第1章 反比例函数 1．1 反比例函数
1．理解并掌握反比例函数的概念，能判断一个给定的函数是否为反比例函数．(重点) 2．能根据实际问题中的条件确定反比例函数的表达式，体会函数模型的思想．(重点)
阅读教材P2～3，完成下列内容： (一)知识探究
形如y ＝k
x (k 是常数，________)的函数称为________，其中x 是________，y 是________．自变量x
的取值范围是不等于0的一切实数． (二)自学反馈
下列函数中，属于反比例函数的是________；每一个反比例函数的比例系数是多少？ ①y ＝2x ＋1；②y ＝2x 2；③y ＝15x ；④y ＝－2
3x
；⑤xy ＝3；⑥2y ＝x ；⑦xy ＝－1.
判断是不是反比例函数，一定要根据反比例函数的定义，牢记反比例函数的三种形式．
活动1 小组讨论
例 如图，已知菱形ABCD 的面积为180，设它的两条对角线AC ，BD 的长分别为x ，y.写出变量y 与x 之间的函数表达式，并指出它是什么函数．
解：∵菱形的面积等于两条对角线长乘积的一半， ∴S 菱形＝1
2
xy ＝180.
∴xy ＝360(定值)，即y 与x 成反比例关系． ∴y ＝360x
.
因此，当菱形的面积一定时，它的一条对角线长y 是另一条对角线长x 的反比例函数． 活动2 跟踪训练
1．下面的函数是反比例函数的是( )
A ．y ＝3x ＋1
B ．y ＝x 2＋2x
C ．y ＝x 2
D ．y ＝3
x
2．在函数y ＝3
x 中，自变量x 的取值范围是( )
A ．x ≠0
B ．x ＞0
C ．x ＜0
D ．一切实数 3．若函数y ＝kx k
－2
是反比例函数，则k ＝________.
4．已知函数y ＝－6
x ，当x ＝－2时，y 的值是________．
5．列出下列问题中的函数表达式，并指出它们是什么函数．
(1)某农场的粮食总产量为1 500 t ，则该农场人数y(人)与平均每人占有粮食x(t)的函数表达式； (2)在加油站，加油机显示器上显示的某一种油的单价为每升4.75元，总价从0元开始随着加油量的变化而变化，则总价y(元)与加油量x(L)的函数表达式；
(3)小明完成100 m 赛跑时，时间t(s)与他跑步的平均速度v(m/s)之间的函数表达式． 活动3 课堂小结
本节课我们学习了反比例函数的定义，并归纳总结出反比例函数的表达式为y ＝k
x (k 为常数，k ≠0)，
自变量x 不能为零．还能根据定义和表达式判断某两个变量之间的关系是否是函数，是什么函数？
【预习导学】 知识探究
k ≠0 反比例函数 自变量 因变量 自学反馈 ③④⑤⑦ ③y ＝15x 中k ＝15；④y ＝－23x 中k ＝－2
3
；⑤xy ＝3中k ＝3；⑦xy ＝－1中k ＝－1. 【合作探究】 活动2 跟踪训练
1．D 2.A 3.1 4.3 5.(1)y ＝1 500x ，反比例函数． (2)y ＝4.75x ，正比例函数． (3)t ＝100
v
，反比例函数．
1．2 反比例函数的图象与性质
第1课时反比例函数y＝k
x(k>0)的图象与性质
1．能用“描点法”画反比例函数y＝k
x(k>0)的图象．(重点)
2．通过反比例函数图象的分析，探索并掌握反比例函数y＝k
x(k>0)的性质．(重点
)
阅读教材P5～7，完成下列内容：
(一)知识探究
1．类比一次函数的图象画法，画反比例函数的图象的一般步骤：________、________、________. 2．一般地，当k>0时，反比例函数y＝
k
x的图象由分别在第________、________象限内的两支________组成，它们与x轴、y轴都________，在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而________．(二)自学反馈
你能画出反比例函数y＝
2
x的图象吗？它是什么形状？有什么特点？
活动1小组讨论
例1画出反比例函数y＝
6
x的图象．
解：列表，如下：
x …－6
－5
－4 －3 －2 －1 1 2 3 4 5 6 …
y＝
6
x
…－1
－
1.2
－
1.5
－2 －3 －6 6 3 2 1.5 1.2 1 …描点、连线，如图所示：
列表时：自变量的值可以选取一些互为相反数的值，这样既可简化计算，又便于对称描点；描点时：尽量多描一些点，这样既可以方便连线，又能较准确地表达函数变化趋势；连线时：一定
要养成按自变量从小到大的顺序，依次用平滑的曲线连接，从中体会函数的增减性． 例2 在如图所示的平面直角坐标系内，画出反比例函数y ＝3
x
的图象．
解：列表，如下：
x …
－6
－5
－4
－3
－2
－1
1
2
3
4
5
6
…
y ＝3x
… －12 －35 －34
－1
－32
－3 3
32
1
34 35 12
…
描点、连线，如图所示．
例3 观察画出的y ＝6x ，y ＝3
x 的图象，思考下列问题：
(1)每个函数的图象分别位于哪些象限？
(2)在每一象限内，函数值y 随自变量x 的变化如何变化？ 解：(1)两个函数的图象都分别位于第一、三象限． (2)y 随x 的增大而减小．
(1)当k>0时，两支曲线分别位于第一、三象限内，每个象限内y 随x 的增大而减小．
(2)反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形．对称轴有两条：直线y ＝x 和y ＝－x.对称中心是原点． 活动2 跟踪训练
1．反比例函数y ＝1
x
(x ＞0)的图象如图所示，随着x 值的增大，y 值( )
A ．减小
B ．增大
C ．不变
D ．先减小，后不变
2．反比例函数y ＝2
x 的图象位于平面直角坐标系的( )
A ．第一、三象限
B ．第二、四象限
C ．第一、二象限
D ．第三、四象限
3．已知P 1(－2，y 1)，P 2(－1，y 2)，P 3(1，y 3)是反比例函数y ＝2
x 的图象上的三点，则y 1、y 2、y 3的
大小关系是( )
A ．y 3＜y 2＜y 1
B ．y 1＜y 2＜y 3
C ．y 2＜y 1＜y 3
D ．y 2＜y 3＜y 1
4．反比例函数y ＝2
x
的图象与两坐标轴________相交(填“会”或“不会”)．
5．已知反比例函数y ＝1－m
x
的图象如图所示，则m 的取值范围是________． 活动3 课堂小结
反比例函数y ＝k
x
(k>0)的图象与性质：
k 的符号 k>0 图象形状 双曲线 图象位置 一、三象限
性质
每个象限内，y 随x 的增大而减小
【预习导学】 知识探究
1．列表 描点 连线 2.一 三 曲线 不相交 减小 自学反馈 答案略
【合作探究】 活动2 跟踪训练
1．A 2.A 3.C 4.不会 5.m ＜1
第2课时 反比例函数y ＝k
x
(k<0)的图象与性质
1．会画反比例函数y ＝k
x (k<0)的图象．(重点)
2．探索并掌握y ＝k
x
(k<0)的性质．(重点)
阅读教材P7～9，完成下列内容： (一)知识探究
当k<0时，反比例函数y ＝k
x 的图象由分别在第________、________象限内的两支________组成，它
们与x 轴、y 轴________，在每个象限内，函数值y 随自变量x 的增大而________． (二)自学反馈
下列函数：①y ＝1x ；②y ＝－3x ；③y ＝1
2x ；④y ＝－7x .
(1)图象位于第二、四象限的有________；
(2)在每一象限内，y 随x 的增大而增大的有________； (3)在每一象限内，y 随x 的增大而减小的有________．
活动1 小组讨论
例 画反比例函数y 1＝4x 和y 2＝－4
x 的图象．
解：列表→描点→连线，如图所示．
反比例函数y ＝k x 的图象与y ＝－k
x
的图象关于x 轴、y 轴对称．当k<0时，反比例函数y
＝k
x 的图象由分别在第二、四象限内的两支曲线组成，它们与x 轴、y 轴都不相交，在每个象限内，函数值y 随自变量x 的增大而增大． 活动2 跟踪训练
1．反比例函数y ＝－1
x
(x ＞0)的图象如图所示，随着x 值的增大，y 值( )
A ．增大
B ．减小
C ．不变
D ．先增大后减小
2．反比例函数y ＝－1－a 2
x (a 是常数)的图象分布在( )
A ．第一、二象限
B ．第一、三象限
C ．第二、四象限
D ．第三、四象限
3．点(1，y 1)、(2，y 2)在函数y ＝－2
x 的图象上，则y 1________y 2(填“＞”“＝”或“＜”)．
4．已知反比例函数y ＝
3－k
x
，分别根据下列条件求出字母k 的取值范围： (1)函数图象位于第一、三象限； (2)在每一象限内，y 随x 的增大而增大．
牢记函数图象的性质，严格按照函数图象性质判断比例系数的符号．
活动3 课堂小结
学生试述：今天学到了什么？
【预习导学】 知识探究
二 四 曲线 不相交 增大 自学反馈
(1)②④ (2)②④ (3)①③ 【合作探究】 活动2 跟踪训练
1．A 2.C 3.＜ 4.(1)∵函数图象位于第一、三象限，∴3－k ＞0.解得k ＜3. (2)∵在每一象限内，y 随x 的增大而增大，∴3－k ＜0.解得k ＞3.
第3课时 反比例函数的图象与性质的综合应用
1．能根据已知点坐标确定反比例函数的表达式．
2．能借助一次函数与反比例函数的图象解决简单的实际问题．
阅读教材P10～11，完成下列内容： 自学反馈
已知反比例函数的图象经过点A(2，6)．
(1)这个函数的图象分布在哪些象限？y 随x 的增大如何变化？ (2)点B(3，4)、C(－212，－44
5
)和D(2，5)是否在这个函数的图象上？
活动1 小组讨论
例1 如图是反比例函数y ＝k
x 的图象．根据图象，回答下列问题：
(1)k 的取值范围是k>0，还是k<0？说明理由；
(2)如果点A(－3，y 1)，B(－2，y 2)是该函数图象上的两点，试比较y 1，y 2的大小．
解：(1)由图可知，反比例函数y ＝k
x 的图象的两支曲线分别位于第一、三象限内，在每个象限内，函
数值y 随自变量x 的增大而减小，因此，k>0.
(2)因为点A(－3，y 1)，B(－2，y 2)是该图象上的两点，所以点A ，B 都位于第三象限．又因为－3<
－2，由反比例函数图象的性质可知：y 1>y 2.
例2 已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于点P(－3，4)．试求出它们的表达式，并在同一坐标系内画出这两个函数的图象．
解：设正比例函数、反比例函数的表达式分别为y ＝k 1x ，y ＝k 2
x ，其中k 1，k 2为常数，且均不为零．
由于这两个函数的图象交于点P(－3，4)，则点P(－3，4)是这两个函数图象上的点，即点P 的坐标分别满足这两个表达式． 因此4＝k 1×(－3)，4＝
k 2
－3
. 解得k 1＝－4
3
，k 2＝－12.
因此这两个函数的表达式分别为y ＝－43x 和y ＝－12
x .
它们的图象如图所示：
活动2 跟踪训练
1．已知反比例函数y ＝k
x
的图象经过点(2，－2)，则k 的值为( )
A ．4
B ．－1
2
C ．－4
D ．－2
2．如图，已知直线y ＝mx 与双曲线y ＝k
x 的一个交点坐标为(3，4)，则它们的另一个交点坐标是( )
A ．(－3，4)
B ．(－4，－3)
C ．(－3，－4)
D ．(4，3)
3．设反比例函数y ＝k ＋1
x ，(x 1，y 1)、(x 2，y 2)为其图象上的两点，若x 1<0
值范围是________．
4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝kx ＋b(k ≠0)的图象与反比例函数y ＝m
x (m ≠0)的图象
相交于A 、B 两点．求：
(1)根据图象写出A 、B 两点的坐标并分别求出反比例函数和一次函数的表达式； (2)根据图象写出：当x 为何值时，一次函数值大于反比例函数值．
活动3 课堂小结 本课时学会解决的问题：
1．根据点的坐标确定反比例函数表达式．
2．根据反比例函数的图象比较已知两点坐标值的大小． 3．综合利用图象及性质解决一次函数与反比例函数的交点问题．
【预习导学】 自学反馈
(1)设这个反比例函数为y ＝k x ，∵图象过点A(2，6)，∴6＝k
2.解得k ＝12.∴这个反比例函数的表达式
为y ＝12
x .∵k>0，∴这个函数的图象在第一、三象限．在每个象限内，y 随x 的增大而减小．(2)把点
B 、
C 、
D 的坐标代入y ＝12
x ，可知点B 、C 的坐标满足函数关系式，点D 的坐标不满足函数关系式，
∴点B 、C 在函数y ＝12
x
的图象上，点D 不在这个函数的图象上． 【合作探究】 活动2 跟踪训练
1．C 2.C 3.k<－1 4.(1)由图象可知：点A 的坐标为(2，1
2)，点B 的坐标为(－1，－1)．∵反比
例函数y ＝m x (m ≠0)的图象经过点A(2，12)，∴m ＝1.∴反比例函数的表达式为y ＝1
x .∵一次函数y ＝
kx ＋b(k ≠0)的图象经过点A(2，1
2)，点B(－1，－1)，∴?????2k ＋b ＝12，－k ＋b ＝－1.解得?
??k ＝1
2，b ＝－12
.
∴一次函数的
表达式为y ＝12x －1
2
.(2)由图象可知：当x ＞2或－1＜x ＜0时，一次函数值大于反比例函数值.
1.3 反比例函数的应用
1．经历分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型，进而解决问题．(重点、难点) 2．体会数学与物理间的密切联系，增强应用意识，提高运用代数方法解决问题的能力．
阅读教材P14～15，完成下列内容： 自学反馈
某校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过了一片烂泥湿地，你能解释他们这样做的道理吗？当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板面积S(m 2)的变化，人和木板对地面的压强p(Pa)将如何变化？如果人和木板对湿地地面的压力合计600 N. (1)用含S 的代数式表示p ，p 是S 的反比例函数吗？为什么？ (2)当木板面积为0.2 m 2时，压强是多少？
(3)如果要求压强不超过6 000 Pa ，木板面积至少要多大？ (4)在直角坐标系中，画出相应的函数图象；
(5)请利用图象对(2)和(3)作出直观解释，并与同伴交流．
从此活动中，我们可以发现，生活中存在着大量的反比例函数的实际问题．建立反比例函
数模型，能帮助我们更好地解决实际问题．
活动1 小组讨论
例 已知某电路的电压U(V)、电流I(A)、电阻R(Ω)三者之间有如下关系式：U ＝IR ，且该电路的电压U 恒为220 V .
(1)写出电流I 关于电阻R 的函数表达式；
(2)若该电路的电阻为200 Ω，则通过它的电流是多少？
(3)如果该电路接入的是一个滑动变阻器，怎样调整电阻R ，就可以使电路中的电流I 增大？ 分析：由于该电路的电压U 为定值，即该电路的电阻R 与电流I 的乘积为定值，因此该电路的电阻R 与电流I 成反比例函数关系．
解：(1)因为U ＝IR ，且U ＝220 V ，所以IR ＝220，即该电路的电流I 关于电阻R 的函数表达式为I ＝220R
. (2)因为该电路的电阻R ＝200 Ω，所以通过该电路的电流I ＝220
200
＝1.1(A)．
(3)根据反比例函数的图象及性质可知，当滑动变阻器的电阻R 减小时，就可以使电路中的电流I 增大．
当我们把物理电学问题转化成反比例函数的数学模型时，后面的问题就变成了已知函数值
求相应自变量的值或已知自变量的值求相应的函数值，借助于方程，问题即可迎刃而解． 活动2 跟踪训练
1．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p(kPa)是气体体积V(m 3)的反比例函数，如图所示，则用气体体积V 表示气压p 的函数表达式为( )
A ．p ＝120
V
B ．p ＝－
120V
C ．p ＝96
V
D ．p ＝－96
V
2．一台印刷机每年可印刷的书本数量y(万册)与它的使用时间x(年)成反比例关系，当x ＝2时，y ＝20.则y 与x 的函数图象大致是( )
3．在对物体做功一定的情况下，力F(牛)与此物体在力的方向上移动的距离s(米)成反比例函数关系，其图象如图所示，P(5，1)在图象上，则当力达到10牛时，物体在力的方向上移动的距离是________米．
4．近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(米)成反比例，已知400度的近视眼镜镜片的焦距为0.25米，则眼镜度数y(度)与镜片焦距x(米)之间的函数表达式为____________；500度的近视眼镜镜片的焦距为________．
5．学校准备在校园内修建一个矩形的绿化带，矩形的面积为定值，它的一边y 与另一边x 之间的函数关系式如图所示．
(1)绿化带面积是多少？你能写出这一函数表达式吗？
(2)完成下表，并回答问题：如果该绿化带的长不得超过40 m ，那么它的宽应控制在什么范围内？
x(m) 10 20 30 40 y(m)
活动3 课堂小结
学生试述：今天学到了什么？
【预习导学】 自学反馈
(1)p ＝600
S (S>0)，p 是S 的反比例函数． (2)p ＝3 000 Pa. (3)至少0.1 m 2. (4)图略． (5)问题(2)
是已知图象上的某点的横坐标为0.2，求该点的纵坐标；问题(3)是已知图象上点的纵坐标不大于 6 000，求这些点所处的位置及它们的横坐标的取值范围．实际上这些点都在直线p ＝6 000下方的图象上． 【合作探究】 活动2 跟踪训练 1．C 2.C 3.0.5 4.y ＝
100
x
(x>0) 0.2米 5.(1)绿化带面积为10×40＝400(m 2)．设该反比例函数的表达式为y ＝k x ，∵图象经过点A(40，10)，把x ＝40，y ＝10代入，得10＝k
40，解得k ＝400.∴函
数表达式为y ＝400x .(2)40 20 40
3
10 若长不超过40 m ，则它的宽应不小于10 m.
第2章 一元二次方程 2．1 一元二次方程
1．会根据具体问题列出一元二次方程，体会方程的模型思想．
2．能理解一元二次方程的概念；会把一个一元二次方程化为一般形式；会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项．
阅读教材P26～27，完成下列问题： (一)知识探究
如果一个方程通过整理可以使右边为________，而左边是只含有________个未知数的________次多项式，那么这样的方程叫作一元二次方程，它的一般形式是____________，其中________，________，________分别叫作二次项系数、一次项系数、常数项．
二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号．二次项系数a ≠0是一个重要
条件，不能漏掉． (二)自学反馈
1．下列方程中，是一元二次方程的是( ) A ．x －y 2＝1 B.x 2－1＝0 C.1x 2－1＝0 D.x 22－x －13
＝0
2．将方程(2x ＋1)x ＝(3x －2)x ＋2化简整理写成一般形式后，其中a 、b 、c 分别是____________．
活动1 小组讨论
例1 判断下列方程是否为一元二次方程：
(1)1－x 2＝0； (2)2(x 2－1)＝3y ； (3)2x 2－3x －1＝0； (4)1x 2－2
x ＝0； (5)(x ＋3)2＝(x －3)2； (6)9x 2＝5－4x. 解：(1)是；(2)不是；(3)是；(4)不是；(5)不是；(6)是．
(1)一元二次方程为整式方程；(2)类似(5)这样的方程要化简后才能判断．
例2 将方程(8－2x)(5－2x)＝18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．
解：方程(8－2x)(5－2x)＝18化成一元二次方程的一般形式是2x 2－13x ＋11＝0，其中的二次项系数、一次项系数及常数项分别是2，－13，11.
将一元二次方程化成一般形式时，通常要将首项化负为正，化分为整．
活动2跟踪训练
1．下列方程哪些是一元二次方程？
(1)7x2－6x＝0；(2)2x2－5xy＋6y＝0；
(3)2x2－1
3x－1＝0；(4)x
2＋2x－3＝1＋x2.
2．将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．(1)5x2－1＝4x；(2)4x2＝81；
(3)4x(x＋2)＝25；(4)(3x－2)(x＋1)＝8x－3.
3．已知方程(a－4)x2－(2a－1)x－a－1＝0.
(1)a取何值时，方程为一元二次方程？
(2)a取何值时，方程为一元一次方程？
4．根据下列问题，列出关于x的方程：
(1)4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x；
(2)一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x；
(3)把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长x.
活动3课堂小结
学生试述：今天学到了什么？
【预习导学】
知识探究
0一二ax2＋bx＋c＝0(a，b，c是已知数，a≠0)a b c
自学反馈
1．D 2.3－2，－3， 2
【合作探究】
活动2跟踪训练
1．(1)是一元二次方程． 2.(1)5x2－4x－1＝0，二次项系数、一次项系数及常数项分别是5，－4，－1.(2)4x2－81＝0，二次项系数、一次项系数及常数项分别是4，0，－81.(3)4x2＋8x－25＝0，二次项系数、一次项系数及常数项分别是4，8，－25.(4)3x2－7x＋1＝0，二次项系数、一次项系数及常数项分别是3，－7，1. 3.(1)a≠4.(2)a＝4. 4.(1)4x2＝25.(2)x(x－2)＝100.(3)x＝(1－x)2.
九（上）数学知识点覃勉 第一章一元二次方程 一元二次方程：只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化作ax2+bx+c=0(a,b,c为常数，a≠0)的形式。 （2）一元二次方程的一般式及各系数含义 一般式：ax2+bx+c=0(a,b,c为常数，a≠0)，其中，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。 2、分解因式法 3、配方法 4、公式法 （1）求根公式： b2-4ac≥0时，x= a ac b b 2 4 2- ± - (2)求一元二次方程的一般式及各系数的含义 一、将方程化为一元二次方程的一般ax2+bx+c=0(a,b,c为常数，a≠0)；二、计算b2-4ac 的值，当b2-4ac≥0时，方程有实数根（＞0有两个实数根，=0两个相等实数根）.当b2-4ac ＜0时，方程无实数根；三、代入求根公式，求出方程的根；四、写出方程的两个根。 第三章图形的相似 1、线段的比 一般地，在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比， 那么这四条线段叫作成比例线段 2、比例的基本性质 如果ａ/ｂ＝ｃ/ｄ，那么ａｄ＝ｂｃ． 3、相似三角形的性质和判定 角对应相等，且三条边对应成比例的两个三角形叫作相似三 角形．如果△Ａ′Ｂ′Ｃ′与△ＡＢＣ相似，且Ａ′，Ｂ′，Ｃ′分别与Ａ，Ｂ，Ｃ对应，那么记作△Ａ′Ｂ′Ｃ′∽△ＡＢＣ，读作“△Ａ′Ｂ′Ｃ′相似于△ＡＢＣ”．相似三角形的对应边的比ｋ叫作相似比 判定定理１三边对应成比例的两个三角形相似． 判定定理２两角对应相等的两个三角形相似. 判定定理３两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。 相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方
九年级上册数学期末测试试卷 总分：120 时间：120 姓名 得分 一.选择题（每小题3分，共30分） 1.方程x 2 =x 的解是 （ ） =0 =1 =±1 =1,x=0 2.在Rt △ABC,∠C ＝90°, sinB ＝ 3 5 ,则sinA 的值是( ) A.35 B.45 C.53 D.54 3．一斜坡长10m ，它的高为6m ，将重物从斜坡起点推到坡上4m 处停下，则停下地点的高度为 （ ） A ．2 m B ． m C ．3 m D ．4 m 4.方程x 2-2x-3=0变为(x+a)2 =b 的形式,正确的是 ( ) A. (x+1)2 =4 B (x-1)2 =4 C. (x+1)2 =3 D.(x-1)2 =3 5．如图，若将四根木条钉成的矩形木框变为平行四边形ABCD ，并使其面 积为矩形面积的一半，则这个平行四边形的一个最小内角的值等于 ( ) o B. 45o 6．用13m 的铁丝网围成一个长边靠墙面积为20m 2 的长方形，求这个长方形的长和宽，设平行于墙的一边为x m ，可得方程 ( ) A ．(13)20x x -= B ． 20)13(2 =-x x C ．113202x x ? ?-= ?? ? D ． 20)213(2 =-x x 7. 已知点M (－2，3 )在双曲线x k y = 上，则下列各点一定在该双曲线上的是( ) A.(3，-2 ) B.(-2，-3 ) C.(2，3 ) D.(3，2) 8.在ABC 中,∠C=900 a,b,c 分别是∠A,∠B ,∠C 的对边.则 （ ） = B. b= = = 9、已知点A （11x y ，）、B （22x y ，）是反比例函数x k y =（0>k ）图象上的两点，若210x x <<，则有 （ ） A ．210y y << B ．120y y << C ．021< 湘教版九年级数学上册 第一章反比例函数 （一）反比例函数 1．（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为，在解决有关自变 量指数问题时应特别注意系数这一限制条件； 2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而 得到反比例函数的解析式； （二）反比例函数的图象与性质 1．函数解析式：（） 2．自变量的取值范围： 3．图象：反比例函数的图象：在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0， 且x应对称取点（关于原点对称）． （1）图象的形状：双曲线越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．越小，图象的弯曲度越大． （2）图象的位置和性质：自变量，函数图象与x轴、y轴无交点，两条坐标轴是双曲线的渐近线． 当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x 的增大而减小； 当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大． （3）对称性：图象关于原点对称，若（a，b）在双曲线的一支上，（，）在双曲线的另一支上． 图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）和（，）在 双曲线的另一支上． 4．k的几何意义:如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是（三角形PAO和三角形PBO的面积都是）． 如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为． 图1 图2 5．说明： （1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论．（2）直线与双曲线的关系：当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点， 且这两个交点关于原点成中心对称． （三）反比例函数的应用 九年级上学期期末考试数学试题 时间：120分钟满分：120分 一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分) 1．一元二次方程x(x－2)＝2－x的根是( ) A．－1 B. 2 C．1和 2 D．－1和 2 2．cos60°－sin30°＋tan45°的值为( ) A．2 B．－2 C．1 D．－1 3．在反比例函数y＝k x (k<0)的图象上有两点(－1，y1)，(－ 1 4 ，y2)，则y1 －y2的值是( ) A．负数 B．非正数 C．正数 D．不能确定 4．某校为了解八年级学生每周课外阅读情况，随机调查了50名八年级学生，得到他们在某一周里课外阅读所用时间的数据，并绘制成频数分布直方图，如图所示，根据统计图，可以估计在这一周该校八年级学生平均课外阅读的时间约为( ) A．2.8小时 B．2.3小时 C．1.7小时 D．0.8小时 ,第4题图) ,第5题图) ,第6题图) ,第7题图) 5．如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是1∶3(坡比是坡面的铅直高度BC 与水平宽度AC之比)，坝高BC＝3 m，则坡面AB的长度是( ) A．9 m B．6 m C．6 3 m D．3 3 m 6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，c＝10，则下列不正确的是( ) A．∠B＝60° B．a＝5 C．b＝5 3 D．tan B＝ 3 3 7．如图，五边形ABCDE 与五边形A ′B ′C ′D ′E ′是位似图形，O 为位似 中心，OD ＝12 OD ′，则A ′B ′∶AB 为( ) A ．2∶3 B ．3∶2 C ．1∶2 D ．2∶1 8．方程x 2－(m ＋6)x ＋m 2＝0有两个相等的实数根，且满足x 1＋x 2＝x 1x 2，则 m 的值是( ) A ．－2或3 B ．3 C ．－2 D ．－3或2 9、如图，将矩形ABCD 沿对角线BD 折叠，使点C 落在点C ′处，BC ′交AD 于点E ，则下列结论不一定成立的是( ) A ．AD ＝BC ′ B ．∠EBD ＝∠EDB C ．△ABE ∽△CB D D ．sin ∠ ABE ＝AE ED 10、已知二次函数2 y ax bx c =++的图象如图所示，对称轴是1x =，则下列结论中正确的是（ ）． Ａ．0ac > Ｂ．0b < Ｃ．240b ac -< Ｄ．20a b += 第一章 反比例函数 探究内容：1.1 建立反比例函数模型（1） 目标设计：1、引导学生从具体问题中探索出数量关系和变化规律，抽象出反比例函数 的概念； 2、理解反比例函数的概念和意义； 3、培养学生自主探究知识的能力。 重点难点：对反比例函数概念的理解 探究准备：投影片等。 探究过程： 一、旧知回顾： 1、函数的概念： 一般地，在某一变化过程中有两个变量x 与y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数。 2、一次函数的概念： 一般地，如果y kx b =+（k 、b 是常数，0k ≠）那么y 叫做x 的一次函数。如：31y x =-，… 当0b =时，有y kx =（k 为常数，0k ≠）则y 叫做x 的正比例函数。如：1 2 y x =-， 4y x =，… 二、新知探究： 类似地，有反比例函数： 1、概念： 一般地，如果两个变量y 与x 的关系可以表示成k y x =（k 为常数，0k ≠）的形式，那么称y 是x 的反比例函数。 2、强调： ①自变量在分母中，指数为1，且0x ≠； ②也可以写成1y kx -=的形式，此时自变量x 的指数1-； ③自变量x 的取值为0x ≠的一切实数； ④由于0k ≠，0x ≠，因此函数值y 也不等于0。 例题讲评： 1、下列函数中，x 均表示自变量，那么哪些是反比例函数，并指出每一个反比例函数中相应的k 值。 ⑴5y x = ⑵20.4 y x =- ⑶2x y =- ⑷2xy = 分析： ⑴5 y x = 是反比例函数，5k =； ⑵2 0.4 y x =- 不是反比例函数； ⑶2 x y =-是正比例函数； 湘教版九年级数学上册第一章测试题（含答案） (考试时间：120分钟 满分：120分) 第Ⅰ卷(选择题 共36分) 一、选择题(每小题3分，共36分) 1．下列函数关系式中，y 不是x 的反比例函数的是( D ) A ．xy ＝5 B ．y ＝5 3x C ．y ＝－3x － 1 D ．y ＝2x －3 2．点P (－3，1)在双曲线y ＝k x 上，则k 的值是( A ) A ．－3 B ．3 C ．－13 D.1 3 3．下列图象中是反比例函数y ＝－2 x 图象的是( C ) 4．已知反比例函数y ＝k x 的图象经过P (－4，3)，则这个函数的图象位于( D ) A ．第二、三象限 B ．第一、三象限 C ．第三、四象限 D ．第二、四象限 5．若函数y ＝3x m ＋ 1是反比例函数，则m 的值是( B ) A ．2 B ．－2 C ．±2 D ．3 6．函数y ＝k x 的图象如图所示，那么函数y ＝kx －k 的图象大致是( C ) 7．在温度不变的条件下，一定质量的气体的压强p (Pa)与它的体积V (m 3)成反比例．当 V ＝200 m 3时，p ＝50 Pa.则当p ＝25 Pa 时，V 的值为( B ) A ．40 m 3 B ．400 m 3 C ．200 m 3 D ．100 m 3 8.如图，在同一平面直角坐标系中，直线y ＝k 1x (k 1≠0)与双曲线y ＝k 2 x (k 2≠0)相交于A ， B 两点，已知点A 的坐标为(1，2)，则点B 的坐标为( A ) A ．(－1，－2) B ．(－2，－1) C ．(－1，－1) D ．(－2，－2) 第8题图 第11题图 第12题图 9．△ABC 的边BC ＝y ，BC 边上的高AD ＝x ，△ABC 的面积为3，则y 与x 的函数图象大致是( A ) 第1章反比例函数 1.1 反比例函数 教学目标 【知识与技能】 理解反比例函数的概念，根据实际问题能列出反比例函数关系式. 【过程与方法】 经历从实际问题抽象出反比例函数的探索过程，发展学生的抽象思维能力. 【情感态度】 培养观察、推理、分析能力，体会由实际问题转化为数学模型，认识反比例函数的应用价值. 【教学重点】 理解反比例函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式. 【教学难点】 能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，体会函数的模型思想. 教学过程 一、情景导入，初步认知 1．复习小学已学过的反比例关系，例如： (1)当路程s一定，时间t与速度v成反比例，即vt=s(s是常数) (2)当矩形面积一定时，长a和宽b成反比例，即ab＝S(S是常数) 2、电流I、电阻R、电压U之间满足关系式U＝IR，当U=220V时,请你用含R的代数式表示I吗？ 【教学说明】对相关知识的复习，为本节课的学习打下基础. 二、思考探究，获取新知 探究1：反比例函数的概念 （1）一群选手在进行全程为3000米的赛马比赛时，各选手的平均速度v(m/s)与所用时间t(s)之间有怎样的关系？并写出它们之间的关系式. （2）利用（1）的关系式完成下表： （3）随着时间t的变化，平均速度v发生了怎样的变化？ （4）平均速度v是所用时间t的函数吗？为什么？ （5）观察上述函数解析式，与前面学的一次函数有什么不同？这种函数有什么特点？ 【归纳结论】一般地，如果两个变量x,y之间可以表示成y=k （k为常数且k≠0）的形式， x 那么称y是x的反比例函数.其中x是自变量，常数k称为反比例函数的比例系数. 【教学说明】先让学生进行小组合作交流，再进行全班性的问答或交流.学生用自己的语言说明两个变量间的关系为什么可以看作函数，了解所讨论的函数的表达形式．探究2：反比例函数的自变量的取值围思考：在上面的问题中，对于反比例函数v=3000/t，其中自变量t可以取哪些值呢？分析：反比例函数的自变量的取值围是所有非零实数，但是在实际问题中，应该根据具体情况来确定该反比例函数的自变量取值围.由于t代表的是时间，且时间不能为负数，所有t的取值围为t>0. 【教学说明】教师组织学生讨论，提问学生，师生互动． 三、运用新知，深化理解 1.见教材P3例题. 2.下列函数关系中，哪些是反比例函数？ (1)已知平行四边形的面积是12cm2，它的一边是acm，这边上的高是hcm，则a与h的函数关系； (2)压强p一定时，压力F与受力面积S的关系； 湘教版九年级上册数学 教案(全册) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 第1章反比例函数 1.1 反比例函数 教学目标 【知识与技能】 理解反比例函数的概念，根据实际问题能列出反比例函数关系式. 【过程与方法】 经历从实际问题抽象出反比例函数的探索过程，发展学生的抽象思维能力. 【情感态度】 培养观察、推理、分析能力，体会由实际问题转化为数学模型，认识反比例函数的应用价值. 【教学重点】 理解反比例函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式. 【教学难点】 能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，体会函数的模型思想. 教学过程 一、情景导入，初步认知 1．复习小学已学过的反比例关系，例如： (1)当路程s一定，时间t与速度v成反比例，即vt=s(s是常数) (2)当矩形面积一定时，长a和宽b成反比例，即ab＝S(S是常数) 2、电流I、电阻R、电压U之间满足关系式U＝IR，当U=220V时,请你用含R的代数式表示I吗？ 【教学说明】对相关知识的复习，为本节课的学习打下基础. 二、思考探究，获取新知 探究1：反比例函数的概念 （1）一群选手在进行全程为3000米的赛马比赛时，各选手的平均速度v(m/s)与所用时间t(s)之间有怎样的关系？并写出它们之间的关系式. （2）利用（1）的关系式完成下表： （3）随着时间t的变化，平均速度v发生了怎样的变化？ （4）平均速度v是所用时间t的函数吗为什么 （5）观察上述函数解析式，与前面学的一次函数有什么不同这种函数有什么特点 【归纳结论】一般地，如果两个变量x,y之间可以表示成y=k x （k为常数且k≠0）的 形式，那么称y是x的反比例函数.其中x是自变量，常数k称为反比例函数的比例系数. 【教学说明】先让学生进行小组合作交流，再进行全班性的问答或交流.学生用自己的语言说明两个变量间的关系为什么可以看作函数，了解所讨论的函数的表达形式．探究2：反比例函数的自变量的取值范围思考：在上面的问题中，对于反比例函数v=3000/t，其中自变量t可以取哪些值呢？分析：反比例函数的自变量的取值范围是所有非零实数，但是在实际问题中，应该根据具体情况来确定该反比例函数的自变量取值范围.由于t代表的是时间，且时间不能为负数，所有t的取值范围为t>0. 【教学说明】教师组织学生讨论，提问学生，师生互动． 三、运用新知，深化理解 1.见教材P3例题. 2.下列函数关系中，哪些是反比例函数？ (1)已知平行四边形的面积是12cm2，它的一边是acm，这边上的高是hcm，则a与h 的函数关系； (2)压强p一定时，压力F与受力面积S的关系； (3)功是常数W时，力F与物体在力的方向上通过的距离s的函数关系． (4)某乡粮食总产量为m吨，那么该乡每人平均拥有粮食y(吨)与该乡人口数x的函数关系式． 分析：确定函数是否为反比例函数，就是看它们的解析式经过整理后是否符合y=k x (k 是常数，k≠0)．所以此题必须先写出函数解析式，后解答．解： (1)a=12/h，是反比例函数； (2)F＝pS，是正比例函数； (3)F=W/s，是反比例函数； (4)y=m/x，是反比例函数． 九上 第一章反比例函数 （一）反比例函数 1．（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件； 2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而 得到反比例函数的解析式； （二）反比例函数的图象与性质 1．函数解析式：（） 2．自变量的取值范围： 3．图象：反比例函数的图象：在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）． （1）图象的形状：双曲线越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．越小，图象的弯曲度越大． （2）图象的位置和性质：自变量，函数图象与x轴、y轴无交点，两条坐标轴是双曲线的渐近线．当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小； 当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大． （3）对称性：图象关于原点对称，若（a，b）在双曲线的一支上，（，）在双曲线的另一支上．图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）和（，）在 双曲线的另一支上． 4．k的几何意义: 如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是（三角形PAO和三角形 PBO的面积都是）．如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为 ． 图1 图2 5．说明： （1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概 而论．（2）直线与双曲线的关系：当时，两图象没有交点；当时， 两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称． （三）反比例函数的应用 1、求函数解析式的方法：（1）待定系数法；（2）根据实际意义列函数解析式． 2、反比例函数与一次函数的联系． 3、充分利用数形结合的思想解决问题． 第二章一元二次方程 （一）一元二次方程 1、只含有一个未知数的整式方程（分母不含未知数），且都可以化为20 ax bx c ++=（a、b、c为常数， a≠0）的形式，这样的方程叫一元二次方程。 2、把20 ax bx c ++=（a、b、c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般式，a为二次项系数；b为一次项系数；c为常数项（包括符号）。 （二）一元二次方程的解法 1、直接开平方法：如果方程化成的形式，那么可得； 如果方程能化成 (p≥0)的形式，那么进而得出方程的根。 2、配方法：配方式 基本步骤：①把方程化成一元二次方程的一般形式；②将二次项系数化成1；③把常数项移到方程 湘教版数学九年级上册教学计划 一、基本情况: 本学期我担任九年级159班的数学教学工作。共有学生48人,我深感教育教学的压力很大，在本学期的数学教学中务必精耕细作。使用的教材是新课程标准实验教材《湘教版数学九年级上册》，如何用新理念使用好新课程标准教材？如何在教学中贯彻新课标精神？这要求在教学过程中具有创新意识、每一个教学环节都必须巧做安排。为此，特制定本计划。 二、指导思想： 以党和国家的教育教学方针为指导,按照九年义务教育数学课程标准来实施,其目的是教书育人,使每个学生都能够在数学学习过程中获得最适合自己的发展。通过初三数学的教学，提供参加生产实践和进一步学习所必需的数学基础知识与基本技能，进一步培养学生的运算能力、思维能力和空间想象能力，能够运用所学知识解决实际问题，培养学生的数学创新意识、良好个性品质以及初步的唯物主义观。 三、教学内容： 本学期所教初三数学包括第一章一元二次方程，第二章命题定理与证明，第三章解直角三角形，第四章相似形，第五章概率的计算。 四、教学目的： 教育学生掌握基础知识与基本技能，培养学生的逻辑思维能力、运算能力、空间观念和解决简单实际问题的能力，使学生逐步学会正确、合理地进行运算，逐步学会观察分析、综合、抽象、概括。会用归纳演绎、类比进行简单的推理。使学生懂得数学来源与实践又反过来作用于实践。提高学习数学的兴趣，逐步培养学生具有良好的学习习惯，实事求是的态度。顽强的学习毅力和独立思考、探索的新思想。培养学生应用数学知识解决问题的能力。 知识技能目标:掌握一元二次方程的有关概念;会解一元二次方程;能建立一元二次方程的模型解决实际问题；理解命题、定理、证明等概念；能正确写出证明；掌握锐角三角函数的性质;理解直角三角形的性质；能运用三角函数及勾股 定理解直角三角形；掌握相似三角形的概念、性质及判定方法;掌握概率的计算方法；理解概率在生活中的应用。 过程方法目标:培养学生的观察、探究、推理、归纳的能力,发展学生合情 推理能力、逻辑推理能力和推理认证表达能力,提高知识综合应用能力。 态度情感目标:进一步感受数学与日常生活密不可分的联系,同时对学生进 行辩证唯物主义世界观教育。 通过讲授证明的有关知识，使学生经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理论证能力，并能运用这些知识进行论证、计算、和简单的作图。进 第1章反比例函数 1.1反比例函数 一二旧知链接 1.下面的函数是反比例函数的是(). A.y=3x+1 B.y=x2+2x C.y=x2 D.y=3x 2.形如y=k x(k是常数,)的函数称为,其中x是,y是.自变量x 的取值范围是不等于0的一切实数. 3.下列函数中,属于反比例函数的是. ①y=2x+1;②y=2x2;③y=15x;④y=-23x;⑤x y=3;⑥2y=x;⑦x y=-1. 二二新知速递 1.在函数y=3x中,自变量x的取值范围是(). A.x?0 B.x>0 C.x<0 D.一切实数 2.若函数y=k x k-2是反比例函数,则k=. 3.列出下列问题中的函数表达式,并指出它们是什么函数. (1)某农场的粮食总产量为1500t,则该农场人数y(人)与平均每人占有粮食x(t)的函数表达式; (2)在加油站,加油机显示器上显示的某一种油的单价为每升4.75元,总价从0元开始随着加油量的变化而变化,则总价y(元)与加油量x(L)的函数表达式; (3)小明完成100m赛跑时,时间t(s)与他跑步的平均速度v(m/s)之间的函数表达式. 1.在反比例函数y=2x中,自变量x的取值范围是(). A.x?0 B.x>0 C.x<0 D.一切实数 2.当路程s一定时,速度v与时间t之间的函数关系是(). A.正比例函数 B.反比例函数 C.一次函数 D.二次函数 3.函数y=2k+1x是反比例函数,则k的取值范围是(). A.k?-12 B.k>-12 C.k<-12 D.k?0 4.若y与x成正比例,y与z成反比例,则下列说法正确的是(). A.z是x的正比例函数 B.z是x的反比例函数 C.z是x的一次函数 D.z不是x的函数 5.下列说法正确的是(). A.圆面积公式S=πr2中,S与r成正比例关系 B.三角形面积公式S=12a h中,当S是常量时,a与h成反比例关系 C.y=1x+1中,y与x成反比例关系 D.y=x-12中,y与x成正比例关系 6.在温度不变的情况下,一定质量的气体的压强p与它的体积V成反比例,当V=200时,p=50,则p =25时,V=. 7.在平面直角坐标系x O y中,点P到x轴的距离为3个单位长度,到原点O的距离为5个单位长度,则经过点P的反比例函数的表达式为. 8.已知y是x的反比例函数,当x=2时,y=-6. (1)求y与x的函数表达式; (2)当x=4时,求y的值. 基础训练 1.下列问题中两个变量间的函数表达式是反比例函数的是(). A.小红1分钟可以制作2朵花,x分钟可以制作y朵花 B.体积10c m3的长方体,高为h c m时,底面积为S c m2 C.用一根长50c m的铁丝弯成一个矩形,一边长为x c m时,面积为y c m2 D.小李接到一次检修管道的任务,已知管道长100m,设每天能完成10m,x天后剩下的未检修的管道长为y m 2.若函数y=(m+2)x2m+1是反比例函数,则m的值为(). A.-2 B.1 C.2或1 D.-1 3.若y与-3x成反比例,x与z成正比例,则y是z的(). A.正比例函数 B.反比例函数 C.一次函数 D.不能确定 期末测试(一) (时间：90分钟 满分：120分) 题号 一 二 三 总分 合分人 复分人 得分 一、选择题(每小题3分，共24分) 1．下列函数：①y ＝－2x ；②y ＝－x 2；③y ＝2x －1；④y ＝1 x －2.其中是反比例函数的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2．(厦门模拟)两个相似三角形的面积比为1∶4，那么它们的对应边的比为( ) A ．1∶16 B ．16∶1 C ．1∶2 D ．2∶1 3．关于x 的一元二次方程x 2－6x ＋2k ＝0有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是( ) A ．k ≤92 B ．k ＜9 2 C ．k ≥92 D ．k ＞9 2 4．计算cos60°－sin30°＋tan45°的结果为( ) A ．2 B ．－2 C ．1 D ．－1 5．某农科院对甲、乙两种甜玉米各用10块相同条件的试验田进行试验，得到两个品种每公顷产量的两组数据，其 方差分别为s 2甲＝0.002，s 2乙 ＝0.03，则( ) A ．甲比乙的产量稳定 B ．乙比甲的产量稳定 C ．甲、乙的产量一样稳定 D ．无法确定哪一品种的产量更稳定 6．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，c ＝10，则下列不正确的是( ) A ．∠ B ＝60° B ．a ＝5 C ．b ＝5 3 D ．tanB ＝ 33 7．如图，AB ∥CD ，AC 、BD 、EF 相交于点O ，则图中相似三角形共有( ) A ．1对 B ．2对 C ．3对 D ．4对 8．如图，将矩形ABCD 沿对角线BD 折叠，使点C 落在点C′处，BC ′交AD 于点E ，则下列结论不一定成立的是( ) A ．AD ＝BC′ B ．∠EBD ＝∠EDB C ．△ABE ∽△CB D D ．sin ∠AB E ＝AE ED 九（上）数学知识点 第一章 反比例函数 反比例函数及其图象的性质 1．函数解析式：（） 2．自变量的取值范围： 3．图象：（1）图象的形状：双曲线． 越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直． 越小，图象的弯曲度越大． （2）图象的位置和性质： 与坐标轴没有交点 当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y 随x 的增大而减 小； 当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y 随x 的增大而增大． 第二章 一元二次方程 （1）一元二次方程：只含有一个未知数x 的整式方程，并且都可以化作ax 2 +bx+c=0(a,b,c 为常数，a ≠0)的形式。 （2）一元二次方程的一般式及各系数含义 一般式：ax 2 +bx+c=0(a,b,c 为常数，a ≠0)，其中，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项。 1、直接开平方法 2、分解因式法：（1、提公因式法；2、公式法； 3、十字交叉相乘法） 3、配方法：加上一次项系数一半的平方。 4、公式法 （1）根的判别式：2 4b ac ?=-，?>0时，方程有两不等实数根；?=0时，方程有两相 同实数根；?<0时，方程无实数根。 （2）求根公式 ： 当2 4b ac ?=-≥0时，x=a ac b b 242-±- （3）韦达定理：12b x x a +=- ,12c x x a ?= 第三章 图形的相似 1、 线段的比 一般地， 在四条线段中， 如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫作成比例线段 2、比例的基本性质 如果 a c b d =， 那么ａｄ ＝ ｂｃ． 3、相似三角形的性质和判定 三个角对应相等， 且三条边对应成比例的两个三角形叫作相似三角形． 如果△Ａ′Ｂ′Ｃ′与△ＡＢＣ 相似， 且Ａ′， Ｂ′， Ｃ′分别与Ａ， Ｂ， Ｃ 对应， 那么记作△Ａ′Ｂ′Ｃ′∽△ＡＢＣ，读作“△Ａ′Ｂ′Ｃ′相似于△ＡＢＣ”．相似三角形的对应边的比ｋ叫作相似比 判定定理１ 三边对应成比例的两个三角形相似． 判定定理２ 两角对应相等的两个三角形相似. 判定定理３ 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。 相似三角形周长的比等于相似比， 相似三角形面积的比等于相似比的平方 4、相似多边形 把对应角相等， 并且对应边成比例的两个多边形叫作相似多边形．相似多边形的对应边的比ｋ 叫作相似比． 相似多边形周长的比等于相似比， 相似多边形面积的比等于相似比的平方． 取定一点Ｏ， 把图形上任意一点Ｐ 对应到射线ＯＰ （或它的反向延长线）上一点Ｐ ′ ， 使得线段ＯＰ ′与ＯＰ 的比等于常数ｋ（ｋ ＞ ０）， 点Ｏ 对应到它自身， 这种变换叫 课时参考答案 (课前预习、课堂探究、课堂训练、课后提升) 第1章 反比例函数 1.1 反比例函数 课前预习 1.y=k x ≠ 零 课堂探究 【例1】 探究答案:-1 k ≠0 B 变式训练1-1:解:判断某函数是否是反比例函数,不是看表示变量的字母是不是有x 与y ,而要看它能否化为y=k x (k 为常数,k ≠0)的形式. 所以(2)是反比例函数,其中k=-6;(3)是反比例函数, 其中k=-3. 变式训练1-2:解:(1)由三角形的面积公式,得12 xy=36, 于是y=72 x . 所以,y 是x 的反比例函数. (2)由圆锥的体积公式,得13 xy=60,于是y=180 x . 所以y 是x 的反比例函数. 【例2】 探究答案:1.y=k x (k ≠0) 2.(√2,-√2) 解:设反比例函数的解析式为y=k x (k ≠0), 因为图象过点(√2,-√2), 将x=√2,y=-√2代入,得-√2= √2 ,解得k=-2. 因此,这个反比例函数的解析式为y=-2 x , 将x=-6,y=13 代入,等式成立. 所以函数图象经过-6, 13 . 变式训练2-1:B 变式训练2-2:解:(1)设y 1=k 1x ,y 2=k 2x (k 1,k 2为常数,且k 1≠0,k 2≠0),则y=k 1x+k 2x . ∵x=1,y=4;x=2,y=5,∴{ k 1+k 2=4,2k 1+ k 22 =5. 解得{ k 1=2, k 2=2. ∴y 与x 的函数表达式为y=2x+2x . (2)当x=4时,y=2×4+24 =812 . 课堂训练 1.B 2.C 3.A 4.-2 5.解:设大约需要工人y 个,每人每天生产纪念品x 个. ∴xy=100,即y=100 x (x>0) ∵5≤x ≤8,∴ 1008≤y ≤1005 , 即1212 ≤y ≤20, ∵y 是整数,∴大约需工人13至20人. 课后提升 1.D 2.A 3.C 4.B 5.C 6.2 7.400 8.-12 9.解:(1)∵y 是x 的正比例函数, ∴m 2-3=1, m 2=4, m=±2. ∵m=2时,m-2=0, ∴舍去. ∴m=-2. (2)∵y 是x 的反比例函数, ∴m 2-3=-1, m 2=2, m=±√2. 10.解:(1)由S=12 xy=30,得y=60x , x 的取值范围是x>0. (2)由y=60x 可知,y 是x 的反比例函数,系数为60. 1.2 反比例函数的图象与性质 第1课时 反比例函数的图象 湘教版九年级上册初中数学 全册试卷 （5套单元试卷+1套期中试卷+1套期末试卷） 第1章测试卷 一、选择题(每题3分，共24分) 1．下面的函数是反比例函数的是() A．y＝ 3 x－1 B．y＝ x 2C．y＝ 1 3x D．y＝ －1 x3 2．反比例函数的图象经过点(－2，3)，则此函数的图象也经过点() A．(2，－3) B．(－3，－3) C．(2，3) D．(－4，6) 3．若反比例函数y＝k－1 x的图象位于第一、三象限，则k的取值可能是() A．－1 B．0 C．1 D．2 4．已知反比例函数y＝－2 x，下列结论不正确的是() A．图象必经过点(－1，2) B．y随x的增大而减小 C．图象位于第二、四象限D．若x＞1，则－2＜y＜0 5．某厂现有300吨原材料，这些原材料的使用天数y与平均每天消耗的吨数x 之间的函数表达式是() A．y＝300 x(x＞0) B．y＝ 300 x(x≥0) C．y＝300x(x≥0) D．y＝300x(x＞0) 6．反比例函数y＝2 x的图象上有两个点(x1，y1)，(x2，y2)，且x1 A B C D 8．在学完反比例函数图象的画法后，嘉琪同学画出了函数y＝a x－1的图象，如 图所示，那么关于x的分式方程a x－1＝2的解是() A．x＝1 B．x＝2 C．x＝3 D．x＝4 二、填空题(每题4分，共32分) 9．反比例函数y＝－5 x的自变量x的取值范围是________________． 10．反比例函数y＝k x的图象经过点(3，－3)，则k的值为________． 11．若正比例函数y＝－2x与反比例函数y＝k x的图象的一个交点坐标为(－1，2)， 则另一个交点的坐标为____________． 12．在某一电路中，保持电压不变，电流I(A)与电阻R(Ω)成反比例，其图象如图所示，则这一电路的电压为________V. 13．如图，菱形OABC的顶点C的坐标为(3，4)，顶点A在x轴的正半轴上．反 比例函数y＝k x(x>0)的图象经过顶点B，则k的值为____________． 14．已知点P(m，n)在直线y＝x＋3上，也在双曲线y＝2 x上，则m 2＋n2的值为 九（上）数学知识点答案 第一章一元二次方程 一元二次方程：只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化作ax2+bx+c=0(a,b,c为常数，a≠0)的形式。 （2）一元二次方程的一般式及各系数含义 一般式：ax2+bx+c=0(a,b,c为常数，a≠0)，其中，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。 2、分解因式法 （1）分解因式的概念 当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，根据a·b=0，那么a=0或b=0，这种解一元二次方程的方法称为分解因式。 （2）分解因式法解一元二次方程的一般步骤 一、将方程右边化为零；二、将方程左边分解为两个一次因式的乘积；三、设每一个因式分别为0，得到两个一元二次方程；四、解这两个一元二次方程，它们的解就是原方程的解。 3、配方法 （1）直接开平方法的定义 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫直接开平方法。 （2）配方法的步骤和方法 一、移项，把方程的常数项移到等号右边；二、配，方程两边都加上一次项系数的一半的平方，把原方程化为（x+m）2=n(n≥0)的形式；三、直接用开平方法求出它的解。 4、公式法 （1）求根公式 b2-4ac≥0时，x= a ac b b 2 4 2- ± - (2)求一元二次方程的一般式及各系数的含义 一、将方程化为一元二次方程的一般ax2+bx+c=0(a,b,c为常数，a≠0)；二、计算b2-4ac 的值，当b2-4ac≥0时，方程有实数根，否则方程无实数根；三、代入求根公式，求出方程的根；四、写出方程的两个根。 命题与证明 二、知识要点梳理 知识点一：定义 要点诠释：一般地，能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义． 知识点二：命题 要点诠释：一般地，对某一件事情作出正确或不正确的判断的句子叫做命题．（句子根据其作用分为判断、陈述、疑问、祈使四个类别．定义属于陈述句，是对一个名称或术语的意义的规定．而命题属于判断句或陈述句，且都对一件事情作出判断．与判断的正确与否没有关系．） 知识点三：命题的结构 要点诠释：命题可看做由题设(或条件)和结论两部分组成．题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项． 知识点四：公理 要点诠释：人类经过长期实践后公认为正确的命题，作为判断其他命题的依据。这样公认为正确的命题叫做公理。例如：“两点之间线段最短”，“一条直线截两条平行所得的同位角相等” 知识点五：：定理 要点诠释：用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。定理也可以作为判断其他命题真假的依据。 知识点六：真命题与假命题 要点诠释：如果题设成立，那么结论一定成立，像这样的命题叫做真命题。相反，如果题设成立时，不能保证结论总是正确的，就认为结论不成立，像这样的命题叫做假命题，凡是假命题都是错误的命题。 知识点七：证明 要点诠释：由题设出发，经过一步步的推理最后推出结论（书证）正确的过程叫做证明。证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”，这些根据，可以是已知条件，也可以是定义、公理，在此以前学过的定理。（证明命题的格式一般为：1）按题意画出图形；2）分清命题的条件和结论，结合图形在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论；3）在“证明”中写出推理过程） 湘教版九年级数学上册单元测试题 第1章测试卷 1．下列函数中，表示y 是x 的反比例函数的是( ) A ．y ＝2x －13 B ．y ＝1x －1 C ．y ＝－1x 2 D ．y ＝1 2x 2．如果点(3，－4)在反比例函数y ＝k x 的图象上，那么下列各点中，在此图象上的是( ) A ．(3，4) B ．(－2，－6) C ．(－2，6) D ．(－3，－4) 3．某闭合电路中，电源的电压为定值，电流I (A)与电阻R (Ω)成反比例函数关系．如图所示的是该电路中电流I 与电阻R 之间的函数关系的图象，当电阻R 为5Ω时，电流I 为( ) A ．6 A B ．5 A C ．1.2 A D ．1 A 4．已知反比例函数y ＝3 x ，下列结论中不正确的是( ) A ．图象经过点(－1，－3) B ．图象在第一、三象限 C ．当x ＞1时，0＜y ＜3 D ．当x ＜0时，y 随着x 的增大而增大 5．若在同一直角坐标系中，正比例函数y ＝k 1x 与反比例函数y ＝k 2 x 的图象无交点，则有( ) A ．k 1＋k 2＞0 B ．k 1＋k 2＜0 C ．k 1k 2＞0 D ．k 1k 2＜0 6．已知点A (－1，y 1)，B (2，y 2)都在双曲线y ＝3＋m x 上，且y 1>y 2，则m 的取值范围是( ) A ．m <0 B ．m >0 C ．m >－3 D ．m <－3 7．在同一平面直角坐标系中，正比例函数y ＝kx 与反比例函数y ＝k －1 x 的图象不可能是 ( ) 8．如图，分别过反比例函数y ＝2 x (x ＞0)图象上任意两点A ，B 作x 轴的垂线，垂足分别为 点C ，D ，连接OA ，OB ，设AC 与OB 的交点为E ，△AOE 与梯形ECDB 的面积分别为S 1，S 2，则S 1与S 2的大小关系是( ) A ．S 1＞S 2 B ．S 1＜S 2 C ．S 1＝S 2 D ．S 1，S 2的大小关系不能确定 9．如图，A ，B 两点在反比例函数y ＝k 1x 的图象上，C ，D 两点在反比例函数y ＝k 2x 的图象上， AC ⊥x 轴于点E ，BD ⊥x 轴于点F ，AC ＝2，BD ＝3，EF ＝10 3，则k 2－k 1的值为( ) A ．4 B.143 C.16 3 D ．6 10．如图①，在矩形ABCD 中，BC ＝x ，CD ＝y ，y 与x 满足的反比例函数关系如图②所示， 等腰直角三角形AEF 的斜边EF 过C 点，M 为EF 的中点，则下列结论正确的是( ) A ．当x ＝3时，EC EM C ．当x 增大时，EC ·CF 的值增大 D ．当y 增大时，BE ·DF 的值不变2017新湘教版九年级数学上知识点
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