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实验四 线性系统的根轨迹分析

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零度根轨迹非最小相位系统

零度根轨迹非最小相位系统

问题。由于它是一种图解求根的方法，比较直观，避免了求解高阶系统
特征根的麻烦，所以，根轨迹法在工程实践中获得了广泛的应用。 采用根轨迹法分析和设计系统，必须绘制出根轨迹图。用数学解析
法去逐个求出闭环特征方程的根再绘制根轨迹图，十分困难且没有意义。
重要的是找到一些规律，以便根据开环传递函数与闭环传递函数的关系 以及开环传递函数零点和极点的分布，迅速绘出闭环系统的根轨迹。这 种作图方法的基础就是根轨迹方程。
第四章 根轨迹法
二、根轨迹方程
[例] 闭环传递函数为
( s) G(s) 1 G( s) H ( s)
R( s )
G( s) H ( s)
C ( s)
闭环特征方程是 1 G(s) H (s) 0
根轨迹增益
就其实质来说，根轨迹方程就是闭环的特征方程式 系统开环 传递函数 开环传递函数化成如下形式： 零点 m
K ( s z1 )(s z 2 ) ( s z m ) G( s) H ( s) ( s p1 )(s p 2 ) ( s p n )

K (s zi )
i 1
(s p
j 1
n
j
)
系统开环传 递函数极点
第四章 根轨迹法
i 1 j 1
m
n

0
s2 p2
(s 2 p1 ) (s2 p2 ) 180
s2 p1
s2
满足相角条件，所以s2在根轨迹上，即s2是该系统的闭环极 点。
第四章 根轨迹法
根轨迹方程 G(s)H(s) 1
G (s)H(s) K
' i 1 n i 1
(s z )

第四章 根轨迹法(1)

第四章 根轨迹法(1)

第四章 根轨迹法
（1）当 K * = 0时，s1 = 0、s2 = －2， 此时闭环极点就是开环极点。 （2）当0＜ K * ＜1时， s1 、 s2 均为负 实数，且位于负实轴的（－2，0） 一 段上。 （3）当K * = 1时，s1 = s2 = －1，两 个负实数闭环极点重合在一起。 （4）当1＜ K * ＜∞时， s1， 1 1 k * 2 两个闭环极点变为一对共轭复数极点。 s1 、 s2 的实部不随K * 变化，其位于过 （－1，0）点且平行于虚轴的直线上。 （5）当K * ＝∞时， s1 = －1+ j∞、 s2 = －1－j∞，此时s1、s2将趋于无限 远处。
第四章 根轨迹法
② 位于s1左边的实数零、极 点： (S1 – P4 ) 、(S1 – Z1 ) 、 向量引起的相角为0°
∴ 判断 s1是否落在根轨迹 上，位于s1左边的零、极点不 考虑。
③ 位于s1右边的实数零、极点： 每个零、极点提供180°相 角，其代数和为奇数，则满足相角条件。
第四章 根轨迹法
a
(0) (1 j1) (1 j1) (4) (1) 5 4 1 3
60 180 2k 1 180 2k 1 a 180 nm 3 300
k 0 k 1 k 2
第四章 根轨迹法
五、法则五 根轨迹分离点和分离角
K G( s) H ( S )
* i 1 n j 1
(s z )
i
m
S (s p j )
-1
m个开环零点 n个开环极点 K *根轨迹增益
∴在s平面上凡是满足上式的任意一个点s1、s2、…、 s∞，都 是闭环特征根，即闭环极点。
第四章 根轨迹法

自动控制原理MATLAB仿真实验(于海春)

自动控制原理MATLAB仿真实验(于海春)

自动控制原理MATLAB仿真实验（于海春）实验一典型环节的MATLAB仿真一、实验目的1．熟悉MATLAB桌面和命令窗口，初步了解SIMULINK功能模块的使用方法。

2．通过观察典型环节在单位阶跃信号作用下的动态特性，加深对各典型环节响应曲线的理解。

3．定性了解各参数变化对典型环节动态特性的影响。

二、SIMULINK 的使用MATLAB中SIMULINK是一个用来对动态系统进行建模、仿真和分析的软件包。

利用SIMULINK功能模块可以快速的建立控制系统的模型，进行仿真和调试。

1．运行MATLAB软件，在命令窗口栏“>>”提示符下键入imulink命令，按Enter键或在工具栏单击按钮，即可进入如图1-1所示的SIMULINK仿真环境下。

2．选择File菜单下New下的Model命令，新建一个imulink仿真环境常规模板。

图1-1SIMULINK仿真界面图1-2系统方框图3．在imulink仿真环境下，创建所需要的系统。

以图1-2所示的系统为例，说明基本设计步骤如下：1）进入线性系统模块库，构建传递函数。

点击imulink下的“Continuou”，再将右边窗口中“TranferFen”的图标用左键拖至新建的“untitled”窗口。

2）改变模块参数。

在imulink仿真环境“untitled”窗口中双击该图标，即可改变传递函数。

其中方括号内的数字分别为传递函数的分子、分母各次幂由高到低的系数，数字之间用空格隔开；设置完成后，选择OK，即完成该模块的设置。

3）建立其它传递函数模块。

按照上述方法，在不同的imulink的模块库中，建立系统所需的传递函数模块。

例：比例环节用“Math”右边窗口“Gain”的图标。

4）选取阶跃信号输入函数。

用鼠标点击imulink下的“Source”，将右边窗口中“Step”图标用左键拖至新建的“untitled”窗口，形成一个阶跃函数输入模块。

5）选择输出方式。

根轨迹法的基本概念

根轨迹法的基本概念

K*
s1,2 1
1 K*
令K*（由0到∞ ）变动，s1、s2在s平面的移动轨 迹即为根轨迹。
K* 0, s1 0, s2 2 K* 1, s1 1, s2 1 K* 2, s1 1 j, s2 1 j K* 5, s1 1 2 j, s2 1 2 j
特征方程的根 运动模态 性、系统性能）
1
1
1 ,d 4
m
(s zi )
1 G(s)H(s) 0
G(s)H(s) K*
i1 n
m
(s pj )
(s zi )
j 1
K * i1 n
1
(s pj )
j 1
m
n
模值条件： (s zi ) (s pj ) (2k 1)
i1
j1
n
s pj
相角条件： K *
j 1 m
s zi
i 1
相角条件是确定根轨迹的充分必要条件。相角条件满足(2k 1) 称为180º根轨迹。
4-2 绘制根轨迹的基本法则
一、基本法则
1、 根轨迹的起点和终点：
根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点；如果开环零点个数少于 开环极点个数，则有（n-m)条根轨迹终止于无穷远处。
起点： K* 0 s pi
K* s p1 s z1
i 1, 2, n
s pn s zm
终点： K* s zi j 1, 2, m
例题：单位反馈系统的开环传递函数为：G(s)H (s) K *(s 1)
s(s 2)(s 3)
试绘制闭环系统的根轨迹
解： 1、开环零点z1=-1，开环极点p1=0，p2=-2，p3=-3， 根轨迹分支数为3条，有两个无穷远的零点。

根轨迹法(自动控制原理)

根轨迹法(自动控制原理)

i1
l 1
nm
规则4：实轴上的根轨迹
➢ 实轴上的开环零点和开环极点将实轴分为若干段，对其中任一段，如果其右
边实轴上的开环零、极点总数是奇数，那么该段就一定是根轨迹的一部分。
❖ 该规则用相角条件可以证明，设实轴上有一试验点s0。 ➢ 任一对共轭开环零点或共轭极点（如p2，p3），与其对应的相角（如θ2，θ3）
第四章 根轨迹法
4.1 根轨迹的基本概念 4.2 绘制典型根轨迹 4.3 特殊根轨迹图 4.4 用MATLAB绘制根轨迹图 4.5 控制系统的根轨迹分析
内容提要
➢ 根轨迹法是一种图解法，它是根据系统的开环零 极点分布，用作图的方法简便地确定闭环系统的 特征根与系统参数的关系，进而对系统的特性进 行定性分析和定量计算。
规则3：渐近线
❖ 当n>m时，根轨迹一定有n－m支趋向无穷远；当n<m时，根轨迹一定有m－n支 来自无穷远。可以证明：
➢ 当n≠m时，根轨迹存在|n－m|支渐近线，且渐近线与实轴的夹角为：
所有渐近线交于k实轴上(2的k一n点1，)m1其8坐00标,为 k 0,1,2,,| n m | 1
n
m
pi zl
之和均为360°，也就是说任一对共轭开环零、极点不影响实轴上试验点s0的相 角条件。
➢ 对于在试验点s0左边实轴上的任一开环零、极点，与其对应的相角（如θ4，φ3） 均为0。
➢ 而试验点s0右边实轴上任一开环零、极点，与其对应的相角（如θ1，φ1，φ2） 均为180°。
所以要满足相角条件，s0右边实轴上的开环零、极点总数必须是奇数。
❖ 1948年伊凡思(W.R.Evans)提出了根轨迹法，它不 直接求解特征方程,而用图解法来确定系统的闭环 特征根。

倒立摆实验报告(根轨迹)

倒立摆实验报告(根轨迹)

专业实验报告学生姓名学号指导老师实验名称倒立摆与自动控制原理实验实验时间2014年7月5日一、实验内容（1）完成.直线倒立摆建模、仿真与分析；（2）完成直线一级倒立摆根轨迹校正与仿真控制实验：1）理解并掌握根轨迹控制的原理和方法，并应用于直线一级倒立摆的控制；2）在Simulink中建立直线一级倒立摆模型，通过实验的方法调整根轨迹参数并仿真波形；3）当仿真效果达到预期控制目标后，下载程序到控制机，进行物理实验并获得实际运行图形。

二、实验过程1. 实验原理（1）直线倒立摆建模方法倒立摆是一种有着很强非线性且对快速性要求很高的复杂系统，为了简化直线一级倒立摆系统的分析，在实际的建模过程中，我们做出以下假设：1、忽略空气阻力；2、将系统抽象成由小车和匀质刚性杆组成；3、皮带轮和传送带之间无滑动摩擦，且传送带无伸长现象；4、忽略摆杆和指点以及各接触环节之间的摩擦力。

实际系统的模型参数如下表所示：M 小车质量0.618 kgm 摆杆质量0.0737 kgb 小车摩擦系数0.1 N/m/sec0.1225 ml 摆杆转动轴心到杆质心的长度I 摆杆惯量0.0034 kg*m*mg 重力加速度9.8 kg.m/s（2）直线一级倒立摆根轨迹校正控制原理基于根轨迹法校正的基本思想是：假设系统的动态性能指标可由靠近虚轴的一对共轭闭环主导极点来表征，因此，可把对系统提出的时域性能指标的要求转化为一对期望闭环主导极点。

确定这对闭环主导极点的位置后，首先根据绘制根轨迹的相角条件判断一下它们是否位于校正前系统的根轨迹上。

如果这对闭环主导极点正好落在校正前系统的根轨迹上，则无需校正，只需调整系统的根轨迹增益即可；否则，可在系统中串联一个超前校正装置。

常见的校正器有超前校正、滞后校正以及超前滞后校正等。

2. 实验方法（1）直线倒立摆建模、仿真与分析利用牛顿-欧拉方法建立直线一级倒立摆系统的数学模型；依照根轨迹设计的步骤得到系统的控制器，利用MA TLAB Simulink中的工具进行仿真分析。

根轨迹的基本概念

j 1 j i 1 i
m
n
上述两式称为满足根轨迹方程(kg>=0)的幅值条件和相角条件。
当根轨迹增益kg<0时：
根轨迹方程可写为：
| kg | s z j
j 1
m
s p
i 1
m j 1
n
e
n m j ( s z j ) ( s pi ) i 1 j 1
的旁边。
根轨迹的两种类型：
180o等相角根轨迹：复平面上所有满足相角条件式(kg>=0)
的点连成的曲线，称为180o等相角根轨迹，简称根轨迹。 0o等相角根轨迹：复平面上所有满足相角条件式(kg<0)的 点连成的曲线，称为0o等相角根轨迹。
这样，当根轨迹增益从kg=0到kg=±∞变化时，根据根轨
称 Gk (s) 1 或 k ×
g
(s z ) (s p )
j1
j
m
i1 n
i
1
为负反馈系统根轨迹方程
4.1.2
根轨迹的幅值和相角条件
当根轨迹增益kg>=0时： 根轨迹方程可写为：kg s Nhomakorabea z j
j 1
m
kg
1
(s z )
i
m
s p
i 1
不满足相角条件，所以点B不是根轨迹上 的点。
Im
B A
A2
p2
s2
s
A1
p1
Re
利用幅值条件在根轨迹上确定特定点的根轨迹增益kg
上例中，若A点的坐标是-1+j1，则根据幅值条件：
kg s( s 2) s 1 j1
1 ， kg 2

根轨迹的特点

根轨迹是指在复平面上描述线性系统的特征根（或者特征值）随时间变化而形成的轨迹。

根轨迹的特点如下：
根轨迹是一个连续曲线，由系统的特征根在复平面上连续移动形成。

通常情况下，根轨迹是闭合的，也就是形成一个或多个闭合的环。

每个特征根对应于根轨迹上的一个点。

根轨迹与系统的传递函数有关，不同的传递函数对应不同的根轨迹。

因此，通过观察根轨迹，我们可以了解系统的稳定性、阻尼比、超调量等性能指标。

在根轨迹上，特征根距离原点越远，表示系统对外部扰动和输入信号的影响越强。

因此，从根轨迹中可以看出系统对不同频率的输入信号的响应情况。

根轨迹的形状受到系统阻尼比的影响。

当阻尼比越小时，根轨迹的形状越接近圆形；当阻尼比较大时，根轨迹的形状会变得扁平。

根轨迹上的点代表系统的特征根，在复平面上的位置反映了特征根的实部和虚部。

实部表示系统的稳态响应，虚部表示系统的振荡特性。

总之，根轨迹提供了一种可视化的方法来分析和设计线性系统。

通过观察根轨迹的形状和位置，我们可以判断系统的稳定性和性能，并进行系统控制的设计和调整。

《自动控制原理》第4章_根轨迹分析法

一般有两个解，从中
因此求分离点和会合点公式： 可以判断是分离点或
N(s)D '(s) N '(s)D(s) 0 会合点，只有满足条
Kg 0
件Kg≥0的是有用解。
例4-1.设系统结构如图， 试绘制其概略根轨迹。
R(s)
k(s 1) c(s)
s(s 2)(s 3)
解：画出 s 平面上的开环零点（-1），开环极点（0， -2，-3）。
逆时针为正。（- ， ）
m
n
pj (2k 1) ( z j pi ) pj pi
j 1
j 1
ji
m
n
zi (2k 1) ( z j zi ) p j zi
j 1
j 1
j i
k 0,1,
k 0, 1,
例3.设系统开环传递函数为： G(s) Kg(s 1.5)(s 2 j)(s 2 j) s(s 2.5)(s 0.5 j1.5)(s 0.5 j1.5)
K
s1
00
0.5 1
1 1 j1
s2
K
K 2.5
2
K 1
1 K 0
1 j1
2 1
2 1 j 3 1 j 3
1 j 1 j
j
2
1
0
K 0.5
1
2
一、根轨迹的一般概念
开环系统（传递函数）的某一个参数从零变化到 无穷大时，闭环系统特征方程根在 s 平面上的轨迹 称为根轨迹。
根轨迹法:图解法求根轨迹。 借助开环传递函数来求闭环系统根轨迹。
nm
独立的渐近线只有（n-m）条 u=0,1…,(n-m-1)
（2）渐近线与实轴的交点
分子除以分母

自动控制理论第五章


kg K 2K s (0.5s 1) s ( s 2) s ( s 2)
k g 2K
开环有两个极点： p1= 0， p2=－2 开环没有零点。 闭环特征方程为： D(s) = s2 +2s + kg = 0 s 解得闭环特征根（亦即闭环极点） s1 1 1 k g ；2 1 1 k g 可见，当kg 变化，两个闭环极点也随之连续变化。 当kg 从0→∞变化时，直接描点作出两个闭环极点的变化轨迹
（1）当 kg = 0时，s1 = 0、s2 = －2，此时闭环极点 就是开环极点。 （2）当0＜kg＜1时，s1、s2均为负实数，且位于负 实轴的（－2，0） 一段上。 （3）当kg = 1时，s1 = s2 = －1，两个负实数闭环极 点重合在一起。 （4）当1＜kg＜∞时，s1，2 =－1± j k g 1 ，两个闭 环极点变为一对共轭复数极点。s1、s2的实部不随kg 变化，其位于过（－1，0）点且平行于虚袖的直线 上。 （5）当kg＝∞时， s1 = －1+ j∞、s2 = －1－j∞， 此时s1、s2将趋于无限远处。
例：求上例中根轨迹上
s2 (0.5, j1)
点对应的kg 。
k 解 ：g s2 p1 s2 p2 0.5 j 0 0.5 j 1 1.118 1.118 1.25 s2 p1 、 s2 p2 也可以用直尺测量向量的长度。
5．2 绘制根轨迹的基本规则
不符合相角条件， s1不在根轨迹上。
满足相角条件， s2在根轨迹上。
2. 用幅植条件确定kg的值 幅值条件：
n
kg
s p
j 1 m i 1
j
s zi
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