解的存在唯一性定理 利用逐次逼近法，来证明微分方程的初值问题的解存在与唯一性定理。 一、【存在、唯一性定理叙述】 如果方程的右端函数在闭矩形区域上满足如下条件： （1）、在上连续； （2）、在上关于变量满足利普希茨条件，即存在常数，使对于上任何一点和有以下不等式：。 则初值问题在区间上存在唯一解， 其中
二、【证明】 逐步迫近法： 微分方程等价于积分方程。 取，定义 可证明的满足积分方程。 通过逐步迫近法可证明解的存在唯一性。 命 题 1：先证积分方程与微分方程等价： 设是微分方程定义于区间上满足初值条件 的解，则是积分方程定义于区间上的连续解。反之亦然。 证： 因是微分方程的解，有 两边从到取定积分，得： 代入初值条件得： 即是积分方程定义于区间上的连续解。 反之，则有 微分得： 且当时有。即是微分方程定义于区间上满足初值条件的解。 现取，代入积分方程的右端，所得函数用表示，则，再将代入积分方程的右端，所得函数用表示，则，以上称为1次近似, 称为2次近似。以此类推得到次近似。 从而构造逐步迫近函数序列为： 命 题 2：对所有,函数序列在上有定义、连续且满足不等式 证：当时， 。显然在上有定义、连续且有 ，即命题2当时成立。 由数学归纳法，设命题2当时成立，则对有： 知在上有定义、连续且有 命题2当时也成立。 由数学归纳法原理得命题2对所有均成立。 命 题 3：函数序列在上一致收敛。
证：只须考虑级数-----（*） 在上一致收敛。 因其部分和为：，因， 设对成立。 则当时有 即对所有，在成立 。 其右端组成正项收敛级数 由魏氏判别法，级数（*）在上一致收敛。即在上一致收敛。命题3得证。 现设 则在上有定义、连续且 命 题 4： 是积分方程在上的连续解。 证： 由利普希茨条件 及在上一致收敛于，知函数序列在上一致收敛于。 于是即 是积分方程在上的连续解。 命题5：设是积分方程在上的另一连续解。则。 证： 现证也是序列在上的一致收敛极限函数。由， ， 得： ， 。 设，则 。由数学归纳法，对所有，有 。 因此，对所有，在有成立。但当时。故在上的一致收敛于。由极限的唯一性，得。
材料的导热率 傅力叶方程式： Q=KA△T/d, R=A△T/Q Q: 热量，W；K: 导热率，W/mk；A：接触面积；d: 热量传递距离；△T：温度差；R: 热阻值 导热率K是材料本身的固有性能参数，用于描述材料的导热能力。这个特性跟材料本身的大小、形状、厚度都是没有关系的，只是跟材料本身的成分有关系。所以同类材料的导热率都是一样的，并不会因为厚度不一样而变化。 将上面两个公式合并，可以得到 K=d/R。因为K值是不变的，可以看得出热阻R值，同材料厚度d是成正比的。也就说材料越厚，热阻越大。 但如果仔细看一些导热材料的资料，会发现很多导热材料的热阻值R，同厚度d并不是完全成正比关系。这是因为导热材料大都不是单一成分组成，相应会有非线性变化。厚度增加，热阻值一定会增大，但不一定是完全成正比的线性关系，可能是更陡的曲线关系。 根据R=A△T/Q这个公式，理论上来讲就能测试并计算出一个材料的热阻值R。但是这个公式只是一个最基本的理想化的公式，他设定的条件是：接触面是完全光滑和平整的，所有热量全部通过热传导的方式经过材料，并达到另一端。实际这是不可能的条件。所以测试并计算出来的热阻值并不完全是材料本身的热阻值，应该是材料本身的热阻值+所谓接触面热阻值。因为接触面的平整度、光滑或者粗糙、以及安装紧固的压力大小不同，就会产生不同的接触面热阻值，也会得出不同的总热阻值。 所以国际上流行会认可设定一种标准的测试方法和条件，就是在资料上经常会看到的ASTM D5470。这个测试方法会说明进行热阻测试时候，选用多大的接触面积A，多大的热量值Q，以及施加到接触面的压力数值。大家都使用同样的方法来测试不同的材料，而得出的结果，才有相比较的意义。 通过测试得出的热阻R值，并不完全是真实的热阻值。物理科学就是这样，很多参数是无法真正的量化的，只是一个
解的存在唯一性定理证明及其研究 专业名称：数学与数学应用 组长：赵亚平 组员：刘粉娟、王蓓、孙翠莲 指导老师：岳宗敏
解的存在唯一性定理证明及其研究 摘要 线性微分方程是常微分课本中的重要组成部分，线性微分方程组解的存在唯一性是最重要，也是不可或缺的一部分，通过课本所学知识运用逐步逼近法以及压缩映射原理分别对一阶，高阶线性微分方程组解的存在唯一性进行的详细的论述证明。对于线性方程组解的情况，主要是通过对增广矩阵进行初等行变换，了解其秩的情况，在运用克莱默法则，从而得出其解的存在唯一性的情况。 关键词：解的存在唯一性 线性微分方程组 线性方程组 （一）一阶微分方程的解的存在唯一性定理与逐步逼近法 存在唯一性定理 考虑初值问题 ),(y x f dx dy = 00)(y x y = （1） 其中f(x,y)在矩形区域R ： b y y a x x ≤-≤-||,||00 （2） 上连续，并且对y 满足Lipschits 条件：即存在常数L>0（L 为利普
希茨常数），使不等式 |||),(),(|2121y y L y x f y x f -≤- 对所有R y x y x ∈),(),,(21都成立,则初值问题(1)在区间h x x ≤-||0上解存在且唯一，这里 |),(|max ),, min(),(y x f M M b a h R y x ∈== 证明思路： 1.初值问题（1）的解存在等价于求积分方程 ?+=x x dy y x f y y 0),(0 （3） 的连续解。 2.构造（3）所得解函数序列{)(x n ?}，任取一连续函数)(0x ?， b y x ≤-|)(|00?代入（3）右端的y ，得 …… 2,1,))(,()(0 01=+=?+n dx x x f y x x x n n ?? 3.函数序列{)(x n ?}在|,|00h x h x +-上一致收敛到)(x ?。这里为 )(x n ?=dx x x f y n x x n ))(,(lim 1-00 ??∞ →+ dx x x f y x x f y x x x x n ??+ =+=∞ →0 ))(,()) (,(lim 01-n 0?? 4．)(x ?为（3）的连续解且唯一。首先在区间],[00h x x +是讨论，在错误！未找到引用源。上类似。 证明过程： 命题1 ：初值问题（1）等价于积分方程
材料导热系数表 金属导热系数表（W/mK) 热传导系数的定义为：每单位长度、每K，可以传送多少W的能量，单位为W/mK。其中“W”指热功率单位，“m”代表长度单位米，而“K”为绝对温度单位。该数值越大说明导热性能越好。以下是几种常见金属的热传导系数表： 银429 铜401 金317 铝237 铁80 锡67 铅34.8 各种物质导热系数！ material conductivity K (W/m.K) diamond 钻石2300 silver 银429 cooper 铜401 gold 金317
aluminum 铝237 各物质的导热系数 物质温度导热系数物质温度导热系数 亚麻布50 0.09 落叶松木0 0.13 木屑50 0.05 普通松木45 0.08～0.11 海砂20 0.03 杨木100 0.1 研碎软木20 0.04 胶合板0 0.125 压缩软木20 0.07 纤维素0 0.46 聚苯乙烯100 0.08 丝20 0.04～0.05 硫化橡胶50 0.22～0.29 炉渣50 0.84 镍铝锰合金0 32.7 硬质胶25 0.18 青铜30 32～153 白桦木30 0.15 殷钢30 11 橡木20 0.17 康铜30 20.9 雪松0 0.095 黄铜20 70～183 柏木20 0.1 镍铬合金20 12.3～171 普通冕玻璃20 1 石棉0 0.16～0.37 石英玻璃4 1.46
纸12 0.06～0.13 燧石玻璃32 0.795 皮棉4.1 0.03 重燧石玻璃12.5 0.78 矿渣棉0 0.05～0.14 精制玻璃12 0.9 毡0.04 汽油12 0.11 蜡0.04 凡士林12 0.184 纸板0.14 “天然气”油12 0.14 皮革0.18～0.19 甘油0 0.276 冰2.22 煤油100 0.12 新下的雪0.1 蓖麻油500 0.18 填实了的雪0.21 橄榄油0 0.165 瓷1.05 已烷0 0.152 石蜡油0.123 二氯乙烷0.147 变压器油0.128 90%硫酸0.354 石油0.14 醋酸18 石蜡0.12 硝基苯0.159 柴油机燃油0.12 二硫化碳0.144 沥青0.699 甲醇0.207 玄武岩2.177 四氯化碳0.106 拌石水泥1.5 三氯甲烷0.121 花岗石2.68～3.35 氨气* 0.022 丙铜0.177 水蒸汽* 0.0235～0.025 苯0.139 重水蒸汽* 0.072
第二节传导传热 传导传热也称热传导，简称导热。导热是依靠物质微粒的热振动而实现的。产生导热的必要条件是物体的内部存在温度差，因而热量由高温部分向低温部分传递。热量的传递过程通称热流。发生导热时，沿热流方向上物体各点的温度是不相同的，呈现出一种温度场，对于稳定导热，温度场是稳定温度场，也就是各点的温度不随时间的变化而变化。本课程所讨论的导热，都是在稳定温度场的情况下进行的。 一、传导传热的基本方程式----傅立叶定律 在一质量均匀的平板内，当t1> t2热量以导热方式通过物体,从t1向t2方向传递,如图3-7所示。 图3-7 导热基本关系 取热流方向微分长度dn，在dt的瞬时传递的热量为Q，实验证明，单位时间内通过平板传导的热量与温度梯度和传热面积成正比，即： dQ∝dA·dt/dn 写成等式为： dQ=-λdA·dt/dn (3-2) 式中Q-----导热速率，w; A------导热面积，m2； dt/dn-----温度梯度，K/m； λ------比例系数，称为导热系数，w/m·K； 由于温度梯度的方向指向温度升高的方向，而热流方向与之相反，故在式（3-2）乘一负号。式
（3-2）称为导热基本方程式，也称为傅立叶定律，对于稳定导热和不稳定导热均适用。 二、导热系数λ 导热系数是物质导热性能的标志，是物质的物理性质之一。导热系数λ的值越大，表示其导热性能越好。物质的导热性能，也就是λ数值的大小与物质的组成、结构、密度、温度以及压力等有关。λ的物理意义为：当温度梯度为1K/m时，每秒钟通过1m2的导热面积而传导的热量，其单位为W/m·K或W/m·℃。 各种物质的λ可用实验的方法测定。一般来说，金属的λ值最大，固体非金属的λ值较小，液体更小，而气体的λ值最小。各种物质的导热系数的大致范围如下： 金属2.3～420 w/m·K 建筑材料0.25～3 w/m·K 绝缘材料0.025～0.25 w/m·K 液体0.09～0.6 w/m·K 气体0.006～0.4 w/m·K 固体的导热在导热问题中显得十分重要，本章有关导热的问题大多数都是固体的导热问题。因而将某些固体的导热系数值列于表3-1，由于物质的λ影响因素较多，本课程中采用的为其平均值以使问题简化。 表3-1 某些固体在0～100℃时的平均导热系数 金属材料建筑和绝缘材料 物料密度kg/m3λ①w/m℃物料密度kg/m3λ①w/m℃ 铝2700204石棉6000.15 紫铜800065混凝土2300 1.28 黄铜850093绒毛毯3000.046 铜8800383松木6000.14～0.38 铅1140035建筑用砖砌17000.7～0.8 钢785045耐火砖砌1840 1.04 不锈钢790017绝热砖砌6000.12～0.12 铸铁750045～9085%氧化镁粉2160.07② 银10500411锯木屑2000.07 镍890088软木1600.043 三、平面壁稳定热传导 1、单层平面壁 设有一均质的面积很大的单层平面壁，厚度为b，平壁内的温度只沿垂直于壁面的x轴方向变化，如图3-8所示。
第三章 一阶微分方程解的存在定理 [教学目标] 1. 理解解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，掌握逐次逼近法，熟练近似解的误差估计式。 2. 了解解的延拓定理及延拓条件。 3. 理解解对初值的连续性、可微性定理的条件和结论。 [教学重难点] 解的存在唯一性定理的证明，解对初值的连续性、可微性定理的证明。 [教学方法] 讲授，实践。 [教学时间] 12学时 [教学内容] 解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，解的延拓概念及延拓条件，解对初值的连续性、可微性定理及其证明。 [考核目标] 1.理解解的存在唯一性定理的条件、结论，能用逐次逼近法解简单的问题。 2.熟练近似解的误差估计式，解对初值的连续性及可微性公式。 3.利用解的存在唯一性定理、解的延拓定理及延拓条件能证明有关方程的某些性质。 §1 解的存在性唯一性定理和逐步逼近法 微分方程来源于生产实践际，研究微分方程的目的就在于掌握它所反映的客观规律，能动解释所出现的各种现象并预测未来的可能情况。在第二章介绍了一阶微分方程初等解法的几种类型，但是，大量的一阶方程一般是不能用初等解法求出其通解。而实际问题中所需要的往往是要求满足某种初始条件的解。因此初值问题的研究就显得十分重要，从前面我们也了解到初值问题的解不一定是唯一的。他必须满足一定的条件才能保证初值问题解的存在性与唯一性，而讨论初值问题解的存在性与唯一性在常微分方程占有很重要的地位，是近代常微分方程定性理论，稳定性理论以及其他理论的基础。 例如方程 dy dx =过点(0,0)的解就是不唯一，易知0y =是方程过(0,0)的解，此外，容易验证，2 y x =或更一般地，函数 2 0 0() c<1x c y x c x ≤≤?=?-≤? 都是方程过点(0,0)而且定义在区间01x ≤≤上的解，其中c 是满足01c <<的任一数。 解的存在唯一性定理能够很好地解释上述问题，它明确地肯定了方程的解在一定条件下的存在性 和唯一性。另外，由于能得到精确解的微分方程为数不多，微分方程的近似解法具有重要的意义，而解的存在唯一性是进行近似计算的前提，如果解本身不存在，而近似求解就失去意义；如果存在不唯一，不能确定所求的是哪个解。而解的存在唯一性定理保证了所求解的存在性和唯一性。 1．存在性与唯一性定理： （1）显式一阶微分方程 ),(y x f dx dy = （3.1） 这里),(y x f 是在矩形域：00:||,||R x x a y y b -≤-≤ （3.2）
金属的热传导系数表 2010-04-04 11:33 金属导热系数金属的热传导系数表： 银429 铜401 金317 铝237 铁80 锡67 铅34.8 各种物质导热系数 material conductivity k (W/m·K) diamond 钻石2300 silver 银429 copper 铜401 gold 金317 aluminum 铝237 各物质的导热系数 物质温度导热系数物质温度导热系数亚麻布50 0.09 落叶松木0 0.13 木屑50 0.05 普通松木45 0.08～0.11 海砂20 0.03 杨木100 0.1 研碎软木20 0.04 胶合板0 0.125 压缩软木20 0.07 纤维素0 0.46 聚苯乙烯100 0.08 丝20 0.04～0.05 硫化橡胶50 0.22～0.29 炉渣50 0.84 镍铝锰合金0 32.7 硬质胶25 0.18 青铜30 32～153 白桦木30 0.15 殷钢30 11 橡木20 0.17 康铜30 20.9 雪松0 0.095 黄铜20 70～183 柏木20 0.1 镍铬合金20 12.3～171 普通冕玻璃20 1 石棉0 0.16～0.37 石英玻璃 4 1.46 纸12 0.06～0.13 燧石玻璃32 0.795 皮棉 4.1 0.03 重燧石玻璃12.5 0.78 矿渣棉0 0.05～0.14 精制玻璃12 0.9 毡0.04 汽油12 0.11 蜡0.04 凡士林12 0.184 纸板0.14 “天然气”油12 0.14 皮革0.18～0.19 甘油0 0.276 冰 2.22 煤油100 0.12 新下的雪0.1 蓖麻油500 0.18 填实了的雪0.21 橄榄油0 0.165 瓷 1.05 已烷0 0.152
常用材料的导热系数表 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】
材料的导热率 傅力叶方程式： Q=KA△T/d, R=A△T/Q Q: 热量，W；K: 导热率，W/mk；A：接触面积；d: 热量传递距离；△T：温度差；R: 热阻值导热率K是材料本身的固有性能参数，用于描述材料的导热能力。这个特性跟材料本身的大小、形状、厚度都是没有关系的，只是跟材料本身的成分有关系。所以同类材料的导热率都是一样的，并不会因为厚度不一样而变化。 将上面两个公式合并，可以得到 K=d/R。因为K值是不变的，可以看得出热阻R值，同材料厚度d是成正比的。也就说材料越厚，热阻越大。但如果仔细看一些导热材料的资料，会发现很多导热材料的热阻值R，同厚度d并不是完全成正比关系。这是因为导热材料大都不是单一成分组成，相应会有非线性变化。厚度增加，热阻值一定会增大，但不一定是完全成正比的线性关系，可能是更陡的曲线关系。 根据R=A△T/Q这个公式，理论上来讲就能测试并计算出一个材料的热阻值R。但是这个公式只是一个最基本的理想化的公式，他设定的条件是：接触面是完全光滑和平整的，所有热量全部通过热传导的方式经过材料，并达到另一端。 实际这是不可能的条件。所以测试并计算出来的热阻值并不完全是材料本身的热阻值，应该是材料本身的热阻值+所谓接触面热阻值。因为接触面的平整度、光滑或者粗糙、以及安装紧固的压力大小不同，就会产生不同的接触面热阻值，也会得出不同的总热阻值。 所以国际上流行会认可设定一种标准的测试方法和条件，就是在资料上经常会看到的ASTM
图4-3 温度梯度与傅里叶定律 第二节 热传导 热传导是由物质内部分子、原子和自由电子等微观粒子的热运动而产生的热量传递现象。热传导的机理非常复杂，简而言之，非金属固体内部的热传导是通过相邻分子在碰撞时传递振动能实现的；金属固体的导热主要通过自由电子的迁移传递热量；在流体特别是气体中，热传导则是由于分子不规则的热运动引起的。 4-2-1 傅里叶定律 一、温度场和等温面 任一瞬间物体或系统内各点温度分布的空间，称为温度场。在同一瞬间，具有相同温度的各点组成的面称为等温面。因为空间内任一点不可能同时具有一个以上的不同温度，所以温度不同的等温面不能相交。 二、温度梯度 从任一点开始，沿等温面移动，如图4-3所示，因为在等温面上无温度变化，所以无热量传递；而沿和等温面相交的任何方向移动，都有温度变化，在与等温面垂直的方向上温度变化率最大。将相邻两等温面之间的温度差△t 与两等温面之间的垂直距离△n 之比的极限称为温度梯度，其数学定义式为： n t n t gradt ??=??=lim (4-1) 温度梯度n t ??为向量，它的正方向指向温度增加的方向，如图4-3所示。 对稳定的一维温度场，温度梯度可表示为： x t g r a d t d d = （4-2） 三、傅里叶定律 导热的机理相当复杂，但其宏观规律可用傅里叶定律来描述，其数学表达式为： n t S Q ??∝d d 或 n t S Q ??-=d d λ （4-3） 式中 n t ??——温度梯度，是向量，其方向指向温度增加方向，℃/m ； Q ——导热速率，W ； S ——等温面的面积，m 2； λ——比例系数，称为导热系数，W/（m ·℃）。 式4-3中的负号表示热流方向总是和温度梯度的方 向相反，如图4-3所示。 傅里叶定律表明：在热传导时，其传热速率与温度梯 度及传热面积成正比。 必须注意，λ作为导热系数是表示材料导热性能的一 个参数，λ越大，表明该材料导热越快。和粘度μ一样，
图4-3 温度梯度与傅里叶定律 第二节 热传导 热传导是由物质内部分子、原子和自由电子等微观粒子的热运动而产生的热量传递现象。热传导的机理非常复杂，简而言之，非金属固体内部的热传导是通过相邻分子在碰撞时传递振动能实现的；金属固体的导热主要通过自由电子的迁移传递热量；在流体特别是气体中，热传导则是由于分子不规则的热运动引起的。 4-2-1 傅里叶定律 一、温度场和等温面 任一瞬间物体或系统内各点温度分布的空间，称为温度场。在同一瞬间，具有相同温度的各点组成的面称为等温面。因为空间内任一点不可能同时具有一个以上的不同温度，所以温度不同的等温面不能相交。 二、温度梯度 从任一点开始，沿等温面移动，如图4-3所示，因为在等温面上无温度变化，所以无热量传递；而沿和等温面相交的任何方向移动，都有温度变化，在与等温面垂直的方向上温度变化率最大。将相邻两等温面之间的温度差△t 与两等温面之间的垂直距离△n 之比的极限称为温度梯度，其数学定义式为： n t n t gradt ??=??=lim (4-1) 温度梯度n t ??为向量，它的正方向指向温度增加的方向，如图4-3所示。 对稳定的一维温度场，温度梯度可表示为： x t gradt d d = （4-2） 三、傅里叶定律 导热的机理相当复杂，但其宏观规律可用傅里叶定律来描述，其数学表达式为： n t S Q ??∝d d 或 n t S Q ??-=d d λ （4-3） 式中 n t ??——温度梯度，是向量，其方向指向温度增加方向，℃/m ； Q ——导热速率，W ； S ——等温面的面积，m 2； λ——比例系数，称为导热系数，W/（m ·℃）。 式4-3中的负号表示热流方向总是和温度梯度的方 向相反，如图4-3所示。 傅里叶定律表明：在热传导时，其传热速率与温度梯 度及传热面积成正比。 必须注意，λ作为导热系数是表示材料导热性能的一 个参数，λ越大，表明该材料导热越快。和粘度μ一样，
第一讲 一阶微分方程组及解的存在惟一性定理（2课时） 一、 目的与要求: 了解高阶微分方程与一阶微分方程组的 等价关系, 理解用向量和矩阵来研 究一阶微分方程组的作用, 了解微分方程组解的存在唯一性定理. 二、重点：一阶微分方程组的向量和矩阵表示及解的存在唯一性定理. 三、难点：向量和矩阵列的收敛性的定义, 二者的范数定义及其相关性质. 四、教学方法：讲练结合法、启发式与提问式相结合教学法. 五、教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合. 六、教学过程： 1 课题引入 在前两章里，我们研究了含有一个未知函数的常微分方程的解法及其解的性质.但是，在很多实际和理论问题中，还要求我们去求解含有多个未知函数的微分方程组，或者研究它们的解的性质. 例如，已知在空间运动的质点(,,)P x y z 的速度与时间t 及该点的坐标的关系为(,,)x y z v v v v = 且质点在时刻0t 经过点000(,,)x y z ，求该质点的运动轨迹。 因为,x y dx dy v v dt dt ==和z dz v dt =, 所以这个问题其实就是求 一阶微分方程组 的满足初始条件
的解(),(),()x t y t z t . 另外，在n 阶微分方程 （1.12）()(1)(,,,,)n n y f x y y y -'= 中,令(1)121,,,n n y y y y y y --'''===就可 以把它化成等价的一阶微分方程组 注意，这是一个含n 个未知函数11,, ,n y y y - 的一阶微分 方程组. 含有n 个未知函数12,, ,n y y y 的一阶微分方程组的一般形式为： 11122112112(,,,,) (,,,,)(,,,,)n n n n dy f x y y y dx dy f x y y y dx dy f x y y y dx ?=???=?????=? ? (3.1) 如果方程组(3.1)右端函数不显含x , 则相应的方程称为是自治的. 方程组(3.1)在[,]a b 上的一个解，是这样的一组函数 使得在[,]a b 上有恒等式 含有n 个任意常数12,,,n C C C 的解 称为(3.1)的通解. 如果通解满足方程组 则称后者为(3.1)的通积分.
316L导热系数：15.1W/m/K 铝黄铜导热系数：100 W/m/K 银429 铜401 金317 铝237 铁80 锡67 铅34.8 钛15.14 不锈钢10—30 物质温度导热系数物质温度导热系数 亚麻布50 0.09 落叶松木0 0.13 木屑50 0.05 普通松木45 0.08～0.11 海砂20 0.03 杨木100 0.1 研碎软木20 0.04 胶合板0 0.125 压缩软木20 0.07 纤维素0 0.46 聚苯乙烯100 0.08 丝20 0.04～0.05 硫化橡胶50 0.22～0.29 炉渣50 0.84 镍铝锰合金0 32.7 硬质胶25 0.18 青铜30 32～153 白桦木30 0.15 殷钢30 11 橡木20 0.17 康铜30 20.9 雪松0 0.095 黄铜20 70～183 柏木20 0.1 镍铬合金20 12.3～171 普通冕玻璃20 1 石棉0 0.16～0.37 石英玻璃 4 1.46 纸12 0.06～0.13 燧石玻璃32 0.795 皮棉4.1 0.03 重燧石玻璃12.5 0.78 矿渣棉0 0.05～0.14 精制玻璃12 0.9 毡0.04 汽油12 0.11 蜡0.04 凡士林12 0.184 纸板0.14 “天然气”油12 0.14 皮革0.18～0.19 甘油0 0.276 冰2.22 煤油100 0.12 新下的雪0.1 蓖麻油500 0.18 填实了的雪0.21 橄榄油0 0.165 瓷1.05 已烷0 0.152 石蜡油0.123 二氯乙烷0.147 变压器油0.128 90%硫酸0.354 石油0.14 醋酸18 石蜡0.12 硝基苯0.159 柴油机燃油0.12 二硫化碳0.144 沥青0.699 甲醇0.207
热传导公式
第二节传导传热 传导传热也称热传导，简称导热。导热是依靠物质微粒的热振动而实现的。产生导热的必要条件是物体的内部存在温度差，因而热量由高温部分向低温部分传递。热量的传递过程通称热流。发生导热时，沿热流方向上物体各点的温度是不相同的，呈现出一种温度场，对于稳定导热，温度场是稳定温度场，也就是各点的温度不随时间的变化而变化。本课程所讨论的导热，都是在稳定温度场的情况下进行的。 一、传导传热的基本方程式----傅立叶定律 在一质量均匀的平板内，当t1 > t2热量以导热方式通过物体,从t1向t2方向传递,如图3-7所示。 图3-7 导热基本关系 取热流方向微分长度dn，在dt的瞬时传递的热量为Q，实验证明，单位时间内通过平板传导的热量与温度梯度和传热面积成正比，即： dQ∝dA·dt/dn 写成等式为： dQ=-λdA·dt/dn (3-2)
式中 Q-----导热速率，w; A------导热面积，m2； dt/dn-----温度梯度，K/m； λ------比例系数，称为导热系数，w/m·K； 由于温度梯度的方向指向温度升高的方向，而热流方向与之相反，故在式（3-2）乘一负号。式（3-2）称为导热基本方程式，也称为傅立叶定律，对于稳定导热和不稳定导热均适用。 二、导热系数λ 导热系数是物质导热性能的标志，是物质的物理性质之一。导热系数λ的值越大，表示其导热性能越好。物质的导热性能，也就是λ数值的大小与物质的组成、结构、密度、温度以及压力等有关。λ的物理意义为：当温度梯度为1K/m时，每秒钟通过1m2的导热面积而传导的热量，其单位为W/m·K或W/m·℃。 各种物质的λ可用实验的方法测定。一般来说，金属的λ值最大，固体非金属的λ值较小，液体更小，而气体的λ值最小。各种物质的导热系数的大致范围如下： 金属 2.3～420 w/m·K 建筑材料 0.25～3 w/m·K 绝缘材料 0.025～0.25 w/m·K 液体 0.09～0.6 w/m·K 气体 0.006～0.4 w/m·K 固体的导热在导热问题中显得十分重要，本章有关导热的问题大多数都是固体的导热问题。因而将某些固体的导热系数值列于表3-1，由于物质的λ影响因素较多，本课程中采用的为其平均值以使问题简化。 表3-1 某些固体在0～100℃时的平均导热系数
一阶常微分方程解的存在唯一性定理与逐步逼近法 3.1.1 存在唯一性定理 1）首先考虑导数已解出的一阶微分方程(3.1.1.1) 这里是在矩形域(3.1.1.2)上的连续函数。 定义1 如果存在常数，使得不等式对于所有 都成立，则函数称为在上关于满足利普希茨（Lipschitz）条件，称为利普希茨常数。 定理3.1 如果在上连续且关于满足利普希茨条件，则方程(3.1.1.1)存在唯一的 解，定义于区间上，连续且满足初始条件(3.1.1.3) 这里，。 我们采用皮卡（Picard）的逐步逼近法来证明这个定理。为简单起见，只就区间来讨论，对于的讨论完全一样。 现在简单叙述一下运用逐步逼近法证明定理的主要思想。 首先证明求微分方程的初值问题的解等价于求积分方程的连续解。然后去证明积分方程的解的存在唯一性。 任取一个连续函数代入上面积分方程右端的,就得到函数 ， 显然也是连续函数，如果,那末就是积分方程的解。
否则,我们又把代入积分方程右端的，得到 ， 如果，那末就是积分方程的解。 否则我们继续这个步骤。一般地作函数 (3.1.1.4) 这样就得到连续函数序列：，，…，，…. 如果，那末就是积分方程的解。 如果始终不发生这种情况，我们可以证明上面的函数序列有一个极限函数，即 存在， 因而对(3.1.1.4)取极限时，就得到 即，这就是说是积分方程的解。 这种一步一步地求出方程的解的方法就称为逐步逼近法。 由(3.1.1.4)确定的函数称为初值问题(3.1.1.1)、(3.1.1.3)的第次近似解。 在定理的假设条件下，以上的步骤是可以实现的。下面我们分五个命题来证明定理1。
常用材料的导热系数表文件编码（008-TTIG-UTITD-GKBTT-PUUTI-WYTUI-8256）
材料的导热率 傅力叶方程式： Q=KA△T/d, R=A△T/Q Q: 热量，W；K: 导热率，W/mk；A：接触面积；d: 热量传递距离；△T：温度差；R: 热阻值 导热率K是材料本身的固有性能参数，用于描述材料的导热能力。这个特性跟材料本身的大小、形状、厚度都是没有关系的，只是跟材料本身的成分有关系。所以同类材料的导热率都是一样的，并不会因为厚度不一样而变化。 将上面两个公式合并，可以得到 K=d/R。因为K值是不变的，可以看得出热阻R值，同材料厚度d是成正比的。也就说材料越厚，热阻越大。 但如果仔细看一些导热材料的资料，会发现很多导热材料的热阻值R，同厚度d并不是完全成正比关系。这是因为导热材料大都不是单一成分组成，相应会有非线性变化。厚度增加，热阻值一定会增大，但不一定是完全成正比的线性关系，可能是更陡的曲线关系。 根据R=A△T/Q这个公式，理论上来讲就能测试并计算出一个材料的热阻值R。但是这个公式只是一个最基本的理想化的公式，他设定的条件是：接触面是完全光滑和平整的，所有热量全部通过热传导的方式经过材料，并达到另一端。 实际这是不可能的条件。所以测试并计算出来的热阻值并不完全是材料本身的热阻值，应该是材料本身的热阻值+所谓接触面热阻值。因为接触面的平整度、光滑或者粗糙、以及安装紧固的压力大小不同，就会产生不同的接触面热阻值，也会得出不同的总热阻值。 所以国际上流行会认可设定一种标准的测试方法和条件，就是在资料上经常会看到的ASTM D5470。这个测试方法会说明进行热阻测试时候，选用多大的接触面积A，多大的热量值Q，以及施加到接触面的压力数值。大家都使用同样的方法来测试不同的材料，而得出的结果，才有相比较的意义。 通过测试得出的热阻R值，并不完全是真实的热阻值。物理科学就是这样，很多参数是无法真正的量化的，只是一个“模糊”的数学概念。通过这样的“模糊”数据，人们可以将一些数据量化，而用于实际应用。此处所说的“模糊” 是数学术语，“模糊”表示最为接近真实的近似。 而同样道理，根据热阻值以及厚度，再计算出来的导热率K值，也并不完全是真正的导热
第一讲 一阶微分方程组及解的存在惟一性定理(2课时） 一、 目的与要求: 了解高阶微分方程与一阶微分方程组的 等价关系, 理解用向量和矩阵来研 究一阶微分方程组的作用, 了解微分方程组解的存在唯一性定理. 二、重点：一阶微分方程组的向量和矩阵表示及解的存在唯一性定理. 三、难点:向量和矩阵列的收敛性的定义, 二者的范数定义及其相关性质． 四、教学方法:讲练结合法、启发式与提问式相结合教学法. 五、教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合． 六、教学过程: １ 课题引入 在前两章里，我们研究了含有一个未知函数的常微分方程的解法及其解的性质.但是,在很多实际和理论问题中，还要求我们去求解含有多个未知函数的微分方程组，或者研究它们的解的性质. 例如,已知在空间运动的质点(,,)P x y z 的速度与时间t 及该点的坐标的关系为(,,)x y z v v v v
123(,,,)(,,,) (,,,)x y z v f t x y z v f t x y z v f t x y z =??=??=? 且质点在时刻0t 经过点000(,,)x y z ,求该质点的运动轨迹。 因为,x y dx dy v v dt dt ==和z dz v dt =, 所以这个问题其实就是求 一阶微分方程组 123(,,,)(,,,) (,,,)x f t x y z y f t x y z z f t x y z =??=??=? 的满足初始条件 00(),x t x = 00(),y t y = 00()z t z = 的解(),(),()x t y t z t . 另外，在n 阶微分方程 (１.１2） ()(1)(,,,,)n n y f x y y y -'= 中，令(1)121,, ,n n y y y y y y --'''===就可以把它化成等价的一阶微分方程组
第二节 热和内能 教学目标： （一）知识与技能 1、理解热传递的三种方式，并知道这是改变物体内能的另一方式。 2、了解热与内能的关系，区别热量与内能的概念。 （二）过程与方法 通过热传递改变物体内能来理解能量转移的过程。 （三）情感、态度与价值观 通过对能量转移的了解感受能量的流动性，增强我们学习物理、探索自然的兴趣。 教学重点： 热传递对内能的改变。 教学难点： 热传递对内能的改变效果。 教学方法： 阅读、讨论和讲解法 教学用具： 投影仪、投影片。 教学过程： （一）复习提问，引入新课 提问：（1）从做功与能量转化的角度理解，什么是物体的内能?（2）在绝热过程中，功与系统的内能有何关系？ 学生思考并回答：（1）定义：任何一个热力学系统都必定存在一个只依赖于系统自身状态的物理量，这个物理量在两个状态间的差别与外界在绝热过程中对系统所做的功相联系。我们把这个物理量称为系统的内能。 （2）当系统从状态1经过绝热过程达到状态2时，内能的增加量12U U U -=?等于外界对系统所做的功W ，即W U =?。 总结：做功可以改变物体的内能，做功是改变物体内能的一种方式。今天我们来学习改变内能的另一种方式――热传递。
（二）新课教学 1、热传递 教师：引导学生阅读教材62页有关内容，思考并回答问题。 （1）什么是热传递？ （2）热传递有几种方式？举例说明。 （3）热传递的条件是什么？能否发生热传递与物体内能的多少是否有关？ （4）热传递过程的实质是什么？ 学生：阅读教材后回答问题。 （1）定义：两个温度不同的物体相互接触时温度高的物体要降温，温度低的物体要升温，即热量从高温物体传到了低温物体，这个过程就叫做热传递。 （2）热传递的方式：热传导、热对流和热辐射。 （3）热传递的条件：存在温度差。与物体内能的多少无关。 教师强调指出：只要存在温度差，热传递过程就会进行，与原来物体内能的多少大小无关。热传递过程能量可以由内能大的物体传到内能小的物体上，也可以由内能小的物体传到内能大的物体上，但一定是由高温物体传给低温物体。 （4）热传递过程实质是能量转移的过程。 2、热和内能 教师：投影教材图10.2－2，对于一个热力学系统，单纯地对系统传热也能改变系统的热力学状态。热量是在单纯的传热过程中，系统内能变化的量度。 当系统从状态1经过绝热过程达到状态2时，内能的增加量12U U U -=?等于外界对系统传递的热量Q ，即Q U =?。 教师：引导学生阅读教材63页有关内容，思考并回答问题。 ［投影］ （1）怎样理解热量？能否说某一物体具有多少热量？为什么？ （2）做功和热传递都能改变物体的内能。做功和热传递在改变内能上意义是否相同。 学生：阅读教材后回答问题。 （1）热量表征物体间内能转移的多少。只有在改变物体内能的过程中，说热量才有意义。所以，不能说物体含有多少热量。
解的存在唯一性定理 利用逐次逼近法，来证明微分方程(,),dy f x y dx =的初值问题00(,)()dy f x y dx y y x ==??? 的解存在与唯一性定理。 一、【存在、唯一性定理叙述】 如果方程 (,),dy f x y dx =的右端函数(,)f x y 在闭矩形区域0000:,R x a x x a y b y y b -≤≤+-≤≤+上满足如下条件： （1）、在R 上连续； （2）、在R 上关于变量y 满足利普希茨条件，即存在常数N ，使对于R 上任何一点(),x y 和() ,x y 有以下不等式：() |(,),|||f x y f x y N y y -≤-。 则初值问题00 (,)()dy f x y dx y y x ==??? 在区间0000x h x x h -≤≤+上存在唯一解00(),()y x x y ??==， 其中0 (,)min ,,max (,)x y R b h a M f x y M ∈?? == ??? 二、【证明】 逐步迫近法：
微分方程 (,)dy f x y dx =等价于积分方程00(,)x x y y f x y dx =+?。 取00()x y ?=，定义0 01()(,()),1,2,3, (x) n n x x y f x x dx n ??-=+=? 可证明lim ()()n n x x ??→∞ =的()y x ?=满足积分方程。 通过逐步迫近法可证明解的存在唯一性。 命 题 1：先证积分方程与微分方程等价： 设()y x ?=是微分方程 (,)dy f x y dx =定义于区间0000x h x x h -≤≤+上满足初值条件 00()x y ?=的解，则()y x ?=是积分方程0 0(,), x x y y f x y dx =+?定义于区间0000x h x x h -≤≤+上的连续解。 反之亦然。 证： 因()y x ?=是微分方程 (,)dy f x y dx =的解，有'() ()(,())d x x f x x dx ???== 两边从0x 到x 取定积分，得：0 00000()()(,()), x x x x f x x dx x h x x h ???-=-≤≤+? 代入初值条件00()x y ?=得：0 00000()(,()), x x x y f x x dx x h x x h ??=+-≤≤+? 即()y x ?=是积分方程0 0(,)x x y y f x y dx =+?定义于区间0000x h x x h -≤≤+上的连续解。 反之，则有0 00000()(,()), x x x y f x x dx x h x x h ??=+-≤≤+? 微分得： () (,())d x f x x dx ??= 且当0x x =时有00()x y ?=。即()y x ?=是微分方程(,)dy f x y dx =定义于区间0000x h x x h -≤≤+上满足初 值条件00()x y ?=的解。 现取00()x y ?=，代入积分方程0 0(,)x x y y f x y dx =+?的右端，所得函数用1()x ?表示，则 100()(,)x x x y f x y dx ?=+?，再将1()x ?代入积分方程0 0(,)x x y y f x y dx =+?的右端，所得函数用2()x ?表示，则 0201()(,())x x x y f x x dx ??=+?，以上1()x ?称为1次近似, 2()x ?称为2次近似。以此类推得到n 次近似 01()(,())x n n x x y f x x dx ??-=+?。 从而构造逐步迫近函数序列为：0000000 01()1,2,()(,()),x n n x x y x h x x h n x y f x x dx ???-=?? -≤≤+=?=+?? ? 命 题 2：对所有n ,函数序列()n x ?在0000x h x x h -≤≤+上有定义、连续且满足不等式 证：当1n =时， 100()(,)x x x y f x y dx ?=+?。显然1()x ?在0000x h x x h -≤≤+上有定义、连续且有
第二节热传导 一、有关热传导的基本概念 只要物体内部有温度差存在，就有热量从高温部分向低温部分传导。所以研究热传导必须涉及物体内部的温度分布。 1. 温度场和等温面 温度场：某一瞬间空间中各点的温度分布，称为温度场。 等温面：温度场中同一时刻相同温度各点组成的面称为等温面。因为空间同一点不能同时具有两个不同的温度，所以不同的等温面彼此不能相交。 2. 温度梯度温度梯度是一个点的概念。温度梯度是一个向量。方向垂直 二、导热系数 1. 固体的导热系数 λ在数值上等于单位温度梯度下的热通量。λ是分子微观运动的宏观表现。 常用的固体导热系数见表4-1。在所有固体中，金属是最好的导热体。纯金属的导热系数一般随温度升高而降低。而金属的纯度对导热系数影响很大，如含碳为1%的普通碳钢的导热系数为45W/m·K，不锈钢的导热系数仅为16 W/m·K。 2. 液体的导热系数 液体分成金属液体和非液体两类，前者导热系数较高，后者较低。在非金属液体中，水的导热系数最大，除去水和甘油外，绝大多数液体的导热系数随温度升高而略有减小。一般来说，溶液的导热系数低于纯液体的导热系数。表4-2和图4-6列出了几种液体的导热系数值。 表4-2 液体的导热系数
3. 气体的导热系数 气体的导热系数随温度升高而增大。在通常的压力范围内，其导热系数随压力变化很小，气体的导热系数很小，故对导热不利，但对保温有利。 常见的几种气体的导热系数值见表4-3。 表4-3 气体的导热系数 三、对流传热 1．对流传热的基本概念 对流传热是在流体流动进程中发生的热量传递现象，它是依靠流体质点的移动进行热量传递的，帮与流体的流动情况密切相关。工业上遇到的对流传热，常指间壁式换热器中两侧流体与固体壁面之间的热交换，变化即流体将热量传给固体壁面或者由壁面将热量传给流体的过程称之为对流传热（或称对流给热、放热）。