第十章组合变形的强度计算
10-1 图示为梁的各种截面形状，设横向力P 的作用线如图示虚线位置，试问哪些为平
面弯曲？哪些为斜弯曲？并指出截面上危险点的位置。
（ a）(b)(c)(d)斜弯曲平面弯曲平面弯曲斜弯曲
弯心弯心弯心
（）（）（）（）
斜弯曲弯扭组合平面弯曲斜弯曲
“×”为危险点位置。
10-2矩形截面木制简支梁AB ，在跨度中点 C 承受一与垂直方向成＝ 15°的集中力P ＝10 kN作用如图示，已知木材的弹性模量 E 1.010 4 MPa 。试确定①截面上中性轴的
位置；②危险截面上的最大正应力；③
C 点的总挠度的大小和方向。
解： P y
P cos
10 cos15 9.66 K N
P z
P sin
10 sin15
2.59KN
J z
15 20 3
10
4
cm
4
12
W z
103 cm 3
J y
20 153
5625 cm
3
12
W y
750 cm 3
P y l
9.66
3
7.25 KN-M
M
z max
4
4
P z l
2.59 3
1.94 KN-M
M ymax
4
4
max
M z max M
y max
W z
W y
7.25 10 3
1.94 103
103 10 6 750 10 6
9.84 M P a
中性轴：
tan
1
J z
tan
J y
tan 1
104 tan15
5625
25.47
P y l 3
3 3
f y
9.66 10
3
0.5434 10 2 m
48EJ z
48 10 8
10 10 9 10 4
f z
P z l 3
2.59 103 33
0.259 10
2
m
48EJ y
48 10 10
9
5625
10
8
f
0.54342
0.2592
0.602 cm
方向
中性轴：
25.47
m
c
2
15cm
P2
h
b
10-3 矩形截面木材悬臂梁受力如图示，P1＝ 800N ， P2＝ 1600 N 。材料许用应力[ σ ]=10MPa ，弹性模量 E＝ 10GPa，设梁截面的宽度 b 与高度 h 之比为1：2。①试选择梁的截面尺寸；②求自由端总挠度的大小和方向。
解：（ I ）M zmax P21 1.6KN
M
y m a x P02 1.6 KN
W bh 2b(2b) 2 2 b3
z663
W y bh 22b3 1 b3
663
m a x M z m a x
M
y m a x 1.6 10
3
1.6 103
10106 W z W Y32 b331 b 3
b = 9 cm， h = 18 cm
P232
P 13P1322
（ II ）f122 1 1.97 10m 1.97cm 3EJ y3EJ z2EJ z
f z 1.95
81.1
tan,
f y0.305
10-4简支梁的受力及横截面尺寸如图示。钢材的许用应力[] ＝ 160 MPa，试确定梁危险截面中性轴的方向与校核此梁的强度。
解： J z
32d 4bh 310 4463909.748cm 4
123212
J y d 4bh310 464394.9748cm 4 32123212
中性轴：
tan1J z
tan tan1
909.748
43.77 J y
tan 45
949.748
危险点： z10 sin 43.77 6.918cm y10 cos43.777.221cm
M max 141 14 KN m
M y M max cos 459.9
M z M
max sin 459.9
9.9103 6.91810 29.91037.22110 2
150.69 M P a max
949.748108909.74810 8
10-5 矩截面上
图示简支梁的截面为 200 200 20（ mm ）的等边角钢，若
A 、
B 和
C 点的弯曲正应力。
P =25kN ，试求最大弯
J y 0 1180.04cm 4 ， J z0 4554.55cm 4
W z0 322.06cm 3 ， W y0 146.55cm 3
解：
pl 25 KN m
M
max
4
M y
M z M cos45
17.68
KN m
M y
3
3
3
3
A M z y A
17.68 10 141.42 10
17.68 10 60.95 10
J y z A
J z
o
4554.55 10 8
1180.04 10
4
O
146.2 MPa
C
M z
y A
M y
z A 36.42 MPa
J z J y
o
O
B
M y z
17.68 103
80.47 10 3
120.56
MPa
J
y O
B
1180.04 10 8
10-6 旋臂式吊车梁为16号工字钢，尺寸如图所示，允许吊重P=10kN ，材料的[ ]=160MPa 。试校核吊车梁的强度。
解： B点：
P 1.08 1.94
H15.57 KN
1.94
N 1.94
H 0.8
1.94
H15.57 37.76KN
No16工字钢：A26.1cm2，J z1130cm4，W z141cm3
N M37.7610310 1.08 103
max A W26.110 4141 10 6
91.1 M P a压
10-7 图示等截面构件的许用应力[] ＝ 120 MPa ，矩形截面尺寸 2.510cm2，试确定许用载荷 [P]，并作危险截面上的应力分布图，指出最大应力发生在哪一点？
60cm
解：N=P
M
max60P 102,W 2.5 10241.667cm3
6
A 2.5 1025cm2
N M
A W
P120106
16010 2
8108N8.108KN
2510 441.66710 6
最大应力点：
10-8 悬重构架如图所示，立柱 AB 系用在构架 C 点承受载荷 P ＝20kN 。①绘立柱③列式表示顶点 B 的水平位移。
解：（ i）No25a 的工字钢制成。许用应力 [ ] ＝160 MPa ，AB 的内力图；②找出危险截面，校核立柱强度；
图图
（II ）max N M2010
360 103153.42 106 Pa
A W48.510 4401.883 10 6
153.42MPa
P93P 6 2
9
117 P
(III) f B36
3EJ6EJ EJ
B
m
c
6
C
10-9 图示起重结构， A 及 B 处可作铰链支承看待， C 、 D 与 E 均用销钉连结。 AB 柱的截面为 20cm 30cm 的矩形。试求其危险截面上的最大正应力。
解： R A
25 2.4 /3.6
16.6667
KN
N=25KN
M
max
25 103
2.4 16.667
2.4 103
20 KN m
A
0.2 0.3 0.06
M 2
W
0.2 0.32
0.003
M 2
6
N M 25 10 3
20 10 3 M Pa
A
W
0.06
7.083
0.003
10-10 有一等直实心圆杆，其 B 端为铰支承， A 端靠在光
s
滑的竖直墙面上（摩擦力可略去）如图示。杆长
L ，杆截面直
径 d ，已知杆的总重 P 及倾角
。试确定自 A 点至由于杆自重
产生最大压应力的横截面之距离
S 。
解：设杆的自重为
q （ N/M ）
轴向分量： q sin
横向分量： q cos
M B 0
R A
q l c o s 1
ql c o t
2s i n 2
1
ql
在 S 截面： N
R A cos
q sin
S
cot cos
q sin
S
2
M ( s)
( R A sin ) S
1
(q cos ) S 2
1
ql cot sin
S
1
q cos S 2
2
2
2
N M ， d 0
A
W
ds
1 sin
1 1 l cot
sin
1 cos cos 2s
q W q q
sin
A
2
2
sin
S
l d l d tan 0
2 8cot
2 8
10-11 某厂房柱子，受到吊车梁的铅垂轮压 P ＝220 kN ，屋架传给柱顶的水平力 Q =8 kN ，及风载荷 q ＝ 1kN/m 的作用。 P
力作用线离柱的轴线距离 e ＝ 0.4m ，柱子底部截面为矩形，尺寸为 lm 0.3m ，试计算柱子底部危险点的应力。
解：
N P 220 KN
1
9.52 M max
220 0.4 8 9.5 57.129KN m
2
N
M 220
103
57.129
103 6 0.41
A W
1 0.3
0.3 1
2
M P
1.876
10-12 简单夹钳如图示。如夹紧力
P =6kN ，材料的许用应力 [ ]=140MPa 。试校核其
强度。
解：
P Peb 6 103 66103 6 102 130 106 Pa 130MPa
A
bh 2
23104
2 32 106
10-13 轮船上救生艇的吊杆尺寸及受力情况如图示，
救人员重量在内。试求其固定端A-A 截面上的最大应力。
解：
图中载荷W 系包括救生艇自重及被
N18KN
M18 1.527 KN m
N M1810 32710 3
A W122122160.75 MPa
10410 6
432
10-14 正方形截面拉杆受拉力P＝ 90kN 作用，a＝ 5cm ，如在杆的根部挖去1／ 4 如图示。试求杆内最大拉应力之值。
a 2 2 a
形心位置：e2 1.179cm
a2
3
J z2 a 4a4 a 22
a e
2
a 2e2 3 6 .46 cm4 12122
P Pe(
2
e)
903
(90 103 1.179 10 2 )(
2 5
1.179) 10 2
2102
m a x
J z 3 5210 4364.610 8 A
25.72106 Pa25.72M P a
10-15 承受偏心拉伸的矩形截面杆如图示，今用电测法测得该杆上、下两侧面的纵向应变 1 和2。试证明偏心距 e 在与应变 1 ，2在弹性范围内满足下列关系式
h
1 1 P6Pe 1 E E bh bh 2
21 1 P6Pe 2EE bh bh 2 1 2P
1 2 12 E bh
1 1
2 Pe
E bh 12Pe
故12bh26e 2P h
12
bh
e12h 6
12
10-16 图示正方形截面折杆：外力P 通过 A 和 B 截面的形心。若已知P＝ 10kN ，正方形截面边长a=60 mm 。试求杆内横截面上的最大正应力。
解：
BC杆 C截面：
N P sin10 1030.16KN
1
M(P cos) 0.610 0.80.6 4.8KN m
1
max AC杆 C截面：N M6103 6 4.8 103
135 106 Pa 135M P a A W3610 4216 10 6
N P cos8KN
0.8
M(P cos)0.60.6 4.8KN m
10
1
max N6M6103
133.3106135.6 106 Pa 135.6M P a A a 33610 4
4
10-17 试确定图示T 字形截面的核心边界。图中y、 z 两轴为截面形心主惯轴。解：
z z
e y
i z
,
i z
a z
e z
a z z
33
i y604040 9060 4090 40 458.33cm2
1212
z33
40 60302( 4060)9040202(4090) 60 40 90 40
i z1212
800cm2
(1)e y 800
20cm .a z,e z0 40
(2)e y 800
13.33cm.a z,e z0 60
(3)e z 458.33
10.185cm e y0 45
(4)e z 458.33
cm e y0 4510.185
(5)e y 800
7.4(6)e y7.4 108
e z458.3310.185e10.185
45z
10-18 材料为灰铸铁HT15 － 33 的压力机框架如图示。许用拉应力[]＝ 30MPa，许
题10-18 图
用压应力 [] ＝ 80 MPa。试校核框架立柱的强度。
解：
y z (210) 1(26)5(2 5)9
4.05cm
2102625
y 5.95cm,A42cm2 1
J y 1023
( 210)2
263
2 6 0.952
523
4.952 12
3.05
12
10
12
487.9cm4
内N
M
z212103 2.89103 4.05102
26.85MPa
A T y4210 4487.910 8
M
z1
32
N 2.86 106 2.8910 5.951032.38MPa
外
J y
A487.910 8
10-19 电动机功率 N＝8.83kW ，转速 n=800r/m 。皮带轮直径 D ＝ 250mm，重量 G＝ 700N，皮带拉力为 T1，T2（T1＝ 2T2），轴的外伸端长 L=120mm，轴材料的许用应力 [ ] ＝ 100MPa。
试按第四强度理论设计电动机轴的直径
d 。
解：
M n
T 1
D
T 2 D
N 9.55
8.83
T 2
2
9.55
0.1054KN m
2
n
800
T 2
2 0.1054
0.843KN
0.25
R
3T 2 cos45
2 G
2
3T 2 cos 45
3
3
3 343 2
843
700
2
2
3064 N
3.064KN
M
R l
3.064
0.12 0.368KN
m
xd M 2 0.75M n
2 W z
W z M 2
0.75M n
2
0.368 2
0.75 0.10542 10 6 0.379 10 5 M
3
100
10
6
d
3
3.79 32 3.38cm
10-20 直径为 60cm 的两个相同皮带轮，
带是水平的， D 轮上是铅垂方向的。皮带拉力
n ＝ 100 r ／ m 时传递功率 N ＝ 7.36kW ，C 轮上皮
T 2 ＝ 1.5 kN ， T 1 ＞ T 2，设轴材料许用应力
[
]=80MPa ，试根据第三强度理论选择轴的直径，皮带轮的自重略去不计。
解：
M n
9.55
N
9.55
7.36
0.7029 KN m
n 100
D
T1T
2 2M n
T1
2M n20.7029
3.843KN T2D 1.50.6
M B T1T20.25 5.3430.25 1.336KN m M D 1.42520.4452 1.493KN m
M D 22226
W z M n 1.4930.7031020.63cm3
8010 6
d
32W z
3
32 20.63
3
5.95cm
10-21 图示钢制圆轴上有两个齿轮，齿轮 C 上作用着铅垂切向力
1＝5kN，齿轮D上作
P
用着水平切向力 P2＝ 10 kN 。若［］＝ 100 MPa，齿轮 C 的节圆直径 d C=30cm ，齿轮 D 的节圆直径 d D＝15cm。试用第四强度理论选择轴的直径。
解：
M n P1d c
5 0.150.75KN m
2
220.7526
W z 1.1250.18750.7510
100 10613.125cm
3
3
32W z3 3213.125
5.11cm d1
W
z 20.562520.37520.750.752106
1001069.375cm
3
332W
z
329.375
4.57cm
3
d2
10-22 某型水轮机主轴的示意图如图所示。水轮机的输出功
率为N＝37500kW ，转速n ＝150r ／m。已知轴向推力P y＝
4800kN ，转轮重W1＝390kN ；主轴的内径d＝34cm ，外径D＝
75cm ，自重 W＝ 285kN 。主轴材料为 45 钢，其许用应力为 [ ]
＝80 MPa。试按第四强度理论校核主轴的强度。
解：
M n9.55375002387.5KN m
150
N P y W c W4800390285 5475KN
A D 2 d 20.7520.3420.351m2
44
W p D 31 a 40.75310.45340.0793m3
1616
N5475103
15.6
A0.351
M n 2387.5 10 3
W p
0.0793 30.1MPa
xd 4
2
3
2
15.62
3 30.12
54.4MPa
10-23 图为某精密磨床砂轮轴的示意图。 已知电动机功率 N ＝3 kW ，转子转速 n ＝1400 r/m ，转子重量 Q 1 ＝ 101N 。砂 轮直径 D ＝ 250 mm ，砂轮重量 Q 2 ＝ 275 kN 。磨削力
P y : P z 3 :1，砂轮轴直径 d ＝ 50m ，材料为轴承钢， [
]＝ 60MPa 。（ 1）试用单元体表示
出危险点的应力状态， 并求出主应力和最大剪应力；
（2 ）试用第三强度理论校核轴的强度。
Q 2
Q 2
P z
P y
解：
M n
9.55 N
9.55
3 0.02046 KN m 20.46 N m
n
1400
P z
D M n
2
P z
2M n
2 20.46
163.68N
D
0.25
P y 3P z 491.04N
显然： P y 、P z 、Q 1和Q 2 相较均可以忽略不计。
故
M
max
275 1000
0.13 35750N m
M
35750 35750 32
2913MPa
max
0.053
W
3
d
32
10-24 曲柄臂尺寸如图示，若 P＝ 50 kN ，［］＝ 90 MPa ，试按第三强度理论对 m-m 及臂矩形截面 n-n 截面进行校核。
n
n
解：
m-m ：M n P 0.17 50 0.17 8.5KN m
M P(160 90) 10 312.5KN m
32M n2M 2328.5212.52106
xd 3 d 30.12389.1M P a
n-n：M n P9010 3 4.5KN m
M P14010 37 KN m
M7103
26.667M P a
W z7152
106
6
h150
2.14a0.249
b70{
0.79
M n
0.794.5103
19.42MPa
ab2 h0.249 157210 6
xd 3
2 4 226.667 2 4 19.42247.11MPa
10-25 图示传动轴左端伞形齿轮 C 上所受的轴向力
12
＝45.5kN，径P =16.5 kN ，周向力 P
向力 P 3＝ 4.14kN 。右端齿轮 D 上所受的周向力P2'144.9kN ，径向力 P3 '52.8kN ，若d=8cm ， [ ]=300MPa ，试按第四强度理论对轴进行校核。
3
D
解：
-
M max12.1716 2 4.4352 212.95KN m
N M max16.5 10312.5910 3
3.283257.63260.92 MPa
max
W z0.0820.083
A
432
材料力学第六章复习题
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 1
1 第六章 弯曲应力 1．图示梁的材料为铸铁，截面形式有四种如图： 最佳形式为 。 2．为了提高梁的承载能力，对同一梁、相同的均布载荷q ，下列哪一种支承条件下，梁的强度最好： 正确答案是 。 3．设计钢梁时，宜采用中性轴为（ ）的截面；设计铸铁梁时，宜采用中性轴为（ ）的截面。 正确答案是 。 (A) 对称轴 (B) 偏于受拉边的非对称轴 （C) 偏于受压边的非对称轴 (D) 对称或非对称轴 4．梁在弯曲时，横截面上正应力沿高度是按 分布的；中性轴上的正应力为 ； 矩形截面梁横截面上剪应力沿高度是按 分布的，中性轴上的剪应力为 。 5．矩形截面梁若 max Q 、m ax M 和截面宽度b 不变， 而将高度增加一倍，则最大弯曲正应力为原来的 倍，最大弯曲剪应力为原来的 倍。 6．图示正方形截面简支梁，若载荷不变， 而将边长增加一倍，其则最大弯曲正应力为原来的 倍， 最大弯曲剪应力为原来的 倍。 q (((( ( q l ( q l l 3l ( q l l l ( q l q l a a
1 7．下图所示的梁跨中截面上A 、B 两点的应力A σ= ； A τ= ； B τ= 。 8．图示T 字形截面梁。若已知A —A 截面上、下表面处沿x 方向的线应变分别是 0004.0-='ε， 0002.0=''ε，则此截面中性轴位置=c y h （C 为形心） 9．铸铁丁字形截面梁的许用应力分别为：许用拉应力 [ t σ] = 50MPa ，许用压应力[ c σ ] = 200 MPa 。则 上下边缘距中性轴的合理比值为 21/y y 为多少？（C 为形心） 10．⊥形截面铸铁悬臂梁，尺寸及载荷如图所示。若材料的拉伸许用应力[]MPa l 40=σ，压缩许用应 力 []MPa c 160=σ，截面对形心轴z c 的惯性矩410180cm zc =I ，cm h 64.91=，试计算该 梁的许可载荷P 。 11．正方形截面简支梁，受有均布载荷作用如图，若[σ ] = 6 [ τ ] ，证明当梁内最大正应力和最大剪应力同 时达到许用应力时，l / a = 6 0.l l q B A 0. z c z y 1 y 2 C P P A A εε x y y h A-z C P B 2P 1400 C A 600 y c z c 50 150 C 50
《材料力学复习题》 考试形式：开卷。 1.构件在外荷载作用下具有抵抗破坏的能力为材料的（）；具有一定的抵抗变形的能力为 材料的（）；保持其原有平衡状态的能力为材料的（）。 答案：强度、刚度、稳定性。 2.图示圆截面杆件,承受轴向拉力F作用。设拉杆的直径为d，端部墩头的直径为D，高度 为h，试从强度方面考虑，建立三者间的合理比值。已知许用应力[σ]=120MPa，许用切应力[τ]=90MPa，许用挤压应力[σbs]=240MPa。 解：由正应力强度条件 由切应力强度条件 由挤压强度条件 式(1)：式(3)得 式(1)：式(2)得 故D：h：d=1.225：0.333：1 3.轴力是指通过横截面形心垂直于横截面作用的内力，而求轴力的基本方法是（）。
答案：截面法。 4.工程构件在实际工作环境下所能承受的应力称为（），工件中最大工作应力不能超过 此应力，超过此应力时称为（）。 答案：许用应力，失效。 5.所有脆性材料，它与塑性材料相比，其拉伸力学性能的最大特点是（）。 （A）强度低，对应力集中不敏感； （B）相同拉力作用下变形小； （C）断裂前几乎没有塑性变形； （D）应力-应变关系严格遵循胡克定律。 答案：C 6.现有三种材料的拉伸曲线如图所示。分别由此三种材料制成同一构件，其中：1）强度 最高的是（）；2）刚度最大的是（）；3）塑性最好的是（）；4）韧性最高，抗冲击能力最强的是（）。 答案：A，B，C，C 7.试计算图示各杆的轴力，并指出其最大值。 答案 （a）F NAB=F,F NBC=0,F N，max=F （b）F NAB=F,F NBC=－F,F N，max=F （c）F NAB=－2 kN, F N2BC=1 kN,F NCD=3 kN,F N，max=3 kN （d）F NAB=1 kN,F NBC=－1 kN,F N，max=1 kN
第6章 应力状态分析 一、选择题 1、对于图示各点应力状态，属于单向应力状态的是（A ）。 20 （MPa ） 20 d （A ）a 点；（B ）b 点；（C ）c 点；（D ）d 点 。 2、在平面应力状态下，对于任意两斜截面上的正应力αβσσ=成立的充分必要条件，有下列四种答案，正确答案是（ B ）。 （A ）,0x y xy σστ=≠；（B ）,0x y xy σστ==；（C ）,0x y xy σστ≠=；（D ）x y xy σστ==。 3、已知单元体AB 、BC 面上只作用有切应力τ，现关于AC 面上应力有下列四种答案，正确答案是（ C ）。 （A ）AC AC /2,0ττσ== ； （B ）AC AC /2,/2ττ σ==； （C ）AC AC /2,/2 ττσ==；（D ）AC AC /2,/2ττσ=-=。 4、矩形截面简支梁受力如图（a ）所示，横截面上各点的应力状态如图（b ）所示。关于它们的正确性，现有四种答案，正确答案是（ D ）。
(b) (a) （A）点1、2的应力状态是正确的；（B）点2、3的应力状态是正确的； （C）点3、4的应力状态是正确的；（D）点1、5的应力状态是正确的。 5、对于图示三种应力状态（a）、（b）、（c）之间的关系，有下列四种答案，正确答案是（D ）。 τ (a) (b) (c) （A ）三种应力状态均相同；（B）三种应力状态均不同； （C）（b）和（c）相同；（D）（a ）和（c）相同； 6、关于图示主应力单元体的最大切应力作用面有下列四种答案，正确答案是（B ）。 (A) (B) (D) (C) 解答： max τ发生在 1 σ成45的斜截面上 7、广义胡克定律适用范围，有下列四种答案，正确答案是（C ）。 （A）脆性材料；（B）塑性材料； （C）材料为各向同性，且处于线弹性范围内；（D）任何材料； 8、三个弹性常数之间的关系：/[2(1)] G E v =+适用于（C ）。 （A）任何材料在任何变形阶级；（B）各向同性材料在任何变形阶级； （C）各向同性材料应力在比例极限范围内；（D）任何材料在弹性变形范围内。
第六 弯曲应力 第六章答案 6.1钢丝直径d=0.4mm, 弹性模量E=200GPa, 若将钢丝弯成直径D=400mm 的圆弧时，试求钢丝横截面上的最大弯曲正应力。（200MPa ） 解：钢丝的弯矩和中性层曲率半径之间的关系为： EI M = ρ 1 则： ρ EI M = ，由弯曲正应力公式得ρ σmax max My = = ρ max Ey ，钢丝弯成圆弧后，产生的弯 曲变形，其中性层的曲率半径2 2D d D ≈+= ρ 2 )2(max D d E = σ==D Ed MPa 2004004.0102003 =?? 6.2 矩形截面梁如图所示。b = 8cm, h =12cm, 试求危险截面上a 、c 、d 三点的弯曲正应力。（20.8MPa, 10.4MPa, 0） 解：由平衡方程 0)(=∑F M A 得到： KN F F B A 4422 1 =??= = 危险截面在梁的中点处： KNm ql M 4428 1 8122max =??== I z = 121 2h b ??=4431011521208012 1mm ?=?? M P a I My MPa I My I My z d d z c c z a a 83.2010 11526010442.1010115230 1040 4 646=???===???====σσσ A F B F s F M M 机械 土木
6.3 从直径为d 的圆木中截取一矩形截面梁，试根据强度观点求出所截取的矩形截面的最合理的高h 和宽b 。(h= d 36, b=d 3 3) 解：最大弯曲正应力： z z W M y I M m a x m a x m a x m a x == σ h/b 的最佳值应应使梁的抗弯截面系数为最大。抗弯截面系数： )(6 1 )(616132222b b d b d b bh W -=-== 为b 为自变量的函数。 由 06 322=-=b d dt dW 3 6 333222d b d h d d b =-=== 6.4 图示两根简支梁，其跨度、荷载及截面面积都相同。一个是整体截面梁，另一个是由两根方木叠置而成（二方木之间不加任何联系），试画出沿截面高度的弯曲正应力分布 图，并分别计算梁中的最大弯曲正应力。（3 2a 16ql 3, 3 2a 8ql 3） 解：做出梁的弯矩图如右所示： （1）对于整体截面梁： 3223 2 )2(3161a a a bh W z =?== 故：3232max max 1633 281a ql a ql W M z = == σ （2）对于两根方木叠置 由于这是两个相同的方木叠合而成， 且其之间不加任何的联系，故有 3 2163a ql 3 2163a ql M 1 机械 土木 M 8
材料力学(金忠谋)第六版答案第02章 习题2-1 一木柱受力如图示，柱的横截面为边长20cm的正方形，材料服从虎克定律，其弹性模量E??105MPa．如不计柱自重，试求：作轴力图；各段柱横截面上的应力；各段柱的纵向线应变；柱的总变形．解：轴力图AC段应力???100??260????106?a????a CB 段应力?????106?a????a AC段线应变???4N- 图??????10??105CB段线应变????????10?4 5??10 总变形??????10?4???10?4???10?3m 2-2 图(a)所示铆接件，板件的受力情况如图所示．已知：P＝7 kN，t＝，b1＝，b2=，b3=。试绘板件的轴力图，并计算板内的最大拉应力。解: 轴力
图?1?1???22?73?2??107?1 0?6???a ??2?107?10?6???a ?3? 7?107?10?6???a ??2最大拉应力?max??3???a 2-3 直径为１cm 的圆杆，在拉力P＝10 kN的作用下，试求杆内最大剪应力，以及与横截面夹角为?＝30o的斜截面上的正应力与剪应力。解: 最大剪应力?max??2?12?2?107?6??10?10???a 221?d??14 ??30?界面上的应力???????2?1?cos2????3???a 2?sin2???sin30????a ?22-4 图示结构中ABC与CD均为刚性梁，C与D均为铰接，铅垂力P＝20kN作用在C铰，若杆的直径d1=1cm，杆的直径d2=2cm，两杆的材料相同，E＝200Gpa，其他尺寸如图示，试求两杆的应力；C点的位移。解1杆的应力?(1)??1?d1244?20??12?107?10?6???a 2杆的应力?(2)?2?1?d2422?20??22?107?10? 6???a ?l1? C点的位
10-1 试计算图示各梁指定截面（标有细线者）的剪力与弯矩。 解：(a) (1) 取A +截面左段研究，其受力如图； 由平衡关系求内力 0SA A F F M ++== (2) 求C 截面内力； 取C 截面左段研究，其受力如图； 由平衡关系求内力 2 SC C Fl F F M == (3) 求B -截面内力 截开B -截面，研究左段，其受力如图； 由平衡关系求内力 SB B F F M Fl == q B (d) (b) (a) SA+ M A+ SC M C A SB M B
(b) (1) 求A 、B 处约束反力 e A B M R R l == (2) 求A +截面内力； 取A +截面左段研究，其受力如图； e SA A A e M F R M M l ++=-=- = (3) 求C 截面内力； 取C 截面左段研究，其受力如图； 22 e e SC A A e A M M l F R M M R l +=-=- =-?= (4) 求B 截面内力； 取B 截面右段研究，其受力如图； 0e SB B B M F R M l =-=- = (c) (1) 求A 、B 处约束反力 e M A+ M C B R B M B
A B Fb Fa R R a b a b = =++ (2) 求A +截面内力； 取A +截面左段研究，其受力如图； 0SA A A Fb F R M a b ++== =+ (3) 求C -截面内力； 取C -截面左段研究，其受力如图； SC A C A Fb Fab F R M R a a b a b --== =?=++ (4) 求C +截面内力； 取C +截面右段研究，其受力如图； SC B C B Fa Fab F R M R b a b a b ++=-=- =?=++ (5) 求B -截面内力； 取B -截面右段研究，其受力如图； 0SB B B Fa F R M a b --=-=- =+ (d) (1) 求A +截面内力 取A +截面右段研究，其受力如图； A R SA+ M A+ R A SC- M C- B R B M C+ B R B M q B M
第六章 简单超静定问题 习题解 [习题6-1] 试作图示等直杆的轴力图 解：把B 支座去掉，代之以约束反力B R （↓）。设2F 作用点为C ， F 作用点为D ，则： B BD R N = F R N B CD += F R N B A C 3+= 变形谐调条件为： 0=?l 02=?+?+?EA a N EA a N EA a N BD CD AC 02=++BD CD AC N N N 03)(2=++++F R F R R B B B 45F R B - =（实际方向与假设方向相反，即：↑） 故：45F N BD -= 445F F F N CD -=+-= 4 7345F F F N AC = +-= 轴力图如图所示。
[习题6-2] 图示支架承受荷载kN F 10=，1，2，3各杆由同一种材料制成，其横截面面积 分别为21100mm A =，2 2150mm A =，23200mm A =。试求各杆的轴力。 解：以节点A 为研究对象，其受力图如图所示。 ∑=0X 030cos 30cos 01032=-+-N N N 0332132=-+-N N N 0332132=+-N N N (1) ∑=0Y 030sin 30sin 0103=-+F N N 2013=+N N (2) 变形谐调条件： 设A 节点的水平位移为x δ，竖向位移为y δ，则由变形协调图（b ）可知： 00130cos 30sin x y l δδ+=? x l δ=?2 00330cos 30sin x y l δδ-=? 03130cos 2x l l δ=?-? 2313l l l ?=?-? 设l l l ==31，则l l 2 32= 2 23 31123 3EA l N EA l N EA l N ? ?=- 2 2 331123A N A N A N =- 150 23200100231?=-N N N
附录I 截面图形的几何性质 I-1 求下列截面图形对z 轴的静矩与形心的位置。 解：（a ）)2 )2((2)2(2 h t h b t h ht t h bt s z ++=? ++= h b h t h b h b t h t h b t A s y z c +++=+++==2)2()()2)2((2 2 （b ） 3223 32219211)}2)4 ()43()41 ()43(32(])4()43[(2{4442D D D D D D D D D D s z =--?-+??-=ππ D D D D D D A s y z c 1367.0])2 ()43[(2)44(219211223 =-?+?==π （c ） ]22)[(22)(2 h t t b t h ht t t t b s z + ?-=?+??-= ) (2)(2 t b h h t t b A s y z c -++-== I-2 试求（1）图示工字形截面对形心轴 y 及 z 的惯性矩z I 与I y 。 （2）图示 T 字形截面对形心轴的惯矩z I 与I y 。 t b
解(a) 12 )2)((12)2)((123 333t h t b bh t h t b bh J z ---=---= 12))2(2(12))(2(1222333t t h b t t t h tb J y -+=-+= (b) cm y c 643.9) 520515(2) 515(552522=?+?-?+?= 4 3 34 232 3161512 1551252010186520)643.91025(12 205515)5.2643.9(12515cm J cm J y z =?+?==??--+?+??-+?= I-3 求图示椭圆截面对长轴的惯矩、惯性半径与对形心的极惯矩。 解： θθcos , sin ?=?=a z b y θθd b dy cos = ??--?==∴ b b b b z zdy y dA y J 222 322 223 224 cos sin 2cos cos sin 2ab d ab d b a b J b b z π θθθθθθθπ π==?= ?? -- (a) b
材料力学阶段练习一 及答案
华东理工大学 网络教育学院材料力学课程阶段练习一 一、单项选择题 1.如图所示的结构在平衡状态下，不计自重。对于CD折杆的受力图，正确的是( ) A. B. C. D.无法确定 2.如图所示的结构在平衡状态下，不计自重。对于AB杆的受力图，正确的是( )
A. B. C. D.无法确定 3.如图所示悬臂梁，受到分布载荷和集中力偶作用下平衡。插入端的约束反力为( )
A.竖直向上的力，大小为qa qa 2；逆时针的力偶，大小为2 qa B.竖直向上的力，大小为qa 2；顺时针的力偶，大小为2 qa C.竖直向下的力，大小为qa 2；逆时针的力偶，大小为2 qa D.竖直向下的力，大小为qa 2；顺时针的力偶，大小为2 4.简支梁在力F的作用下平衡时，如图所示，支座B的约束反力为( ) A.F，竖直向上 B.F/2，竖直向上 C.F/2，竖直向下 D.2F，竖直向上 5.简支梁，在如图所示载荷作用下平衡时，固定铰链支座的约束反力为( )
A.P，竖直向上 B.P/3，竖直向上 C.4P/3，竖直向上 D.5P/3，竖直向上 6.外伸梁，在如图所示的力和力偶作用下平衡时，支座B的约束反力为( ) A.F，竖直向上 B.3F/2，竖直向上 C.3F/2，竖直向下 D.2F，竖直向上 7.如图所示的梁，平衡时，支座B的约束反力为( ) A. qa，竖直向上 B. qa，竖直向下 C. qa 2，竖直向上 D. qa 4，竖直向上 8.关于确定截面内力的截面法的适用范围有下列说法，正确的是( )。
A.适用于等截面直杆 B.适用于直杆承受基本变形 C.适用于不论基本变形还是组合变形，但限于直杆的横截面 D.适用于不论等截面或变截面、直杆或曲杆、基本变形或组合变形、横截面或任意截面的普遍情况 9.下列结论中正确的是( )。 A.若物体产生位移，则必定同时产生变形 B.若物体各点均无位移，则该物体必定无变形 C.若物体无变形，则必定物体内各点均无位移 D.若物体产生变形，则必定物体内各点均有位移 10.材料力学根据材料的主要性能作如下基本假设，错误的是( )。 A.连续性 B.均匀性 C.各向同性 D.弹性 11.认为固体在其整个几何空间内无间隙地充满了物质，这样的假设称为( ) A.连续性 B.均匀性 C.各向同性 D.小变形 12.如图所示的单元体，虚线表示其受力的变形情况，则单元体的剪应变γ＝( )。 A.α B.2α
第六章弯曲变形 一、是非判断题 1．梁的挠曲线近似微分方程为EIy’’=M（x）。（√）2．梁上弯矩最大的截面，挠度也最大，弯矩为零的截面，转角为零。（×）3．两根几何尺寸、支撑条件完全相同的静定梁，只要所受载荷相同，则两梁所对应的截面的挠度及转角相同，而与梁的材料是 否相同无关。（×）4．等截面直梁在弯曲变形时，挠曲线的曲率最大值发生在转角等于零的截面处。（×）5．若梁上中间铰链处无集中力偶作用，则中间铰链左右两侧截面的挠度相等，转角不等。（√）6．简支梁的抗弯刚度EI相同，在梁中间受载荷F相同，当梁的跨度增大一倍后，其最大挠度增加四倍。（×）7．当一个梁同时受几个力作用时，某截面的挠度和转角就等于每一个单独作用下该截面的挠度和转角的代数和。（√）8．弯矩突变的截面转角也有突变。（×） 二、选择题 1. 梁的挠度是（D） A 横截面上任一点沿梁轴线方向的位移 B 横截面形心沿梁轴方向的位移 C横截面形心沿梁轴方向的线位移
D 横截面形心的位移 2. 在下列关于挠度、转角正负号的概念中，（B）是正确的。 A 转角的正负号与坐标系有关，挠度的正负号与坐标系无关 B 转角的正负号与坐标系无关，挠度的正负号与坐标系有关 C 转角和挠度的正负号均与坐标系有关 D 转角和挠度的正负号均与坐标系无关 3. 挠曲线近似微分方程在（D）条件下成立。 A 梁的变形属于小变形 B 材料服从胡克定律 C 挠曲线在xoy平面内 D 同时满足A、B、C 4. 等截面直梁在弯曲变形时，挠曲线的最大曲率发生在（D）处。 A 挠度最大 B 转角最大 C 剪力最大 D 弯矩最大 5. 两简支梁，一根为刚，一根为铜，已知它们的抗弯刚度相同。跨中作用有相同的力F，二者的（B）不同。 A支反力 B 最大正应力 C 最大挠度D最大转角6. 某悬臂梁其刚度为EI，跨度为l，自由端作用有力F。为减小最大挠度，则下列方案中最佳方案是（B） A 梁长改为l /2，惯性矩改为I/8 B 梁长改为3 l /4，惯性矩改为I/2 C 梁长改为5 l /4，惯性矩改为3I/2 D 梁长改为3 l /2，惯性矩改为I/4 7. 已知等截面直梁在某一段上的挠曲线方程为： y(x)=Ax2(4lx - 6l2-x2)，则该段梁上（B）
习题2-1一木柱受力如图示，柱的横截面为边长20cm 的正方形，材料服从虎克定律，其弹性模量E0.10 10 5MPa．如不计柱自重，试求： （1）作轴力图； （2）各段柱横截面上的应力； （3）各段柱的纵向线应变； （4）柱的总变形． 解： （1）轴力图 （2） AC 段应力 100 10 3 2.5 10 6 a 2.5 a 0.2 2 CB 段应力 260 10 3 6.5 10 6 a 6.5a 0.2 2 （ 3）AC 段线应变 0.12.5 2.510 4N- 图105 CB 段线应变 0.16.5 6.510 4 105 （ 4）总变形 2.510 4 1.5 6.5 10 4 1.5 1.35 103 m 2-2图 (a) 所示铆接件，板件的受力情况如图（ｂ）所示．已知：P＝ 7 kN ， t＝ 0.15cm， b1＝ 0.4cm，b2 =0.5cm， b3=0.6cml 。试绘板件的轴力图，并计算板内的最大拉应力。 解: （1）轴力图
1 7 （2） 1 3 10 7 10 6 194.4 a 0.4 0.15 2 2 7 3 10 7 10 2 0.5 0.15 2 3 0.15 7 107 10 0.6 2 6 6 311.1 a 388.9 a 最大拉应力 max3388.9 a 2-3 直径为１ cm 的圆杆， 在拉力 P ＝ 10 kN 的作用下， 试求杆内最大剪应力， 以及与横截面夹角为 ＝ 30o 的斜截面上的正应力与剪应力。 解 : （ 1） 最大剪应力 max 1 2 2 （ 2） 30 界面上的应力 2 10 10 7 10 6 63.66 a 41 d 2 12 1 cos 2 63.66 3 95.49 a 2 2 sin 2 63.66 sin 30 55.13 a 2 2-4 图示结构中 ABC 与 CD 均为刚性梁， C 与D 均为铰接，铅垂力 P ＝ 20kN 作用在 C 铰，若（ 1）杆的 直径 d 1=1cm ，（ 2）杆的直径 d 2=2cm ，两杆的材料相同， E ＝ 200Gpa ，其他尺寸如图示，试求（ 1）两杆 的应力；（ 2） C 点的位移。 解 （ 1） 1 杆的应力 (1) 4 20 10 7 10 6 254.6 a 41 d 1 2 12 2 杆的应力 (2) 2 2 20 10 7 10 6 127.3 a 41 d 2 2 22 （ 2） C 点的位移 l 1 l 1 254.6 2 2.546 10 3 m 0.2546cm (1) 200 10 3
1、 轴向拉伸的等直杆，杆内任一点处最大剪应力的方向与轴线成 ___________。 2、 一空心圆截面直杆，其内、外径之比为α=0.8，两端承受轴向拉 力作用，如将内、外径增加一倍，则其抗拉刚度将是原来的________倍。 3、 在减速箱中，转速低的轴的直径比转速高的轴_____________。 4、 若梁上某段内的弯矩值全为零，则该段的剪力值为 _____________。 5、 梁的截面为对称的空心矩形，如图1所示，这时，梁的抗弯截面 模量W 为_______________。 6、 在梁的变形中挠度和转角之间的关系是____________。 7、 减小梁变形的主要途径有：_______________ 、 __________________ 、_________________。 8、 二向应力状态（已知x σ，y σ ，xy τ）的应力圆圆心的 横坐标值为_____________________，圆的半径为_____________。 9、与图2所示应力圆对应的单元体是____________向应力状态。 图1 图2 10、 将圆截面压杆改成面积相等的圆环截面压杆，其它条件不变，其柔度将 ________，临界应力将________。 工程上通常把延伸率δ>________的材料称为塑性材料。 b b h h 1 2
低碳钢经过冷作硬化处理后，它的_________极限得到了明显的提高。 图1正方形单元体ABCD ，变形后成为AB `C`D`。单元体的剪应变为_________。 简支梁全梁上受均布荷载作用，当跨长增加一倍时，最大剪力增加一倍，最大弯矩增加了_______________倍。 如图2所示截面的抗弯截面模量Wz =_________________。 运用叠加原理求梁的变形时应满足的条件是：___________________________。 已知梁的挠曲线方程为)3(6)(2 x l EI Px x y -= ，则该梁的弯矩方程是______________________。 图1 图2 单向受拉杆，若横截面上的正应力为σ0,则杆内任一点的最大正应力为_______，最大剪应力为____________。 图3应力圆，它对应的单元体属______________________应力状态。 细长杆的临界力与材料的____________________有关， 为提高低碳钢压杆的稳定性，改用高强刚不经济，原因是 _______________________________。 图3 z h b d τ σ
第十章动载荷 一、选择题 1、在用能量法计算冲击应力问题时，以下假设中（ D ）是不必要的。 A 冲击物的变形很小，可将其视为刚体； B 被冲击物的质量可以忽略，变形是线弹性的； C 冲击过程中只有应变能、势能和动能的变化，无其它能量损失； D 被冲击物只能是杆件。 2．在冲击应力和变形实用计算的能量法中，因不计被冲击物的质量，所以计算结果与实际情况相比（ D ）。 A 冲击应力偏大，冲击变形偏小； B 冲击应力偏小，冲击变形偏大； C 冲击应力和冲击变形均偏大； D 冲击应力和冲击变形均偏小。 3．四种圆柱及其冲击载荷情况如图所示，柱C上端有一橡胶垫。其中柱（ D ）内的最大动应力最大。 A B C D 二、计算题 1、重量为P的重物从高度H处自由下落到钢质曲拐上，试按第三强度准则写出危险点的相 当应力。
解：在C 点作用静载荷P 时，BC 段产生弯曲变形，AB 段产生弯扭组合变形，C 点的静位移： a GI Pal EI Pl EI Pa a f f PAB AB BC AB B C st ?++=?++=?3333? st d H K ?++=211 式中，b h I BC 123=，644d I AB π=，32 4d I PAB π= 危险点在A 截面的上下端，静应力为： Z Z r W l a P W T M 2 2223+=+=σ 式中，323 d W Z π= 则动应力为： Z d r d d W l a P K K 223+=?=σσ 2、图示横截面为m m 25m m 75?=?h b 的铝合金简支梁，在跨中增加一刚度kN/m 18=K 的 弹簧支座，重量为N 250=P 的重物从高度mm 50=H 自由下落到梁的中点C 处。若铝合金的弹性模量GPa 70=E ，试求冲击时梁内的最大正应力。 解：在C 点作用静载荷P 时，AB 梁为静不定问题，变形协调条件为梁中点变形等于弹簧变形，故有：
6-2. 用积分法求图示各梁的挠曲线方程、自由端的挠度和转角。设EI=常量。 解：（1）列弯矩方程 ?? ?∈---=∈-=) 2,[ )()(] ,0[ )(222221111a a x a x P Px x M a x Px x M （2）挠曲线近似微分方程 ?? ?---==-==) ()('')(''222221 111a x P Px x M EIy Px x M EIy （3）直接积分两次 ?????? ? +---=+-=2 222221211)(2 2'2 'C a x P x P EIy C x P EIy ??? ??? ? ++---=++-=2 2232322111311)(666 D x C a x P x P EIy D x C x P EIy （4）确定积分常数 边界条件： 0' ,0 :2222===y y a x 光滑连续条件： '' , :212121y y y y a x x ==== 求解得积分常数 3 212 212 7 2 5Pa D D Pa C C - === = 梁的挠曲线方程和转角方程是 b)
?????? ?+---=+-=2 22 2222 2112 5)(22'252'Pa a x P x P EIy Pa x P EIy ??? ??? ?-+---=-+-=3 2 2323223123112725)(662 7256Pa x Pa a x P x P EIy Pa x Pa x P EIy （5）自由端的挠度和转角 令x1=0： EI Pa y EI Pa y 25' ,272 13 1= - = 6-4. 求图示悬臂梁的挠曲线方程，自由端的挠度和转角。设EI=常量。求解时应 注意CB 段内无载荷，故CB 仍为直线。 解：（1）求约束反力 Pa M P R A A == （2）列AC 段的弯矩方程 ],0( )(a x Pa Px x M ∈-= （3）挠曲线近似微分方程 Pa Px x M EIy -==)('' （4）直接积分两次 D Cx x Pa x P EIy C Pax x P EIy ++- = +-=2 32 2 6 2' a) M A
第五章 弯曲内力 5-1 试求下列各梁在指定1、2、3截面上的剪力和弯矩值． 解：（a ） 01=Q a M Q 202= a M Q 20 3= 01M M -= 02M M -= 2 3M M - = （b ） ql Q =1 ql Q =2 ql Q =3 2123ql M - = 2223ql M -= 232 3ql M -= （c ） qa Q -=1 qa Q -=2 qa Q 4 3 3= 01=M 2 2qa M -= 23qa M -= （d ） l q Q 0161= l q Q 02241= l q Q 033 1-=
01=M 20216 1 l q M = 03=M （e ） KN Q 51= KN Q 51-= KN Q 51-= 01=M 02=M 03=M （f ） KN Q 101= KN Q 102= KN Q 103= m KN M ?=51 m KN M ?=52 m KN M ?-=103 5-2 试写出下列各梁的剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图，确定|F max |和|M max |。 解：（a ） l M x Q 03)(= 00 3(x ) M x l M M -= l M Q 0 max 3= 0m a x 2M M = （b ） 0)(1=x Q pa x M =)(1 p x Q -=)(2 )()(2a x p pa x M --=
p Q =max pa M =max （c ） p x Q -=)(1 px x M -=)(1 p x Q 21)(2= )(2 3 )(2a x p px x M ---= p Q =max pa M =max （a ）Q 图 （b ）Q 图 （c ）Q 图 02M 0M P a （a ）M 图 （b ）M 图 （c ）M 图 4/qa （d ）Q 图 （e ）Q 图 （f ）Q 图 2 2 ql 22ql 22ql 2 2 ql （d ）M 图 （e ）M 图 （f ）M 图
第二章 轴向拉伸与压缩 1、试求图示各杆1-1和2-2横截面上的轴力,并做轴力图。 （1） （2） 2、图示拉杆承受轴向拉力F =10kN ，杆的横截面面积A =100mm 2 。如以α表示斜截面与横 截面的夹角，试求当α=10°,30°,45°,60°,90°时各斜截面上的正应力和切应力,并用图表示其方向。 3、一木桩受力如图所示。柱的横截面为边长200mm 的正方形,材料可认为符合胡克定律,其弹性模量E =10GPa 。如不计柱的自重，试求： (1)作轴力图； (2)各段柱横截面上的应力； (3)各段柱的纵向线应变； (4)柱的总变形。 4、(1)试证明受轴向拉伸(压缩)的圆截面杆横截面沿圆周方向的线应变d ε,等于直径方向的 线应变d ε。 (2)一根直径为d =10mm 的圆截面杆,在轴向拉力F 作用下,直径减小0.0025mm 。如材料的弹性摸量E =210GPa ，泊松比ν=0.3,试求轴向拉力F 。 (3)空心圆截面钢杆,外直径D =120mm,内直径d =60mm,材料的泊松比ν=0.3。当其受轴向拉伸时, 已知纵向线应变ε=0.001,试求其变形后的壁厚δ。
5、图示A和B两点之间原有水平方向的一根直径d=1mm的钢丝,在钢丝的中点C加一竖直荷载F。已知钢丝产生的线应变为ε=0.0035,其材料的弹性模量E=210GPa，钢丝的自重不计。试求： (1) 钢丝横截面上的应力(假设钢丝经过冷拉,在断裂前可认为符合胡克定律)； (2) 钢丝在C点下降的距离?； (3) 荷载F的值。 6、简易起重设备的计算简图如图所示.一直斜杆AB应用两根63mm×40mm×4mm不等边角钢组 [σ=170MPa。试问在提起重量为P=15kN的重物时,斜杆AB是否满足强度成,钢的许用应力] 条件? 7、一结构受力如图所示,杆件AB,AD均由两根等边角钢组成。已知材料的许用应力[σ=170MPa，试选择杆AB,AD的角钢型号。 ] E
3-1求图中所示杆各个横截面上的应力，已知横截面面积A=400mm 2。 解a): MPa MPa 100400 10400 50400 10203 323 1=?==-=?-=σσσ 题3-1a)图 解b): MPa MPa MPa 25400 10 105050400 10203 223 1=?= -=-=?-=右左σσσ MPa MPa 125400 105025333=?==右 左σσ 题3-1b)图 3-2图中为变截面杆，如果横截面面积A 1=200mm 2，A 2=300mm 2，A 3=400mm 2，求杆内各横截面上的应力。 解a ）: MPa MPa MPa 100400 10407.6630010205020010103 33 23 1=?=-=?-==?=σσσ 题3-2a)图 解b): MPa MPa 75400 10303.3330010100 3 33 21-=?-==?==σσσ 题3-2b)图 20kN 30kN
3-3 图示杆系结构中，各杆横截面面积相等，即A=30cm 2，载荷F=200kN 。试求各杆横截面上的应力。 解:(1)约束反力: kN F F kN F F kN F F AX AY Dy 2001504 3 15043 ====== (2)各杆轴力 ) (250150200) (150)(200)(150222 2压压拉拉kN F F F kN F F kN F F kN F F NCD NAC NAC D NCD AX NAC AY NAB =+=+======= 题3-3图 (3)各杆的正应力 ) (3.83300 10250,)(5030010150) (7.66300 10200,)(50300101503 33 3压压拉拉MPa MPa MPa MPa AC CD AC AB -=?-=-=?-==?==?=σσσσ 3-4钢杆CD 直径为20mm ，用来拉住刚性梁AB 。已知F=10kN ，求钢杆横截面上的正应力。 解: ) (7.112204 104.3544.3545cos 1) 5.11(23 2拉MPa d F kN F F NCD CD o NCD =??===?+=ππσ 题3-4图 3-5图示结构中，1、2两杆的横截面直径分别为10mm 和20mm ，试求两杆内的应力。设结构的横梁为刚体。 解:取BC 段分析， 题3-5图 kN F F F M BY Cy Cx B 10,0,0, 0====∑ 取AB 段分析: kN F kN F M B 20,10, 021=-==∑ CX F A F By
第九章 强度理论 习 题 9-1 脆性材料的极限应力+b σ＝40MPa ，- b σ＝130MPa ，从受力物体内取下列三个单元 体(a)、(b)、(c)，受力状态如图示。试按（1）第一强度理论，（2）第二强度理论，判断何者已到达危险状态，设30.0=μ。 解：按第一强度理论 （a ）：114540xd σσ==>，危险。其余安全。 按第二强度理论 （b ）()2 12335120350.312071xd b σσμσσμσ+ =-+=+?=+?=>，危险。其余安全。 9-2 塑性材料的极限应力σs ＝200 MPa ，从受力物体内取下列三个单元体（a ）、（b ）、（c ），受力状态如图示。试按（1）第三强度理论，（2）第四强度理论，判断何者已达到危险状态。 解：按第三强度理论： （a ）3 1316060220xd s σσστ=-=+=>危险。其余安全。 按第四强度理论：按下列公式计算 4xd σ= 全部都不安全。
9-3 工字钢梁受载荷时，某一点处的受力情况表示如下： σ=120MPa ，τ=40MPa 。若[σ]=140MPa ，试按第四强度理论作强度校核。 解： [] 4138xd MPa σσ=< 所以安全。 9-4 某梁在平面弯曲下，已知危险截面上作用有弯矩M ＝50.9 m kN ?，剪力F S ＝134.6 kN ，截面为No. 22b 工字钢，[σ]＝160 MPa ，试根据第三强度理对梁作主应力校核。 解：A 点： 3 max 6 31350.910156.6232510 156.62xd M MPa W MPa σσσσ-?===?=-= C 点： [] 2 42 2 26 4 1.5xd pD t t p MPa σσσ= ?==≤???= ==3 23 3134.61075.7618.7109.510 2151.53xd QS MPa Jt MPa τστ--?===???== B 点： 题 9-3 图
6-1试作图示等直杆的轴力图。 解：取消A端的多余约束，以代之，则（伸长），在外力作用下杆产生缩短变形。 因为固定端不能移动，故变形协调条件为： 故 故 返回 6-2图示支架承受荷载各杆由同一材料制成，其横截面面积分 别为，和。 试求各杆的轴力。 解：设想在荷载F作用下由于各杆的变形，节点A移至。 此时各杆的变形及如图所示。现求它们之 间的几何关系表达式以便建立求内力的补充方程。
即： 亦即： 将，，代入， 得： 即： 亦即： （1） 此即补充方程。与上述变形对应的内力如图所示。根据节点A的平衡条件有： ； 亦即：（2） ；， 亦 即： （3） 联解（1）、（2）、（3）三式得：
（拉） （拉） （压） 返回 6-3 一刚性板由四根支柱支撑，四根支柱的长度和截面都相同，如图所示。如果荷载F作用在A点，试求这四根支柱各受力多少。 解：因为2，4两根支柱对称，所以，在F力作用下：
变形协调条件： 补充方程： 求解上述三个方程得： 返回 6-4 刚性杆AB的左端铰支，两根长度相等、横截面面积相同的钢杆CD和EF 使该刚性杆处于水平位置，如图所示。如已知，两根钢杆的横截面面 积，试求两杆的轴力和应力。 解：， （1） 又由变形几何关系得知： ，（2） 联解式（1），（2），得， 故，
返回 6-5(6-7) 横截面为250mm×250mm的短木柱，用四根40mm×40mm×5mm的等边角钢加固，并承受压力F，如图所示。已知角钢的许用应力，弹性模量；木材的许用应力，弹性模量。试求短木柱的许可荷载。 解：（1）木柱与角钢的轴力由盖板的静力平衡条件： （1） 由木柱与角钢间的变形相容条件，有 （2） 由物理关系： （3） 式（3）代入式（2），得