2024北京二中初三一模数 学考查目标1．知识：人教版初中数学教材第1-29章全部内容2．能力：数学运算能力，逻辑推理能力，阅读理解能力，实际应用能力，数形结合能力，分类讨论能力． 考生须知1．本试卷分为第Ⅰ卷、第Ⅱ卷和答题卡，共16页；其中第Ⅰ卷2页，第Ⅱ卷6页，答题卡8页．全卷共三大题，28道小题．2．本试卷满分100分，考试时间120分钟．3．在第Ⅰ卷、第Ⅱ卷指定位置和答题卡的密封线内准确填写班级、姓名、考号、座位号． 4．考试结束，将答题卡交回．第Ⅰ卷（选择题共16分）一、选择题（以下每题只有一个．．．．正确的选项，每小题2分，共16分） 1. 2023年上半年我国新能源汽车取得显著成绩，新能源汽车使用环境持续优化，截至6月底，全国累计建成各类充电桩超过660万台．将数据“660万”用科学记数法表示为（ ） A. 66.610⨯B. 60.6610⨯C. 56610⨯D. 70.6610⨯2. 下列图形中，不属于中心对称图形的是（ ） A. 圆B. 等边三角形C. 平行四边形D. 线段3. 如图，利用工具测量角，有如下4个结论： ①=90AOC ︒∠； ②AOB BOC ∠=∠；③AOB ∠与BOC ∠互为余角； ④AOB ∠与AOD ∠互为补角．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ②③B. ①②④C. ①③D. ①③④4. 关于x 的一元二次方程22210x mx m ++−=的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 没有实数根D. 实数根的个数由m 的值确定5. 正八边形每个内角的度数为（ ） A. 150︒B. 135︒C. 120︒D. 90︒6. 2024年央视春晚的主题为“龙行龘龘，欣欣家国”．“龙行龘龘”寓意中华儿女奋发有为、昂扬向上的精神风貌．将分别印有“龙”“行”“龘”“龘”四张质地均匀、大小相同的卡片放入盒中，从中随机抽取一张不放回，再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上恰有一张印有汉字“龘”的概率为（ ） A. 23B.12C.13D.167. 数轴上点A ，M ，B 分别表示数,,a a b b +，那么下列运算结果一定是正数的有（ ）A. a b +B. a b −C. abD. ||a b −8. 如图，作线段AC a =，在线段AC 的延长线上作点B ，使得()CB b a b =<，取线段AB 的中点O ，以O 为圆心，线段OA 的长为半径作O ，分别过点C O 、作直径AB 的垂线，交O 于点D F 、，连接OD AF CF 、、，过点C 作CE OD ⊥于点E ．设CF c =，给出下面4个结论：①2a b c +<c <()2a b <+；④2ab ac bc <+； 上述结论中，正确结论的个数是（ ）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个第Ⅱ卷（非选择题 共84分）二、填空题（每小题2分，共16分）9. 当x =__________时，分式12x x +−的值为零． 10. 分解因式：4x 3﹣16x 2+16x=________________________． 11. 方程1242xx x=++的解是______． 12. 点()11,A x y ，()22,B x y 是反比例函数2y x=的图象上的两点，如果120x x <<，那么1y __________2y （填“>”，“=”，“<”）13. 为了了解我市初中学生的视力情况，随机抽取了该区200名初中学生进行调查整理样本数据，得到下表：14. 据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O ，物体AB 在幕布上形成倒立的实像CD （点,A B 的对应点分别是,C D ）．若物体AB 的高为12cm ，实像CD 的高度为8cm ，则小孔O 的高度OE 为______cm ．15. 如图，AB 是O 的弦，且6AB =，点C 是弧AB 中点，点D 是优弧AB 上的一点，30ADC ∠=︒，则圆心O 到弦AB 的距离等于______．16. 某班教室桌椅摆放成三个组，每天放学后安排三位同学做清洁，清洁内容包括以下3项：①调整桌椅；②扫地；③拖地，其中项目①②顺序可以交换，但项目③必须放在最后完成．某清洁小组的三位固定搭档每次流水操作完成：A 同学只负责项目①，B 同学只负责项目②，C 同学只负责项目③，每组每项完成时间详见表：___分钟．三、解答题（共68分，其中第17-19、22-23、25题每题5分，第20-21、24题、26题每题6分，第27-28题7分）17.计算：1012cos30(2024)2π−⎛⎫−+︒−+− ⎪⎝⎭． 18. 解不等式组()22315133x x x x ⎧+>−⎪⎨+≥+⎪⎩，并写出满足条件的非正整数解．19. 先化简，再求值：21242x x x xx x x −+−⎛⎫−÷⎪−⎝⎭，其中2x =． 20. 如图，在等腰ABC 中，,AB BC BO =平分ABC ∠，过点A 作AD BC ∥交BO 的延长线于D ，连接CD ，过点D 作DE BD ⊥交BC 的延长线于E ．（1）判断四边形ABCD 的形状，并说明理由； （2）若4,120AB ABE =∠=︒，求DE 的长．21. 在纸盒制作的劳动实践课上，对规格是150cm 90cm ⨯的原材料板材进行裁剪得到A 型长方形纸板和B 型正方形纸板．为了避免材料浪费，每张原材料板材先裁得3张150cm 30cm ⨯的纸板条，每张纸板条又恰好可以裁得3张A 型长方形纸板或5张B 型正方形纸板，如图1所示．（单位：cm ）（1）每张原材料板材可以裁得A 型纸板______张或裁得B 型纸板______张；（2）现有260张原材料板材全部裁剪（每张原材料板材只能一种裁法）得到A 型与B 型纸板当侧面和底面，做成如图2所示的竖式有盖长方体纸盒（1个长方体纸盒需要4个侧面和2个底面，接缝忽略不计），问：怎样裁剪才能使剪出的A ，B 型纸板恰好用完？能做多少个纸盒？22. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，过点(,0)A a 作x 轴的垂线，分别交直线21y x =−与反比例函数ky x=图像于M ，N 两点，点M ，N 的纵坐标分别为m ，n ．（1）若点M 与点N 重合，且m a =，求k 的值； （2）当2a >时，总有m n >，直接写出k 的取值范围．23. 某校舞蹈队共16名学生，将其身高（单位：cm ）数据统计如下：A ．16名学生身高：162，163，163，165，166，166，166，167，167，168，169，169，171，173，173，176；B ．16名学生身高的平均数、中位数、众数：（1）m = ，n = ；（2列两组学生中，舞台呈现效果更好的是 ；（填“甲组”后“乙组”）（3）该舞蹈队计划选五名学生参加比赛，已确定三名学生参赛，他们的身高分别为169，169，173，他们身高的方差为329．在选另外两名学生时，首先要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生身高的方差小于329，其次要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生身高的平均数尽可能大，则选出的另外两名学生身高分别为 和 ． 24. 如图，AB 是O 的直径，C 为圆上一点，D 是劣弧BC 的中点，DE AB ⊥于E ，过点D 作BC 的平行线DM ，连接AC 并延长与DM 相交于点G ，连接AD 与BC 交于点H ．（1）求证：GD 是O 的切线；（2）若6,8CD AD ==，求AH 的值．25. 中新社上海3月21日电（记者缪璐）21日在上海举行的2023年全国跳水冠军赛女子单人10米跳台决赛中，陈芋汐以416.25分的总分夺得冠军，全红婵全红婵·位列第三，掌敏洁获得铜牌．在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的207C （向后翻腾三周半抱膝）．如图2所示，建立平面直角坐标系xOy ．如果她从点()3,10A 起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中她的竖直高度y （单位：米）与水平距离x （单位：米）近似满足函数关系式()()20y a x h k a =−+<．图1图2（1）在平时训练完成一次跳水动作时，全红婵的水平距离x 与竖直高度y 的几组数据如下：___________； （2）比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度y 与水平距离x 近似满足函数关系，254068y x x =−+−记她训练的入水点的水平距离为1d ；比赛当天入水点的水平距离为2d ，则1d ____2d （填,,>=<）；（3）在（2）的情况下，全红婵起跳后到达最高点B 开始计时，若点B 到水平面的距离为c ，则她到水面的距离y 与时间t 之间近似满足25y t c =−+，如果全红婵在达到最高点后需要1.6秒的时间才能完成极具难度的207C 动作，请通过计算说明，她当天的比赛能否成功完成此动作？ 26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线23y ax bx =++经过点()2,3a −． （1）求该抛物线的对称轴（用含有a 的代数式表示）；（2）点()()()2,,2,,,M t m N t n P t p −+−为该抛物线上的三个点，若存在实数t ，使得m n p >>，求a 的取值范围．27. 如图，在正方形ABCD 中，将边AD 所在直线绕点D 逆时针旋转α度得到直线DM ，作点A 关于直线DM 的对称点P ，连接CP DP 、．（1）依题意补全图形； （2）求DPC ∠的度数；（3）延长DP CP 、分别交直线AB AD 、于点E F 、，试探究：线段DE BE 、和AF 之间的数量关系，并证明．28. 对于平面内的点K 和点L ，给出如下定义：若点Q 是点L 绕点K 旋转所得到的点，则称点Q 是点L 关于点K 的旋转点；若旋转角小于90︒，则称点Q 是点L 关于点K 的锐角旋转点．如图1，点Q 是点L 关于点K 的锐角旋转点．（1）已知点()4,0A ，在点()(((12340,4,2,,2,,Q Q Q Q −−中，是点A 关于点O 的锐角旋转点的是______．（2）已知点()5,0B ，点C 在直线2y x b =+上，若点C 是点B 关于点O 的锐角旋转点，求实数b 的取值范围；（3）点D 是x 轴上的动点，()(),0,3,0D t E t −，点(),F m n 是以D 为圆心，3为半径的圆上一个动点，且满足0n ≥．若直线26y x =+上存在点F 关于点E 的锐角旋转点，请直接写出t 的取值范围．参考答案第Ⅰ卷（选择题共16分）一、选择题（以下每题只有一个．．．．正确的选项，每小题2分，共16分） 1. 【答案】A【分析】本题考查科学记数法，关键是熟记科学记数法的一般形式为10n a ⨯，其中1||10a ≤<，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值10≥时，n 是正整数；当原数的绝对值小于1时，n 是负整数．先把660万化为6600000，再据此求解即可．【详解】解：660万66600000 6.610==⨯， 故选：A ． 2. 【答案】B【分析】根据中心对称图形的概念求解．【详解】解：A ．是中心对称图形，故本选项错误； B ．不是中心对称图形，故本选项正确； C ．是中心对称图形，故本选项错误； D ．是中心对称图形，故本选项错误． 故选B ．【点睛】本题考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 3. 【答案】D【分析】本题考查了余角和补角，熟练掌握余角和补角的定义是解题的关键． 根据余角和补角的定义，进行计算逐一判断即可解答． 【详解】解：易知=90AOC ︒∠，故①正确，50,9040AOB BOC AOB ∠=︒∠=︒−∠=︒ AOB BOC ∴∠≠∠，故②错误， 90AOB BOC ∠+∠=︒∴AOB ∠与BOC ∠互为余角，故③正确；50130AOB AOD ∠=︒∠=︒， 180AOB AOD ∴∠+∠=︒，∴AOB ∠与AOD ∠互为补角．故④正确；故选：D 4. 【答案】A【分析】本题考查了一元二次方程的判别式，根据000∆>∆=∆<，，，分别对应的是有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、没有实数根，据此列式计算，即可作答． 【详解】解：∵22210x mx m ++−=∴()()222224241144440b ac m m m m ∆=−=−⨯⨯−=−+=>故选：A 5. 【答案】B【分析】本题考查了正多边形的内角与外角的关系．根据正多边形的每一个内角相等，则对应的外角也相等，根据多边形的外角和为360︒，进而求得一个外角的度数，即可求得正八边形每个内角度数． 【详解】解：∵正多边形的每一个内角相等，则对应的外角也相等， 一个外角等于：360845÷=︒， ∴内角为18045135︒−︒=︒， 故选：B ． 6. 【答案】A【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．画树状图，共有12个等可能的结果，抽取完两张卡片后，恰有一张印有汉字“龘”的结果有8个，再由概率公式求解即可．【详解】解：把“龘”“龙”“行”分别记为A 、B 、C ，画树状图如图：共有12个等可能的结果，欢欢抽取完两张卡片后，恰有一张印有汉字“龘”的结果有8个， ∴抽取完两张卡片后，恰有一张印有汉字“龘”的概率为82123=． 故答案为：A ． 7. 【答案】A【分析】数轴上点A ，M ，B 分别表示数a ，a b +，b ，AM a b a b =+−=，可得原点在A ，M 之间，由它们的位置可得a<0，0a b +>，0b >且||||a b <，再根据整式的加减乘法运算的计算法则即可求解． 【详解】解：数轴上点A ，M ，B 分别表示数a ，a b +，b ，AM a b a b =+−=，原点在A ，M 之间，由它们的位置可得a<0，0a b +>，0b >且||||a b <， 则0a b −<，0ab <，||0a b −<， 故运算结果一定是正数的是a b +． 故选：A ．【点睛】本题考查了列代数式，数轴，正数和负数，绝对值，关键是得到a<0，0a b +>，0b >且||||a b <．8. 【答案】B【分析】本题考查了圆的基本性质以及勾股定理内容以及完全平方公式的应用，先找出半径，结合斜边大于直角边，得知①2a bc +<是正确的，结合勾股定理以及完全平方公式的变形运算，得证③是错误的；同理得证②是正确的．对④运用反证法，得出2a bc +>，与①2a b c +<的结论相矛盾，即可作答． 【详解】解：∵()A b C a CB b a ==>， ∴()1122OF AB a b ==+ ∵OF AB ⊥∴CF （斜边）大于OF 即2a b c +>故①是正确的； ∴()111222OC AO AC a b a b a =−=+−=− 在Rt COF △中，222OC OF FC +=即22211222a b b a c +⎛⎫⎛⎫−+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴2222a b c +==∵2a b c +<()2a b =>+ 故③是错误的； ∵b a > ∴()20b a −> ∴222b a ab +>>=>oc=x 半径=r a=r-x,b=r+xac+bc=(a+b)c=2r.c>2r 22ab=2(r-x)(r+x)=2(r 2-x 2)<2r 2所以2ab<ac+bc故④是正确的综上：正确结论的个数是3个故选：B第Ⅱ卷（非选择题 共84分）二、填空题（每小题2分，共16分）9. 【答案】1−【分析】根据分式的值为零时，分母不为0，且分子为0，求解即可． 【详解】分式12x x +−0=， 1=0x +且20x −≠ 解得x =1−；故答案为1−．【点睛】本题考查了分式的值为零的条件，分式的值为零时，分母不为0，且分子为0，掌握分式的值为零的条件是解题的关键．10. 【答案】4x(x ﹣2)2．【详解】3241616x x x −+=24(44)x x x −+=24(2)x x −.11. 【答案】2x =##2x =【分析】本题考查了分式方程的解法．先把两边同时乘以()22x +，去分母后整理为2x =，经检验即可得方程的解． 【详解】解：1242x x x=++， 两边同时乘以()22x +，得2x =，即2x =，经检验，2x =是原方程的解，故答案为：2x =．12. 【答案】12y y >．【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据x 1＜x 2＜0即可得出结论． 【详解】∵反比例函数2y x=中，20k =>，∴函数图象的两个分支位于一、三象限，且在每一象限内y 随x 的增大而减小，∵120x x <<∴12y y >．故答案为：12y y >．【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．13. 【答案】9600【分析】用总人数乘以样本中视力不低于4.8的人数所占比例即可．【详解】解：估计该市16000名初中学生视力不低于4.8的人数为：16000×334047200++＝9600(名)， 故答案为：9600．【点睛】本题主要考查了用样本估计总体；一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．解题的关键是熟练掌握用样本估计总体．14. 【答案】4.8【分析】本题考查了相似三角形的应用：利用平行线构建相似三角形，然后用相似三角形对应边的比相等的性质求相应线段的长或表示线段之间的关系．利用相似三角形的性质得出对应线段成比例，再对两组对应线段进行变形即可求解；【详解】解：OE AB ∥COE CAB ∴∽CE OE CB AB∴=① OE CD ∥BOE BDC ∴∽BE OE BC CD∴=②， +①②得CE BE OE OE BC BC AB CD +=+， 1OE OE AB CD ∴+= 111OE AB CD ∴=+ 即128111OE =+ 4.8cm OE ∴=，故答案为:4.815. 【分析】连接OA 、OC ，根据垂径定理，C 是弧AB 的中点可知，OC AB ⊥，30D ∠=︒，可知60AOC ∠=︒，再用三角函数关系就可以求出OE 的长；【详解】如图，连接OA 、OC ，OC 交AB 于点E ，∵点C 是弧AB 中点，6AB =，∴OC AB ⊥，且3AE BE ==，∵30ADC ∠=︒，∴260AOC ADC ∠=∠=︒，∴30OAE ∠=︒，∴tan 3033OE AE =⋅︒=⨯=故圆心O 到弦AB【点睛】本题考查垂径定理、圆周角圆心角的关系和三角函数关系求边长；熟练掌握圆周角与圆心角的关系和垂径定理是解决本题的关键．16. 【答案】17【分析】先找出项目①和项目②完成最少时间，在加上项目③最少的时间即可得．【详解】解：项目①和项目②完成最少时间需要：5+6+4=15（分钟），在这15分钟内，项目③最多完成两组的拖地，剩下最少时间第三组，则15+2=17（分钟），故答案为：17．【点睛】本题考查了有理数的加法的应用，解题的关键是掌握有理数加法的应用．三、解答题（共68分，其中第17-19、22-23、25题每题5分，第20-21、24题、26题每题6分，第27-28题7分）17. 【答案】1−【分析】本题主要考查实数的混合运算，分别代简()1012,120242π−⎛⎫−==⎪⎭− ⎝−=，再代入特殊角三角函数值后，再进行计算即可．【详解】解：1012cos30(2024)2π−⎛⎫−+︒−+− ⎪⎝⎭2212=−+⨯−21=−+1=−18. 【答案】不等式组的解集为12x −<≤，不等式组的非正整数解为0x =．【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，分别求出每个不等式的解集，再取它们的公共部分确定不等式组的解集，最后写出满足条件的非正整数解即可．【详解】解：()22315133x x x x ⎧+>−⎪⎨+≥+⎪⎩①② 解不等式①得，1x >−；解不等式②得，2x ≤，所以，不等式组的解集为12x −<≤，所以，不等式组的非正整数解为0x =．19. 【答案】2x x −，1 简，得2x x −，再把2x =代入，即可作答． 【详解】解：21242x x x xx x x −+−⎛⎫−÷ ⎪−⎝⎭ ()()()()12242x x x x x x x−−−+−=÷− ()232242x x x x x x x−+−−−=÷− ()2442x x x x x x−−=÷− ()()424x x x x x x −=⨯−− 2x x =−把2x =代入2x x −得12x x ===− 20. 【答案】（1）四边形ABCD 是菱形，理由见详解（2）【分析】本题考查了菱形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．（1）先利用等腰三角形的三线合一性质可得AO CO =，再利用平行线的性质可得DAO ACB ∠=∠，ADO CBO ∠=∠，从而利用AAS 证明ADO CBO ≌，进而可得DO BO =，再利用对角线互相平分线的四边形是平行四边形可得四边形ABCD 是平行四边形，然后利用菱形的定义可得四边形ABCD 是菱形，即可解答；（2）先利用角平分线的定义可得60DBC ∠=︒，再利用菱形的性质可得3BC CD AB ===，从而可得BCD 是等边三角形，进而可得4BD BC ==，然后利用垂直定义可得90BDE ∠=︒，从而可得30E ∠=︒，进而可得28BE BD ==，再利用勾股定理进行计算，即可解答．【小问1详解】解：四边形ABCD 是菱形，理由：AB BC =，BO 平分ABC ∠，AO CO ∴=，AD BE ，DAO ACB ∴∠=∠，ADO CBO ∠=∠，()ADO CBO AAS ∴≌，DO BO ∴=，∴四边形ABCD 是平行四边形，AB BC =，∴四边形ABCD 是菱形；【小问2详解】 BO 平分ABC ∠，120ABE ∠=︒，1602DBC ABE ∴∠=∠=︒， 四边形ABCD 是菱形，4BC CD AB ∴===，BCD ∴是等边三角形，4BD BC ∴==，BD DE ⊥∵，90BDE ∴∠=︒，9030E DBC ∴∠=︒−∠=︒，28BE BD ∴==，DE ∴===DE ∴的长为21. 【答案】（1）9；15（2）用200张原材料板材裁A 型纸板，60张原材料板材裁B 型纸板，恰好能使做出的竖式有盖长方体纸盒配套，能做出450个纸盒【分析】（1）根据题意进行解答即可；（2）设用x 张原材料板材裁A 型纸板，y 张原材料板材裁B 型纸板，根据原材料板材共260张，每个长方体纸盒有4个侧面，2个底面列出方程组，解方程组即可．【小问1详解】解：每张原材料板材可以裁得A 型纸板903930⨯=（张）或裁得B 型纸板9051530⨯=（张）． 故答案为：9；15．【小问2详解】解：设用x 张原材料板材裁A 型纸板，y 张原材料板材裁B 型纸板， 根据题意得：26091542x y x y +=⎧⎪⎨=⎪⎩， 解得：20060x y =⎧⎨=⎩， 经检验：20060x y =⎧⎨=⎩是方程组的解且符合题意 ∴能做纸盒数为：9920045044x ⨯==（个） 答：用200张原材料板材裁A 型纸板，60张原材料板材裁B 型纸板，恰好能使做出的竖式有盖长方体纸盒配套，能做出450个纸盒．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程组，准确解方程组．22. 【答案】（1）1k =；（2）6k ≤且0k ≠．【分析】（1）将x a =代入直线与反比例函数结合m a =，即可得到答案；（2）求出2a =，两个函数相等时，6k =，根据函数的图象即可得到答案；【小问1详解】解：∵过点(,0)A a 作x 轴的垂线，分别交直线21y x =−与反比例函数k y x=图像于M ，N 两点，点M ，N 的纵坐标分别为m ，n ，∴点M ，N 的横坐标为a ，将x a =代入直线与反比例函数得， 21m a =−，k n a=， ∵点M 与点N 重合，m a =，∴1a =，1m n ==，∴1k =；【小问2详解】解：将2a =代入直线与反比例函数得，3m =，2k n =， 当m n =时，32k =，6k = 此时，2a >时，m n >，∴6k ≤且0k ≠．【点睛】本题考查一次函数反比例函数图像共存问题及利用函数图像解不等式，解题的关键是根据题意找到横坐标代入解析式．23. 【答案】（1）167，166（2）甲组 （3）171，173【分析】本题考查了平均数、众数、 中位数和方差，熟记方差的计算公式以及方差的意义是解题的关键． （1）根据众数和中位数的定义进行计算；（2）根据方差的计算公式计算方差，然后根据方差的意义进行比较；（3）根据方差进行比较．【小问1详解】解： 数据按由小到大的顺序排序:162,163,163,165,166,166,166,167,167,168,169,169,171,173,173,176，则舞蹈队16名学生身高的中位数为()167167167cm 2m +==， 众数为()166cm ,n =故答案为: 167，166；【小问2详解】甲组学生身高的平均值是：()163166166167167165.8cm 5++++=， 甲组学生身高的方差是：()()221[165.8163165.81665⨯−+−()()()165.8166?165.8167?165.8167?] 2.16+−+−+−= 乙组学生身高的平均值是：()162163165166176166.4cm 5++++= 乙组学生身高的方差是：()()()()()221166.4162166.4163166.4165?166.4166?166.4176?25.045⎡⎤⨯−+−+−+−+−=⎣⎦， 25.04 2.16>，∴甲组舞台呈现效果更好；故答案为：甲组；【小问3详解】∵169,169,173的平均数为()()11169169173170cm 33++=， 且所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于329，∵数据的差别较小，可供选择的有171cm,173cm ，平均为： ()()1169169171173173171cm 5++++= 方差为：()()()()()22211632169171169171170171?171171?173171559⎡⎤−+−+−+−+−=<⎣⎦，∴选出的另外两名学生的身高分别为171cm 和173cm .故答案为: 171，173．24. 【答案】（1）见解析 （2）3.5【分析】本题主要考查切线的判定，勾股定理，垂径定理，相似三角形的判定与性质等知识：（1）连接OD ，得90ONC ∠=︒，再由DM BC ∥可得90ODM ONC ∠=∠=︒，故可证明GD 是O的切线；（2）运用勾股定理求出10AB =，再CDH ABH ∽△△，可求出DH ,从而求出AH【小问1详解】证明：连接OD ，如图所示：∵D 是劣弧BC 的中点，∴OD BC ⊥，OD 平分BC ，∴90,ONC ∠=︒∵DM BC ∥，∴90ODM ONC ∠=∠=︒∴DM OD ⊥，∵OD 是O 的半径，∴GD 是O 的切线；【小问2详解】∵D 是劣弧BC 的中点，∴6BD CD ==， ∴12BN BC =，∵AB 是O 的直径，∴90,ADB ∠=︒∴10AB ===，∵DCH BAH ∠=∠，CHD AHB ∠=∠，∴CDH ABH ∽△△， ∴63105CHDHCD AH BH AB ====，∵AB 是O 的直径，∴90ACB ADB ︒∠=∠=， ∵35DHBH =， ∴45BDBH =， ∴55156442BH BD ==⨯=∴3952DH BH ==， ∴98 3.52AH AD DH =−=−= 25. 【答案】（1）11.25，25( 3.5)11.25y x =−−+（2）<（3）不能，见详解【分析】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是正确的求出函数解析式． （1）通过表格数据结合待定系数法求出解析式，即可求解；（2）分别求出两个解析式当0y =时，x 的值，进行比较即可；（3）先求出c 的值，再求出 1.6t =时的y 值，进行判断即可．【小问1详解】解：由表格可知，图象过点(3,10),(4,10)(4.5,6.25)， ∴34 3.52h +==， ∴2( 3.5)y a x k =−+，∴22(3 3.5)10(4.5 3.5) 6.25a k a k ⎧−+=⎨−+=⎩， 解得∶511.25a k =−⎧⎨=⎩， 25( 3.5)11.25; y x ∴=−−+故答案为∶11.25，25( 3.5)11.25y x =−−+；【小问2详解】 25( 3.5)11.25y x =−−+，当0y =时∶205( 3.5)11.25x =−−+，解得∶5x =或2x =(不合题意，舍去)； 15d ∴=（米），254068,y x x =−+−当0y =时∶2540680x x −+−=，解得∶45x =+或45x =−+(不合题意，舍去)；245,d ∴=>12,d d ∴<故答案为∶<；【小问3详解】22540685(4)y x x x =−+−=−−12+(4,12),B ∴12,c ∴=2512,y t ∴=−+当6 1.t =时25 1.6120.8y =−⨯+=− 0.80,−<即她在水面上无法完成此动作，她当天的比赛不能成功完成此动作．26. 【答案】（1）对称轴x a =−（2）()202t a t −<<>【分析】本题考查了二次函数的图象性质以及增减性，运用数形结合思想，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）根据二次函数的对称轴公式代入数值进行化简，即可作答．（2）要分类讨论，分为0a >以及a<0，分别作出相对应的图象，灵活运用数形结合思想，分析作答即可．【小问1详解】解：把()2,3a −代入23y ax bx =++得()23423a a ab =⨯−+ ∴22b a = 则对称轴222a x a a=−=−； 【小问2详解】解：当0a >时，开口方向向上，对称轴2202a x a a=−=−<，在负半轴上， 且经过点()2,3a −，越靠近对称轴的x 所对应的函数值越小，则大致图象如下：当0t <时∵()()()2,,2,,,M t m N t n P t p −+−∴22t t −<+∴此时p m n >>与题干m n p >>相矛盾，故舍去；当0t >时∵()()()2,,2,,,M t m N t n P t p −+−∴22t t −<+∴此时m n <与题干m n p >>相矛盾，故舍去；当a<0时，开口方向向下，对称轴2202a x a a=−=−<，在正半轴上， 且经过点()2,3a −，越靠近对称轴的x 所对应的函数值越大，则大致图象如下：当0t >时，点M N 、分别在对称轴同侧时，如上图∵()()()2,,2,,,M t m N t n P t p −+−∴22t t −<+∴m n p >>；此时02a t <−<−即20t a −<<，2t >当0t >时，点M N 、分别在对称轴两侧时，如上图∵∵()()()2,,2,,,M t m N t n P t p −+−∴22t t t −<<+∴p m n >>与题干m n p >>相矛盾，故舍去；当0t <时，且点M N 、分别在对称轴两侧时，如图∵()()()2,,2,,,M t m N t n P t p −+−∴22t t −<+∴n m >与题干m n p >>相矛盾，故舍去；当0t <时，且点M N 、在对称轴同侧时，如图∵()()()2,,2,,,M t m N t n P t p −+−∴22t t −<+∴n m >与题干m n p >>相矛盾，故舍去；综上：20t a −<<，2t >27. 【答案】（1）见解析 （2）45DPC α∠=︒+（3）点E 在线段AB 上时，DE BE AF =+；点E 在线段AB 延长线上时，AF DE BE =+；点E 在线段BA 延长线上时，BE DE AF =+，见解析【分析】本题考查四边形综合题，熟知轴对称作图及性质，根据题意分类讨论是解题的关键．（1）作点A 关于直线DM 的对称点P ，连接CP DP 、即可；（2）连接AP ，根据轴对称性质可得AD PD =，ADM PDM α∠=∠=，可求出902CDP α∠=︒−，根据等腰三角形的性质，利用三角形内角和可求出()1180902452DPC αα∠=︒−︒+=︒+； （3）分三种情况，当DP 交线段AB 、线段AB 延长线上、线段BA 延长线上于点E 时，分别可证CDF DAK △≌△，进而可得EK =，即可求证．【小问1详解】解：如图，作点A 关于直线DM 的对称点P ，连接CP DP 、；【小问2详解】连接AP ，点,A P 关于直线DM 对称，DM ∴垂直平分AP ，∴AD PD =，∴PDM ADM α∠=∠=，902PDC α∴∠=︒−，四边形ABCD 为正方形，AD DC ∴=，∴DP DC =，()11802DPC PDC ∴∠=︒−∠45DPC α∴∠=︒+；【小问3详解】①当DP 交线段AB 于点E 时，延长AB 至K ，使BK AF =，连接DK ，,AD AB BK AF ==，DF AK ∴=，又,90CD AD CDA DAK =∠=∠=︒，在CDF 和DAK 中DC AD CDF DAK DF AK =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩CDF DAK ∴△≌△，F K ∴∠=∠，∴由（2）可知，45DCP DPC α∠=∠=︒+，9045K F DCP α∴∠=∠=︒−∠=︒−，DC AB ∥，45CDK K α∴∠=∠=︒−，9045EDK ADE CDK α∴∠=︒−∠−∠=︒−，EDK K ∴∠=∠，DE EK ∴=，DE BE BK BE AF ∴=+=+，即DE BE AF =+；②当DP 交线段AB 延长线于点E 时，在AB 延长线上截取BK AF =，连接DK ，由①同理可证CDF DAK △≌△，45K F α∴∠=∠=︒−，9045EDK ADE CDK α∴∠=︒−∠−∠=︒−，K KDE ∴∠=∠，ED EK ∴=，ED BK BE AF BE ∴=−=−，即AF DE BE =+；③当DP 交线段BA 延长线于点E 时，在BA 上截取BK AF =，连接DK ，由题意可知，DP DC =，()11802DCP PDC ∴∠=︒−∠， ()2360908102PDC ADM MDP ADC αα∠=∠+∠+∠=︒−+︒=︒−，()118081023152DCP αα∴∠=︒−︒+=−︒， 又=AD AB ，DF AK ∴=，在CDF 和DAK 中DC AD CDF DAK DF AK =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩CDF DAK ∴△≌△，315ADK DCP α∴∠=∠=−︒()90315405AKD DFC αα∴∠=∠=︒−−︒=︒−，又()2360315405EDK EDA ADK ααα∠=∠+∠=︒−+−︒=︒−，EDK AKD ∴∠=∠，ED EK ∴=，DE BE BK BE AF ∴=−=−，即BE DE AF =+．28. 【答案】（1）2Q ，4Q ．（2）5b −≤<（3）322t −≤<+ 【分析】（1）如图中，满足条件的点在半圆上（不包括点A 以及y 轴上的点），点2Q ，4Q 满足条件．（2）如图中，以O 为圆心，3为半径作半圆，交y 轴于(0,3)P ，()03P '−，当直线2y x b =+与半圆有交点（不包括P ，)B 时，满足条件．（3）根据题意，点F 关于点E 的锐角旋转点在半圆E 上，设点P 在半圆S 上，点Q 在半圆T 上（将半圆D 绕点E 旋转），如图3（1），半圆扫过的区域为图3（1）中阴影部分，求出图3（2），图3（3）中，t 的值，可得结论．【小问1详解】解：如图，(4,0)A ，1(0,4)Q ，14OA OQ ∴==，190AOQ ∠=︒，∴点1Q 不是点A 关于点O 的锐角旋转点；2(2,2Q ，作2Q F x ⊥轴于点F ，24OQ OA ∴====，2tan 2Q OF ∠== 260Q OF ∴∠=︒，∴点2Q 是点A 关于点O的锐角旋转点；3(2,Q −，作3Q G x ⊥轴于点G ，则33tan 2Q G Q OG OG ∠=== 360Q OG ∴∠=︒，3324cos cos 60OG OQ OA Q OG ∴====∠︒， 318060120AOQ ∠=︒−︒=︒，3Q ∴不是点A 关于点O 的锐角旋转点；(422Q −，，作4Q Hx ⊥轴于点H ，则44tan 1Q H Q OH OH ∠===， 445Q OH ∴∠=︒，444cos OH OQ OA Q OH ====∠， 4Q ∴是点A 关于点O 的锐角旋转点；综上所述，在点1Q ，2Q ，3Q ，4Q 中，是点A 关于点O 的锐角旋转点的是2Q ，4Q ，故答案为：2Q ，4Q ．【小问2详解】解：在y 轴上取点()0,5P ，当直线2y x b =+经过点P 时，可得5b =，当直线2y x b =+经过点B 时，则250b ⨯+=，解得：10b =−，∴当105b −<<时，OB 绕点O 逆时针旋转锐角时，点C 一定可以落在某条直线2y x b =+上，过点O 作OG ⊥直线2y x b =+，垂足G 在第四象限时，如图，则OT b =−，12OS b=−，ST ∴===， 当5OG =时，b 取得最小值， 51522bb ⎛⎫⎛⎫⨯−=−⨯−⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， b ∴=−5b ∴−≤<．【小问3详解】解：根据题意，点F 关于点E 的锐角旋转点在半圆E 上，设点P 在半圆S 上，点Q 在半圆T 上（将半圆D 绕点E 旋转），如图3（1），半圆扫过的区域为图3（1）中阴影部分， 如图3（2）中，阴影部分与直线26y x =+相切于点G ，tan 2EMG ∠=，3SG =，过点G 作GI x ⊥轴于点I ，过点S 作SJ GI ⊥于点J ，SGJ EMG ∴∠=∠，tan tan 2SGJ EMG ∴∠=∠=，5GJ ∴=，5SJ =，3GI GJ JI ∴=+=+132210MI GI ∴==+，322OE IE MI OM ∴=+−=−，即3322E x t =−=−，解得32t =+， 如图3（3）中，阴影部分与HK 相切于点G ，tan tan 2OMK EMH ∠=∠=，6EH =，则3MH =，EM =33E x t ∴=−=−−，解得t =−观察图象可知，22t −≤<+．【点睛】本题属于圆综合题，考查了直线与圆的位置关系，坐标与图形，解直角三角形，勾股定理，点P 是点M 关于点N 的锐角旋转点的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊点，特殊位置解决问题，属于压轴题．。
