第四章扭转
一、教学目标与教学内容
1、教学目标
(1)掌握扭转的概念；
(2)熟练掌握扭转杆件的内力（扭矩）计算和画扭矩图；
(3)了解切应力互等定理及其应用，剪切胡克定律与剪切弹性模量；
(4) 熟练掌握扭转杆件横截面上的切应力计算方法和扭转强度计算方法；
(5) 熟练掌握扭转杆件变形（扭转角）计算方法和扭转刚度计算方法；
(6)了解低碳钢和铸铁的扭转破坏现象并进行分析。
(7)了解矩形截面杆和薄壁杆扭转计算方法。
2、教学内容
(1) 扭转的概念和工程实例；
(2) 扭转杆件的内力（扭矩）计算,扭矩图；
(3) 切应力互等定理, 剪切胡克定律;
(4) 扭转杆件横截面上的切应力, 扭转强度条件；
(5) 扭转杆件变形（扭转角）计算，刚度条件；
(6) 圆轴受扭破坏分析；
(7) 矩形截面杆的只有扭转；
(8) 薄壁杆件的自由扭转。
二、重点和难点
1、重点：教学内容中（1）～（6）。
2、难点：切应力互等定理，横截面上切应力公式的推导，扭转变形与剪切变形的区别，扭转切应力连接件中切应力的区别。通过讲解，多媒体的动画演示扭转与剪切的变形和破坏情况，以及讲解例题来解决。
三、教学方式
通过工程实例建立扭转概念，利用动画演示和实物演示表示扭转时的变形，采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。
四、建议学时
6学时
五、实施学时
六、讲课提纲
工程实例：
图4-1
**扭转和扭转变形
1、何谓扭转？
如果杆件受力偶作用，而力偶是作用在垂直于杆件轴线的平面内，则这杆件就承受了扭转。换言之，受扭杆件的受力特点是：所受到的外力是一些力偶矩，作用在垂直于杆轴的平面内。
2、何谓扭转变形？
在外力偶的作用下，杆件的任意两个横截面都绕轴线发生相对转动。杆件的这种变化形式称为扭转变形。换言之，受扭转杆件的变形
特点是：杆件的任意两个横截面都绕轴线发生相对转动。
I 圆轴扭转时的应力和强度计算 一、外力偶矩、扭矩和扭矩图 1、外力偶矩(T )的计算
n
P T p
?
=02.7 KN ·m (7-1) P p 指轴所传递的功率（马力） n 指轴的转速（转/分、r/min ）
n
P T kW
?
=55.9 KN ·m (7-2) P kW 指轴所传递的功率（千瓦、Kw ） n 指轴的转速（转/分、r/min ）
2、扭矩（M n ）的确定及其符号规定 （1）M n 的确定 截面法
图4-3
0=∑x M
0=-A n T M 左 A n T M =左
0=∑x M
0=+-B n T M 右 B n T M =右
（2）M n 的符号规定 右手螺旋法则
图4-4
3、扭矩图
扭矩随轴线横截面位置改变而变化的规律图，称为扭矩图。
作法：轴线（基线）x ——横截面的位置
纵坐标——M n的值
正、负——正值画在基线上侧，负值画在基线下侧。
例题7-1 一传动轴作每分钟200转的匀速转动，轴上装有5个轮子（7-2,a）。主动轮2输入的功率为60kW,从动轮1，3，4，5依次输出的功率为18kW,12kW,22kW和8kW。试作出该轴的扭矩图。
图4-5
解：（1）代入公式7-2，将计算所得的外力偶矩值标上各轮上。
（2）作扭矩图，见图4-5，b
一、圆轴扭转时横截面上的应力
1、实心圆轴
（1）τ的分布规律
(a) (b) 图4-6
（2）τ的方向
由M n 确定，τ与M n 同向（见图4-6，a ） 注意τ⊥半径 （3）τ的计算
p
n I M ρτρ=
(7-3)
式中M n ---- 横截面上的扭矩；
ρ----指截面上所求应力的点到截面圆心的距离; I p ----指实心圆截面对其圆心的极惯性矩，其计算式为32
4
D I p π=
。
（4）τ计算公式的讨论：
①对于某一根受扭的圆轴而言，m ax τ一定发生在max n M 所在段； ②在确定的截面上，m ax τ一定发生在ρm ax 处（周边上）； ③I p 的意义
从τ的计算公式讨论I p ：I p 愈大，τ愈小；
从应力分布状况讨I p ：靠近圆心的材料，承受较小的应力。 设想：把实心轴内受应力较小部分的材料移到外层，做成空心，
达到充分利用材料、减轻自重的目的。
2、空心圆轴 （1）τ的分布规律 （2）τ的计算
图4-7
计算式与实心圆轴的相同，只是极惯性矩的计算不同 空心圆轴的I p 空计算
()()4
4
4
11.0132
4
ααπ-≈-=
D D
I p 空
式中的D
d =α （3）τ的方向
仍旧由扭矩的转向确定，垂直半径。 3、薄壁圆筒 （1） 界限及误差 当9.0≥=
D
d
α时，可用薄壁圆筒公式计算τ，用空心、薄壁计算公式之误差仅为3%左右。 （2） τ的分布规律
图4-8
（3）τ的计算
t
r M n 2
02πτ=
（r 0见图4-8） （7-4）
三、圆轴扭转时斜截面上的应力
横截面上：m ax τ发生在周边各点，σ=0
圆轴扭转时，轴内的最大应力如何？需要研究任意点、任意截面上的应力情况，即需要研究斜截面上的应力情况。
在任意一点取一微小的正六面体abcdefgh:
图4-9
分析垂直于前后两个面的任一斜截面mn 上的应力： 设斜截面mn 的面积为dA,则mb 面和bn 面的面积：
αcos ?=dA A mb αsin ?=dA A bn
选取参考轴η、ξ 写出平衡方程：
∑=0n
F
0cos )sin (sin )cos (=?'+???+ααταατσαdA dA dA
∑=0ξF 0sin )sin (cos )cos (=?'+???-αατααττ
α
dA dA dA
利用ττ'=，整理上两式，得：
ατσα2sin -= (a)
αττα2cos = (b)
据此(a)(b)两式，可确定单元体内的最大剪应力、最大和最小正应力以及它们所在截面的方位：
（1）由(b)式知，单元体的四个侧面上的剪应力的绝对值最大，且均等于τ。
τττ
αα=?===)0(2cos 01800
ττταα-=?===)90(2cos 027090
（2）由（a ）式知：
ττσα-=-==)45(2sin 0450
τττσα=-?-=-==)1()135(2sin 01350
即：
图4-11
这一结论可以从扭转试验中试件的破坏现象得到验证。
（低碳钢）
（ 铸铁 ）
图4-11
四、圆轴扭转时强度条件
()[]ττ≤=
p
n W M max
max （7-5）----等直圆轴受扭时的强度条件
对于实心圆截面 33
2.016
d d W p ≈=
π
对于空心圆截面 )1(2.0)1(16
4343
ααπ-≈-=
D D W p 空
而 []τ：（1）可通过扭转试验测定：
τS ---塑性材料 τb ---脆性材料
（2）[]][6.05.0στ）（-=
例题4-2 已知：主传动轴AB 由45#钢的无缝钢管制成。外径D=90mm,
壁厚t=2.5mm,[τ]=60MPa,工作时承受M nmax =1.5KN ·m
试：校核该轴的强度。
图4-12
解：945.090
5902=-=-==
D t D D d α 1、 按薄壁圆管公式计算τ：
[]τππτ<=???-??==
--MPa 50105.210)2
5.290(21500
23
62
2
0t
r M n
2、 按空心圆轴公式计算τ：
3343
4
3
m m 1029)945.01(16
90)1(16
?=-?=
-=
παπD W p 空
[]ττ<=???==-MPa 7.51101029105.19
33max
空p n W M 校核结果：强度足够。 两种计算方法的误差比较：
%4.3%10050
50
7.51=?-
例题4-3 若将AB 轴改为实心轴，应力条件相同（即MPa 7.51=τ），试确定实心轴的直径D 1=？并比较空心轴和实心轴的重量。
解：53mm m 053.016
105.1107.5113
1
36max ==??=??=D D W M p n πτ 两轴长度相等，材料相同，则重量之比=面积之比 则：
()2.38590534
4
2
22
22
2
1
=-=-=
d D D A A ππ
空心
实心 （用料） ()
31.053
85904
4
2
222
1
2
2
=-=-=D d D A A π
π
实心
空心
（重量） 小结：⑴在载荷相同的条件下，空心轴的重量只为实心轴的31%；
⑵截面如何合理，一方面要考虑强度、刚度因素，同时也要考虑加工工艺和制造成本等因素；
⑶空心圆轴的壁厚也不能过薄，否则会发生折皱而丧失承载能力；
⑷应注意的是：若沿薄壁管轴线方向切开，则其扭转的承载能力将大为降低。
图4-13
Ⅱ、圆轴扭转时的变形计算 1、扭转角与剪切角的概念
图4-14
??
???--的角度。杆表面纵向直线所转过γ截面A转过的角度；扭转角，截面B相对于? 2、圆轴扭转时的变形计算
⑴扭转角的计算
p
n GI l
M =
? （7-6） π
?
180?
=p n GI l M
（7-7）
⑵单位长度扭转角的计算
p
n GI M l ==
?
θ
（7-8）
rad （弧度） °（度）
Rad/m
π
?
θ
180
?
==p n GI M l
（7-9）
3、扭转时刚度条件
[]
θθ≤=
p
n GI M max max
（7-10） []θπ
θ≤?= 180max max
p n GI M
（7-11）
例题4-4 某轴AB 段是空心轴，内外径之比8.0==
D
d
α；BC 段是实心轴（其倒角过度忽略不计），承受的外力偶矩及其长度如图示，已知轴材料的[τ]=80MPa 、[θ]=1m 、G=80GPa,试设计D 和d 应等于多少？
图4-15
解：1、作扭矩图
2、根据强度条件设计D 、d
°/m
Rad/m
°/m
AB 段：
MPa 80][)1(16
1146
43max =≤-==
ταπτD W Mn p 空
mm
6.491080)8.01(1146
163
6
4=??-??≥πD
BC 段：
MPa 80][16
764
3
max =≤==
τπτd W Mn p 实
36.5mm
m 0365.01080764
163
6
==???≥πd
3、根据刚度条件设计D 、d AB 段：
m
1][180
)
1(32
10801146
180449
=≤?
-?
?=
?=θπ
απ
π
θD GI Mn p 空
61.1mm
m 0611.01801)8.01(1080114632449==??-????≥π
π
D
BC 段：
m 1][180
=≤?=θπ
θ空p GI Mn
1
18032
10807644
9=??
?π
π
d
48.6mm
m 0486.0180
110807643249==?????≥π
π
d
4 结论：
D=61.1mm – 刚度条件确定。 d=48.1mm – 刚度条件确定。
Ⅲ 扭转超静定
例题4-5 圆轴受力如图4-15 所示。已知：D=3cm ，d=1.5cm, [τ]=50MPa 、[θ]=2.5m 、G=Pa 10809?,试对此轴进行强度和刚度校核。
图4-16
解：①截面的几何性质计算： AC 段：4
884
8
4
4
4
1045.71032
5.110
32
332
32
m d D I P ---?=??-
??=
-
=ππππ空
CE 段：4
884
4
1095.71032
332
m D I P --?=??=
=
ππ实
②求约束反力:
解除A 端约束，建立变形协调条件：
图4-17
0=-E A ?，即：
1025500104030010153001040104022222=??-??+??+??+??=------实
实空实空P P P P A P A E
A GI GI GI GI T GI T ?将G 、空P I 、实P I 代入上式运算，得 M N 52?-=A T
再由静力平衡方程解出 M N 252?-=E T
③强度校核 BC 段： 3643
4
3
m 1097.4])3
5
.1(1[16
)03.0()1(16
D -?=-?=
-=
παπ空p W
50MPa ][MPa 9.491097.4248
6
max ==?==
-ττ 空p n W M
DE 段： 363
3
m 103.516
)03.0(16
D -?=?=
=
ππ实p W
50MPa ][MPa 5.47103.5248
6
max ==?==
-ττ 实p n W M
④刚度校核 BC 段：
m GI M P n 38.218010
45.7108024818089max =????=?=-ππθ空
DE 段： m GI M P n 27.218010
95.7108025218089max
=????=?=-ππθ实 均 m 27.2][=θ
Ⅳ 矩形截面杆在自由扭转时的应力和变形。 一、非圆截面杆与圆截面杆在扭转时的区别
（a ） (b)
图4-18
圆截面杆受扭：平面假定
非圆截面受扭：截面翘曲—图a 所示的纵向线和代表横截面的横向周界线，在杆件受扭后，横向周界线已变为空间曲线（图b ）。说明：
原平面的横截面在变形后成为凹凸不平的曲面，这一现象称为翘曲。
二、非圆截面杆扭转的两种情况
1、自由扭转
等直杆在两端受扭转力偶矩作用，其截面翘曲不受任何限制，这种情况称为自由扭转。
因截面翘取不受任何限制，所以杆内各个横截面的翘曲程度完全相同，横截面上仍只有剪应力而无正应力。
2、约束扭转
由于约束条件或受力条件的限制，造成杆件各横截面的翘曲程度不同，这势必引起相邻两截面间纵向纤维的长度改变。于是横截面上除剪应力外还有正应力。这种情况称为约束扭转。
三、非圆截面杆在自由扭转时的应力和变形
1、矩形截面杆
（1）截面上剪应力的分布规律
图4-19
4-1 试作下列各轴的扭矩图。 （a ） (b) 4-4 图示圆截面空心轴，外径D=40mm ，内径d=20mm ，扭矩m kN T ?=1，试计算mm 15=ρ的A 点处的扭矩切应力A τ以及横截面上的最大和最小的扭转切应力。
解：P A I T ρ?= )1(32 44απ-=D I p 又mm 20d = D=40mm 5.0==∴D d α 41244310235500)5.01(32)1040(14.3m I p --?=-???= MPa Pa I T P A 7.63107.6310 23550010151016123 3=?=????==∴--ρτ P W T =max τ 9433431011775)5.01(16 )1040(14.3)1(16--?=-???=-=απD W P a Pa W T P MP 9.84109.8410 11775101693 max =?=??==∴-τ 当2'd =ρ时 MPa Pa I T P 4.42104.4210 23550010101016123 3'min =?=????==--ρτ 4-6 将直径d=2mm ，长l=4m 的钢丝一端嵌紧，另一端扭转一整圈，已知切变模量G=80GPa ，试求此时钢丝内的最大切应力m ax τ。 解：r G ?=τ dx d R r R ?? =∴ R=mm d 12= 3331057.1414.321012101---?=???=??=?=∴l dx d R r R π? MPa Pa r G 6.125106.1251057.11080639=?=???=?=∴-τ （方法二：π?2=， l=4 ，P GI Tl =? ，324d I P π=，r Ip W p = ,l Gd W T P πτ==max ）
第四章扭转 同济大学航空航天与力学学院顾志荣 一、教学目标与教学内容 1、教学目标 (1)掌握扭转的概念； (2)熟练掌握扭转杆件的内力（扭矩）计算和画扭矩图； (3)了解切应力互等定理及其应用，剪切胡克定律与剪切弹性模量； (4) 熟练掌握扭转杆件横截面上的切应力计算方法和扭转强度计算方法； (5) 熟练掌握扭转杆件变形（扭转角）计算方法和扭转刚度计算方法； (6)了解低碳钢和铸铁的扭转破坏现象并进行分析。 (7)了解矩形截面杆和薄壁杆扭转计算方法。 2、教学内容 (1) 扭转的概念和工程实例； (2) 扭转杆件的内力（扭矩）计算,扭矩图； (3) 切应力互等定理, 剪切胡克定律;
(4) 扭转杆件横截面上的切应力, 扭转强度条件； (5) 扭转杆件变形（扭转角）计算，刚度条件； (6) 圆轴受扭破坏分析； (7) 矩形截面杆的只有扭转； (8) 薄壁杆件的自由扭转。 二、重点和难点 1、重点：教学内容中（1）～（6）。 2、难点：切应力互等定理，横截面上切应力公式的推导，扭转变形与剪切变形的区别，扭转切应力连接件中切应力的区别。通过讲解，多媒体的动画演示扭转与剪切的变形和破坏情况，以及讲解例题来解决。 三、教学方式 通过工程实例建立扭转概念，利用动画演示和实物演示表示扭转时的变形，采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。 四、建议学时 6学时 五、实施学时 六、讲课提纲
工程实例： 图4-1 **扭转和扭转变形 1、何谓扭转？ 如果杆件受力偶作用，而力偶是作用在垂直于杆件轴线的平面内，则这杆件就承受了扭转。换言之，受扭杆件的受力特点是：所受到的外力是一些力偶矩，作用在垂直于杆轴的平面内。 2、何谓扭转变形？ 在外力偶的作用下，杆件的任意两个横截面都绕轴线发生相对转动。杆件的这种变化形式称为扭转变形。换言之，受扭转杆件的变形
第三章扭转 一、是非判断题 1.圆杆受扭时，杆内各点处于纯剪切状态。（×） 2.杆件受扭时，横截面上的最大切应力发生在距截面形心最远处。（×） 3.薄壁圆管和空心圆管的扭转切应力公式完全一样。（×） 4.圆杆扭转变形实质上是剪切变形。（×） 5.非圆截面杆不能应用圆截面杆扭转切应力公式，是因为非圆截面杆扭转时“平截面假设”不能成立。（√） 6.材料相同的圆杆，他们的剪切强度条件和扭转强度条件中，许用应力的意义相同，数值相等。（×） 7.切应力互等定理仅适用于纯剪切情况。（×） 8.受扭杆件的扭矩，仅与杆件受到的转矩（外力偶矩）有关，而与杆件的材料及其横截面的大小、形状无关。（√） 9.受扭圆轴在横截面上和包含轴的纵向截面上均无正应力。（√） 10.受扭圆轴的最大切应力只出现在横截面上。（×） 11.受扭圆轴内最大拉应力的值和最大切应力的值相等。（√） 12.因木材沿纤维方向的抗剪能力差，故若受扭木质圆杆的轴线与木材纤维方向平行，当扭距达到某一极限值时，圆杆将沿轴线方向出现裂纹。（×）
二、选择题 1.内、外径之比为α的空心圆轴，扭转时轴内的最大切应力为τ，这时横截面上内边缘的切应力为 （ B ） A τ； B ατ； C 零； D （1- 4α）τ 2.实心圆轴扭转时，不发生屈服的极限扭矩为T ，若将其横截面面积增加一倍，则极限扭矩为（ C ） 0 B 20T 0 D 40T 3.两根受扭圆轴的直径和长度均相同，但材料C 不同，在扭矩相同的情况下，它们的最大切应力τ、τ和扭转角ψ、ψ之间的关系为（ B ） A 1τ=τ2, φ1=φ2 B 1τ=τ2, φ1≠φ2 C 1τ≠τ2, φ1=φ2 D 1τ≠τ2, φ1≠φ2 4.阶梯圆轴的最大切应力发生在（ D ） A 扭矩最大的截面； B 直径最小的截面； C 单位长度扭转角最大的截面； D 不能确定。 5.空心圆轴的外径为D ，内径为d, α=d ／D,其抗扭截面系数为 （ D ） A ()3 1 16 p D W πα= - B ()3 2 1 16 p D W πα= - C ()3 3 1 16 p D W πα= - D ()3 4 1 16 p D W πα= - 6.对于受扭的圆轴，关于如下结论： ①最大剪应力只出现在横截面上； ②在横截面上和包含杆件的纵向截面上均无正应力；
第三章 扭转 习题解 [习题3-1] 一传动轴作匀速转动，转速min /200r n =，轴上装有五个轮子，主动轮II 输入的功率为60kW ，从动轮，I ，III ，IV ，V 依次输出18kW ，12kW ，22kW 和8kW 。试作轴的扭图。 解：（1）计算各轮的力偶矩（外力偶矩） N T k e 55 .9= (2) 作扭矩图 [习题3-2] 一钻探机的功率为10kW ，转速min /180r n =。钻杆钻入土层的深度m l 40=。如土壤对钻杆的阻力可看作是均匀分布的力偶，试求分布力偶的集度m ，并作钻杆的扭矩图。 解：（1）求分布力偶的集度m )(5305.0180 10 549.9549 .9m kN n N M k e ?=?== 设钻杆轴为x 轴，则： 0=∑x M e M ml = )/(0133.040 5305 .0m kN l M m e ===
（2）作钻杆的扭矩图 x x l M mx x T e 0133.0)(-=- =-=。]40,0[∈x 0)0(=T ； )(5305 .0)40(m kN M T e ?-== 扭矩图如图所示。 [习题3-3] 圆轴的直径mm d 50=，转速为120r/min 。若该轴横截面上的最大切应力等于 60MPa ，试问所传递的功率为多大？ 解：（1）计算圆形截面的抗扭截面模量： )(245445014159.316 1 161333mm d W p =??== π （2）计算扭矩 2max /60mm N W T p == τ )(473.1147264024544/6032m kN mm N mm mm N T ?=?=?= （3）计算所传递的功率 )(473.1549 .9m kN n N M T k e ?=== )(5.18549.9/120473.1kW N k =?= [习题3-4] 空心钢轴的外径mm D 100=，内径mm d 50=。已知间距为m l 7.2=的两横截面的相对扭转角o 8.1=?，材料的切变模量GPa G 80=。试求： （1）轴内的最大切应力； （2）当轴以min /80r n =的速度旋转时，轴所传递的功率。 解；（1）计算轴内的最大切应力 )(9203877)5.01(10014159.3321 )1(32144444mm D I p =-???=-= απ。 )(184078)5.01(10014159.3161 )1(16134343mm D W p =-???=-=απ 式中，D d /=α。 p GI l T ?= ?， mm mm mm N l GI T p 27009203877/80000180/14159.38.142???= = ? mm N ?=45.8563014
第四章 扭转 一、是非题 1 在单元体两个相互垂直的截面上，切应力的大小可以相等，也可以不等。 （ ） 2 扭转切应力公式P I T ρ τρ= 可以适用于任意截面形状的轴。 （ ） 3 受扭转的圆轴，最大切应力只出现在横截面上。 （ ） 4 圆轴扭转时，横截面上既有正应力，又有切应力。 （ ） 5 矩形截面杆扭转时，最大切应力发生于矩形长边的中点。 （ ） 二、选择或填空 1、．图示的圆轴，用截面法求扭矩，无论取哪一段作为研究对象，其同一截面的扭矩大小与符号（ ）。 a.完全相同 b.正好相反 c ．不能确定 2、两根圆轴，材料相同，受力相同，而直径不同，当d 1=2d 2时，则两轴的最大切应力之比 τ1/τ2和单位扭转角21/φφ 分别为 。 A 1/4，1/16 B 1/8，1/16 C 1/8，1/64 D 8，16 3．下列结论中正确的是（ ）。 A ．圆轴扭转时，横截面上有正应力，其大小与截面直径无关 B ．圆轴扭转时，截面上有正应力，也有切应力，其大小均与截面直径无关 C ．圆轴扭转时，横截面上只有切应力，其大小与到圆心的距离成正比 4．如图所示，圆轴扭转时，下列切应力分布图正确的是（ ）。 A B C D 5．实心圆轴扭转时，横截面上的最小切应力（ ）。 A ．一定为零 B.一定不为零 C ．可能为零，也可能不为零 6．空心圆轴扭转时，横截面上的最小切应力（ ）。 A.一定为零 B ．一定不为零 C ．可能为零，也可能不为零
三、计算题 1一传动轴匀速转动，转速n=200r/min，轴上装有五个 轮子。主动轮Ⅱ输入功率为60kW，从动轮Ⅰ、Ⅲ、Ⅳ Ⅴ依次输出18 kW，12kW，22 kW和8 kW。试做轴的 扭矩图。 2、图示圆截面空心轴，外径D＝40mm，内径d＝20mm，扭矩T＝1kN·m。试计算ρ＝15mm 的A点处的扭转切应力τA及横截面上的最大和最小扭转切 应力。
一、 传动轴如图19-5（a ）所示。主动轮A 输入功率kW N A 75.36=，从动轮D C B 、、输出功率分别为kW N kW N N D C B 7.14,11===，轴的转速为n =300r/min 。试画出轴的扭矩图。 解 （1）计算外力偶矩：由于给出功率以kW 为单位，根据（19-1）式： 1170300 75 .3695509550=?==n N M A A (N ·m ) 351300 11 95509550=?===n N M M B C B (N ·m ) 468300 7 .1495509550=?==n N M D D (N ·m ) （2）计算扭矩：由图知，外力偶矩的作用位置将轴分为三段：AD CA BC 、、。现分别在各段中任取一横截面，也就是用截面法，根据平衡条件计算其扭矩。 BC 段：以1n M 表示截面Ⅰ－Ⅰ上的扭矩，并任意地把1n M 的方向假设为图19-5（b ）所示。根据平衡条件0=∑x m 得： 01=+B n M M 3511-=-=B n M M (N ·m ) 结果的负号说明实际扭矩的方向与所设的相反，应为负扭矩。BC 段内各截面上的扭矩不变，均为351N ·m 。所以这一段内扭矩图为一水平线。同理，在CA 段内： M n Ⅱ＋0=+B C M M Ⅱn M = －B C M M -= －702(N ·m ) AD 段：0=D n M M －Ⅲ 468==D n M M Ⅲ(N ·m ) 根据所得数据，即可画出扭矩图[图19－5（e ）]。由扭矩图可知，最大扭矩发生在CA 段内，且702max =n M N ·m 二、 如图19-15所示汽车传动轴AB ，由45号钢无缝钢管制成，该轴的外径D =90mm ，壁厚t =2.5mm ，工作时的最大扭矩M n ＝1.5kN·m ，材料的许用剪应力][τ＝60MPa 。求（1）试校核AB 轴的强度；（2）将AB 轴改为实心轴，试在强度相同的条件下，确定轴的直径，并比较实心轴和空心轴的重量。 解 （1）校核AB 轴的强度： 944 .090 5.22902=?-=-= =D t D D d α (a ) (c ) m (d ) (e ) 图19-5 (b )
第三章 扭转 1．等截面圆轴上装有四个皮带轮，如何安排合理，现有四种答案： （A ） 将C 轮与D 轮对调； （B ） 将B 轮与D 轮对调； （C ） 将B 轮与C 轮对调； （D ） 将B 轮与D 轮对调；然后将B 轮与C 轮对调； 正确答案是 a 。 2．薄壁圆管受扭转时的剪应力公式为 ( ) t R T 2 2/πτ= ，（R 为圆管的平均半径，t 为壁厚）。关于下列叙述， （1） 该剪应力公式可根据平衡关系导出； （2） 该剪应力公式可根据平衡、几何、物理三方面条件导出； （3） 该剪应力公式符合“平面假设”； （4） 该剪应力公式仅适用于R t <<的圆管。 现有四种答案： （A ） （1）、（3）对； （B ） （1）、（4）对； （C ） （2）、（3）对； （D ） 全对； 正确答案是 b 。 3．建立圆轴的扭转应力公式 p p I T /ρτ=时，“平面假设”起到的作用于有 下列四种答案： （A ） “平面假设”给出了横截面上内力与应力的关系?= A dA T τρ； （B ） “平面假设”给出了圆轴扭转时的变形规律； （C ） “平面假设”使物理方程得到简化； （D ） “平面假设”是建立剪应力互等定理的基础。 正确答案是 。 4．满足平衡条件，但剪应力超过比例极限时，有下述四种结论： （A ） （B ） （C ） （D ） 剪应力互等定理： 成立 不成立 不成立 成立 剪切虎克定律 ： 成立 不成立 成立 不成立 正确答案是 。 D
5．一内、外直径分别为d 、D 的空心圆轴，其抗扭截面系数有四种答案： （A ）()()16/16/3 3 d D W t ππ-=； （B ）()()32/32/33 d D W t ππ-=； （C ）()[]()4 4 16/d D D W t -=π； （D ）()()32/32/4 4 d D W t ππ-=； 正确答案是 c 。 6．一内外径之比为D d /=α的空心圆轴， 当两端受扭转力偶矩时，横截面 的最大剪应为τ，则内圆周处的剪应力有四种答案： （A ） τ ； （B ） ατ； （C ） ( )τα3 1-； （D ）( ) τα4 1- 正确答案是 b 。 7．材料不同的两根受扭圆轴，其直径和长度均相同，在扭矩相同的情况下， 它们的最大剪应力之间和扭转角之间的关系有四种答案： （A ） 21ττ=，21φφ=； （B ） 21ττ=，21φφ≠； （C ） 21ττ≠，21φφ=； （D ） 21ττ≠，21φφ≠； 正确答案是 b 。 8．剪切虎克定律可表示为 ， 该定律的应用条件是 。 9．分别画出图示三种截面上剪应力沿半径各点处的分布规律。 10．扭转应力、变形公式 P I T /ρτ= 、)/(P A GI Tdx ? = φ 的应用条件 是 。 11．圆截面等到直杆受力偶作用如图（a ），试在图（b ）上画出ABCD 截面（直 径面）上沿BC 线的剪应力分布。 A B C D (a) (b) T T 实心圆轴 空心圆轴 薄壁圆筒
第三章 扭 转 §3.1 扭转的概念和实例 §3.2 外力偶矩的计算，扭矩和扭矩图 §3.3 纯剪切 §3.4 圆轴扭转时的应力 §3.5 圆轴扭转时的变形 §3.6 圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形 §3.7 非圆截面杆扭转的概念 §3.1 扭转的概念和实例 1．实例如： 车床的光杆 反应釜的搅拌轴 汽车转向轴 2．扭转：在杆件的两端作用等值，反向且作用面垂直于杆件轴线的一对力偶时，杆的任意两个横截面都发生绕轴线的相对转动，这种变形称为扭转变形。 §3.2 外力偶矩的计算，扭矩和扭矩图 1．M e 、m 、 P 之间的关系 M e ——外力偶矩（N ?m ） n ——转速（r/min ） P ——功率（kW ）（1kW=1000N ?m/s ）（马力）（1马力=735.5W ） 每秒钟内完成的功力 P n M e 100060 2 · =π或
P n M e 5.73560 2 ·=π {}{}{}{}{}{}min /7024 min /kW 9549..r n P M r n P M m N e m N e 马力 == 2．扭矩和扭矩图 （1）截面法、平衡方程 ΣM x =0 T-M e =0 T =M e （2）扭矩符号规定：为无论用部分I 或部分II 求出的同一截面上的扭矩不但数值相同且符号相同、扭矩用右手螺旋定则确定正负号。 （3）扭矩图 例1 主动轮A 输入功率P A =50kW ，从动轮输出功率P B =P C =15kW ，P D =20kW ，n =300r/min ，试求扭矩图. 解：（1） 1591300 50 95499549 =?==n P M eA m N ? m N 637m N 477300 15 9549?=?=?==eD eC eB M M M （2）求T ΣM x =0 T 1+M eB =0 T 1=-M eB =-477 T 2-M eA +M eB =0 T 2=1115N T 3-M eD =0 T 3=M ed =63T