空间向量与立体几何》习题
、选择题(每小题 5分，共 50 分)
1.如图，在平行六面体 ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点.若A 1B 1 =a ，
A 1D 1 =b ， A 1A =c ，则下列向量中与
B 1M 相等的向量是
11 A. － a+ b+c
22
B.
11
a+ b+c 22 11 C. a － b+c 22 D. 11 － a － b+c 22 2. 下列等式中，使点 M 与点
A 、
B 、 A. OM 3OA 2OB OC
B
.
C 一定共面的是
1 OM OA
2 0 15OC 13OB C.OM OA OB OC 0 D
. MA MB MC 3. 已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线的长都等于
1， E 、F 分别是
AB 、
AD 的中点，则 EF DC 等于 A. 1 4 B.
C
.
D. 4. 若 a (1, ,2)，b (2, 1,1)， a 与 b 的夹角为 600
，则 的值
为 A.17 或 -1 B.-17 C.-1 D.1 5. 设 OA (1,1, 2) ，OB (3,2,8) ， OC (0,1,0) ，则线段 AB 的中点 P 到点C 的距 离
为 A. 13
2
B .
53
C. D. 6. 下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是
B ．①③ 53 4
A ．①② 7. 右图是 C ．①④ D ．②④ 个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是
A. 9π
B. 10π
C. 11π
D. 12π
8. 如图， ABCD-A 1B 1C 1D 1 为正方体，下面结
论错．误
A. BD ∥平面 CB 1D 1
B. AC 1 ⊥BD
C. AC 1⊥平面 CB 1D 1
D. 异面直线 AD 与 CB 1 所成的角为 60° 9. 如图，在长方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=2,AA 1=1,则 BC 1与平面 BB 1D 1D
所成角的正弦值为
A. 6
B. 2 5
35
10. ⊿ABC 的三个顶点分别是 A(1, 1,2) ，
B(5, 6,2)，C(1,3, 1)，则 AC 边上的高 BD 长
为
A.5
B. 41
C.4
D. 2 5
二、填空题（每小题 5分，共 20 分）
11. 设a （x,4,3），b （3, 2, y ） ，且a// b ，则 xy .
12.
已
知向量 a （0, 1,1） ，b （ 4,1,0） ， a b 29且
的
俯视图 正（主 ）视图 侧（左）视图 5 5
0，则=
.
13.在直角坐标系xOy中，设A（-2，3），B （3，-2），沿x轴把直角坐标平面折
成大小为的二面角后，这时AB 2 11 ，则的大小为
14.如图，P—ABCD 是正四棱锥，ABCD
A1B1C1D1 是正方体，其中AB 2,PA 6 ，则B1到平面PAD 的距离为.
、解答题（共80 分）
所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦
想的偏执。
15.（本小题满分12 分）如图，在四棱锥
P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方
形，侧棱PA的长为2，且PA与AB、AD的夹
角都等于600，M是PC的中点，
设AB a,AD b,AP c ．
（1）试用a,b,c 表示出向量BM ；（2）求
BM 的长．
16.（
本小题满分14 分）如下的三个图中，上面
的是一个长方体截去一个角所得多面体的直
观图，它的正视图和侧视图在下面画出（单
位：
cm）. （1）在正视
图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的
俯视图；（2）按照给出的尺寸，求该多面
体的体积；（3）在所给直观图中连结BC
' ，证明：BC'∥面EFG..
所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。17.（本小题满分12分）如图，在四面体ABCD中，CB CD，AD BD ，点E，F 分别是AB，BD 的中点．求证：
（1）直线EF //面ACD；
（2）平面EFC 面BCD ．
面角 E AF C 的余弦值．
18. （本小题满分 14 分）如图，已知点 P 在正方体 ABCD A' B'C' D'的对角线 BD' 上，∠ PDA=60°.
（1）求 DP 与 CC'所成角的大小； （2）求 DP 与平面 AA'D'D 所成角的大小 .
19. （本小题满分 14 分）已知一四棱锥 P －ABCD 的三视图如下， 上的动点．
1）求四棱锥 P －ABCD 的体积；
2）是否不论点 E 在何位置，都有 BD ⊥AE ？证明你的结论 ; 3）若点 E 为 PC 的中点，求二面角 D －AE －B 的大小．
20. （本小题满分 14 分）如图，已知四棱锥 P ABCD ，底面 ABCD 为
菱形， PA 平面 ABCD ， ABC 60 ， E ，F 分别是 BC ，PC 的中点． （1）证明： AE PD ；
（2）若 H 为 PD 上的动点， EH 与平面 PAD 所成最大角的正切值为 6
，求二
2
C'
E 是侧棱
PC D
C
D
二、填空题 11.9 12.3
1800
,
1200
(0, 2,0), AP (1,1,2) ，∴ y 0,x y 2z 0，取 z 1得m
( 2,0,1) ，
AD ( 2,0,2) ，∴ B 1 到平面 PAD 的距离 d
练习题参考答案
1
1.
B 1M B 1B BM A 1A (BA
1 1 1
BC)=c+ (－a+b)=－ a+ b+c ，故选
2. 由于M 、A 、B 、C 四点共面 OM xOA yOB zOC( x, y, z R)且x y z 1
选项(A)、(B)、(C)都不正确 . 由于MA MB MC 0 MA MB MC 所以存在 x 1,y 1,使MA xMB yMC MA,MB,MC 共面
由于M 为公共点 M 、A 、B 、C 四点共面，故选 D.
3. ∵ E, F 分别是 AB, AD 的中点 , EF // BD 且EF
1 EF DC BD DC
2 故选 B. 4.B 5.B 6.
1 BD DC
2 cos BD,DC 1 BD, 2 1
1 1 EF 1 2
cos1200
7. D 8.D 9.D
BD , 10. 由于 AB AC
AD
AB,AC
4
，
AC
5, 故选 A
13.作AC ⊥x 轴于C ，BD ⊥x 轴于 D ，则 AB
AC CD DB
∵ AC 3, CD 5, DB 2,AC CD 0,CD DB 0,AC DB AC DB cos(1800
6cos
AB
(AC CD DB)2
AC CD
DB
2
2(AC CD CD DB
DB AC)
2
AD
所以
BD
三、解答题 15.
解：（1）∵ M 是 PC 的中点，∴ BM 1
(BC BP)
1
[AD (AP AB)] 2
1
21[b (c a)]
1a 1
b 22 由于 AB
AD, PAB
PAD 600
, a b 0, a c b c 2 1
cos600
1
由于 BM 1( a b c),
2
BM 1( a b c)
2
1[a 2 b 2 c 2 2( a b a c b c)] 1[12 12 22
2(0 1 1)] 3
2）由于AB
b AD 1,PA
2,
a 4 4 4
2
BM
1,c 2
BM 的长为 6
6
， 2
16. 解： 1）如图
ABCD 中， 2）所求多面体体积 V
1 3 （3）证明： 在长方体 ABCD 连结 AD ，则 AD ∥ BC ． 因为 E ，G 分别为 AA ， AD 中点， 所以 AD ∥ EG ， 从而 EG ∥ BC ．又 BC 平面 EFG ， 所以 BC ∥面 EFG ．
17. 证明：（1）∵E,F 分别是 AB ，BD 的
中点， ∴EF 是△ABD 的中位
线，∴ EF ∥AD
2
284
(cm 2
) ． 3
122 2
∵AD 面 ACD ， EF 面 ACD ，∴直线 EF ∥面 ACD ；
（2）∵AD ⊥BD ，EF ∥AD ，∴EF ⊥BD ， ∵CB=CD ，F 是ＢＤ的中点，∴ CF ⊥BD 又 EF ∩CF=F, ∴BD ⊥面 EFC ， ∵BD 面 BCD ，∴面 EFC 面 BCD.
22
0 1 1 0 因为 cos DH ，DC 2 2
12
所以 DH ，DC 19. 解：（1）由该四棱锥的三视图可知，该四棱锥 P －ABCD 的底面是边长为 1
12 的正方形，侧棱 PC ⊥底面 ABCD ，且 PC=2.∴ V P ABCD S ABCD
PC
P ABCD 3 ABCD 3
（2）不论点 E 在何位置，都有 BD ⊥AE 证明如下：连结 AC ，∵ ABCD 是正方形，∴ BD ⊥AC ∵PC ⊥底面 ABCD 且 BD 平面 ABCD ∴BD ⊥PC 又 AC PC C ∴BD ⊥平面 PAC
∵不论点 E 在何位置，都有 AE 平面 PAC ∴不论点 E 在何位置，都有 BD ⊥AE
（3）解法 1： 在平面 DAE 内过点 D 作 DG ⊥AE 于 G ，连结 BG
∵CD=CB,EC=EC ，∴ Rt ECD ≌ Rt ECB ，∴ ED=EB
∵AD=AB ，∴△ EDA ≌△ EBA ，∴ BG ⊥EA ∴ DGB 为二面角 D －EA －B 的平面角 ∵BC ⊥DE ，AD ∥BC ，∴AD ⊥DE
18. 解： 则 DA 如图，以 D 为原点， DA 为单位长建立空间直角坐标系 D xyz ．
（1，0，0） ， CC （0，0，1） ．连结 BD ， BD ． BBD D 中，延长 DP 交 BD 在平面
设 DH
由 DA DH DA DH cos
解得 m 2 ，所以 DH
2
(m ，m ，1)(m 0) ，
由已知
DA ，DH
于H ． DH ，DA 60 ， ，可得 2m 2m 2 2， 2
，1 ． 2 1．
1） 2） 0 22
0 1 1 2 ，
1 2 2 ，
即 DP 与 CC 所成的角为 45 ． 平面 AAD D 的一个法向量是 DC 因为 cos DH ，
CC
所以
45 ， （0，1，0） ． y
1
， 2
60 ，可得 DP 与平面 AAD D 所成的角为 30 ．
在 R ｔ△ ADE 中 DG AD DE AE
= 2
3 =BG 在△ DGB 中，由余弦定理得 cos DGB
222
DG
2 BG 2 BD
2
2DG BG
因为 E 为 BC 的中点，所以 AE BC ． 又 BC ∥ AD ，因此 AE AD ．
22
∴ DGB = ，∴二面角 D －AE －B 的大小为 .
33
解法 2：以点 C 为坐标原点， CD 所在的直线为ｘ轴建立空间直角
则D(1,0,0), A(1,1,0), B(0,1,0), E(0,0,1) ,从而
(1,0,0), BE (0, 设平面 ADE 和平面 ABE 的法向量分别为 m (a,b,c),n (a ', b ',c ')
A
由法向量的性质可得： a c 0,b 0 ，a' 0, b' c' 令c 1,c' 1，则a 1,b' 1，∴ m (1,0,1), (0, 1, 1) 设二面角 D －AE －B 的平面角为 ，则 cos
面角 D －AE －B 的大小为
20.（1）证明： 由四边形 ABCD 为菱形， ABC 60 ，可得 △ ABC 为正三角形． P
1,1
)
E
x
C
1 2
因为PA 平面ABCD ，AE 平面ABCD ，所以PA AE．而PA 平面PAD ，AD 平面PAD 且PA AD A ，所以AE 平面PAD ．又PD 平面PAD ，所以AE PD ．
（2）解：设AB 2，H 为PD上任意一点，连接AH，EH．
由（1）知AE 平面PAD ，
则EHA 为EH 与平面PAD 所成的角．
在Rt△EAH 中，AE 3 ，所以当AH
最短时，EHA 最大，即当AH PD时，
EHA 最大．
此时tan EHA AE 3 6，
AH AH 2
因此AH 2．又AD 2，所以ADH 45 ，所以PA 2 ．
解法一：因为PA 平面ABCD ，PA 平面PAC，所以平面PAC 平面ABCD ．
过 E 作 EO AC 于 O ，则 EO 平面 PAC ，
过 O 作OS AF 于 S ，连接 ES ，则 ESO 为二面角 E AF C 的平面角，
又F 是PC 的中点，在 Rt △ASO 中，SO AO sin45 3 2
， 4
即所求二面角的余弦值为 15
．
5
解法二： 由（1）知 AE ，AD ，AP 两两垂直，以 A 为坐标原点，建立如图所示的 空间直角坐标系，又 E ，F 分别为 BC ，PC 的中点，所以
因为二面角 E AF C 为锐角，所以所求二面角的余弦值为
A （0，0，0），
B （ 3， 1，0），
C （ 3，1，0），
D （0，2，0） ，
P （0，0，2）， E （ 3，0，
0）， F
3 ，1
，1 ， 22 所以
AE
（ 3，0，0），AF 3，1
，
1 ． 22
设平面 AEF 的一法向量为 m （x 1，y 1，z 1） ， 则m 0，因此
3x 1 0
， AF 0，
2
3x 1 1 2 y 1 z 1 0． 取 z 1 1 ， 则m （0，2， 1） 因为 BD AC ， BD PA ，PA AC A ，所以 BD 平面 AFC ，
故 BD 为平面 AFC 的一法向量．
又 BD （ 3，3，0） ，所以
cos
5 12
m ，
BD 23 15 5
在 Rt △ AOE 中， EO AE sin30 2
3， AO AE cos30
3
， 2，
又 SE EO 2
SO 2
4
3 89
430
，在 Rt △ESO 中， cos ESO 32
SO 4
15 SE 30
5
2 2 2 2 1
0 (2 11)2 32 52 22 2(0 0
6cos ), cos .由于 00 14.以A1B1为x轴，A1D1为y轴，A1A为z轴建立空间直角坐标系设平面PAD 的法向量是m (x,y,z)，15 5