第二章
1求A 的LU 分解，并利用分解结果求 A A
1 0
2 A= 1
2 3
〕
2 6 9
一
2求证：非奇异矩阵不一定有LU 分解
3用追赶法求解如下的三对角方程组
(1) 计算条件数Cond(A)：：；
(2) 若近似解 x =(2.97, -1.01)丁，计算剩余 r = b-Ax ；
(3) 利用事后误差估计式计算不等式右端， 并与不等式左边比较，此结果说明了什么?
6矩阵第一行乘以一数成为入兄，证明当入=±2
时，Con d(A^有最小值
-1 1
」 3
7讨论用雅可比法和高斯-赛德尔法解方程组Ax=b 时的收敛性。如果收敛，比较哪一种 方法收敛较快，其中
_
3 0-2 A= 0
2
1
-2 1 2 一
X 2
2
3 X 3
10 6一
X 4
一
5
一
4设A 是任一 n 阶对称正定矩阵，证明
1
x A 二(x T Ax)2是一种向量范数
设 A 二 2。001
-11
已知方程组Ax = b 的精确解为x = (3, - 1)T
5 3 -2 1
-1
1乂1 飞 1
10 a 0
8设A= b 10 b ,求解方程组Ax=b ,求雅可比迭代法与高斯-赛德尔迭代法收敛的
0 a 5
充要条件。
9设求解方程组Ax=b 的雅可比迭代格式为x (f=Bx (k )+ f ，其中(k = 0,1,2,...)，求证: 若B ，则相应的高斯-赛德尔法收敛。
10设A 为对称正定矩阵，考虑迭代格式
求证：
-
(k d 4)
丄(k) -1
(2)
(k) 八/X +x
x
=x 一⑷］A( ------ - ----- )—b ⑨ >0
(1) 对任意初始向量x (0)，｛x (k)｝收敛； (2) ｛x (k) ｝收敛到Ax =b 的解。
第三章
1 设 f x C
2 la,b I 且 f a = f b =0 .求证：
2 求一个次数不高于 4 次的多项式p x , 使它满足
p 0 = p 0= 0 p= 1 p 1 =p1 , 2
1
3设f x —，在-5乞x 乞5上取n =10，按等距节点求分段线性插值函数 g x ,
1 +x
计算各节点间中点处I h x 与f x 的值，并估计误差.
1 2 max
f x
-8 b —
a ma
°b
4、建立三次多项式 P 3（x ）,使它在x =0、x 处与cosx 相切，并写出余项 &（x ）二cosx - p 3（x ）
2
的估计式。
5、将区间［_5,5］等距划分，节点为x^ -5 k （ k =0,1「，n ） n
1
（1） 做出f （x ） —2的分段线性插值多项式
P h （x ）
1 +x
（2） 当n 为何值时，P h （x ）的插值误差不超过10* ？
6、利用差分及插值多项式为工具证明
第四章
1确定参数a, b 和c ,使得积分
取得最小值，并计算该最小值.
2对彗星1968Tentax 的移动在某个极坐标系下有如表所示的观察数据.
假设忽略来自行星的干扰，坐标应满足
P 1 - ecos ：
其中P 为参数，e 为离心率，试用最小二乘法拟合 p 和e ,并给出平方误差.
12 2 3
n(n 1)=丄 n(n 1)(n 2)
3
x 2
「［ax 2
bx c
2
1
—匚X 2
dx
3求函数f x［=：cos二x,x：= ［'0,1在指定区间上关于：」二spa的最佳平方逼近多项式.
1 C
4、求a, b使得l(a,b) ［ax ? b - e x］2dx达到最小，并计算该最小值
5、令{q k(|} k卫是［0,1］上带权'■( x) = 1的最高项系数为1的正交多项式，其中q0(x)=1，求q(x)
1 2
及0 q k (x)dx，并用此正交多项式求出f(x)=x在［0,1］上最佳平方逼近一次多项式。
第五章
2h
1确定,2h f x dx A d f -h A0f 0 A1f h中的待定参数，使其代数精确度尽量高, 并指明求积公式所具有的代数精确度。
2计算积分I = 0e x dx，若复化梯形公式，问区间10,1】应分多少等份才能使截断误差不1
超过;10^ ?若改用复化辛普森公式，要达到同样精确度，区间应分多少等份?
3确定求积公式
J x-x。f x dx=h2Af x0 Bf X1 h3||Cf x。Df 为R f 中的系数
A ,
B ,，使代数精确度尽量高，并给出R f的表达式。公式中h = X1-x)。
1 1
4已知x0G「,
2指明求积公式所具有的代数精确度;
1
3用所求公式计算［x2dx。
%
(1)推导以这3个点作为求积节点在0,11上的插值型求积公式;
5 设f x 卢C5 % _2h,x0 2h ],h Ox kh, f k= f x k , k =0, _1, _2
A
求证：(1) f x o - f2 _8fj - fj O h4 12h
(2) f x o 〔f」-2f。f- 1 O h2
h
2
6、已知°f(x)dx二V(0.2)木f(0.5) V(0.8) V(-)
if(1.2) 4f(1.5) 4f(1.8)
是插值型求积公式，证明它的代数精度不低于7
工给定积分Kn =&?)仏将区间［&,打作4移分，并记码=a+幼OM i J fl
Sh =支尹、写出Ttf/)s T2(f) t T4(f)(S^(f)r S2(f) #Ci(Z)併指出它们之间的关系?这里九分别表示将［金冷］作m警分时的复化梯形公式、复化Simpson ix式、复化Cotes公武* (1L )
第七章
1对于迭代函数「(X)二x ? C(x2 -2)，试讨论：
(1)当C为何值时，兀1 —:(X k)(k =0,1,2,...)产生的序列 g 收敛于2 ；
(2)C取何值时收敛最快？
(3)分别取C =_2^2^,计算? (x)的不动点&，要求乂卄-X k <10°
2设f(x)在［a,b］上具有二阶连续导数，且满足条件
(1)f(a)f(b) ；：：0 ；
(2)在［a,b］上 f (x)=0, f (x) =0 ；
(3)x o ［a,b］满足 f (x o) f (x o) 0。
则由牛顿迭代法产生的序列⑴单调收敛于f(x)=0在［a,b］内的唯一实根x*，并且是
平方收敛的。
2 3给定函数f (x)，对于一切x，f (x)存在且0 ：：：m乞f (x)辽M，证明对于范围0 :::
M 内的任意定数■，迭代过程x k勺=x k - ■ f (x<)均收敛于f (x) = 0的根x* .
4 设「(x)二x - p(x)f (x) -q(x)f 2(x)，试确定函数p(x)和q(x)，使求解f(x)二0 且以(x) 为迭代函数的迭代法至少三阶收敛。
2
5、已知方程12 -3x 2cos x = 0，迭代法x n彳=4 cosx n, n =0,1；
3
(1)证明方程有惟一实根R，且对任意R，都有limx n二s
(2)求此迭代公式收敛的阶
6、设n —2为正整数，C为正数，记x* 。
(1 )说明不能用下面的迭代格式求x*的近似值；
(2)构造早一个可以求x的迭代格式，证明其收敛性，并指出收敛阶数。