全等三角形练习
一、填空题：
1.如图，△ABC ≌△DEB ，AB =DE ，∠E =∠ABC ，则∠C 的对应角为 ，BD 的对应边为 .
2.如图，AD =AE ，∠1=∠2，BD =CE ，则有△ABD ≌△ ，理由是 ，△ABE ≌△ ，
理由是 .
（第1题） （第2题） （第4题） 3.已知△ABC ≌△DEF ，BC =EF =6cm ，△ABC 的面积为18平方厘米，则EF 边上的高是
cm.
4.如图，AD 、A′D′分别是锐角△ABC 和△A′B′C′中BC 与B′C′边上的高，且AB = A′B′，AD = A′D′，
若使△ABC ≌△A′B′C′，请你补充条件 （只需填写一个你认为适当的条件） 5. 若两个图形全等，则其中一个图形可通过平移、 或 与另一个三角形完全重合.
6. 如图，有两个长度相同的滑梯（即BC ＝EF ），左边滑梯的高度AC 与右边滑梯水平方向的
长度DF 相等，则∠ABC ＋∠DFE ＝___________度
（第6题） （第7题） （第8题） 7．已知：如图，正方形ABCD 的边长为8，M 在DC 上，且DM ＝2，N 是AC 上的一动点，则
DN ＋MN 的最小值为__________．
8．如图，在△ABC 中，∠B ＝90o ，D 是斜边AC 的垂直平分线与BC 的交点，连结AD ，若 ∠
DAC ：∠DAB ＝2：5，则∠DAC ＝___________．
9．如图，等腰直角三角形ABC 中，∠BAC ＝90o ，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，若AB ＋AD ＝8cm ，
则底边BC 上的高为___________．
M
N
D C
B
A
E
D
C
B
A
H
E
D
C
B
A
B ′
C ′
D ′
O ′
A ′
O
D
C B
A
（第14
10．如图，锐角三角形ABC 中，高AD 和BE 交于点H ，且BH ＝AC ，则∠ABC ＝__________度．
（第9题） （第10题） （第13题）
二、选择题：
11．已知在△ABC 中，AB =AC ，∠A =56°，则高BD 与BC 的夹角为（ ）
A ．28°
B ．34°
C ．68°
D ．62°
12．在△ABC 中，AB =3，AC =4，延长BC 至D ，使CD =BC ，连接AD ，则AD 的长的取值范围为
（ ）
A ．1＜AD ＜7
B ．2＜AD ＜14
C ．2.5＜A
D ＜5.5 D ．5＜AD ＜11
13．如图，在△ABC 中，∠C =90°，CA =CB ，AD 平分∠CAB 交BC 于D ，DE ⊥AB 于点E ，且AB =6，
则△DEB 的周长为（ ）
A ．4
B ．6
C ．8
D ．10 14．用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则说明 ∠A ′O ′B ′＝∠AOB 的依据是
A ．（S ．S ．S ．）
B ．（S ．A ．S ．）
C ．（A ．S ．A ．）
D ．（A ．A ．S ．
15. 对假命题“任何一个角的补角都不小于这个角”举反例，正确的反例是（ ）
A.∠α=60o，∠α的补角∠β=120o，∠β>∠α
B.∠α=90o，∠α的补角∠β=900o，∠β=∠α
C.∠α=100o，∠α的补角∠β=80o，∠β<∠α
D.两个角互为邻补角
16. △ABC 与△A′B′C ′中，条件①AB = A′B′，②BC = B′C′，③AC =A′C′，④∠A=∠A′，⑤∠
B =∠B′，⑥∠
C =∠C′，则下列各组条件中不能保证△ABC ≌△A′B′C′的是（ ） A. ①②③ B. ①②⑤ C. ①③⑤ D. ②⑤⑥
17．如图，在△ABC 中，AB =AC ，高BD ，CE 交于点O ，AO 交BC 于点F ，则图中共有全等三角形（ ）
A ．7对
B ．6对
C ．5对
D ．4对
D C
B
A
18．如图，在△ABC 中，∠C =90°，AC =BC ，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，DE ⊥AB 于点E ，若
△DEB 的周长为10cm ，则斜边AB 的长为（ ）
A ．8 cm
B ．10 cm
C ．12 cm
D ． 20 cm
19．如图，△ABC 与△BDE 均为等边三角形，AB ＜BD ，若△ABC 不动，将△BDE 绕点B 旋转，
则在旋转过程中，AE 与CD 的大小关系为（ ）
A ．AE =CD
B ．AE ＞CD
C ．AE ＜C
D D ．无法确定
20．已知∠P =80°，过不在∠P 上一点Q 作QM ，QN 分别垂直于∠P 的两边，垂足为M ，N ，
则∠Q 的度数等于（ ）
A ．10°
B ．80°
C ．100°
D ．80°或100° 三、解答题（每小题5分，共30分）
21.如图，点E 在AB 上，AC =AD ，请你添加一个条件，使图中存在全等三角形，并给予证明.所添条件
为 ，你得到的一对全等三角形是? ?? .
（第21题）
22.如图，EG ∥AF ，请你从下面三个条件中再选两个作为已知条件，另一个为结论，推出一
个正确的命题（只需写出一种情况），并给予证明.①AB =AC ，②DE =DF ，③BE =CF ， 已知：EG ∥AF ， = ， = ， 求证： 证明：
（第22题）
E
C
D B
A
E
A B D
F
C
23. 如图，在△ABC 和△DEF 中，B 、E 、C 、F 在同一直线上，下面有四个条件，请你在其中
选择3个作为题设，余下的1个作为结论，写一个真命题，并加以证明. ①AB =DE ，②AC =DF ，③∠ABC =∠DEF ，④BE =CF
（第23题）
24. 如图，四边形ABCD 中，点E 在边CD 上.连结AE 、BF ，给出下列五个关系式：
①AD ∥BC ；②DE =CE ③. ∠1=∠2 ④. ∠3=∠4 . ⑤AD +BC =AB 将其中的三个关系式作为假设，另外两个作为结论，构成一个命题.
(1)用序号写出一个真命题，书写形式如：如果……，那么……，并给出证明； (2)用序号再写出三个真命题（不要求证明）；
（3）真命题不止以上四个，想一想就能够多写出几个真命题
25.已知，如图，D 是△ABC 的边AB 上一点,DF 交AC 于点E , DE =FE , AB ∥FC . 问线段AD 、
CF 的长度关系如何？请予以证明.
（第25题）
E
D
A
C 4
32
1
F
B
26.如图，已知ΔABC 是等腰直角三角形，∠C =90°.
（1）操作并观察，如图，将三角板的45°角的顶点与点C 重合，使这个角落在∠ACB 的内部，两边分
别与斜边AB 交于E 、F 两点，然后将这个角绕着点C 在∠ACB 的内部旋转，观察在点E 、F 的位置发生变化时，AE 、EF 、FB 中最长线段是否始终是EF ？写出观察结果.
（2）探索：AE 、EF 、FB 这三条线段能否组成以EF 为斜边的直角三角形？如果能，试加以证明.
四、探究题 （每题10分，共20分）
27.如图①，OP 是∠MON 的平分线，请你利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三
角形.请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：
（1）如图②，在△ABC 中，∠ACB 是直角，∠B =60°，AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分
线，AD 、CE 相交于点F .请你判断并写出FE 与FD 之间的数量关系；
（2）如图③，在△ABC 中，如果∠ACB 不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)
中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.
O
P
A
M
N E
B C
D F
A
C
E
F
B
D
图①
图②
图③
28.如图a，△ABC和△CEF是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C，连接AF和BE.
(1)线段AF和BE有怎样的大小关系?请证明你的结论；
(2)将图a中的△CEF绕点C旋转一定的角度，得到图b，(1)中的结论还成立吗?作出判断并说明理由；
(3)若将图a中的△ABC绕点C旋转一定的角度，请你画山一个变换后的图形(草图即可)，(1)中的结论还
成立吗?作出判断不必说明理由；
(4)根据以上证明、说理、画图，归纳你的发现）
A
C
F B
E A
C
F
B
图a 图b
参考答案
一、1.∠DBE， CA 2.△ACE， SAS，△ACD， ASA（或SAS）3. 6
4.CD=C′D′（或AC=A′C′，或∠C=∠C′或∠CAD=∠C′A′D′）
5.平移，翻折
6. 90
7. 10 8. 20o 9.2
8- 10. 45
4
二、11. A 12. D 13. B 14.A 15.C 16.C 17.A 18.B 19.A 20.D
三、21.可选择BD
=
∠
∠
、等条件中的一个.可得到△ACE≌△ADE =、
DAB
BC
CE=
CAB
DE
或△ACB≌△ADB等.
22.结合图形，已知条件以及所供选择的3个论断，认真分析它们之间的内在联系
可选①AB=AC，②DE=DF，作为已知条件，③BE=CF作为结论；
推理过程为：∵EG∥AF，∴∠GED=∠CFD，∠BGE=∠BCA，∵AB=AC，∴∠B=∠BCA，∴∠B=∠BGE∴BE=EG，在△DEG和△DFC中，∠GED=∠CFD，DE=DF，∠EDG=∠FDC，∴△DEG≌△DFC，∴EG=CF，而EG=BE，∴BE=CF；
若选①AB=AC，③BE=CF为条件，同样可以推得②DE=DF，
23.结合图形，认真分析所供选择的4个论断之间的内在联系
由④BE=CF还可推得BC=EF，根据三角形全等的判定方法，可选论断：
①AB=DE，②AC=DF，④BE=CF为条件，根据三边对应相等的两个三角形全等可以得到：△ABC≌△DEF，进而推得论断③∠ABC=∠DEF，
同样可选①AB=DE，③∠ABC=∠DEF，④BE=CF为条件，根据两边夹角对应相等的两个三角形全等可以得到：△ABC≌△DEF，进而推得论断②AC=DF.
24. （1）如果①②③，那么④⑤
证明：如图，延长AE交BC的延长线于F因为AD∥BC 所以∠1=∠F
又因为∠AED =∠CEF，DE=EC所以△ADE≌△FCE，所以AD=CF,AE=EF
因为∠1=∠F ,∠1=∠2 所以∠2=∠F所以AB=BF.所以∠3=∠4
所以AD+BC=CF+BC=BF=AB
（2）如果①②④，那么③⑤;如果①③④，那么②⑤;如果①③⑤，那么②④.
(3) 如果①②⑤，那么③④;如果②④⑤，那么①③;如果③④⑤，那么①②.
25.（1）观察结果是：当45°角的顶点与点C重合，并将这个角绕着点C在重合，并将这
个角绕着点C在∠ACB内部旋转时，AE、EF、FB中最长的线段始终是EF.
（2）AE、EF、FB三条线段能构成以EF为斜边的直角三角形，证明如下：在∠ECF的内部作∠ECG=∠ACE，使CG=AC，连结EG，FG，∴ΔACE≌ΔGCE，∴∠A=∠1，
同理∠B =∠2，∵∠A +∠B =90°，∴∠1+∠2=90°， ∴∠EGF =90°，EF 为斜边.
四、27.（1）FE 与FD 之间的数量关系为FE =FD
（2）答：（1）中的结论FE=FD 仍然成立
图① 图② 证法一：如图1，在AC 上截取AG =AE ，连接FG ∵ ∠1=∠2，AF =AF ，AE =AG ∴ △AEF ≌△AGF
∴ ∠AFE =∠AFG ，FG =FE ∵ ∠B=60°,且AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线 ∴ ∠2+∠3=60°，∠AFE =∠CFD =∠AFG =60°
∴ ∠CFG =60° ∵ ∠4=∠3，CF =CF ，∴ △CFG ≌△CFD ∴ FG =FD ∴ FE =FD 证法二：如图2，过点F 分别作FG ⊥AB 于点G ，FH ⊥BC 于点H ∵ ∠B =60°,且AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线 ∴ ∠2+∠3=60° ∴ ∠GEF =60°+∠1,FG =FH
∵ ∠HDF =∠B +∠1 ∴ ∠GEF =∠HDF ∴ △EGF ≌△DHF ∴ FE =FD 28. （1）AF =BE .
证明：在△AFC 和△BEC 中， ∵△ABC 和△CEF 是等边三角形，
∴AC =BC ，CF =CE ，∠ACF =∠BCE =60.∴△AFC ≌△BEC . ∴AF =BE . (2)成立. 理由：在△AFC 和△BEC 中， ∵△ABC 和△CEF 是等边三角形， ∴AC =BC ，CF =CE ，∠ACB =∠FCE =60°. ∴∠ACB -∠FCB =∠FCE -∠FCB. 即∠ACF =∠BCE . ∴△AFC ≌△BEC . ∴AF =BE .
(3)此处图形不惟一，仅举几例.
如图，(1)中的结论仍成立.
图⑤
(4)
根据以上证明、说明、画图，归纳如下：
如图a，大小不等的等边三角形ABC和等边三角形CEF有且仅有一个公共顶点C，
则以点C为旋转中心，任意旋转其中一个三角形，都有AF=BE.