专题2人教A 版集合与函数的概念知识点与综合提升题——
寒假作业2（解析版）
集合部分
考点一：集合的定义及其关系 基础知识复习 （1）集合的概念
集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法
N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R
表示实数集.
（3）集合与元素间的关系
对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ?，两者必居其一. （4）集合的表示法
①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.
②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类
①含有有限个元素的集合叫做有限集. ②含有无限个元素的集合叫做无限集. ③不含有任何元素的集合叫做空集(?). （6）子集、真子集、集合相等
（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子集，它有22n -非空真子集.
考点二：集合的基本运算 基础知识复习
1．交集的定义：一般地，由所有属于A 且属于B 的元素所组成的集合,叫做A,B 的交集．
记作A ∩B(读作”A 交B ”)，即A ∩B={x|x ∈A ，且x ∈B}．
2、并集的定义：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，叫做A,B 的并集。记作：A ∪B(读作”A 并B ”)，即A ∪B={x|x ∈A ，或x ∈B}．
3、交集与并集的性质：A ∩A = A ，A ∩φ= φ, A ∩B = B ∩A ，A ∪A = A ，A ∪φ= A , A ∪B = B ∪A.
4、全集与补集
（1）全集：如果集合S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。通常用U 来表示。
（2）补集：设S 是一个集合，A 是S 的一个子集（即A ?S ），由S 中 所有不属于A 的元素组成的集合，叫做S 中子集A 的补集（或余集）。 记作： C S A ，即 C S A ={x | x ∈S 且 x ?A}
（3）性质：⑴C U (C U A)=A ⑵(C U A)∩A=Φ ⑶(C U A)∪A=U
(4)(C U A)∩(C U B)=C U (A ∪B) (5)(C U A)∪(C U B)=C U (A ∩B)
函数部分
考点一：判断两函数是否为同一个函数 基础知识复习：
1.构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 注意：（1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）。
（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。 相同函数的判断方法：①定义域一致；②表达式相同 (两点必须同时具备)
[例1] 试判断以下各组函数是否表示同一函数？
（1）2)(x x f =
，33)(x x g =；
（2）x x
x f =)(，??
?<-≥=;
01
,01
)(x x x g
（3）1212)(++=n n x x f ，1
212)()(--=n n x x g （n ∈N *）；
（4）x
x f =
)(1+x ，x x x g +=
2)(；
（5）12)(2
--=x x x f ，12)(2
--=t t t g
[解题思路]要判断两个函数是否表示同一个函数，就要考查函数的三要素。
[解析] （1）由于x x x f ==
2)(，x x x g ==33)(，故它们的值域及对应法则都不
相同，所以它们不是同一函数.
（2）由于函数x
x x f =
)(的定义域为),0()0,(+∞-∞ ，而??
?<-≥=;
01
,01
)(x x x g 的
定义域为R ，所以它们不是同一函数.
（3）由于当n ∈N *时，2n ±1为奇数，∴x x x f n n ==++1212)(，
x x x g n n ==--1212)()(，它们的定义域、值域及对应法则都相同，所以它们是同一函
数.
（4）由于函数x
x f =
)(1+x 的定义域为{}
0≥x x ，而x x x g +=
2)(的定
义域为{}
10-≤≥x x x 或，它们的定义域不同，所以它们不是同一函数. （5）函数的定义域、值域和对应法则都相同，所以它们是同一函数. [答案]（1）、（2）、（4）不是；（3）、（5）是同一函数 考点二：求函数的定义域、值域 知识点复习：
1.求函数的定义域时，一般遵循以下原则：
①()f x 是整式时，定义域是全体实数．
②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．
③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合． ④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1．
⑤tan y x =中，()2
x k k Z π
π≠+
∈．
⑥零（负）指数幂的底数不能为零．没有0的0次方，也没有0的负数次方。 ⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．
⑧对于求复合函数定义域问题，主要记住两个个问题，1，定义域指的是一个x 的取值范围。2，括号范围对括号范围。例如：f （x+1）定义域是（1，2），求f （2x ）定义域，先求第一个括号的范围x+1属于（2，3），所以2x 属于（2，3），所以x 属于（1，3/2）。
⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论．
⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义． 2．求值域的几种方法：
（1）配方法：对于（可化为）“二次函数型”的函数常用配方法
（2）基本函数法：一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求，如
函数)32(log 2
21++-=x x y 就是利用函数u y 2
1log =和322
++-=x x u 的值域来
求。
（3）判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域。如求函数2
21
22
+-+=x x x y 的值域 由2
2122
+-+=
x x x y 得012)1(22
=-++-y x y yx ，若0=y ，则得21-=x ，所以0=y 是函数值域中的一个值；若0≠y ，则由0)12(4)]1(2[2≥--+-=?y y y 得
021332133≠+≤≤-y y 且，故所求值域是]2
13
3,2133[+- （4）分离常数法：常用来求“分式型”函数的值域。已知cos x 属于（-1，1）如求函
数1cos 3
cos 2+-=
x x y 的值域，因为
1cos 5
21cos 3cos 2+-
=+-=x x x y ，因为cos x 属于（-1，1），所以]2,0(1cos ∈+x ，所以]2
5
,(1cos 5--∞∈+-x ，故
]2
1
,(--∞∈y
（5）利用对号函数求值域：如求函数4
32+=x x
y 的值域
1.当0=x 时，0=y ；
2.当0≠x 时，x
x y 43+
=
，若0>x ，则x+4/x 的最小值是4，可得0 若0 综上所述：此时从而得所求值域是]4 3,43[- （6）换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，在一个表达式中频繁出现的部分换成t 。注意换元后新元的取值范围：另**=t ，则t 属于······ （7）图象法：如果函数的图象比较容易作出，则可根据图象直观地得出函数的值域（求某些分段函数的值域常用此法）。 考点三：映射的概念 基础知识复习 映射的概念 ① 设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个元素， 在集合B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到 B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的映射，记作:f A B →． ②给定一个集合A 到集合B 的映射，且,a A b B ∈∈．如果元素a 和元素b 对应，那么我们把元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象． 考点五：分段函数 基础知识复习： 在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写成函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．注意：（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集． 考点六 函数的单调性 基础知识复习： 函数的 性 质 定义 图象 判定方法 函数的 单调性 如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2,当x ．1．< x ．．2．时，都有f(x ．．．1．)<．．f(x ．．．2．)． ，那么就说f(x)在这个区间上是增．函数．． ． x 1x 2 y=f(X) x y f(x )1 f(x )2 o （1）利用定义 （2）利用已知函 数的单调性 （3）利用函数图象（在某个区间图 象上升为增） （4）利用复合函 数 如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x ．1．< x ．．2．时，都有f(x ．．．1．)>f(x ．．．．．2．)． ，那么就说f(x)在这个区间上是减．函数．． ． y=f(X) y x o x x 2 f(x ) f(x ) 2 11 （1）利用定义 （2）利用已知函 数的单调性 （3）利用函数图象（在某个区间图 象下降为减） （4）利用复合函 数 ②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数． ③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)a f x x a x =+>的图象与性质 y ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、(0,]a 上为 减函数． 考点八 判断函数的奇偶性及其应用 基础知识复习： 函数的 性 质 定义 图象 判定方法 函数的 奇偶性 如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．－．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做奇函．．数． ． （1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于原点对称） 如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做偶．函数．． ． （1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于y 轴对称） ②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =． ③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反． ④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数． 一、单选题 1．若集合{}0,1,3A =，{}1,0,2,3B =-，则A B 等于（ ） A ．{}1,0,1,2,3- B ．{}1,0,2,3- C ．{}0,1,3 D ．{}0,3 【答案】A 【分析】 直接利用集合的并集运算求解. 【详解】 因为集合{}0,1,3A =，{}1,0,2,3B =-， 所以A B ={}1,0,1,2,3-， 故选：A 2．函数221y x mx =++在[2,)+∞单调递增，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[2,)-+∞ B ．[2,)+∞ C ．(,2)-∞ D ．(,2]-∞ 【答案】A 【分析】 直接由抛物线的对称轴和区间端点比较大小即可. 【详解】 函数2 21y x mx =++为开口向上的抛物线，对称轴为x m =- 函数2 21y x mx =++在[2,)+∞单调递增，则2m -≤，解得2m ≥-. 故选：A. 3．设全集{2,1,0,1}U =--，集合{0,1}A =，则U A （ ） A ．{2,1}-- B ．{0,1} C ．{2,1,0}-- D ．{2,0,1}- 【答案】A 【分析】 根据补集的概念运算可得结果. 【详解】 因为全集{2,1,0,1}U =--，集合{0,1}A =， 所以 U A {}2,1--. 故选：A 4．已知集合(){}{}0,1,|1,A B y y x x R ===+∈，则,A B 的关系可以是（ ） A ．A B ∈ B ．A B ? C ．A B = D ．A B =? 【答案】D 【分析】 先求得集合B ，可得选项． 【详解】 因为(){}{}0,1,|1,A B y y x x R R = ==+∈=，所以A B =?， 故选：D ． 5．如下图可作为函数()y f x =的图象的是（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】D 【分析】 根据函数的概念，进行判定，即可求解. 【详解】 根据函数的概念，可知对任意的x 值，有唯一的y 值相对应， 结合选项，可得只有选项D 可作为函数()y f x =的图象. 故选：D. 6．下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是（ ） A ．3 y x = B ．2y x C ．y x = D ．y x =【答案】D 【分析】 由函数解析式直接判断即可. 【详解】 因为3y x =，y x =是奇函数，2y x 是偶函数， 故排除ABC ， y x = [0,)+∞，故既不是奇函数也不是偶函数， 故选：D 7．已知定义域为R 的函数()f x 是奇函数，且()()2f x f x +=-，若()f x 在区间 []0,1是减函数，则53f ?? ??? ，()1f ，112f ?? ??? 的大小关系是（ ） A ．()115123f f f ???? << ? ????? B ．()115123f f f ???? << ? ????? C ．()511132f f f ???? << ? ??? ?? D ．()511132f f f ???? << ? ??? ?? 【答案】B 【分析】 根据已知等式判断出函数的周期性，再根据奇函数的性质和单调性进行判断即可. 【详解】 ()()()()()()22224f x f x f x f x f x f x +=-?++=-+?=+， 由此可知函数()f x 的周期为4，函数()f x 是奇函数，()()2f x f x +=-，所以有： 55771142333333f f f f f f ????????????=-=-=-=-+= ? ? ? ? ? ?????????????， 113311142222222f f f f f f ???????? ???? =+==-+=--= ? ? ? ? ? ????????? ???? ， 因为()f x 在区间[]0,1是减函数， 11 132 <<， 所以()11132f f f ????>> ? ?????，即()115123f f f ????<< ? ????? ， 故选：B 8．我国著名数学家华罗庚先生曾说，数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，经常用函数的图象研究函数的性质.已知函数sin ()2cos x x f x x = -的图象可能为（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】A 【分析】 根据奇偶性排除B 、C ，取特殊值或极限值根据正负排除D 【详解】 解：由题意可得()sin()sin ()()2cos()2cos x x x x f x f x x x ---= ==---， 所以函数()f x 为偶函数，排除B 、C 当x 略大于0时，sin 0x x >，2cos 0x ->，所以()0f x >，排除D 故选：A. 9．下列四组函数中，表示相等函数的一组是（ ） A ．()f x x =，()lg10x g x = B ．()21 1 x f x x -=+，()1g x x =- C ．()2 f x x = ，()()2 g x x = D ．()1f x =，()0 g x x = 【答案】A 【分析】 两个函数是相等函数，需函数的三个要素相同，首先判断函数的定义域，再判断函数的对应关系，若这两点相同，就是相等函数. 【详解】 A.两个函数的定义域相同，并且函数()lg10x g x x ==，对应关系也相同，所以两个函 数是相等函数； B.函数()21 1 x f x x -=+的定义域是{}1x x ≠-，函数()1g x x =-的定义域是R ，两个 函数的定义域不相同，所以不是相等函数； C.函数()f x =R ，函数()2 g x = 的定义域是[)0,+∞，两个函数 的定义域不相同，所以不是相等函数； D.函数()1f x =的定义域是R ，函数()0 g x x =的定义域是{} 0x x ≠，两个函数的定 义域不相同，所以不是相等函数； 故选：A 10．已知集合{|16}A x x =-<<，{}23|B x x =<<，则（ ） A ．A B ∈ B ．A B ? C ．A B = D ．B A ? 【答案】D 【分析】 由条件根据集合间的关系可直接判断. 【详解】 由集合{|16}A x x =-<<，{}23|B x x =<< 选项A. ,A B 两个数集之间应是包含关系不能用属于关系，故不正确. 由条件可得B A ?，A B ?，且A B ≠，所以选项B,C 错误，选项D 正确. 故选：D 11．已知函数(1)f x +是偶函数，当121x x <<时，()()()21210f x f x x x ??-->??恒 成立，设1,(2),(3)2a f b f c f ?? =-== ??? ，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．b a c << B ．c b a << C ．b c a << D ．a b c << 【答案】A 【分析】 由题知函数()f x 图象关于直线1x =对称，在区间()1,+∞上单调递增，故 15(2)(3)22b f a f f c f ???? =<=-=<= ? ????? ，所以b a c <<. 【详解】 解：因为当121x x <<时，()()()21210f x f x x x ??-->??恒成立， 所以函数()f x 在区间()1,+∞上单调递增， 由于函数(1)f x +是偶函数，故函数(1)f x +图象关于y 轴对称， 所以函数()f x 图象关于直线1x =对称， 所以1522a f f ???? =-= ? ????? ， 由于5 232 < <，函数()f x 在区间()1,+∞上单调递增， 所以15(2)(3)22b f a f f c f ???? =<=-=<= ? ????? . 故选：A. 【点睛】 本题解题的关键在于根据题意得函数()f x 图象关于直线1x =对称，在区间()1,+∞上单调递增，再结合函数对称性与单调性比较大小即可，考查化归转化思想与数学运算求解能力，是中档题. 12．设()f x 为定义在R 上的函数，函数()1f x +是奇函数.对于下列四个结论： ①()10f =； ②()()11f x f x -=-+； ③函数()f x 的图象关于原点对称； ④函数()f x 的图象关于点()1,0对称； 其中，正确结论的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】C 【分析】 令()()1g x f x =+，①：根据()00g =求解出()1f 的值并判断；②：根据()g x 为奇函数可知()()g x g x -=-，化简此式并进行判断；根据()1y f x =+与()y f x =的图象关系确定出()f x 关于点对称的情况，由此判断出③④是否正确. 【详解】 令()()1g x f x =+， ①因为()g x 为R 上的奇函数，所以()()0010g f =+=，所以()10f =，故正确； ②因为()g x 为R 上的奇函数，所以()()g x g x -=-，所以()()11f x f x -+=-+， 即()()11f x f x -=-+，故正确； 因为()1y f x =+的图象由()y f x =的图象向左平移一个单位得到的， 又()1y f x =+的图象关于原点对称，所以()y f x =的图象关于点()1,0对称，故③错误④正确， 所以正确的有：①②④， 故选：C. 【点睛】 结论点睛：通过奇偶性判断函数对称性的常见情况： （1）若()f x a +为偶函数，则函数()y f x =的图象关于直线x a =对称； （2）若()f x a +为奇函数，则函数()y f x =的图象关于点(),0a 成中心对称. 二、填空题 13．若函数()f x ，()g x 满足14()22f x f x x x ??-=- ? ?? ，且()()6f x g x x +=+，则(1)(1)f g +-=________． 【答案】9 【分析】 根据方程组法求解函数()f x 的解析式，代入求出(1)f ，(1)f -，再利用(1)f -代入求出(1)g -. 【详解】 由14()22f x f x x x ?? -=- ? ?? ，可知()1()242f f x x x x -=-，联立可得()2f x x =，所以(1)2f =，(1)2f -=-又因为(1)(1)165f g -+-=-+=，所以(1)527g -=+=，所以(1)(1)9f g +-=. 故答案为：9 【点睛】 求函数解析式常用方法： （1）待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），可用待定系数法； （2）换元法：已知复合函数(())f g x 的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围； （3）方程法：已知关于()f x 与1f x ?? ??? 与()f x -的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出()f x ． 14．函数()1 1 a f x x -=-在区间()1,+∞上单调递减，则实数a 的取值范围为______. 【答案】()1,+∞ 【分析】 由已知结合反比例函数的图像平移及函数的单调性求解即可. 【详解】 因为函数()1 1 a f x x -=-在区间()1,+∞上单调递减， 所以10a ->， 即1a >， 则实数a 的取值范围为()1,+∞； 故答案为：()1,+∞. 15．已知函数22,0 (),0x a x f x x ax x ?+≥=?- ，若()f x 的最小值是a ，则a 的值为__________. 【答案】4- 【分析】 利用指数函数的单调性，可得0x ≥时，()f x 的最小值为1a +，由题意可得()f x 在 (),0-∞时取得最小值a ，求得对称轴，可得2 24a a f a ??=-= ? ?? ，解得即可； 【详解】 解：当0x ≥时，()2x f x a =+在定义域上单调递增，所以()()01f x f a ≥=+ 即0x =时，()f x 的最小值为1a +； 当0x <时，()2 22 24a a f x x ax x ??=-=-- ?? ? 由题意可得()f x 在(),0-∞时取得最小值a ，即有 02 a <，所以0a <，则 2 24a a f a ?? =-= ??? ，解得4a =- 故答案为：4- 16．已知函数()f x 为定义在R 上的奇函数，对任意x ∈R 都有(3)()f x f x +=-，当 3,02x ?? ∈-???? 时，()2f x x =-，则(100)f 的值为_______. 【答案】2 【分析】 本题首先可根据(3)()f x f x +=-得出函数()f x 是周期为6的周期函数，则 (100)(4)(1)f f f ==-，然后根据函数()f x 是奇函数得出(1)(1)f f -=-，最后根 据当3,02x ?? ∈-???? 时()2f x x =-求出(1)f -的值，即可得出结果. 【详解】 因为(3)()f x f x +=-，所以(6)(3)f x f x +=-+， 即(6)()f x f x +=，函数()f x 是周期为6的周期函数， 则(100)(6164)(4)f f f =?+=，(4)(1)f f =-， 因为函数()f x 为定义在R 上的奇函数，所以(1)(1)f f -=-， 因为当3,02x ?? ∈- ???? 时()2f x x =-，所以(1)2(1)2f -=-?-=， 故答案为：2. 【点睛】 关键点点睛：本题考查函数周期性的判断与应用，考查函数奇偶性的应用，若函数()f x 满足()()f x f x k =+，则函数()f x 是周期为k 的周期函数，奇函数满足 ()()f x f x -=-，考查化归与转化思想，是中档题. 三、解答题 17．已知全集,U R =集合{} 27A x x =<<，{|4B x x =<-或}2x >， {}121,C x a x a a R =-≤<-∈， （1）求A B ; （2）若()U C C A B ?，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）{}|27A B x x =<<；（2）3|2a a a ? ?∈≤???? . 【分析】 （1）根据条件直接由交集运算求出A B ； （2）在（1）的基础上，由补集定义求出()U C A B ，再由()U C C A B ?，分C =? 和C ≠?，两种情况求出实数a 的取值范围． 【详解】 （1）{}|27A x x =<<，{|4B x x =<-或}2x >， {}|27A B x x =<<， （2）由已知{|4A B x x ?=<-或}2x >， 则{}()|-42U C A B x x ?=≤≤， 当C =?，0a ≤时，，满足()C A B ?， 当C ≠?时，只需0 14212 a a a >??-≥-??-≤? ，即3 02<≤a , 综上可知3|2a a a ? ? ∈≤ ??? ? . 【点睛】 本题考查交集、补集的求法，考查实数的取值范围的求法，考查交集、补集、并集、子集等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题． 18．已知函数2()4f x x =- （1）试判断函数()f x 的奇偶性， （2）用定义证明函数()f x 在[0,)+∞是减函数； 【答案】（1）偶函数；（2）证明见解析 【分析】 （1）首先确定函数定义域为R ，经验证可得()()f x f x -=，从而得到结论； （2）设210x x >≥，可证得()()210f x f x -<，从而证得单调性. 【详解】 （1）由题意得：()f x 定义域为R ()()()2 244f x x x f x -=--=-= ()f x ∴为R 上的偶函数 （2）令210x x >≥，则()()()()22 2121121244f x f x x x x x x x -=--+=+- 120x x -<，120x x +> ()()210f x f x ∴-<，即()()21f x f x < ()f x ∴在[)0,+∞上是减函数 【点睛】 本题考查函数奇偶性的判断、单调性的证明；考查学生对于函数基本性质的掌握，属于基础题. 19．已知函数()2 2f x x x =-+. （1）判断函数()f x 的奇偶性； （2）将函数()f x 写成分段函数的形式，并在如图所示的坐标系内作出函数的图象，写出单调区间. 【答案】（1）()f x 是偶函数；（2）()222,0 2,0x x x f x x x x ?-+≥=?-- ，函数图象见答案；单调 增区间为：()(),1,0,1-∞-，单调减区间为：()()1,0,1,-+∞. 【分析】 （1）利用奇函数定义，直接判断()f x 的奇偶性即可； （2）讨论0x ≥和0x <去绝对值，即得到解析式，再利用解析式特征作图，看图得到单调区间即可. 【详解】 解：（1）函数()2 2f x x x =-+，定义域为R ， 对于任意的x ，()()()2 222f x x x x x f x -=--+-=-+=， 故()f x 是偶函数； （2）依题意， 0x ≥时，()2 2 22f x x x x x =-+=-+，开口向下、对称轴为1x =的 抛物线的一部分； 0x <时，()22 22f x x x x x =-+=--，开口向下、对称轴为1x =-的抛物线的一 部分，故()222,0 2,0 x x x f x x x x ?-+≥=?-- 由图象可知，函数的单调增区间为：()(),1,0,1-∞-，单调减区间为：()()1,0,1,-+∞. 20．已知集合{ } 2 {|52},|340A x x B x x x =-<<=-->. （1）求A B ，( )R A B ； （2）若{|11},C x m x m B C =-<<+?≠?，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）(,2)(4,)-∞-?+∞，[1,2)-（2）(,0)(3,)-∞?+∞ 【分析】 （1）化简集合B ，根据集合的并集、交集、补集运算即可； （2）由B C ≠?建立不等式求解即可. 【详解】 （1）因为{ } 2 |340{|4B x x x x x =-->=>或1}x <-，{|52}A x x =-<<， 所以(,2)(4,)A B =-∞-+∞，[1,4]R B =-，( )[1,2)R A B =- （2） {|11}C x m x m =-<<+≠?，且B C ≠?， 11m ∴-<-或14m +>， 3m ∴>或0m < 故实数m 的取值范围(,0)(3,)-∞?+∞. 21．已知函数()f x =. （1）若()f x 的定义域为R ，求实数m 的取值范围； （2）设函数()()g x f x =-，若()ln 0g x ≤对任意的2 ,x e e ??∈??恒成立，求实数 m 的取值范围. 【答案】（1）[0,8]（2）[]1,3- 【分析】 （1）分类讨论，当参数0m =时，20≥恒成立，符合题意；当参数0m ≠时，满足 m >????，解不等式组即可； （2）将不等式等价转化为222 (ln )ln 20 ,(ln )ln 22(ln )m x m x m x m x x ?-+≥?-+≤?在2,x e e ??∈??上恒成立，令ln t x =，不等式组化为222 ()20 ()22m t t m t t t ?-+≥?-+≤?，[1,2]t ∈，再采用分离参数法，通过求关于t 的函数最值，进而求解参数m 范围. 【详解】 （1）函数()f x 的定义域为R ，即220mx mx -+在R 上恒成立， 当0m =时，20≥恒成立，符合题意， 当0m ≠时，必有2 80m m m >???=-≤? ， 解得08m <≤, 综上m 的取值范围是[0,8]. （2 ） ()()g x f x == (ln )0g x ∴，对任意2,x e e ??∈??总成立， 等价于22 0(ln )ln 22(ln )m x m x x ≤-+≤在2,x e e ??∈??总成立, 即：222 (ln )ln 20(ln )ln 22(ln ) m x m x m x m x x ?-+≥?-+≤?(*)在2 ,x e e ??∈??上恒成立, 设ln t x =，因为2 ,x e e ??∈??，所以[1,2]t ∈， 不等式组(*)化为222 ()20()22m t t m t t t ?-+≥?-+≤? [1,2]t ∈时，20t t -（当且仅当1t =时取等号） 1t =时，不等式组显然成立 当(1,2]t ∈时，222()20()22m t t m t t t ?-+≥?-+≤?22 222(1)m t t t m t t ? ≥-??-??-?≤ ?-? 恒成立， 而22 21 11 22 4t t t - =--??--+ ???，即1m -， 22 2(1)2(1)2 2t t t t t t -+==+-在(1,2]上递减，所以22t +的最小值为3，故3m ， 综上所述，m 的取值范围是[]1,3-. 【点睛】 关键点点睛：解决本题的关键在于由()ln 0g x ≤对任意的2 ,x e e ??∈??恒成立转化，分 离参数并换元，分类讨论，利用函数的最值求解恒成立问题，属于难题. 22．已知函数2()4 x m f x x += -是定义在()2,2-上的奇函数. （1）确定()f x 的解析式； （2）用定义证明：()f x 在区间()2,2-上是减函数； （3）解不等式()()10f t f t -+<.
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