第九节直线与圆锥曲线的位置关系
【最新考纲】 1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法. 2.理解数形结合的思想．3.了解圆锥曲线的简单应用.
1．直线与圆锥曲线的位置关系
将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．
(1)当a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有
①Δ>0?直线与圆锥曲线相交；
②Δ＝0?直线与圆锥曲线相切；
③Δ<0?直线与圆锥曲线相离．
(2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线E相交，且只有一个交点．
①若E为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；
②若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．
2．圆锥曲线的弦长
设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A、B两点，A(x1，
y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝1＋1
k2|y2－y1|＝
1＋k2Δ
|a|.
1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误
的打“×”)
(1)直线l 与椭圆C 相切的充要条件是：直线l 与椭圆C 只有一个公共点．( )
(2)直线l 与双曲线C 相切的充要条件是：直线l 与双曲线C 只有一个公共点．( )
(3)若抛物线上存在关于直线l 对称的两点，则l 与抛物线有两个交点．( )
(4)过抛物线y 2＝2px(p>0)焦点的弦中最短弦的弦长是2p.( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√
2．直线y ＝k(x －1)＋1与椭圆x 29＋y 2
4＝1的位置关系是( )
A ．相交
B ．相切
C ．相离
D ．不确定 解析：直线y ＝k(x －1)＋1恒过定点(1，1)，又点(1，1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．
答案：A
3．(2015·全国Ⅱ卷)已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为1
2，
E 的右焦点与抛物线C ：y 2＝8x 的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB|＝( )
A ．3
B ．6
C ．9
D ．12
解析：抛物线y 2＝8x 的焦点为(2，0)，∴椭圆中c ＝2， 又c a ＝1
2，∴a ＝4，b 2＝a 2－c 2＝12， 从而椭圆方程为x 216＋y 2
12
＝1.
∵抛物线y 2＝8x 的准线为x ＝－2， ∴x A ＝x B ＝－2，
将x A ＝－2代入椭圆方程可得|y A |＝3， 由图象可知|AB|＝2|y A |＝6. 答案：B
4．已知倾斜角为60°的直线l 通过抛物线x 2＝4y 的焦点，且与抛物线相交于A 、B 两点，则弦AB 的长为________．
解析：直线l 的方程为y ＝3x ＋1，
由?????y ＝3x ＋1，x 2＝4y ，
得y 2－14y ＋1＝0. 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝14， ∴|AB|＝y 1＋y 2＋p ＝14＋2＝16. 答案：16
5．已知一条过点P(2，1)的直线与抛物线y 2＝2x 交于A ，B 两点，且P 是弦AB 的中点，则直线AB 的方程为________．
解析：依题意，设点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，
则有y 21＝2x 1，y 22＝2x 2，
两式相减得y 21－y 2
2＝2(x 1－x 2)，即y 1－y 2x 1－x 2＝2y 1＋y 2
＝1，直线
AB
的斜率为1，
直线AB 的方程是y －1＝x －2，即x －y －1＝0. 答案：x －y －1＝0
一条规律
“联立方程求交点，根与系数的关系求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”．
两种思想
直线与圆锥曲线的位置关系，弦长计算，定点、最值问题很好地渗透函数与方程思想和数形结合思想，是考查数学思想方法的热点题型．
两种技巧
1．涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)．
2．涉及弦中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化．
三点注意
1．重视圆锥曲线定义、平面几何性质的应用．
2．“点差法”具有不等价性，要考虑判别式“Δ”是否为正数．3．涉及定点、定值问题，切忌“特殊代替一般”，盲目简单化．
一、选择题
1．过抛物线y2＝2x的焦点作一条直线与抛物线交于A，B两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线()
A．有且只有一条B．有且只有两条
C．有且只有三条D．有且只有四条
解析：设该抛物线焦点为F，A(x A，y A)，B(x B，y B)，则|AB|＝|AF|
＋|FB|＝x A ＋p 2＋x B ＋p
2＝x A ＋x B ＋1＝3>2p ＝2.所以符合条件的直线
有且只有两条．
答案：B
2．(2015·四川卷)过双曲线x 2－y
2
3
＝1的右焦点且与x 轴垂直的
直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB|＝( )
A.433 B ．23 C ．6 D ．4 3
解析：由题意知，双曲线x 2
－y 2
3
＝1的渐近线方程为y ＝±3x ，
将x ＝c ＝2代入得y ＝±23，即A ，B 两点的坐标分别为(2，23)，(2，－23)，所以|AB|＝4 3.
答案：D
3．已知直线y ＝22(x －1)与抛物线C ：y 2＝4x 交于A ，B 两点，点M(－1，m)，若MA
→·MB →＝0，则m ＝( ) A. 2 B.22 C.1
2
D ．0
解析：由?
????y ＝22（x －1），y 2＝4x ，得A(2，22)，B(1
2，－2)，
又∵M(－1，m)且MA
→·MB →＝0， ∴2m 2－22m ＋1＝0，解得m ＝2
2
. 答案：B
4．已知抛物线y 2＝2px(p>0)与直线ax ＋y －4＝0相交于A ，B 两点，其中A 点的坐标是(1，2)．如果抛物线的焦点为F ，那么|FA|＋|FB|等于( )
A ．5
B ．6
C ．3 5
D ．7
解析：把点A 的坐标(1，2)分别代入抛物线y 2＝2px 与直线方程ax ＋y －4＝0得p ＝2，a ＝2，
由?????y 2＝4x ，2x ＋y －4＝0，
消去y 得x 2－5x ＋4＝0， 则x A ＋x B ＝5.
由抛物线定义得|FA|＋|FB|＝x A ＋x B ＋p ＝7. 答案：D
5．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a>b>0)的右焦点为F(3，0)，过点F
的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )
A.x 218＋y 29＝1
B.x 227＋y 2
18＝1 C.x 236＋y 227＝1 D.x 245＋y 2
36＝1 解析：设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，
则?????x 21a 2＋y 21b 2＝1， ①x 22a 2＋y 22b
2＝1. ②
①－②得（x 1＋x 2）（x 1－x 2）a 2＝－（y 1－y 2）（y 1＋y 2）b 2.
∴y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2（x 1＋x 2）
a 2（y 1＋y 2）. ∵x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－2， ∴k AB ＝
b 2a
2.
又k AB ＝0－（－1）3－1
＝1
2，
∴b 2a 2＝1
2，∴a 2＝2b 2. ∴c 2＝a 2－b 2＝b 2＝9， ∴b ＝c ＝3，a ＝32， ∴椭圆的方程为x 218＋y 2
9＝1.
答案：A 二、填空题
6．直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2
m ＝1恒有公共点，则m 的取值范
围是________．
解析：直线y ＝kx ＋1过定点(0，1)，由题意知????
?m>0，m ≠5，m ≥1，
∴m ≥1，且m ≠5. 答案：m ≥1，且m ≠5
7．(2015·山东卷)过双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a>0，b>0)的右焦点作
一条与其渐近线平行的直线，交C 于点P.若点P 的横坐标为2a ，则C 的离心率为________．
解析：如图所示，不妨设与渐近线平行的直线l 的斜率为b
a ，又
直线l 过右焦点F(c ，0)，则直线l 的方程为y ＝b
a
(x －c)．
因为点P 的横坐标为2a ，代入双曲线方程得4a 2a 2－y 2
b 2＝1，
化简得y ＝－3b 或y ＝3b(点P 在x 轴下方，故舍去)． 故点P 的坐标为(2a ，－3b)，代入直线方程得－3b ＝b
a (2a －
c)，
化简可得离心率e ＝c
a ＝2＋ 3.
答案：2＋ 3
8．设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为________．
解析：由y 2
＝3x 知焦点F ? ??
??
34，0， ∴直线AB 的方程为y ＝33? ??
??
x －34.
代入y 2＝3x ，消去x ，得4y 2－123y －9＝0. 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝33，y 1y 2＝－9
4.
因此S △OAB ＝1
2
|OF|·|y 1－y 2|
＝1
2×3
4（y1＋y2）
2－4y
1
y2＝
9
4.
答案：9 4
9．(2015·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2－y2＝1右支上的一个动点，若点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为________．
解析：由双曲线的性质知
所求的c的最大值就是双曲线的一条渐近线x－y＝0与直线x－
y＋1＝0的距离，此距离d＝1
2
＝
2
2.
答案：
2 2
三、解答题
10．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线y＝4与y
轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|＝5
4|PQ|.
(1)求C的方程；
(2)过F的直线l与C相交于A、B两点，若|AB|＝8，求线段AB 的垂直平分线l′的方程．
解：(1)设Q(x0，4)，代入y2＝2px得x0＝8 p.
所以|PQ|＝8
p，|QF|＝
p
2＋x0＝
p
2＋
8
p.
由题设得p
2＋
8
p＝
5
4×
8
p，解得p＝－2(舍去)或p＝2.
所以C的方程为y2＝4x.
(2)依题意知l与坐标轴不垂直，故可设l的方程为x＝my＋
1(m≠0)．
代入y2＝4x，得y2－4my－4＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.
故AB的中点为D(2m2＋1，2m)，
|AB|＝m2＋1|y1－y2|＝4(m2＋1)．
由于|AB|＝8，
∴4(m2＋1)＝8，则m＝±1.
①当m＝1时，D(3，2)，l的方程为x＝y＋1，
∴l′的斜率k＝－1.
则直线l′的方程为y－2＝－(x－3)，即x＋y－5＝0.
②当m＝－1时，D(3，－2)，l的方程为x＝－y＋1，
∴l′的斜率k＝1.
则直线l′的方程为y＋2＝x－3，即x－y－5＝0.
综上知直线l′的方程为x＋y－5＝0或x－y－5＝0.
11．已知椭圆x2
a2＋
y2
b2＝1(a>b>0)经过点(0，3)，离心率为
1
2，左
右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线l ：y ＝－1
2x ＋m 与椭圆交于A ，B 两点，与以F 1F 2为
直径的圆交于C ，D 两点，且满足|AB||CD|＝53
4
，求直线l 的方程．
解：(1)由题设知?????b ＝3，
c a ＝12
，b 2
＝a 2
－c 2
，解得????
?a ＝2，b ＝3，c ＝1，
∴椭圆的方程为x 24＋y 2
3
＝1.
(2)由题设，以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝1， ∴圆心到直线l 的距离d ＝2|m|
5
， 由d<1得|m|<
52
.(*) ∴|CD|＝21－d 2
＝2
1－45m 2＝25
5－4m 2.
设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，
由?????y ＝－12
x ＋m ，x 24＋y 23＝1得x 2－mx ＋m 2－3＝0，
由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝m 2－3. ∴|AB|＝
?
?????1＋? ????－122[m 2
－4（m 2－3）]
＝15
24－m 2.
由|AB||CD|＝534
得 4－m 2
5－4m 2
＝1，
解得m ＝±3
3
，满足(*)．
∴直线l的方程为y＝－1
2x＋
3
3或y＝－
1
2x－
3
3.
平面解析几何中的高考热点题
型
圆锥曲线是平面解析几何的核心部分，也是每年高考必考的一道解答题，常以求曲线的标准方程、位置关系、定点、定值、最值、范围、探索性问题为主．这些试题的命制有一个共同的特点，就是起点低，但在第(2)问或第(3)问中一般都伴有较为复杂的运算，对考生解决问题的能力要求较高，通常作为压轴题的形式出现．
热点一圆锥曲线的标准方程与性质
圆锥曲线的标准方程在新课标高考中占有十分重要的地位．一般地，求圆锥曲线的标准方程是作为解答题中考查“直线与圆锥曲线”的第一小题，最常用的方法是定义法与待定系数法．离心率是高考对圆锥曲线考查的又一重点，涉及a，b，c三者之间的关系．另外抛物线的准线，双曲线的渐近线也是命题的热点．
(2015·重庆卷)如图，椭圆x2
a2＋
y2
b2＝1(a>b>0)的左、
右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQ⊥PF1.
(1)若|PF1|＝2＋2，|PF2|＝2－2，求椭圆的标准方程；
(2)若|PF1|＝|PQ|，求椭圆的离心率e.
解：(1)由椭圆的定义，2a＝|PF1|＋|PF2|＝(2＋2)＋(2－2)＝4，故a＝2.
设椭圆的半焦距为c，由已知PF1⊥PF2，
因此2c＝|F1F2|＝|PF1|2＋|PF2|2
＝（2＋2）2＋（2－2）2＝2 3.
即c＝3，从而b＝a2－c2＝1，
故所求椭圆的标准方程为x2
4＋y
2＝1.
(2)连结F1Q，如图，由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝2a，
|QF1|＋|QF2|＝2a，
又|PF1|＝|PQ|＝|PF2|＋|QF2|＝(2a－|PF1|)＋(2a－|QF1|)可得|QF1|＝4a－2|PF1|①
又因为PF1⊥PQ且|PF1|＝|PQ|
知|QF1|＝2|PF1|②
由①②可得|PF1|＝(4－22)a，
从而|PF2|＝2a－|PF1|＝(22－2)a
由PF 1⊥PF2知|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2
即(4－22)2a2＋(22－2)2a2＝4c2
可得(9－62)a2＝c2，即c2
a2＝9－62，
因此e＝c
a＝9－62＝6－ 3.
本题主要考查椭圆的定义、方程和离心率．用定义法求圆锥曲线的方程是常用的方法，同时注意数形结合思想的应用．
【变式训练】已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x轴上，离
心率为
2
2，它的一个顶点为抛物线x
2＝4y的焦点．
(1)求椭圆方程；
(2)若直线y＝x－1与抛物线相切于点A，求以A为圆心且与抛物线的准线相切的圆的方程．
解：(1)椭圆中心在原点，焦点在x轴上．
设椭圆的方程为x2
a2＋
y2
b2＝1(a>b>0)，
因为抛物线x 2＝4y 的焦点为(0，1)， 所以b ＝1.
由离心率e ＝c a ＝2
2，a 2＝b 2＋c 2＝1＋c 2，
从而得a ＝2，∴椭圆的标准方程为x 22
＋y 2
＝1.
(2)由?????x 2＝4y ，y ＝x －1，解得?
????x ＝2，y ＝1，所以点A(2，1)．
因为抛物线的准线方程为y ＝－1， 所以圆的半径r ＝1－(－1)＝2， 所以圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4. 热点2 圆锥曲线中的定点、定值问题
定点、定值问题一般涉及曲线过定点、与曲线上的动点有关的定值问题以及与圆锥曲线有关的弦长、面积、横(纵)坐标等的定值问题．
已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为1
2
，一
个焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 相交于A ，B 两点．
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)设O 为坐标原点，k OA ·k OB ＝－b 2
a 2，判断△AOB 的面积是否
为定值？若是，求出定值，若不是，说明理由．
解：由题意得c ＝1，又e ＝c a ＝1
2，所以a ＝2，从而b 2＝a 2－c 2
＝3.
所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2
3＝1.
(2)设点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)
由???x 24＋y 23＝1y ＝kx ＋m
得，(3＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4(m 2－3)＝0，
由Δ＝(8mk)2－16(3＋4k 2)(m 2－3)>0得m 2<3＋4k 2. 因为x 1＋x 2＝－8mk 3＋4k 2，x 1x 2＝4（m 2－3）3＋4k 2
，
所以y 1y 2＝(kx 1＋m)·(kx 2＋m)＝k 2x 1x 2＋mk(x 1＋x 2)＋m 2 ＝3（m 2－4k 2）
3＋4k 2
.
由k OA ·k OB ＝－b 2a 2＝－34得y 1y 2＝－3
4
x 1x 2，
即3（m 2－4k 2）3＋4k 2＝－34·4（m 2
－3）3＋4k 2
，化简得2m 2－4k 2＝3，满
足Δ>0.
由弦长公式得|AB|＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2
48（4k 2－m 2＋3）
（3＋4k 2）2
＝
24（1＋k 2）
3＋4k 2
.
又点O 到直线l ：y ＝kx ＋m 的距离d ＝|m|
1＋k 2， 所以S △AOB ＝12·d ·|AB|＝12
24（1＋k 2）3＋4k 2·|m|
1＋k 2
＝1
2
24m 2
3＋4k 2
＝ 3×2m 2
3＋4k 2
＝
3×（3＋4k 2）
3＋4k 2
＝3，
故△AOB 的面积为定值 3.
(1)求定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，
再证明这个值与变量无关．②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
(2)定点问题的常见解法：①假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；②从特殊位置入手，找出定点，再证明该点适合题意．
【变式训练】 设椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为e ＝2
2
，
且过点?
????
－1，－62.
(1)求椭圆E 的方程．
(2)设椭圆E 的左顶点是A ，若直线l ：x －my －t ＝0与椭圆E 相交于不同的两点M ，N(M ，N 与A 均不重合)，若以MN 为直径的圆过点A ，试判定直线l 是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标．
解：(1)由e 2
＝c 2
a 2＝a 2－
b 2a 2＝12
，可得a 2＝2b 2，
椭圆方程为x 22b 2＋y 2
b
2＝1，
代入点?
????
－1，
－62可得b 2＝2，a 2＝4， 故椭圆E 的方程为x 24＋y 2
2＝1.
(2)由x －my －t ＝0得x ＝my ＋t ，
把它代入E 的方程得：(m 2＋2)y 2＋2mty ＋t 2－4＝0， 设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)得： y 1＋y 2＝－2mt
m 2＋2，y 1y 2＝t 2－4m 2＋2
，
x 1＋x 2＝m(y 1＋y 2)＋2t ＝4t
m 2＋2，
x 1x 2＝(my 1＋t)(my 2＋t)
＝m 2y 1y 2＋tm(y 1＋y 2)＋t 2＝2t 2－4m
2m 2＋2
.
因为以MN 为直径的圆过点A ，
所以AM ⊥AN ，所以AM →·AN →＝(x 1＋2，y 1)·(x 2＋2，y 2) ＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＋y 1y 2 ＝2t 2－4m 2m 2＋2＋2×4t
m 2＋2＋4＋t 2－4m 2＋2
＝3t 2＋8t ＋4m 2＋2＝（t ＋2）（3t ＋2）m 2＋2＝0.
因为M ，N 与A 均不重合，所以t ≠－2，
所以t ＝－23，直线l 的方程是x ＝my －23，直线l 过定点T ? ??
??－23，0，
由于点T 在椭圆内部，故满足判别式大于0，
所以直线l 过定点T ?
??
??
－23，0.
热点3 圆锥曲线中的最值、范围问题
圆锥曲线中的最值问题大致可分为两类：一是涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；二是求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时求解与之有关的一些问题．
(2015·浙江卷)已知椭圆x 22
＋y 2
＝1上两个不同的点
A ，
B 关于直线y ＝mx ＋1
2
对称．
(1)求实数m 的取值范围；
(2)求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点)． 解：(1)由题意知m ≠0，
可设直线AB 的方程为y ＝－1
m
x ＋b.
由?????x 22
＋y 2＝1，y ＝－1
m x ＋b
消去y ，得
? ??
??12＋1m 2x 2－2b
m x ＋b 2－1＝0.
因为直线y ＝－1m x ＋b 与椭圆x 2
2＋y 2＝1有两个不同的交点，
所以Δ＝－2b 2＋2＋4
m
2>0.①
将线段AB 中点M ? ??
??2mb m 2＋2，m 2
b m 2＋2代入直线方程y ＝mx ＋1
2，解
得b ＝－m 2＋2
2m 2
.②
由①②得m<－
63或m>63
. (2)令t ＝1m ∈? ????－62，0∪?
????0，62，
则|AB|＝t 2＋1·
－2t 4＋2t 2＋
3
2t 2＋
12
，
且O 到直线AB 的距离为d ＝t 2
＋
12
t 2＋1.
设△AOB 的面积为S(t)，所以 S(t)＝12|AB|·d ＝
12
－2? ??
??t 2－122＋2≤2
2，
当且仅当
t 2
＝1
2时，等号成立．
故△AOB 面积的最大值为2
2
.
圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是代数法，从代数的角度考虑，通过建立函数、不等式等模型，利用二次函数法和基本不等式法、换元法、导数法等方法求最值；二是几何法，从圆锥曲线的几何性质的角度考虑，根据圆锥曲线几何意义求最值．
【变式训练】 已知椭圆C 1：y 2a 2＋x 2
b 2＝1(a>b>0)与抛物线C 2：
x 2＝2py(p>0)有一个公共焦点，抛物线C 2的准线l 与椭圆C 1有一坐标是(2，－2)的交点．
(1)求椭圆C 1与抛物线C 2的方程；
(2)若点P 是直线l 上的动点，过点P 作抛物线的两条切线，切点分别为A ，B ，直线AB 与椭圆C 1分别交于点E ，F ，求OE →·OF →的取值范围．
2018年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷2） 理科数学 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1． 12i 12i + = - A． 43 i 55 --B． 43 i 55 -+C． 34 i 55 --D． 34 i 55 -+ 2．已知集合() {} 223 A x y x y x y =+∈∈ Z Z ，≤，，，则A中元素的个数为 A．9 B．8 C．5 D．4 3．函数()2 e e x x f x x - - =的图像大致为 4．已知向量a，b满足||1 = a，1 ?=- a b，则(2) ?-= a a b A．4 B．3 C．2 D．0 5．双曲线 22 22 1(0,0) x y a b a b -=>>3 A．2 y x =B．3 y x =C． 2 y=D． 3 y= 6．在ABC △中， 5 cos 2 C 1 BC=，5 AC=，则AB= A．2B30C29 D．25 7．为计算 11111 1 23499100 S=-+-++- …，设计了右侧的程序框图，则在空白 框中应填入 A．1 i i=+ B．2 i i=+ C．3 i i=+ D．4 i i=+ 8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723 =+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是 开始 0,0 N T == S N T =- S 输出 1 i= 100 i< 1 N N i =+ 1 1 T T i =+ + 结束 是否
2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国I 卷） 理科数学 解析人 跃华 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的、号填写在答题卡上， 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、 选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 已知集合{}{} 131x A x x B x =<=<，，则（） A ．{}0=U A B x x D ．A B =?I 【答案】A 【解析】{}1A x x =<，{}{}310x B x x x =<=< ∴{}0A B x x =
3. 设有下面四个命题（） 1p ：若复数z 满足1 z ∈R ，则z ∈R ； 2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3p ：若复数12z z ，满足12z z ∈R ，则12z z =； 4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R ． A ．13p p ， B ．14p p ， C ．23p p ， D ．24p p ， 【答案】B 【解析】1:p 设z a bi =+，则 2211a bi z a bi a b -==∈++R ，得到0b =，所以z ∈R .故1P 正确； 2:p 若z =-21，满足2z ∈R ，而z i =，不满足2z ∈R ，故2p 不正确； 3:p 若1z 1=，2z 2=，则12z z 2=，满足12z z ∈R ，而它们实部不相等，不是共轭复 数，故3p 不正确； 4:p 实数没有虚部，所以它的共轭复数是它本身，也属于实数，故4p 正确； 4. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若4562448a a S +==，，则{}n a 的公差为（） A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 【答案】C 【解析】45113424a a a d a d +=+++= 6165 6482 S a d ?=+ = 联立求得11 272461548a d a d +=???+=??① ② 3?-①②得()211524-=d 624d = 4d =∴ 选C 5. 函数()f x 在()-∞+∞，单调递减，且为奇函数．若()11f =-，则满足()121f x --≤≤的 x 的取值围是（） A ．[]22-， B ．[]11-， C ．[]04， D ．[]13， 【答案】D 【解析】因为()f x 为奇函数，所以()()111f f -=-=， 于是()121f x --≤≤等价于()()()121f f x f --≤≤| 又()f x 在()-∞+∞，单调递减 121x ∴--≤≤ 3x ∴1≤≤ 故选D
绝密★启用前 2018年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1．设1i 2i 1i z -= ++，则||z = A ．0 B ． 12 C ．1 D 2．已知集合{ } 2 20A x x x =-->，则A =R e A ．{} 12x x -<< B ．{} 12x x -≤≤ C ．}{}{ |1|2x x x x <->U D ．}{}{ |1|2x x x x ≤-≥U 3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：
建设前经济收入构成比例 建设后经济收入构成比例 则下面结论中不正确的是 A ．新农村建设后，种植收入减少 B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =，则=5a A ．12- B ．10- C ．10 D ．12 5．设函数32()(1)f x x a x ax =+-+，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为 A ．2y x =- B ．y x =- C ．2y x = D ．y x = 6．在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =u u u r A ．3144 AB AC -u u u r u u u r B ．1344 AB AC -u u u r u u u r C ．3144 AB AC +u u u r u u u r D ．1344 AB AC +u u u r u u u r 7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为
2018年高考理科全国三卷 一．选择题 1、已知集合,则( ) A. B. C. D. 2、( ) A. B. C. D. 3、中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来,构建的突出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头,若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( ) A. B. C. D. 4、若,则( ) A. B. C. D. 5、的展开方式中的系数为( ) A.10 B.20 C.40 D.80 6、直线分别与轴,轴交于两点,点在圆上,则 面积的取值范围是( ) A. B. C. D. 7、函数的图像大致为( )
A. B. C. D. 8、某群体中的每位成员使用移动支付的概率为,各成员的支付方式相互独立,设为该群体的为成员中使用移动支付的人数,,则( ) A.0.7 B.0.6 C.0.4 D.0.3 9、的内角的对边分别为,若的面积为则=( ) A. B. C. D. 10、设是同一个半径为的球的球面上四点,为等边三角形且其面积为,则三棱锥体积的最大值为( ) A. B. C. D. 11、设是双曲线的左,右焦点,是坐标原点,过作的一条逐渐近线的垂线,垂足为,若,则的离心率为( ) A. B.2 C. D. 12、设则( ) A. B. C. D. 13、已知向量,若,则 14、曲线在点处的切线的斜率为,则 15、函数在的零点个数为 16、已知点和抛物线,过的焦点且斜率为的直线与交于两点。若 ,则 三．解答题
17、等比数列中, 1.求的通项公式; 2.记为的前项和,若,求 18、某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式,为比较两种生产方式的效率,选取名工人,将他们随机分成两组,每组人,第一组工人用第一种生产方式,第二组工人用第二种生产方式,根据工人完成生产任务的工作时间(单位:)绘制了如下茎叶图: 1.根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高?并说明理由; 2.求名工人完成生产任务所需时间的中位数,并将完成生产任务所需时间超过和不超过的工人数填入下面的列联表: 超过不超过 第一种生产方 式 第二种生产方 式 3.根据中的列联表,能否有的把握认为两种生产方式的效率有差异? 附: 19、如图,边长为的正方形所在的平面与半圆弧所在的平面垂直,是上异于的点
2018年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。 1、设,则= z =1?i 1+i +2i |z|A.0 B. c.1 D. 1222、已知集合A=，则?R A= {x │x 2?x ?2>0}A. B. {x │?1
2018年普通高等学校招生全国统一考试(理科数学全国卷3) 数 学(理科) 一、选择题：本题共12小题。每小题5分. 1.已知集合{}10A x x =-≥，{}2,1,0=B ，则=?B A （ ） .A {}0 .B {}1 .C {}1,2 .D {}0,1,2 2.()()=-+i i 21 （ ） .A i --3 .B i +-3 .C i -3 .D i +3 3.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头，若如图摆放的木构件与某一卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( ) 4. 若1 sin 3α= ，则cos 2α= （ ） .A 89 .B 79 .C 79- .D 89- 5. 25 2()x x +的展开式中4x 的系数为 （ ） .A 10 .B 20 .C 40 .D 80 6.直线20x y ++=分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，点P 在圆()2 2 22x y -+=上，则ABP ?面积 的取值范围是 （ ） .A []2,6 .B []4,8 .C .D ?? 7.函数422y x x =-++的图像大致为 （ ）
8.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为P ，各成员的支付方式相互独立，设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，4.2=DX ,()()64=<=X P X P ，则=P （ ） .A 0.7 .B 0.6 .C 0.4 .D 0.3 9.ABC ?的内角C B A 、、的对边分别c b a 、、,若ABC ?的面积为222 4 a b c +-，则=C （ ） . A 2π . B 3π . C 4π . D 6 π 10.设D C B A 、、、是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且其面积为，则三棱锥ABC D -积的最大值为 （ ） .A .B .C .D 11.设21F F 、是双曲线C : 22 221x y a b -=（0,0>>b a ）的左、右焦点，O 是坐标原点，过2F 作C 的一 条渐近线的垂线，垂足为P ，若1PF =，则C 的离心率为 （ ） .A .B 2 .C .D 12.设3.0log 2.0=a ，3.0log 2=b ，则 （ ） .A 0a b ab +<< .B 0a b a b <+< .C 0a b a b +<< .D 0ab a b <<+
2018年全国高考I I 卷理科数学试题及答案 https://www.doczj.com/doc/e67879352.html,work Information Technology Company.2020YEAR
绝密★启用前 2018年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．作答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析：根据复数除法法则化简复数，即得结果. 详解：选D. 点睛：本题考查复数除法法则，考查学生基本运算能力. 2. 已知集合，则中元素的个数为 A. 9 B. 8 C. 5 D. 4 【答案】A 【解析】分析：根据枚举法，确定圆及其内部整点个数. 详解：， 当时，； 当时，； 当时，； 所以共有9个，选A. 点睛：本题考查集合与元素关系，点与圆位置关系，考查学生对概念理解与识别.
3. 函数的图像大致为 A. A B. B C. C D. D 【答案】B 【解析】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像. 详解：为奇函数，舍去A, 舍去D; ， 所以舍去C；因此选B. 点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复． 4. 已知向量，满足，，则 A. 4 B. 3 C. 2 D. 0 【答案】B 【解析】分析：根据向量模的性质以及向量乘法得结果. 详解：因为 所以选B. 点睛：向量加减乘： 5. 双曲线的离心率为，则其渐近线方程为
2018年数学高考全国卷3答案
参考答案： 13. 14. 15. 16.2 17.(12分) 解：（1）设的公比为，由题设得. 由已知得，解得（舍去），或. 故或. （2）若，则.由得，此方 程没有正整数解. 若，则.由得，解得. 综上，. 18.（12分） 解：（1）第二种生产方式的效率更高. 理由如下： （i ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟.因此第二种生产方式的效率更高. 12 3-3{}n a q 1 n n a q -=4 2 4q q =0q =2q =-2q =1 (2)n n a -=-1 2n n a -=1 (2) n n a -=-1(2)3 n n S --= 63 m S =(2) 188 m -=-1 2n n a -=21 n n S =-63 m S =2 64 m =6m =6m =
（ii ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟.因此第二种生产方式的效率更高. （iii ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟，因此第二种生产方式的效率更高. （iv ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高.学科*网 以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分. （2）由茎叶图知. 列联表如下： 7981 802 m +==
2018年普通高等学校招生全国统一考试 全国Ⅰ卷 理科数学 一、 选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每个小题给出得四个选项中, 只有一项就是符合题目要求得。 1、设,则 A 、0 B 、 C 、1 D 、 2、已知集合则 A 、 B 、 C 、 D 、 3、某地区经过一年得新农村建设,农村得经济收入增加了一倍,实现翻番、为更好地了解该地区农村得经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村得经济收入构成比例,得到如下饼图: 则下面结论不正确得就是 A 、新农村建设后,种植收入减少 B 、新农村建设后,其她收入增加了一倍以上 C 、新农村建设后,养殖收入增加了一倍 D 、新农村建设后,养殖收入与第三产业收入得总与超过了经济收入得一半 4、记为等差数列得前项与、若则 A 、-12 B 、-10 C 、10 D 、12 5、设函数若为奇函数,则曲线在点处得切线方程为 A 、 B 、 C 、 D 、 6、在中,AD 为BC 边上得中线,E 为AD 得中点,则 A 、 B 、 C 、 D 、 7、某圆柱得高为2,底面周长为16,其三视图如右图、 圆柱表面上得点M 在正视图上得对应点为A,圆柱表 面上得点N 在左视图上得对应点为B,则在此圆柱侧 面上,从M 到N 得路径中,最短路径得长度为 A 、 B 、 C 、3 D 、2 8、设抛物线C:得焦点为F,过点且斜率为得直线与C 交于M,N 两点,则 A 、5 B 、6 C 、7 D 、8 9.已知函数若存在2个零点,则得取值范围就是 A 、 B 、 C 、 D 、 10、下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究得几何图形,此图由三个半圆构成,三个半圆得直径分别为直角三角形ABC 得斜边BC,直角边AB,AC 、 得三边所围成得区域记为Ⅰ,黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为Ⅲ、在整个图形中随机取一点,此点取自Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ得概率分别记为则 60% 30% 6% 4% 种植收入 第三产业收入 其她收入 养殖收入 建设前经济收入构成比例 37% 30% 28% 5% 种植收入 养殖收入 其她收入 第三产业收入 建设后经济收入构成比例 A B
2018年普通高等学招生全国统一考试 （全国一卷）理科数学 一、选择题：本题有12小题，每小题5分，共60分。 1、设z=，则|z|= A、0 B、 C、1 D、 2、已知集合A={x|x2-x-2>0}，则A= A、{x|-1
4、记S n为等差数列{a n}的前n项和，若3S3=S2+S4，a1=2，则a5= A、-12 B、-10 C、10 D、12 5、设函数f（x）=x3+(a-1)x2+ax，若f（x）为奇函数，则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程 为： A、y=-2x B、y=-x C、y=2x D、y=x 6、在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则= A、-- B、-- C、-+ D、- 7、某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图，圆柱表面上的点M在正视图上的对应点 为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为 A、 B、 C、3 D、2
8.设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（-2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则 ·= A.5 B.6 C.7 D.8 9.已知函数f（x）=g（x）=f（x）+x+a，若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是 A. [-1，0） B. [0，+∞） C. [-1，+∞） D. [1，+∞） 10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形。此图由三个半圆构成，三个半圆的直 径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC. △ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ。在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则 ?p1=p2 ?p1=p3 ?p2=p3 ?p1=p2+p3
2018 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全国统一考试 理 科 数 学 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．设121i z i i -= ++，则z =（ ） A ．0 B ． 12 C ．1 D 2．已知集合{}2|20A x x x =-->，则A =R e（ ） A ．{}|12x x -<< B ．{}|12x x -≤≤ C ．{} {}|1|2x x x x <-> D ．{} {}|1|2x x x x -≤≥ 3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图： 则下面结论中不正确的是（ ） A ．新农村建设后，种植收入减少 B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若3243S S S =+，12a =，则3a =（ ） A ．12- B ．10- C ．10 D ．12 5．设函数()()321f x x a x ax =+-+．若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()00，处的切线方程为（ ） A ．2y x =- B ．y x =- C ．2y x = D ．y x =
6．在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =（ ） A ．31 44AB AC - B ．13 44AB AC - C ． 31 44 AB AC + D ． 13 44 AB AC + 7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图所示，圆柱表面上的点 M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ， 则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为（ ） A ． B ． C ．3 D ．2 8．设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过点()20-，且斜率为 2 3 的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ?=（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 9．已知函数()0 ln 0x e x f x x x ?=?>? ，≤，，()()g x f x x a =++， 若()g x 存在2个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．[)10-， B ．[)0+∞， C ．[)1-+∞， D ．[)1+∞， 10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分 别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ，ABC △的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ，在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为1p ，2p ，3p ，则（ ） A ．12p p = B ．13p p = C ．23p p = D ．123p p p =+ 11．已知双曲线2 213 x C y -=：，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交 点分别为M ，N ．若OMN △为直角三角形，则MN =（ ） A ． 32 B ．3 C ． D ．4 12．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面 积的最大值为（ ）
2018 年普通高等学校招生全国统一考试（ II 卷） 理科数学 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1． 1 2i 1 2i 4 3 4 3 i 3 4 3 4 A ． i B ． 5 C ． i D ． i 5 5 5 5 5 5 5 2．已知集合 A x ，y x 2 y 2≤3 ，x Z ，y Z ，则 A 中元素的个数为 A ．9 B ． 8 C ． 5 D ． 4 3．函数 f e x e x 的图像大致为 x x 2 A B C D 4．已知向量 a 、 b 满足 | a | 1 ， a b 1 ，则 a (2a b ) A ．4 B ． 3 C ． 2 D ． 0 2 2 5．双曲线 x 2 y 2 1( a 0, b 0) 的离心率为 3 ，则其渐近线方程为 a b A ． y 2x B ． y 3x C ． y 2 D ． y 3 x x 2 2 6．在 △ABC 中， cos C 5 ，BC 1 ， AC 5，则 AB 开始 2 5 N 0,T A ．4 2 B ． 30 C ． 29 D ．2 5 i 1 1 1 1 1 1 7．为计算 S 1 3 ? 99 ，设计了右侧的程序框图，则在 是 100 否 2 4 100 i 空白框中应填入 1 A ． i i 1 N N S N T i B ． i i 2 T T 1 输出 S i 1 C ． i i 3 结束 D ． i i 4 8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于 2 的偶数可以 表示为两个素数的和”，如 30 7 23 ．在不超过 30 的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于 30 的概率是 1 B ． 1 1 1 A ． 14 C ． D ． 12 15 18 ABCD A B C D AD DB
姓名： 2018年普通高等学校招生全国统一考试 (新课标Ⅰ卷) 理科数学 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．设，则（） A．0 B．C．D． 2．已知集合，则（） A．B． C．D． 3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图： 则下面结论中不正确的是（） A．新农村建设后，种植收入减少 B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4．记为等差数列的前项和．若，，则（） A．B．C．D．12
5．设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为（）A．B．C．D． 6．在中，为边上的中线，为的中点，则（） A．B． C．D． 7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图所示，圆柱表面上的点 在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为， 则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为（） A．B．C．D．2 8．设抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与交于，两点， 则（） A．5 B．6 C．7 D．8 9．已知函数，，若存在2个零点，则的取值范围是（）A．B．C．D． 10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边，直角边，，的三边所围成 的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ，在整个图形中随机取一 点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为，，，则（） A．B．C．D． 11．已知双曲线，为坐标原点，为的右焦点，过的直线与的两条渐近线的交点分别为，．若为直角三角形，则（） A．B．3 C．D．4 12．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为（） A．B．C．D．
绝密★启用前 2018年全国卷3普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 学生姓名：年级: 任课教师：试卷审核： 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则 ( ) A ． B ． C ． D ． 2．（） A ． B ． C ． D ． 3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（） 4．若，则（） A ． B ． C ． D ． 5．的展开式中的系数为（） A ．10 B ．20 C ．40 D ．80 6．直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是（） A ． B ． C ． D ． {}|10A x x =-≥{}012B =，，A B = {}0{}1{}12， {}012， ，()()1i 2i +-=3i --3i -+3 i -3i +1 sin 3 α=cos 2α=79 79 - 89 - 5 22x x ? ?+ ?? ?4x 20x y ++=A B P ()2 222x y -+=ABP △[]26， []48 ， ??
2018年普通高等学校招生全国统一考试（III卷） 理科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则 A．B．C．D． 2． A．B．C．D． 3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是 4．若，则 A．B．C．D． 5．的展开式中的系数为 A．10 B．20 C．40 D．80 6．直线分别与轴，轴交于、两点，点在圆上，则面积的取值范围是 A．B．C．D．
7．函数的图像大致为 8．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为，各成员的支付方式相互独立，设为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，，，则 A．B．C．D． 9．的内角的对边分别为，，，若的面积为，则 A．B．C．D． 10．设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为A．B．C．D． 11．设是双曲线（）的左、右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为A．B．2 C．D． 12．设，，则 A．B．C．D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知向量，，．若，则________． 14．曲线在点处的切线的斜率为，则________． 15．函数在的零点个数为________． 16．已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点．若 ，则________． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须 作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．（12分） 等比数列中，．
2018高考理科数学全国一卷 一．选择题 1.设则( ) A. B. C. D. 2、已知集合 ,则( ) A. B. C. D. 3、某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番。为更好地了解该地区农村的经济收入变 化情况,统计了该地区系农村建设前 后农村的经济收入构成比例。得到 如下饼图: 则下面结论中不正确的是( ) A.新农村建设后,种植收入减少 B.新农村建设后,其他收入增加了一倍以上 C.新农村建设后,养殖收入增加一倍 D.新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4、记为等差数列的前项和,若,则( ) A.-12 B.-10 C.10 D.12 5、设函数,若为奇函数,则曲线在点处的切线方程为( ) A. B. C. D. 6、在中,为边上的中线,为的中点,则( ) A. B. C. D. 7、某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如下图。圆柱表面上的点M在正视 图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面 上,从M到N的路径中,最短路径的长度为( ) A. B. C. D. 8、设抛物线的焦点为,过点且斜率为的直线与交于两点,则( ) A.5 B.6 C.7 D.8
9、已知函数,,若存在个零点,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 10、下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形,此图由三个车圈构成,三个半圆的直径分别为直角三角形 的斜边,直角边.的三边所围成的区域记为Ⅰ,黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为Ⅲ,在整个图形中随机取一点,此点取自Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别记为,则( ) A. B. C. D. 11、已知双曲线,为坐标原点,为的右焦点,过的直线 与的两条渐近线的交点分别为若为直角三角形,则( ) A. B. C. D. 12、已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面所成的角都相等,则截此正方体所得截面面积的最大值为( ) A. B. C. D. 13、若满足约束条件则的最大值为。 14、记为数列的前n项的和,若,则。 15、从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有种.(用数 字填写答案) 16、已知函数,则的最小值是。 三解答题： 17、在平面四边形中, 1.求; 2.若求 18、如图,四边形为正方形,分别为的中点,以 为折痕把折起,使点到达点的位置,且. 1. 证明:平面平面; 2.求与平面所成角的正弦值
绝密★启用前 2017年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷5页，23小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B 铅笔将 试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A ．{|0}A B x x =U D ．A B =?I 2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A ． 14 B ． π8 C ．12 D ． π4 3．设有下面四个命题 1p ：若复数z 满足1 z ∈R ，则z ∈R ； 2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =；
2018年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（5分）（2018?新课标Ⅰ）设z=+2i，则|z|=（） A．0 B．C．1 D． 2．（5分）（2018?新课标Ⅰ）已知集合A={x|x2﹣x﹣2＞0}，则?R A=（）A．{x|﹣1＜x＜2}B．{x|﹣1≤x≤2}C．{x|x＜﹣1}∪{x|x＞2}D．{x|x≤﹣1}∪{x|x≥2} 3．（5分）（2018?新课标Ⅰ）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图： 则下面结论中不正确的是（） A．新农村建设后，种植收入减少 B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4．（5分）（2018?新课标Ⅰ）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若3S3=S2+S4，a1=2，则a5=（） A．﹣12 B．﹣10 C．10 D．12 5．（5分）（2018?新课标Ⅰ）设函数f（x）=x3+（a﹣1）x2+ax．若f（x）为奇函数，则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为（）
A．y=﹣2x B．y=﹣x C．y=2x D．y=x 6．（5分）（2018?新课标Ⅰ）在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则=（） A．﹣B．﹣C．+D．+ 7．（5分）（2018?新课标Ⅰ）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（） A．2B．2 C．3 D．2 8．（5分）（2018?新课标Ⅰ）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（﹣2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则?=（） A．5 B．6 C．7 D．8 9．（5分）（2018?新课标Ⅰ）已知函数f（x）=，g（x）=f（x）+x+a．若 g（x）存在2个零点，则a的取值范围是（） A．[﹣1，0）B．[0，+∞）C．[﹣1，+∞）D．[1，+∞） 10．（5分）（2018?新课标Ⅰ）如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC．△ABC的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则（）