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2009年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅱ）
一、选择题
(1)设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=A B ，则集合[u （A
B ）中的元素共有
（A ）3个 （B ）4个 （C ）5个 （D ）6个 （2）已知
1i
Z
＋=2+I,则复数z= （A ）-1+3i (B)1-3i (C)3+I (D)3-i (3) 不等式
1
1
X X +-＜1的解集为 （A ）｛x }
{}011x x x ??? (B){}01x x ??
（C ）{}10x x -?? (D){
}0x x ?
(4)设双曲线22221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）的渐近线与抛物线y=x 2
+1相切，则该双曲线的离心率等于
（A （B ）2 （C （D (5) 甲组有5名同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学。若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有 （A ）150种 （B ）180种 （C ）300种 (D)345种 （6）设a 、b 、c 是单位向量，且a ·b ＝0，则()()a c b c -?-的最小值为
（A ）2-（B 2 （C ）1- (D)1（7）已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 上的射影为BC 的中点，则异面直线AB 与1CC 所成的角的余弦值为
（A B （C 34
（8）如果函数()cos 2y x φ＝3＋的图像关于点43π??
???
，0中心对称，那么π的最小值为 （A ）
6π （B ）4π （C ）3π (D) 2
π
(9) 已知直线y=x+1与曲线y ln()x a =+相切，则α的值为 (A)1 (B)2 (C) -1 (D)-2
（10）已知二面角α-l-β为600
，动点P 、Q 分别在面α、β内，P 到βQ 到α的距离为则P 、Q 两点之间距离的最小值为
（11）函数()f x 的定义域为R ，若(1)f x +与(1)f x -都是奇函数，则 (A) ()f x 是偶函数 (B) ()f x 是奇函数 (C) ()(2)f x f x =+ (D) (3)f x +是奇函数
（12）已知椭圆C: 2
212
x y +=的又焦点为F ，右准线为L ，点A L ∈,线段AF 交C 与点B 。若3FA FB =,则AF =
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． （注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） (13) 10
()x y -的展开式中，7
3
x y 的系数与37
x y 的系数之和等于 . (14)设等差数列{}n a 的前n 项和为n s .若9s =72,则249a a a ++= .
(15)直三棱柱ABC -111A B C 各顶点都在同一球面上.若12,AB AC AA ===∠BAC =120，则此球的表
面积等于 . (16)若
4
2
π
π
＜X ＜
,则函数3tan 2tan y x x =的最大值为 .
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分） 在?ABC 中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知222a c b -=，且s
i n c o s 3c o s s i n A C A C
=，
求b. 18．（本小题满分12分）
如图，四棱锥S —ABCD 中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD ，DC=SD=2.点M 在侧棱SC 上，
∠ABM=600
.(Ⅰ)证明：M 是侧棱SC 的中点；
（Ⅱ）求二面角S —AM —B 的大小。
(19)(本小题满分12分)
甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立。已知前2局中，甲、乙各胜1局。
（1）求甲获得这次比赛胜利的概率；
（2）设ε 表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求ε 的分布列及数学期望。
（20）（本小题满分12分）
在数列{}n
a 中， 1111
112
n n
n a a a n ?? ??
?’＋’＋＝＝＋
＋. ()I 设n n a
b n ＝，求数列}{n b 的通项公式； ()II 求数列{}n a 的前n 项和n s .
21．（本小题满分12分）
如图，已知抛物线2:E y x =与圆222:(4)M x y r -+=(r ＞0）相交于A B C D 、、、四个点。
（I ）求r 的取值范围：
(II)当四边形ABCD 的面积最大时，求对角线
A B C D 、、、的交点p 的坐标。
22．（本小题满分12分）
设函数32()33f x x bx cx =++有两个极值点[][]12211,2.x x x ∈-∈，，0，且
（Ⅰ）求b 、c 满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点（b ，c ）和区域； (Ⅱ)证明：1
102
-2≤f(x )≤-
2009年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅱ）参考答案
一、选择题(1)解：{3,4,5,7,8,9}A
B =，{4,7,9}(){3,5,8}U A B
C A B =∴=故选A 。
（2）解：(1)(2)13,13z i i i z i =+?+=+∴=- 故选B 。 (3) 解：验x=-1即可。
(4) 解：设切点00(,)P x y ，则切线的斜率为0'
0|2x x y
x ==.由题意有
00
2y x x =又2001y x =+ 解得
: 2
01,2,b x e a =∴
===(5) 解: 分两类(1) 甲组中选出一名女生有112
536225C C C ??=种选法
(2) 乙组中选出一名女生有211562120C C C ??=种选法.故共有345种选法.选D
（6）解:,,a b c 是单位向量()()
2
()a c b c a b a b c c
∴-?-=?-+?+
1||||12cos ,12a b c a b c =-+?=-<+>≥- D.（7）解：设BC 的中点为D ，连结1A D ，AD ，易知1A AB θ=∠即为异面直线AB 与1CC 所成的角,由三角余弦定理，易知
113co c s 4
os cos AD AD A AD DAB A A AB θ=∠∠?=?=.故选D
（8）解:
函数()cos 2y x φ＝3＋的图像关于点43π??
???
，0中心对称 4232k ππφπ∴?
+=+13()6k k Z πφπ∴=-∈由此易得min ||6
π
φ=.故选A (9) 解:设切点00(,)P x y ，则0000ln 1,()y x a y x =+=+,
又
0'01
|1x x y x a
==
=+
00010,12x a y x a ∴+=∴==-∴=.故答案选B （10）解:如图分别作,,,QA A AC l C PB B αβ⊥⊥⊥于于于
PD l D ⊥于，连,60,CQ BD ACQ PBD ∠=∠=?则
AQ BP =2AC PD ∴==
又
PQ AQ =
=
当且仅当0AP =，即A P 点与点重合时取最小值。故答案选C 。 （11）解:
(1)f x +与(1)f x -都是奇函数，(1)(1),(1)(1)f x f x f x f x ∴-+=-+--=--，
∴函数()f x 关于点(1,0)，及点(1,0)-对
称，函数()f x 是周期2[1(1)]4T =--=的周期函数.(14)(14)f x f x ∴--+=--+，(3)(3)f x f x -+=-+，即(3)f x +是奇函数。故选D 12.解:过点B 作BM l ⊥于M,并设右准线l 与X 轴的交点为N ，易知FN=1.由题意3FA FB =,故2
||3
BM =
.又由椭圆的第二定义,
得2||3
BF ==||AF =故选A 二、填空题：
13.解: 373
101010()2240C C C -+-=-=-
14.解:
{}n a 是等差数列,由972S =,得599,S a ∴=58a =
∴2492945645()()324a a a a a a a a a a ++=++=++==.
15.解:在ABC ?中2AB AC ==,120BAC ∠
=?,可得BC =由正弦定理,可得ABC ?外接圆半径
r=2,设此圆圆心为O '，球心为O ，在RT
OBO '?中，易得球半径R =2420R ππ=.
16.解:令tan ,
x t =14
2
x t π
π
<<
∴>,
443
22
24222tan 2222tan 2tan 81111111tan 1()244
x t y x x x t t t t ∴=====≤=------- 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17（本小题满分10分） 解法一：在ABC ?中
sin cos 3cos sin ,A C A C =则由正弦定理及余弦定理
有:222222
3,22a b c b c a a c ab bc
+-+-?
=?化简并整理得：2222()a c b -=.又由已知222a c b -=24b b ∴=.
解法二:
由余弦定理得:
2222cos a c b bc A -=-.
又 2
2
2a c b -=,0b ≠。
所以 2cos 2b c A =+…………………………………① 又 sin cos 3cos sin A C A C =，
sin cos cos sin 4cos sin A C A C A C ∴+=
sin()4cos sin A C A C +=，
即sin 4cos sin B A C =
由正弦定理得sin sin b
B C c
=
， 故 4cos b c A =………………………② 由①，②解得4b =。 18． 解法一：
（I ）作ME ∥CD 交SD 于点E ，则ME ∥AB ，ME ⊥平面SAD ，连接AE ，则四边形ABME 为直角梯形 作MF AB ⊥，垂足为F ，则AFME 为矩形
设ME x =，则SE x =，AE =
2MF AE FB x ===-
由tan 60,)MF FB x =?=-。
解得1x =，即1ME =，从而1
2
ME DC =，所以M 为侧棱SC 的中点
（Ⅱ）2MB =
=，又60,2ABM AB ∠==,所以ABM ?为等边三角形，
又由（Ⅰ）知M 为SC 中点
2SM SA AM =，故222,90SA SM AM SMA =+∠=
取AM 中点G ，连结BG ，取SA 中点H ，连结GH ，则,BG AM GH AM ⊥⊥,由此知BGH ∠为二面角
S AM B --的平面角
连接BH ，在BGH ?中，
1,2222
BG AM GH SM BH =
=====
所以222cos 23
BG GH BH BGH BG GH +-∠==-
??
二面角S AM B --的大小为arccos( 解法二:
以D 为坐标原点，射线DA 为x 轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系D-xyz
设A ，则(0,2,0),(0,0,2)B C S （Ⅰ）设(0)SM MC λλ=?,则
2222
(0,
,),,)
1111M MB λλλλλ
-=++++ 又(0,2,0),,60AB MB AB =-
故||||cos60MB AB MB AB ?=?
即
41λ=+解得1λ=，即SM MC = 所以M 为侧棱SC 的中点
（II ）由(0,1,1),M A ，得AM 的中点11
,)22
G
又31
(
,),(0,1,1),(222
GB MS AM =-=-= 0,0GB AM MS AM ?=?=
所以,GB AM MS AM ⊥⊥
因此,GB MS 等于二面角S AM B --的平面角
cos ,||||
GB MS GB MS GB MS ?=
=?
所以二面角S AM B --的大小为arccos(
19．解：记i A 表示事件：第i 局甲获胜，i=3,4,5
j B 表示事件：第j 局乙获胜，j=3,4
（Ⅰ）记B 表示事件：甲获得这次比赛的胜利
因前两局中，甲、乙各胜一局，故甲获得这次比赛的胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，从而
34345345B A A B A A A B A =?+??+??
由于各局比赛结果相互独立，故
34345345()()()()P B P A A P B A A P A B A =?+??+??
=34345345()()()()()()()()P A P A P B P A P A P A P B P A ++ =0.6×0.6+0.4×0.6×0.6+0.6×0.4×0.6 =0.648
（II ）ξ的可能取值为2，3 由于各局比赛结果相互独立，所以
3434(2)()P P A A B B ξ==?+?
=3434()()P A A P B B ?+? =3434()()()()P A P A P B P B ?+? =0.6×0.6+0.4×0.4 =0.52
(3)1(2)P P ξξ==-==1.0.52=0.48
ξ的分布列为
2(2)3(3)E P P ξξξ=?=+?=
=2×0.52+3×0.48 =2.48
20． 解：（I ）由已知得111b a ==，且
11
12n n n
a a n n +=++ 即 112n n n
b b +=+ 从而 2112b b =+
3221
2
b b =+
……
111
(2)2n n n b b n --=+
≥ 于是 121111
......222n n b b -=++++
=11
2(2)2
n n --≥
又 11b = 故所求的通项公式1122
n n b -=- （II ）由（I ）知11
1(2)222n n n n a n n --=-
=-, ∴n S =11(2)2n
k k k k -=-∑111(2)2n n
k k k k
k -===-∑∑
而
1
(2)(1)n
k k n n ==+∑,又11
2n
k k k
-=∑
是一个典型的错位相减法模型， 易得
11
12
42
2n
k n k k n --=+=-∑ ∴n S =(1)n n +1242n n -++- 21．（I ）将抛物线2:E y x =与圆222:(4)(0)M x y r r -+=>的方程联立，消去2y ，整理得
227160x x r -+-=．．．．．．．．．．．．．（＊）
抛物线2
:E y x =与圆2
2
2
:(4)(0)M x y r r -+=>相交于A 、B 、C 、D 四个点的充要条件是：方程（＊）有两个不相等的正根即可.
由此得22122
12(7)4(16)0
70160r x x x x r ??=--->?
+=>??=->?
解得 215
16r <<
又 0r >所以 (
4)2
r ∈ 考生利用数形结合及函数和方程的思想来处理也可以．
（II ）考纲中明确提出不考查求两个圆锥曲线的交点的坐标。因此利用设而不求、整体代入的方法处理本
小题是一个较好的切入点。
设E 与M 的四个交点的坐标分别为：
1(A x 、1(,B x 、2(,C x 、2(D x 。
则直线AC BD 、的方程分别为
112121
(),()y x x y x x -+=
-
解得点P 的坐标为
设t =
，由t =I ）知702
t <<
由于四边形ABCD 为等腰梯形，因而其面积
21211
2||||2
S x x x x =
??-=-
则22121212[()4](S x x x x x x =+-?++
将12x x t +==代入上式，并令2
()f t S =，得
27
()(72)(72)(0)2
f t t t t =+?-<<
求导数'()2(72)(67)f t t t =-+?-
令'
()0f t =，解得77
,62
t t =
=-（舍去） 当706t <<时，'
()0f t >；
76t =时，'()0f t =；7762
t <<时，'()0f t <
故当且仅当7
6
t =
时，()f t 有最大值，即四边形ABCD 的面积最大，故所求的点P 的坐标为7
(,0)6
22.解（I ）()2
363f x x bx c '=++
依题意知，方程()0f x '=有两个根12x x 、，
1[10],x ∈-且，2[1,2].x ∈等价于()10f '-≥，
()00f '≤，()()1020f f ''≤≥，
由此得b 、c 满足的约束条件为
21
02144
c b c c b c b ≥-??≤?
?
≤--??≥--? 满足这些条件的点(),b c 的区域为图中阴影部分，
(II)这一问考生不易得分，有一定的区分度。主要原因是含字母较多，不易找到突破口。此题主要利用消元的手段，消去目标()3
2
222233f x x bx cx =++中的b ，（如果消 c 会较繁琐）再利用2x 的范围，并借
助（I ）中的约束条件得[2,0]c ∈-进而求解，有较强的技巧性。 解：由题设知()22223630f x x bx c '=++=，故22211
22
bx x c =-
- 于是()3
2
3222222133322
c
f x x bx cx x x =++=-
+ 由于
2[1,2]x ∈，而由（Ⅰ）知0c ≤，故
213
43()22
c f x c -+≤≤-+
又由（Ⅰ）知[2,0]c ∈- 所以 2110()2
f x -≤≤-