三角函数公式大全
三角函数定义
直
任
角三角形
意角三角函数
函数关系
倒数关系:
商数关系:
平方关系:
.
诱导公式
公式一:设为任意角,终边相同得角得同一三角函数得值相等:
公式二:设为任意角,与得三角函数值之间得关系:
公式三:任意角与得三角函数值之间得关系:
公式四: 与得三角函数值之间得关系:
公式五:与得三角函数值之间得关系:
公式六: 及与得三角函数值之间得关系:
记背诀窍:奇变偶不变,符号瞧象限.即形如(2k+1)90°±α,则函数名称变为余名函数,正弦变余弦,余弦变正弦,正切变余切,余切变正切。形如2k×90°±α,则函数名称不变。
诱导公式口诀“奇变偶不变,符号瞧象限”意义:
k×π/2±a(k∈z)得三角函数值.(1)当k为偶数时,等于α得同名三角函数值,前面加上一个把α瞧作锐角时原三角函数值得符号;
(2)当k为奇数时,等于α得异名三角函数值,前面加上一个把α瞧作锐角时原三角函数值得符号。
记忆方法一:奇变偶不变,符号瞧象限:
其中得奇偶就是指得奇偶倍数,变余不变试制三角函数得名称变化若变,则就是正弦变余弦,正切变余切------------------奇变偶不变
根据教得范围以及三角函数在哪个象限得争锋,来判断三角函数得符号-------------符号瞧象限
记忆方法二:无论α就是多大得角,都将α瞧成锐角.
以诱导公式二为例:
若将α瞧成锐角(终边在第一象限),则π十α就是第三象限得角(终
边在第三象限),正弦函数得函数值在第三象限就是负值,余弦函数得函数值
在第三象限就是负值,正切函数得函数值在第三象限就是正值.这样,就得到
了诱导公式二.
以诱导公式四为例:
若将α瞧成锐角(终边在第一象限),则π-α就是第二象限得角(终边
在第二象限),正弦函数得三角函数值在第二象限就是正值,余弦函数得三角
函数值在第二象限就是负值,正切函数得三角函数值在第二象限就是负值.
这样,就得到了诱导公式四.
诱导公式得应用:运用诱导公式转化三角函数得一般步骤:
特别提醒:三角函数化简与求值时需要得知识储备:①熟记特殊角
得三角函数值;②注意诱导公式得灵活运用;③三角函数化简得要求就是
项数要最少,次数要最低,函数名最少,分母能最简,易求值最好。
基本公式
与差角公式
二角与差公式
证明如图,负号得情况只需要用-β代替β即可.cot(α+β)推导只需把角α对边设为1,过程与tan(α+β)相同.
三角与公式
与差化积
口诀:正加正,正在前,余加余,余并肩,正减正,余在前,余减余,负正弦. 积化与差
倍角公式
二倍角公式
三倍角公式
证明:
sin3a
=sin(a+2a)
=sin^2a·cosa+cos^2a·sina
=2sina(1-sin^2a)+(1-2sin^2a)sina
=3sina-4sin^3a
cos3a
=cos(2a+a)
=cos^2acosa-sin^2asina
=(2cos^2a-1)cosa-2(1-cos^2a)cosa
=4cos^3a-3cosa
sin3a
=3sina-4sin^3a
=4sina(3/4-sin^2a)
=4sina[(√3/2)-sina][(√3/2)+sina]
=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)
=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[60°+a)/2]
=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)
cos3a
=4cos^3a-3cosa
=4cosa(cos^2a-3/4)
=4cosa[cos^2a-(√3/2)^2]
=4cosa(cosa-cos30°)(cosa+cos30°)
=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} =-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)
=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]
=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]
=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)
上述两式相比可得:
tan3a=tana·tan(60°-a)·tan(60°+a)
四倍角公式
sin4a=-4*[cosa*sina*(2*sina^2-1)]
cos4a=1+(-8*cosa^2+8*cosa^4)
tan4a=(4*tana-4*tana^3)/(1-6*tana^2+tana^4)
五倍角公式
n倍角公式
应用欧拉公式:
、
上式用于求n倍角得三角函数时,可变形为:
所以,
其中,Re表示取实数部分,Im表示取虚数部分.而
所以,
n倍角得三角函数
半角公式
(正负由所在得象限决定)
辅助角公式
.
证明:
由于
,显然 ,且
故有:
三角形定理
正弦定理
在任意△ABC中,角A、B、C所对得边长分别为a、b、c,三角形外接圆得半径为R.则有:
正弦定理变形可得:
同理,也可描述为:
当为时, ,余弦定理可简化为
,即勾股定理。