第八章习题解答
习题8.1
1、写出下列二次型的矩阵：
（1）22121122436(,)f x x x x x x =-+；（2）22
1231122232432(,,)f x x x x x x x x x =+-+； （3）21234122324323(,,,)f x x x x x x x x x x x =+++
（4）1212231(,,,)n n n f x x x x x x x x x -=+++
解：（1）342362
??- ? ? ?- ???；（2）220231010?? ?- ? ???；（3）12
1
122
12
00
00
103
00
1
0?? ? ?
? ???；（4）
1
2
1122
12
121
2
00
000
0?? ? ? ? ? ? ??
?
2、写出X AX '的展开式：
（1）121223,
x X A x ??
??== ? ?-????
；（2）123101024143,x X x A x ??
?? ?
?== ? ? ? ?
??
??；
（3）12
341234234134124123,
x x X A x x --??
?? ? ?-- ?
?== ? ?-- ? ?--??
??。 解：（1）22121234x x x x -+；（2）222
12313232328x x x x x x x ++++
（3）2222
123412131423243433468824x x x x x x x x x x x x x x x x +++-+--+-
3、证明：000000a b c ?? ? ? ???与000000b c a ?? ?
? ???合同。
证明：取001100010C ?? ?
= ? ???
，则
000100000100001000000100100001000000100000100001000a a b b C b C b c c c c a a ??????????????
? ????? ??? ?'=== ? ????? ??? ? ? ????? ??? ???????????????
所以000000a b c ?? ? ? ???与000000b c a ?? ?
? ???
合同。
4、证明：在R 上，1002A ??
=
?
??
与1110B ??= ???不合同。 证明：假如不然，有可逆矩阵a d C b c ??
= ???，使C AC B '=，那么
22221022202222a b a d a
b a d a b ad b
c C AC
d c b c d
c b c a
d bc d c ??
++??????????'===
? ?????
???++????????????
所以2
2
2
2
212021,,a b d c ad bc +=+=+=，由22
20d c +=得0d c ==
这时20ad bc +=与21ad bc +=矛盾。 5、设A 是可逆对称矩阵，证明： （1）1A -与A 合同；（2）2
A 与E 合同。
证明：（1）因为A 是可逆对称矩阵，于是1
A AE A A A -'==，所以1
A -与A 合同； （2）A 是可逆对称矩阵，于是2
A A A A EA ''==，所以2
A 与E 合同； 6、设n 阶可逆实矩阵A 与－A 在R 上合同，证明n 为偶数。 证明：因为有可逆矩阵C 使A C AC '-=，两边取行列式，
21||||||,||()||n C AC C A A A '=-=- 210||()n C n ∴=->?是偶数。
7、证明定理8.1.4和定理8.1.5。
定理内容：与对称矩阵合同的矩阵还是对称矩阵；合同的矩阵具有相同的秩。 证明：设A 是对称矩阵，B 与A 合同，即有可逆矩阵C 使B C AC '= 那么()()B C AC C A C C AC B ''''''''====，所以B 仍然是对称矩阵。
由于B C AC '=，C 可逆，而C AC '相当于对A 施行了初等变换（合同变换），同时初等变换不改变矩阵的秩，所以A 与B 具有相同的秩。
习题8.2
1、用配方法化下列二次型为标准形：
（1）22
123112223236(,,)f x x x x x x x x x =-++；
（2）22
1231121323324247(,,)f x x x x x x x x x x x =-++-；
（3）22
1234112223346722(,,,)f x x x x x x x x x x x x =++--。
解：（1）2222
1231122231222323626(,,)()f x x x x x x x x x x x x x x =-++=-+-
2222222
122233312233
99392324222
()()()()x x x x x x x x x x x x =-+-+
-=-+-- 作替换：112
22333
32y x x y x x y x =-??
?=-??
=??，那么22
2123123922(,,)f x x x y y y =+-
（2）22
1231121323324247(,,)f x x x x x x x x x x x =-++-
22212322332222
12322333222
123233
11522622192233241322322()()()()()x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =-+
-+-=-+-++-=-+-+-
作替换：1
123
223331232y x x x y x x y x ?=-+??
?=+??
=???
，则222
123223f y y y =--
（3）222
123411222233469222(,,,)f x x x x x x x x x x x x x =++---
22212233341132222
()()x x x x x x x =+-+
+- 22222122333444113244222()()()x x x x x x x x x =+-+
+-+- 2222122334411322222
()()()x x x x x x x =+-+
+--
作替换112223334
44
3122y x x y x x y x x y x =+??
?=+???=-?=??，则2222
12341222f y y y y =-+-
2、用初等变换法化下列二次型为标准形，并写出相应的非退化线性变换：
（1）22
123112223222(,,)f x x x x x x x x x =-+- （2）2
12311213233224(,,)f x x x x x x x x x x =--+；
（3）123121323(,,)f x x x x x x x x x =++； （4）123121323226(,,)f x x x x x x x x x =+-。
解：（1）二次型矩阵为110121010A ?? ?
= ? ???
112213112
213
1
101
001
001210110100100
100
011
001
101
1101001001100100100
1()()()()A E -+-+-+-+??????
? ? ? ? ? ? ? ? ?-??=???→???→ ? ? ? ?--?? ? ? ? ?
?
?- ? ? ? ? ? ??????
?
所以二次型的标准形为222
123y y y +-，对应的线性替换为
112233110010001x y x y x y -?????? ? ? ?= ? ? ? ? ? ?
?
????? （2）二次型矩阵为31110
2120A --??
?
=- ? ?-??
551113
33331
1
55112133332533
3
1
1
25311112133
33333
113
0130030
01020001201001
00101010010010001001001()()()()()()A E ++++++---?????? ? ? ?---- ? ? ? ? ? ?---?????→???→???→ ? ? ? ??? ? ? ? ?
?
? ? ? ? ? ? ???????13
000812015001??
? ? ? ? ? ? ? ???
所以二次型的标准形为2
22
123
383
y y y -
+，对应的线性替换为 13
1122331201500
1x y x y x y ?????? ? ? ?= ? ? ? ? ? ??
?????
（3）二次型矩阵为0111110122110A ??
?
= ? ?
??
11221
122111132
1
21111311122
2211220112
1220
220
010110100001102
102000021001
0010110101101011001001001001()()()()()()-++-++-+-+??????? ? ? ?-- ? ?
? ? ? ?-???
→???→???→ ? ? ?--- ? ? ? ?
?
?
- ? ? ? ? ? ????
???? ? ? ?
? ?
? ? ???
所以二次型的标准形为2
22
12314
y y y -
-，对应的线性替换为 12111222331111001x y x y x y --?????? ? ? ?=- ? ? ? ? ? ??
????? （4）二次型矩阵为011103130A ?? ?
=- ? ?-??
112
21
122111132
1
2111131122
2120
112122
0220
010310302021302
3022001
001
00100101101000
100
1001()()()()()()A E -+++++-+--?????? ? ? ?------ ? ? ? ? ? ?-----??=???
→???→???
→ ? ? ? ?-?? ? ? ? ?
?
?
? ? ? ? ? ??
??
???12
122
21111001??
? ? ?-- ?- ? ? ? ???
12243
2431
21220
0000061311001()()-+-+?? ?- ? ????→ ?- ? ?- ? ???
所以二次型的标准形为2
22
123
262
y y y -
+，对应的线性替换为 12111222331311001x y x y x y -?????? ? ? ?=- ? ? ? ? ? ??
????? 3、用正交变换法化下列二次型为标准形：
（1）222
12312312132322448(,,)f x x x x x x x x x x x x =---++；
（2）1234131423248228(,,,)f x x x x x x x x x x x x =+++。
解：（1）二次型矩阵为122224242A -?? ?
=-- ? ?-??
1
22122124
2
2
402220
102
42242246
||()E A λλλλλλλλλλλ-------=
+-=--=---+--+--+
221
4
225142726
()
()()()()λλλλλλλλ--=-=-+-=-+-+ 当2λ=时，
122122244000244000()E A λ--???? ? ?
-=-→ ? ? ? ?--????
得特征向量为12210201(,,),(,,)ηη=-=
正交单位化：12630245,,),,,)γγ=-=
当7λ=-时，
82241120125441080112454810000()E A λ----?????? ? ? ?
-=--→--→ ? ? ? ? ? ?---??????得单位特征向量为
-，所以得正交矩阵为
623405T ??
?=-?-?，通过正交变换X TY =，二次型的标准形为
222
123227y y y +-
（2）二次型矩阵为00410
01441001400A ??
?
?
= ? ?
??
2204104414410
14
01
4
1
4410015415
414
1
4
||E A λ
λλλλλλ
λλλ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
-------------=
==---------- 22222228015
815
1415641581508()λ
λλλλλλλλ
λλ-+-+=--=-=+-+-+-
2228158153535()()()()()()λλλλλλλλ=-+++=--++
当3λ=时
304101248140303140314031441300153120312140314030514()E A λ-----??????
? ? ?------
? ? ?-=→→ ? ? ?----- ? ? ?-----??????
1001010100110
000??
?
- ?→ ? ?
??
得单位特征向量为11
11114
(,,,)γ==--
当3λ=-时
30410124814030314031403144130015312031214031403015312()E A λ----??????
? ? ?
------
? ? ?
-=→→ ? ? ?
----- ? ? ?
-------??????
1
001010100110
000-??
?
?→ ? ?
??
得单位特征向量为21
11114
(,,,)γ==--
当5λ=时
50410204241405051405140514415001552001552014051405020424()E A λ-----?????? ? ? ?------
? ? ?-=→→ ? ? ?---- ? ? ?------?????? 1
001010100110
000-??
?
- ?→ ?- ?
??
得单位特征向量为31
11114
(,,,)γ==
当5λ=-时
50410204241405051405140514415001552001552014051405020424()E A λ----??????
? ? ?
------ ? ? ?
-=→→ ? ? ?
----- ? ? ?
-------??????
1
001010
100110
000?? ? ?→ ?- ?
??
得单位特征向量为41
11114
(,,,)γ==--
所以得正交矩阵为
111111111411111111T ?? ?-- ?= ?-- ?--??
通过正交变换X TY =，二次型的标准形为
2222
12343355y y y y -+-
4、在复数域上求二次型222
12311222332243(,,)f x x x x x x x x x x =---+的规范形。
解：222
22123112122333441323393
(,,)()()f x x x x x x x x x x x x =-+-+
++ 222
12233213333
()()x x x x x =--+
+
2
22
122333())x x x x ??=-+++ ? ???
作替换：1122233
3y x x y x y x ?=-??=+??
?=??
，则222
12
3f y y y =++ 5、在实数域上化下列二次型为规范形，并写出相应的非退化线性替换：
（1）222
12311222332244(,,)f x x x x x x x x x x =-+-+； （2）22
123121213233226(,,)f x x x x x x x x x x x =--+-； （3）222
1231231213233422(,,)f x x x x x x x x x x x x =+++++。
解：（1）22222
1231222331223442(,,)()()()f x x x x x x x x x x x x x =-+-+=-+-
作替换：112
2233
32y x x y x x y x
=-??=-??=?，则规范形为22
12f y y =+
（2）222
123123223345(,,)()f x x x x x x x x x x =-+---
22
2212322333222
1232335259446416
53
244
()()()()()x x x x x x x x x x x x x x =-+-+
++=-+-++
作替换11232233352434
y x x x y x x y x ?
=-+??
?=+??
?=??，则222
123f y y y =-+
（3）222
12312323232322(,,)()f x x x x x x x x x x =++-+-
22
22
1232233321723393()()x x x x x x x x =++-+
++ 222123223172333
()()x x x x x x =++-+
+
22212322323()))x x x x x =++-+
+
作替换11232223
32y x x x y x y x ?=++??=+??
?=??
则222
12
3y y y =-+ 6、若把n 阶实对称矩阵按合同分类，共有几类？（提示：根据定理8.2.4，两个n 阶实对称
矩阵合同当且仅当它们有相同的秩和正惯性指数，所以对秩r ，r=0，1，……，n ，在考虑正惯性指数p ）。
解：在实数范围内，n 阶实对称矩阵A 可以合同对角化为：
10
0r
d d C AC ?? ? ? ?'=
? ? ? ? ??
?
当r 固定时，按i d 的符号可以分成下面的1r +种情形：
而秩r 可以取1210,,,,,n n -，因此按合同可以分成 1211212
()()
()()n n n n n +++++-+
++=
个类。
7、求二次型1234122334(,,,)f x x x x x x x x x x =++的秩及正惯性指数。
解：二次型矩阵为
01001
0101201010010?? ? ? ?
???，记0
100101001010010A ??
?
?
=
?
?
??
421
1
11
1
1
11
1311
11
1
1
||E A λ
λ
λ
λλλ
λ
λλλ
λλ
λ
------=
=--+--=-+-----
所以A 的特征根为两正两负，所以二次型1234122334(,,,)f x x x x x x x x x x =++的秩和正惯性指数依次为4，2。
8、求非退化线性替换，使二次型
2212112245(,)f x x x x x x =++与22
12112232025(,)g x x x x x x =++
同时化为对角形。
解：22222
121122111233202542025(,)g x x x x x x x x x x x =++=-+++
2211225()x x x =-++
2222
1211221122145520255(,)()f x x x x x x x x x x =++=++
2211211
2555
()x x x =
++ 作替换：11212
25y x y x x =??=+?，则2222
121212121155(,),(,)f x x y y g x x y y =+=-+
习题8.3
1、判别下列二次型是否正定：
（1）222
1231121323310295(,,)f x x x x x x x x x x =--++； （2）22
12311222321024(,,)f x x x x x x x x x =++-；
（3）222
1234124122334232(,,,)f x x x x x x x x x x x x x =+++++。
解：（1）二次型矩阵为35159
0105A --?? ?
=- ? ?-??
， 则1233530201059(),(),()d A d A d A -??
=>==>=> ?-??
所以A 正定。
（2）二次型矩阵为25
0522020A ?? ?
=- ? ?-??
则1225201052(),()d A d A ??
=>==-<
???
，所以A 不是正定矩阵（也不是负定矩阵）
。 （3）二次型矩阵为32
32
110
011
00010
1
1A ?? ? ?= ? ???
则121110011(),(),d A d A ??
=>== ???
，所以A 不是正定矩阵。
2、当b 取何值时，二次型222
12312312132352(,,)f x x x x x x x x x x bx x =++--+是正定的？
解：二次型矩阵为12122211115b b
A --??
?=- ? ?-??
， 由于12121
213
10014
(),()d A d A -??=>==> ?-??， 12212
2
32
1
12111
04
1
5
()b b b b d A ----=-=->-
所以2
211011b b b --
3、证明：正定矩阵一定是可逆矩阵；正定矩阵的逆矩阵一定是正定矩阵。
证明：设A 是n 阶对称矩阵，由定理8.3.4，当A 正定时，有0||()n A d A =>，所以A 是可逆矩阵；
如果A 正定，则A 的特征根12,,
,n λλλ都大于零，而11112,,,n λλλ---是1A -特征根，所
以1
A -的特征根也都大于零，即正定矩阵的逆矩阵一定是正定矩阵。 4、设A 是实可逆矩阵，证明A A '与AA '都是正定矩阵。
证明：,A A A EA AA AEA ''''==，而A 是可逆矩阵，A A '与AA '都是对称矩阵，
所以A A '与AA '都与单位矩阵合同，即A A '与AA '都是正定矩阵。 5、证明12(,,
,)n f x x x X AX '=是半正定二次型（此时称A 为半正定矩阵）当且仅当正
惯性指数p ＝A 的秩，并且A 的秩＜n 。
证明：()?，因为A 是半正定矩阵，所以A 的特征根非负，即存在正交矩阵T 使
121200000(,,,,,,),,,,r r T AT daig λλλλλλ'=>>>，其中r 是A 的秩，
所以正惯性指数p ＝A 的秩，并且A 的秩＜n 。
()?因为A 的正惯性指数p ＝A 的秩，并且A 的秩＜n 。，则二次型X AX '的标准形为
22
212r y y y ++
+，其中r 是A 的秩，从而A 为半正定矩阵。
6、证明12(,,,)n f x x x X AX '=是负定二次型当且仅当正惯性指数p ＝0，并且A 的秩＝
n 。
证明：12(,,
,)n f x x x X AX '=是负定二次型?12(,,,)()n f x x x X A X '-=-是正定
二次型?A -的负惯性指数为零且A 的秩＝n 。
7、设A 是n 阶正定矩阵，B 是n 阶半正定矩阵，证明：A ＋B 是正定矩阵。
证明：因为V α?∈有00,A B αααα''>≥，于是0()A B A B αααααα'''+=+> 所以A ＋B 是正定矩阵。
8、设A 与B 是两个n 阶实对称矩阵，且A 正定，证明：存在n 阶实可逆矩阵C 使C AC '与C BC '同时为对角矩阵。
证明：由于A 正定，所以存在可逆矩阵T 使T AT E '=，此时T BT '仍然为实对称矩阵，故有正交矩阵S 使()S T BT S D ''=为对角矩阵，令C TS =，则
()()()C AC TS A TS S T AT S S S E '''''==== ()()()C BC TS B TS S T BT S D ''''===
此时C AC '与C BC '都是对角形矩阵。
9、设222
123123121323222(,,)()f x x x a x x x x x x x x x =++++-，问：a 满足什么条件时，
123(,,)f x x x 是正定的？什么条件时是负定的？
解：二次型矩阵为：111111a A a a ?? ?
=- ? ?-??
则 3211
1132121
1
||()()()()a
E A a
a a a a a
λλλλλλλλ----=
--=---+=---+--
A 的特征根为1a +（二重根）、2a -。所以当10
220
a a a +>??>?->?时，A 是正定矩阵；
当1a <-时A 是负定矩阵。 10、设12(,,
,)n f x x x X AX '=是实二次型，12,,
,n λλλ是A 的全体特征根，且
12n λλλ≤≤≤，证明：
1n X X X AX X X λλ'''≤≤
（提示：设有正交变换X TY =使
22
222
2
11121122()n n n Y Y y y y y y y λλλλλ'=++
+≤++
+
22
2
12()n n n X AX y y y Y Y λλ''≤≤+++=
而T 是正交矩阵，有X X Y Y ''=）。 证明：由于12,,
,n λλλ是A 的全体特征根，所以有正交矩阵T 使
1
2
n T AT λλλ??
? ?'= ? ??
?
在正交变换X TY =下，12(,,
,)n f x x x X AX '=变成
22
2
1122n n X AX Y T ATY y y y λλλ'''==++
+
由于12n λλλ≤≤
≤，从而有
22
222
222
2
112112212()()n n n n n y y y y y y y y y λλλλλ++
+≤++
+≤++
+
即 1n Y Y X AX Y Y λλ'''≤≤
但T 是正交矩阵，所以 1
1
()()Y Y T X T X X TT X X X --'''''===
从而有 1n X X X A X
X
X λλ'''≤≤ 11、求实二次型222
12312312232322(,,)f x x x x x x x x x x =++++的最小值。
解：二次型矩阵为110121013A ?? ?
= ? ???
1
10
1
2
1123240
1
3
||()()()E A λλλλλλλλ---=---=----+-- 322692241()()λλλλλλ=-+-=--+
A 的特征根都是正数，即A 是正定矩阵，
因此实二次型222
12312312232322(,,)f x x x x x x x x x x =++++的最小值是0。
《高等数学(下册)》第八章练习题 一、填空题 1、________________ )sin(==dz xy z 则， 设 2、设),cos(2y x z =,则=??)2,1(πx z 3、函数22)(6y x y x z ---=的极值点为 4、设xy e z =,则=dz 5、设y z ln z x =,则=?zx z 二、选择题 )2 0( D. )0 2( C. )0 0( B. )2 2( A.) (33) ( 12233，，，，的极小值点为，函数、y x y x y x f --+= 2、),(y x f 在点),(00y x 处偏导数),(),(0000y x f y x f y x ''、存在就是),(y x f 在该点连续的( )、 (a)充分条件, (b)必要条件, (c)充要条件, (d)既非充分条件又非必要条件。 3、设)2ln(),(x y x y x f +=,则＝（）)1,1(-'x f 、 (A)，31 (B)，31- (C)，65 (D).6 5- 三、计算题 方程。处的切线方程与法平面，，在点求曲线、)1 2 1( 2 132 ???==x z x y 2、设),(y x z z =就是由方程0),(=--z y z x F 确定的隐函数,F 具有一阶连续偏导数,且,0≠'+'v u F F 其中,,z y v z x u -=-=求.,y z x z ???? 3、求曲面3222-=+-z xz y x 在点)1,2,1(处的切平面及法线方程。 4、设,222z y x e u ++=而y x z sin 2=,求x u ??、 5、求曲线t z e y e x t t ===-,,,对应于0=t 点处的切线与法平面方程。 6、求函数)4(2y x y x z --=在闭域4,0,0≤+≥≥y x y x 上的最大值及最小值。
习题8-8 1. 求函数f (x , y )=4(x -y )-x 2-y 2的极值. 解 解方程组???=--==-=024),(024),(y y x f x y x f y x , 求得驻点为(2,-2), 由于 A =f xx (2, -2)=-2<0, B =f xy (2, -2)=0, C =f yy (2, -2)=-2, AC -B 2>0, 所以在点(2, -2)处, 函数取得极大值, 极大值为 f (2, -2)=8. 2. 求函数f (x , y )=(6x -x 2)(4y -y 2)的极值. 解 解方程组???=--==--=0)24)(6(),(0)4)(26(),(22y x x y x f y y x y x f y x , 得???==23y x , ???==00y x , ???==40y x , ???==06y x , ? ??==46y x . 因此驻点为(0, 0), (0, 4), (3, 2), (6, 0), (6,4). 函数的二阶偏导数为 f xx (x , y )=-2(4y -y 2), f xy (x , y )=4(3-x )(2-y ), f yy (x , y )=-2(6x -x 2). 在点(0, 0)处, f xx =0, f xy =24, f yy =0, AC -B 2=-242<0, 所以f (0, 0)不是极值; 在点(0, 4)处, f xx =0, f xy =-24, f yy =0, AC -B 2=-242<0, 所以f (0, 4)不是极值; 在点(3, 2)处, f xx =-8, f xy =0, f yy =-18, AC -B 2=8?18>0, 又A <0, 所以f (3, 2)=36是函数的极大值; 在点(6, 0)处, f xx =0, f xy =-24, f yy =0, AC -B 2=-242>0, 所以f (6, 0)不是极值; 在点(6, 4)处, f xx =0, f xy =24, f yy =0, AC -B 2=-242>0, 所以f (6, 4)不是极值. 综上所述, 函数只有一个极值, 这个极值是极大值f (3, 2)=36. 3. 求函数f (x , y )=e 2x (x +y 2+2y )的极值. 解 解方程组???=+==+++=0 )22(),(0)1422(),(222y e y x f y y x e y x f x y x x , 得驻点)1 ,21(-. A =f xx (x , y )=4e 2x (x +y 2+2y +1), B =f xy (x , y )=4e 2x (y +1), C =f yy (x , y )=2e 2x . 因为在点)1 ,2 1(-处, A =2e >0, B =0, C =2e , AC -B 2=4e 2>0, 所以函数在点)1 ,21(-处取得极小值, 极小值为2 )1 ,21(e f -=-. 4. 求函数z =xy 在适合附加条件x +y =1下的极大值.
高等数学 第八章 多元函数微分法及其应用 习题课（第二次） 课堂练习题（Ａ） 一．填空题 1．球面2222x y z R ++=的向外的一个法向量为________，方向余弦为________. 2平行的切线有几条 ． 3．M （1，-1，2）为曲面),(y x f z =上的一点，(1,1)2x f '-=，(1,1)2y f '-=-，则曲面在点M 处的切平 面方程为 ． 1处方向导数的最大值为 ． A. D. 2倾角的方向导数等于 ． B. 34560+ C. D. 3．已知曲面224y x z --= 在点p 处的切平面平行于平面122=++z y x 则点 p 的坐标是 ． B. C. D. 三．计算下列各题： 1． 求函数568),(33+-+=xy y x y x f 的极值.
2． 3． 在曲面xy z =上求一点，使这点处的法线垂直于平面093=+++z y x ．并写出法线的方程． 4．求过直线?? ?=-+=-01201z y x 且与曲面z y x 4422=-相切的平面方程． 5 轴正向的方向导数为 ． 四．求平面 15 43=++z y x 和柱面122=+y x 的交线上与xoy 平面距离最短的点．
最大容积． 六．证明：曲面3 上任一点的切平面与三个坐标面围成的四面体的体积为定值．xyz a
课堂练习题（Ｂ） 1处的切线方程是 ． 2，2tan t z = 处一个切向量与ox 轴正向夹角为锐角， 则此向量与oz ． 函数6)2,2,2(-=v F ，曲面，则过该点的法线方程是 ． 曲点，，且在任一有，则曲面在这一点的切平面方程为 ． 5,)2,2,1(0-P 是曲面 0P 点的切平面方程．
第八章 空间解析几何与向量代数自测题 A 一、填空 1. 已知空间三点(1,2,0)A 、(1,3,2)B -、(2,3,1)C ，则cos BAC ∠ =AB u u u v 在AC u u u v 上的投影为 ；三角形的面积ABC S ? =2；同时垂直于向量AB u u u v 与AC u u u v 的单位向量为1,4,3)±--. 2. xOy 面上的曲线2 y x =绕y 轴旋转一周所得旋转曲面方程为22y x z =+. 3. 在平面解析几何中2y x =表示抛物线_图形，在空间解析几何中表示_抛物柱面_图形. 4. 球面0242222=++-++z y x z y x 的球心坐标为(1,2,1)-- . 5. 曲线22291x y z x z ?++=?+=?在xOy 面上的投影为222280 x x y z ?-+=?=?. 6. 曲面z =被曲面22 20x y x +-=所截下的部分在xOy 面上的投影为22200x x y z ?-+≤?=?. 7. 过点A (3,0,1)-且与平面375120x y z -+-=平行的平面方程为37540x y z -+-=. 8. 点A (3,0,1)-到平面2230x y z -+-=的距离为 23. 9. 直线531123-=++=-z k y k x 与直线22531-+=+=-k z y x 相互垂直，则k =34. 二、解答题 1. 求过点)2,1,4(1M ，)1,5,3(2--M ，且垂直于07326=++-z y x 的平面. 解：由已知可知，已知平面的法向量为0(6,2,3)n =-v ，取所求平面的法向量为 1207 43(6,3,10)62 3i j k n M M n =?=--=--v v v u u u u u u v v v ，所以所求平面方程为 6(4)3(1)10(2)0x y z -+---=，即631070x y z +--=. 2. 求通过直线13213x y z +-==-与点A (3,0,1)的平面方程. 解：由已知可知，直线过点(0,1,3)P -，方向向量为(2,1,3)s =-v ，取所求平面的法向量 312(1,13,5)213 i j k n PA s =?=-=---v v v u u u v v v ，所以所求平面方程为3135(1)0x y z ----=，即 13520x y z --+=. 3. 求直线2 432-= -=-z y x 与平面062=-++z y x 的交点及夹角余弦. 解：直线的参数是方程为2,3,42x t y t z t =+=+=+，代入平面方程得1t =-，所以交点坐标为(1,2,2)，
空间解析几何 1. 第5卦限；z 轴负半轴；第3卦限；第8卦限. 2. 到x 轴的距离为1；到y 轴的距离为1-；到z 轴的距离为2. 3. 14||=AB ，6||||==AC BC . 4. 2||21=M M ，21- cos =α，2 2 -cos =β，21cos =γ， πα32=，πβ43=，πγ31=，方向相反的单位向量为??? ? ??21-2221，，. 5. (1) 9cos0||||==?a a a a ； (2) 2 3 36 cos ||||= =?π b a b a ； (3) 2 3 3252-3)()2-(3+=??+?=+?b b b a a a b a b a . 6. (1) -3=?b a ； (2) k j i b a 57++=?； (3) ()()-6-2=?b a ； (4) ()()8-b b -a a b -a b a =??=?+. 7. k j i AB -3+=，i BC -=，k j k j i 30 01 -1-3 1+==?， k j 10 310 1+ = ， 8. k i 24+=，j k i 8-4-4-=，k j i k j i 8-3216-8 -4-4-024+== ?， 214||2 1 =?= ?S ABC . 9.
(1) 平行于xoy 平面； (2) 平行于z 轴； (3) 平行于y 轴且过原点； (4) 平行于z 轴且过原点； (5) 于x 轴、y 轴、z 轴的截距相等. 10. 03)-5(-2)3(1)-2(=++z y x . 11. 5k 3++=j i ，j i 5-4-=，k j i k j i 720-250 5-4-531 +==?， 平面方程为：01)7(0)-20(-1)-25(=++z y x . 12. 设平面方程为：a z y x =++，由于点(3,5,2)在平面上，解得10=a ，即平面方程为： 10=++z y x . 13. 2 14 | |2 22000= +++++= C B A D Cz By Ax d . 14. (1) 平行； (2) 相交. 15. (1) 1=x ； (2) 设平面方程为：d y ax =-，由于平面过点(1,0,-1)和(2,3,4)，解得3=a ，3=d ，即平面方程为：3-3=y x . (3) 设平面方程为：0-=cz x ，由于平面过点(3,-1,1)，解得3=c ，即平面方程为： 03-=z x . 16. (1) 3 4 1-2 -21+==+z y x ； (2) 01 15-023-+==z y x ； (3) 1 4 -9 -3 51-z y x =+=. 17. 两平面交线的方向向量为：k j i k j i 7115 -32 32 -1++=，两平面的某一交点为：
第八章 多元函数微分法及其应用 1、求下列函数的定义域： (1) y x z -= ; （2）)12ln(2+-=x y z ; 解:0≥y 且 0≥-y x 解:{} 012|),(2 >+-=x y y x D 得 D =(){} y x y y x ≥≥,0|, (3) 2 2 arccos y x z u +=; (4) 2 2 1)ln(y x x x y z --+ -=. 解:022≠+y x 且 2 2y x z +1≤ 解:?? ? ??>--≥>-010 ,022y x x x y 得 { } 0,|),,(22222≠++≤=y x y x z z y x D . 得 {} 1,,0|),(22<+>≥=y x x y x y x D 2、已知函数v u w w u w v u f ++=),,(，试求: ).,,(xy y x y x f -+ 解: x xy xy y x xy y x y x f 2)()(),,(++=-+ 3、设,),(,),(2 2 2 2 y x y x y x y x f -=+=?求：]),,([2 y y x f ?. 解: 4 2 22 4 2 2 )(),(]),,([y y x y y x y y x f +-=+=?? 4、求下列极限： （1） 2 2 1)ln(lim y x e x y y x ++→→.2ln 0 1)1ln(2 2 0=++= e （2）1 1lim 0-+→→xy xy y x 2)11(lim 0 0=++=→→xy xy xy y x ; （3）y xy y x )sin(lim 0 2→→=221sin lim 02 =?=?→→x xy xy y x ; （4） 22)()cos(1lim 22220 0y x y x e y x y x ++-→→22422sin 2lim 222222 22 00y x y x e y x y x y x +???? ? ??++=→→.0021=?= 5、证明 2 222 20 0)(lim y x y x y x y x -+→→不存在. 证明 若点),(y x P 沿直线kx y =趋于()0,0，则 所以极限不存在. 6、求下列函数的偏导数:
第八章 空间解析几何与向量代数 单元测试题 参考答案： 一、填空题 1.点(),,M x y z 关于x 轴的对称点为1M (),,x y z --;关于xOy 平面的对称点为 2M (),,x y z -；关于原点的对称点为3M (),,x y z ---. 2. 平行于a ={1，1，1} 的单位向量为}1,1,1±；若向量}5,1,{λ=a 与向量}50,10,2{=b 平行，λ为 15 . 3.已知两点() 1,2,41M 和()2,0,32M ，则向量21M M 在三个坐标轴上的投影分别是 –1 2- 、 1 ，在坐标轴方向上的分量分别是i ρ- 、j ρ2- 、k ρ, = 2 , 方向余弦 =αcos 21-、 =βcos 22-、=γcos 2 1 , 方向角=α 0120、 =β 0 135、 =γ 060, 与21M M 同方向的单位向量是??????--21,22,21 . 4. 已知两向量k j i a ρρρρ1046+-=，k j i b ρρρρ943-+=,则=+b a ρρ2k j i ρρρ8412-+， =-b a ρρ23k j i ρρρ482012+-,b a ρρ23-在oz 轴上的投影为48 . 5．过点(1,2,1)M -且与直线2341x t y t z t =-++??=-??=-? 垂直的平面方程是340x y z --+= 二、选择题 1. 向量a 与b 的数量积?a b =（ C ）. A a rj P b a ； B ?a rj P a b ； C a rj P a b ； D b rj P a b ． 2. 非零向量,a b 满足0?=a b ，则有（ C ）． A a ∥b ; B =λa b (λ为实数)； C ⊥a b ； D 0+=a b ． 3. 设a 与b 为非零向量，则0?=a b 是（ A ）． A a ∥b 的充要条件； B a ⊥b 的充要条件; C =a b 的充要条件； D a ∥b 的必要但不充分的条件．
第八章习题解答（3） 节8.5部分习题解答 1、下列方程确定了)(x f y =，求dx dy ， （1）、0sin 2 =-+xy e y x 解：设=),(y x F 0sin 2 =-+xy e y x ， 2y e x F x -=??；xy y y F 2cos -=?? （2）、x y y x arctan ln 22=+ 解：设=),(y x F x y y x arctan ln 22-+， =-+-+=??)() (11222 2x y x y y x x x F 22y x y x ++； =??y F =+-+)1 () (11222x x y y x y 22y x x y +-； y x y x F F dx dy y x -+= -= （3）、x y y x = 解：设x y y x y x F -=),(， )ln (1 ln 1y x y x x y y yx x F y x y -=-=??- )ln (1ln 1x x y x y xy x x y F y x y -=-=??-； y x F F dx dy -=)ln ()ln (x x y x y y x y --= （4）、1=+y e xy 解：设1),(-+=y e xy y x F ， y x F =?? y e x y F +=??； y x F F dx dy -=y e x y +-=
2、下列方程确定了),(y x f z =，求 x z ?? y z ?? （1）、0=-xyz e z 解：设=),,(z y x F xyz e z -， yz F x -= zx F y -= xy e F z z -=； x z ??z x F F -=xy e yz z -= y z ??z y F F - =xy e zx z -= （2）、3 3 3a xyz z =- 解：设=),,(z y x F 3 3 3a xyz z --， yz F x 3-= zx F y 3-= xy z F z 332-=； x z ??z x F F -=xy z yz -=2 y z ??z y F F - =xy e zx -=2 （3）、122 =+-z e yz y x 解：设=),,(z y x F 122 -+-z e yz y x ， xy F x 2= z x F y 22-= z z e y F +-=2； x z ??z x F F -=z e y xy -=22 y z ??z y F F -=z e y z x --=222 （4）、xyz z =sin 解：设=),,(z y x F xyz z -sin ， yz F x 2-= xz F y -= xy z F z -=cos ； x z ??z x F F -=xy z yz -=cos 2 y z ??z y F F - =xy z xz -=cos 3、设z y x z y x 32)32sin(2-+=-+确定了),(y x f z =，验证： + ??x z 1=??y z 证明：设=),,(z y x F )32()32sin(2z y x z y x -+--+，
习题8?1 1. 判定下列平面点集中哪些是开集、闭集、区域、有界集、无界集？并分别指出它们的聚点所成的点集(称为导集)和边界. (1){(x , y )|x ≠0, y ≠0}; 解 开集, 无界集, 导集为R 2, 边界为{(x , y )|x =0或y =0}. (2){(x , y )|1
习 题 课 八 一、选择题 1．下列结论正确的是（ ） （A）∫=b a x f dx x f dx d )()(； （B）∫=x a x f dx x f dx d )()(； （C）； （D）。 ∫=′b a x f dx x f )()(c x f dx x f b a +=′∫)()(2.(),()(),,()() b a f x C F x x t f t dt a x b F x ∈=?<<′′=∫设则 ()0 ()() ()() ()2() A B f x C f x D f x ? [,]3.(),(),,,0( )a b f x C y f x x a x b y ∈====设则由所围成的图形面积为 b b a a b a ().() (B). () ().() (D).A f x dx f x dx C f x dx ∫∫∫不能确定 4．设在区间上，，],[b a 0)(>x f 0)(<′x f ，0)(>′′x f ， ∫=b a dx x f S )(1，))((2a b b f S ?=；)]()([2 3b f a f a b S +?=， 则必有（ ）. （A）； 321S S S <<（B）； 312S S S <<（C）； 213S S S <<（D）132S S S <<。
5．设∫?++=1 10)1ln()(x dt t x f ，， 1)(??=x e x g x 则当时，是的（ ） 0→x )(x f )(x g （A）等价无穷小； （B）同阶但非等价无穷小； （C）低阶无穷小； （D）高阶无穷小。 6．方程x dt t x x cos 104=++∫在区间) ,0(∞+内（ ） （A）有且仅有一个实根；（B）有且仅有两个实根； （C）有无穷个根； （D）无实根。 二、计算题 1．，，求∫=t udu u x 1 ln ∫=2 2ln t udu u y 22 dy x d dy dx 。 2．设，求0sin 1 2=?∫??dt e x x y t 022=x dx y d 。 3．设，求，?????≤