数形结合思想专题训练
专题训练一
一、选择题（本题每小题5分，共60分）
1．已知集合P={ 0, m},Q={x │Z x x x ∈<-,0522
},若P ∩Q ≠Φ,则m 等于 （ ）
A ．1
B ．2
C ．1或
2
5
D ．1或2
2．使得点)2sin ,2(cos ααA 到点)sin ,(cos ααB 的距离为1的α的一个值是 （ ）
A ．
12
π
B ．
6
π C ．3
π-
D ．4
π-
3．将函数x x f 2sin :→的图象向右平移B=[－1，1]个单位长度，再作关于x 轴的对称
变换，得到y x x R =∈c o s 2，的图象，则f x ()可以是 （ ） A ．s i n x
B ．c o s x
C ．2s i n x
D ．2c o s x
4．某工厂六年来生产某种产品的情况是：前三年年产量的增长速度越来越快，后三年年产
5．有一棱长为a 的正方体框架，其内放置一气球，是其充气且尽可能地膨胀（仍保持为球
的形状），则气球表面积的最大值为 （ ）
A ．2a π
B ．22a π
C ．32a π
D ．
42a π
6．已知z ∈C ，满足不等式0
<-+z i iz z z 的点Z 的集合用阴影表示为 （ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7．直角坐标x O y 平面上，平行直线x ＝n （n ＝0，1，2，……，5）与平行直线y ＝n （n ＝0， 1，2，……，5）组成的图形中，矩形共有 （ ）
A ．25个
B ．36个
C ．100个
D ．225个
8．方程1112
2
=---x y y x 所对应的曲线图形是
（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9．设0＜x ＜π，则函数x
x
y sin cos 2-=
的最小值是
（ ）
A ．3
B ．2
C ．3
D ．2-3
10．四面体ABCD 的六条棱中，其中五条棱的长度都是2，则第六条棱长的取值范围是( )
A ．()2,0
B ．()
32,0
C ．()
32,2
D ．[)4,2
11．若直线1+=kx y 与曲线12+=
y x 有两个不同的交点，则k 的取值范围是
（ ）
A ．12-<<-k
B ．22<
<-k
C ．21<
k
12．某企业购置了一批设备投入生产，据分析每台设备生产的总利
润y （单位：万元）与年数x ()N x ∈满足如图的二次函数关系。 要使生产的年平均利润最大，则每台设备应使用 （ ） A ．3年 B ．4年 C ．5年 D ．6年 二、填空题（本题每小题4分，共16分）
13．若复数z 满足||||||
z z z i ++-=++1121，那么的最小值是___________. 14．已知偶函数)(x f 的图象与x 轴有五个公共点，那么方程0)(=x f 的所有实根之和为
_______.
15．若z=y x y x ,53中的+满足约束条件??
?
??≤-+≤≤+35115
35y x x y y x ，则Z 的最大值和最小值分别为
．
16．某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系的图象，如右图所示. 假设其关系为指数
函数，并给出下列说法 ①此指数函数的底数为2；
②在第5个月时，野生水葫芦的面积就会超过30m 2
； ③野生水葫芦从4m 2
蔓延到12m 2
只需1.5个月； ④设野生水葫芦蔓延到2m 2
,3m 2
, 6m 2
所需的时间分别 为t 1, t 2, t 3, 则有t 1 + t 2 = t 3；
⑤野生水葫芦在第1到第3个月之间蔓延的平均速度 等于在第2到第4个月之间蔓延的平均速度.
其中正确的说法有 . (请把正确说法的序号都填在横线上) 三、解答题（本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）： 17．（本小题满分12分）已知函数)8
cos()87sin(
)(π
π+?-=x x x f 的图象向右平移π8个单
位得到函数)(x g 的图象. （I ）求函数g (x )的表达式; （II ）证明当)4
543(π
π，∈x 时，经过函数g (x )图象上任意两点的直线的斜率恒大于零.
18．（本小题满分12分）如图所示，已知四面体O －ABC 中， M 为BC 的中点，N 为AC
的中点，Q 为OB 的中点，P 为OA 的中点，若AB=OC ，试用向量方法证明，PM ⊥QN .
19．（本小题满分12分）为了能更好地了解鲸的生活习性，某动物研究所在受伤的鲸身上安装了电子监测装置，从海岸放归点A处（如图所示）把它放归大海，并沿海岸线由西到东不停地对鲸进行了40分钟的跟踪观测，每隔10分钟踩点测得数据如下表（设鲸沿海面游动）。然后又在观测站B处对鲸进行生活习性的详细观测。已知AB=15km，观测站B的观测半径为5km.
30 3 3
40
4
2
（I ）根据表中数据：（1）计算鲸沿海岸线方向运动的速度，（2）写出a 、b 满足的关系式
并画出鲸的运动路线简图；
（II ）若鲸继续以（I ）－（2）中的运行路线运动，则鲸经过多少分钟（从放归时计时），
可进入前方观测站B 的观测范围。(.)4164≈
20．（本小题满分12分）如图所示，已知圆M A y x C ),0,1(,8)1(:2
2
定点=++为圆上一
动点，点P 在AM 上，点N 在CM 上，且满足N AM NP AP AM 点,0,2=?=的轨迹为 曲线E.
（I ）求曲线E 的方程；
（II ）若过定点F （0，2）的直线交曲线E 于不同的两点G 、H （点G 在点F 、H 之间）， 且满足FH FG λ=，求λ的取值范围.
P n
P n+1
y
o
x
21．（本小题满分12分）在xoy 平面上有一系列点,),,(),,(222111???y x P y x P ),,(n n n y x P
对每个自然数n ,点n P 位于函数)0(2
≥=x x y 的图象上．以点n P 为圆心的⊙n P 与x 轴都相切，且⊙n P 与⊙1+n P 又彼此外切．若11=x ,且n n x x <+1 )(N n ∈． （Ⅰ）求证：数列}1
{
n
x 是等差数列； （Ⅱ）设⊙n P 的面积为n S ，n n S S S T +???++=21, 求证：2
3π
22．（本小题满分14分） 已知a ＞1，数列}{n a 的通项公式是2 1-= n n a a ，前n 项和记作n S （n ＝1，2，…），规定00=S ．函数)(x f 在0S 处和每个区间（i S ，1+i S ）（i ＝0，1，2，…）上有定义，且0)(0=S f ，i i a S f =)(（i ＝1，2，…）．当∈x （i S ，1-i S ）时， f （x ）的图像完全落在连结点i P （i S ，)(i S f ）与点1+i P （1+i S ，)(1+i S f ）的线段上． （Ⅰ）求f （x ）的定义域； （Ⅱ）设f （x ）的图像与坐标轴及直线l ：n S x =（n ＝1，2，…）围成的图形面积为n A ， 求n A 及n n A ∞ →lim ； （Ⅲ）若存在正整数n ，使得2 a A n >，求a 的取值范围． 答案 一、选择题（每小题5分，共60分）： (1).D (2).C(3).C (4).A(5).B(6).C (7).D (8).D (9).C (10).B (11).A (12).C 二、填空题（每小题4分，共16分） (13).1 ； (14).0； (15). 17和－11 ；(16). ①②④ 三、解答题（共74分，按步骤得分） 17. 解：（I ） ()()78 8 ππ π-++=x x ∴=++=+f x x x x ()s i n ()c o s ()s i n ()πππ 881 224 ……3分 ∴=-+=g x x x ()s i n [()]s i n 122841 2 2ππ ……6分 （II ）证明一：依题意，只需证明函数g(x)当x ∈()3454 ππ ，时是增函数 s i n 2x 在22222 k x k ππππ -<<+ 即k x k k Z ) ππ ππ -<<+∈4 4 (的每一个区间上是增函数 ……9分 当k =1时，g x x ()s i n =2在()3454 ππ ，是增函数 ……10分 则当x ∈( )3454 ππ ，时，经过函数g(x)图像上任意两点的直线的斜率恒大于零。 ……12分 证明二：设函数g(x)图像上任意两点 A x y B x y x x ()()()112212 345 4 ，，，，，，∈ππ 不妨设x x K x x x x x x x x x x A B 1212121212 12 222<=--=+--，s i n s i n c o s ()s i n () x x x x x x 121212 3454325 22 0，，，，，，∈+∈-∈-()()()ππ πππ …11分 c o s ()s i n ()x x x x x x K A B 1212120000+>-<-<>，，， 则当x ∈( )3454 ππ ，时，经过函数g(x)图像上任意两点的直线的斜率恒大于零。 18. 证明 ∵M 是BC 的中点，连结OM ， ∴OM =2 1 （OB +OC ）。 同理由N 是AC 的中点，得ON =2 1 （OA +OC ）。 ∵PM =PO +OM =2 1 （AO +OB +OC ） =21（OB －OA +OC ）=2 1 （AB +OC ）， QN =QO +ON =21（BO +OA +OC ）=2 1 （OA －OB +OC ） =21（BA +OC ）=2 1 （OC －AB ）。 ∴PM ·QN =21（OC +AB ）·21（OC －AB ）=4 1（2OC －2 AB ）。 ∵|AB |=|OC |，∴PM ·QN =0，即PM ⊥QN 。 19.解：（I ）由表中数据知（1）鲸沿海岸线方向运行的速度为 1 10 （km/分钟）。 （2）a 、b 满足的关系式为b a =。 鲸的运动路线图为 （II ）以点A 为坐标原点，海岸线AB 为x 轴，建立直角坐标系，如图，设鲸所在的位 置为点P （x ，y ），由（I ）知y x = 。 又B （15，0），依题意知，观测站B 的观测区域为 ()() x y y -+≤≥1525022 ， 又y x = ，∴( )x x -+≤15252 ， 即x x 2 292000-+≤。 ∴113177..≤≤x 。 故鲸从A 点进入前方观测站B 所用的时间为 113 110 113.=分钟。 答：鲸大约经过113分钟进入B 站的观测范围。 20. 解：（I ）.0,2=?=AM NP AP AM ∴NP 为AM 的垂直平分线，∴|NA|=|NM|. 又.222||||,22||||>=+∴=+AN CN NM CN ∴动点N 的轨迹是以点C （－1，0），A （1，0）为焦点的椭圆. 且椭圆长轴长为,222=a 焦距2c=2. .1,1,22=== ∴b c a ∴曲线E 的方程为.12 22 =+y x （II ）当直线GH 斜率存在时， 设直线GH 方程为,12 ,222 =++=y x kx y 代入椭圆方程 得.2 3 0. 034)2 1 (22 2 >>?=+++k kx x k 得由 设22122122112 13 ,214),,(),,(k x x k k x x y x H y x G += +-=+则 )2,()2,(, 2211-=-∴=y x y x FH FG λλ 又 λ λλλλ212 22212 22122121)1( . ,)1(, x x x x x x x x x x x x x ==++∴=+=+∴=∴， λλλλ2 22 2 22)1()121(316,213 )1()214( +=++=++-∴k k k k 整理得 .33 1 .31621 4. 316323164,232 2<<< ++ <∴<+<∴> λλ λ解得k k .13 1 , 10<<∴<<λλ 又 又当直线GH 斜率不存在，方程为.3 1,31,0== =λx )1,3 1 [,131的取值范围是即所求λλ<≤∴ 21. 解：（1）依题意，⊙n P 的半径2 n n n x y r ==， ⊙n P 与⊙1+n P 彼此外切， 11+++=∴n n n n r r P P 12121)()(++++=-+-∴n n n n n n y y y y x x 两边平方，化简得 1214)(++=-n n n n y y x x , 即 2 12214)(++=-n n n n x x x x , 01>>+n n x x ， ∴112++=-n n n n x x x x 111 2()n n n N x x +-=∈， ∴ 数列}1 { n x 是等差数列． (2) 由题设，11=x ，∴ 111(1)2n n x x =+-?，即121 n x n =-， 4 4 2 2 )12(-= ===n x y r S n n n n π πππ， n n S S S T +???++=21 ])12(1 51311[2 22-++++ =n π ≤]) 12()32(1 5313111[-?-++?+?+ n n π ＝)]}121321()5131()311[(211{---++-+-+ n n π ＝)]1 21 1(211[--+n π 2 3)12(223π ππ< --= n ． 22. 解：（1）f （x ）的定义域是 ](](](}{121100n n S S S S S S S ，，，-， 由于所有的n a 都是正数，故n S 是单调递增的． ∵1 111lim 2 1-=-=-=∞→a a a a q a S n n ∴f （x ）的定义域是]10[2-a a ， （Ⅱ）∵ i i i P P S S S f S f k i --= +++111) ()(11 a a a a i i i -=-= +-11 1（i ＝1，2，…）与i 无关． ∴ 所有的1P ，2P ，3P …共线， 该直线过点1P （a ，a ），斜率为1-a ， ∴ 2 12 1a A = ． 当n ≥2时，n A 是一个三角形与一个梯形面积之和（如上图所示）．梯形面积是 ))](()([2111S S S f S f n n -+]11)1 1()[1(212a a a a a a n n --- +=-)1(214222--=--a a a n n 于是) 1(21 24 2222--+=--a a a a A n n n 故)1(2)1(22lim 322-=-+=∞→a a a a a A n n （Ⅲ）解法一：结合图像，易见1121-≤-=a k P P 即a ≥2时，n n n A A a >≥∞ →lim 2 ， 而1121->-=a k P P ，即a ＜2时，22 22 121lim a a a A n n =+> ∞ → 故当1＜a ＜2时，存在正整数n ，使得2 a A n > 解法二：假设存在正整数n ，使得2 a A n >， 则应有 0) 1(212242222>---+--a a a a a n n 0) 1(2)1 2(422222<-+ -? ---a a a a a n n n 0)12()1(2222 <+--?-n a a a a ∵ 1>a ， ∴ 0) 1(22 >-a a ? 01222<+--n a a ? 2122<+-n a a ∴ 1＜a ＜2时，存在正整数n ，使得2 a A n >成立 专题训练二 一、选择题： 1．方程l g s i n x x =的实根的个数为（ C ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2．函数y a x y x a ==+||与的图象恰有两个公共点，则实数a 的取值范围是（ D ） A ．()1，+∞ B ．()- 11， C ．(][) -∞-+∞，，11 D ．()()-∞-+∞，，11 3．)(x f 是定义在R 上的以3为周期的偶函数，且0)2(=f ，则方程)(x f =0在区间（0， 6）内解的个数的最小值是 （ D ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 4．P 是双曲线22x y 1916 －＝的右支上一点，M 、N 分别是圆（x ＋5）2＋y 2＝4和（x －5）2 ＋ y 2 ＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为（ D ） A. 6 B.7 C.8 D.9 5．定义在R 上的函数y f x =-∞()()在，2上为增函数，且函数y f x =+() 2的图象的对称轴为x =0 ，则（ A ） A ．f f ()()-<13 B ．f f ()()03> C ．f f ()()-=-13 D ．f f ()()23< 6．在△OAB 中，O 为坐标原点，]2 , 0(),1,(sin ),cos ,1(π θθθ∈B A ，则当△OAB 的面积达最 大值时，=θ（ D ） A ． 6 π B ． 4 π C ． 3 π D ． 2 π 7．如图所示，B 地在A 地的正东方向4km 处，C 地在B 地的北偏东30°方向2km 处，河流的沿岸PQ （曲线）上任意一点到A 的距离比到B 的距离远2km ．现要在曲线PQ 上选一处M 建一座码头，向B 、C 两地转运货物．经测算， 从M 到B 、M 到C 修建公路的费用分别是a 万元/km 、2a 万元/km ，那么修建这两条公路的总费用最低是 （B ） A ．（27－2）a 万元 B ．5a 万元 C ．（27+1）a 万元 D ．（23+3）a 万元 8. （2005辽宁）已知)(x f y =是定义在R 上的单调函数，实数12,1,x x λ≠≠-， 12 ,1x x λαλ += +λλβ++=112 x x ，若|)()(||)()(|21βαf f x f x f -<-，则（ A ） A ．0<λ B ．0=λ C ．10<<λ D ．1≥λ 9．（2006年江西）若不等式x 2 ＋ax ＋1≥0对于一切x ∈（0，1 2 ）成立，则a 的取值范围是（ C ） A ．0 B. –2 C.-5 2 D.- 3 10．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60o 的直线与 双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 （ C ） （A ）(1,2] （B ）(1,2) （C ）[2,)+∞ （D ）(2,)+∞ 二、填空题： 11. 若关于x 的方程x x m 2 45-+=||有四个不相等的实根，则实数m 的取值范围为____。m ∈()15， 12. 函数y x x x x =-++-+2222613 的最小值为___________1313．若集合3sin ()|,(0)3cos x M x y y θθπθ?=??=< ，，集合{()|}N x y y x b ==+，，且 M N ?≠，则实数b 的取值范围是 。 14．函数[]π2,0|,sin |2sin )(∈+=x x x x f 的图象与直线k y =有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是_____13k <<_____。 15．对a,b ∈R,记max|a,b |=???≥b a b b a a ＜,,函数f （x ）＝max||x+1|,|x-2||(x ∈R)的最小值是 3/2 . 16．如图，把椭圆22 12516 x y +=的长轴 AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部 分于1234567,,,,,,P P P P P P P 七个点，F 是椭圆的一个焦点， 则1234567PF P F P F P F P F P F P F ++++++=_______35_________; 三、解答题： 17． 若方程l g ()l g ()[] -+-=-x x m x 2 3303在，上有唯一解，求m 的取值范围。 18．若不等式x 4x 2--≥ 3 4 x+11-a 的解集为{x|-4≤x ≤-2}，求实数a 的值。 19．已知函数f （x ）=sin （ωx +φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是R 上的偶函数，其图象关于点M （ 43π，0）对称，且在区间［０，2 π ］上是单调函数．求φ与ω的值． 20．已知函数a x ax x f 313)(23-+-=. （Ｉ）讨论函数)(x f 的单调性； （Ⅱ）若曲线)(x f y =上两点A 、B 处的切线都与y 轴垂直，且线段AB 与x 轴有公共点， 求实数a 的取值范围. 21．如图，F 为双曲线C ：()22 2210,0x y a b a b -=>>的右焦点。P 为双曲线C 右支上一 点，且位于x 轴上方，M 为左准线上一点，O 为坐标原点。已知四边形OFPM 为平行四边形，PF OF λ=。 （Ⅰ）写出双曲线C 的离心率e 与λ的关系式； （Ⅱ）当1λ=时，经过焦点F 且平行于OP 的直线交双曲线于A 、B 点，若12AB =，求此时的双曲线方程。 【答案及点拨】 1 C 2 D 3 D 点拨：由题意至少可得f(0)=f(2)=f(-2)=f(3)=f(-3)=f(-5)=f(5)=f(1)=f(4)=0,即在区间（0，6）内f(x)=0的解的个数的最小值是5,选(D) 4 D 点拨： P 是双曲线22 x y 1916－＝的右支上一点，F 1(－5，0)、F 2(5，0)是两个焦点， 则12||||PF PF -=6，又M 、N 分别是圆(x ＋5)2 ＋y 2 ＝4和(x －5)2 ＋y 2 ＝1上的点， 1||2MF =，2||1NF =， ∴ |PM |－|PN |≥12||2(||1)PF PF +--=9，选D . 5 A 6 D 点拨：运用图形,根据图形表示ABC ?的面积,将实际问题转化成数学问题. 111 1sin cos (1cos )(1sin )222ABC S θθθθ?=----- 11sin cos 22θθ=-11 sin 224 θ=- 当2θπ=即2 π θ= 时,面积最大. O F x y P M 第21题图 H 反思：运用三角函数解决相应的实际问题，首先应根据题目的要求将面积的表达式写出来，然后在表达式中，根据自变量的取值范围，最终求出答案，所要注意的是，解决此类问题时不能仅凭函数的表达式，应考虑实际情况，例如，在函数的自变量中，可以取负数，而如果在实际题目中，自变量表示的是天数，那么这相自变量必须为正数，且为整数等等. 7 B 8 A 点拨：数形结合解决定比分点问题．：当0>λ 有|)()(||)()(|21βαf f x f x f ->-，当0<λ如图Ｂ所示，有|)()(||)()(|21βαf f x f x f -<-故选A ． 9 C 点拨：不等式x 2 ＋ax ＋1≥0对于一切x ∈(0，12]成立，则21x a x +-≥，当x ∈(0，1 2 ] 时，1 ()x x -+的最大值是－25，所以a ≥－2 5 ，选C . 10 C 点拨：已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60o 的 直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率 b a ，∴ b a ≥3，离心率e 2=2 2222 c a b a a +=≥4，∴ e ≥2，选C 11m ∈()15， 13 323<≤-b 点拨：M 中的点集是右半圆，平移直线就可以了。 14 13k << 点拨： [] [] πππ2,,sin ,0,sin 3)(∈-∈=x x x x x f 从图象可以看出直线k y =有且仅有两个不同的交点时, 31< 15 3/2 点拨：对,a b R ∈，记,max{,},a a b a b b a b ≥?=? (x ∈R)，当x> 21时，|x+1|>|x －2|，当x<2 1 时，|x+1|<|x －2|， ∴ ()max{|1|,|2|}f x x x =+-=1121 22 x x x x ? +??? ?- 16 35 点拨：如图，把椭圆 2212516 x y +=的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于1234567,,,,,,P P P P P P P 七个点，F 是椭圆的一个焦点，则根据椭圆的对称性知， 11711112||||||||2PF P F PF PF a +=+=，同理其余两对的和也是2a ，又41||P F a =，∴ 1234567PF P F P F P F P F P F P F ++++++=7a =35 17． 解：原方程等价于-+->->≤≤-+-=-??? ? ? ???-+->≤<-+-=?? ???x x m x x x x m x x x m x x x m 2 22 2 30300333300343 令y x x y m 12 243=-+-=，，在同一坐标系内，画出它们的图象， 其中注意03≤ 点评：一般地，研究方程时，需先将其作等价变形，使之简化，再利用函数图象的直观性研究方程的解的情况。 18．解：设?--=x 4x y 21x 4x y 22 1 --=（y 1≥0） ∴ 4y )2x (2 12=++（y 1≥0），它表示以（-2，0）为圆心，2 为半径的上半圆。a 11x 3 4 y 2-+= 表示和x 34y =平行或重合的直线 系。分别作出y 1与y 2的图象，让y 2作平行移动，要y 1≥y 2解集为{x|-4≤x ≤-2}，显然当且仅当直线通过点（-2，2）时符合要求，此时a 11)2(3 4 2-+-?= ∴ 3 19a = 19．【分析】 由形思数，由数想形，相互转化． 【解】 由“f （x ）是偶函数”得到x =0是对称轴，（由数想形），所以f （0）=sin φ=±1，（由形思数）因0≤φ≤π，所以可得φ= 2 π ． 又M 点为f （x ）=sin （ωx +φ）的对称中心，则在该点的函数值为零，f （4 3π ）=sin （ 43ωπ+2π）=cos 43ωπ=0；（由形思数）从而有43ωπ=k π+2 π （k =0，1，2，…），由此可得ω=3 2 4+k 而对于f （x ）在［0，2π ］上是单调函数这一条件，可结合函数的周期性得到以下解法： ∵f （x ）在［0，2 π ］上是单调函数， ∴T =ωπ2=123+k π≥π， ∴3 12+k ≤1（k =0，1，2…）． ∴k =0或k =1，得ω=3 2 或ω＝2． 【评析】 巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果．而运用数形结合思想的优势在于：不仅易直观发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程． 20．解 （Ⅰ）由题设知)2 (363)(,02a x ax x ax x f a -=-='≠. 令a x x x f 2,00)(21==='得. 当（i ）a >0时， 若)0,(-∞∈x ，则0)(>'x f ，所以)(x f 在区间)2 ,(a -∞上是增函数； 若)2,0(a x ∈，则0)(<'x f ，所以)(x f 在区间)2 ,0(a 上是减函数； 若),2(+∞∈a x ，则0)(>'x f ，所以)(x f 在区间),2 (+∞a 上是增函数； （i i ）当a ＜0时， 若)2,(a x -∞∈，则0)(<'x f ，所以)(x f 在区间)2 ,(a -∞上是减函数； 若)0,2(a x ∈，则0)(>'x f ，所以)(x f 在区间)0,2 (a 上是增函数； 若),0(+∞∈x ，则0)(<'x f ，所以)(x f 在区间),0(+∞上是减函数. （Ⅱ）由（Ⅰ）的讨论及题设知，曲线)(x f y =上的两点A 、B 的纵坐标为函数的极值， 且函数)(x f y =在a x x 2,0= =处分别是取得极值a f 3 1)0(-=，134)2(2+--=a a a f . 因为线段AB 与x 轴有公共点，所以0)2 ()0(≤?a f f . 即0)3 1)(134 (2 ≤-+- - a a a .所以0)4)(3)(1(2 ≤--+a a a a . 故0,0)4)(3)(1(≠≤--+a a a a 且. 解得 －1≤a ＜0或3≤a ≤4. 即所求实数a 的取值范围是[-1，0)∪[3，4]. 21．解：∵四边形OFPM 是，∴||||OF PM c ==，作双曲线的右准线交PM 于H ， 则2||||2a PM PH c =+，又22 22222|||||| 2222 PF OF c c e e a a PH c a e c c c c λλλλ=====----， 220e e λ--=。 （Ⅱ）当1λ=时，2e =，2c a =，22 3b a =，双曲线为222213x y a a -=，设P 00(,)x y ， 则203||||2 a a x MP ON c c =-=-= ，0||2y MN ===，所以直线 OP 的斜率为3，则直线AB 的方程为(2)3 y x a = -，代入到双曲线方程得：22420290x ax a +-=， 又12AB =， 由AB = 12=，解得1a =，则2 3b =，所以2 2 13 y x -=为所求。 专题训练三 一、选择题（本题每小题5分，共50分） 1．有一棱长为a 的正方体框架，其内放置一气球，是其充气且尽可能地膨胀（仍保持为球的形状），则气球表面积的最大值为 （ ） A ．2a π B ．22a π C ．32a π D ．42a π 2．已知集合{,},{|,}20250P m Q x x x x Z ==-<∈,若P Q ≠?,则m 等于 （ ） A ．1 B ．2 C ．1或 5 2 D ．1或2 3．使得点(cos ,sin )22A αα到点(cos ,sin )B αα的距离为1的α的一个值是 （ ） A ． 12 π B ． 6 π C ．3 π- D ．4 π- 4．将函数()cos y f x x x R =∈，的图象向右平移[,]11B =-个单位长度，再作关于x 轴的对 称变换，得到cos 2y x x R =∈，的图象，则()f x 可以是 （ ） A ．sin x B ．cos x C ．sin 2x D ．cos 2x 5．某工厂六年来生产某种产品的情况是：前三年年产量的增长速度越来越快，后三年年产 量保持不变，则该厂六年来这种产品的可用图像表示的是 （ ） 6．已知z C ∈，满足不等式0zz iz iz +-<的点Z 的集合用阴影表示为 （ ） 7．直角坐标xoy 平面上，平行直线(,,, ,)0125x n n ==与平行直线(,,,,)0125y n n ==组 成的图形中，矩形共有（ ） A ．25个 B ．36个 C ．100 个 D ．225个 8 ．方程1=所对应的曲线图形是 （ ） 9．设0x π<<，则函数cos sin 2x y x -= 的最小值是 （ ） A ．3 B ．2 C D ．210．四面体ABCD 的六条棱中，其中五条棱的长度都是2，则第六条棱长的取值范围是( ) A ．(),02 B ．(,0 C ．(,2 D ．[),24 二、填空题（本题每小题5分，共20分） 专题15 数形结合思想 专题点拨 数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从形的直观和数的严谨两方面思考问题，拓宽了解题思路，是数学的规律性与灵活性的有机结合． (1)数形结合思想解决的问题常有以下几种： ①构建函数模型并结合其图像求参数的取值范围； ②构建函数模型并结合其图像研究方程根的范围； ③构建函数模型并结合其图像研究量与量之间的大小关系； ④构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式； ⑤构建立体几何模型研究代数问题； ⑥构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题； ⑦构建方程模型，求根的个数； ⑧研究图形的形状、位置关系、性质等． (2)数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解填空题、选择题时发挥着奇特功效，这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练，以提高解题能力和速度．具体操作时，应注意以下几点： ①准确画出函数图像，注意函数的定义域； ②用图像法讨论方程(特别是含参数的方程)的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式(有时可能先作适当调整，以便于作图)，然后作出两个函数的图像，由图求解． (3)在运用数形结合思想分析问题和解决问题时，需做到以下四点： ①要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征； ②要恰当设参，合理用参，建立关系，做好转化； ③要正确确定参数的取值范围，以防重复和遗漏； ④精心联想“数”与“形”，使一些较难解决的代数问题几何化，几何问题代数化，以便于问题求解． 例题剖析 一、数形结合思想在求参数、代数式的取值范围、最值问题中的应用 2015 高考数学专题十四：数形结合思想 ( 教师版含 14 年高考试题 2015 高考数学专题十四：数形结合思想 （教师版含 13 、 14 年高考题） 数形结合的思想在每年的高考中都有所体现，它常用来：研究方程根的情况，讨论函数的值域 (最值 )及求变量的取值范围等．对这类内容的选择题、填空题， 数形结合特别有效．从今年的高考题来看，数形结合的重点是研究“以形助数”，但“以数定形”在今后的高考中将会有所加强，应引起重视，复习中应提高用数 形结合思想解题的意识，画图不能太草，要善于用特殊数或特殊点来精确确定 图形间的位置关系． 1．应用数形结合的思想应注意以下数与形的转化 (1)集合的运算及韦恩图； (2)函数及其图象； (3)数列通项及求和公式的函数特征及函数图象； (4)方程 ( 多指二元方程 ) 及方程的曲线； (5)对于研究距离、角或面积的问题，直接从几何图形入手进行求解即可； (6)对于研究函数、方程或不等式 (最值 )的问题，可通过函数的图象求解 (函数 的零点、顶点是关键点 )，做好知识的迁移与综合运用． 热点一利用数形结合思想讨论方程的根 例 1 (2014 ·山东)已知函数 f(x) ＝| x－ 2| ＋1 ，g (x) ＝kx ，若方程 f (x) ＝g (x) 有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是 () 11 A．(0 ， )B．( ，1) 22 C． (1,2) D ．(2 ，＋∞) 答案B 解析先作出函数 f (x )＝ |x －2| ＋1 的图象，如图所示， 当直线 g ( x )＝ kx 与直线 AB 平行时斜率为 1 ，当直线 g ( x )＝kx 过 A 点时斜率 第十三专题 数形结合思想 考情动态分析： 数形结合就是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思索，使抽象思维和形象思维结合，通过“以形助数”或“以数解形”，可使复复杂问题简单化、抽象总是具体化，从而起到优化解题途径的目的. 一般地说，“形”具有形象、直观的特点，易于整体上定性地分析问题.“数形对照”便于寻求思路，化难为易；“数”则具有严谨、准确的特点，能够严格论证和定量求解.“由数想形”可以弥补“形”难以精确的弊端.恰当地应用数形结合是提高解题速度、优化解题过程的一种重要方法. 纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的数学思想方法来解决一些抽象数学问题，可起到事半功倍的效果. 数形结合的重点是研究“以形助数”，但以数解形在近两年高考试题中也得到了加强，其发展趋势不容忽视. 数形结合在解题过程中应用十分广泛，如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域和最值问题中，在三角函数问题中都有充分体现.运用数形结合思想解题，不仅直观易于寻找解题途径，而且能避免繁杂的计算和推理，简化解题过程，这在选择题、填空题解答中更显优越. 第一课时 方程、函数中数形结合问题 一、考点核心整合 利用“形”的直观来研究方程的根的情况，讨论函数的值域（或最值），求解变量的取值范围，运用数形结合思想考查化归转化能力、逻辑思维能力，能使烦琐的数量运算变得简捷. 二、典例精讲： 例1 方程的实根的个数有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、无穷多个 例 2 已知函数x x x g x x f 2)(|,|23)(2 -=-=，构造函数)(x F ，定义如下：当)()(x g x f ≥时，)()(x g x F =；当)()(x g x f <时，)()(x f x F =.那么)(x F （ ） A 、有最大值3，最小值1- B 、有最大值727-，无最小值 C 、有最大值，无最小值 D 、无最大值，也无最小值 例3 已知0>x ，设:P 函数x c y =在R 上单调递减；:Q 不等式1|2|||>-+c x x 的解集为R .如果P 和Q 有且仅有一个正确，试求c 的取值范围. 例 4 已知0>a ，且方程022 =++b ax x 与方程022 =++a bx x 都有实数根，求b a +的最小值. 三、提高训练： （一）选择题： 1．函数||x a y =和a x y +=的图象恰有两个公共点，则实数a 的取值范围是（ ） A 、),1(+∞ B 、)1,1(- C 、),1[]1,(+∞--∞ D 、),1()1,(+∞--∞ 2．已知],0(π∈x ，关于x 的方程a x =+)3 sin(2π 有两个不同的实数解，则实数a 的 取值范围为（ ） 高中数学专题练习：分类讨论思想 [思想方法解读]分类讨论思想是一种重要的数学思想方法，其基本思路是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略. 1.中学数学中可能引起分类讨论的因素： (1)由数学概念而引起的分类讨论：如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线的倾斜角等. (2)由数学运算要求而引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负数，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式中两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域，等比数列{a n}的前n项和公式等. (3)由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论：如函数的单调性、基本不等式等. (4)由图形的不确定性而引起的分类讨论：如二次函数图象、指数函数图象、对数函数图象等. (5)由参数的变化而引起的分类讨论：如某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，或者由于对不同的参数值要运用不同的求解或证明方法等. 2.进行分类讨论要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论.其中最重要的一条是“不重不漏”. 3.解答分类讨论问题时的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围;其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不重不漏、分类互斥(没有重复);再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果;最后进行归纳小结，综合得出结论. 常考题型精析 题型一由概念、公式、法则、计算性质引起的分类讨论 例1设集合A＝{x∈R|x2＋4x＝0}，B＝{x∈R|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，a∈R}，若B?A，求实数a的取值范围. 第一部分 二 27 一、选择题 1．已知f (x )＝2x ，则函数y ＝f (|x －1|)的图象为( ) [答案] D [解析] 法一：f (|x －1|)＝2|x － 1|. 当x ＝0时，y ＝2.可排除A 、C ． 当x ＝－1时，y ＝4.可排除B ． 法二：y ＝2x →y ＝2|x |→y ＝2|x － 1|，经过图象的对称、平移可得到所求． [方法点拨] 1.函数图象部分的复习应该解决好画图、识图、用图三个基本问题，即对函数图象的掌握有三方面的要求： ①会画各种简单函数的图象； ②能依据函数的图象判断相应函数的性质； ③能用数形结合的思想以图辅助解题． 2．作图、识图、用图技巧 (1)作图：常用描点法和图象变换法．图象变换法常用的有平移变换、伸缩变换和对称变换． 描绘函数图象时，要从函数性质入手，抓住关键点(图象最高点、最低点、与坐标轴的交点等)和对称性进行． (2)识图：从图象与轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系． (3)用图：图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象结合研究． 3．利用基本函数图象的变换作图 ①平移变换： y ＝f (x )――→h >0，右移|h |个单位 h <0，左移|h |个单位y ＝f (x －h )， y ＝f (x )――→k >0，上移|k |个单位k <0，下移|k |个单位y ＝f (x )＋k . ②伸缩变换： y ＝f (x )错误!y ＝f (ωx )，