便的方法呢？
因为我们只是判断这个式子被9除的余数，所以凡是若干个数的和是9时，就把这些数划掉，如3＋6＝9，4＋5＝9，7＋2＝9，把这些数划掉后，最多只剩下一个3（如下图），所以这个数除以9的余数是3。
这种将和为9或9的倍数的数字划掉，用剩下的数字和求除以9的余数的方法，叫做弃九法。
一个数被9除的余数叫做这个数的九余数。利用弃九法可以计算一个数的九余数，还可以检验四则运算的正确性。
分析与解：利用弃九法，将和为9的数依次划掉。
只剩下7，6，1，5四个数，这时口算一下即可。口算知，7，6，5的和是9的倍数，又可划掉，只剩下1。所以这个多位数除以9余1。
例2将自然数1，2，3，……如果一直写到自然数100，那么所得的数除以9的余数是多少？
分析与解：因为这个数太大，全部写出来很麻烦，在使用弃九法时不能逐个划掉和为9或9的倍数的数，所以要配合适当的分析。我们已经熟知
1＋2＋3＋…＋9＝45，
而45是9的倍数，所以每一组1，2，3，…，9都可以划掉。在1～99这九十九个数中，个位数有十组1，2，3，…，9，都可划掉；十位数也有十组1，2，3，…，9，也都划掉。这样在这个大数中，除了0以外，只剩下最后的100中的数字1。所以这个数除以9余1。
在上面的解法中，并没有计算出这个数各个数位上的数字和，而是利用弃九法分析求解。本题还有其它简捷的解法。因为一个数与它的各个数位上的数字之和除以9的余数相同，所以题中这个数各个数位上的数字之和，与1＋2＋…＋100除以9的余数相同。
利用高斯求和法，知此和是5050。因为5050的数字和为5＋0＋5＋0=10，利用弃九法，弃去一个9余1，故50 50除以9余1。因此题中的数除以9余1。
例3检验下面的加法算式是否正确：
分析与解：若干个加数的九余数相加，所得和的九余数应当等于这些加数的和的九余数。如果不等，那么这
个加法算式肯定不正确。上式中，三个加数的九余数依次为8，4，6，8+4+6的九余数为0；和的九余数为1。因为0≠1，所以这个算式不正确。
例4检验下面的减法算式是否正确：
分析与解：被减数的九余数减去减数的九余数（若不够减，可在被减数的九余数上加9，然后再减）应当等于差的九余数。如果不等，那么这个减法计算肯定不正确。上式中被减数的九余数是3，减数的九余数是6，由（9 +3）-6＝6知，原题等号左边的九余数是6。等号右边的九余数也是6。因为6＝6，所以这个减法运算可能正确。
值得注意的是，这里我们用的是“可能正确”。利用弃九法检验加法、减法、乘法（见例5）运算的结果是否正确时，如果等号两边的九余数不相等，那么这个算式肯定不正确；如果等号两边的九余数相等，那么还不能确定算式是否正确，因为九余数只有0，1，2，…，8九种情况，不同的数可能有相同的九余数。所以用弃九法检验运算的正确性，只是一种粗略的检验。
例5检验下面的乘法算式是否正确：
46876×
分析与解：两个因数的九余数相乘，所得的数的九余数应当等于两个因数的乘积的九余数。如果不等，那么这个乘法计算肯定不正确。上式中，被乘数的九余数是4，乘数的九余数是6，4×6＝24，24的九余数是6。乘积的九余数是7。6≠7，所以这个算式不正确。
说明：因为除法是乘法的逆运算，被除数=除数×商+余数，所以当余数为零时，利用弃九法验算除法可化为用弃九法去验算乘法。例如，检验383801÷253=1517的正确性，只需检验1517×253=383801的正确性。
练习5
1.求下列各数除以9的余数：
2.求下列各式除以9的余数：
（1）67235＋82564；（2）97256-47823；
（3）2783×6451；（4）3477+265×841。
3.用弃九法检验下列各题计算的正确性：
（1）228×222＝50616；
（2）334×336＝112224；
÷6236＝3748；
（4）12345÷
4.有一个2000位的数A能被9整除，数A的各个数位上的数字之和是B，数B的各个数位上的数字之和是C，数C的各个数位上的数字之和是D。求D。
逐步约束法
一个班学生分组做游戏，如果每组三人就多两人，每组五人就多三人，每组七人就多四人，问这个班有多少学生？
解法：题目可以看成，除3余2，除5余3，除7余4。没有同余的情况，用的方法是“逐步约束法”，就是从“除7余4的数”中找出符合“除5余3的数”，就是再7上一直加4，直到所得的数除5余3。得出数为18，下面只要在18上一直加7和5得最小公倍数35，直到满足“除3余2”
4＋7＝11
11＋7＝18
18＋35＝53
这种方法也可以解“中国剩余定理”解的题目。比“中国剩余定理”更好理解，我觉的速度上会比那个繁琐的公式化的解题更快。
中国剩余定理
我国古代数学名着《孙子算经》中，记载这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何。”用现在的话来说就是：“有一批物品，3个3个地数余2个，5个5个地数余3个，7个7个地数余2个，问这批物品最少有多少个?”这个问题的解题思路，被称为“孙子问题”、“鬼谷算”、“隔墙算”、“韩信点兵”等等。那么，这个问题怎呢？明朝数学家程大位把这一解法编成四句歌诀：
三人同行七十（70）稀，
五树梅花廿一（21）枝，
七子团圆正月半（15），
除百零五（105）便得知。
歌诀中每一句话都是一步解法：第一句指除以3的余数用70去乘；第二句指除以5的余数用21去乘；第三句指除以7的余数用15去乘；第四句指上面乘得的三个积相加的和如超过105，就减去105的倍数，就得到答案了。即：
70×2＋21×3＋15×2－105×2=23
《孙子算经》的“物不知数”题虽然开创了一次同余式研究的先河，但由于题目比较简单，甚至用试猜的方法也能求得，所以尚没有上升到一套完整的计算程序和理论的高度。真正从完整的计算程序和理论上解决这个问题的，是南宋时期的数学家秦九韶。秦九韶于公元1247年写成的《数书九章》一书中提出了一个数学方法“大衍求一术”，系统地论述了一次同余式组解法的基本原理和一般程序。
从《孙子算经》到秦九韶《数书九章》对一次同余式问题的研究成果，在１９世纪中期开始受到西方数学界的重视。１８５２年，英国传教士伟烈亚力向欧洲介绍了《孙子算经》的“物不知数”题和秦九韶的“大衍求一术”；１８７６年，德国人马蒂生指出，中国的这一解法与西方１９世纪高斯《算术探究》中关于一次同余式组的解法完全一致。从此，中国古代数学的这一创造逐渐受到世界学者的瞩目，并在西方数学史着作中正式被称为“中国剩余定理”。
“中国剩余定理”算理及其应用：
为什么这样解呢？因为70是5和7的公倍数，且除以3余1。21是3和7的公倍数，且除以5余1。15是3和5的公倍数，且除以7余1。（任何一个一次同余式组，只要根据这个规律求出那几个关键数字，那么这个一次同余式组就不难解出了。）把70、21、15这三个数分别乘以它们的余数，再把三个积加起来是233，符合题意，但不是最小，而105又是3、5、7的最小公倍数，去掉105的倍数，剩下的差就是最小的一个答案。
用歌诀解题容易记忆，但有它的局限性，只能限于用3、5、7三个数去除，用其它的数去除就不行了。后来我国数学家又研究了这个问题，运用了像上面分析的方法那样进行解答。
例1：一个数被3除余1，被4除余2，被5除余4，这个数最小是几？
题中3、4、5三个数两两互质。
则〔4，5〕=20；〔3，5〕=15；〔3，4〕=12；〔3，4，5〕=60。
为了使20被3除余1，用20×2=40；
使15被4除余1，用15×3=45；
使12被5除余1，用12×3=36。
然后，40×1＋45×2＋36×4=274，
因为，274>60，所以，274－60×4=34，就是所求的数。
例2：一个数被3除余2，被7除余4，被8除余5，这个数最小是几？
题中3、7、8三个数两两互质。
则〔7，8〕=56；〔3，8〕=24；〔3，7〕=21；〔3，7，8〕=168。
为了使56被3除余1，用56×2=112；
使24被7除余1，用24×5=120。
使21被8除余1，用21×5=105；
然后，112×2＋120×4＋105×5=1229，
因为，1229>168，所以，1229－168×7=53，就是所求的数。
例3：一个数除以5余4，除以8余3，除以11余2，求满足条件的最小的自然数。
题中5、8、11三个数两两互质。
则〔8，11〕=88；〔5，11〕=55；〔5，8〕=40；〔5，8，11〕=440。
为了使88被5除余1，用88×2=176；
使55被8除余1，用55×7=385；
使40被11除余1，用40×8=320。
然后，176×4＋385×3＋320×2=2499，
因为，2499>440，所以，2499－440×5=299，就是所求的数。
例4：有一个年级的同学，每9人一排多5人，每7人一排多1人，每5人一排多2人，问这个年级至少有多少人？（幸福123老师问的题目）
题中9、7、5三个数两两互质。
则〔7，5〕=35；〔9，5〕=45；〔9，7〕=63；〔9，7，5〕=315。
为了使35被9除余1，用35×8=280；
使45被7除余1，用45×5=225；
使63被5除余1，用63×2=126。
然后，280×5＋225×1＋126×2=1877，
因为，1877>315，所以，1877－315×5=302，就是所求的数。
例5：有一个年级的同学，每9人一排多6人，每7人一排多2人，每5人一排多3人，问这个年级至少有多少人？（泽林老师的题目）
题中9、7、5三个数两两互质。
则〔7，5〕=35；〔9，5〕=45；〔9，7〕=63；〔9，7，5〕=315。
为了使35被9除余1，用35×8=280；
使45被7除余1，用45×5=225；
使63被5除余1，用63×2=126。
然后，280×6＋225×2＋126×3=2508，
因为，2508>315，所以，2508－315×7=303，就是所求的数。
（例5与例4的除数相同，那么各个余数要乘的“数”也分别相同，所不同的就是最后两步。）
有余数的除法的意义- 有余数的除法的意义 课型 新授 教学目标 1、让学生掌握有余数除法的计算方法。在具体的情境中，探索有余数除法的特点。 2、让学生在获取知识的过程中通过积累、观察、操作、讨论、交流、抽象、概括等数学活动，发展学生的抽象思维。能利用有余数除法解决一些简单问题，学会与人合作，并能与他人交流、思考。 3、让学生感受数学与生活的联系，体会数学的意义和作用，激发学习数学的乐趣。在独立思考和合作的过程中，锻炼克服困难的意志，培养积极参加活动的态度和习惯。重点 让学生掌握有余数除法的计算方法。在具体的情境中，探索有余数除法的特点。难点 让学生掌握有余数除法的计算方法。在具体的情境中，探索有余数除法的特点。教具准备 教学方法 教学过程 复备 一、回顾整理。上节课你学习了哪些知识？[设计意图：学生畅所欲言，以复习唤起记忆。]二、作业延续。1、要求18块巧克力可以平均分给几人，先要知道每人分几块，有很多种情况，你能列出算式吗？
学生尝试列式18÷2=9（人）18÷3=6（人）18÷4=4（人）……2（块）18÷5=3（人）……3（块）18÷6=3（人）18÷7=2（人）……4块）2、仔细观察，你发现了什么？3、先独立观察，然后小组讨论、交流。 4、你是怎样做出来的？以18÷7=2（人）……4（块）为例，师：“我们可以通过摆学具求出。如果不摆学具，你是怎样想到商2的？”启发学生说出“因为18里面最多有2个7，所以18除以7商2”。或者说“乘法口诀二七十四，三七二十一，因为18大于14，而小于21，所以只能商2。”[设计意图：作为作业的习题，学生思考时间相对较长，思考也较充分，在此作为新课延伸，会容易启发学生由旧知导入新知。总结出学生已掌握的两种求商方法：摆学具、用口诀。]三、先摆一摆，再计算。1、9根小棒，每两根一份，分了（）份，还剩（）根。2、把11根小棒平均分成4份，每份有（）根，还剩（）根。学生在答题纸上填写，教师巡视指导。指名说说试商的过程。[设计意图：加深摆学具求商的印象，理解算理。]四、试一试直接用乘法口诀求商。1、师：老师手里拿着几个气球？（18个），要分给几个小朋友？（5个），平均每人分几个？还剩几个？你能自己填一填算式吗？（学生填答题纸，教师巡视指导。）指名交流自己是怎样找到合适的商的。2、找规律通过刚才的练习，比较每道题里除数和余数的大小，你发现了什么？引导学生发现余数要比除数小的规律，同位互相说一说。集体交流。3、小结：在有余数的除法算式里，余数都比除数小。[设计意图：增强口诀求商的意识，并通过观察、比较，发现有余数的除法算式里
余数综合之余数问题解题技巧 4. 同余 （1）若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数， 那么称a、b关于m同余， 用式子表示为：a≡b (modm) 余 数的性质 1. 余数小于除数（2）若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除 2. 带余除法：被除数＝除数×商+余数用式子表示为：如果有a≡b(modm)， 那么一定有a－b＝mk，k是整数，即m|a－b 3. 余数的运算： （1）和的余数等于余数的和 5. 中国剩余定理 逐级满足法 【例1】（★）我爱数学少年数学夏令营试题【例2】(★★) （全国小学数学奥林匹克试题） 有48本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多5人。如果 把书全部分给第一组，那么每人4本，有剩余；每人5本，书不够。如果把书全分给第二组，那么每人3本，有剩余；每人4本，书不够。问：第二组有多少人? 有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、商与余数之和为2113，则被除数是多少？ 1
【例3】（★★★）【例4】(★★★)全国小学数学奥林匹克试题 一个三位数除以17和19都有余数，并且除以17后所得的商与余数的和等于它除以19后所得到的商与余数的和。那么这样的三位数中最大数是多少，最小数是多少？六张卡片上分别标上1193，1258，1842，1866，1912，2494六 个数，甲取3张，乙取2张，丙取1张，结果发现甲、乙各自手中卡片上的数之和一个人是另—个人的2倍，则丙手中卡片上的数是________。 【例5】(★★)【例6】(★★) 有一列数排成一行，其中第一个数是3，第二个数是10，从第三 个数开始，每个数恰好是前两个数的和，那么第1997个数被3 除所得的余数是多少？ 今天是星期四，101000天之后将是星期几？ 2
第七讲 教学目标 1、理解有余数除法的意义，掌握被除数、除数、商、余数之间的的关系。 2、利用余数解决生活中的一些周期规律的问题。 3、理解平均数的含义，总数量、总份数、平均数之间的相互转化，领会移动补少的运用。 第1课时余数的妙用 典型例题 例题1、一个整数除以27的商是81，余数是9，这个数是多少？ 例题2、算式（）÷7＝8……（）中被除数最大是几？最小是几？ 例题3、算式（）÷8＝（）……（）中，商和余数相同，被除数有哪些？ 例题4、在算式27÷（）＝（）……3中，除数和商分别是多少？ 例题5、在算式（）÷（）＝7……7中，除数最小应是几？被除数最小是几？ 例6、有一篮鸡蛋，如果每次拿3个，最后剩下2个；如果每次拿5个，最后剩下3个，这篮鸡蛋最少有多少个？
例题7、在元宵节前，学校在楼上挂了一串彩灯，彩灯按红、黄、蓝、绿、紫的顺序排列，请同学们算一算，第38盏彩灯应是什么颜色？ 例题8、2001年10月1日是星期一，10月25日是星期几？ 例题9、2004年6月1日是星期二，2004年9月1日是星期几？ 例题10、小茜数左手的手指，大拇指为1，食指为2，中指为3，无名指为4，小指为5，然后换向，无名指为6，中指为7，食指为8，大拇指为9，再换向，食指为10，……这样一直到100，停在哪个手指上？ 例题11、 甲乙丙丁戊甲乙丙丁戊甲…… 奥林匹克奥林匹克奥林匹…… 上表中，每一列两个字组成一组，如第一组（甲，奥）、第二组（乙、林）……，问第15组是什么？ 第2课时巧求平均数 典型例题 例题1、期末考试结束了，三（1）班的8个同学的数学成绩分别是85分、72分、95分、100分、98分、80分、83分、83分。这8个同学的平均分是多少？ 例题2、三（2）班的王晓明五次数学测试的平均分是90分，第五次测验得了94分，他前4次测验的平均分是多少分？
知识讲解 【知识点一】有余数除法的意义 问题把下面这些每2个摆一盘，摆一摆。 过程讲解 1.理解题意 题中有两幅图，左图中有6个草莓，右图中有7个草莓，分别把这两幅图中的草莓每2个摆一盘。 2.实际操作，摆一摆 (1)左图中的6个草莓，每2个摆一盘。 6个草莓，每2个摆一盘，正好摆3盘，用除法算式表示为6÷2=3（盘） (2)右图中的7个草莓，每2个摆一盘。 存在问题和解决方案： 家长签名：
7个草莓，每2个摆一盘，摆3盘，还剩1个草莓，用除法算式表示为 7÷2=3（盘）……1（个）。 3.明确有余数除法的意义 从分草莓的情况可以看出，在平均份时， 会出现两种情况：一种是正好分完；另一种 是有剩余。当有剩余且不够再分的时候，就 把剩余的数叫余数。即： 7÷2=3（盘）……1（个） 余数（表示分完之后剩下的数） 4.有余数除法算式的写法和读法 (1)写法。 先在等号的右面写商，点上6个小圆点，再写上余数。如： 7÷2=3 (1) 商 余数 (2)读法。 7÷2=3……1 读作：7除以2等于3余1。 归纳总结 易错点提示 剩余的1个草莓没有被平均分，所以不能写在商里面。 重点提示 商表示平均分的结果，余数表示平均分后剩下的数量。 余数是被除数平均分后剩下的数量，所以余数的单位名称应和被除数的单位名称相同。 … … … 当平均分一些物品有剩余且不够再分的时候，剩余的数叫余数，带有余数的除法就是有余数的除法。
【知识点二】余数与除数的关系 问题用不同数量的小棒摆正方形，你发现了什么？ 过程讲解 1.摆正方形并列出相应的除法算式 8根8÷4=2（个） 9根9÷4=2（个） (1) （根） 10根10÷4=2（个） (2) （根） 11根11÷4=2（个）……3（根） 12根12÷4=3（个）
第十讲余数问题 常考的余数问题基本可以分成四类：带余除法、余数周期问题、同余问题、“物不知其数”。解题时关键要分清楚它到底是想考你什么，这样才能拿出正确的破解方法。下面我简单谈谈这四类问题： ㈠带余除法。 一般地，如果.α是整数，b是整数（b≠0），那么一定有另外两个整数q和r， 使得α÷b＝q……r 或α＝b×q＋r 当r=0时，我们称α能被b整除。 当r≠0时，我们称α不能被b整除，r为α除以b的余数，q为α除以b的不完全商(也简称为商)。 带余除法最关键就是理清被除数、除数、商、余数的关系，特别需要注意的是，余数肯定小于除数。出题者常常会在这里设置陷阱。 ㈡余数周期。 这其中又分为递推数列（给一串数，要求第χ个数除以某个数的余数）和n次幂（求一个数的n次方除以某个数的余数）相关的余数问题，处理这两类问题一个最直接的做法就是找规律，因为它们除以某数的余数都是有周期的。例如，求3130÷13的余数。例如尖子班作业1。 ㈢同余问题。 1、什么是“同余” 整数α和b除以整数c，得到的余数相同，我们就说整数α、b对于模c同余。 记作：α≡b （mod c） 例如：15÷4＝3 (3) 23÷4＝5 (3) 15和23对于除数4同余。 记作：15 ≡23 （mod4） 可以理解为15和23除以4的余数相同。 2、“同余”的四个常用性质是什么 同余性质1：如果α≡ b (mod m)， 则m︱（α－b） 若两数同余，他们的差必是除数的倍数。 例如，73 ≡23 (mod 10) 则10︱（73－23）73与23的差是10的倍数。
同余性质2：如果α≡ b (mod m)， c ≡ d (mod m), 则α± c ≡ b ± d (mod m) 两数和的余数等于余数的和。 两数差的余数等于余数的差。 例如，73 ≡3 (mod 10) 84 ≡4 (mod 10) 73+84 ≡3+4≡7 (mod 10) 84－73≡4－3≡1 (mod 10) 同余性质3：如果α≡ b (模m)， c ≡ d (模m), 则α× c ≡b×d (模m) 两数积的余数等于余数的积。 例如，73 ≡3 (模10) 84 ≡4 (模10) 73×84 ≡3×4≡2 (模10) 同余性质4：如果α≡ b (模m) 则αn≡b n (模m) 某数乘方的余数，等于余数的乘方。 例如，40≡1 （mod13） 4031≡131≡1 （mod13） 很多人分不清同余问题和“物不知其数”问题的区别。举个例子：“一个自然数除429、791、500所得的余数分别是a＋5、2a、a，求这个自然数和a的值。”这是同余问题，已知被除数和余数，求除数。这种问题就是想办法把余数都化为相同的数，然后两两做差求最大公约数，就是“物不知其数”问题。 4、“物不知其数”。 与同余问题相对应的是“物不知其数”，例如：“一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个数。”这种问题有两个万能方法：逐级满足和中国剩余定理。但是考试往往不考这两个方法，这两个方法往往也比较繁琐。考试题里不妨去研究研究题中给的除数和对应的余数的关系（和或差），若他们的和或差相同，那么就有简单的解题方法（即所谓“加同补”、“减同余”），实在没有，再考虑逐级满足和中国剩余定理。 我们在解决“物不知其数”题目，有“四大绝招”把余数问题转化为“整除问题”：绝招一：减同余。例2、例3 绝招二：加同补。例4、作业4 、学案3 绝招三：中国剩余定理。绝招四：逐级满足法。
一、 带余除法的定义及性质 1. 定义：一般地，如果a 是整数，b 是整数（b ≠0）,若有a ÷b =q ……r ，也就是a ＝b ×q ＋r , 0≤r ＜b ；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里： (1)当0r =时：我们称a 可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或完全商 (2)当0r ≠时：我们称a 不可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或不完全商 一个完美的带余除法讲解模型:如图 这是一堆书，共有a 本，这个a 就可以理解为被除数，现在要求按照b 本一捆打包，那么b 就是除数的角色，经过打包后共打包了c 捆，那么这个c 就是商，最后还剩余d 本，这个d 就是余数。 这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。并且可以看出余数一定要比除数小。 2. 余数的性质 ⑴ 被除数=除数?商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数； ⑵ 余数小于除数． 二、 余数定理： 1.余数的加法定理 a 与 b 的和除以 c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之和，或这个和除以c 的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1. 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为 2 2.余数的加法定理 a 与 b 的差除以 c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之差。 知识框架 余数性质及同余定理
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23－16＝7除以5的余数等于2，两个余数差3－1＝ 2. 当余数的差不够减时时，补上除数再减。 例如：23，14除以5的余数分别是3和4，23－14＝9除以5的余数等于4，两个余数差为3＋5－4＝4 3.余数的乘法定理 a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1＝3。当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2. 乘方：如果a与b除以m的余数相同，那么n a与n b除以m的余数也相同． 一、同余定理 1、定义 整数a和b，除以一个大于1的自然数m所得余数相同，就称a和b对于模m同余或称a和b在模m下同余，即a≡b（modm） 2、同余的重要性质及举例。 〈1〉a≡a（modm）（a为任意自然）； 〈2〉若a≡b（modm），则b≡a（modm） 〈3〉若a≡b（modm），b≡c（modm）则a≡c（modm）； 〈4〉若a≡b（modm），则ac≡bc（modm） 〈5〉若a≡b（modm），c≡d（modm），则ac=bd（modm）； 〈6〉若a≡b（modm）则an≡bm（modm） 其中性质〈3〉常被称为"同余的可传递性"，性质〈4〉、〈5〉常被称为"同余的可乘性，"性质〈6〉常被称为"同余的可开方性" 注意：一般地同余没有"可除性"，但是：如果：ac=bc（modm）且（c，m）=1则a≡b（modm）3、整数分类： 〈1〉用2来将整数分类，分为两类： 1，3，5，7，9，……（奇数）； 0，2，4，6，8，……（偶数） 〈2〉用3来将整数分类，分为三类： 0，3，6，9，12，……（被3除余数是0） 1，4，7，10，13，……（被3除余数是1） 2，5，8，11，14，……（被3除余数是2）
第19讲 余数问题 知识梳理 一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r（也就是a=b×q+r）, 0≤r＜b； 当r=0时，我们称a能被b整除； 当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的商 两个整数a，b，如果它们除以同一自然数m所得的余数相同，则称a，b对于模m同余。记作：a≡b（mod ｍ）。读做：ａ同余于ｂ模ｍ。 同余的性质比较多，主要有以下一些： 性质（1）：对于同一个出书，两个数之和（或差）与它们的余数之和（或差）同余。比如：32除以5余数是2，19除以5余数是4，两个余数的和是2+4=6。“32+19”除以5的余数就恰好等于它们的余数和6除以5的余数。 性质（2）：对于同意个除数，两个数的乘积与它们余数的乘积同余。 性质（3）：对于同意个除数，如果有两个整数同余，那么它们的差就一定能被这个除数整除。 性质（4）：对于同意个除数，如果两个整数同余，那么它们的乘方仍然同余。 应用同余性质几萼体的关键是要在正确理解的基础上灵活运用同余性质。把求一个较大的数除以某数的余数问题转化为求一个较小的数除以这个数的余数，使复杂的题变简单，使困难的题变容易。 典型例题 【例1】★求1992×59除以7的余数。 【解析】可将1992×59转化为求1992除以7和59除以7的余数的乘积，使计算简化。1992除以7余4，59除以7余3。
根据同余性质，“4×3”除以7的余数与“1992×59”除以7的余数应该是相同的，通过求“4×3”除以7的余数就可知道1992×59除以7的余数了。因为1992×59≡4×3≡5（mod 7），以1992×59除以7的余数是5。 【小试牛刀】求4217×364除以6的余数。 【解析】2 【例2】★（清华附中小升初分班考试）甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数。 【解析】将余数先去掉变成整除性问题，利用倍数关系来做：从1088中减掉32以后，1056就应当是乙数的（11+1）倍，所以得到：乙数=1056÷12=88 ，甲数=1088-88=1000 。 【例3】★★1013除以一个两位数，余数是12。求出符合条件的所有的两位数。 【解析】1013-12=1001，1001=7×11×13，那么符合条件的所有的两位数有13、77、91。 【例4】★★已知2001年的国庆节是星期一，求2010年的国庆节是星期几？ 【解析】2001年国庆节到2010年国庆节之间共有2个闰年7个平年，即有“366×2+365×7”天。因为366×2≡2×2≡4（mod 7），365×7≡1×7≡0（mod 7），366×2+365×7≡2×2+1×7≡4+0≡4（mod 7） 答：2010年的国庆节是星期五。 【小试牛刀】已知2002年元旦是星期二。求2008年元旦是星期几？ 【解析】星期二 【例5】★★2001的2003次方除以13的余数。 【解析】可知2001的2003次方≡12的2003次方（mod 13），但12的2003次方仍然是一个很大的值，要求它的余数比较困难。这时的关键就是要找出12的几次方对模13与1是同余的。经试验可知12的平方≡1（mod 13），而2003≡2×1001+1。所以（12的平方）的1001次方≡1的1001（mod 13），即12的2002次方≡1（mod 13），而12的2003次方≡12的2002次方×12。根据同余性质（2）可知12的2002次方×12≡1×12≡12（mod 13） 因为：2001的2003次方≡12的2003次方（mod 13） 12的平方≡1（mod 13），而2003≡2×1001+1
公务员考试 行测之余数同余问题解题诀窍 在公务员考试的数量关系模块中，余数相关问题是考查的传统重点，也是令很多考生犯难的一种题型。 按照常考的题型，余数问题可以分为以下几类： 一、代入排除类型 【例1】（江西2009）学生在操场上列队做操，只知人数在90-110之间。如果排成3排则不多不少;排成5排则少2人;排成7排则少4人;则学生人数是多少?( ) A.102 B.98 C.104 D.108 【解析】像这样的题目直接代入选项，看看哪个符合题目所给的条件，哪个就是正确的答案，毫无疑问，选项108满足条件，选择D。 二、余数关系式和恒等式的应用 余数的关系式和恒等式比较简单，因为这一部分的知识点在小学时候就已经学过了，余数基本关系式：被除数÷除数=商…余数（0≤余数＜除数），但是在这里需要强调两点： 1、余数是有范围的（0≤余数＜除数），这需要引起大家足够的重视，因为这是某些题目的突破口。 2、由关系式转变的余数基本恒等式也需要掌握：被除
数=除数×商＋余数。 【例2】两个整数相除，商是5，余数是11，被除数、除数、商及余数的和是99，求被除数是多少？ A.12 B.41 C.67 D.71 【解析】余数是11，因此，根据余数的范围（0≤余数＜除数），我们能够确定除数＞11。除数为整数，所以除数≥12，根据余数的基本恒等式：被除数=除数×商＋余数≥12×商＋余数=12×5＋11=71，因此被除数最小为71，答案选择D选项。 【例3】有四个自然数A、B、C、D，它们的和不超过400，并且A除以B商是5余5，A除以C商是6余6，A除以D商是7余7。那么，这四个自然数的和是？ A. 216 B. 108 C. 314 D. 348 【解析】利用余数基本恒等式：被除数=除数×商＋余数，有A=B×5+5= (B+1)×5。由于A、B均是自然数，于是A可以被5整除，同理，A还可以被6、7整除，因此，A可以表示为5、6、7的公倍数，即210n。由于A、B、C、D的和不超过400，所以A只能等于210，从而可以求出B=41、C=34、D=29，得到A+B+C+D=314，选C。 像上面这两个题目，就是活用这两个知识点来解题的，所以在对这类问题的练习过程中，一定要牢牢地把握这两点。【相关链接】：2013年国家公务员考试备考
第一单元有余数的除法 第1课时有余数的除法（1） 教学目标： 1、在平均分若干物体的活动中认识余数，理解有余数除法的意义。 2、能根据平均分有剩余的的情况写出除法算式，正确表达商和余数，正确读出有余数的除法算式。 3、通过操作、思维、语言的有机结合，培养观察、分析、比较、综合、概括能力。 4、感受数学与生活的密切联系，体会数学的意义和作用。 教学重难点：理解有余数除法的意义。 教学用具：小棒 教学过程： 一、先学探究： 谈话：开学第一天，老师就准备了10枝新铅笔来考考小朋友们，你们愿意接受挑战吗？ 提出问题：这10枝铅笔我要分给大家。可是，怎样分才合理呢？ （1）学生自由发表意见，引导学生统一认识：每人分得同样多。 （2）谈话：每人分得同样多，可以怎么分？（每人分2枝、每人分3枝、每人分4枝……）如果每人分2枝，可以分给几人呢？如果每人分3枝，可以分给 几人呢？那么如果每人分4枝，可以分给几人呢？……我们来分一分。 二、交流共享 1、（1）分一分：（用小棒代替铅笔，小组合作） 指导操作。谈话：10枝铅笔每人分2枝，可以分给几人呢？请一组上台示 范分一分。分完后问：10枝铅笔每人分2枝后有没有分完？在表格中板书结果。 自主活动。谈话：如果每人分3枝、每人分4枝，分别分给几个人呢？你能用以上的方法在小组里分一分，并把不同的情况记录下来吗？ 学生分组活动，教师巡视指导。 （2）说一说： ①学生汇报交流，教师填写表格，确认结果。 ②谈话：观察分法，把它们分类，并说说怎么想的？ ③小结：10枝铅笔平均分有两种不同的结果：一种是正好分完，另一种是分后还有剩余。出示表格： 表（1）表（2） （3）写算式：
第8讲数论（余数问题） 1、带余除法的定义及性质： 一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r， 也就是a＝b×q＋r, 0?r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里： (1)当0 r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商； (2)当0 r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商。 余数一定要比除数小。 2、三大余数定理： （1）余数的加法定理 a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。 （2）余数的乘法定理 a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。 （3）同余定理 若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m 整除 用式子表示为：如果有a≡b ( mod m )，那么一定有a－b＝mk,k是整数，即m|(a－b)。 3、弃九法： 任何一个整数模9同余于它的各数位上数字之和。 以后我们求一个整数被9除的余数，只要先计算这个整数各数位上数字之和，再求这个和被9除的余数即可。 （思考：有没有求一个整数被11除的余数的快速方法呢？） 4、同余同补问题：
例1：（1）用某自然数a去除1992，得到商是46，余数是r，求a和r。 （2）有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、商与余数之和为2113，则被除数是多少？ 练习：（1）甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数； （2）用一个自然数去除另一个自然数，商为40，余数是16.被除数、除数、商、余数的和是933，求这2个自然数各是多少？ 例2：三个不同的自然数的和为2001，它们分别除以19,23,31所得的商相同，所得的余数也相同，这三个数是_______，_______，_______。 练习：一个自然数，除以11时所得到的商和余数是相等的，除以9时所得到的商是余数的3倍，这个自然数是_________。
余数同余问题 1、用一个自然数去除另一个自然数，不完全商是8，余数是16，被除数、除数、商、余数 这四个数的和为463，那么除数为： 2、57、96、148被某自然数整除，余数相同，且不为零，那么284被这个自然数除后余： 3、150、232、396被某个两位数除后都有余数，且余数都是同一个奇数，那么所得的余数 是： 4、有一个自然数，用它分别去除81、127、232都有余数，且3个余数的和是33，那么这 个自然数是： 5、一个两位数去除251，得到的余数是41，这个两位数是： 6、两个小于100的不同自然数去除440，余数都是35，这两个数的差为： 7、一个两位数除以8，商与余数相同，那么这样的数总和为： 8、有一个除法算式，被除数、除数和商都是整数，且没有余数，被除数、除数、商相加的 和是79，被除数和除数相差56，这个算式是： 9、一个整数，减去它除以5后所得余数的4倍，差是234，这个自然数是： 10、2010除以一个两位数ab=（），使所得余数最大。 11、1）一个两位数被它的各位数字之和去除，能得到的最大余数是： 2）一个三位数被它的各位数字之和去除，能得到的最大余数是： 12、在大于2010的自然数中，逐个找出“被49除后，商与余数相等的数”，这些数的和是： 13、用一个自然数A去除333，商得4，用所得余数去除自然数B，所得商和余数相加恰好为A，那么B最小为： 14、两个数字之和为10、8的三位数乘积是一个五位数，且这个五位数的后四位是1031，那么这两位三位数之和是： 15、一个自然数除以9的余数和除以8的商的和等于13，那么这个数除以8的余数是： 16、一个自然数除以7的余数和除以8的商的和等于15，则满足条件的所有自然数的和是： 17、10个自然数的和为100，分别除以3，若用去尾法，10个商的和为30，若用四舍五入法，10个商的和为34，那么10个数中被3除余1的数有： 18、一个三位数分别被63、95、143除之后所得的余数之和为19，那这个三位数是： 19、在小于1000的正整数中，被12、15和18除得余数相同的数共有： 20、若M=3x＋x3，当x取1、2、3、……、2010时，能被7整除的M共有： 21、当X取1、2、3、……2010时，有（）个整数X使2x与X2被7除余数相同。 22、已知“2n－N”是一个9的倍数，那么N在1000以内的自然数中有（）种取值。 23、已知N是从1到100的自然数，那么 1）有（）个N的值满足N2－1能被7整除； 2）有（）个N的值满足2n－1能被7整除。 24、甲、乙、丙三数分别为526、539、705，某数A除甲数所得余数是A除乙数所得余数的2倍，A除乙数所得余数与A除丙数所得余数的比是2：3，那么A是：（） 25、用一个大于1的自然数去除963582、714所得的余数依次成等差数列，那么除数可以是： 26、有一个三位数，它除以19所得到的商与余数之和，恰好等于它除以17所得到的商与余
第四讲巧用余数（二） 【专题简析】 我们已经学习了有余数的除法，都知道，在有余数的除法里，余数要比除数小。 利用余数，可以解决许多有趣的实际问题，就看你会不会巧妙地应用余数了。 解答习题时，首先要把重复出现的部分作为一组，再想总数里有几个这样的一组，如果除后有余数，那么余数是几，某个物体（或数字）就是一组中的第几个，从而解出所求问题，如果除后没有余数，说明某个（或数字）是一组中的最后一个。 【例题1】 一串珠子，按下图排列，第25颗是什么珠子？第36颗是什么珠子？ 思路导航： 这串珠子的排列是有规律的，即按“”不断的重复出现，每6颗珠子为一组，先算出25颗珠子形成几组：25÷6＝4……1，商是4，表明有4组，余数是1，表明第25颗是第5组的第1颗珠子，即“”，36÷6＝6，表明36颗珠子正好排完6组，第36颗珠子就是“”。 解：25÷6＝4（组）……1（颗） 36÷6＝6（组） 答：第25颗珠子是，第36颗珠子是。 练习1 1.有一张纸上很整齐地写着一排字： 喜羊羊与灰太狼喜羊羊与灰太狼…… 问第38个字是什么字？ 2.有一列数：4 3 2 4 3 2 4 3 2 4…… （1）这列数的第29个数是几？ （2）这列数的第31个数是几？
3.请推算出第20个图形是什么？第42个图形又是什么？ ☆△△□□○☆△△□□○…… 【例题2】 节日里街上挂起彩灯，从第一盏灯开始，按照红、黄、蓝、绿各一盏的顺序依次重复排下去，（1）第50盏灯是什么颜色？（2）这50盏灯里红灯有几盏？ 思路导航： 因为彩灯的排列顺序为红、黄、蓝、绿各一盏依次重复排下去，也就是说把4盏灯作为一个周期，所以根据这一规律能先算出50盏灯里有几个周期： 50÷4＝12 (2) （1）以上算式表示50盏灯共有12个周期，余2表示多2盏灯，即从下一个周期起，从红灯开始数起的第二盏灯为黄灯，所以第50盏灯的颜色是黄颜色。 （2）因为每个周期里有1盏红灯，这50盏灯里有12个周期，就有12盏红灯，再加上多出来的2盏灯里有1盏是红灯，所以这50盏灯时的红灯一共有13盏，即12+1＝13（盏）。 解：50÷4＝12（组）……2（盏） 12+1＝13（盏） 答：第50盏灯是黄色，这50盏灯里的红灯有13盏。 练习2 1. ○○○△△□○○○△△□○○○△△□……问：100个图形中有○（）个，△（）个，□（）个。 2.有同样大小的红、白、黑三种珠子共100个，按照3个红的，2个白的，1个黑的要求不断地排下去，如下图： … … （1）第68个是什么颜色的珠子？ （2）在这100颗珠子中白珠子共有多少个？
有余数的除法（意义） 教学内容：教科书第60页例1。 教学目标： 1．通过操作、观察、对比等活动，使学生发现日常生活中在分物品时存在着分不完有剩余的情况，借此理解余数及有余数的除法的含义。 2．会用除法算式表示出来，培养学生观察、分析、比较的能力。 3．渗透借助直观研究问题的意识和方法，使学生感受数学和生活的密切联系。 重点重点：理解余数及有余除法的含义。 教学难点：理解余数要比除数小的道理。 教学过程： 一、看图激趣，引出活动摆一摆。 图上小朋友在分东西，我们也来分一分。 ①把10个梨，每5个一份，分一分。 学生操作，说一说分的结果。突出正好分完。 ②把18个梨，平均分成3份，分一分。 学生操作，说一说分的结果。 二、摆一摆，比较感知 （一）回顾除法意义 ①把6个每2个摆一盘，摆一摆。 问： 1. 读一读：你知道了什么？ 2. 说一说：你是怎样想的？指名演示摆一摆。 3. 能把摆的过程用算式表示出来吗？ 6÷2＝3（盘） 问：这个算式什么意思？ ②再增加1个草莓，现在有几个了？ 把下面这些每2个摆一盘，摆一摆。 问：
1. 现在你还会摆吗？同桌合作摆一摆，互相说一说是怎么摆的？ 2. 这1个草莓怎么不摆了？（不够放一盘）（可以再拿一个盘子吗？） 3. 能把你的想法用算式表示出来吗？师示范写算式：这次我们分的总数是几？俺什么要求分？分的结果怎么样？边问边写算式。 7÷2＝3（盘）……1（个） 问：这个算式什么意思？ 指导读算式。 （三）比一比，初步感知有余数除法的意义 问：比较，有什么相同？有什么不同？ 小结揭题：算式里的“1”表示剩下的1个草莓，在算式中称为“余数”，今天我们研究的就是“有余数的除法”。 追问：余数表示什么？ （四）再摆一摆。 看主题图，小朋友们在干什么？ 我们也来摆一摆。先数出11根小棒，然后你挑选喜欢的图形摆一摆。 摆好了自己先说一说，同桌交流一下。 指名说。说清楚用11根小棒摆了（）个三角形，还剩（）根。 可以用算式：11÷3=3（个）……2（根） 正方形和五边形也分别请学生交流汇报。 三、练一练： 1. 书60页做一做1。 学生试着圈一圈，填一填。 交流汇报。理解算式里每个数表示的意思。 2. 书60页做一做2。 四、课堂作业本42页（1-3）。
一、带余除法的定义及性质 一般地，如果a 是整数，b 是整数（b ≠0）,若有a ÷b =q ……r ，也就是a ＝b ×q ＋r , 0≤r ＜b ；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里： (1)当0r =时：我们称a 可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或完全商 (2)当0r ≠时：我们称a 不可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或不完全商 一个完美的带余除法讲解模型: 这是一堆书，共有a 本，这个a 就可以理解为被除数，现在要求按照b 本一捆打包，那么b 就是除数的角色，经过打包后共打包了c 捆，那么这个c 就是商，最后还剩余d 本，这个d 就是余数。 二、三大余数定理： 1.余数的加法定理 a 与 b 的和除以 c 的余数，等于a ，b 分别除以c 的余数之和，或这个和除以c 的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1. 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。 例如：23， 19除以5的余数分别是3和4，所以23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2。 知识精讲 余数问题
2.余数的乘法定理 a 与b 的乘积除以c 的余数，等于a ，b 分别除以c 的余数的积，或者这个积除以c 所得的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c 的余数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2. 3.同余定理 若两个整数a 、b 被自然数m 除有相同的余数，那么称a 、b 对于模m 同余，用式子表示为：a ≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。 同余式读作：a 同余于b ，模m 。由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论： 若两个数a ，b 除以同一个数m 得到的余数相同，则a ，b 的差一定能被m 整除。 用式子表示为：如果有a ≡b ( mod m )，那么一定有a －b ＝mk ，k 是整数，即m |(a －b ) 【例1】用某自然数a 去除1992，得到商是46，余数是r ，求a 和r ． 【解析】 因为1992是a 的46倍还多r ,得到19924643......14÷=，得1992464314=?+，所以43a =，14r =． 【例2】 甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数． 【解析】 (法1)因为 甲=乙1132?+，所以 甲+乙=乙1132?++乙=乙12321088?+=； 【解析】 则乙(108832)1288 =-÷=，甲1088=-乙1000=． 【解析】 (法2)将余数先去掉变成整除性问题，利用倍数关系来做：从1088中减掉32以 后，1056就应当是乙数的(111)+倍，所以得到乙数10561288=÷=，甲数1088881000=-=． 经典例题
一、 带余除法的定义及性质 1. 定义：一般地，如果a 是整数，b 是整数（b ≠0）,若有a ÷b =q ……r ，也就是a ＝b ×q ＋r , 0≤r ＜b ；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里： (1)当0r =时：我们称a 可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或完全商 (2)当0r ≠时：我们称a 不可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或不完全商 一个完美的带余除法讲解模型:如图 这是一堆书，共有a 本，这个a 就可以理解为被除数，现在要求按照b 本一捆打包，那么b 就是除数的角色，经过打包后共打包了c 捆，那么这个c 就是商，最后还剩余d 本，这个d 就是余数。 这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。并且可以看出余数一定要比除数小。 2. 余数的性质 ⑴ 被除数=除数?商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数； ⑵ 余数小于除数． 一、 余数定理： 1.余数的加法定理 a 与 b 的和除以 c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之和，或这个和除以c 的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1. 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为 2 2.余数的加法定理 a 与 b 的差除以 c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之差。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23－16＝7除以5的余数等于2，两个余数差3－1＝ 2. 当余数的差不够减时时，补上除数再减。 余数性质及定理 知识框架
定理1:两数的和除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数和。 （1）7÷3=…1,5÷3=…2,这样（7+5）÷3的余数就等于1+2=3,所以余0. （2）8÷3=…2,5÷3=…2,2+2=4>3,4÷3…1,这样（8+5）÷3的余数就等于1. 定理1有一种常见的考察方式，在往年的考试中也曾经出现，充分利用了定理1在加法余数计算中的优势。 【例1】有8个盒子分别装有17个、24个、29个、33个、35个、36个、38个和44个乒乓球，小赵取走一盒，其余的被小钱、小孙、小李取走，已知小钱和小孙取走的乒乓球个数相同，并且是小李取走的两倍，则小赵取走的各个盒子中的乒乓球最可能是（）。 A.29个 B.33个 C.36个 D.38个 解析：小钱和小孙都是小李的两倍，即小李是1份，小钱和小孙都是2份，三个人加起来是5份，也就是说三个人的和是5的倍数。因此，小李+小钱+小孙=总数量-小赵=5的倍数，总数量与小赵关于5同余。用定理1计算总数量除以5的余数， 17个、24个、29个、33个、35个、36个、38个、44个 余2 余4 余4 余3 余0 余1 余3 余4 2+4+4+3+0+1+3+4=21÷5=4…1,总数量除以5余1,因此小赵除以5也余1,而这些数字显然只有36除以3余1,小赵只能是36个，应选C. 定理2:两数的积除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数积。 （1）7÷3余1,5÷3余2,这样（7×5）÷3的余数就等于1×2=2,所以余2. （2）5÷3余2,8÷3余2,2×2=4>3,4÷3余1,这样（5×8）÷3的余数就是1. 【例2】有一条长1773mm的钢管，把它锯成长度分别为41mm和19mm两种规格的小钢管，结果恰好用完，则可能锯成41mm的钢管（）段。 A.20 B.31 C.40 D.52 解析：设长度为41mm的钢管x段，19mm的钢管y段，可列方程41x+19y=1773,19y显然能被19整除，而1773÷19=93…6,因此41x÷19一定也余6,又41÷19余3,根据定理2,x÷19只能余2,选项中只有C选项满足此条件，应选C.
有余数的除法及其意义 教学内容：教科书第51页的内容及练习十二的1、2、4题。 教学目的： 1、通过动手操作，使学生理解有余数的除法的意义。 2、掌握有余数除法的计算方法，能正确计算有余数的除法。 3、培养学生良好的书写习惯。 教学重点：理解有余数除法的意义，掌握列竖式计算方法。 教学难点：理解有余数除法的意义。 教学过程： 一、复习旧知 师：同学们，把你们的课堂练习本拿出来，写上今天的日期，做一做下面的几道小练笔——35÷7= 12÷3= 18÷6= 72÷9= 24÷4= 64÷8= 。 二、新授： 1、除法竖式。 师：请看大屏幕，你能根据上图，谁能说出一个故事吗？ 生：学校要举行一个联欢会，于是同学们准备搬盆花去布置会场。 师：说的很好！根据图上的信息，你能提出什么数学问题吗？ 现在图上的小朋友先搬了15盆花，每组摆5盆，可以摆几组呢？同学们试着在自己的课堂练习本上，列一下式子。哪个同学上来试着写一下？ 生：15÷5=3(组) 师：这样列表示什么？ 生：表示15里面有几个5。 师：大家的横式都写的很好，那谁来试着写一下竖式？ 今天就让我们一起来学习写除法的竖式。 1、先写“)￣￣”，表示除号。 2、在除号内写被除数，再在除号外面左侧写除数。 3、 想：试商。15里面有( )个5，商3要写在被除数的个位的上面。4、把除数和上 相乘的积写在被除数的下面，表示已经分完的部分，要做到数位对齐。5、用被除 数减去除数和商的积，表示还剩的部分。——（PPT演示） 师：列竖式时，我们要注意什么？（商要对着被除数的个位）全班齐说，指名说。大家来试着试着写一写下面题目的竖式。 2、有余数的除法 师：现在盆花增到了23盆，每组摆5盆，可以摆几组？现在大家把带来的23根棉签拿出来摆一摆。老师给你们2分钟时间，同桌一起合作。 学生操作。电脑展示。 师：可以摆几组呢？ 生：5组。4组（3根不够5根，不能分成一组） 师：把这分完剩下的3盆叫做余数。 在我们日常生活中，在把东西平均分的时候，会出现两种情况，一种是正好分完， 另一种是不能正好分完，还有剩下的数，在除法计算中，我们把不够平均分，剩下的数叫余数。今天我们就来学习有余数的除法。（师板书：有余数的除法） 2、刚才“23盆花，每组摆5盆，最多可以摆几组？还剩下几盆？”该怎么列式？ 23 ÷ 5 =4 （组）……3（盆）
六余数和同余 1.有余数的除法各部分之间的关系： 被除数=除数×商＋余数被除数－余数﹦商×除法 2.除法算式的特征:余数＜除数 3.有关余数问题的性质： 性质1：如果两个整数a,b除以同一个数m，而余数相同，那么a和b的差能被m整除。 性质2：对于同一个除数，如果两个整数同余，那么他们的差就一定能被这个数整除。性质3：对于同一个除数，如果两个整数同余，那么他们的乘方仍然同余。 解答同余类型题目的关键是灵活运用性质，把求一个比较大的数字除以某数的余数问题转化为求一个较小数除以这个数的余数，使复杂的问题变得简单化。 1.把题目转化为算式就是：□÷7﹦□……□ 余数要比除数7小，商和余数相同，题中商和余数可能是0、1、2、3、4、5、6，带入原式。根据被除数﹦商×除法＋余数，算得： 0×7＋0﹦0；1×7＋1﹦8；2×7＋2﹦16；3×7＋3﹦24； 4×7＋4﹦32；5×7＋5﹦40；6×7＋6﹦48。 所求被除数可能是：0、8、16、24、32、40、48。 一个三位数被37除余17，被36除余3，那么这个三位数是多少？有啥好方法吗？ 这道题可采取经典的余数处理方法------凑。 这个凑，可不是漫无目的的凑。而是有理有据才行。 1、找一个最小的自然数，满足除以37余17，当然17即可满足。 2、很显然，这个数除以36并不余3，作适当调整。 3、为了不改变37的那个余数，每次可加上一个37. 4、每加一次37，除以36的那个余数就增加1（记住，不要计算被除数是多少，而采取的是余数的性质。被除数扩大一倍，余数也扩大一倍，被除数增加几，余数也会增加几（或者除以除数的余数）） 5、因为我们要求的数除以36要余3，现在只是余17，即达到36后再多出3，即余39（注意，这里用的是扩展余数），还差39-17=22.所以要增加22个37. 6、结果是17+22×37即为答案。 在作除法运算时，我们有这样的经验： (1)一些不同的数除以一个相同的数可能会得到相同的余数.如，除以5余3的数有5×1+3=8，5×2+3=13，5×3+3=18，5×4+3=23， (2)一个相同的数除以一些不同的数，可能会有相同的余数.如，389分别除以5、7和11会得到相同的余数4. 389÷5=77......余4，389÷7=55......余4，389÷11=55 (4) 由此，我们可以来讨论下面的两个问题.