历届高考中的“导数”试题精选(文科自我测试)
1.(2005全国卷Ⅰ文)函数,已知在时取得极值,则
a =( )
（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5
2．(2008海南、宁夏文)设()ln f x x x =，若0'()2f x =，则0x =（ ）
A. 2
e
B. e
C.
ln 2
2
D. ln 2
3．（2005广东）函数13)(2
3+-=x x x f 是减函数的区间为（ ） A ．),2(+∞ B ．)2,(-∞ C ．)0,(-∞ D ．（0，2）
4.（2008安徽文）设函数1
()21(0),f x x x x
=+-< 则()f x （ ） A ．有最大值 B ．有最小值
C ．是增函数
D ．是减函数
5．（2007福建文、理)已知对任意实数x 有f(－x)=－f(x)，g(-x)=g(x)，且x>0时，f’(x)>0，g’(x)>0，
则x<0时（ ）
A f’(x)>0，g’(x)>0
B f’(x)>0，g’(x)<0
C f’(x)<0，g’(x)>0
D f’(x)<0，g’(x)<0
6.(2008全国Ⅱ卷文)设曲线2
ax y =在点（1,a ）处的切线与直线062=--y x 平行,则=a ( )
A ．1
B ．
1
2
C ．12
-
D ．1-
7．（2006浙江文）32
()32f x x x =-+在区间[]1,1-上的最大值是（ ）
(A)-2 (B)0 (C)2 (D)4
8．（
2（ ）
9．（2004全国卷Ⅱ理科）函数y ＝x cos x －sin x 在下面哪个区间内是增函数（ ）
（A ）(
2
π，23π) （B ）(π，2π) （C ）(23π，25π
) （D ）(2π，3π)
10.（2004浙江理科）设)(x f '是函数f(x)的导函数，y=)(x f '的图象如图所示，则y= f(x)的
A x D C x B
图象最有可能的是（ ）
二、填空题：(每小题5分,计20分)
11.（2007浙江文）曲线
32
242y x x x =--+在点(1，一3)处的切线方程是________________.
12.(2005重庆文科)曲线3
x y =在点（1，1）处的切线与x 轴、直线2=x 所围成的三角形的
面积为 .
13．（2007江苏）已知函数3
()128f x x x =-+在区间[3,3]-上的最大值与最小值分别为
,M m ，
则M m -=_____________;
14.（2008北京文）如图，函数f (x )的图象是折线段ABC ,其中A ,B ,C
的坐标分别为（0，4），（2，0），（6，4），则f (f (0))= ____ ; 函数f (x )在x =1处的导数f ′（1）= ______
三、解答题：(15,16小题各12分,其余各小题各14分)
15.（2005北京理科、文科） 已知函数f (x )=－x 3＋3x 2＋9x ＋a . （I ）求f (x )的单调递减区间；
（II ）若f (x )在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．
16.（2006安徽文）设函数()3
2
()f x x bx cx x R =++∈，已知()()()g x f x f x '=-是奇函数。
（Ⅰ）求b 、c 的值。 （Ⅱ）求()g x 的单调区间与极值。
17.（2005福建文科）已知函数d x bx x x f +++=c )(2
3的图象过点P （0，2），且
在点M （－1，f （－1））处的切线方程为076=+-y x .
（Ⅰ）求函数)(x f y =的解析式； （Ⅱ）求函数)(x f y =的单调区间.
18.（2007重庆文）用长为18 m 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽
之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？
19．(2008全国Ⅱ卷文) 设a ∈R ，函数2
33)(x ax x f -=． （Ⅰ）若2=x 是函数)(x f y =的极值点，求a 的值；
（Ⅱ）若函数()()()[02]g x f x f x x '=+∈，，，在0=x 处取得最大值，求a 的取值范围．
20. (2008湖北文) 已知函数3
2
2
()1f x x mx m x =+-+（m 为常数，且m >0）有极大值9. （Ⅰ）求m 的值； （Ⅱ）若斜率为-5的直线是曲线()y f x =的切线，求此直线方程.
历届高考中的“导数”试题精选(文科自我测试)
参考答案
一. 选择题：（每小题5分，计50分）
二、填空题：(每小题5分,计20分)
11.520
x y
+-=; 12.
3
8
；13. 32 ；14.2, -2 .
三、解答题：(15,16小题各12分,其余各小题各14分)
15.解：（I）f’(x)＝－3x2＋6x＋9．令f‘(x)<0，解得x<－1或x>3，
所以函数f(x)的单调递减区间为（－∞，－1），（3，＋∞）．
（II）因为f(－2)＝8＋12－18＋a=2＋a，f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a，
所以f(2)>f(－2)．因为在（－1，3）上f‘(x)>0，所以f(x)在[－1, 2]上单调递增，又由于f(x)在[－2，－1]上单调递减，
因此f(2)和f(－1)分别是f(x)在区间[－2，2]上的最大值和最小值，
于是有22＋a＝20，解得a＝－2．
故f(x)=－x3＋3x2＋9x－2，因此f(－1)＝1＋3－9－2＝－7，即函数f(x)在区间[－2，2]上的最小值为－7．
16.解（Ⅰ）∵()32f x x bx cx =++，∴()232f x x bx c '=++。从而
322()()()(32)g x f x f x x bx cx x bx c '=-=++-++＝32(3)(2)x b x c b x c +-+--是一个奇函数，所以(0)0g =得0c =，由奇函数定义得3b =；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知3
()6g x x x =-，从而2()36g x x '=-，由此可知，
(,-∞和)+∞是函数()g x 是单调递增区间；(是函数()g x 是单调递
减区间；
()g x 在x =，()g x 在x =
值为-。
17.解：(Ⅰ)由32
()f x x bx cx d =+++的图象过点P （0，2）,d=2知,所以
32()2f x x bx cx =+++,f '(x)=3x 2+2bx+c,由在(-1,(-1))处的切线方程是6x-y+7=0,知
-6-f(-1)+7=0,即f(-1)=1, f '(-1)=6,∴326,121,b c b c -+=??-+-+=?即0,
23,b c b c -=??-=-?
解得b=c=-3.
故所求的解析式为f(x)=x 3-3x 2-3x+2,
(Ⅱ) f '(x)=3x 2-6x-3,令3x 2-6x-3=0即x 2-2x-1=0,解得x 1,x 2
当或时, f '(x)>0;当时, f '(x)<0
∴f(x)=x 3-3x 2-3x+2在,+∞)内是增函数,在(-∞)内是增函数,在)内
是减函数.
18.解：设长方体的宽为x （m ），则长为2x (m)，高为??? ?
?
-=-=230(m)35.441218＜＜x x x h . 故长方体的体积为).2
3
0()(m 69)35.4(2)(3322＜＜x x x x x x V -=-=
从而).1(18)35.4(1818)(2x x x x x x V -=--='
令V ′（x ）＝0，解得x =0（舍去）或x =1，因此x =1.
当0＜x ＜1时，V ′（x ）＞0；当1＜x ＜3
2
时，V ′（x ）＜0，
故在x =1处V （x ）取得极大值，并且这个极大值就是V （x ）的最大值。
从而最大体积V ＝V ′（x ）＝9×12-6×13（m 3），此时长方体的长为2 m ，高为1.5 m. 答：当长方体的长为2 m 时，宽为1 m ，高为1.5 m 时，体积最大，最大体积为3 m 3。
19．解：（Ⅰ）2
()363(2)f x ax x x ax '=-=-．
因为2x =是函数()y f x =的极值点，所以(2)0f '=，即6(22)0a -=，因此1a =． 经验证，当1a =时，2x =是函数()y f x =的极值点． （Ⅱ）由题设，x x a ax x g 6)1(3)(2
3
--+=．0)0(=g
当()g x 在区间[02]，上的最大值为(0)g 时，
06)1(32
3
≤--+x x a ax 对一切(]2,0∈x 都成立，
解法一：即x x x a 3632++≤
对一切(]2,0∈x 都成立．令x
x x x 36
3)(2
++=?，(]2,0∈x ，则[]min )(x a ?≤
由0)
3(6
)2(3)(2
22<+-+-='x x x x ?，可知x x x x 363)(2++=?在(]2,0∈x 上单调递减， 所以[]56)2()(min ==??x ， 故a 的取值范围是65?
?-∞ ??
?，
解法二：也即06)1(32
≤--+x a ax 对一切(]2,0∈x 都成立， （1）当a=0时，-3x-6<0在(]2,0∈x 上成立；
（2）当0≠a 时，抛物线6)1(3)(2
--+=x a ax x h 的对称轴为a
a x 2)1(3--=，
当a<0时，02)
1(3<--a
a ，有h(0)= -6<0, 所以h(x)在),0(+∞上单调递减，h(x) <0恒成立；
当a>0时,因为h(0)= -6<0,,所以要使h(x)≤0在(]2,0∈x 上恒成立,只需h(2) ≤0成立即可,解得a ≤5
6; 综上，a 的取值范围为65?
?-∞ ??
?，．
20.解：(Ⅰ) f ’(x )＝3x 2+2mx －m 2=(x +m )(3x －m )=0,则x =－m 或x =3
1
m , 当x
m ＝2. (Ⅱ)由(Ⅰ)知，f (x )=x 3+2x 2－4x +1,
依题意知f ’(x )＝3x 2＋4x －4＝－5，∴x ＝－1或x ＝－31. 又f (－1)＝6，f (－31)＝27
68， 所以切线方程为y －6＝－5(x ＋1),或y －2768＝－5(x ＋3
1
)，
即5x ＋y －1＝0，或135x ＋27y －23＝0.