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(完整版)高中数学平面向量总复习题

平面向量总复习题

一、选择题

1.两个非零向量的模相等是两个向量相等的什么条件 A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要答案：B

2.当|a |＝|b |≠0且a 、b 不共线时，a ＋b 与a －b 的关系是 A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.相等

解析：∵（a ＋b ）·（a －b ）＝a 2－b 2＝|a |2－|b |2

＝0，∴（a ＋b ）⊥（a －b ）．答案：B

3.下面有五个命题，其中正确的命题序号为

①单位向量都相等；②长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量；③若a ，b 满足|a |＞|b |且a 与b 同向，则a ＞b ；④由于零向量方向不确定，故0不能与任何向量平行；⑤对于任意向量a ，b ，必有|a ＋b |≤|a |＋| b |

A.①②③

B.⑤

C.③⑤

D.①⑤

解析：①单位向量方向不确定，故不一定相等，所以命题①错误； ②方向相反的向量一定是共线向量，故命题②错误； ③两向量不能比较大小，故命题③错误； ④0与任意向量平行，故命题④错误； ⑤命题⑤正确. 答案：B

4.下列四式中不能．．化简为的是（） A.)(++ B.)()(-++ C.+- D.BQ AB PA -+

解析：A 选项中，PQ AQ PA PA AQ AQ BQ AB =+=+=+,

B 选项中，-=+＝0，=+=-，＋0＝

C 选项中，-=+＝0，－＋0＝＋0＝．

D 选项中，≠-=+,，（∵=+）答案：D

5.已知正方形ABCD 的边长为1，AB ＝a ，BC ＝b ，AC ＝c ，则a ＋b ＋c 的模等于（）

A.0

B.2＋2

C.2

D.22

解析：∵AC BC AB =+，∴a ＋b ＝c ，∴a ＋b ＋c ＝2c ，∴|2c |＝22.

答案：D

6.如图所示，D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点，则下列等式中不正确．．．的是

A.FA DA FD =+

B.EF DE FD ++＝0

C.EC DA DE =+

D.FD DE DA =+

答案：D

7.已知a ，b 为非零向量，|a ＋b |＝|a －b |成立的充要条件是 A.a ∥b B.a ，b 有共同的起点 C.a 与b 的长度相等 D.a ⊥b

解析：|a ＋b |＝|a －b |?|a ＋b |2＝| a －b |2?（a ＋b ）2＝（a －b ）2?a 2

＋2a ·b ＋b 2?a 2－2 a ·b ＋b 2

?a ·b ＝0?a ⊥b

答案：D

8.下面有五个命题，其中正确命题的序号是

①|a |2

＝a 2

；②

a b a =?2；③（a ·b ）2＝a 2·b 2；④（a －b ）2＝a 2－2a ·b ＋b 2；⑤若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0

A.①②③

B.①④

C.②④

D.②⑤

解析：②

a b a b a a b a ≠==?||cos ||||cos ||||22αα ③（a ·b ）2

＝（| a ||b |cos α）2

＝| a |2

|b |2

cos 2

α，a 2

·b 2

＝| a |2

·|b |2

,∴(a ·b )

≠a 2·b 2

⑤若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0或a ⊥b 且a ≠0，b ≠0. 答案：B

9.若点P 分有向线段21P P 成定比为3∶1，则点P 1分有向线段P P

2所成的比为

A.－3

4 B.－

2 C.－

1 D.－

3411

2-=P

P ，则点P 1分有向线段P 2所成的比为－34

答案：A

10.已知点A （x ，5）关于点C （1，y ）的对称点是B （－2，－3），则点P （x ，y ）到原点的距离是

A.4

B.13

C.15

D.17

解析：由中点坐标公式可得

y x =-=-2

5,122，解得x ＝4，y ＝1，再由两点间距离公式得17142222=+=+y x .

答案：D

11.将点（a ，b ）按向量a ＝（h ，k ）平移后，得到点的坐标为 A.（a －h ，b ＋k ） B.（a －h ，b －k ） C.（a ＋h ，b －k ） D.（a ＋h ，b ＋k ）

解析：设平移后点的坐标为（x ′，y ′），则根据平移公式可得???=-'=-'k b y h a x ，∴?

??+='+='k b y h

a x

答案：D

12.点A （2，0），B （4，2），若|AB |＝2|AC |，则点C 坐标为

A.（－1，1）

B.（－1，1）或（5，－1）

C.（－1，1）或（1，3）

D.无数多个解析：由题意|AB |＝222)24(2

=+-， ∴|AC |＝

|=AB . 故点C 分布在以点A 为圆心，半径为2的圆上，故点C 坐标有无数多个. 答案：D

13.将曲线f （x ，y ）＝0按向量a ＝（h ，k ）平移后，得到的曲线的方程为 A.f （x －h ，y ＋k ）＝0 B.f （x －h ，y －k ）＝0 C.f （x ＋h ，y －k ）＝0 D.f （x ＋h ，y ＋k ）＝0

解析：设平移后曲线上任意一点坐标为（x ′，y ′），则根据平移公式可得???=-'=-'k y y h

x x ，

∴?

??-'=-'=k y y h

x x

又f （x ，y ）＝0，∴f （x ′－h ，y ′－k ）＝0

即f （x －h ，y －k ）为平移后曲线方程.

答案：B

14.设P 点在x 轴上，Q 点在y 轴上，PQ 的中点是M （－1，2），则|PQ |等于（） A.42 B.25

C.5

D.210

解析：由题意设P （x ，0），Q （0，y ），由中点坐标公式可得2x ＝－1，2

＝2 解得x ＝－2，y ＝4， ∴|PQ |＝52204)2(22==

+-.

答案：B

15.下列命题中，正确的是 A.|a ·b |＝| a |·|b |

B.若a ⊥（b －c ），则a ·b ＝a ·c

C.a 2

＞|a |

D.a （b ·c ）＝（a ·b ）c

解析：A ．a ·b ＝|a ||b |cos α，|a ·b |＝|a ||b ||cos α|≠| a ||b | B.若a ＝0，则a ·b ＝a ·c ，

若b －c ＝0，即b ＝c ，a ·b ＝a ·c ；

若a ≠0，且b －c ≠0，由a ⊥（b －c ），得a ·（b －c ）＝0. ∴a ·b －a ·c ＝0，∴a ·b ＝a ·c ，故B 正确.

C.若|a |＝0或1，则a 2

＝|a |. D.向量的数量积不满足结合律. 答案：B

16.函数y ＝4sin2x 的图象可以由y ＝4sin （2x －3

）的图象经过平移变换而得到，则这个平移变换是

A.向左平移6π个单位

B.向右平移6π

个单位 C.向左平移3π个单位 D.向右平移3π

个单位

解析：∵用x －6π替换掉函数y ＝4sin2x 中的x 可得y ＝4sin2（x －6

）＝4sin （2x

－

），故可将原函数图象向左平移

个单位得到. 答案：A

17.已知m ，n 是夹角为60°的两个单位向量，则a ＝2m ＋n 和b ＝－3m ＋2n 的夹角是 A.30° B.60° C.120° D.150° 解析：∵m ·n ＝|m ||n |cos60°＝

1， ∴|a |＝7)(22

=+n m ，|b |＝7)23(2

=+-n m

∴a ·b ＝（2 m ＋n ）（－3m ＋2 n ）＝－6 m 2＋2 n 2

＋m ·n ＝－6＋2＋

21＝－2

7 ∴cos α＝2

||||-=?b a b a ，∴α＝120°

答案：C

18.将函数y ＝2

的图象按a 平移后，函数解析式为y ＝12

12-x －1，则a 等于（）

A.（－2，1）

B.（2，－1）

C.（1，－1）

D.（－1，1）解析：y ＝12

-x －1，即y ＋1＝)2(2

-x

∴用x －2，y ＋1分别替换了原函数解析式中的x ，y 即??

?=+'=-'y y x x 12，∴???-=-'=-'12

y y x x 即???-==1

2k h

∴a ＝（2，－1）答案：B

19.在直角三角形中，A 、B 为锐角，则sin A ·sin B

A.有最大值

和最小值0 B.有最大值2

，但无最小值

C.既无最大值，也无最小值

D.有最大值1，但无最小值解析：∵△ABC 为直角三角形，∴B ＝2

－A ∴sin A ·sin B ＝sin A ·sin （2

－A ）＝sin A ·cos A ＝21sin2A

当A ＝B ＝

时，有最大值21，但无最小值.

答案：B

20.α、β是锐角三角形的三个内角，则 A.cos α＞sin β且cos β＞sin α B.cos α＜sin β且cos β＜sin α C.cos α＞sin β且cos β＜sin α D.cos α＜sin β且cos β＞sin α

解析：∵α、β是锐角三角形两内角，

∴α＋β＞

2π，∴2π＞α＞2

－β＞0， ∴sin α＞sin （2

－β）

即sin α＞cos β，同理sin β＞cos α 答案：B

21.在△ABC 中，sin A ＜sin B 是A ＜B 的

A.充分不必要条件

B.必要非充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件解析：由正弦定理可得

B b A a sin sin =

，∴B

b a sin sin = 由sin A ＜sin B 可得a ＜b

根据三角形小边对小角可得A ＜B ，反之由A ＜B 也可推得sin A ＜sin B 故sin A ＜sin B 是A ＜B 的充要条件. 答案：C

22.在△ABC 中，tan A ·tan B ＞1，则△ABC 为

A.锐角三角形

B.直角三角形

C.钝角三角形

D.不能确定

解析：∵tan A ·tan B ＞1＞0，又∵A 、B 不可能同时为钝角，∴tan A ＞0，tan B ＞0， ∴tan （A ＋B ）＝

A B

A tan tan 1tan tan -?＜0，

∴90°＜A ＋B ＜180°，∴0°＜C ＜90°， ∴△ABC 为锐角三角形. 答案：A

23.在△ABC 中，A 、B 、C 相应对边分别为a 、b 、c ，则a cos B ＋b cos A 等于 A.2cos C B.2sin C C.

a + D.c

解析：由正弦定理得：

A a sin sin =

＝2R 得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B

∴a cos B ＋b cos A ＝2R sin A cos B ＋2R cos A sin B ＝2R sin （A ＋B ）＝2R sin C ＝c 答案：D

24.在△ABC 中，已知cos A ＝

135，sin B ＝5

，则cos C 等于 A.6516 B.6556 C.6516或65

56 D.－

16 解析：由sin B ＝5

，得

cos B ＝±B 2sin 1-＝±5

但当cos B ＝－5

，cos A ＋cos B ＜0，C 无解

∴cos C ＝cos ［180°－（A ＋B ）］＝－cos （A ＋B ）＝－（cos A cos B －sin A sin B ）＝sin A sin B －cos B cos A ＝

1312·5453-·65

135=

答案：A

25.在不等边△ABC 中，a 为最大边，如果a 2＜b 2＋c 2

，则A 的取值范围是（） A.90°＜A ＜180° B.45°＜A ＜90°

C.60°＜A ＜90°

D.0°＜A ＜90°

解析：∵a 2＜b 2＋c 2，∴b 2＋c 2－a 2

＞0，

∴cos A ＝bc

a c

b 22

22-+＞0，∴A ＜90°，

又∵a 边最大，∴A 角最大

∵A ＋B ＋C ＝180°，∴3A ＞180°， ∴A ＞60°，∴60°＜A ＜90° 答案：C

26.已知点A 分的比为2，下列结论错误的是 A.B 分的比为－3

2 B.C 分的比为－

3 C.A 分的比为2

D.C 分的比为－

1 解析：数形结合可得C 选项错误. 答案：C

27.在△ABC 中，若B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，则△ABC 的面积为 A.23

B.3

C.23或3

D.23或43

解析：sin C ＝

230sin 32=?，

∴C ＝60°或120°，∴A ＝90°或30° ∴S △ABC ＝2

AB ·AC ·sin A ＝23或3. 答案：C

28.在△ABC 中，若sin B ·sin C ＝cos 2

，则△ABC 是

A.等腰三角形

B.直角三角形

C.等边三角形

D.等腰直角三角形

解析：∵sin B ·sin C ＝

cos 1A

+ 又cos A ＝cos ［180°－（B ＋C ）］＝－cos （B ＋C ）＝－（cos B cos C －sin B sin C ） ∴2sin B sin C ＝1－cos B cos C ＋sin B sin C ， ∴cos B cos C ＋sin B sin C ＝1 ∴cos （B －C ）＝1，∴B ＝C ， ∴△ABC 是等腰三角形. 答案：A 二、解答题

1.设e 1，e 2是两个不共线的向量，已知＝2e 1＋k e 2，＝e 1＋3 e 2，＝2e 1

－e 2，若A 、B 、D 三点共线，求k 的值.

分析：由于A 、B 、D 三点共线，因此存在实数λ，使＝λ，而＝－＝e 1－4e 2，将、的e 1、e 2表达式代入上式，再由向量相等的条件得到关于λ、k 的方程组，便可求得k 的值.

解：＝－＝（2 e 1－e 2）－（e 1＋3e 2）＝e 1－4e 2，

∵A 、B 、D 三点共线，∴存在实数λ，使＝λ，∴2 e 1＋k e 2＝λ（e 1－4e 2）于是可得?

?-==λλ

42k ，解得k ＝－8.

评述：此题解答关键是应用两个向量共线的充要条件，要注意两个向量共线和三点共线

的区别和联系.

2.已知a 、b 是两个非零向量，当a ＋t b （t ∈R ）的模取最小值时，（1）求t 的值；

（2）求证b ⊥（a ＋t b ）.

分析：利用|a ＋t b |2＝（a ＋t b ）2

进行转换，可讨论有关|a ＋t b |的最小值问题，若能算得b ·（a ＋t b ）＝0，则证明了b ⊥（a ＋t b ）.

（1）解：设a 与b 的夹角为θ

则|a ＋t b |2＝（a ＋t b ）2

＝a 2＋2a ·t b ＋t 2b 2

＝|a |2＋2t |a ||b |cos θ＋t 2|b |2

＝|b |2t 2＋（2|a ||b |cos θ）t ＋|a |2

＝|b |2

（t ＋

|||b a cos θ）2＋|a |2sin 2

θ ∴当t ＝－

|||b a cos θ＝－22||||cos ||||b b

a b b a ?-=θ时，|a ＋t b |有最小值.

（2）证明：b ·（a ＋t b ）＝b ·（a －2||b b a ?·b ）＝a ·b －2

||b b

a ?·

b ·b ＝a ·b －a ·b ＝0

∴b ⊥（a ＋t b ）.

评述：对|a ＋t b |变形，可以从两个角度进行思考，一是通过|a ＋t b |2＝（a ＋t b ）2

的数量积运算；二是通设坐标化思想，进行向量的坐标运算，从而达到求解求证目的.

3.如图所示，OADB 是以向量＝a ，＝b 为边的平行四边形，又BM ＝

BC ，CN ＝3

CD ，试用a ，b 表示,,.

解：OB OA BA -=＝a －b

∵6

6131===

（a －b ） ∴BM OB OM +==b +61（a －b ）＝61a ＋6

又由＝a ＋b ，得

32326121==+=

a ＋3

b 32(=-=a ＋32b ）－（61a ＋65b ）＝21a －6

评述：由于a ，b 不共线，因此a ，b 构成平行四边形OADB 所在平面的一组基底，用它

们可以表示出这个平面内的任何向量，将所要用a ，b 表示的向量连同a ，b 设法放在一个三角形或平行四边形内，是解决此类问题的常见方法.

4.已知O 为△ABC 所在平面内一点，且满足2222||||||||CA OB BC OA +=+2||OC =

2||+．

求证：O 点是△ABC 的垂心

证明：设OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c ，则BC ＝c －b ，CA ＝a －c ，AB ＝b －a . ∵|OA |2

＋|BC |2

＝|OB |2

＋|CA |2

＝|OC |2

＋|AB |2

∴a 2＋（c －b ）2＝b 2＋（a －c ）2＝c 2＋（b －a ）2

即c ·b ＝a ·c ＝b ·a ，

故·＝（b －a ）·c ＝b ·c －a ·c ＝0

·＝（c －b ）·a ＝c ·a －b ·a ＝0

∴AB ⊥OC ，BC ⊥OA ， ∴点O 是△ABC 的垂心.

5.如图所示，圆O 内两弦AB 、CD 垂直相交于P 点，求证：2=+++. 证明：设M 、N 分别为圆O 的两弦AB 、CD 的中点，连OM 、ON ，则OM ⊥AB ，ON ⊥CD . ∵2,2=+=+ 而AB ⊥CD ，∴四边形MPNO 为矩形

∴PO PN PM =+，

∴PO PD PC PB PA 2=+++

6.已知△ABC 中，A （2，－1），B （3，2），C （－3，－1），BC 边上的高为AD ，求点D 和向量AD 的坐标.

解：设点D 坐标（x ，y ），由AD 是BC 边上的高可得⊥，且B 、D 、C 共线，

∴?????=?//0 ∴?

?=+---+=--?+-0)1)(3()2)(3(0

)3,6()1,2(y x y x y x

∴??

?=+---+=+---0)1)(3()2)(3(0

)1(3)2(6y x y x y x

∴??

?=+-=-+0120

32y x y x

解得??

?==1

y x ∴点D 坐标为（1，1），＝（－1，2）

7.已知a 、b 、c 分别为△ABC 三内角A 、B 、C 所对的边，且2(sin A －sin B )，sin A －sin C ，2（sin B －sin C ）成等比数列.

求证：2b ＝a ＋c .

证明：要证2b ＝a ＋c ，由正弦定理只要证： sin B －sin A ＝sin C －sin B 即可：

由已知可得：（sin A －sin C ）2

－4（sin A －sin B ）（sin B －sin C ）＝0，且sin A ≠sin B ，构造方程：

（sin A －sin B ）x 2

－（sin A －sin C ）x ＋（sin B －sin C ）＝0，且x ＝1是方程的根 Δ＝（sin A －sin C ）2－4（sin A －sin B ）·（sin B －sin C ）＝0，∴方程有两相等实根

由韦达定理可知：

A C

B sin sin sin sin --＝1

∴sin B －sin C ＝sin A －sin B ，故结论得证.

8.设i ，j 是平面直角坐标系内x 轴，y 轴正方向上的两个单位向量，且AB ＝4i ＋2j ，

＝3i ＋4j ，证明△ABC 是直角三角形，并求它的面积.

解：-=＝（3i ＋4j ）－（4i ＋2j ）＝－i ＋2j 又i ⊥j ，∴i ·j ＝0

∵AB ·BC ＝（4i ＋2j ）（－i ＋2j ）＝－4i 2

＋6i ·j ＋4j 2

＝0，∴AB ⊥BC

∴△ABC 是直角三角形， ∴S ＝

21|·||＝2

×25×5＝5 9.已知△ABC 中三内角满足A ＋C ＝2B ，

B C A cos 2cos 1cos 1-=+，求cos 2

A -的值. 解：由A ＋C ＝2

B ，可得B ＝60°，A ＋

C ＝120° 设

A -＝α，则A －C ＝2α， ∴A ＝60°＋α，C ＝60°－α， ∴

)

60cos(1

)60cos(1cos 1cos 1αα-?++?=+C A B

cos 24

3cos cos sin 43cos 41cos sin 2

3cos 211

sin 23cos 211

222-

=-=

-=++

αα

ααααααα 将B =60°代入得

224

cos cos 2-=-

αα

∴22cos 2

α＋cos α－

3＝0 ∴（2cos α－2）（22cos α＋3）＝0 ∴22cos α＋3＞0

∴cos α＝

2 即cos

2=-C A 10.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，求证：C

B A c b a sin )

sin(222-=-

证明：∵a 2＝b 2＋c 2

－2bc cos A ，

c b sin sin =

，C ＝π－（A ＋B ） ∴C

B A c b c b a sin cos sin 21cos 21222-=-=-

C B A C A B B A C

B B A

C A B C sin )sin(sin cos sin cos sin sin cos sin 2)sin(sin cos sin 2sin -=

-=-+=

故原等式成立.

11.在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，且c 为最大边，若ac cos A ＋bc cos B ＜4S ，其中S 为△ABC 的面积.

求证：△ABC 为锐角三角形.

证明：由余弦定理及三角形面积公式ac cos A ＋bc cos B ＜4S

即ac ·bc a c b 2222-+＋bc ·ac

b c a 22

22-+＜2ab sin C ＜2ac

∴a 2

（b 2

＋c 2

－a 2

）＋b 2

（a 2

＋c 2

－b 2

）＜4a 2b 2

即（a 2＋b 2）c 2＜a 4＋2a 2·b 2＋b 4＝（a 2＋b 2）2

， ∴c 2＜a 2＋b 2

，

∵cos C ＝ab

c b a 22

22-+＞0，∴C 为锐角

又c 为最大边，故C 为最大角， ∴△ABC 为锐角三角形. 12.在△ABC 中，sin A ＝

B C

B cos cos sin sin ++，判断这个三角形的形状.

解：由正弦定理、余弦定理可得：

c b a ca b a c c

b a 222

22222-++

-++=

∴b

c b a c b a c 222

22222-++-+＝b ＋c

∴b （a 2

－b 2

）＋c （a 2

－c 2

）＝bc （b ＋c ）

∴（b ＋c ）a 2＝（b 3＋c 3

）＋bc （b ＋c ）， ∴a 2＝b 2＋c 2

，

∴△ABC 是直角三角形.

高二数学-空间向量与立体几何测试题

1 / 10 高二数学空间向量与立体几何测试题第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：（本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．在下列命题中：①若a 、b 共线，则a 、b 所在的直线平行；②若a 、b 所在的直线是异面直线，则a 、b 一定不共面；③若a 、b 、c 三向量两两共面，则a 、b 、c 三向量一定也共面；④已知三向量a 、b 、c ，则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p ＝x a ＋y b ＋z c ．其中正确命题的个数为（） A ．0 B.1 C. 2 D. 3 2．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量1D A 、1D C 、11C A 是（） A ．有相同起点的向量 B ．等长向量 C ．共面向量 D ．不共面向量 3．若向量λμλμλ且向量和垂直向量R b a n b a m ∈+=,(,、则)0≠μ （） A ．// B ．⊥ C ．也不垂直于不平行于, D ．以上三种情况都可能 4．已知a ＝（2，－1，3），b ＝（－1，4，－2），c ＝（7，5，λ），若a 、b 、c 三向量共面，则实数λ等于（） A. 627 B. 637 C. 647 D. 65 7 5．直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若CA =a ，CB =b ，1CC =c ，则1A B = （） A.+-a b c B. -+a b c C. -++a b c D. -+-a b c 6．已知a +b +c ＝0，|a |＝2，|b |＝3，|c |＝19，则向量a 与b 之间的夹角><,为（） A ．30° B ．45° C ．60° D ．以上都不对 7．若a 、b 均为非零向量，则||||?=a b a b 是a 与b 共线的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 8．已知△ABC 的三个顶点为A （3，3，2），B （4，－3，7），C （0，5，1），则BC 边上的中线长为（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 9．已知则35,2,23+-=-+= （） A ．－15 B ．－5 C ．－3 D ．－1

2021年高中数学-平面向量专题

第一部分：平面向量的概念及线性运算欧阳光明（2021.03.07）一.基础知识自主学习 1．向量的有关概念名称定义备注向量既有又有的量；向量的大小叫做向量的(或称) 平面向量是自由向量零向量长度为的向量；其方向是任意的记作0 单位向量长度等于的向量非零向量a的单位向量为± a |a| 平行向量方向或的非零向量 0与任一向量或共线共线向量的非零向量又叫做共线向量相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度且方向的向量0的相反向量为0 2.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义) 运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律： a＋b＝b＋a. (2)结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．减法求a与b的相反向量－b 的和的运算叫做a与b 的差法则 a－b＝a＋(－b) 数乘求实数λ与向量a的积的运算 (1)|λa|＝|λ||a|. (2)当λ>0时，λa的方向与a的方向；当λ<0时，λa的方向与a的方向；当λ ＝0时，λa＝0. λ(μa)＝λμa； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb. 向量a(a≠0)与b共线的条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa. 二.难点正本疑点清源 1．向量的两要素向量具有大小和方向两个要素．用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系．同向且等长的有向线

段都表示同一向量．或者说长度相等、方向相同的向量是相等的．向量只有相等或不等，而没有谁大谁小之说，即向量不能比较大小． 2．向量平行与直线平行的区别向量平行包括向量共线(或重合)的情况，而直线平行不包括共线的情况．因而要利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合．三．基础自测 1．化简OP →－QP →＋MS →－MQ → 的结果等于________． 2．下列命题：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③平行于同一个向量的两个向量是共线向量； ④相等向量一定共线．其中不正确命题的序号是_______． 3．在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b.若点D 满足BD →＝2DC →，则AD → ＝________(用b 、c 表示)． 4．如图，向量a －b 等于() A ．－4e1－2e2 B ．－2e1－4e2 C ．e1－3e2 D ．3e1－e2 5．已知向量a ，b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD → ＝7a －2b ，则一定共线的三点是 () A ．A 、B 、DB ．A 、B 、C C ．B 、C 、DD ．A 、C 、D 四．题型分类深度剖析题型一平面向量的有关概念例1 给出下列命题： ①若|a|＝|b|，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC → 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；④a ＝b 的充要条件是|a|＝|b|且a ∥b ；⑤若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c.其中正确的序号是________．变式训练1 判断下列命题是否正确，不正确的请说明理由． (1)若向量a 与b 同向，且|a|＝|b|，则a>b ； (2)若|a|＝|b|，则a 与b 的长度相等且方向相同或相反； (3)若|a|＝|b|，且a 与b 方向相同，则a ＝b ； (4)由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行； (5)若向量a 与向量b 平行，则向量a 与b 的方向相同或相反； (6)若向量AB →与向量CD → 是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上； (7)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； (8)任一向量与它的相反向量不相等题型二平面向量的线性运算例2 如图，以向量OA →＝a ，OB →＝b 为边作?OADB ，BM →＝13BC →，CN →＝13 CD →，用a 、b 表示OM →、ON →、MN → . 变式训练2 △ABC 中，AD →＝23 AB →，DE ∥BC 交AC 于E ，BC 边上的中线AM 交DE 于N.设AB →＝a ，AC → ＝b ，用a 、b 表示向量AE →、BC →、DE →、DN →、AM →、AN →. 题型三平面向量的共线问题例3 设e1，e2是两个不共线向量，已知AB →＝2e1－8e2，CB →＝e1＋3e2，CD → ＝2e1－e2. (1)求证：A 、B 、D 三点共线； (2)若BF → ＝3e1－ke2，且B 、D 、F 三点共线，求k 的值．

高中数学平面向量测试题及答案[001]

平面向量测试题一、选择题： 1。已知ABCD 为矩形，E 是DC 的中点，且?→?AB =→a ，?→?AD ＝→b ，则?→ ?BE ＝（）（A ） →b +→a 2 1 （B ） →b －→a 2 1 （C ） →a ＋→b 2 1 （D ） →a －→ b 2 1 2．已知B 是线段AC 的中点，则下列各式正确的是（）（A ） ?→?AB ＝－?→?BC （B ） ?→?AC ＝?→?BC 2 1 （C ） ?→?BA ＝?→?BC （D ） ?→?BC ＝?→ ?AC 2 1 3．已知ABCDEF 是正六边形，且?→?AB ＝→a ，?→?AE ＝→b ，则?→ ?BC ＝（）（A ） )(2 1→→-b a （B ） )(2 1 →→-a b （C ） →a ＋→b 2 1 （D ） )(2 1→ →+b a 4．设→a ，→b 为不共线向量，?→?AB ＝→a +2→b ,?→?BC ＝－4→a －→b ,?→ ?CD ＝－5→ a －3→ b ,则下列关系式中正确的是（）（A ）?→?AD ＝?→?BC （B ）?→?AD ＝2?→ ?BC （C ）?→?AD ＝－?→ ?BC （D ）?→?AD ＝－2?→ ?BC 5．将图形F 按→ a ＝（h,k ）（其中h>0,k>0）平移，就是将图形F （）（A ）向x 轴正方向平移h 个单位，同时向y 轴正方向平移k 个单位。（B ）向x 轴负方向平移h 个单位，同时向y 轴正方向平移k 个单位。（C ）向x 轴负方向平移h 个单位，同时向y 轴负方向平移k 个单位。（D ）向x 轴正方向平移h 个单位，同时向y 轴负方向平移k 个单位。 6．已知→a ＝（)1,2 1，→ b ＝(), 2 22 3- ，下列各式正确的是（）（A ） 2 2?? ? ??=??? ??→ →b a （B ） →a ·→b ＝1 （C ） →a ＝→b （D ） →a 与→b 平行 7．设→ 1e 与→ 2e 是不共线的非零向量，且k → 1e ＋→ 2e 与→ 1e ＋k → 2e 共线，则k 的值是（）（A ） 1 （B ）－1 （C ） 1± （D ）任意不为零的实数 8．在四边形ABCD 中，?→?AB ＝?→?DC ，且?→?AC ·?→ ?BD ＝0，则四边形ABCD 是（）（A ）矩形（B ）菱形（C ）直角梯形（D ）等腰梯形 9．已知M （－2，7）、N （10，－2），点P 是线段MN 上的点，且?→ ?PN ＝－2?→ ?PM ，则P 点的坐标为（）（A ）（－14，16）（B ）（22，－11）（C ）（6，1）（D ）（2，4）

高中数学数列专题大题训练

高中数学数列专题大题组卷一．选择题（共9小题） 1．等差数列{a n}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（）A．130 B．170 C．210 D．260 2．已知各项均为正数的等比数列{a n}，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=（）A．B．7 C．6 D． 3．数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，a n+1=3S n（n≥1），则a6=（） A．3×44B．3×44+1 C．44D．44+1 4．已知数列{a n}满足3a n+1+a n=0，a2=﹣，则{a n}的前10项和等于（）A．﹣6（1﹣3﹣10）B．C．3（1﹣3﹣10）D．3（1+3﹣10）5．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=a2+10a1，a5=9，则a1=（）A．B．C．D． 6．已知等差数列{a n}满足a2+a4=4，a3+a5=10，则它的前10项的和S10=（）A．138 B．135 C．95 D．23 7．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m﹣1=﹣2，S m=0，S m+1=3，则m=（）A．3 B．4 C．5 D．6 8．等差数列{a n}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{a n}的前n项和S n=（） A．n（n+1）B．n（n﹣1）C．D． 9．设{a n}是等差数列，下列结论中正确的是（） A．若a1+a2＞0，则a2+a3＞0 B．若a1+a3＜0，则a1+a2＜0 C．若0＜a 1＜a2，则a2D．若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞0 二．解答题（共14小题） 10．设数列{a n}（n=1，2，3，…）的前n项和S n满足S n=2a n﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．

高中数学空间向量与立体几何测试题及答案

一、选择题 1．若把空间平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的始点放置在同一点，则这些向量的终点构成的图形是（）Ａ．一个圆Ｂ．一个点Ｃ．半圆Ｄ．平行四边形答案：Ａ 2．在长方体1111ABCD A B C D -中，下列关于1AC 的表达中错误的一个是（）Ａ．11111AA A B A D ++ Ｂ．111AB DD D C ++ Ｃ．111AD CC D C ++ Ｄ．11111 ()2 AB CD AC ++ 答案：Ｂ 3．若，，a b c 为任意向量，∈R m ，下列等式不一定成立的是（）Ａ．()()a b c a b c ++=++ Ｂ．()a b c a c b c +=+··· Ｃ．()a b a b +=+m m m Ｄ．()()a b c a b c =···· 答案：Ｄ 4．若三点，，A B C 共线，P 为空间任意一点，且PA PB PC αβ+=，则αβ-的值为（）Ａ．1 Ｂ．1- Ｃ． 1 2 Ｄ．2- 答案：Ｂ 5．设(43)(32)a b ==，，，，，x z ，且∥a b ，则xz 等于（）Ａ．4- Ｂ．9 Ｃ．9- Ｄ． 649 答案：Ｂ 6．已知非零向量12e e ，不共线，如果1222122833e e e e e e =+=+=-，，AB AC AD ，则四点，，，A B C D （）Ａ．一定共圆Ｂ．恰是空间四边形的四个顶点心Ｃ．一定共面Ｄ．肯定不共面答案：Ｃ 7．如图1，空间四边形ABCD 的四条边及对角线长都是a ，点E F G ，，分别是AB AD CD ，，

的中点，则2a 等于（）Ａ．2BA AC · Ｂ．2AD BD · Ｃ．2FG CA · Ｄ．2EF CB · 答案：Ｂ 8．若123123123=++=-+=+-，，a e e e b e e e c e e e ，12323d e e e =++，且x y z =++d a b c ，则，，x y z 的值分别为（）Ａ．51122--，，Ｂ．51122 -，，Ｃ．51122 --，，Ｄ．51122 ，，答案：Ａ 9．若向量(12)λ=，，a 与(212)=-，，b 的夹角的余弦值为8 9，则λ=（）Ａ．2 Ｂ．2- Ｃ．2-或 255 Ｄ．2或255 - 答案：Ｃ 10．已知ABCD 为平行四边形，且(413)(251)(375)A B C --，，，，，，，，，则顶点D 的坐标为（）Ａ．7412??- ???，，Ｂ．(241)，，Ｃ．(2141)-，，Ｄ．(5133)-，，答案：Ｄ 11．在正方体1111ABCD A B C D -中，O 为AC BD ，的交点，则1C O 与1A D 所成角的（）Ａ．60° Ｂ．90° Ｃ．3arccos 3 Ｄ．3arccos 6 答案：Ｄ 12．给出下列命题： ①已知⊥a b ，则()()a b c c b a b c ++-=···； ②，，，A B M N 为空间四点，若BA BM BN ，，不构成空间的一个基底，那么A B M N ，，，共面； ③已知⊥a b ，则，a b 与任何向量都不构成空间的一个基底； ④若，a b 共线，则，a b 所在直线或者平行或者重合．正确的结论的个数为（）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4 答案：Ｃ二、填空题 13．已知(315)(123)==-，，，，，a b ，向量c 与z 轴垂直，且满足94==-，··c a c b ，则c = ．答案：2221055?? - ??? ，，

高中数学平面向量公式(精选课件)

高中数学平面向量公式１、向量的的数量积定义:已知两个非零向量a，b。作OＡ＝a,OB=b，则角AOB称作向量ａ和向量b的夹角,记作〈ａ，b〉并规定0≤

２、向量的数量积不满足消去律，即:由ａ?b=a? c （a≠0)，推不出 b=ｃ。 3、|a?b｜≠|ａ｜?|b｜ 4、由 |a｜=|ｂ| ，推不出a=ｂ或ａ=－ｂ。 2、向量的向量积定义：两个向量a和ｂ的向量积(外积、叉积)是一个向量,记作ａ×b。若a、b不共线,则ａ×b的模是：∣a×b ∣＝｜ａ|?｜ｂ｜?ｓｉn〈a，b>；ａ×ｂ的方向是:垂直于ａ和ｂ,且ａ、ｂ和ａ×b按这个次序构成右手系.若ａ、ｂ共线，则a×b=0。...文档交流仅供参考... 向量的向量积性质: ∣a×ｂ∣是以a和b为边的平行四边形面积. a×a=０。 a‖b〈=〉ａ×b＝０。向量的向量积运算律 a×b=－b×a；（λa）×b=λ（ａ×b)=a×（λb)；（a+b)×c=a×ｃ+b×c。注:向量没有除法，“向量ＡB/向量CＤ”是没有意义的. 3、向量的三角形不等式 1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a＋ｂ∣≤∣ａ∣+∣b∣；

2019年爱云校西藏高考模拟高中数学试卷(12月份组卷)(四)

2019年爱云校西藏高考模拟高中数学试卷（12月份组卷）（四）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 设集合M ={m ∈Z|?3b >c B.b >c >a C.a >c >b D.c >b >a

空间向量与空间角练习题

课时作业(二十) [学业水平层次] 一、选择题 1．若异面直线l 1的方向向量与l 2的方向向量的夹角为150°，则l 1与l 2所成的角为( ) A ．30° B ．150° C ．30°或150° D ．以上均不对【解析】 l 1与l 2所成的角与其方向向量的夹角相等或互补，且异面直线所成角的围为? ????0，π2.应选A. 【答案】 A 2．已知A (0,1,1)，B (2，－1,0)，C (3,5,7)，D (1,2,4)，则直线AB 与直线CD 所成角的余弦值为( ) A.52266 B ．－52266 C.52222 D ．－52222 【解析】 AB →＝(2，－2，－1)，CD →＝(－2，－3，－3)， ∴cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|AB →||CD →|＝53×22＝52266， ∴直线AB 、CD 所成角的余弦值为52266 . 【答案】 A

3．正方形ABCD 所在平面外一点P ，PA ⊥平面ABCD ，若PA ＝AB ，则平面PAB 与平面PCD 的夹角为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 【解析】如图所示，建立空间直角坐标系，设PA ＝AB ＝1.则A (0,0,0)，D (0,1,0)，P (0,0,1)．于是AD → ＝(0,1,0)．取PD 中点为E ，则E ? ????0，12，12， ∴AE → ＝? ????0，12，12，易知AD →是平面PAB 的法向量，AE →是平面PCD 的法向量，∴ cos AD →，AE →＝22 ， ∴平面PAB 与平面PCD 的夹角为45°. 【答案】 B 4．(2014·师大附中高二检测)如图3-2-29，在空间直角坐标系Dxyz 中，四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1为长方体，AA 1＝AB ＝2AD ，点E 、F 分别为C 1D 1、A 1B 的中点，则二面角B 1-A 1B -E 的余弦值为( )

(完整word版)高中数学-平面向量专题.doc

第一部分：平面向量的概念及线性运算一.基础知识自主学习 1．向量的有关概念名称定义备注向量既有又有的量；向量的大小叫做向量平面向量是自由向量的(或称) 零向量长度为的向量；其方向是任意的记作 0 单位向量长度等于的非零向量 a 的单位向量为± a 向量|a| 平行向量方向或的非零向量 0 与任一向量或共线共线向量的非零向量又叫做共线向量相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度且方向的向量0 的相反向量为 0 2.向量的线性运算向量运算定义法则 (或几何运算律意义 ) 加法求两个向量和的运算求 a 与 b 的相反向量－ b 减法的和的运算叫做 a 与 b 的差 (1)交换律： a＋ b＝ b＋ a. (2)结合律： (a＋ b)＋ c＝ a＋ (b＋c)． a－ b＝ a＋ (－ b) 法则求实数λ与向量 a 的积的(1)|λa|＝ |λ||a|. ；λ(μa)＝λμa；数乘 (2)当λ>0 时，λa 的方向与 a 的方向运算当λ<0 时，λa 的方向与 a 的方向；当λ (λ＋μ)a＝λa＋μa；＝0 时，λa＝ 0. λ(a＋ b)＝λa＋λb. 3.共线向量定理向量 a(a≠0)与 b 共线的条件是存在唯一一个实数λ，使得 b＝λa. 二.难点正本疑点清源 1．向量的两要素向量具有大小和方向两个要素．用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系．同向且等长的有向线段都表示同一向量．或者说长度相等、方向相同的向量是相等的．向量只有相等或不等，而没有谁大谁小之说，即向量不能比较大小． 2．向量平行与直线平行的区别向量平行包括向量共线 (或重合 )的情况，而直线平行不包括共线的情况．因而要利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合．

高一数学必修四第二章平面向量测试题及答案

一、选择题: (本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.) 1．设点P（3，-6），Q（-5，2），R的纵坐标为-9，且P、Q、R三点共线，则R点的横坐标为（）。 A、-9 B、-6 C、9 D、6 2．已知=(2,3), b=(-4,7)，则在b上的投影为（）。 A、B、C、D、 3．设点A（1，2），B（3，5），将向量按向量=（-1，-1）平移后得向量为（）。 A、（2，3） B、（1，2） C、（3，4） D、（4，7）4．若(a+b+c)(b+c-a)=3bc，且sinA=sinBcosC，那么ΔABC是（）。 A、直角三角形 B、等边三角形 C、等腰三角形 D、等腰直角三角形5．已知| |=4, |b|=3, 与b的夹角为60°，则| +b|等于（）。A、B、C、D、 6．已知O、A、B为平面上三点，点C分有向线段所成的比为2，则（）。 A、B、 C、D、 7．O是ΔABC所在平面上一点，且满足条件，则点O是ΔABC的（）。 A、重心 B、垂心 C、内心 D、外心8．设、b、均为平面内任意非零向量且互不共线，则下列4个命题：(1)( ·b)2= 2·b2(2)| +b|≥| -b| (3)| +b|2=( +b)2

(4)(b ) -( a )b 与不一定垂直。其中真命题的个数是（）。 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 9．在ΔABC 中，A=60°，b=1，，则等于（）。 A 、 B 、 C 、 D 、 10．设、b 不共线，则关于x 的方程 x 2+b x+ =0的解的情况是（）。 A 、至少有一个实数解 B 、至多只有一个实数解 C 、至多有两个实数解 D 、可能有无数个实数解二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，满分16分.）. 11．在等腰直角三角形ABC 中，斜边AC=22，则CA AB =_________ 12．已知ABCDEF 为正六边形，且AC =a ，AD =b ，则用a ，b 表示AB 为______. 13．有一两岸平行的河流，水速为1，速度为的小船要从河的一边驶向对岸，为使所行路程最短，小船应朝________方向行驶。 14．如果向量与b 的夹角为θ，那么我们称 ×b 为向量与b 的“向量积”， ×b 是一个向量，它的长度| ×b |=| ||b |sin θ，如果| |=3, |b |=2, ·b =-2，则| ×b |=______。三、解答题：（本大题共4小题，满分44分.） 15．已知向量 = , 求向量b ，使|b |=2| |，并且与b 的夹角为。（10分）

数列高中数学组卷

SM数列高中数学组卷1 一．选择题（共1小题） 1．已知定义在R上的函数f（x）对任意的实数x1，x2满足f（x1+x2）=f（x1）+f （x2）+2，数列{a n}满足a1=0，且对任意n∈N*，a n=f（n），则f（2010）=（）A．4012 B．4018 C．2009 D．2010 二．填空题（共4小题） 2．记集合P={ 0，2，4，6，8 }，Q={ m|m=100a1+10a2+a3，且a1，a2，a3∈P }，将集合Q中的所有元素排成一个递增的数列，则此数列的第68项是．3．在等差数列{a n}中，a1=3，其前n项和为S n，等比数列{b n}的各项均为正数，b1=1，公比为q，且b2+S2=12，．（Ⅰ）求a n与b n；（Ⅱ）求数列{c n}满足，求{c n}的前n项和T n． 4．已知数列{a n}满足a1=33，a n+1﹣a n=2n，则的最小值为． 5．已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=，则a n= 三．解答题（共25小题） 6．已知f（x）=（x﹣1）2，g（x）=4（x﹣1）．数列{a n}中，对任何正整数n，﹣a n）g（a n）+f（a n）=0都成立，且a1=2，当n≥2时，a n≠1；设b n=a n 等式（a n +1 ﹣1．（Ⅰ）求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）设S n为数列{nb n}的前n项和，，求的值．7．设正项等比数列{a n}的首项a1=，前n项和为S n，且210S30﹣（210+1）S20+S10=0．（Ⅰ）求{a n}的通项；

（Ⅱ）求{nS n}的前n项和T n． 8．已知{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，其中n∈N*．（1）若a1=b1=2，a3﹣b3=9，a5=b5，试分别求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）设A={k|a k=b k，k∈N*}，当数列{b n}的公比q＜﹣1时，求集合A的元素个数的最大值． 9．已知数列{a n}是公差为d（d≠0）的等差数列，数列{b n}是公比为q的（q∈R）的等比数列，若函数f（x）=x2，且a1=f（d﹣1），a5=f（2d﹣1），b1=f（q﹣2），b3=f（q）．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）设数列{c n}的前n项和为S n，对一切n∈N*，都有成立，求S n． 10．已知函数f（x）=x2+2x．（Ⅰ）数列a n满足：a1=1，a n+1=f'（a n），求数列a n的通项公式；（Ⅱ）已知数列b n满足b1=t＞0，b n+1=f（b n）（n∈N*），求数列b n的通项公式；（Ⅲ）设的前n项和为S n，若不等式λ＜S n对所有的正整数n恒成立，求λ的取值范围． 11．设等比数列{a n}的前n项和为S n=2n+1﹣2；数列{b n}满足6n2﹣（t+3b n）n+2b n=0（t∈R，n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）①试确定t的值，使得数列{b n}为等差数列； ②在①结论下，若对每个正整数k，在a k与a k+1之间插入b k个2，符到一个数列{c n}．设T n是数列{c n}的前n项和，试求满足T m=2c m+1的所有正整数m．12．已知函数f （x）=log a x （a＞0且a≠1），若数列：2，f （a1），f （a2），…，f （a n），2n+4 （n∈N﹡）为等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）若a=2，b n=a n?f （a n），求数列{b n}前n项和S n；（3）在（2）的条件下对任意的n∈N﹡，都有b n＞f ﹣1（t），求实数t的取值范

高二数学空间向量与立体几何测试题

高二数学空间向量与立体几何测试题第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：（本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．在下列命题中：①若a 、b 共线，则a 、b 所在的直线平行；②若a 、b 所在的直线是异面直线，则a 、b 一定不共面；③若a 、b 、c 三向量两两共面，则a 、b 、c 三向量一定也共面；④已知三向量a 、b 、c ，则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p ＝x a ＋y b ＋z c ．其中正确命题的个数为（） A ．0 B.1 C. 2 D. 3 2．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量1D A 、1D C 、11C A 是（） A ．有相同起点的向量 B ．等长向量 C ．共面向量 D ．不共面向量 3．若向量λμλμλ且向量和垂直向量R b a n b a m ∈+=,(,、则)0≠μ （） A ．// B ．⊥ C ．也不垂直于不平行于, D ．以上三种情况都可能 4．已知a ＝（2，－1，3），b ＝（－1，4，－2），c ＝（7，5，λ），若a 、b 、c 三向量共面，则实数λ等于（） A. 627 B. 637 C. 647 D. 65 7 5．直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若CA =a ，CB =b ，1CC =c ，则1A B = （） A.+-a b c B. -+a b c C. -++a b c D. -+-a b c 6．已知a +b +c ＝0，|a |＝2，|b |＝3，|c |＝19，则向量a 与b 之间的夹角><,为（） A ．30° B ．45° C ．60° D ．以上都不对 7．若a 、b 均为非零向量，则||||?=a b a b 是a 与b 共线的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 8．已知△ABC 的三个顶点为A （3，3，2），B （4，－3，7），C （0，5，1），则BC 边上的中线长为（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 9．已知则35,2,23+-=-+= （） A ．－15 B ．－5 C ．－3 D ．－1

高三数学复习微专题之平面向量篇矩形大法教师

一、知识清单 1. 极化恒等式：如图，+=AD AB AC 2 ① -=CB A B A C ②,则： ①2 +②2 得：AC AD BC AB +=+242 2 22 ；①2-②2 得：AC AD BC AB ?=-4422 推广：AC AB AC BC AB AB AC cosA ?=?=?+-2 222 速记方法：?==-+-a b a b a b 4()()22，=++=+-a b a b a b 2 ()()2222 2. 矩形大法：如图，由极化恒等式可得 +=+PO BD 2PD PB 42 2 22①+=+PO AC 2 PA PC 422 22 ② 因为BD=AC ，所以PD PB PA PC +=+2222，速记方法：矩形外一点到矩形对角顶点的平方和相等。推广1：若ABCD 为平行四边形，则有PA PC PD PB =+-+-AC 2 )(BD 2 2 2 2 22 =-?= -AC AM BC 4 422 =4 1 0，且对于边AB 上任一点P ，恒有?≥?PB PC P B PC 00 。则( ) A.∠=ABC 90 B. ∠=BAC 90 C.=AB AC D. =AC BC 解析：D 为BC 中点，由极化恒等式有：?=-PC PD BC 4 PB 422 则当PD 最小时，PB ????? ?PC ????? 最小，所以过D 作AB 垂线，垂足即为P 0,作AB 中点E ，则CE ⊥AB ，即AC=BC 。 3. 已知向量a b e ,,是平面向量，e 是单位向量． ?-++===b e a b a b a ()12,3,0,求-a b 的范围？解析：由?-++=b e a b a ()10,得-?-=e b e a ()()0 如图，===OA a OB b OE e ,, ，构造矩形ACBE ，由矩形大法有 +=+OE OC OA OB 222 2，则=OC ==∈-+=-+-AB CE OC OE OC OE a b [,] [2 3 1,231] 高三数学复习微专题之平面向量篇第三讲：极化恒等式与矩形大法解析：由极化恒等式有：AB 16推广2：若P 为平面外一点，上述性质仍成立。二、典型例题1．（２０１９浙江模拟卷）在?ABC 中，M 是BC 的中点，AM =3，BC =10，则A B A ? C =_________． 2.（2019山东模拟）在?ABC 中,P 0是边AB 上一定点，满足P B AB

高一数学必修4平面向量练习题及答案(完整版)

平面向量练习题一、选择题 1、若向量a = (1,1), b = (1,－1), c =(－1,2),则 c 等于( ) A 、21-a +23b B 、21a 23-b C 、23a 2 1-b D 、2 3-a + 21b 2、已知，A （2，3），B （－4，5），则与共线的单位向量是（） A 、)10 10 ,10103(- = B 、)10 10 ,10103()1010,10103(-- =或 C 、)2,6(-= D 、)2,6()2,6(或-= 3、已知k 3),2,3(),2,1(-+-==垂直时k 值为（） A 、17 B 、18 C 、19 D 、20 4、已知向量=(2，1)， =(1，7)， =(5，1)，设X 是直线OP 上的一点(O 为坐标原点)，那么XB XA ?的最小值是 ( ) A 、-16 B 、-8 C 、0 D 、4 5、若向量)1,2(),2,1(-==分别是直线ax+(b －a)y －a=0和ax+4by+b=0的方向向量，则 a, b 的值分别可以是（） A 、－1 ，2 B 、－2 ，1 C 、 1 ，2 D 、 2，1 6、若向量a =(cos α,sin β)，b =(cos α ,sin β )，则a 与b 一定满足（） A 、a 与b 的夹角等于α－β B 、(a ＋b )⊥(a －b ) C 、a ∥b D 、a ⊥b 7、设j i ,分别是x 轴，y 轴正方向上的单位向量，j i θθsin 3cos 3+=，i -=∈),2 ,0(π θ。若用来表示与的夹角，则等于（） A 、θ B 、 θπ +2 C 、 θπ -2 D 、θπ- 8、设πθ20<≤，已知两个向量()θθsin ,cos 1=，()θθcos 2,sin 22-+=OP ，则向量21P P 长度的最大值是（） A 、2 B 、3 C 、23 D 、二、填空题 9、已知点A(2，0)，B(4，0)，动点P 在抛物线y 2＝－4x 运动，则使BP AP ?取得最小值的点P 的坐标

排列组合高中数学组卷

排列组合高中数学组卷一．选择题（共9小题） 1．（2016?衡阳校级一模）3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士．不同的分配方法共有（） A．90种B．180种C．270种D．540种 2．（2016?黄冈校级自主招生）方程3x2+y2=3x﹣2y的非负整数解（x，y）的组数为（）A．0 B．1 C．2 D．3 3．（2016?新余二模）7人站成两排队列，前排3人，后排4人，现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加一人，后排加两人，其他人保持相对位置不变，则不同的加入方法种数为（）A．120 B．240 C．360 D．480 4．（2016?内江四模）4名大学生到三家企业应聘，每名大学生至多被一家企业录用，则每家企业至少录用一名大学生的情况有（） A．24种B．36种C．48种D．60种 5．（2016?邯郸一模）现有6个白球、4个黑球，任取4个，则至少有两个黑球的取法种数是（） A．90 B．115 C．210 D．385 6．（2016?成都校级模拟）用数字0，1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有（）个． A．324 B．216 C．180 D．384 7．（2016?湖南校级模拟）某中学拟安排6名实习老师到高一年级的3个班实习，每班2人，则甲在一班、乙不在一班的不同分配方案共有（） A．12种B．24种C．36种D．48种 8．（2016?陕西模拟）某校开设A类选修课2门，B类选修课3门，一位同学从中选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有（） A．3种B．6种C．9种D．18种 9．（2016?福建模拟）四位男生和两位女生排成一排，男生有且只有两位相邻，则不同排法的种数是（） A．72 B．96 C．144 D．240 二．填空题（共3小题） 10．（2016?黄冈校级自主招生）若p和q为质数，且5p+3q=91，则p=， q=． 11．（2016?黄冈校级自主招生）设整数a使得关于x的一元二次方程5x2﹣5ax+26a﹣143=0的两个根都是整数，则a的值是． 12．（2016?绵阳模拟）从数字0、1、2、3、4、5这6个数字中任选三个不同的数字组成的三位偶数有个．（用数字作答）三．解答题（共4小题） 13．（2016?新余三模）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，E，F分别是AC，PB的中点．（1）证明：EF∥平面PCD；

高中数学空间向量与立体几何测试题及答案

高中数学选修（2-1）空间向量与立体几何测试题一、选择题 1．若把空间平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的始点放置在同一点，则这些向量的终点构成的图形是（）Ａ．一个圆Ｂ．一个点Ｃ．半圆Ｄ．平行四边形答案：Ａ 2．在长方体1111ABCD A B C D -中，下列关于1AC u u u u r 的表达中错误的一个是（）Ａ．11111AA A B A D ++u u u r u u u u r u u u u r Ｂ．111AB DD D C ++u u u r u u u u r u u u u u r Ｃ．111AD CC D C ++u u u r u u u u r u u u u u r Ｄ．11111()2 AB CD AC ++u u u u r u u u u r u u u u r 答案：Ｂ 3．若，，a b c 为任意向量，∈R m ，下列等式不一定成立的是（）Ａ．()()a b c a b c ++=++ Ｂ．()a b c a c b c +=+··· Ｃ．()a b a b +=+m m m Ｄ．()()a b c a b c =···· 答案：Ｄ 4．若三点，，A B C 共线，P 为空间任意一点，且PA PB PC αβ+=u u u r u u u r u u u r ，则αβ-的值为（）Ａ．1 Ｂ．1- Ｃ． 1 2 Ｄ．2- 答案：Ｂ 5．设(43)(32)a b ==，，，，，x z ，且∥a b ，则xz 等于（）Ａ．4- Ｂ．9 Ｃ．9- Ｄ． 649 答案：Ｂ 6．已知非零向量12e e ，不共线，如果1222122833e e e e e e =+=+=-u u u r u u u r u u u r ，，AB AC AD ，则四点，，，A B C D （）Ａ．一定共圆Ｂ．恰是空间四边形的四个顶点心Ｃ．一定共面Ｄ．肯定不共面答案：Ｃ

(完整版)高中数学平面向量专题训练

高中数学平面向量专题训练一、选择题： 1、若向量方程23(2)0x x a --=r r r r ，则向量x r 等于 A 、65 a r B 、6a -r C 、6a r D 、65 a -r 2、两列火车从同一站台沿相反方向开去，走了相同的路程，设两列火车的位移向量分别为a r 和b r ，那么下列命题中错误的一个是 A 、a r 与b r 为平行向量 B 、a r 与b r 为模相等的向量 C 、a r 与b r 为共线向量 D 、a r 与b r 为相等的向量 3、AB BC AD +-=u u u r u u u r u u u r A 、AD u u u r B 、CD uuu r C 、DB u u u r D 、DC u u u r 4、下列各组的两个向量，平行的是 A 、(2,3)a =-r ，(4,6)b =r B 、(1,2)a =-r ，(7,14)b =r C 、(2,3)a =r ，(3,2)b =r D 、(3,2)a =-r ，(6,4)b =-r 5、若P 分AB u u u r 所成的比为4 3 ，则A 分BP u u u r 所成的比为 A 、7 3 - B 、3 7 - C 、73 D 、 3 7 6、已知(6,0)a =r ，(5,5)b =-r ，则a r 与b r 的夹角为 A 、045 B 、060 C 、0135 D 、0120 7、已知i r ，j r 都是单位向量，则下列结论正确的是 A 、1i j ?=r r B 、22 i j =r r C 、i r ∥j i j ?=r r r D 、0i j ?=r r 8、如图，在四边形ABCD 中，设AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r ， BC c =u u u r r ，则DC =u u u r A 、a b c -+r r r B 、()b a c -+r r r C 、a b c ++r r r D 、b a c -+r r r 9、点),0(m A )0(≠m ，按向量a r 平移后的对应点的坐标是)0,(m ，则向量a r 是 C B A D