,11
z 1
-z ≤+
解：
()()[]
2222
2
222
21411iy 111z 1-z y x y y x y x x iy x +++⎥⎦⎤⎢⎣
⎡++−+=+++−=+ 所以()
()[]
2
22
22
22141y x y y x ++≤+−+
化简可得0≥x （8）)/1Re(z =2
解：2e x 1e )/1Re(2222=+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−=⎟
⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=y x x
y x iy x R iy R z 即()16/14/122
=+−y x
(9)22Re a Z =
解：2222Re a y x Z =−=
(10)2
22
12
212
2122z z z z z z +=−++
解：()()()()()()
2
22
22
12
12
212
212
212
2122y x y x y y x x y y x x +++=−+−++++
可见，该公式任意时刻均成立。
2、 把下列复数用代数式、三角式和指数式几种形式表示出来。 （1）i =()()2/sin 2/cos ππi +=2/πi e （2）-1=ππsin cos i +=πi e （3）3
sin
3
cos
223i 13/π
π
πi e i +==+
（4）ααsin cos 1i +−（α是实常数）=2
cos
2
sin
22
sin 22α
α
α
i +
=2cos 2(sin
2
sin
2αα
α
i +=2
sin
2
(cos 2
sin 2α
πα
πα−+−i =2
2
sin
2α
πα
−i
e
（5）3z =i y y x xy x iy x )3(3)(32233−+−=+=()ϕϕρ3sin 3cos 3i +=ϕρ33i e （6）()1sin 1cos 1i e ee e i i +==+
（7）()()i i +−1/1=i −=()()2/3sin 2/3cos ππi +=2/3πi e
3、计算下列数值。（a 、b 、φ为实常数） （1）ib a +
解：由公式1.1.19知，原式等于
()2/sin 2/cos 22θθi b a ++
()()()[]
πθθθθθθ2,02/sin 21cos 2/cos 2/sin 2sin 2
2
22
2∈+=
−=+==b
a a
b a b ，因此可得
()2
1)2/sin(212/cos 2222b a a b a a +−
=
++
=
θθ
原式=
()
()
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−++++a b a i a b a 2
/12
22
/12
222 （2）3i =)3/26/(3/122/()(ππππk i k i e e ++= （3）i i =)22/(22/()(ππππk i k i e e +−+= （4）i
i =ππππ
k i k i e e
22//1)
22
()
(++=
（5）ϕ5cos ，（6）ϕ5sin
解：5)sin (cos 5sin 5cos ϕϕϕϕi i +=+
=ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ5432234sin sin cos 5sin cos 10sin cos 10sin cos 55cos i i i ++−−+
=)sin sin cos 10sin cos 5()sin cos 5sin cos
105(cos 5324423
ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ+−++−i
因此，（5）=ϕϕϕϕϕ423
sin cos 5sin cos 105cos +−，
（6）=ϕϕϕϕϕ5324
sin sin cos 10sin cos
5+−
（7）ϕϕϕϕn cos ...3cos 2cos cos ++++，（8）ϕϕϕϕn sin ...3sin 2sin sin ++++ 解： )sin 2sin (sin )cos 2cos (cos ϕϕϕϕϕϕn i n +++++++L L
=)sin (cos )2sin 2(cos )sin (cos ϕϕϕϕϕϕn i n i i ++++++L =ϕ
ϕ
ϕ
in i i e
e
e +++L 2=[]
ϕ
ϕϕi i i e e e −−11n
=[]
)1)(1()1(1n ϕϕϕϕϕi i i i i e e e e e −−−−−−=()()
ϕ
ϕϕϕϕi i n i in i e e e e e −+−−−−+211
=
()()()()
ϕϕ
ϕϕϕϕϕϕcos 121sin sin sin cos 1211cos cos cos −+−++−−+−+n n i n n
