《反比例函数的图像与性质》教案 教学目标 1、体会并了解反比例函数的图象的意义. 2、能描点画出反比例函数的图象. 3、通过反比例函数的图象的分析，探索并掌握反比例函数的图象的性质 教学重点. 本节教学的重点是反比例函数的图象及图象的性质. 教学难点 由于反比例函数的图象分两支，给画图带来了复杂性是本节教学的难点. 教学过程 1、情境创设 可以从复习一次函数的图象开始：你还记得一次函数的图象吗？在回忆与交流中，进一步认识函数图象的直观有助于理解函数的性质.转而导人关注新的函数——反比例函数的图象研究：反比例函数的图象又会是什么样子呢？ 2、探索活动 探索活动1反比例函数x y 6= 的图象． 由于反比例函数x y 6=的图象是曲线型的，且分成两支．对此，学生第一次接触有一定的难度，因此需要分几个层次来探求： (1)可以先估计——例如：位置(图象所在象限、图象与坐标轴的交点等)、趋势(上升、下降等)； (2)方法与步骤——利用描点作图； 列表：取自变量x 的哪些值？ ——x 是不为零的任何实数，所以不能取x 的值的为零，但仍可以以零为基准，左右均匀，对称地取值. 描点：依据什么(数据、方法)找点？ 连线：怎样连线？ ——可在各个象限内按照自变量从小到大的顺序用两条光滑的曲线把所描的点连接起来. 探索活动2反比例函数x y 6-=的图象． 可以引导学生采用多种方式进行自主探索活动： (1)可以用画反比例函数x y 6= 的图象的方式与步骤进行自主探索其图象； (2)可以通过探索函数x y 6=与x y 6-=之间的关系，画出x y 6-=的图象．
探索活动3 反比例函数x y 6-=与x y 6=的图象有什么共同特征？ 引导学生从通过与一次函数的图象的对比感受反比例函数图象“曲线”及“两支”的特征． 反比例函数x k y =(k ≠0)的图象是由两个分支组成的曲线.当0>k 时，图象在一、三象限：当0 《反比例函数的意义》说课稿 尊敬的各位老师： 大家好！ 今天我要说课的题目是《反比例函数的意义》。《反比例函数的意义》是人教版年八级下册第十七章第一节的内容，共分为三个课时，今天我要说的是第一课时。 运用新课标理念，我将从以下五个方面进行说课： 教材分析 教法学法分析 教学过程设计 板书设计 教学反思 教材分析 首先先进行教材分析，它分为三个方面： 1、教材的作用与地位 函数本身就是数学学习的重要内容，而反比例函数是在继平面直角坐标系和一次函数学习的基础上，再次进入函数范畴学习的又一类新的函数。它是初中阶段三大函数之一，是最基本、最初步的函数。在此之前，学生已经学习过反比例关系和分式的知识，为本节课的学习打下了良好的基础。通过本节课的学习，又为以后更高层次函数的学习作好了铺垫，为以后处理函数、方程、不等式间的关系奠定了基础。因此，本节课在知识结构上呈现了承前启后的重要作用。 2、教学目标 教学目标是教学的出发点和归宿。根据新课程的要求，考虑到学生的认知规律和心理特点，结合本课特点，我特制定教学目标如下： 知识与技能 1、理解反比例函数的意义。 2、能够根据已知条件确定反比例函数的表达式。 数学思考让学生经历从实际问题中抽象出反比例函数模型的过程，体会反比例函数来源于实际. 解决问题能从实际问题中抽象出反比例函数并确定其表达式.. 情感与态度 1、经历反比例函数的形成过程，使学生体验函数是描述变量间对应关系的重要数学模型。 2、通过反比例函数的学习，培养学生合作交流意识和探索能力. 3、教学重难点 重点理解反比例函数的意义，确定反比例函数表达式。 难点理解反比例函数的内涵。 教法学法分析 众所周知，教学就是教师的教和学生的学，教法促进学法的形成，学法促进教法的发展。 教法选择讲解与引导探究相结合的教学方法。 学法指导由于初中学生维持有意注意时间，一般在10―20分钟，通过听、看、做、交 谈相结合获得的知识保持率最高，所以我指导学生在课堂上要注意听、仔细看、勤动手， 多交流用心想 教学手段多媒体与黑板相结合 第1章 反比例函数 1．2017·郴州已知反比例函数y ＝k x 的图象过点A (1，－2)，则k 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－2 D ．－1 2．2017·镇江a ，b 是实数，点A (2，a )，B (3，b )在反比例函数y ＝－2 x 的图象上，则( ) A ．a ＜b ＜0 B ．b ＜a ＜0 C ．a ＜0＜b D ．b ＜0＜a 3．2017·广东如图1－Y －1，在同一平面直角坐标系中，直线y ＝k 1x (k 1≠0)与双曲线y ＝k 2x (k 2≠0)相交于A ，B 两点，已知点A 的坐标为(1，2)，则点B 的坐标为( ) A ．(－1，－2) B ．(－2，－1) C ．(－1，－1) D ．(－2，－2) 图1－Y －1 图1－Y －2 .2016·株洲已知一次函数y 1＝ax ＋b 与反比例函数y 2＝k x 的图象如图1－Y －2所示，当 y 1＜y 2时，x 的取值范围是( ) A ．x ＜2 B ．x ＞5 C ．2＜x ＜5 D ．0＜x ＜2或x ＞5 5．2017·张家界在同一平面直角坐标系中，函数y ＝mx ＋m (m ≠0)与y ＝m x (m ≠0)的图象可能是( ) 图1－Y － 图1－Y －4 6．2017·海南如图1－Y －4，△ABC 的三个顶点分别为A (1，2)，B (4，2)，C (4，4)．若反比例函数y ＝k x 在第一象限内的图象与△ABC 有交点，则k 的取值范围是( ) A ．1≤k ≤4 B．2≤k ≤8 C ．2≤k ≤16 D．8≤k ≤16 7．2017·青岛一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象经过A (－1，－4)，B (2，2)两点，P 为反比例函数y ＝kb x 图象上一动点，O 为坐标原点，过点P 作y 轴的垂线，垂足为C ，则△PCO 的面积为( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．不确定 8．2017·威海如图1－Y －5，正方形ABCD 的边长为5，点A 的坐标为(－4，0)，点B 在y 轴上，若反比例函数y ＝k x (k ≠0)的图象过点C ，则该反比例函数的表达式为( ) A ．y ＝3x B ．y ＝4x C ．y ＝5x D ．y ＝6x 图1－Y －5 图1－Y －6 .2017·怀化如图1－Y －6，A ，B 两点在反比例函数y ＝k 1x 的图象上，C ，D 两点在反比例函数y ＝k 2x 的图象上，AC ⊥y 轴于点E ，BD ⊥y 轴于点F ，AC ＝2，BD ＝1，EF ＝3，则k 1－k 2的值是( ) A ．6 B ．4 C ．3 D ．2 《反比例函数的意义》教学设计 一、内容和内容解析 1．内容 反比例函数的意义． 2．内容解析 本课是反比例函数这一章的第一课时，其主要功能是在学生学习过的一次函数的基础上，通过实际例子帮助学生认识并归纳出反比例函数的意义．反比例函数作为初中三个基本函数（还有一次函数和二次函数）中最特殊的一个，明确其意义是最为重要的内容．另外本节课的学习可以给学生研究其它函数做好引领工作，帮助他们养成良好的思维品质和学习习惯． 学生需要对从实际问题中得出的三个关系式进行观察、归纳，结合已学知识来得出反比例函数的概念，并且深入的理解其意义．在此过程中，教师需要给学生一些必要的指引，具体到课堂教学实际中就是通过问题的引领，帮助学生做好问题的探究．学生是这个环节的主体，教师是辅助者，在实际教学中要尊重学生所提出的问题和看法，不应该把教师的观点强加给学生． 基于以上分析，确定本节课的教学重点为：理解反比例函数的概念． 二、目标和目标解析 1．教学目标 （1）理解反比例函数的意义； （2）能够根据已知条件确定反比例函数的解析式． 2．目标解析 达成目标（1）的标志是：通过对实际问题和数学问题的分析，抽象概括得出反比例函数的概念，知道自变量和对应函数成反比例的特征． 达成目标（2）的标志是：能根据问题中的变量关系,确定反比例函数的解析式． 三、教学问题诊断分析 学生已经学习过了一次函数、二次函数、分式等预备知识，对函数的图象、性质和特征具有了一定的认知能力．再加上小学已经学习过的反比例关系，学生对反比例函数的引入不会感到突然．在对实际问题和数学问题进行分析过程中，需加强对函数概念的理解：对于自 变量每一个确定的值，有唯一确定的值与之对应．反比例函数与一次函数、二次函数的不同在于两个变量的乘积为定值．同时，学习过程中要回顾类比反比例关系，分式的概念及其运算． 但是反比例函数与学生已学过的一次函数、二次函数有着根本的不同．虽然从形式上和正比例函数很类似，但是其自变量取值范围不再是全体实数，所以相比于学生熟悉的函数类型，反比例函数的研究方式会有所不同，而本节课的学习就是所有这些改变的起点．本课的教学难点是：抽象得到反比例函数概念的过程． 四、教学过程设计 1．创设情境，引入新知 问题1京广高铁全程为2 298km，某次列车的平均速度v（单位：km/h）与此次列车的全程运行时间t（单位：h）有什么样的关系？ 问题2冷冻一个0℃的物体，使它的温度下降到零下273℃，每分钟变化的温度（单位：℃）与冷冻时间（单位：分）有什么样的关系？ 师生活动：教师提出问题，学生思考、得出答案．教师板书学生给出的答案，同时提醒学生关注零下273℃的表示方法． 设计意图：用实际问题引出现实中的反比例关系，为后续的反比例函数的意义教学做好铺垫．创设问题情境，让学生感受量与量之间的函数关系，体会实际问题中蕴涵的函数关系，激发探究兴趣． 2．观察感知，理解概念 针对学生的答案，提出一系列问题： 问题3这些关系式有什么共同点？ 问题4这两个量之间是否存在函数关系？ 问题4.1这个变化过程中的常量和变量分别是什么？ 问题4.2变量x、y在什么范围内变化？ 问题4.3 y是x的函数吗？ 师生活动：教师针对学生的答案进行提问，引导学生进行思考，并鼓励学生提出问题，以推动对问题的进一步思考．开始渗透研究函数的一般步骤，帮助学生探究函数关系．学生需要调动原有知识储备，经过思考和讨论来回答问题． 设计意图：通过对问题的讨论分析，让学生学会用函数的观点分析生活中变量之间的关系，并能够用反比例关系式表示出来，初步建立反比例函数的模型． 湘教版九上数学第1章反比例函数 1.1 反比例函数 【知识与技能】 理解反比例函数的概念，根据实际问题能列出反比例函数关系式. 【过程与方法】 经历从实际问题抽象出反比例函数的探索过程，发展学生的抽象思维能力. 【情感态度】 培养观察、推理、分析能力，体会由实际问题转化为数学模型，认识反比例函数的应用价值. 【教学重点】 理解反比例函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式. 【教学难点】 能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，体会函数的模型思想. 一、情境导入，初步认识 1.复习小学已学过的反比例关系，例如： (1)当路程s一定，时间t与速度v成反比例，即vt=s(s是常数) (2)当矩形面积一定时，长a和宽b成反比例，即ab＝S(S是常数) 2.电流I、电阻R、电压U之间满足关系式U＝IR，当U=220V时,请你用含R的代数式表示I吗？ 【教学说明】对相关知识的复习，为本节课的学习打下基础. 二、思考探究，获取新知 探究1：反比例函数的概念 （1）一群选手在进行全程为3000米的赛马比赛时，各选手的平均速度v(m/s)与所用时间t(s)之间有怎样的关系？并写出它们之间的关系式. （2）利用（1）的关系式完成下表： （3）随着时间t的变化，平均速度v发生了怎样的变化？ （4）平均速度v是所用时间t的函数吗？为什么？ （5）观察上述函数解析式，与前面学的一次函数有什么不同？这种函数有什么特点？ 【教学说明】一般地，如果两个变量x，y之间可以表示成 k y x =（k为常数 且k≠0）的形式，那么称y是x的反比例函数.其中x是自变量，常数k称为反比例函数的比例系数. 【教学说明】先让学生进行小组合作交流，再进行全班性的问答或交流.学生用自己的语言说明两个变量间的关系为什么可以看作函数，了解所讨论的函数的表达形式． 探究2：反比例函数的自变量的取值范围 思考：在上面的问题中，对于反比例函数 3000 v t =，其中自变量t可以取哪 些值呢？ 分析：反比例函数的自变量的取值范围是所有非零实数，但是在实际问题中，应该根据具体情况来确定该反比例函数的自变量取值范围.由于t代表的是时间，且时间不能为负数，所有t的取值范围为t>0. 【教学说明】教师组织学生讨论，提问学生，师生互动． 三、运用新知，深化理解 1.见教材P3例题. 2.下列函数关系中，哪些是反比例函数？ (1)已知平行四边形的面积是12cm2，它的一边是a cm，这边上的高是h cm，则a与h的函数关系； (2)压强p一定时，压力F与受力面积S的关系； (3)功是常数W时，力F与物体在力的方向上通过的距离s的函数关系． (4)某乡粮食总产量为m吨，那么该乡每人平均拥有粮食y(吨)与该乡人口数 【关键字】教案、情况、方法、条件、认识、问题、难点、加深、提出、掌握、了解、规律、位置、关键、思想、重点、关系、分析、引导、帮助、巩固、提高、中心 九年级数学下册1.2 反比例函数的图象和性质教案二湘教 版 一、教学目标 1．会用描点法画反比例函数的图象 2．结合图象分析并掌握反比例函数的性质 3．体会函数的三种表示方法，领会数形结合的思想方法 二、重点、难点 1．重点：理解并掌握反比例函数的图象和性质 2．难点：正确画出图象，通过观察、分析，归纳出反比例函数的性质 3．难点的突破方法： 画反比例函数图象前，应先让学生回忆一下画函数图象的基本步骤，即：列表、描点、连线，其中列表取值很关键。反比例函数x k y （k ≠0）自变量的取值范围是x ≠0，所以取值时应对称式地选取正数和负数各一半，并且互为相反数，通常取的数值越多，画出的图象越精确。连线时要告诉学生用平滑的曲线连接，不能用折线连接。教学时，老师要带着学生一起画，注意引导，及时纠错。 在探究反比例函数的性质时，可结合正比例函数y ＝kx （k ≠0）的图象和性质，来帮助学生观察、分析及归纳，通过对比，能使学生更好地理解和掌握所学的内容。这里要强调一下，反比例函数的图象位置和增减性是由反比例系数k 的符号决定的；反之，双曲线的位置和函数性质也能推出k 的符号，注意让学生体会数形结合的思想方法。 三、例题的意图分析 教材第48页的例2是让学生经历用描点法画反比例函数图象的过程，一方面能进一步熟悉作函数图象的方法，提高基本技能；另一方面可以加深学生对反比例函数图象的认识，了解函数的变化规律，从而为探究函数的性质作准备。 补充例1的目的一是复习巩固反比例函数的定义，二是通过对反比例函数性质的简单应用，使学生进一步理解反比例函数的图象特征及性质。 补充例2是一道典型题，是关于反比例函数图象与矩形面积的问题，要让学生理解并掌握反 反比例函数的意义教学反思 一、掌握方面 通过本节课的教学,使学生理解反比例函数的意义。并会识别反比例函数, 在掌握反比例函数的同时, 并会建立反比例函数基本模型, 学生由正比例函数向反比例 函数认识转变,两个变量对应关系(比为定值或积为定值的区别。通过回顾已有知识, 在行程问题中路程一定时, 时间与速度成反比, 引导学生用函数关系式表示时间与 速度的关系式, 为后面进一步建立反比例函数关系式基本模型做铺垫。在通过对基本问题的讨论, 激发起学生的强烈的求知欲和探索愿望, 使学生用函数观点从新认 识日常生活中变量之间的关系, 并能用反比例函数关系式表示出来, 初步建立反比 例函数表达式基本模型。最后让学生从上述不同关系式中抽象出反比例函数的一般情形,让学生感受从特殊到一般数学思考问题方法, 发展学生抽象思维和概括能力, 从而得反比例函数的概念。学生在理解. 掌握要注意反比例函数与正比例函数的区别。本节教学需由浅入深, 循序渐进, 逐步深入,学生探究的问题愈来愈有挑战性,教师适当点拨和学生充分讨论从而共性, 形成共识, 教师利用对反比例函数的认识, 设置由浅入深一些练习题, 加深对概念的理解与把握。通过例题学习, 习题的训练, 归纳出求反比例函数的一般步骤。二、不足方面 在教学中,有部分学生对反比例函数理解不透,不明确 x 与 y 之间关系,对 y=KX 与 y=KX 易混淆不清,正比例与反比例的区别。另外,遇到实际问题时,不能准确的 审题, 不能准确的确定两个变量之间的关系, 因此不能正确的列出函数关系式解决 问题, 还有不明确两个变量的意义, 也就是题目中给定数据不知道哪一个变量对应 的数值,还需培养学生的审题能力,从而进一步提高解题速度。 三、需注意的几个问题: (1注意师生互动,提高学生的思维效率。 (2针对学生的盲区,出相应的练习巩固。 人教版-数学-九年级下册-打印版 反比例函数的意义教材分析 本小节教材主要讲述反比例函数的概念．反比例函数是本套教科书安排的最后一类函数，它是刻画现实世界中具有反比例变化规律的重要数学模型．它不仅具有丰富的性质，而且在实际中具有广泛的应用．前面我们学习了常量、变量，自变量、函数及函数值等概念，研究了正比例函数y=kx、一次函数y=kx+b和二次函数y=ax2+bx+c等具体的函数，对函数的概念、图象和性质有了一定的认识，掌握了研究函数的方法．而且在学习一次函数和二次函数时，我们都是通过大量实例归纳得到它们的解析式，给出概念，然后研究它们的图象和性质．对反比例函数的研究，我们也是遵循这种过程．学习反比函数的基础除上面讲到的函数的有关概念外，还有分式、反比例关系等内容．当从函数角度认识反比例关系时，这个反比例关系就成为反比例函数，因为它既是反比例关系，又符合函数的概念． 路程、速度与时间的关系是学生非常熟悉的．本节课从路程一定的前提下，列车运行的平均速度与运动时间关系出发，引出学习的内容——反比例函数． 本节首先在“思考”栏目中提出三个具有反比例关系的问题，让学生从变量角度分析它们之间的关系，明确它们都是刻画具有反比例关系的函数．引导学生分析函数解析式， 和，得出它们的共同特点：都可以写成（为常数，）的形式，抽象得出反比例函数的概念． 在引入反比例函数概念后，可向学生提问，或直接指出，也可看成的反比例函数，在反 比例函数的解析式（为常数，）中，变量和的地位是相同的．如果把y 看成自变量，那么x就是y的函数． 本节课的教学，要充分利用课本所给的三个思考问题，将反比例函数的概念和实际问题紧密的结合起来，帮助学生辨析反比例关系和反比例函数的区别与联系，充分理解反比例函数的产生过程，明确反比例函数的解析式的形式，以及对于自变量x的取值范围的限制． 本节课的教学重点是：理解反比例函数的概念． 九年级上册反比例函数测试题姓名___________一、选择题（每题3分，共30分） 1．下列函数，①y＝2x，②y＝x，③y＝x－1，④y ＝ 1 1 x+ 是反比例函数的个数有（ ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．反比例函数y＝2 x 的图象位于（） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限3．已知矩形的面积为10，则它的长y与宽x之间的关系用图象表示大致为( ） 4．已知关于x的函数y＝k(x+1）和y＝－k x (k≠0)它们在同一坐标系中的大致图象是(? ) 5．已知点(3,1）是双曲线y＝k x (k≠0)上一点，则下列各点中在该图象上的点是（ ) A．（1 3 ，－9） B．(3，1) C．(－1，3） D．(6,－ 1 2 ) 6．某气球充满一定质量的气体后，当温度不变时，气球内的气体的气压P（kPa)是气体体积V(m3)的反比例函数，其图象如图所示，当气球内的气压大于140kPa时，气球将 爆炸，为了安全起见，气体体积应( ) A．不大于24 35 m3 B．不小于 24 35 m3 C．不大于24 37 m3 D．不小于 24 37 m3 7．某闭合电路中，电源电压为定值，电流I A．与电阻R(Ω)成反比例，如右图所表示的是该电路 中电流I与电阻R之间的函数关系的图象，则用电阻R表示电流I?的函数解析式为（ )． A．I＝ 6 R B．I＝－ 6 R C．I＝ 3 R D．I＝ 2 R 8．函数y＝ 1 x 与函数y＝x的图象在同一平面直角坐标系内的交点个数是( ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 9．若函数y＝（m+2）｜m｜－3是反比例函数，则m的值是( ）． A．2 B．－2 C．±2 D．≠－2 10．已知点A(－3，y1)，B(－2，y2）,C(3，y3）都在反比例函数y＝ 4 x 的图象上,则( ）． A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3 二、填空题（每题3分,共24分） 11．一个反比例函数y＝ k x (k≠0）的图象经过点P（－2，－1），则该反比例函数的解析式是________．12．已知一次函数y＝kx+1和反比例函数y＝ 6 x 都经过点（2，m），则一次函数的解析式是________．13．一批零件300个，一个工人每小时做15个,用关系式表示人数x?与完成任务所需的时间y之间的函数关系式为________． 14．正比例函数y＝x与反比例函数y＝ 1 x 的图象相交于A、C两点，AB⊥x轴于B,CD?⊥x轴于D，如图所示,则四边形ABCD的为_______． 15．如图,P是反比例函数图象在第二象限上的一点，且矩形PEOF的面积为8,则反比例函数的表达式是_________． 第7题第14题第15题 16．反比例函数y＝ 2 10 39 n n x- - 的图象每一象限内，y随x的增大而增大,则n＝_______． 17．已知一次函数y＝3x+m与反比例函数y＝ 3 m x - 的图象有两个交点，当m＝_____时，有一个交点的纵坐标为6． 17.1.2反比例函数地图象和性质（1） 教学目标：会画反比例函数地图象，并知道该图象与正比例函数、一次函数图象地区别，能从反比例函数地图象上分析出简单地性质 教学重点：反比例函数图象地画法及探究，反比例函数地性质地运用． 教学难点：反比例函数图象是平滑双曲线地理解及对图象特征地分析 教学过程： （一）复习与回忆 1.过点（2，5）地反比例函数地解析式是：. 2一次函数y=2x-1地图象是：，y随x地增大而； 3.用描点法作函数图象地步骤：. （二）教师点拨与例题讲解 例1.分别在下列两个坐标系中作出y= 6 x 和y=- 6 x 地图象. 解：列表 （请把表中空白处填好） 归纳：反比例函数y = x 与y = - x 6 地图象是. y = x 6 地图象地两分支分别位于第象限，在每个象限内，y值随x值地增大而； y = - x 6 地图象地两分支分别位于第象限，在每个象限内，y值随x值地增大而. 思考：为什么强调在每个象限内？ 小结：（1）反比例函数地图象都有两个分支，我们将反比例函数地图象称为. （2）当k＞0时，反比例函数地图象地两个分支位于第象限，且在每个象限内y值随x地增大而； 当k＜0时，反比例函数地图象地两个分支位于第象限，且在每个象限内y值随x地增大而. （3）反比例函数图象地两个分支关于对称，且随着x地不断增大（或减小），反比例函数地图象越来越接近于坐标轴，但永不相交. 课堂练习： 1. 2 / 3 2.如图，这是下列四个函数中哪一个函数地图象？（） (A) y = 5x (B) y = 2x+3 (C) y = x 4 (D) y = - x 3 3.如果点(1，－2)在双曲线 x k y=上，那么该双曲线在第______象限． 4．已知反比例函数 x k y - = 3 ，分别根据下列条件求出字母k地取值范围 （1）函数图象位于第一、三象限 （2）在第二象限内，y随x地增大而增大 5．函数y＝－kx＋k与 x k y - =（k≠0）在同一坐标系中地图象可能是（） 6.已知y与x+2成反比例函数，当x=4时，y=1.（1）求这个函数地解析式；（2）当x=0 时，求y地值. 课后作业：A组 1．已知反比例函数y= k x 地图象如图所示，则k0，在图象地每一支上，y值随x地增大而． 2．下列图象中，是反比例函数地图象地是（） (B) (C) (D) x o y x o y 17·1·1反比例函数的意义 一、知识与技能 1．从现实情境和已有的知识、经验出发、讨论两个变量之间的相依关系，加深对函数、函数概念的理解。 2经历抽象反比例函数概念的过程，领会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念。 二、过程与方法 1、经历对两个变量之间相依关系的讨论，培养学生的辨别唯物主义观点。 2、经历抽象反比例函数概念的过程，发展学生的抽象思维能力，提高数学化意识。 三、情感态度与价值观 1．经历抽象反比例函数概念的过程，体会数学学习的重要性，提高学生的学习数学的兴趣。 2、通过分组讨论，培养学生合作交流意识和探索精神。 教学重点：理解和领会反比例函数的概念。 教学难点：领悟反比例的概念。 教学过程： 一、创设情境，导入新课 活动1 问题：下列问题中，变量间的对应关系可用怎样的函数关系式表示这些函数有什么共同特点 (1)京沪线铁路全程为1463km ，乘坐某次列车所用时间t （单位:h ）随该列车平 均速度v （单位:km/h ）的变化而变化； （2）某住宅小区要种植一个面积为1000m 2的矩形草坪，草坪的长为y 随宽x 的变 化； （3）已知北京市的总面积为×104平方千米，人均占有土地面积S （单位：平方 千米/人）随全市人口n （单位:人）的变化而变化. 师生行为: 先让学生进行小组合作交流,再进行全班性的问答或交流.学生用自己的语言说明两个变量间的关系为什么可以看着函数,了解所讨论的函数的表达形式. 教师组织学生讨论,提问学生,师生互动. 在此活动中老师应重点关注学生: ① 能否积极主动地合作交流。 ② 能否用语言说明两个变量间的关系。 ③ 能否了解所讨论的函数表达形式，形成反比例函数概念的具体形象。 分析及解答：（1）v t 1463 = （2）x y 1000 = （3）n s 4 1068.1?= 其中v 是自变量，t 是v 的函数； x 是自变量，y 是x 的函数； n 是自变量，s 是n 的函数； 上面的函数关系式，都具有x k y =的形式，其中k 是常数。 二、联系生活，丰富联想 活动2 下列问题中，变量间的对应关系可用这样的函数式表示 （1）一个游泳池的容积为2000m 3,注满游泳池所用的时间随注水速度u 的变化而变化； （2）某立方体的体积为1000cm 3，立方体的高h 随底面积S 的变化而变化； （3）一个物体重100牛顿，物体对地面的压力p 随物体与地面的接触面积S 的变化而变化。] 师生行为 学生先独立思考，在进行全班交流。 教师操作课件，提出问题，关注学生思考的过程，在此活动中，教师应重点关注学生： （1） 能否从现实情境中抽象出两个变量的函数关系； （2） 能否积极主动地参与小组活动； （3） 能否比较深刻地领会函数、反比例函数的概念。 分析及解答：（1）v t 2000 = （2）s h 1000 = （3）s p 100 = 概念：如果两个变量x,y 之间的关系可以表示成x k y =的形式，那么y 是x 的反比例函数，反比例函数的自变量x 不能为零。 活动3 做一做： 一个矩形的面积为20cm 2, 相邻的两条边长为x cm 和y cm 。那么变量y 是 第一章反比例函数单元测试 一、选择题 1.下列函数中，是反比例函数的是() A. y＝ B. 3x＋2y＝0 C. xy－＝0 D. y＝ 2.已知函数y＝(m＋1) 是反比例函数，且其图象在第二、四象限内，则m的值是( ) A. 2 B. －2 C. ±2 D. － 3.M、N两点都在同一反比例函数图象上的是（） A. M（2，2），N（－1，－1） B. M（－3，－2），N（9，6） C. M（2，－1），N（1，－2） D. M（－3，4），N（4，3） 4.若与都是反比例函数图象上的点，则a的值是（） A. 4 B. -4 C. 2 D. -2 5.反比例函数y＝（x＜0）的图象位于（） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6.已知反比例函数的图象经过点(2，﹣4)，那么这个反比例函数的解析式是( ) A. y= B. y=﹣ C. y= D. y=﹣ 7.已知点，，都在反比例函数的图像上，且，则，，的大小关系是（） A. B. C. D. 8.在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图像如图所示、则当时，自变量x的取值范围为（） A. B. C. D. 9.若点，在反比例函数的图象上，且，则a的取值范围是（） A. B. C. D. 或 10.反比例函数经过点，则下列说法错误的 ．．．是（） A. B. 函数图象分布在第一、三象限 C. 当时，随的增大而增大 D. 当时，随的增大而减小 11.甲、乙两地相距200千米，则汽车从甲地到乙地所用的时间y（h）与汽车的平均速度x（km/h）之间的函数表达式为（） A. y＝200x B. x＝200y C. y＝ D. y﹣200＝x 12.面积为4的矩形的长为x，宽为y，则y与x的函数关系的图象大致是（） A. B. C. D. 二、填空题 13.如果函数y＝x2m﹣1为反比例函数，则m的值是________． 14.一个物体重100N，物体对地面的压强P（单位：Pa）随物体与地面的接触面积S（单位：㎡）变化而变化的函数关系式是________. 15.若反比例函数y= 的图象经过点（﹣2，3），则k=________． 16.若正比例函数的图象与某反比例函数的图象有一个交点的纵坐标是2，则该反比例函数的解析式为________． 17.将双曲线y＝向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新双曲线与直线y＝kx﹣2﹣k（k＞0）相交于两点，其中一个点的横坐标为a，另一个点的纵坐标为b，则（a﹣1）（b+2）＝________. 18.如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点B在x轴负半轴上，直线AB交y轴于点C，若 ＝，△AOB的面积为6，则k的值为________. 《反比例函数的图象和性质》教学设计教学目标 1．知识与技能 会画反比例函数的图象，并知道该图象与正比例函数、一次函数图象的区别，能从反比例函数的图象上分析出简单的性质．能用反比例函数的定义和性质解决实际问题．2．过程与方法 通过画图象，进一步培养“描点法”画图的能力和方法，并提高对函数图象的分析能力．同时尝试用类比和特殊到一般的思路方法，归纳反比例函数一些性质特征．3．情感、态度与价值观 由图象的画法和分析，体验数学活动中的探索性和创造性，感受数学美，并通过图象的直观教学激发学习兴趣． 教学重点难点 重点：反比例函数图象的画法及探究，反比例函数的性质的运用． 难点：反比例函数图象是平滑双曲线的理解及对图象特征的分析． (一)创设情境，导入新课 问题：1．若y=是反比例函数，则n必须满足条件 n≠或n≠-1 ． 2．用描点法画图象的步骤简单地说是列表、描点、连线． 3．试用描点法画出下列函数的图象：（1）y=2x；（2）y=1-2x． (二)合作交流，解读探究 问题：我们已知道，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是一条直线，?那么反比例函数(k 为常数且k≠0)的图象是什么样呢？ 尝试用描点法来画出反比例函数的图象． 画出反比例函数y=和y=-的图象． 解：列表 描点，以表中各对应值为坐标，在直角坐标系中描出各点． 连线，用平滑的曲线把所描的点依次连接起来． 探究反比例函数y=和y= ?的图象有什么共同特征？它们之间有什么关系？ 做一做把y=和y= ?的图象放到同一坐标系中，观察一下，看它们是否对称．归纳反比例函数y=和y= ?的图象的共同特征： （1）它们都由两条曲线组成． （2）随着x的不断增大（或减小），曲线越来越接近坐标轴（x轴、y轴）． （3）反比例函数的图象属于双曲线（hyperbola）． 此外，y=的图象和y= ?的图象关于x轴对称，也关于y轴对称． 做一做在平面直角坐标系中画出反比例函数y=和y= ?的图象． 交流两个函数图象都用描点法画出？ 【分析】由y=和y= ?的图象及y=和y= ?的图象知道， （1）它们有什么共同特征和不同点？ （2）每个函数的图象分别位于哪几个象限？ （3）在每一个象限内，y随x的变化而如何变化？ 猜想反比例函数（k≠0）的图象在哪些象限由什么因素决定？在每一个象限内，y 随x的变化情况如何？它可能与坐标轴相交吗？ 【归纳】（1）反比例函数（k为常数，k≠0）的图象是双曲线． （2）当k>0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内，y?值随x值的增大而减小． 2.下列图象中是反比例函数y＝－的图象的是（） A.v＝320t B.v＝ C.v＝20t D.v＝ 4.关于反比例函数y＝，下列说法正确的是（） 5.（2016·毕节中考）如图，点A为反比例函数y＝－图象上一点，过A作AB⊥x轴于 7.在同一直角坐标系中，函数y＝kx－k与y＝（k≠0）的图象大致是（） 专项训练一反比例函数 一、选择题 1.反比例函数的图象经过点（－2，3），则此函数的图象也经过点（） A.（2，－3） B.（－3，－3） C.（2，3） D.（－4，6） 2 x 3.（2016·广州中考）一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以平均80千米/时的速度用了4个小时到达乙地，当他按原路匀速返回时.汽车的速度v千米/时与时间t小时的函数关系是（） 32020 t t －2 x A.图象过点（1，2） B.图象在第一、三象限 C.当x＞0时，y随x的增大而减小 D.当x＜0时，y随x的增大而增大 4 x 点B，连接△OA，则ABO的面积为（） A.－4 B.4 C.－2 D.2 2 6.反比例函数y＝－x的图象上有两点P 1 （x 1 ，y 1 ），P 2 （x 2 ，y 2 ），若x1＜0＜x2，则下列结论正确的是（） A.y 1 ＜y 2 ＜0 B.y1＜0＜y2 C.y 1 ＞y 2 ＞0 D.y1＞0＞y2 k x 8.（2016·淄博中考）反比例函数y＝（a＞0，a为常数）和y＝在第一象限内的图象如图所示，点M在y＝的图象上，MC⊥x轴于点C，交y＝的图象于点A.MD⊥y轴于点D， 9.（2016·怀化中考）已知点P（3，－2）在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，则k 数y＝（x>0）的图象交于A，B两点，利用函数图象直接写出不等式 反比例函数的图像和性质（1）教学案例分析 摘要：本文主要从教材分析、学习类型和任务分析、教学内容分析、教学目标的确定、教学重难点的分析、例习题的意图分析等方面着笔，并结合具体的教学过程，对教学行为所体现的数学思想进行了较为深入的挖掘和比较详尽的分析，力求对其他章节的教学起到一定的借鉴和指导作用。 关键词：具体教学过程数学思想案例分析 一、教材背景分析 到九年级上册一开始就学习“反比例函数”．这样编排的好处是因为反比例函数根据《数学课程课标》与原教材相比本章内容要求有所提高，主要表现在：其一性质的探索过程——根据图象和解析式探索并理解其性质；其二在实际问题中的应用．这是符合新课改的理念，总的来说是探讨知识发生的过程，培养学生自己探索问题，同时联系实际，提高学生分析解决问题的能力。图象的两个分支都无限接近但永远达不到x轴和y轴．因为从教学实践看，学生对此不易理解，这条性质实际应用意义也不大．假如学生程度较好，老师在这方面也可以适当拓展．从编排顺序来看，原来浙教版中，本章内容放在初二下的“函数及其图象”一章中，编排顺序是平面直角坐标系—函数—正比例函数—反比例函数．本套教科书采用分步到位、穿插编排的方式．在八年级上册安排了“图形与坐标”、“一次函数”，反比例函数图像对思维要求比较高，图象分两支，且又是曲线，学生理解相对困难，略放后面与学生接受能力、认知水平相当，为学生探索理解反比例函数创造条件。 二、学习类型与任务分析 ①学习结果类型分析 （一）学习结果：会画反比例函数的图像，通过反比例函数图象的分析，探索并掌握反比例函数图象的性质。 （1）反比例函数解析式和图像是数学事实； （2）反比例函数是数学概念； （3）用“描点法”画函数图像的一般步骤是数学原理； （4）用“描点法”画反比例函数图像是数学技能； （5）从函数解析式到函数图像的画法的数形结合的思想数学思想方法； （6）根据函数图像性质求自变量与函数的取值范围是数学问题解决。 ②学习形式类型分析 （二）学习形式：由于反比例函数的图像是根据反比例函数解析式用描点法得到的这是在原有知识的基础上学习一个水平更高的概念，常常采用发现学习的模式。因此本课采用上位学习形式。 ③学习任务分析 （三）学习任务： （1）学画反比例函数的图像； （2）通过反比例函数图象的分析，探索反比例函数图象的性质。 三、教学内容分析 " 进一步熟悉作函数图象的步骤，会作反比例函数的图象，并由图象归纳概括出反比例函数图像的性质。 四、教学目标 1．知识与技能 课堂实录 17．1．1反比例函数的意义（1课时） 【情境导入】复习引入 师：以前我们共学几种函数?它们的形式是什么？ 生：正比例函数形如y =kx (k≠0)的函数． 生：（补充）还有一次函数，形如y =kx +b (k ≠0)的函数 师：正比例函数与一次函数有何关系？ 生：（思）正比例函数是特殊的一次函数即b =0时的情形． 师：写出下列问题中函数关系式并说明是什么函数? （1）梯形上底是2，下底是4则周长y 与高x 的函数的关系式____________． （2）某种文具单价为3元 当购买m 个这个文具时共花y 元，则y =_________． 生：1．y =3x ；2．y =3m ． 师：这两个函数是什么函数？ 生：都是正比例函数． 〖评析〗提醒同学，在我们的现实生活中，蕴含着大量的数学问题，并用所学的数学知识去 解决一个一个的问题． 【探索新知】 师：体育课上，老师为了选拔参加运动会的选手，举行了百米赛跑比赛，小明用了13s ，小 亮用了14s ，小军用了12s ，于是王老师选择了__________参加百米赛跑．这是因为当 路程s 一定时，速度和时间成_________的两个量，也就是说，当速度越大时，时间就 越___________；当速度越小时，时间就越____________．在这个问题中，时间t 与速 度v 的函数关系式是__ _____________． 生：选小军参赛；成反比；少；多； v s t =生补充回答． 师：（微笑）说很好．这个问题两个变量成什么关系？ 生：（自信地）高声齐答道反比例． 师：t 是v 的正比例函数吗？ 生：不是． 师：出示投影片（试探究下列问题如何列出关系式．）（1）京沪铁路全长为1463km ，某次 列车的平均速度v (km/h)随此次列车全程运行时间t (h)变化而变化； （2）某住宅小区种植一个面积1000m 2的草坪，草坪的长y (m)随宽x (m)的变化而变化； （3）已知北京市总面积为1．68×104平方千米，人均占有面积s （平方千米/人）随全 市人口n (人)的变化而变化． 生：（1）t v 1463=． 师：（点点头）非常好，第二个呢？ 生：（2）x y 1000= ． 26.1.2 反比例函数的图象和性质 知能准备 【学习目标】1、画反比例函数的图象，并知道该图象与正比例函数、一次函数 图象的区别，能从反比例函数的图象上分析出简单的性质． 2、能用反比例函数的定义和性质解决实际问题． 【学情分析】前面已经学习了一次函数和二次函数，对研究函数有了一定的方法；即画出图像 并根据图像研究其性质 【学思指导】教法：讲授法、对比法 学法：类比法、数形结合法 学科素养：通过画图象，进一步培养“描点法”画图的能力和方法， 并提高对函数图象的分析能力．同时尝试用类比和特殊到一般的思路方法，归纳反比例函数一些性质特征． 【板书设计】 30．2反比例函数的图像和性质（一） 画图：x y 6= 画图：x y 6 -= 性质 步骤： 步骤： 图像： 图像： 【课前预习】 1．若y= (21)(1)n n x -+是反比例函数，则n 必须满足条件 n ≠1 2或n ≠-1 ． 2．用描点法画图象的步骤简单地说是 列表 、 描点 、 连线 ． 3．试用描点法画出下列函数的图象：（1）y=2x ； （2）y=1-2x ． 设计意图：通过回忆，学会用描点法画函数的图象 课堂引讨——【展示互动】 问题：我们已知道，一次函数y=kx+b （k ≠0）的图象是一条直线，?那么反 比例函数y=k x （k 为常数且k ≠0）的图象是什么样呢？ [尝试] 用描点法来画出反比例函数的图象． 画出反比例函数y=6x 和y=-6 x 的图象． 解：列表 思考：取什么值更易描出来 x … -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 … y=6x -1 -1.5 -2 -6 3 1 y=-6x 1 1. 2 3 6 -1.5 （请把表中空白处填好） 描点，以表中各对应值为坐标，在直角坐标系中描出各点． 连线，用平滑的曲线把所描的点依次（从大到小或从小到大的顺序）连接起来 探究 反比例函数y=6x 和y=-6 x 的图象有什么共同特征？它们之间有什么关 系？ 做一做 把y=6x 和y=-6 x 的图象放到同一坐标系中，观察一下，看它们是否对 称． 归纳： 反比例函数y=6x 和y=-6 x 的图象的共同特征： （1）它们都由两条曲线组成． （2）随着x 的不断增大（或减小），曲线越来越接近坐标轴（x 轴、y 轴）． （3）反比例函数的图象属于双曲线． 此外，y=6x 的图象和y=-6 x 的图象关于x 轴对称，也关于y 轴对称． 做一做 在平面直角坐标系中画出反比例函数y=3x 和y=-3 x 的图象． 交流 两个函数图象都用描点法画出？ 【分析】 由y=6x 和y=-6x 的图象及y=3x 和y=-3 x 的图象知道， （1）它们有什么共同特征和不同点？ （2）每个函数的图象分别位于哪几个象限？ （3）在每一个象限内，y 随x 的变化而如何变化？ 猜想 反比例函数y=k x （k ≠0）的图象在哪些象限由什么因素决定？?在反比例函数的意义说课稿
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