常微分方程的建模训练
各位同学：
欢迎大家开始《高等数学》课程的第二阶段的学习。本次辅导材料是关于建立微分方程的模型，主要目的有2个。一是开阔大家的视野，二是练习如何将一个实际问题用数学语言描述出来，也就是平时讲的建模，这是一个理工科学生的最重要的基本功之一。希望大家努力掌握之。
建立微分方程的途径主要有：
1）根据问题的性质，利用相应学科已经知道的客观规律，比如研究物体的运动，在已知外力的情况下，可运用著名的牛顿第二定律；研究热力学问题，可以用热力学定律，研究电路问题就可以用电路的基尔霍夫定律等。
2）对于一些没有明显规律可用时，可以考虑应用微元法（上学期学习积分时已经学习过），这时，需要考虑的是在自变量[,d]
的微段d x中，函数的增
x x x
量的微分表达式。
本次材料包括的题目不少，你可能没有太多的时间做。没有关系，可以边学边做，或有空时做，拳不离手，曲不离口，功夫是逐渐炼成的。要注意的是，对一个确定的问题，仅仅列出微分方程是不够的，还要有一组初始条件或边界条件，才能使微分方程的通解具体化，称为一个对应与问题本身的特解！如何列出这样的条件，也需要训练你的观察能力，因为很多题目中，这些条件常隐含在题目的叙述中。
本次练习不要求你去求解这些方程，但随着我们课堂的进度，当你学会微分方程的求解后，你再去求解它们。
好，开始吧！
1. 有一类物质具有放射性，根据观察，放射性元素的质量随时间推移而逐渐减少，这种现象称为衰变。由实验测定，每一时刻放射性元素镭的衰变率（即质量减少的速率）与该时刻的镭的质量成正比，比例系数0λ>。求镭的衰变规律。 又由经验判断，镭经过1600年后，只剩下原始量的一半，求镭的质量R 与时间t 的函数关系。
2. 物理上把已知物体质量和外力的条件下，求物体的运动规律的问题称为动力学问题。物体的运动可用它的位移量()s t 来表示。已知物体质量为m 的物体在外力F 的作用下沿外力的方向作直线运动。试根据下列提供的外力特点，求物体的运动规律：1） 外力为地球重力；
2） 外力为与其速度的平方成反比的阻力；
3） 外力为与其位移成正比，但方向相反的弹性恢复力；
4） 外力为独立的时间周期性外力sin A t ω；
5） 外力为上述阻力和周期性外力的合力。
请你观察这些方程各有什么特点？结合课程学习，请仔细琢磨对应的解法会有何不同？
3. 一门大炮以初速度0v ，以初始射角（仰角）α发射一发炮弹，不计空气阻力，求炮弹的弹道方程。
4. 求曲线族2
y cx =（其中c 为任意常数）的正交轨线族的方程式。（两族曲线正交指两曲线在交点处的切线相互垂直）
5. （盯梢问题）甲乙两人，乙对甲盯梢，即乙与甲保持一定距离a ，盯着甲而行，若甲沿直线前进，问乙的运动路线如何？假设甲开始时的位置不在乙的行走直线上。
6. （追击问题）兔子从原点出发沿y 轴方向以速度a 逃跑，同时一只狐狸从(,0)c 出发，以速度b 追捕兔子，求狐狸的追捕路线，并讨论狐狸最终能捉着兔子的条件。
7. 质量为1克的指点受力作用作直线运动，此力和时间成正比，和质点运动的速度成反比。在10秒时，速度等于50cm /秒，力为4达因。问从运动开始经过1分钟后的速度为多少？
8. 根据水利学的定律，水从距自由面的深度为h cm 的孔流出，它的流速为v 中g 为重力加速度。现有盛满水而高度为1米的半球形容器，水从它的底部的一个面积为1平方厘米的孔流出，孔口收缩系数为0.6（该收缩系数指流出来的水柱截面积与孔口的面积之比）。求流尽水所需要的时间。
9. 一曲线通过点（2，3），它在两坐标轴肩的任意切线线段均被切点所平分。求该曲线方程。
10．求一曲线方程，使得曲线上任意一点处的切线恒垂直于此点与原点的联线。
11. 一曲线通过（2，0）点，且在其切点与纵坐标轴肩的切线段有定长2，求此曲线方程。
12. 曲线()0y f x =≥，且通过原点和（1，1）点，它围成一以[0,]x 为底的曲边梯形，其面积与()f x 的1n +次幂成正比，求此曲线方程。
13. 求曲线族，使其在,x a x b ==间的一段弧长k 倍于此弧与,x a x b ==及x 轴所围的面积。
14. 求一曲线族，使其上任何点P 处的切线在y 轴上的截距等于原点到P 的距离。
15. 求一曲线，使曲线的切线上自切点至与x 轴的交点的一段距离为常数a 。
16. 求一曲线，使曲线的法线上自曲线上的点至与x 轴的交点的一段距离为常数a 。
17. 求一曲线族，它在任何点的矢径（指原点到该点的有向线段）与在该点的切线所夹的角
ψ为矢径与极轴间的夹角的n 倍。
（提示：设曲线的极坐标方程为()r r θ=，则d tan /
d r r ψθ
=） 18. 一汽艇在以10km/小时的速度在静水上运动时停止了发动机，经过20秒后，艇的速度减至6km/小时。试确定发动机停止2分钟后艇的速度。
19．假定物体在空气中的冷却速度正比于该物体的温度与它周围空气的温度之差。有一物体加热到0T 度时移入室内，如果室问保持常值a 度，求温度随时间变化的关系。
20. （续上题）假设是问为20?C ，一物体由100?C 冷却到60?
C 需要经过20分钟时间。问共需要经过多少时间方可使该物体的温度从开始时的100?C 降低到30?C ？
21. 根据物理学中热力学的波意尔定律，理想气体的密度与所受压力成正比。假设在海平面上每一平方厘米大气压力等于1千克，离海平面高度500米时，每一平方厘米大气压力等于0.92千克。求大气压力与高度的关系。
22. 将质量为m 的物体在空气中以速度0v 垂直上抛，空气阻力为2
kv （k 为常数），求在上升过程中速度与时间的关系。又问该物体何时返回到抛射点？
23. 在上题中，若空气阻力该为kv ，继续上题的问答。
24. 质量为m 的指点沿直线运动，受力为F a bv =-，其中,a b 为正的常数，v 为质点运动速度。若质点从静止出发，求它的速度与时间的关系。
25. 有一放置在铅垂平面内的刚性曲线，如果曲线以常角速度ω绕该平面内一铅垂直线旋转时，在曲线任一点处放置的质点都能处于平衡状态。求此曲线的方程。
26. 设一物体质量m ，以初速度0v 从一斜面上推下，若斜面的倾角为α，摩檫系数为μ，试求物体在下面上移动的距离和时间的关系。
27. 求"y x =的经过点（0，1）切在此点与直线12
x y =
+相切的积分曲线。
28. 求曲率半径为常数的曲线。
29. 设曲线（在x 轴上方）在它的每一点处的曲率半径等于该点处法线在曲线与x 轴间的长度。证明：若曲线是凸的，则它是悬链线；若曲线是凹的，则它是半圆周。（该题请在讲了悬链线方程后做）
30. 设弹簧的上端固定，有两个相同的重物（每个质量为m ）挂于弹簧的下端，使弹簧伸长了2a 。今突然取走其中的一个，使弹簧有静止开始振动。求所挂重物的运动规律。
31. 有一单摆长为l ，质量为m 。若其摆动角很小，求其运动方程，并确定每振动一次的时间（周期）。
又若摆动角较大，又将如何？
（物理学上称的单摆，指摆杆的质量不计的摆，故质量都集中在摆锤处。）
32. 一拉紧的弹簧所受的拉力与他的长度伸长量成正比，当长度增加1cm 时，弹簧拉力为1kg ，今有2kg 的物体挂在弹簧的下端而保持平衡。假若将它稍下拉，然后松手，求由此产生的振动的周期。
33. 一重4kg 的物体挂在弹簧下端，它使弹簧的长度曾长了1cm ，假定弹簧的上端有一转动机产生铅垂振动2sin 30y t =，且开始时，物体处于静止状态。求此物体的运动规律。
34. 长为6米的链条自桌自上无摩擦地向下滑动，假定在运动开始时，链条自桌上垂下部分已有1米，问需要多少时间链条才全部划过桌子？
35. 一链条挂在一个无摩擦的钉子上，假定运动起始时，链条一边垂下8米，另一边垂下10米。问整个链条划过钉子需要多少时间？
36. 设曲线L 位于第一象限，通过（1.5，1.5），其上任一点P 处的切线总与y 轴相交，交点A 。已知||||PA OA =，求曲线方程。
37.在上半平面求一条凸的曲线，其上任一点(,)P x y 处的曲率等于此曲线在该点的法线PQ 长度的倒数（Q 为法线与x 轴的交点），切曲线在（1，1）点出的切线与x 轴平行。
38. 设曲线L 的极坐标方程为()r r θ=，(,)M r θ为L 上的任一点，设0(2,0)M 是L 上的一定点。若极径0,OM OM 与曲线L 所围成的曲边扇形的面积值等于L 上(,)M r θ和0(2,0)M 两点间的弧长的一半。求曲线的方程。
39. 在某个人群中推广一种新技术是通过其中掌握了这项新技术的人进行的。该人群的总人数为N ，在开始时已经掌握新技术的人数为0x ，在任意时刻t 已经掌握新技术的人数为()x t ，由于人数较多，可以将()x t 视为连续可微变量。如果()x t 的变化率与已掌握新技术的人数和尚未掌握新技术的人数之积成正比，比例系数0k >。求()x t 的变化规律。
40. 从船上向大海沉方一科学测量仪器。按测量要求，需确定仪器下沉深度y （从海面算起）与下沉速度v 之间的关系。设仪器在重力作用下垂直下沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用。若仪器质量为m ，体积为B ，海水的比重为ρ，且仪器所受阻力与下沉速度成正比，比例系数0k >，试建立y 与v 所满足的微分方程，并求函数关系式。
41. 一颗子弹以速度0200v =m/s 打入一块厚为10cm 的板子，穿透板时的速度为80m/s 。设板对子弹的阻力与子弹速度的平方成正比。求子弹穿过板所用的时间。
42. 有一个30×30×12立方米的车间，空气中含有1.12%的二氧化碳，现用一台通风能力为每分钟1500立方米的鼓风机通入含有0，04%的二氧化碳的新鲜空气，同时用另一台同样通风能力的鼓风机把混合后的空气抽出。问鼓风机开动10分钟后，车间内的二氧化碳的百分比降到多少？
43. 有一 圆锥形容器，尖顶在下，底在上，顶角为2(045αα<
塞子拔去，让水流出。设水流出的速率为(01),v h μ=<<为该时水面与孔的高度差。问经过多少时间，水将流尽？
44. 沿水平方向作直线匀速飞行的麻雀的正上方50m 处有一只秃鹫，在麻雀的正下方100m 处有一只老鹰，鹫和鹰一起朝麻雀飞去捕食，并同时到达捕捉目标。设鹰的飞行速度是麻雀的2倍，问秃鹫的飞行速度是麻雀的多少倍？
45. 狗与其主人在岸边隔岸相对，河水以常速流动。狗以在静水中2km/小时的游速游向对岸，在全部游程中狗一直保持着朝主人的方向游去。如果狗游到河宽三分之二的地方才停止向下游漂流。又狗游过河的时间要比静水中过河多用5分钟，问河宽为多少？
46. 制导鱼雷试验场有相距70km的两个发射点B和C，设一模拟敌舰在B、C连线上某点处以速率v沿垂直于BC 的方向行驶，与此同时由B,C发出的制导鱼雷分别以5v和3v的速率一直对准敌舰追击，最终两鱼雷同时击中敌舰。求两鱼雷各自的运动轨迹。
第1章建模与仿真的基本概念 参照P8例子，列举一个你相对熟悉的简单实际系统为例，采用非形式描述出来。 第2章建模方法论 1、什么是数学建模形式化的表示？试列举一例说明形式化表示与非形式化表示的区别。 模型的非形式描述是说明实际系统的本质，但不是详尽描述。是对模型进行深入研究的基础。主要由模型的实体、包括参变量的描述变量、实体间的相互关系及有必要阐述的假设组成。模型的非形式描述主要说明实体、描述变量、实体间的相互关系及假设等。 例子：环形罗宾服务模型的非形式描述： 实体 CPU，USR1，…，USR5 描述变量 CPU:Who,Now(现在是谁)----范围{1,2,…,5}; Who.Now=i表示USRi由CPU服务。 USR：Completion.State（完成情况）----范围[0，1]；它表示USR完成整个程序任务的比例。参变量 X-----范围[0，1]；它表示USRi每次完成程序的比率。 i 实体相互关系 （1）CPU 以固定速度依次为用户服务，即Who.Now为1，2，3，4，5，1，2…..循环运行。 X工作。假设：CPU对USR的服务时间固定，不（2）当Who.Now=I,CPU完成USRi余下的 i X决定。 依赖于USR的程序；USRi的进程是由各自的参变量 i 2、何谓“黑盒”“白盒”“灰盒”系统？ “黑盒”系统是指系统内部结构和特性不清楚的系统。对于“黑盒”系统，如果允许直接进行实验测量并通过实验对假设模型加以验证和修正。对属于黑盒但又不允许直接实验观测的系统，则采用数据收集和统计归纳的方法来假设模型。 对于内部结构和特性清楚的系统，即白盒系统，可以利用已知的一些基本定律，经过分析和演绎导出系统模型。 3、模型有效性和模型可信性相同吗？有何不同？ 模型的有效性可用实际系统数据和模型产生的数据之间的符合程度来度量。它分三个不同级别的模型有效：复制有效、预测有效和结构有效。不同级别的模型有效，存在不同的行为水平、状态结构水平和分解结构水平的系统描述。 模型的可信度指模型的真实程度。一个模型的可信度可分为： 在行为水平上的可信性，即模型是否重现真实系统的行为。 在状态结构水平上可信性，即模型能否与真实系统在状态上互相对应，通过这样的模型可以对未来的行为进行唯一的预测。 在分解结构水平上的可信性，即模型能否表示出真实系统内部的工作情况，而且是惟一表示出来。 不论对于哪一个可信性水平，可信性的考虑贯穿在整个建模阶段及以后各阶段，必须考虑以下几个方面： 1在演绎中的可信性。2在归纳中的可信性。3在目的方面的可信性。 4、基于计算机建模方法论与一般建模方法论有何不同？（P32） 经典的建模与仿真的主要研究思路，首先界定研究对象-实际系统的边界和建模目标，利用已有的数学建模工具和成果，建立相应的数学模型，并用计算装置进行仿真。这种经典的建
常微分方程在数学建模中的应用 这里介绍几个典型的用微分方程建立数学模型的例子. 一、人口预测模型 由于资源的有限性,当今世界各国都注意有计划地控制人口的增长,为了得到人口预测模型,必须首先搞清影响人口增长的因素,而影响人口增长的因素很多,如人口的自然出生率、人口的自然死亡率、人口的迁移、自然灾害、战争等诸多因素,如果一开始就把所有因素都考虑进去，则无从下手.因此,先把问题简化,建立比较粗糙的模型,再逐步修改,得到较完善的模型. 例1（ 马尔萨斯 （Malthus ） 模型） 英国人口统计学家马尔萨斯（1766—1834）在担任牧师期间,查看了教堂100多年人口出生统计资料,发现人口出生率是一个常数,于1789年在《人口原理》一书中提出了闻名于世的马尔萨斯人口模型,他的基本假设是：在人口自然增长过程中,净相对增长（出生率与死亡率之差）是常数,即单位时间内人口的增长量与人口成正比,比例系数设为r ,在此假设下,推导并求解人口随时间变化的数学模型. 解 设时刻t 的人口为)(t N ,把)(t N 当作连续、可微函数处理（因人口总数很大,可近似地这样处理,此乃离散变量连续化处理）,据马尔萨斯的假设,在t 到t t ?+时间段内,人口的增长量为 t t rN t N t t N ?=-?+)()()(, 并设0t t =时刻的人口为0N ,于是 ?????==． ， 00)(d d N t N rN t N 这就是马尔萨斯人口模型,用分离变量法易求出其解为 )(00e )(t t r N t N -=, 此式表明人口以指数规律随时间无限增长. 模型检验：据估计1961年地球上的人口总数为9 1006.3?,而在以后7年中,人口总数以每年2%的速度增长,这样19610=t ,901006.3?=N ,02.0=r ,于是 ) 1961(02.09 e 1006.3)(-?=t t N . 这个公式非常准确地反映了在1700—1961年间世界人口总数.因为,这期间地球上的人 口大约每35年翻一番,而上式断定34.6年增加一倍（请读者证明这一点）． 但是,后来人们以美国人口为例,用马尔萨斯模型计算结果与人口资料比较,却发现有很大的差异,尤其是在用此模型预测较遥远的未来地球人口总数时,发现更令人不可思议的问题,如按此模型计算,到2670年,地球上将有36 000亿人口.如果地球表面全是陆地（事实上,地球表面还有80%被水覆盖）,我们也只得互相踩着肩膀站成两层了,这是非常荒谬的,因此,这一模型应该修改. 例2（逻辑Logistic 模型） 马尔萨斯模型为什么不能预测未来的人口呢？这主要是地
微分方程应用 1 引言 常微分方程的形成与发展和很多学科有着密切的联系，例如力学、天文学、物理学等.数学的其他分支的快速发展，产生出很多新兴学科，这些新兴学科的产生都对常微分方程的发展有着深刻的影响，而且当前计算机的快速发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具. 数学解决实际问题就必须建立模型，而数学建模就是把数学语言描述实际现象的过程.利用数学去解决各类实际问题时，建立数学模型是十分重要的一步，但是也是最困难的一步.建立数学模型的过程，是把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构的过程.要通过大量调查、收集相关数据资料，观察和研究实际对象的固有特征和内在规律，抓住问题的主要矛盾，建立起反映实际问题的数量关系，然后利用数学的理论和方法去分析和解决问题. 因此本文先简要介绍了如何建立微分方程模型，并通过具体的实例来简单地介绍了微分方程在数学建模中的应用. 2 数学模型简介 通常我们把现实问题的一个模拟称为模型．如交通图、地质图、航空模型和建筑模型等．利用字母、数学及其它数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图象、框图等来模拟现实的模型称为数学模型．数学模型在实际生活中经常碰到，如求不规则图形的面积，可建立定积分的数学模型，求变化率的问题可建立导数模型，统计学中抽样调查，买彩票中奖的概率问题等等．学会建立数学模型对解决实际生活问题会有很大的帮助． 建立数学模型是沟通摆在面前的实际问题与数学工具之间联系的一座必不可少的桥梁．随着科学技术的进步，特别是电子计算机技术的迅速发展，数学已经渗透到从自然科学技术到工农业生产建设，从经济生活到社会生活的各个领域．一般地说，当实际问题需要我们对所研究的现实对象提供分析、预报、决策、控制等方面的定量结果时，往往都离不开数学的应用，而建立数学模型则是这个过程的关键环节． 3 常微分方程模型 3．1 常微分方程的简介
第五章微分方程建模案例 微分方程作为数学科学的中心学科，已经有三百多年的发展历史，其解法和理论已日臻完善，可以为分析和求得方程的解（或数值解）提供足够的方法，使得微分方程模型具有极大的普遍性、有效性和非常丰富的数学涵。微分方程建模包括常微分方程建模、偏微分方程建模、差分方程建模及其各种类型的方程组建模。微分方程建模对于许多实际问题的解决是一种极有效的数学手段，对于现实世界的变化，人们关注的往往是其变化速度、加速度以及所处位置随时间的发展规律，其规律一般可以用微分方程或方程组表示，微分方程建模适用的领域比较广，涉及到生活中的诸多行业，其中的连续模型适用于常微分方程和偏微分方程及其方程组建模，离散模型适用于差分方程及其方程组建模。本章主要介绍几个简单的用微分方程建立的模型，让读者一窥方程的应用。下面简要介绍利用方程知识建立数学模型的几种方法： 1．利用题目本身给出的或隐含的等量关系建立微分方程模型 这就需要我们仔细分析题目，明确题意，找出其中的等量关系，建立数学模 型。 例如在光学里面，旋转抛物面能将放在焦点处的光源经镜面反射后成为平行光线，为了证明具有这一性质的曲线只有抛物线，我们就是利用了题目中隐含的条件——入射角等于反射角来建立微分方程模型的。 2．从一些已知的基本定律或基本公式出发建立微分方程模型
我们要熟悉一些常用的基本定律、基本公式。例如从几何观点看，曲线 y y(x)上某点的切线斜率即函数y y(x)在该点的导数；力学中的牛顿第二运 动定律：F ma ，其中加速度a 就是位移对时间的二阶导数，也是速度对时间 的一阶导数等等。从这些知识出发我们可以建立相应的微分方程模型。 例如在动力学中，如何保证高空跳伞者的安全问题。对于高空下落的物体， 我们可以利用牛顿第二运动定律建立其微分方程模型， 设物体质量为m ，空气阻 力 系数为k ，在速度不太大的情况下，空气阻力近似与速度的平方成正比；设时 刻t 时物体的下落速度为v ，初始条件：v (o ) 0.由牛顿第二运动定律建立其微 分方程模型: 求解模型可得: 体在地面上的投影面积。根据极限速度求解式子，在m,, 一定时，要求落地速 度w 不是很大时，我们可以确定出s 来，从而设计出保证跳伞者安全的降落伞的 直径大小来 3?利用导数的定义建立微分方程模型 dv m 一 dt mg kv 2 ? k(exp[2t 由上式可知，当t 其中，阻力系数k 1) 时，物体具有极限速度: lim v t mg :k ， s ， 为与物体形状有关的常数, 为介质密度，s 为物 、mg(exp[2t 1)
重庆交通大学 学生实验报告 实验课程名称数学建模 ^ 开课实验室数学实验室 学院信息院11 级软件专业班 1 班 学生姓名 学号 ￥ 开课时间2013 至2014 学年第 1 学期
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/ 实验一 钢管下料问题 摘要 ( 生产中常会遇到通过切割、剪裁、冲压等手段,将原材料加工成规定大小的某种,称为原料下料问题.按照进一步的工艺要求,确定下料方案,使用料最省,或利润最大是典型的优化问题.下面我们采用数学规划模型建立线性规划模型并借助LINGO 来解决这类问题. 关键词线性规划最优解钢管下料 一，问题重述 1、问题的提出 某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客的要求切割出售．从钢管厂进货得到的原材料的钢管的长度都是1850mm ，现在一顾客需要15根290 mm，28根315 mm，21根350 mm和30根455 mm的钢管．为了简化生产过程，规定所使用的切割模式的种类不能超过4种，使用频率最高的一种切割模式按照一根原料钢管价值的1/10增加费用，使用频率次之的切割模式按照一根原料钢管价值的2/10增加费用，以此类推，且每种切割模式下的切割次数不能太多（一根原钢管最多生产5根产品），此外为了减少余料浪费，每种切割模式下的余料浪费不能超过100 mm，为了使总费用最小，应该如何下料 ` 2、问题的分析 首先确定合理的切割模式，其次对于不同的分别进行计算得到加工费用，通
过不同的切割模式进行比较，按照一定的排列组合，得最优的切割模式组，进而使工加工的总费用最少. 二，基本假设与符号说明 1、基本假设 假设每根钢管的长度相等且切割模式理想化.不考虑偶然因素导致的整个切割过程无法进行. 2、定义符号说明 （1）设每根钢管的价格为a ，为简化问题先不进行对a 的计算. （2）四种不同的切割模式：1x 、2x 、3x 、4x . 》 （3）其对应的钢管数量分别为：i r 1、i r 2、i r 3、i r 4（非负整数）. 三、模型的建立 由于不同的模式不能超过四种，可以用i x 表示i 按照第种模式（i =1,2,3,4）切割的原料钢管的根数，显然它们应当是非负整数.设所使用的第i 种切割模式下 每根原料钢管生产290mm ，315mm,,350mm 和455mm 的钢管数量分别为i r 1，i r 2，i r 3，i r 4（非负整数）. 决策目标 切割钢管总费用最小，目标为： Min=（1x ?+2x ?+3x ?+4x ?）?a (1) 为简化问题先不带入a 约束条件 为满足客户需求应有 11r ?1x +12r ?2x +13r ?3x +14r ?4x ≧15 (2) ( 21r ?1x +22r ?2x +23r ?3x +24r ?4x ≧28 (3) 31r ?1x +32r ?2x +33r ?3x +34r ?4x ≧21 (4) 41r ?1x +42r ?2x +43r ?3x +44r ?4x ≧15 (5) 每一种切割模式必须可行、合理，所以每根钢管的成品量不能大于1850mm 也不能小于1750mm.于是： 1750≦290?11r +315?21r +350?31r +455?41r ≦1850 （6） 1750≦290?12r +315?22r +350?32r +455?42r ≦1850 （7） 1750≦290?13r +315?23r +350?33r +455?43r ≦1850
微分方程 列微分方程常用的方法： （1）根据规律列方程 利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或经过实验检验的规律来建 立微分方程模型。 （2）微元分析法 利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系式，与第一种方法不同的是对 微元而不是直接对函数及其导数应用规律。 （3）模拟近似法 在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象的规律性不很清楚，即使有 所了解也是极其复杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际的现象，建立能 近似反映问题的微分方程，然后从数学上求解或分析所建方程及其解的性 质，再去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、模拟某些实际现象。 一、模型的建立与求解 1.1传染病模型 （1）基础模型 假设：t时刻病人人数() x t连续可微。每天每个病人有效接触（使病人治病的接触）的人数为λ，0 t=时有0x个病人。 +?病人人数增加 建模：t到t t
()()()x t t x t x t t λ+?-=? （1） 0,(0)dx x x x dt λ== （2） 解得： 0()t x t x e λ= （3） 所以，病人人数会随着t 的增加而无限增长，结论不符合实际。 （2）SI 模型 假设：1.疾病传播时期，总人数N 保持不变。人群分为两类，健康者占总人数的比例为s(t),病人占总人数的比例为i(t)。 2.每位病人每天平均有效接触λ人，λ为日接触率。有效接触后健康者变为病人。 依据：患病人数的变化率=Ni(t)(原患病人数)* λs(t)(每个病人每天使健康人变为病人的人数) 建模： di N Nsi dt λ= （4） 由于 ()()1s t i t += （5） 设t=0时刻病人所占的比例为0i ，则可建立Logistic 模型 0(1),(0)di i i i i dt λ=-= （6）
31微分方程与微分方 程建模法
第三章微分方程模型 3.1微分方程与微分方程建模法 一、微分方程知识简介 我们要掌握常微分方程的一些基础知识，对一些可以求解的微分方程及其方程组，要求掌握其解法，并了解一些方程的近似解法。 微分方程的体系：(1)初等积分法（一阶方程及几类可降阶为一阶的方程） ?Skip Record If...?(2)一阶线性微分方程组（常系数线性微分方程组的解法） ?Skip Record If...?(3)高阶线性微分方程（高阶线性常系数微分方程解法）。其中还包括了常微分方程的基本定理。 0．常数变易法：常数变易法在上面的（1）（2）（3）三部分中都出现过，它是由线性齐次方程（一阶或高阶）或方程组的解经常数变易后求相应的非齐次方程或方程组的解的一种方法。 1．初等积分法：掌握变量可分离方程、齐次方程的解法，掌握线性方程的解法，掌握全微分方程（含积分因子）的解法，会一些一阶隐式微分方程的解法（参数法），会几类可以降阶的高阶方程的解法（恰当导数方程）。 分离变量法：（1）可分离变量方程： ?Skip Record If...? (2) 齐次方程：?Skip Record If...? 常数变易法：(1) 线性方程，?Skip Record If...??Skip Record If...?
(2) 伯努里方程，?Skip Record If...??Skip Record If...? 积分因子法：化为全微分方程，按全微分方程求解。 对于一阶隐式微分方程?Skip Record If...?有 参数法：(1) 不含x或y的方程:?Skip Record If...? (2) 可解出x或y的方程：?Skip Record If...? 对于高阶方程，有 降阶法：?Skip Record If...? 恰当导数方程 一阶方程的应用问题（即建模问题）。 2．一阶线性微分方程组：本部分主要内容有：一是一阶线性微分方程组的基本理论（线性齐次、非齐次微分方程组的通解结构，刘维尔公式等），二是常系数线性微分方程组的解法（求特征根，单根与重根[待定系数法]），三是常数变易法。本部分内容与线性代数关系密切，如线性空间，向量的线性相关与线性无关，基与维数，特征方程、特征根与特征向量，矩阵的若当标准型等。3．高阶线性微分方程：了解高阶线性微分方程的基本理论（线性齐次、非齐次微分方程的通解结构，刘维尔公式等）； n阶线性常系数微分方程解法：（1）求常系数齐次线性微分方程基本解组的待定指数函数法；（2）求一般非齐次线性方程解的常数变易法；（3）求特
钢管下料问题 某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客的要求切割后售出，从钢管厂进货时得到的原料钢管都是19m 。 (1）现在一客户需要50根4m 、20根6m 和15根8m 的钢管。应如何下料最节省？ (2) 零售商如果采用的不同切割模式太多，将会导致生产过程的复杂化，从而增加生产和管理成本，所以该零售商规定采用的不同切割模式不能超过3种。此外，该客户除需要（1）中的三种钢管外，还需要10根5m 的钢管。应如何下料最节省。 问题（1）分析与模型建立 首先分析1根19m 的钢管切割为4m 、6m 、8m 的钢管的模式，所有模式相当于求解不等式方程： 12346819 k k k ++≤ 的整数解。但要求剩余材料12319(468)4r k k k =-++<。 容易得到所有模式见表1。 决策变量 用i x 表示按照第i 种模式(i=1,2,…，7)切割的原料钢管的根数。 以切割原料钢管的总根数最少为目标，则有 1234567min z x x x x x x x =++++++ 约束条件 为满足客户的需求，4米长的钢管至少50根，有
1236743250x x x x x ++++≥ 6米长的钢管至少20根，有 25673220x x x x +++≥ 8米长的钢管至少15根，有 346215x x x ++≥ 因此模型为： 1234567min z x x x x x x x =++++++ 123672567346432503220..215,1,2,,7 i x x x x x x x x x s t x x x x i ++++≥??+++≥??++≥??=? 取整 解得： 12345670,12,0,0,0,15,0x x x x x x x ======= 目标值z=27。 即12根钢管采用切割模式2：3根4m ，1根6m ，余料1m 。 15根钢管采用切割模式6：1根4m ，1根6m ，1根8m ，余料1m 。 切割模式只采用了2种，余料为27m ，使用钢管27根。 LINGO 程序： model: sets: model/1..7/:x; endsets min=x(1)+x(2)+x(3)+x(4)+x(5)+x(6)+x(7); 4*x(1)+3*x(2)+2*x(3)+x(6)+x(7)>=50; x(2)+3*x(5)+x(6)+2*x(7)>=20; x(3)+2*x(4)+x(6)>=15; @for(model(i):@gin(x(i))); end 问题（2）模型建立 首先分析1根19m 的钢管切割为4m 、6m 、8m 、5m 的钢管的模式，所有模式相当
常微分方程的建模训练 各位同学： 欢迎大家开始《高等数学》课程的第二阶段的学习。本次辅导材料是关于建立微分方程的模型，主要目的有2个。一是开阔大家的视野，二是练习如何将一个实际问题用数学语言描述出来，也就是平时讲的建模，这是一个理工科学生的最重要的基本功之一。希望大家努力掌握之。 建立微分方程的途径主要有： 1）根据问题的性质，利用相应学科已经知道的客观规律，比如研究物体的运动，在已知外力的情况下，可运用著名的牛顿第二定律；研究热力学问题，可以用热力学定律，研究电路问题就可以用电路的基尔霍夫定律等。 2）对于一些没有明显规律可用时，可以考虑应用微元法（上学期学习积分时已经学习过），这时，需要考虑的是在自变量[,d] +的微段d x中，函数的增 x x x 量的微分表达式。 本次材料包括的题目不少，你可能没有太多的时间做。没有关系，可以边学边做，或有空时做，拳不离手，曲不离口，功夫是逐渐炼成的。要注意的是，对一个确定的问题，仅仅列出微分方程是不够的，还要有一组初始条件或边界条件，才能使微分方程的通解具体化，称为一个对应与问题本身的特解！如何列出这样的条件，也需要训练你的观察能力，因为很多题目中，这些条件常隐含在题目的叙述中。 本次练习不要求你去求解这些方程，但随着我们课堂的进度，当你学会微分方程的求解后，你再去求解它们。 好，开始吧！ 1. 有一类物质具有放射性，根据观察，放射性元素的质量随时间推移而逐渐减少，这种现象称为衰变。由实验测定，每一时刻放射性元素镭的衰变率（即质量减少的速率）与该时刻 λ>。求镭的衰变规律。 的镭的质量成正比，比例系数0 又由经验判断，镭经过1600年后，只剩下原始量的一半，求镭的质量R与时间t的函数关系。 2. 物理上把已知物体质量和外力的条件下，求物体的运动规律的问题称为动力学问题。物 s t来表示。 体的运动可用它的位移量() 已知物体质量为m的物体在外力F的作用下沿外力的方向作直线运动。试根据下列提供的外力特点，求物体的运动规律： 1）外力为地球重力； 2）外力为与其速度的平方成反比的阻力； 3）外力为与其位移成正比，但方向相反的弹性恢复力；
微分方程 列微分方程常用的方法： （1）根据规律列方程 利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或经过实验检验的规律来建立微分方程模型。 （2）微元分析法 利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系式，与第一种方法不同的是对微元而不是直接对函数及其导数应用规律。 （3）模拟近似法 在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其复杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际的现象，建立能近似反映问题的微分方程，然后从数学上求解或分析所建方程及其解的性质，再去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、模拟某些实际现象。 一、模型的建立与求解 1.1传染病模型 （1）基础模型 假设：t 时刻病人人数()x t 连续可微。每天每个病人有效接触（使病人治病的接触）的人数为λ，0t =时有0x 个病人。 建模：t 到t t +?病人人数增加 ()()()x t t x t x t t λ+?-=?（1） 0,(0)dx x x x dt λ==（2） 解得： 0()t x t x e λ=（3） 所以，病人人数会随着t 的增加而无限增长，结论不符合实际。 （2）SI 模型
假设：1.疾病传播时期，总人数N 保持不变。人群分为两类，健康者占总人数的比例为s(t),病人占总人数的比例为i(t)。 2.每位病人每天平均有效接触λ人，λ为日接触率。有效接触后健康者变为病人。 依据：患病人数的变化率=Ni(t)(原患病人数)*λs(t)(每个病人每天使健康人变为病人的人数) 建模： di N Nsi dt λ=（4） 由于 ()()1s t i t +=（5） 设t=0时刻病人所占的比例为0i ，则可建立Logistic 模型 0(1),(0)di i i i i dt λ=-=（6） 解得： 01()111kt i t e i -= ??+- ??? （7） 用Matlab 绘制图1()~i t t ，图2 ~di i dt 图形如下， 结论：在不考虑治愈情况下
数学建模第三次作业 下料问题 摘要 本文是针对如何对钢管进行下料问题，根据题目要求以及下料时有关问题进行建立切割费用最少以及切割总根数最少两个目标函数通过结果分析需要使用何种切割模式。 生产方式所花费的成本价格或多或少有所不同，如何选取合理的生产方式以节约成本成为了很多厂家的急需解决的问题。这不仅仅关系到厂家的利益，也影响到一个国家甚至整个人类星球的可利用资源，人们的生活水平不断提高对物资的需求量也不断上升，制定有效合理的生产方式不仅可以为生产者节约成本也可以为社会节约资源，以达到资源利用最大化。本文以用于切割钢管花费最省及切割总根数最少为优化目标，通过构建多元函数和建立线性整数规划模型，利用数学及相关方面的知识对钢管的切割方式进行优化求解最佳方案。 本文最大的特色在于通过求解出切割钢管花费最省及切割总根数最少时分别得出两种目标函数取最小值时的切割模式。通过结果发现两种目标函数取最小值时所需切割根数都一样。于是选择切割钢管花费最省为目标函数，此时的切割模式达到最少，这样既满足了总根数最小有满足了切割费用最小。 关键词：切割模式LINGO软件线性整数
一、问题的提出 某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客的要求切割后出售。从钢管厂进货时得到的原料钢管的长度都是1850mm。现有一客户需要15根290mm、28根315mm、21根350mm和30根455mm的钢管。为了简化生产过程，规定所使用的切割模式的种类不能超过4种，使用频率最高的一种切割模式按照一根原料钢管价值的1/10增加费用，使用频率次之的切割模式按照一根原料钢管价值的2/10增加费用，依次类推，且每种切割模式下的切割次数不能太多（一根钢管最多生产5根产品）。此外，为了减少余料浪费，每种切割模式下的余料不能超过100mm。为了使总费用最小，应如何下料？ 二、基本假设 1、假设所研究的每根钢管的长度均为1850mm的钢管。 2、假设每次切割都准确无误。 3、假设切割费用短时间内不会波动为固定值。 5、假设钢管余料价值为0. 6、假设一切运作基本正常不会产生意外事件。 7、每一根钢管的费用都一样，为一常值。 三、符号说明
实验报告 课程名称：数学建模 课题名称：求解常微分方程与人口模型 专业：信息与计算科学 姓名：胡家炜 班级： 123132 完成日期： 2016 年 6 月 10 日
一．求解微分方程的通解 (1). dsolve('2*x^2*y*Dy=y^2+1','x') ans = (exp(C3 - 1/x) - 1)^(1/2) -(exp(C3 - 1/x) - 1)^(1/2) i -i (2). dsolve('Dy=(y+x)/(y-x)','x') ans = x + 2^(1/2)*(x^2 + C12)^(1/2) x - 2^(1/2)*(x^2 + C12)^(1/2) (3). dsolve('Dy=cos(y/x)+y/x','x') ans = (pi*x)/2-x*log(-(exp(C25 + log(x)) - i) /(exp(C25 + log(x))*i - 1))*i (4). dsolve('(x*cos(y)+sin(2*y))*Dy=1','x') ans = -asin(x/2 + lambertw(0, -(C30*exp(- x/2 - 1))/2) + 1) (5). dsolve('D2y+3*Dy-y=exp(x)*cos(2*x)','x') ans = C32*exp(x*(13^(1/2)/2 - 3/2)) + C33*exp(-x*(13^(1/2)/2 + 3/2)) + (13^(1/2)*exp(x*(13^(1/2)/2-3/2))*exp((5*x)/2(13^(1/2)*x)/2)* (2*sin(2*x) - cos(2*x)*(13^(1/2)/2 - 5/2)))/(13*((13^(1/2)/2 - 5/2)^2 +4))-(13^(1/2)*exp(x*(13^(1/2)/2+3/2))*exp((5*x)/2 +(13^(1/2)*x)/2)*(2*sin(2*x)+cos(2*x)*(13^(1/2)/2+5/2))) /(13*((13^(1/2)/2 + 5/2)^2 + 4)) （6）dsolve('D2y+4*y=x+1+sin(x)','x') ans = cos(2*x)*(cos(2*x)/4 - sin(2*x)/8 + sin(3*x)/12 - sin(x)/4 + (x*cos(2*x))/4 - 1/4) + sin(2*x)*(cos(2*x)/8 - cos(3*x)/12 + sin(2*x)/4 + cos(x)/4 + (x*sin(2*x))/4 + 1/8) + C35*cos(2*x) + C36*sin(2*x)
3.下料问题 班级：计科0901班姓名：徐松林学号：2009115010130 摘要： 本文建立模型，以最少数量的原材料以及最少的余料浪费来满足客户的需求。主要考虑到两方面的问题。钢管零售商是短时间内出售钢管，则应该以最少原材料根数为目标函数来建模模型；钢管零售商是长时间内出售钢管，则应该以最少余料浪费为目标函数。有效地使用背包问题及线性规划、非线性规划等算法，算出最优解。特别是钢管零售商是短时间内出售钢管，需要分析切割模式的种类1到4种的各个情况的整数最优解，再依次比较每个情况的最优解得出总的最优解。 关键词：余料、原材料、加工费、总费用。 一、问题背景 工厂在实际生产中需要对标准尺寸的原材料进行切割，以满足进一步加工的需要，成为下料问题。 相关数据表明，原材料成本占总生产成本的百分比可以高达45%～60%，而下料方案的优劣直接影响原材料的利用率，进而影响原材料成本。因此需要建立优化的下料方案，以最少数量的原材料以及最少的余料浪费，尽可能按时完成需求任务。 二．问题描述及提出 某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客的要求切割后售出.从钢管厂进货时得到的原料钢管长度都是1850mm.现有一客户需要15根290mm、28根315mm、21根350mm 和30根455mm的钢管.为了简化生产过程，规定所使用的切割模式的种类不能超过4种，使用频率最高的一种切割模式按照一根原料钢管价值的1/10增加费用，使用频率次之的切割模式按照一根原料钢管价值的2/10增加费用，依此类推，且每种切割模式下的切割次数不能太多（一根原料钢管最多生产5根产品）。此外，为了减少余料浪费，每种切割模式下的余料浪费不能超过100mm.为了使总费用最小，应如何下料？ 在该目标下要求考虑下面两个问题： 1.若钢管零售商是短时间内出售钢管（即每次将钢管按照顾客的要求切割后售 出，多余的零件不准备下次售出），则每次应该以最少原材料根数为目标函数。
第八节 数学建模——微分方程的应用举例 微分方程在物理学、力学、经济学和管理科学等实际问题中具有广泛的应用，本节我们将集中讨论微分方程的实际应用，尤其是微分方程经济学中的应用. 读者可从中感受到应用数学建模的理论和方法解决实际问题的魅力. 分布图示 ★衰变问题 ★逻辑斯谛方程 ★价格调整问题 ★人才分配问题 内容要点： 一、衰变问题 镭、铀等放射性元素因不断放射出各种射线而逐渐减少其质量, 这种现象称为放射性物质的衰变. 根据实验得知, 衰变速度与现存物质的质量成正比, 求放射性元素在时刻t 的质量. 用x 表示该放射性物质在时刻t 的质量, 则 dt dx 表示x 在时刻t 的衰变速度, 于是“衰变速度与现存的质量成正比”可表示为 .kx dt dx -= (8.1) 这是一个以x 为未知函数的一阶方程, 它就是放射性元素衰变的数学模型, 其中0>k 是比例常数, 称为衰变常数, 因元素的不同而异. 方程右端的负号表示当时间t 增加时, 质量x 减少. 解方程(8.1)得通解.kt Ce x -=若已知当0t t =时, ,0x x =代入通解kt Ce x -=中可得,00kt e x C -= 则可得到方程(8.1)特解 ,)(00t t k e x x --= 它反映了某种放射性元素衰变的规律. 注: 物理学中, 我们称放射性物质从最初的质量到衰变为该质量自身的一半所花费的时间为半衰期, 不同物质的半衰期差别极大. 如铀的普通同位素( U 238)的半衰期约为50亿年;通常的镭( Ra 226)的半衰期是上述放射性物质的特征, 然而半衰期却不依赖于该物质的初始量, 一克Ra 226 衰变成半克所需要的时间与一吨Ra 226衰变成半吨所需要的时间同样都是1600年, 正是这种事实才构成了确定考古发现日期时使用的著名的碳-14测验的基础.
毕业论文 论文题目：常微分方程在数学建模中的应用姓名： 学科专业： 指导教师： 完成时间：
常微分方程是数学理论（特别是微积分）联系实际的重要工具，它不仅与几何学、力学、电子技术、自动控制、星际航行、甚至和化学、生物学、农业以及经济学都有着密切的联系。本文结合实践背景，建立数学模型，并利用所得结果去解释某些实际问题。 关键字常微分方程、人口预测模型、市场价格模型、混合溶液的数学模型、震动模型
第一章人口预测模型 第二章市场价格模型 第三章混合溶液的数学模型第四章震动模型
绪论 当我们描述实际对象的某些特性随时间（或空间）而演变的过程、分析它的变化规律、预测它的未来性态，研究它的控制手段时，通常要建立对象的动态模型。建模时首先要根据建模目的和对问题的具体分析作出简化假设，然后按照对象在的或可以类比的其他对象的规律列出微分方程，求出方程的解并将结果翻译回实际对象，就可以进行描述、分析、预测或控制了。 事实上在微分方程课程中，解所谓应用题时我们遇到简单的建立动态模型问题，例如“一质量为m的物体自高h处自由下落，初速度是零，设阻力与下落速度的平方成正比，比例系数为k，求下落速度随时间的变化规律。”又如“容器有盐水100L,含盐10kg,令以3L/min的速度从一管放进净水，以2L/min的速度从另一管抽出盐水，设容器盐水浓度始终是均匀的，求容器含盐量随时间变化规律。”本文讨论的是常微分方程在数学建模中的应用。
第一章 人口预测模型 由于资源的有限性,当今世界各国都注意有计划地控制人口的增长,为了得到人口预测模型,必须首先搞清影响人口增长的因素,而影响人口增长的因素很多,如人口的自然出生率、人口的自然死亡率、人口的迁移、自然灾害、战争等诸多因素,如果一开始就把所有因素都考虑进去，则无从下手.因此,先把问题简化,建立比较粗糙的模型,再逐步修改,得到较完善的模型. 例1（马尔萨斯（Malthus ）模型） 英国人口统计学家马尔萨斯（1766—1834）在担任牧师期间,查看了教堂100多年人口出生统计资料,发现人口出生率是一个常数,于1789年在《人口原理》一书中提出了闻名于世的马尔萨斯人口模型,他的基本假设是：在人口自然增长过程中,净相对增长（出生率与死亡率之差）是常数,即单位时间人口的增长量与人口成正比,比例系数设为r ,在此假设下,推导并求解人口随时间变化的数学模型. 解 设时刻t 的人口为)(t N ,把)(t N 当作连续、可微函数处理（因人口总数很大,可近似地这样处理,此乃离散变量连续化处理）,据马尔萨斯的假设,在t 到t t ?+时间段,人口的增长量为 t t rN t N t t N ?=-?+)()()(, 并设0t t =时刻的人口为0N ,于是 ?????==． ，00)(d d N t N rN t N 这就是马尔萨斯人口模型,用分离变量法易求出其解为 )(00e )(t t r N t N -=, 此式表明人口以指数规律随时间无限增长. 模型检验：据估计1961年地球上的人口总数为91006.3?,而在以后7年中,人口总数以每年2%的速度增长,这样19610=t ,901006.3?=N ,02.0=r ,于是 )1961(02.09e 1006.3)(-?=t t N . 这个公式非常准确地反映了在1700—1961年间世界人口总数.因为,这期间
北方民族大学学士学位论文 论文题目:常微分方程在数学建模中的应用 院(部)名称:信息与计算科学学院 学生姓名:马木沙 专业:信计学号:20093490 指导教师姓名:魏波 论文提交时间: 论文答辩时间: 学位授予时间: 北方民族大学教务处制
摘要 本文利用常微分方程和数学建模二者之间的联系，了解微分方程的一般理论、微分方程解的存在惟一性、微分方程的稳定性问题、通过几个典型的数学模型如：人口模型、减肥的数学模型、化工车间通风模型、传染病的传播模型及定性分析等例子来体现微分方程在数学建模中的应用. 用数学理论解决实际生活中的问题.微分方程的出现以及运用微分方程在数学建模中的应用，就是为了更好地使更多的人理解并运用数学理论，更好的解决实际生活中的问题.努力在各个领域利用并渗透数学知识的广泛运用. 关键词：常微分方程，数学建模，数学模型
Abstract In this paper, ordinary differential equations and mathematical modeling contact between the two, understand the general theory of differential equations, stability problems of the existence and uniqueness of differential equations, differential equations, several typical mathematical models such as: demographic model,example of the mathematical model of weight loss, chemical plant ventilation model, spread of infectious diseases, model and qualitative analysis to reflect the application of differential equations in mathematical modeling. found that the application of mathematical theory to study and solve problems in the actual process of the emergence of ordinary differential equations andOrdinary Differential Equations in Mathematical Modeling widely used, in order to better enable ordinary people to understand and use mathematical theory, solving real-world problems. sublimation theory by the knowledge-based transformation to the ability to type, highlight the differential equationsand differential equations in mathematical modeling efforts made outstanding and significant contribution in various fields. Keywords: ordinary differential equations, mathematical modeling, mathematical model.
钢管下料问题 摘要: 如何建立整数规划模型并得出整数规划模型的求解方法是本实验要点, 本题建立最常见的线性整数规划,利用分支定界法和Lingo 软件进行求解原料下料类问题，即生产中通过切割、剪裁、冲压等手段，将原材料加工成所需大小；按照工艺要求，确定下料方案，使所用材料最省，或利润最大。分支定界法可用于解纯整数或混合的整数规划问题，此方法灵活且便于用计算机求解，所以现在它已是解整数规划的重要方法。Lingo 软件的功能是可以求解非线性规划(也可以做线性规划,整数规划等)，特点是运算速度快，允许使用集合来描述大规模的优化问题。 大规模数学规划的描述分为四个部分： model: 1．集合部分（如没有，可省略） SETS: 集合名/元素1，元素2，…，元素n/：属性1，属性2，… ENDSETS 2．目标函数与约束部分 3．数据部分（如没有，可省略） 4．初始化部分（如不需要初始值，可省略） end 关键字：材料 Lingo 软件 整数规划 问题描述： 某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客的要求切割后售出，从钢管厂进货时得到的原料都是19米。 （1）现有一顾客需要50根4米、20根6米和15根8 米的钢管。应如何下料最节省？ （2）零售商如果采用的不同切割模式太多，将会导致生产过程的复杂化，从而增加生产和管理成本，所以该零售商规定采用的不同切割模式不能超过3种。此外，该客户除需要（1）中的三种钢管外，还需要10根5米的钢管。应如何下料最节省。 （1）问题简化： 问题1. 如何下料最节省 ? 节省的标准是什么？ 原料钢管:每根19米 4米50根 6米20根 8米15根
第二章 微分方程方法 在应用数学方法解决实际问题的过程中，很多时候，要直接导出变量之间的函数关系较为困难，但要导出包含未知函数的导数或微分的关系式却较为容易，在这种情况下，就需要我们建立微分方程模型来研究。事实上，微分方程是研究函数变化规律的有力工具，在物理、工程技术、经济管理、军事、社会、生态、环境、人口、交通等各个领域中有着广泛的应用.下面我们就介绍如何应用微分方程模型来解决实际问题. 利用微分方程解决的问题通常可以分为两类：一类问题要求把未知变量直接表示为已知量的函数，这时，有些问题可以求出未知函数的解析表达式，在很多情况下只能利用数值解法；另一类问题只要求知道未知函数的某些性质，或它的变化趋势，这时可以直接根据微分方程定性理论来研究. 2.1 微分方程的一般理论 2.1.1微分方程简介 所谓微分方程就是表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程.若未知函数是一元函数的微分方程, 叫常微分方程.而未知函数是多元函数的微分方程, 叫偏微分方程. 例如 ()x y y y y y 2sin 5'12''10'''44=+-+- （2.1.1） 2''12'50x y xy y -+= （2.1.2） 2(')0y xy += （2.1.3） 2'''0y y xy += （2.1.4） 01)(=+n y （2.1.5） 2t xx u a u = （2.1.6） 其中，方程（2.1.6）是偏微分方程，其他都是常微分方程. 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数, 叫微分方程的阶.例如，方程（2.1.1）是四阶微分方程，（2.1.3）是一阶微分方程.一般n 阶微分方程具有形式 F (x , y , y ', ? ? ? , y (n ) )=0 或