4.2 简单线性规划 学案(含答案)

4.2 简单线性规划学案（含答案）

4.2简单线性规划学习目标

1.了解线性规划的意义.

2.理解约束条件.目标函数.可行解.

可行域.最优解等基本概念.3.掌握线性规划问题的图解法.引例已知x，y满足条件该不等式组所表示的平面区域如图阴影部分含边界所示，求2x3y的最大值.以此为例，尝试通过下列问题理解有

关概念.知识点一线性约束条件及目标函数

1.在上述问题中，不等式组是一组对变量x，y的约束条件，这组约束条件都是关于x，y的一次不等式，故又称线性约束条件.

2.在上述问题中，是要研究的目标，称为目标函数.因为它是

关于变量x，y的一次解析式，这样的目标函数称为线性目标函数.知识点二可行解.可行域和最优解满足线性约束条件的解x，y叫

作可行解.由所有可行解组成的集合叫作可行域.其中，使目标函

数取得最大值或最小值的可行解叫作线性规划问题的最优解.在上述问题的图中，阴影部分叫可行域，阴影区域中的每一个点对应

的坐标都是一个可行解，其中能使式取最大值的可行解称为最优解.知识点三线性规划问题与图解法一般地，在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题.在确定了线性约束条件和线性目标函数的前提下，用图解法求最优解

的步骤概括为“画.移.求”.1画在直角坐标平面上画出可行域和直线axby0目标函数为zaxby；2移平行移动直线axby0，确定使

zaxby取得最大值或最小值的点；3求求出取得最大值或最小值时的点的坐标解方程组及最大值或最小值.1.可行解是可行域的一个元素.2.最优解一定是可行解.3.目标函数zaxby中，z为在y轴上的截距.4.当直线zaxby在y轴上的截距最大时，z也最大.题型一求线性目标函数的最值例1已知变量x，y满足约束条件则z3xy 的最大值为

A.12

B.11

C.3

D.1答案B解析首先画出可行域，建立在可行域的基础上，分析最值点，然后通过解方程组得最值点的坐标，代入即可.如图中的阴影部分含边界，即为约束条件对应的可行域，当直线y3xz经过点A时，z取得最大值.由此时z3xy

11.反思感悟求目标函数zaxbyb0最值的思路1化把目标函数zaxby化为斜截式yx.2定zaxby中表示直线yx在y轴上的截距.3找把线性目标函数看成直线系，把目标函数表示的直线yx平行移动，越向上平移越大，若b0，则对应z越大，若b0，则对应z越小.跟踪训练1若变量x，y满足约束条件则z3xy的最小值为

________.答案1解析由题意，作出约束条件组成的可行域如图中阴影部分含边界所示，当目标函数z3xy，即y3xz过点0,1时z取最小值

1.题型二已知目标函数的最值最优解求参数值范围例2已知x，y满足约束条件若zaxy的最大值为4，则a等于

A.3

B.2

C.2

D.3答案B解析由约束条件可画出可行域如图中阴影部分含边界所示，解得A2,0，B1,1，若直线zaxy过点A2,0时取最大值

4，则a2，经验证符合条件；若过点B1,1时取最大值4，则a3，而若a3，则z3xy最大值为6此时A2,0是最大值，不符合题意.也可直接代入排除.引申探究已知x，y满足约束条件若目标函数zaxy的最大值有无数个最优解，求实数a的值.解约束条件所表示的平面区域如图阴影部分含边界所示，由zaxy，得yaxz.当a0时，最优解只有一个，过A1,1时取得最大值；当a0，yaxz与xy2重合时，最优解有无数个，此时a1；当a0，yaxz与xy0重合时，最优解有无数个，此时a

1.综上，a1或a

1.反思感悟当目标函数取最优解时，如果目标函数与平面区

域的一段边界实线重合，则此边界上所有点均为最优解.跟踪训练2已知变量x，y满足的约束条件为若目标函数zaxy其中a0仅在点3,0处取得最大值，求a的取值范围.解依据约束条件，画出可行域如图中阴影部分含边界所示.直线x2y30的斜率k1，目标函数zaxya0对应直线的斜率k2a，若符合题意，则需k1k2，即a，得a.

非线性目标函数的最值问题典例设实数x，y满足约束条件求

1x2y2的最小值；2的最大值.解如图，画出不等式组表示的平面区域如图阴影部分含边界，1令ux2y2，其几何意义是可行域内任一点x，y与原点的距离的平方.过原点向直线x2y40作垂线y2x，则垂足为的解，即，又由得C，所以垂足在线段AC的延长线上，故可行域内的点到原点的距离的最小值为|OC|，所以，x2y2的最小值为.2令u，某几何意义是可行域内任一点x，y与原点相连的直线l的斜率，设为u，即u.由图形可知，当直线l经过可行域内点C时，u最大，由1知C，所以umax，所以的最大值为.引申探究

1.若条件不变，求x2y24x3y7的最小值.解x2y24x3y7x222，令ux222，则u的几何意义为点M到可行域内的点x，y的最小距离的平方.由图形知，最小距离为|MC|3，umin9，x2y24x3y7的最小值为

9.2.若条件不变，求的最大值.解令k，则k的几何意义为过点N1，2和可行域内的点x，y的斜率的最大值.由图形可知，NC 的斜率最大.kmax.素养评析1非线性目标函数的最值问题，要充分理解非线性目标函数的几何意义，诸如两点间的距离或平方.点到直线的距离，过已知两点的直线的斜率等.常见代数式的几何意义主要有表示点x，y与点a，b的距离；表示点x，y与原点0,0的距离.表示点x，y与点a，b连线的斜率；表示点x，y与原点0,0连线的斜率.这些代数式的几何意义能使所求问题得以转化，

往往是解决问题的关键.2借助于几何图形，利用数形结合的思想解决问题，是直观想象的数学核心素养的具体体现.1.若变量x，y 满足约束条件则x2y的最大值是

A.

B.0

C.

D.答案C解析画出可行域如图中阴影部分含边界所示.设

zx2y，即yxz，平行移动直线yxz，当直线yx过点B时，z取最大值，所以x2ymax.2.若实数x，y满足约束条件则z2xy的取值范围是

A.3,4

B.3,12

C.3,9

D.4,9答案C解析画出不等式组表示的可行域如图中阴影部分含边界所示，作出直线2xy0，结合图像，平移直线2xy0得，在点A3,3处目标函数取最大值9，在点B1,1处目标函数取最小值3，故选

C.3.在如图所示的坐标平面的可行域内阴影部分且包括边界，目标函数zxay取得最小值的最优解有无数个，则a的值为

A.3

B.3

C.1