第三章习题解答
3.1 真空中半径为a 的一个球面，球的两极点处分别设置点电荷q 和q -，试计算球赤道平面上电通密度的通量Φ(如题3.1图所示)。
解 由点电荷q 和q -共同产生的电通密度为
33[]4q R R π+-
+-
=
-=R R D 22322232
()
(){}4[()][()]r z r z r z a r z a q r z a r z a π+-++-+-++e e e e 则球赤道平面上电通密度的通量
d d z
z S
S
S Φ====??D S D e
22322232
()[]2d 4()()a
q a a
r r r a r a
ππ--=++? 2212
01)0.293()a
qa q q r a =-=-+ 3.2 1911年卢瑟福在实验中使用的是半径为a r 的球体原子模型，其球体内均匀分布有总电荷量为Ze -的电子云，在球心有一正电荷Ze （Z 是原子序数，e 是质子电荷量），通
过实验得到球体内的电通量密度表达式为02314r
a Ze r r r π??
=- ???
D e ，试证明之。 解 位于球心的正电荷Ze 球体内产生的电通量密度为 12
4r
Ze
r π=D e 原子内电子云的电荷体密度为 33
3434a a Ze Ze
r r ρππ=-
=- 电子云在原子内产生的电通量密度则为
3223
4344r r a
r Ze r
r r ρπππ==-D e e 故原子内总的电通量密度为 122314r
a Ze r r r π??=+=- ???D D D e 3.3 电荷均匀分布于两圆柱面间的区域中，体密度为30C m ρ, 两
圆柱面半径分别为a 和b ，轴线相距为c )(a b c -<，如题3.3图()a 所示。求空间各部分
的电场。
解 由于两圆柱面间的电荷不是轴对称分布，不能直接用高斯定律求解。但可把半径为
a 的小圆柱面内看作同时具有体密度分别为0ρ±的两种电荷分布，这样在半径为
b 的整个圆
柱体内具有体密度为0ρ的均匀电荷分布，而在半径为a 的整个圆柱体内则具有体密度为
0ρ-的均匀电荷分布，如题3.3图()b 所示。空间任一点的电场是这两种电荷所产生的电场
的叠加。
在b r >区域中，由高斯定律
d S
q
ε=
?
E S ，可求得大、小圆柱中的正、负电荷在点P
产生的电场分别为 2200120022r b b r r πρρπεε==r E e 220012
0022r a a r r
πρρπεε'
-''==-''r E e
题3.1 图
题3. 3图(
)a
点P 处总的电场为 2211
220()2b a r r ρε''=+=-'
r r E E E 在b r <且a r >'区域中，同理可求得大、小圆柱中的正、负电荷在点P 产生的电场分别为
220022r r r πρρπεε==r E e 2222
0022r a a r r
πρρπεε'
-''==-''r E e 点P 处总的电场为 2022
20()2a r ρε'
'=+=-'
r E E E r 在a r <'的空腔区域中，大、小圆柱中的正、负电荷在点P 产生的电场分别为
20030022r r r πρρπεε==r E e 2003
00
22r r r πρρπεε''
-''==-'r E e 点P 处总的电场为 0033
00
()22ρρεε''=+=-=E E E r r c 3.4 半径为a 的球中充满密度()r ρ的体电荷，已知电位移分布为
3254
2
()()
r r Ar r a D a Aa r a r ?+≤?
=?+≥?
? 其中A 为常数，试求电荷密度()r ρ。
解：由ρ?=D ，有 2
2
1d ()()d r r r D r r
ρ=?=D 故在r a <区域 23
220
02
1d ()[()](54)d r r r Ar r Ar r r
ρεε=+=+ 在r a >区域 54
2
022
1d ()()[]0d a Aa r r r r r
ρε+== 3.5 一个半径为a 薄导体球壳内表面涂覆了一薄层绝缘膜，球内充满总电荷量为Q 为
的体电荷，球壳上又另充有电荷量Q 。已知球内部的电场为4
()r r a =E e ，设球内介质为
真空。计算：（1） 球内的电荷分布；（2）球壳外表面的电荷面密度。
解 （1） 由高斯定律的微分形式可求得球内的电荷体密度为
20021d [()]d r E r r ρεε=?==E 43
2002441d [()]6d r r r r r a a
εε=
（2）球体内的总电量Q 为 322
0040
d 64d 4a
r Q r r a a τρτεππε===??
球内电荷不仅在球壳内表面上感应电荷Q -，而且在球壳外表面上还要感应电荷Q ，
所以球壳外表面上的总电荷为2Q ，故球壳外表面上的电荷面密度为 02
224Q
a σεπ=
= 3.6 两个无限长的同轴圆柱半径分别为r a =和r b =()b a >，圆柱表面分别带有密
题3. 3图()b
＝
＋
度为1σ和2σ的面电荷。（1）计算各处的电位移0D ；（2）欲使r b >区域内00=D ，则1σ和
2σ应具有什么关系？
解 （1）由高斯定理
d S
q =?D
S ，当r a <时，有 01
0=D
当a r b <<时，有 02122rD a ππσ= ，则 1
02r
a r
σ=D e 当b r <<∞时，有 0312222rD a b ππσπσ=+ ，则 12
03r
a b r
σσ+=D e （2）令 12
030r a b r
σσ+==D e ，则得到 12b a σσ=- 3.7 计算在电场强度x y y x =+E e e 的电场中把带电量为2C μ-的点电荷从点
1(2,1,1)P -移到点2(8,2,1)P -时电场所做的功：
（1）沿曲线2
2x y =；（2）沿连接该两点的直线。
解 （1）d d d d x y C
C
C W q q E x E y ===+=???
F l E l
2
221
d d d(2)2d C
q y x x y q y y y y +=+=
??2
261
6d 142810()q y y q J -==-??
（2）连接点1(2,1,1)P -到点2(8,2,1)P -直线方程为
28
12
x x y y --=-- 即 640x y -+= 故
W =
2
1
d d d(64)(64)d C
q y x x y q y y y y +=-+-=
??2
61
(124)d 142810()q y y q J --==-??
3.8 长度为L 的细导线带有均匀电荷，其电荷线密度为0l ρ。（1）计算线电荷平分面上任意点的电位?；（2）利用直接积分法计算线电荷平分面上任意点的电场E ，并用?=-?E 核对。
解 （1）建立如题3.8图所示坐标系。根据电位的积分表达式，线电荷平分面上任意点P 的电位为
2
(,0)L L r ?-'
=
=?
2
ln(4L l L z ρπε-'+=
04l ρπε=
02l ρπε
L L -r
ρ 题3.8图
（2）根据对称性，可得两个对称线电荷元z l 'd 0ρ在点P 的电场为
d d r r r
E θ'
===E e e 02232
0d 2()l r
r z r z ρπε'
'+e
故长为L 的线电荷在点P 的电场为
2
02232
00
d d 2()L l r r z r z ρπε'
===
'+??
E E
e 2
00
02L l r r ρπε=
e r
e 由?=-?E 求E ，有
002l ρ?πε??=-?=-?=??
??
E
0012l r r ρπε??
?--=??
?
e r e
3.9 已知无限长均匀线电荷l ρ的电场02l
r r ρπε=E e ，试用定义式()d P
r r
r ?=?E l 求其
电位函数。其中P r 为电位参考点。
解
000
()d d l n l n 222P
P
P
r r r
l l l P
r
r
r
r r r r r r
ρρρ?πεπεπε
====??
E l 由于是无限长的线电荷，不能将P r 选为无穷远点。
3.10 一点电荷q +位于(
,0,0)a -，另一点电荷2q -位于(,0,0)a ，求空间的零电位面。
解 两个点电荷q +和2q -在空间产生的电位
1(,,)4x y z
?πε
=
令(,,)0x y z ?=，则有
0=
即 222222
4[()]()x a y z x a y z +++=-++
故得 222254()()33x a y z a +
++= 由此可见，零电位面是一个以点5(,0,0)3a -为球心、4
3
a 为半径的球面。
3.11 证明习题3.2的电位表达式为 2013
()()422a a
Ze r r r r r ?πε=
+- 解 位于球心的正电荷Ze 在原子外产生的电通量密度为 124r
Ze
r
π=D e 电子云在原子外产生的电通量密度则为 3222
4344a r r r Ze
r r
ρπππ==-D e e
所以原子外的电场为零。故原子内电位为
23001
1()d ()d 4a
a r r
a
r r Ze r
r D r r r r ?επε==-=??2013()422a a Ze r r r r πε+- 3.12 电场中有一半径为a 的圆柱体，已知柱内外的电位函数分别为
2
()0
()()cos r r a a r A r r a
r
??φ=≤???=-≥??
（1）求圆柱内、外的电场强度；
（2）这个圆柱是什么材料制成的？表面有电荷分布吗？试求之。
解 （1）由?=-?E ，可得到 r a <时， 0?=-?=E
r a >时， ?=-?=E 22
[()cos ][()cos ]r a a A r A r r r r r
φφφφ??----=??e e
22
22(1)cos (1)sin r a a A A r r
φφφ-++-e e
（2）该圆柱体为等位体，所以是由导体制成的，其表面有电荷分布，电荷面密度为
0002cos r r a r a A σεεεφ=====-n E e E
3.13 验证下列标量函数在它们各自的坐标系中满足20??= （1）sin()sin()hz
kx ly e
- 其中222h k l =+；
（2）[cos()sin()]n
r n A n φφ+ 圆柱坐标；
（3）cos()n
r n φ- 圆柱坐标；
（4）cos r φ 球坐标；
（5）2
cos r
φ- 球坐标。
解 （1）在直角坐标系中 2222
222x y z
???
?????=++??? 而 22222
[sin()sin()]sin()sin()hz hz
kx ly e k kx ly e x x ?--??==-?? 22222[sin()sin()]sin()sin()hz hz
kx ly e l kx ly e y y ?--??==-?? 22222
[sin()sin()]sin()sin()hz hz
kx ly e h kx ly e z z
?--??==?? 故 2222()sin()sin()0hz
k l h kx ly e ?-?=--+=
（2）在圆柱坐标系中 222
2221()r r r r r z
???
?φ?????=
++???? 而
11(){[cos()sin()]}n r r r n A n r r r r r r
?φφ????
=+=????22[cos()sin()]n n r n A n φφ-+ 222
22
1[cos()sin()]}n n r n A n r ?φφφ
-?=-+? 2222[cos()sin()]0n
r n A n z z
?φφ-??=+=?? 故 2
0??=
（3）
2211(){[cos()]}cos()n n r r r n n r n r r r r r r ?φφ---????
==???? 222
22
1cos()n n r n r ?φφ
--?=-? 2222[cos()]0n
r n z z
?φ-??==?? 故 20??=
（4）在球坐标系中
22
22222
2
111()(sin )sin sin r r r r r r ???
?θθθθθφ
??????=++????? 而 222
2112
()[(cos )]cos r r r r r r r r r r ?θθ????==???? 22
11(sin )[sin (cos )]sin sin r r r ?θθθθθθθθθ
????
==???? 2
2
12(sin )cos sin r r r
θθθθ?-=-? 22
222222
11(cos )0sin sin r r r ?θθφθφ
??
==?? 故 2
0??=
（5） 2222
22112
()[(cos )]cos r r r r r r r r r r ?θθ-????==???? 2
22
11(sin )[sin (cos )]sin sin r r r ?θθθθθθθθθ
-????==???? 22
24
12(sin )cos sin r r r
θθθθ-?-=-? 22
2
222222
11(cos )0sin sin r r r ?θθφθφ
-??==?? 故 2
0??=
3.14 已知0>y 的空间中没有电荷，下列几个函数中哪些是可能的电位的解?
（1）cosh y e x -； （2）x e y cos -；
（3）cos sin e x x （4）z y x sin sin sin 。
解 （1）222222(cosh )(cosh )(cosh )y y y
e x e x e x x y z
---???++=???2cosh 0y e x -≠
所以函数x e y cosh -不是0>y 空间中的电位的解；
（2） 222222(cos )(cos )(cos )y y y
e x e x e x x y z
---???++=???cos cos 0y y e x e x ---+= 所以函数x e y cos -是0>y 空间中可能的电位的解；
（3） 222222(cos sin )(cos sin )(cos sin )e x x e x x e x x x y z
???++=???
4cos sin 2cos sin 0e x x e x x -+≠
所以函数x x e y
sin cos 2-
不是0>y 空间中的电位的解；
（4） 222
2
22(s i n s i n s i n )(s i n s i n s i n )(s i n s i n s i n )x y z x y z x y z x y z
???++=??? 3sin sin sin 0x y z -≠
所以函数z y x sin sin sin 不是0>y 空间中的电位的解。
3.15 中心位于原点，边长为L 的电介质立方体的极化强度矢量为
0()x y z P x y z =++P e e e 。（1）计算面束缚电荷密度和体束缚电荷密度；（2）证明总的束缚
电荷为零。
解 （1） 03P P ρ=-?=-P
2
2
0()2
2P x L x x L L L x P σ======
n P
e P
22
0()2
2
P x L x x L L L x P σ=-=-=-==-=
n P e P
同理 0()()()()22222
P P P P L L L L L
y y z z P σσσσ===-====-=
（2） 32
00d d 3602P P P S
L q S P L L P τρτσ=+=-+?=?? 3.16 一半径为0R 的介质球，介电常数为0r εε，其内均匀分布自由电荷ρ，证明中心
点的电位为
200
21()23r r R ερ
εε+ 解 由
d S
q =?D S ，可得到
0r R <时， 3
2
1443
r r D ππρ=
即 13
r D ρ=， 11
003r r D r E ρεεεε== 0r R >时， 3
2
02443
R r D ππρ=
即 3
022
3R D r
ρ= ， 3
0122003R D E r ρεε== 故中心点的电位为
00
30122
0000(0)d d d d 33R R r R R
R r E r E r r r r ρρ?εεε∞∞
=+=+=????22200000021()6323r r r R R R ρρερεεεεε++= 3.17 一个半径为R 的介质球，介电常数为ε，球内的极化强度r K r =P e ，其中K 为
一常数。（1） 计算束缚电荷体密度和面密度；（2） 计算自由电荷密度；（3）计算球内、外的电场和电位分布。
解 （1） 介质球内的束缚电荷体密度为 222
1d ()d p K K
r r r r r ρ=-?=-=-P 在r R =的球面上，束缚电荷面密度为 p r r R
r R K
R
σ=====n P e P
（2）由于0ε=+D E P ，所以 0
0εεε
?=?+?=?+?D E P D P 即 0
(1)εε
-
?=?D P 由此可得到介质球内的自由电荷体密度为
20
()p K
r εεερρεεεεεε=?=
?=-
=
---D P 总的自由电荷量 2
200014d 4d R K RK q r r r τ
επερτπεεεε===--?? （3）介质球内、外的电场强度分别为
100()r K
r
εεεε=
=--P E e ()r R < 2220004()r r
q RK
r r επεεεε==-E e e ()r R > 介质球内、外的电位分别为
112d d d R
r r
R
E r E r ?∞
∞
==+=???E l
200
0d d ()()R
r R K RK
r r r r εεεεεε∞
+=--?? 000ln ()()
K R K
r εεεεεε+-- ()r R ≤
222
0d d ()r r RK
E r r r ε?εεε∞
∞
===-??00()RK r εεεε- ()r R ≥ 3.18 （1）证明不均匀电介质在没有自由电荷密度时可能存在束缚电荷体密度；（2）导出束缚电荷密度P ρ的表达式。
解 （1）由0ε=+D E P ，得束缚电荷体密度为 0P ρε=-?=-?+?P D E 在介质内没有自由电荷密度时，0?=D ，则有 0P ρε=?E 由于ε=D E ，有 ()0εεε?=?=?+?=D E E E 所以 ε
ε
??=-
E E
由此可见，当电介质不均匀时，?E 可能不为零，故在不均匀电介质中可能存在束缚电荷
体密度。
（2）束缚电荷密度P ρ的表达式为 0
0P ερεεε
=?=-
?E E 3.19 两种电介质的相对介电常数分别为1r ε=2和2r ε=3，其分界面为z =0平面。如果已知介质1中的电场的
123(5)x y z y x z =-++E e e e 那么对于介质2中的2E 和2D ，我们可得到什么结果？能否求出介质2中任意点的2E 和
2D ？
解 设在介质2中
2222(,,0)(,,0)(,,0)(,,0)x x y y z z x y E x y E x y E x y =++E e e e
2022023r εεε==D E E
在0z =处，由12()0z ?-=e E E 和12()0z -=e D D ，可得
2200223(,,0)(,,0)
253(,,0)x y x x y y z y x E x y E x y E x y εε-=+????=??
e e e e
于是得到 2(,,0)2x E x y y =
2(,,0)3y E x y x =-
2(,,0)10z E x y =
故得到介质2中的2E 和2D 在0z =处的表达式分别为 220(,,0)23(103)(,,0)(6910)
x y z x y z x y y x x y y x ε=-+=-+E e e e D e e e
不能求出介质2中任意点的2E 和2D 。由于是非均匀场，介质中任意点的电场与边界面上的电场是不相同的。
3.20 电场中一半径为a 、介电常数为ε的介质球，已知球内、外的电位函数分别为
3010020cos cos 2E r a E r
εεθ
?θεε-=-++ r a ≥
20
03cos 2E r ε?θεε=-
+ r a ≤
验证球表面的边界条件，并计算球表面的束缚电荷密度。
解 在球表面上
00
1000
003(,)cos cos cos 22a E a aE E a εεε?θθθθεεεε-=-+
=-++
200
3(,)cos 2a E a ε?θθεε=-
+
010
00
002()3cos cos cos 22r a E E E r εε?ε
θθθεεεε=-?=--=-?++ 02
03cos 2r a
E r ε?θεε=?=-?+ 故有 12(,)(,)a a ?θ?θ=， 12
0r a r a r r
??εε==??=??
可见1?和2?满足球表面上的边界条件。
球表面的束缚电荷密度为
202()p r a
r σεε===-=n P e E 002000
3()
()
cos 2r a E r
εεε?εεθεε=-?--=
?+ 3.21 平行板电容器的长、宽分别为a 和b ，极板间距离为d 。电容器的一半厚度(2
~0d
)用介电常数为ε的电介质填充，如题3.21图所示。
(1) (1) 板上外加电压0U ，求板上的自由电荷面密度、束缚电荷；
(2) (2) 若已知板上的自由电荷总量为Q ，求此时极板间电压和束缚电荷； (3) (3) 求电容器的电容量。
解 （1） 设介质中的电场为z E =E e ，空气中的电场为0=E 0z E e 。由=D 0D ，有
00E E εε= 又由于 002
2U d
E d E -=+
由以上两式解得 0002()U E d εεε=-
+ ，0
002()U E d
εεε=-+
故下极板的自由电荷面密度为
0002()U E d εεσεεε==-
+下
上极板的自由电荷面密度为 00
00
02()U E d
εεσεεε=-=+上 电介质中的极化强度 000
002()()()z
U d εεεεεεε-=-=-+P E e 故下表面上的束缚电荷面密度为 000
02()()p z
U d εεεσεε-=-=+e P 下 上表面上的束缚电荷面密度为 000
02()()p z U d
εεεσεε-==-
+e P 上 （2）由 002()U Q ab d
εεσεε=
=+ 得到 00()2dQ U ab εεεε+= 故 0()p Q ab
εεσε-=下 0()p Q ab
εεσε-=-上
（3）电容器的电容为 002()ab Q
C U d
εεεε==+ 3.22 厚度为t 、介电常数为04εε=的无限大介质板，放置于均匀电场0E 中，板与0
E 成角1θ，如题3.22图所示。求：（1）使24θπ=的1θ值；（2）介质板两表面的极化电荷密度。
解 （1）根据静电场的边界条件，在介质板的表面上有
12tan tan εθθε
= 由此得到 11102
01tan 1tan
tan tan 144
εθεθεε---==== （2）设介质板中的电场为E ，根据分界面上的边界条件，有00n n E E εε=，即
001cos n E E εθε=
所以 00101
cos cos144
n E E E εθε==
介质板左表面的束缚电荷面密度
0000
03()c o s 140.7284
p n E E E σεεεε=--=-=-
题 3.21图
题3.22
图
介质板右表面的束缚电荷面密度
0000
03
()c o s 14
0.7284
p n E E E σεεεε=-== 3.23 在介电常数为ε的无限大均匀介质中，开有如下的空腔，求各腔中的0E 和0D ：
（1）平行于E 的针形空腔；
（2）底面垂直于E 的薄盘形空腔； （3）小球形空腔（见第四章4.14题）。 解 （1）对于平行于E 的针形空腔，根据边界条件，在空腔的侧面上，有0=E E 。故在针形空腔中
0=E E ，0000εε==D E E
（2）对于底面垂直于E 的薄盘形空腔，根据边界条件，在空腔的底面上，有0=D D 。故在薄盘形空腔中
0ε==D D E ，0
00
εεε=
=
D E E
3.24 在面积为S 的平行板电容器内填充介电常数作线性变化的介质，从一极板
(0)y =处的1ε一直变化到另一极板()y d =处的2ε，试求电容量。
解 由题意可知，介质的介电常数为 121()y d εεεε=+- 设平行板电容器的极板上带电量分别为q ±，由高斯定理可得
y q
D S
σ==
121[()]y
y D q
E y d S
ε
εεε=
=
+-
所以，两极板的电位差 21212110
d d ln [()]()d
d
y q qd
U E y y y d S S εεεεεεε==
=+--?
? 故电容量为 2121()ln()
S q
C U d εεεε-=
= 3.25 一体密度为7
3
2.3210C m ρ-=?的质子束，束内的电荷均匀分布，束直径为2mm ，束外没有电荷分布，试计算质子束内部和外部的径向电场强度。
解 在质子束内部，由高斯定理可得 2
1
2r r E r ππρε=
故 74120 2.3210 1.3110V m 228.85410
r r r E r ρε--?===??? 3
(10m )r -< 在质子束外部，有 20
1
2r rE a ππρε=
故 276212
0 2.32101011.3110V m 228.85410r a E r r r
ρε----??===??? 3
(10m )r -> 3.26 考虑一块电导率不为零的电介质(,)γε，设其介质特性和导电特性都是不均匀的。证明当介质中有恒定电流J 时，体积内将出现自由电荷，体密度为()ρεγ=?J 。试问有没有束缚体电荷P ρ？若有则进一步求出P ρ。
解 ()()()εεε
ρεγγγ
=?=?=?=?+?D E J J J
对于恒定电流，有0?=J ，故得到 ()ρεγ=?J 介质中有束缚体电荷P ρ，且
00()()P ερεεγγ=-?=-?+?=-?+?=
J
P D E J 00()()()εεεε
γγγ
--?+?=-?J J J
3.27 填充有两层介质的同轴电缆，内导体半径为a ，外导体内半径为c ，介质的分界面半径为b 。两层介质的介电常数为1ε和2ε，电导率为1γ和2γ。设内导体的电压为0U ，
外导体接地。求：（1）两导体之间的电流密度和电场强度分布；（2）介质分界面上的自由电荷面密度；（3）同轴线单位长度的电容及漏电阻。
解 （1）设同轴电缆中单位长度的径向电流为I ，则由d S
I =?
J S ，可得电流密度
2r
I r π=J e
()a r c <<
介质中的电场 1112r
I
r γπγ==J E e ()a r b << 222
2r
I
r γπγ==J E e ()b r c << 由于 012d d b
c
a
b
U =+=
??
E r E r 1
2ln
ln 22I b I c
a b
πγπγ+ 于是得到 120
212ln()ln()U I b a c b πγγγγ=
+
故两种介质中的电流密度和电场强度分别为
120
21[ln()ln()]
r
U r b a c b γγγγ=+J e ()a r c <<
20
121[ln()ln()]
r
U r b a c b γγγ=+E e ()a r b << 10
221[ln()ln()]
r
U r b a c b γγγ=+E e ()b r c << （2）由σ=n D 可得，介质1内表面的电荷面密度为
120
111
21[ln()ln()]
r r a
U a b a c b εγσεγγ===
+e E
介质2外表面的电荷面密度为
210
222
21[ln()ln()]
r r c
U c b a c b εγσεγγ==-=-
+e E
两种介质分界面上的电荷面密度为
121122()
r r r b
σεε==--=e E e E 12210
21()[ln()ln()]
U b b a c εγεγγγ--
+
（3）同轴线单位长度的漏电阻为 02112
ln()ln()
2U b a c b R I γγπγγ+==
由静电比拟，可得同轴线单位长度的电容为 12
212ln()ln()
C b a c πεεεε=
+ 3.28 半径为1R 和2R )(21R R <的两个同心的理想导体球面间充满了介电常数为ε、电导率为0(1)K r γγ=+的导电媒质(K 为常数)。若内导体球面的电位为0U ，外导体球面接地。试求：（1）媒质中的电荷分布；（2）两个理想导体球面间的电阻。
解 设由内导体流向外导体的电流为I ，由于电流密度成球对称分布，所以
122
()4r
I
R r R r
π=< 电场强度 120()4()r I R r R r K r γπγ==<<+J E e 由两导体间的电压 2 2 1 1 00d d 4()R R R R I U r r K r πγ= = =+??E r 21012()ln 4()R R K I K R R K πγ??+??+?? 可得到 00 21124()ln ()KU I R R K R R K πγ= ??+??+?? 所以 00 22112()ln ()r KU R R K r R R K γ=??+?? +?? J e 媒质中的电荷体密度为 20 2221121 ()()()ln ()K U r K r R R K R R K εε ργ =?= +??+??+?? J 媒质内、外表面上的电荷面密度分别为 1 11121121 ()()ln ()r r R KU R K R R R K R R K εεσγ === +??+??+?? e J 2 022221121 ()()ln ()r r R KU R K R R R K R R K εεσγ ==-=- +??+??+?? e J （2）两理想导体球面间的电阻 021 012()1 ln 4() U R R K R I K R R K πγ+= =+ 3.29 电导率为γ的无界均匀电介质内，有两个半径分别为1R 和2R 的理想导体小球， 两球之间的距离为),(21R d R d d >>>>，试求两小导体球面间的电阻。 解 此题可采用静电比拟的方法求解。假设两小球分别带电荷q 和q -，由于两球间的距离1R d >>、2R d >>，可近似认为小球上的电荷均匀分布在球面上。由电荷q 和q -的电位叠加求出两小球表面的电位差，即可求得两小导体球面间的电容，再由静电比拟求出两小导体球面间的电阻。 设两小球分别带电荷q 和q -，由于1 R d >>、2 R d >>，可得到两小球表面的电位为 112 11( )4q R d R ?πε= -- 221 11 ()4q R d R ?πε=--- 所以两小导体球面间的电容为 121212 41111 q C R R d R d R πε??== -+---- 由静电比拟，得到两小导体球面间的电导为 121212 41111 I G R R d R d R πγ ??= = -+---- 故两个小导体球面间的电阻为 1212 111111 ()4R G R R d R d R πγ==+---- 3.30 在一块厚度d 的导电板上， 由两个半径为1r 和2r 的圆弧和夹角为α的两半径割 出的一块扇形体，如题3.30图所示。求：（1）沿厚度方向的电阻；（2）两圆弧面之间的电阻；沿α方向的两电极的电阻。设导电板的电导率为γ。 解 （1）设沿厚度方向的两电极的电压为1 U ，则有 d U E 11= 111U J E d γγ== 22111121()2 U I J S r r d γα ==?- 故得到沿厚度方向的电阻为 11221212() U d R I r r αγ= = - （2）设内外两圆弧面电极之间的电流为2I ，则 rd I S I J α2222== rd I J E γα=γ= 222 2 1 22221 d ln r r I r U E r d r γα== ? 故得到两圆弧面之间的电阻为 22221 1 ln U r R I d r γα= = （3）设沿α方向的两电极的电压为3U ，则有 330 d U E r α φ=? 由于3E 与φ无关，所以得到 33U r φ α=E e 333U r φ γγα==J E e 2 3 1 332331 d d ln r S r dU dU r I S r r r φγγαα===?? J e 故得到沿α方向的电阻为 33321ln() U R I d r r α γ== 题3.30图 3.31 圆柱形电容器外导体内半径为b ，内导体半径为a 。当外加电压U 固定时，在b 一定的条件下，求使电容器中的最大电场强度取极小值min E 的内导体半径a 的值和这个 min E 的值。 解 设内导体单位长度带电荷为l ρ，由高斯定理可求得圆柱形电容器中的电场强度为 0()2l E r r ρπε= 由内外导体间的电压 00d d ln 22b b l l a a b U E r r r a ρρπεπε== =? ? 得到 02ln() l U b a περ= 由此得到圆柱形电容器中的电场强度与电压的关系式 ) ln()(a b r U r E = 在圆柱形电容器中，a r =处的电场强度最大 ) ln()(a b a U a E = 令)(a E 对a 的导数为零，即 0) (ln 1 )ln(1)(2 2=--=??a b a b a a a E 由此得到 1)/ln(=a b 故有 718 .2b e b a ≈ = b U U b e E 718.2min == 3.32 证明：同轴线单位长度的静电储能e W 等于2 2l q C 。l q 为单位长度上的电荷量，C 为 单位长度上的电容。 解 由高斯定理可求得圆柱形电容器中的电场强度为 ()2l q E r r πε= 内外导体间的电压为 d d ln 22b b l l a a b U E r r r a ρρπεπε===?? 则同轴线单位长度的电容为 2ln() l q C U b a πε == 同 轴 线 单 位 长 度 的 静 电 储 能 为 2211d ()2d 222b l e a q W E r r r τετεππε===??22 11ln()222l l q q b a C πε= 3.33 如题3.33图所示，一半径为a 、带电量q 的导体球，其球心位于两种介质的分界 面上，此两种介质的电容率分别为1ε和2ε，分界面为无限大平面。求：（1）导体球的电容；（2） 总的静电能量。 解 （1）由于电场沿径向分布，根据边界条件，在两种介质的分界面上12t t E E =，故 有 12E E E ==。由于111D E ε=、222D E ε=，所以12D D ≠。由高斯定理，得到 1122D S D S q += 即 2 2 1222r E r E q πεπε+= 所以 2122() q E r πεε= + 导体球的电位 2121 ()d d 2()a a q a E r r r ?πεε∞ ∞ ===+??122()q a πεε+ 故导体球的电容 122()() q C a a πεε?==+ （2） 总的静电能量为 2 121()24()e q W q a a ?πεε==+ 3.34 把一带电量q 、半径为a 的导体球切成两半，求两半球之间的电场力。 解 先利用虚位移法求出导体球表面上单位面积的电荷受到的静电力f ，然后在半球面上对f 积分，求出两半球之间的电场力。 导体球的电容为 04C a πε= 故静电能量为 22 028e q q W C a πε= = 根据虚位移法，导体球表面上单位面积的电荷受到的静电力 22 2224 0011()44832e W q q f a a a a a a πππεπε??=-=-=?? 方向沿导体球表面的外法向，即 2 24 032r r q f a πε== f e e 这里 sin cos sin sin cos r x y z θφθφθ=++e e e e 在半球面上对f 积分，即得到两半球之间的静电力为 22224 00 0d sin d d 32r q S a a ππθθφπε== =??? F f e 2 2224 00 2cos sin d 32z a q a ππθθθπε=?e 2 2 32z q a πεe 3.35 如题3.35图所示，两平行的金属板，板间距离为d ，竖直地插入在电容率为ε的液体中，两板间加电压U ，证明液面升高 201 ()()2U h g d εερ= - 其中ρ为液体的质量密度。 解 设金属板的宽度为a 、高度为L 。当金属板间的 液面升高为h 时，其电容为 0() a L h ah C d d εε-= + 金属板间的静电能量为 22 01[()]22e aU W CU h L h d εε==+- 题 3.33图 题3.35图 液体受到竖直向上的静电力为 2 0()2e e W aU F h d εε?==-? 而液体所受重力 g F mg ahd g ρ== e F 与g F 相平衡，即 20()2aU ahdg d εε-= 故得到液面上升的高度 2200 2()1()()22U U h d g g d εεεερρ-==- 3.36 可变空气电容器，当动片由0至180电容量由25至350F p 直线地变化，当动片为θ角时，求作用于动片上的力矩。设动片与定片间的电压为=0U 400V 。 解 当动片为θ角时，电容器的电容为 1235025 2525 1.81F (25 1.81)10F 180 C P θθθθ--=+=+=+? 此时电容器中的静电能量为 2122 0011(25 1.81)1022e W C U U θθ-==+? 作用于动片上的力矩为 122701 1.8110 1.45102 e W T U Nm θ--?= =??=?? 3.37 平行板电容器的电容是0S d ε，其中S 是板的面积，d 为间距，忽略边缘效应。 （1）如果把一块厚度为d ?的不带电金属插入两极板之间，但不与两极接触，如题3.37()a 图所示。则在原电容器电压0U 一定的条件下，电容器的能量如何变化？电容量如何 变化？ （2）如果在电荷q 一定的条件下，将一块横截面为S ?、介电常数为ε的电介质片插入电容器(与电容器极板面积基本上垂直地插入，如题3.37()b 图所示，则电容器的能量如何变化？电容量又如何变化？ 解 （1）在电压0U 一定的条件下，未插入金属板前，极板间的电场为 d U E 0 0= 电容为 00S C d ε= 静电能量为 22 00000122e SU W C U d ε== 当插入金属板后，电容器中的电场为 0 U E d d = -? 此时静电能量和电容分别为 2 200001()22()e U SU W S d d d d d d εε?? =-?= ?-?-??? 0202e W S C U d d ε==-? 故电容器的电容及能量的改变量分别为 题3.37图()a 0000() S S S d C C C d d d d d d εεε??=-= - = -?-? 20002() e e e SU d W W W d d d ε??=-= -? （2）在电荷q 一定的条件下，未插入电介质板前，极板间的电场为 000q E S σεε= = 静电能量为 22 00022e q dq W C S ε= = 当插入电介质板后，由介质分界面上的边界条件t t E E 21=，有 E E E ==21 再由高斯定理可得 0()E S E S S q εε?+-?= 于是得到极板间的电场为 0() q E S S S εε= ?+-? 两极板间的电位差位 0() qd U Ed S S S εε==?+-? 此时的静电能量为 20 1122()e q d W qU S S S εε== ?+-? 其电容为 0() S S S C d εε?+-?= 故电容器的电容及能量的改变量分别为 0()S C d εε-??= 2000()1 2[()] e q d W S S S S εεεεε-?=-?+-? 3.38 如果不引入电位函数，静电问题也可以通过直接求解法求解E 的微分方程而得解 决。 （1）证明：有源区E 的微分方程为2 t ρε??= E ，t P ρρρ=+； （2）证明：E 的解是 01 d 4t R τρτπε'?'=-?E 解 （1）由0??=E ，可得 ()0????=E ，即2 ()0??-?=E E 又 0 1 1 ()()P ρρεε?= ?-= +E D P 故得到 2 00 ()t P ρρρεε??+?==E （2）在直角坐标系中2 t ρε??=E 的三个分量方程为 201t x E x ρε??=?，201t y E y ρε??=?，2 01t z E z ρε??=? 其解分别为 011d 4t x E R x τρτπε?'=- '?? 题3.37图()b 011d 4t y E R y τρτπε?'=-'?? 011d 4t z E R z τρτπε?'=- '?? 故 x x y y z z E E E =++=E e e e 011[]d 4t t t x y z R x y z τρρρτπε???'- ++=''' ????e e e 01 d 4t R τρτπε'?'-? 3.39 证明：()d 0t R τ ρτ''?=? 解 由于 31()()t t t t t R R R R R ρρρρρ''??''?=?+=+R ，所以 03()d d d 4d t t t t R R R R ττττρρρτρττπετ''??'''''?=+=+????R E 由题3.38(2)可知 0d 4t R τρτπε'?'=-?E 故 00()d 440t R τ ρτπεπε''?=-+=?E E 一章习题解答 1.1 给定三个矢量A 、B 和C 如下： 23x y z =+-A e e e 4y z =-+B e e 52x z =-C e e 求：（1）A a ；（2）-A B ；（3）A B g ； （4）AB θ；（5）A 在B 上的分量；（6）?A C ； （7）()?A B C g 和()?A B C g ；（8）()??A B C 和()??A B C 。 解 （1 ）23A x y z +-= ==-e e e A a e e e A （2）-=A B (23)(4)x y z y z +---+=e e e e e 64x y z +-=e e e （3）=A B g (23)x y z +-e e e (4)y z -+=e e g －11 （4）由 cos AB θ ===A B A B g ，得 1cos AB θ- =(135.5=o （5）A 在B 上的分量 B A =A cos AB θ ==A B B g （6）?=A C 1 235 02x y z -=-e e e 41310x y z ---e e e （7）由于?=B C 04 1502x y z -=-e e e 8520x y z ++e e e ?=A B 123041 x y z -=-e e e 1014x y z ---e e e 所以 ()?=A B C g (23)x y z +-e e e g (8520)42x y z ++=-e e e ()?=A B C g (1014)x y z ---e e e g (52)42x z -=-e e （8）()??=A B C 1014502x y z ---=-e e e 2405x y z -+e e e ()??=A B C 1 238 5 20 x y z -=e e e 554411x y z --e e e 第六章 时变电磁场 有一导体滑片在两根平行的轨道上滑动，整个装置位于正弦时变磁场 5cos mT z e t ω=B 之中，如题图所示。滑片的位置由0.35(1cos )m x t ω=-确定，轨道终 端接有电阻0.2R =Ω，试求电流i. 解 穿过导体回路abcda 的磁通为 5cos 0.2(0.7) cos [0.70.35(1cos )]0.35cos (1cos )z z d B ad ab t x t t t t ωωωωωΦ==?=?-=--=+?g g B S e e 故感应电流为 11 0.35sin (12cos ) 1.75sin (12cos )mA in d i R R dt t t t t R ωωωωωωΦ = =-=-+-+E 一根半径为a 的长圆柱形介质棒放入均匀磁场0z B =B e 中与z 轴平行。设棒以角速 度ω绕轴作等速旋转，求介质内的极化强度、体积内和表面上单位长度的极化电荷。 解 介质棒内距轴线距离为r 处的感应电场为 00 z r r r B φωω=?=?=E v B e e B e 故介质棒内的极化强度为 00000(1)()e r r r r B r B εεεωεεω==-=-P E e e X 极化电荷体密度为 200 00 11()()2()P rP r B r r r r B ρεεωεεω?? =-??=- =--??=--P 极化电荷面密度为 0000()()P r r r a e r a B σεεωεεω==?=-?=-P n B e 则介质体积内和表面上同单位长度的极化电荷分别为 220020012()212()P P PS P Q a a B Q a a B πρπεεωπσπεεω=??=--=??=- 平行双线传输线与一矩形回路共面，如题图所示。设0.2a m =、0.1m b c d ===、7 1.0cos(210)A i t π=?，求回路中的感应电动势。 A．电磁场理论B基本概念 1．什么是等值面？什么是矢量线？ 等值面——所有具有相同数值的点组成的面 ★空间中所有的点均有等值面通过； ★所有的等值面均互不相交； ★同一个常数值可以有多个互不相交的等值面。 矢量线（通量线）---- 一系列有方向的曲线。 线上每一点的切线方向代表该点矢量场方向， 而横向的矢量线密度代表该点矢量场大小。 例如，电场中的电力线、磁场中的磁力线。 2．什么是右手法则或右手螺旋法则？本课程中的应用有哪些？（图） 右手定则是指当食指指向矢量A的方向，中指指向矢量B的方向，则大拇指的指向就是矢量积C=A*B的方向。 右手法则又叫右手螺旋法则，即矢量积C=A*B的方向就是在右手螺旋从矢量A转到矢量B的前进方向。 本课程中的应用： ★无限长直的恒定线电流的方向与其所产生的磁场的方向。 ★平面电磁波的电场方向、磁场方向和传播方向。 3．什么是电偶极子？电偶极矩矢量是如何定义的？电偶极子的电磁场分布是怎样的？ 电偶极子——电介质中的分子在电场的作用下所形成的一对等值异号的点电荷。 电偶极矩矢量——大小等于点电荷的电量和间距的乘积，方向由负电荷指向正电荷。 4.麦克斯韦积分和微分方程组的瞬时形式和复数形式； 积分形式： 微分方式： （1）安培环路定律 （2）电磁感应定律 （3）磁通连续性定律 （4）高斯定律 5.结构方程 6.什么是电磁场边界条件？它们是如何得到的？（图） 边界条件——由麦克斯韦方程组的积分形式出发，得到的到场量在不同媒质交界面上应满足的关系式（近似式）。 边界条件是在无限大平面的情况得到的，但是它们适用于曲率半径足够大的光滑曲面。 7.不同媒质分界面上以及理想导体表面上电磁场边界条件及其物理意义； （1）导电媒质分界面的边界条件 ★ 导电媒质分界面上不存在传导面电流，但可以有面电荷。 在不同媒质分界面上，电场强度的切向分量、磁场强度的切向分量和磁感应强度的法向分量永远是连续的 （2）理想导体表面的边界条件 ★ 理想导体内部，时变电磁场处处为零。导体表面可以存在时变的面电流和面电荷。 第六章 时变电磁场 6.1 有一导体滑片在两根平行的轨道上滑动，整个装置位于正弦时变磁场 5cos mT z e t ω=B 之中，如题6.1图所示。滑片的位置由0.35(1cos )m x t ω=-确定，轨道终端接有电阻0.2R =Ω，试求电流i. 解 穿过导体回路abcda 的磁通为 5cos 0.2(0.7) cos [0.70.35(1cos )]0.35cos (1cos )z z d B ad ab t x t t t t ωωωωωΦ==?=?-=--=+? B S e e 故感应电流为 11 0.35sin (12cos ) 1.75sin (12cos )mA in d i R R dt t t t t R ωωωωωωΦ = =-=-+-+E 6.2 一根半径为a 的长圆柱形介质棒放入均匀磁场0z B =B e 中与z 轴平行。设棒以角 速度ω绕轴作等速旋转，求介质内的极化强度、体积内和表面上单位长度的极化电荷。 解 介质棒内距轴线距离为r 处的感应电场为 00z r r r B φωω=?=?=E v B e e B e 故介质棒内的极化强度为 00000(1)()e r r r r B r B εεεωεεω==-=-P E e e X 极化电荷体密度为 200 00 11()()2()P rP r B r r r r B ρεεωεεω?? =-??=- =--??=--P 极化电荷面密度为 0000()()P r r r a e r a B σεεωεεω==?=-?=-P n B e 则介质体积内和表面上同单位长度的极化电荷分别为 220020012()212()P P PS P Q a a B Q a a B πρπεεωπσπεεω=??=--=??=- 6.3 平行双线传输线与一矩形回路共面，如题6.3图所示。设0.2a m =、0.1m b c d ===、7 1.0cos(210)A i t π=?，求回路中的感应电动势。 电磁场与电磁波理论基础自学指导书 课程简介：电磁场理论是通信技术的理论基础，是通信专业本科学生必须具备的知识结构的重要组成部分之一。使学生掌握电磁场的有关定理、定律、麦克斯韦方程等的物理意义及数学表达式。使学生熟悉一些重要的电磁场问题的数学模型（如波动方程、拉氏方程等）的建立过程以及分析方法。培养学生正确的思维方法和分析问题的能力，使学生对"场"与"路"这两种既密切相关又相距甚远的理论有深刻的认识，并学会用"场"的观点去观察、分析和计算一些简单、典型的场的问题。为以后的学习和工作打下坚实的理论基础。 第一章矢量分析场论初步 1主要内容 本章从矢量分析入手，介绍了标量场和矢量场的基本概念，学习了矢量的通量、散度以及散度定理，矢量的环流、旋度以及斯托克斯定理，标量的梯度，以及上述的物理量在圆柱和球坐标系下的表达形式，最后介绍了亥姆霍兹定理，该定理说明了研究一个矢量场从它的散度和旋度两方面入手。通过本章的学习，使学生掌握场矢量的散度、旋度和标量的梯度的概念和数学计算为以后的电磁场分析打下基础。 2学习要求 深刻理解标量场和矢量场的概念；深刻理解散度、旋度和梯度的概念、物理意义及相关定理； 熟练使用直角坐标、圆柱坐标和球坐标进行矢量的微积分运算； 了解亥姆霍兹定理的内容。 3重点及难点 重点：在直角坐标、圆柱坐标和球坐标中计算矢量场的散度和旋度、标量场的梯度以及矢量的线积分、面积分和体积分。 难点：正确理解和掌握散度、旋度和梯度的概念及定理，可以借助流体的流量和涡旋等自然界中比较具体而形象的相似问题来理解。 4思考题合作业 1.4, 1.8, 1.9, 1.11, 1.14, 1.16, 1.24 第二章静电场 1主要内容 本章我们从点电荷的库仑定律发，推导出静电场的基本方程（微分表达及积分表达），该基本方程第一组与静电场的散度和通量有关（高斯定律），第二组有关静电场的环量和旋度，推导的过程运用了叠加原理。由静电场的基本方程中的环量和旋度的基本方程，我们引入了电位的概念，并给出了电场强度与电位之间的关系以及电位的计算公式。运用静电场的基本方程及电位可以解决静电场中的场源互求问题（已知源求场或已知场求源）。然后介绍了电偶极子的概念，推导了电偶极子的电场强度与电位的表达式。接着介绍了介质的极化，被极化的分子可等效为电偶极子，所以介质极化产生的电位就可以借用电偶极子的相关结论。由极化介质的电位公式我们推导了介质中的高斯定律，在该定律中引入了一个新的量— 电磁场与电磁波复习材料 简答 1． 简述恒定磁场的性质，并写出其两个基本方程。 2． 试写出在理想导体表面电位所满足的边界条件。 3． 试简述静电平衡状态下带电导体的性质。 答：静电平衡状态下，带电导体是等位体，导体表面为等位面；（2分） 导体内部电场强度等于零，在导体表面只有电场的法向分量。（3分） 4． 什么是色散？色散将对信号产生什么影响？ 答：在导电媒质中，电磁波的传播速度随频率变化的现象称为色散。 （3分） 色散将使信号产生失真，从而影响通信质量。 （2分） 5．已知麦克斯韦第二方程为t B E ??- =?? ，试说明其物理意义，并写出方程的积分形式。 6．试简述唯一性定理，并说明其意义。 7．什么是群速？试写出群速与相速之间的关系式。 8．写出位移电流的表达式，它的提出有何意义？ 9．简述亥姆霍兹定理，并说明其意义。 答：当一个矢量场的两类源(标量源和矢量源)在空间的分布确定时，该矢量场就唯一地确定了，这一规律称为亥姆霍兹定理。 （3分） 亥姆霍兹定理告诉我们，研究任意一个矢量场（如电场、磁场等），需要从散度和旋度两个方面去研究，或者是从矢量场的通量和环量两个方面去研究 10．已知麦克斯韦第二方程为S d t B l d E S C ???-=???，试说明其物理意义，并写出方程的微 分形式。 答：其物理意义：随时间变化的磁场可以产生电场。 （3分） 方程的微分形式： 11．什么是电磁波的极化？极化分为哪三种？ 答：电磁波的电场强度矢量的方向随时间变化所描绘的轨迹称为极化。（2分） 极化可以分为：线极化、圆极化、椭圆极化。 12．已知麦克斯韦第一方程为 t D J H ??+ =?? ，试说明其物理意义，并写出方程的积分形式。 第一章习题解答 1.1 给定三个矢量A 、B 和C 如下： 23x y z =+-A e e e 4y z =-+B e e 52x z =-C e e 求：（1）A a ；（2）-A B ；（3）A B ；（4）A B θ；（5）A 在B 上的分量；（6）?A C ； （7）()?A B C 和()?A B C ；（8）()??A B C 和()??A B C 。 解 （1 ）23A x y z +-= = =e e e A a e e e A （2）-=A B (23)(4)x y z y z +---+=e e e e e 64x y z +-=e e e （3）=A B (23)x y z +-e e e (4)y z -+=e e －11 （ 4 ） 由 c o s AB θ =1 1 2 3 8 = A B A B ， 得 1 c o s A B θ- =(135.5- = （5）A 在B 上的分量 B A =A c o s AB θ = =- A B B （6）?=A C 1 235 02x y z -=-e e e 41310x y z ---e e e （7）由于?=B C 04 1502x y z -=-e e e 8520x y z ++e e e ?=A B 1 230 4 1 x y z -=-e e e 1014x y z ---e e e 所以 ()?=A B C (23)x y z +-e e e (8520)42x y z ++=-e e e ()?=A B C (1014)x y z ---e e e (52)42x z -=-e e （8）()??=A B C 1014502 x y z ---=-e e e 2405x y z -+e e e ()??=A B C 1 238 5 20 x y z -=e e e 554411x y z --e e e 1.2 三角形的三个顶点为1(0,1,2)P -、2(4,1,3)P -和3(6,2,5)P 。 （1）判断123P P P ?是否为一直角三角形； （2）求三角形的面积。 《电磁场与电磁波》（陈抗生）习题解答 第一章 引言——波与矢量分析 1．1 . ,,/)102102cos(102 6300p y v k f E m V x t y y E E 相速度相位常数度，频率波的传播方向，波的幅的方向，，求矢量设 解：m /V )x 102t 102cos(10y y E z E y E x E E 26300y 0z 0y 0 x 矢量E 的方向是沿Y 轴方向，波的传播方向是-x 方向； 波的幅度 m /V 10E E 3y 。 s /m 10102102k V ;102k ; MHZ 1HZ 1021022f 82 6 P 2 66 1．2 写出下列时谐变量的复数表示（如果可能的话） ) 6 sin()3 sin()()6(cos 1)()5() 2 120cos(6)()4(cos 2sin 3)()3(sin 8)()2() 4 cos(6)()1( t t t U t t D t t C t t t A t t I t t V （1）解： 4/)z (v j 23234 sin j 64cos 6e 6V 4 j （2）解：)2 t cos(8) t (I 2 )z (v j 8e 8I j 2 （3）解：） t cos 13 2t sin 13 3( 13)t (A j 32e 13A 2)z () 2t cos(13)t (A 13 3 cos ) 2 (j v 则则令 （4）解：)2 t 120cos(6) t (C j 6e 6C 2 j (5)(6)两个分量频率不同，不可用复数表示 1．3由以下复数写出相应的时谐变量] ) 8.0exp(4)2 exp(3)3() 8.0exp(4)2(1)1(j j C j C j C （1）解： t sin t cos j t sin j t cos )t sin j t )(cos j 1(e )j 1(t j t sin t cos )Ce (RE )t (C t j （2）解：)8.0t cos(4)e e 4(RE )Ce (RE ) t (C t j 8.0j t j （3）解：)8.0t (j ) 2t (j t j 8 .0j j t j e 4e 3e )e 4e 3(Ce 2 得：)t cos(3)8.0t cos(4)8.0t cos(4)2 t cos(3)Ce (RE )t (C t j 1．4 ] Re[, )21(,)21(000000 B A B A B A B A z j y j x B z j y j x A ，，，求：假定 解：1B A B A B A B A z z y y x x 第2章习题解答 2.2已知半径为a 、长为l 的圆柱体内分布着轴对称的体电荷，已知其电荷密度()0V a ρρρρ =， ()0a ρ≤≤。试求总电量Q 。 解：2π20000 2d d d d π3 l a V V Q V z la a ρρ ρρρ?ρ= ==? ? ?? 2.3 半径为0R 的球面上均匀分布着电荷，总电量为Q 。当球以角速度ω绕某一直径(z 轴)旋转时，试求 其表面上的面电流密度。 解：面电荷密度为 2 04πS Q R ρ= 面电流密度为 002 00 sin sin sin 4π4πS S S Q Q J v R R R R ωθ ρρωθωθ=?== = 2.4 均匀密绕的螺旋管可等效为圆柱形面电流0S S J e J ?=。已知导线的直径为d ，导线中的电流为0I ，试 求0S J 。 解：每根导线的体电流密度为 00 22 4π(/2)πI I J d d = = 由于导线是均匀密绕，则根据定义面电流密度为 04πS I J Jd d == 因此，等效面电流密度为 04πS I J e d ?= 2.6 两个带电量分别为0q 和02q 的点电荷相距为d ，另有一带电量为0q 的点电荷位于其间。为使中间的 点电荷处于平衡状态，试求其位置。当中间的点电荷带电量为-0q 时，结果又如何？ 解：设实验电荷0q 离02q 为x ，那么离0q 为x d -。由库仑定律，实验电荷受02q 的排斥力为 12 214πq F x ε= 实验电荷受0q 的排斥力为 022 1 4π()q F d x ε= - 要使实验电荷保持平衡，即21F F =，那么由0022 211 4π4π() q q x d x εε=-，可以解得 d d x 585.01 22=+= 如果实验电荷为0q -，那么平衡位置仍然为d d x 585.01 22=+=。只是这时实验电荷与0q 和02q 不 是排斥力，而是吸引力。 2.7 边长为a 的正方形的三个顶点上各放置带电量为0q 的点电荷，试求第四个顶点上的电场强度E 。 解：设点电荷的位置分别为()00,0,0q ，()0,0,0q a 和()00,,0q a ，由库仑定律可得点(),,0P a a 处的电 场为 ( ) ( 00 2 22 00001114π4π4π221x y y x x y q q q E e e e e a a q e e εεε? =+++ ?+=+ 《电磁场与电磁波》试题1 一、填空题（每小题1分，共10分） 1．在均匀各向同性线性媒质中，设媒质的导磁率为，则磁感应强度和磁场满足的方程为：。 2．设线性各向同性的均匀媒质中，称为方程。 3．时变电磁场中，数学表达式称为。 4．在理想导体的表面，的切向分量等于零。 5．矢量场穿过闭合曲面S的通量的表达式为：。 6．电磁波从一种媒质入射到理想表面时，电磁波将发生全反射。 7．静电场是无旋场，故电场强度沿任一条闭合路径的积分等于。 8．如果两个不等于零的矢量的等于零，则此两个矢量必然相互垂直。 9．对平面电磁波而言，其电场、磁场和波的传播方向三者符合关系。 10．由恒定电流产生的磁场称为恒定磁场，恒定磁场是无散场，因此，它可用函数的旋度来表示。 二、简述题（每小题5分，共20分） 11．已知麦克斯韦第二方程为，试说明其物理意义，并写出方程的积分形式。 12．试简述唯一性定理，并说明其意义。 13．什么是群速？试写出群速与相速之间的关系式。 14．写出位移电流的表达式，它的提出有何意义？ 三、计算题（每小题10分，共30分） 15．按要求完成下列题目 （1）判断矢量函数是否是某区域的磁通量密度？ （2）如果是，求相应的电流分布。 16．矢量，，求 （1） （2） 17．在无源的自由空间中，电场强度复矢量的表达式为 （1）试写出其时间表达式； （2）说明电磁波的传播方向； 四、应用题（每小题10分，共30分） 18．均匀带电导体球，半径为，带电量为。试求 （1）球内任一点的电场强度 （2）球外任一点的电位移矢量。 19．设无限长直导线与矩形回路共面，（如图1所示）， （1）判断通过矩形回路中的磁感应强度的方向（在图中标出）；（2）设矩形回路的法向为穿出纸面，求通过矩形回路中的磁通量。 20．如图2所示的导体槽，底部保持电位为，其余两面电位为零，（1）写出电位满足的方程； （2）求槽内的电位分布 第3章习题 习题3.3 解： （1） 由?-?=E 可得到 a <ρ时， 0=-?=?E a >ρ时， φρφρ?φρsin 1cos 12222??? ? ??-+???? ??+-=-?=a A e a A e E （2） 圆柱体为等位体且等于0，所以为导体制成，其电荷面密度为 φεεερρρρcos 2000A E e E e a a n s -=?=?=== 习题3.5 证： 根据高斯定律q S d D S =?? ，得 0R r <时。ρππ344312 r D r =，则0 01113,3εερεερr r r D E r D === 0R r >时。ρππ3443022 R D r =，则203002 223023,3r R D E r R D ερερ=== 则中心点的电位为 20 0200 203 020 13633)0(0 ερεερερεερ?R R dr r R dr r dr E dr E r R R R r R += +=+=?? ??∞ ∞ 习题3.8 解： 根据高斯定律q S d D S =?? ，得同轴线内、外导体间的电场强度为 περ ρ2)(l q E = 内、外导体间的电压为 a b q d q Ed U l b a b a l ln 22περπερ ρ= ==?? 则同轴线单位长度的电容为 ) /ln(2a b U q U Q C l πε = == 则同轴线单位长度的静电储能为 )/ln(422212122 2 a b q d q dV E W l b a l V e περπρπερεε=??? ? ??==?? 习题3.11 解： （1） 设同轴电缆中单位长度的径向电流为I ，电流密度 )(2c a I e J <<=ρπρ ρ 介质中的电场 )(21 1 1b a I e J E <<==ρπρσσρ )(22 2 2c b I e J E <<==ρπρσσρ 而 ? ?+= ?+?=b a b a b c I a b I d E d E U ln 2ln 221 210πσπσρρ ) /ln()/ln(2120 21b c a b U I σσσπσ+= 第1章习题解答 1.4 计算下列标量场u 的梯度u ? ： （1）234u x y z =； （2）u xy yz zx =++； （3）222323u x y z =-+。 解：（1） 34224233234x y z x y z u u u u e e e e xy z e x y z e x y z x y z ????=++=++??? （2）()()()x y z x y z u u u u e e e e y z e x z e y x x y z ????=++=+++++??? （3）646x y z x y z u u u u e e e e x e y e z x y z ????=++=-+??? 1.6 设()22,,1f x y z x y y z =++。试求在点()2,1,3A 处f 的方向导数最大的方向的单位矢量及其方向导 数。方向导数最小值是多少？它在什么方向？ 解： ()2222x y z x y z f f f f e e e e xy e x yz e y x y z ????=++=+++??? 因为410x y z x y z A f f f f e e e e e e x y z ????=++=++??? 所以 ( max 410l x y z f e e e e l ?==++? ( min 410l x y z f e e e e l ?==-++? 1.10 求下列矢量场在给定点的散度值： （1）()x y z A xyz e x e y e z =++ 在()1,3,2M 处； （2）242x y z A e x e xy e z =++ 在()1,1,3M 处； （3）())1222x y z A e x e y e z x y z =++++ 在()1,1,1M 处。 解：（1） 222636y x z M A A A A xyz xyz xyz xyz A x y z ?????=++=++=??=??? （2）42212y x z M A A A A x z A x y z ?????= ++=++??=??? （3）y x z A A A A x y z ?????=++ ??? ( )( )( ) 2222 2222 2222 3 3 3 x y z x x y z y x y z z ++-++-++ -= + + = M A ??= 《电磁场与电磁波》试题2 一、填空题（每小题1分，共10分） 1．在均匀各向同性线性媒质中，设媒质的介电常数为ε，则电位移矢量D ?和电场E ? 满足的 方程为： 。 2．设线性各向同性的均匀媒质中电位为φ，媒质的介电常数为ε，电荷体密度为V ρ，电位 所满足的方程为 。 3．时变电磁场中，坡印廷矢量的数学表达式为 。 4．在理想导体的表面，电场强度的 分量等于零。 5．表达式()S d r A S ? ????称为矢量场)(r A ? ?穿过闭合曲面S 的 。 6．电磁波从一种媒质入射到理想导体表面时，电磁波将发生 。 7．静电场是保守场，故电场强度沿任一条闭合路径的积分等于 。 8．如果两个不等于零的矢量的点积等于零，则此两个矢量必然相互 。 9．对横电磁波而言，在波的传播方向上电场、磁场分量为 。 10．由恒定电流产生的磁场称为恒定磁场，恒定磁场是 场，因此，它可用磁矢位函数的旋度来表示。 二、简述题 （每小题5分，共20分） 11．试简述磁通连续性原理，并写出其数学表达式。 12．简述亥姆霍兹定理，并说明其意义。 13．已知麦克斯韦第二方程为S d t B l d E S C ???????-=???，试说明其物理意义，并写出方程的微 分形式。 14．什么是电磁波的极化？极化分为哪三种？ 三、计算题 （每小题10分，共30分） 15．矢量函数 z x e yz e yx A ??2+-=? ，试求 （1）A ? ?? （2）A ? ?? 16．矢量 z x e e A ?2?2-=? ， y x e e B ??-=? ，求 （1）B A ? ?- （2）求出两矢量的夹角 第3章习题解答 3.1 对于下列各种电位分布，分别求其对应的电场强度和体电荷密度： (1)()2,,x y z Ax Bx C Φ=++； (2)(),,x y z Axyz Φ=； (3)()2,,sin z A B z Φρ?ρ?ρ=+； (4)()2,,sin cos r Ar Φθ?θ?=。 解：已知空间的电位分布，由E Φ=-?r r 和2 0/Φρε?=-可以分别计算出电场强度和体电荷密度。 (1) ()2x E e Ax B Φ=-?=-+r r r 0202εερA -=Φ?-= (2) ()x y z E A e yz e xz e xy Φ=-?=-++r r r r r 020=Φ?-=ερ (3) (2sin )cos z E e A Bz e A e B ρ?Φρ?ρ?ρ??=-?=-+++??r r r r 20004sin sin 3sin Bz Bz A A A ρεΦε??ε?ρρ???? =-?=-+-=-+ ? ???? ? (4) ()2sin cos cos cos sin r E e Ar e Ar e Ar θ?Φθ?θ??=-?=-+-r r r r r 200cos 2cos cos 6sin cos sin sin A A A θ??ρεΦεθ?θθ?? =-?=-+ - ?? ? 3.5 如题3.5图所示上下不对称的鼓形封闭曲面，其上均匀分布着密度为0S ρ的面电荷。 试求球心处的电位。 解：上顶面在球心产生的电位为 22001111100 ()()22S S d R d R d ρρ Φεε= +-=- 下顶面在球心产生的电位为 22 002222200 ()()22S S d R d R d ρρΦεε= +-=- 侧面在球心产生的电位为 030 014π4πS S S S R R ρρΦεε= = ? 式中2 12124π2π()2π()2π()S R R R d R R d R d d =----=+。因此球心总电位为 1230 S R ρΦΦΦΦε=++= 3.6有02εε=和05εε=的两种介质分别分布在0z >和0z <的半无限大空间。已知0z >时， 201050x y z E e e e =-+r r r r V /m 。试求0z <时的D r 。 解：由电场切向分量连续的边界条件可得 1t 2t E E =? 000520510x y z D D εε<=?=-? 代入电场法向方向分量满足的边界条件可得 1n 2n D D =? 050z z D <= 于是有 0001005050x y z z D e e e εε<=-+r r r r 3.9 如题 3.9图所示，有一厚度为2d 的无限大平面层，其中充满了密度为 ()0πcos x x d ρρ=的体电荷。若选择坐标原点为零电位参考点，试求平面层 之内以及平面层以外各区域的电位和电场强度。 第7章习题解答 7.6 如题7.6图所示相距为a 的平板金属波导，当/0y ??=时，沿z 方向可传播 TEM 模、TE 模和TM 模。试求：（1）各种模式的场分量；（2）各种模式的传播常数；（3）画出基本模式的场结构及其导体表面的传导电流。 解：(1) 各种模式的场分量 对TEM 模，在均匀波导横截面上的分布规律与同样边界条件下的二维静态场的分布规律是完全一样的。对静电场情况，无限大平板之间的电场强度为均匀电场0E ，则对应的TEM 模中电场为 j t 0e kz x x x E e E e E -== 利用平面波电场与磁场关系，即 j 0t t w 1 e 120π kz z y E H e E e Z -= ?= 对TE 模，0=z E ，而z H 满足的导波方程为 22t c 0z z H k H ?+= 式中2 2 2 c k k γ=+，2 2t 2x ??=?，则上式变成 22c 2 d 0d z z H k H x += 因此波动方程的解为 c c sin cos z H A k x B k x =+ 由0=x 时 0=??x H z 可得到0=A ；由a x =时0=??x H z 可得到c sin 0k x =，即c m k a π= 。因此 πcos z m m x H H a = 式中m H 取决于波源的激励强度。由于波沿着z 方向传播，则j z k γ=，因此 z k ==利用各横向场分量与纵向场分量之间关系可以得到 j 22c c 0 j ππj sin e z x k z z y m E H m m x E H k x k a a ωμωμ-=?==-? j 22c c j j ππsin e 0z k z z z z x m y k H k m m x H H k x k a a H -?=- =?= 对TM 模，0=z H ，而z E 满足的导波方程为 22c 2 d 0d z z E k E x += 因此波动方程的解为 c c sin cos z E A k x B k x =+ 由0=x 时0=z E 可得到0=B ；由a x =时0=z E 可得到c sin 0k x =，即c m k a π=。因此 πsin z m m x E E a = 式中m E 取决于波源的激励强度。利用各横向场分量与纵向场分量之间关系可以得到 《电磁场与电磁波》答案(4) 一、判断题（每题2分，共20分） 说明：请在题右侧的括号中作出标记，正确打√，错误打× 1.在静电场中介质的极化强度完全是由外场的强度决定的。 2.电介质在静电场中发生极化后，在介质的表面必定会出现束缚电荷。 3.两列频率和传播方向相同、振动方向彼此垂直的直线极化波，合成后 的波也必为直线极化波。 4.在所有各向同性的电介质中，静电场的电位满足泊松方程 2ρ ? ε ?=-。 5.在静电场中导体内电场强度总是为零，而在恒定电场中一般导体内的 电场强度不为零，只有理想导体内的电场强度为零。 6.理想媒质和损耗媒质中的均匀平面波都是TEM波。 7.对于静电场问题，保持场域内电荷分布不变而任意改变场域外的电荷 分布，不会导致场域内的电场的改变。 8.位移电流是一种假设，因此它不能象真实电流一样产生磁效应。 9.静电场中所有导体都是等位体，恒定电场中一般导体不是等位体。 10.在恒定磁场中，磁介质的磁化强度总是与磁场强度方向一致。 二、选择题（每题2分，共20分） （请将你选择的标号填入题后的括号中） 1. 判断下列矢量哪一个可能是静电场（ A ）。[×]1 [ √]2 [ ×]3 [ ×]4 [ √]5 [ √]6 [ ×]7 [ ×]8 [ √]9 [ ×]10 A ．369x y z E xe ye ze =++ B ．369x y z E ye ze ze =++ C ．369x y z E ze xe ye =++ D ．369x y z E xye yze zxe =++ 2. 磁感应强度为(32)x y z B axe y z e ze =+-+, 试确定常数a 的值。（ B ） A ．0 B ．-4 C ．-2 D ．-5 3. 均匀平面波电场复振幅分量为(/2) 2-2jkz -2j kz x y E 10e E 510e 、，则 极化方式是（ C ）。 A ．右旋圆极化 B ．左旋圆极化 C ．右旋椭圆极化 D ．左旋椭圆极化 4. 一无限长空心铜圆柱体载有电流I ，内外半径分别为R 1和R 2，另一无限长实心铜圆柱体载有电流I ，半径为R2，则在离轴线相同的距离r （r>R2）处（ A ）。 A ．两种载流导体产生的磁场强度大小相同 B ．空心载流导体产生的磁场强度值较大 C ．实心载流导体产生的磁场强度值较大 5. 在导电媒质中，正弦均匀平面电磁波的电场分量与磁场分量的相位（ B ）。 A ．相等 B ．不相等 C ．相位差必为4π D ．相位差必为2 π 6. 两个给定的导体回路间的互感 ( C ) A ．与导体上所载的电流有关 B ．与空间磁场分布有关 C ．与两导体的相对位置有关 D ．同时选A ，B ，C 7. 当磁感应强度相同时，铁磁物质与非铁磁物质中的磁场能量密度相比（ A ）。 A ．非铁磁物质中的磁场能量密度较大 B ．铁磁物质中的磁场能量密度较大 C ．两者相等 D ．无法判断 8. 一般导电媒质的波阻抗(亦称本征阻抗)c η的值是一个。（ C ） A ．实数 B ．纯虚数 C ．复数 D ．可能为实数也可能为纯虚数 9. 静电场在边界形状完全相同的两个区域上满足相同的边界条件，则两个区域中的场分布（ C ）。 A ．一定相同 B ．一定不相同 C ．不能断定相同或不相同 三章习题解答 3.1 真空中半径为a 的一个球面，球的两极点处分别设置点电荷q 和q -，试计算球赤道平面上电通密度的通量Φ(如题3.1图所示)。 解 由点电荷q 和q -共同产生的电通密度为 33[]4q R R π+- +- = -=R R D 22322232 () (){}4[()][()]r z r z r z a r z a q r z a r z a π+-++-+-++e e e e 则球赤道平面上电通密度的通量 d d z z S S S Φ====??D S D e g g 223222320()[]2d 4()() a q a a r r r a r a ππ--=++? 2212 1)0.293()a qa q q r a =-=-+ 3.2 1911年卢瑟福在实验中使用的是半径为a r 的球体原子模型，其球体内均匀分布有总电荷量为Ze -的电子云，在球心有一正电荷Ze （Z 是原子序数，e 是质子电荷量），通过实验得到球体内的电通量密度表达式为02314r a Ze r r r π?? =- ??? D e ，试证明之。 解 位于球心的正电荷Ze 球体内产生的电通量密度为 12 4r Ze r π=D e 原子内电子云的电荷体密度为 33 3434a a Ze Ze r r ρππ=-=- 电子云在原子内产生的电通量密度则为 3223 4344r r a r Ze r r r ρπππ==-D e e 故原子内总的电通量密度为 122314r a Ze r r r π??=+=- ??? D D D e 3.3 电荷均匀分布于两圆柱面间的区域中，体密度为3 0C m ρ, 两圆柱面半径分别为a 和b ，轴线相距为c )(a b c -<，如题3.3图()a 所示。求空 间各部分的电场。 解 由于两圆柱面间的电荷不是轴对称分布，不能直接用高斯定律求解。但可把半径为a 的小圆柱面内看作同时具有体密度分别为0ρ±的两种电荷分布，这样在半径为b 的整个圆柱体内具有体密度为0ρ的均匀电荷分布，而在半径为a 的整个圆柱体内则具有体密度为0ρ-的均匀电荷分布，如题3.3图()b 所示。空间任一点的电场是这两种电荷所产生的电场的叠加。 在b r >区域中，由高斯定律0 d S q ε= ?E S g ?，可求得大、小圆柱中的正、负电荷在点P 产生 题3.1 图 题3. 3图()a 6.2 自由空间中一均匀平面波的磁场强度为 )cos()(0x wt H a a H z y π-+= m A / 求：（1）波的传播方向；（2）波长和频率；（3）电场强度; （4）瞬时坡印廷矢量。 解：)cos()(0x wt H a a H z y π-+= m A / (1) 波沿+x 方向传播 (2) 由题意得：k=π rad/m ， 波长m k 22==πλ ， 频率Hz c f 8105.1?==λ （3）)cos(120 )(0x wt H a a a H E z y x ππη--=?= m v / （4）)(cos 24020x wt H a H E S x ππ-=?= 2 /m w 6.3无耗媒质的相对介电常数4=r ε，相对磁导率1=r μ，一平面电磁波沿+z 方向传播，其电场强度的表 达式为)106cos(80z t E a E y β-?= 求：（1）电磁波的相速；（2）波阻抗和β；（3）磁场强度的瞬时表达式；（4）平均坡印廷矢量。 解： （1）s m c v r r p /105.11 8?===εμμε （2）)(6000Ω===πεεμμεμηr r ， m r a d c w w r r /4===εμμεβ （3）)4106cos(60180z t E a E a H x z -?-=?=π η m A / （4）π120]Re[2120*E a H E S z av =?= 2/m w 6.4一均匀平面波从海水表面（x=0）沿+x 方向向海水中传播。在x=0处，电场强度为m v t a E y /)10cos(1007π =，若海水的80=r ε，1=r μ，m s /4=γ。 求：（1）衰减常数、相位常数、波阻抗、相位速度、波长、趋肤深度； （2）写出海水中的电场强度表达式； （3）电场强度的振幅衰减到表面值的1%时，波传播的距离； （4）当x=0.8m 时，电场和磁场得表达式； （5）如果电磁波的频率变为f=50kHz ，重复（3）的计算。比较两个结果会得到什么结论？ 解： （1） 第3章习题 3-1 半径为a 的薄圆盘上电荷面密度为s ρ，绕其圆弧轴线以角频率ω旋转形成电流，求电流面密度。 解：圆盘以角频率ω旋转，圆盘上半径为r 处的速度为r ω，因此电流面密度为 ? ωρρ?r v J s s s == 3-2 在铜中，每立方米体积中大约有28 105.8?个自由电子。如果铜线的横截面为2 10cm ，电 流为A 1500。计算 1） 电子的平均漂移速度； 2） 电流密度； 解：2）电流密度 m A S I J /105.110 10150064?=?== - 1） 电子的平均漂移速度 v J ρ= ， 3102819/1036.1105.8106.1m C eN ?=???==-ρ s m J v /101.110 36.1105.14 10 6-?=??==ρ 3-3 一宽度为cm 30传输带上电荷均匀分布，以速度s m /20匀速运动，形成的电流，对应的电 流强度为A μ50，计算传输带上的电荷面密度。 解：电流面密度为 m A L I J S /7.1663 .050μ=== 因为 v J S S ρ= 2/33.820 7.166m C v J S S μρ=== 3-4 如果ρ是运动电荷密度，U 是运动电荷的平均运动速度，证明： 0=??+??+??t U U ρρρ 解：如果ρ是运动电荷密度，U 是运动电荷的平均运动速度，则电流密度为 U J ρ= 代入电荷守恒定律 t J ??-=??ρ 得 0=??+??+??t U U ρ ρρ 3-5 由m S /1012.17 ?=σ的铁制作的圆锥台，高为m 2，两端面的半径分别为cm 10和cm 12。 求两端面之间的电阻。 解：用两种方法(完整版)电磁场与电磁波答案(第四版)谢处方
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