2.1.2椭圆的几何性质
教学目标
熟练掌握椭圆的范围，对称性，顶点等简单几何性质
掌握标准方程中c b a ,,的几何意义，以及e c b a ,,,的相互关系
教学重点：椭圆的几何性质，椭圆的第二定义、椭圆的准线方程 教学难点：如何贯彻数形结合思想，运用曲线方程研究几何性质 三、本节知识理解
精题精讲
例1 求椭圆40025162
2
=+y x 的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出它的图形．
变式训练：在同一坐标系中画出下列椭圆的简图,并求出顶点坐标和离心率。
（1）
116252
2=+y x （2）
19
252
2=+y x
变式训练：分别在两个坐标系中，画出以下椭圆的简图并比较它们的离心率。
（1）14
92
2=+y x （2）
136
492
2=+y x
例2. 分别求出符合下列条件的椭圆的标准方程. （1）椭圆过(3，0)点，离心率e =
3
6。 （2）过点（3，-2）且与椭圆2
2
4x 9y 36+=有相同焦点。
（3）长轴长与短轴长之和为10，焦距为
（4）中心在原点，对称轴在坐标轴上，x 轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂
.
变式训练：求满足下列条件的椭圆的离心率.
（1）若椭圆两准线间的距离是该椭圆焦距的2倍.
（2）若椭圆的一个顶点与它的两个焦点构成的三角形是等边三角形.
（3）设12F F ,为椭圆22
22x y 1a b 0a b
()+=>>的两个焦点，以1F 为圆心过椭圆中心的圆与椭
圆有一个交点M ，若直线2F M 与圆1F 相切.
（4）若12F F ,分别为椭圆22
22x y 1a b 0a b
()+=>>的左、右焦点，P 是以12F F 为直径的圆与椭
圆的一个交点，且1221PFF 5PF F ∠=∠.
例题3已知F1，F2是椭圆的两个焦点，∠F1PF2=60°（1）求椭圆 离心率的取值范围 （2）求证：△F1PF2的面积只与椭圆短轴有关
变式训练：已知P 为椭圆22
1169
X Y +=上的一点，F1，F2是两个焦点，∠F1PF2=60°，求△F1PF2的面积
当堂反馈
1、椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则离心率为
2.椭6、椭圆
22189x y m +=+的离心率为1
3
，则m=
3已知椭圆中心在原点，焦点在y 轴上，焦距为4，离心率为2/3，则椭圆方程为
4椭圆22
221x y a b
+=（a>b>0）左焦点1(,0)F c -，两顶点1(,0),(0,),A a B b F -到直线AB 距离
为
7
，求离心率。
课后作业 一、填空题 1．已知2
0πα<<，方程1cos sin 2
2=+ααy x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则α的取值范
围 。
2．设椭圆1422=+m y x 的离心率为2
1，则=m 。 3．中心在原点，焦点在x 轴上，若长轴的长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭
圆方程为 。
4．已知1F 、2F 分别为椭圆122
22=+b y a x 的左、右焦点。点P 在椭圆上，2POF ?是面积为
3的正三角形，则=2b 。
5．已知椭圆0222
2
=-+y x 的两焦点为1F 和2F ，B 为短轴的一个端点，则21F BF ?的外接圆的方程是 。
6．已知方程
1232
2=-++k
y k x ，表示焦点在y 轴的椭圆，则k 的取值范围是 。 7．椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则它的离心率 。 二、解答题
8．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）过点1(-A ，)2-且与椭圆19
62
2=+y x 的两个焦点相同； （2）过点3(P ，)2-，32(-Q ，)1
9．设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端的连线互相垂直，且此焦
点与长轴上较近的端点距离为41），求此椭圆方程
10．设M 是椭圆)0(122
22>>=+b a b y a x 上一点，1F ，2F 为焦点，如果?=∠7521F MF ，
12F MF ∠?=15，求椭圆的离心率。
11．设21,F F 为椭圆14
92
2=+y x 的两个焦点，P 为椭圆上的一点，已知、21,F F 是一个直角三角形的三个顶点，且21PF PF >，求2
1
PF PF 的值。
2.2.1 椭圆及其标准方程 【教学目标】1、掌握椭圆的定义；2、掌握椭圆的方程及其推导；3、会求椭圆方程。 【教学重点】椭圆的标准方程推导和应用。 【教学难点】椭圆标准方程的推导。 【教学过程】 一、引入： 1、提出问题： （1）动点到两定点之间的距离之和等于这两定点之间距离的点的轨迹是什么？ （2）将等于改为小于呢？轨迹怎样？ （3）将等于改为大于呢？轨迹怎样？ 2、椭圆的定义： 我们把 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫做椭圆的 ，两个定点的距离叫做椭圆的 。 3、求椭圆方程：（建立如图的坐标系可求出椭圆的标准方程：） （1）焦点在x 轴上 建系设点： 列式： 化简： 12222=+b y a x （2 22b c a =-） （2）焦点在y 轴上 建系设点： 列式： 化简： 122 22=+b x a y （22c a -二、基础自测 1、判断下列方程是否表上椭圆，若是，求出c b a ,,的值①12222=+y x ；②12422=+y x ；③12 42 2=-y x ；④369422=+x y
2、椭圆19 162 2=+y x 的焦距是 ，焦点坐标为 ；若CD 为过左焦点1F 的弦，则CD F 2?的周长为 3、椭圆 1169 252 2=+y x 的焦点坐标是__________________________ 4、1,6==c a ,焦点在y 一轴上的椭圆的标准方程是 三、新授内容： 例1、求适合下列条件的椭圆的标准方程。 （1）两个焦点的坐标)0,4(1-F ，)0,4(2F 。椭圆上一点P 到两焦点的距离之和等于10； （2）)2,0(1-F ，)2,0(2F 且椭圆过点（23- ，2 5 -）； （3）焦距为6，且1=-b a 。 【变式拓展1】、求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点坐标分别是(-3，0)，(3，0)，椭圆经过点(5，0). (2)两个焦点坐标分别是(0，5)，(0，-5)，椭圆上一点P 到两焦点的距离和为26. 例2、方程10)2()2(2222=+-+++y x y x 化简后的结果为 . 【变式拓展2】、化简方程：)3()3(222 2 =-++++y x y x 例3、已知椭圆过点M （4，3-），N （32，3），求椭圆的标准方程。
题型一、求椭圆的标准方程 例1．求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）两个焦点的坐标分别是(4,0)-、(4,0)，椭圆上一点P 到两焦点距离的和等于10； （2）两个焦点的坐标分别是(0,2)-、(0,2)，并且椭圆经过点35 (,)22 -； （3）焦距为6，1a b -=； （4）椭圆经过两点 35 (,) 22 - ，。 例2、（1）与圆C 1：(x ＋3)2 ＋y 2 ＝1外切，且与圆C 2：(x －3)2 ＋y 2 ＝81内切的动圆圆心P 的轨迹方程为______________． （2）已知椭圆的焦点为1F （-1，0）和2F （1，0），P 是椭圆上的一点，且21F F 是1PF 与 2PF 的等差中项，则该椭圆的方程为 题型二、椭圆的几何性质的应用 例3、（1）椭圆3 122 2y x + =1的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上.如果线段PF 1的中点在y 轴上，那么|PF 1|是|PF 2|的（ ） A.7倍 B.5倍 C.4倍 D.3倍 （2）如图，A 、B 、C 分别为椭圆22 221x y a b +=（a>b>0）的顶点 和焦点，若∠ABC=900 ，则该椭圆的离心率为 例4、已知点P 是椭圆22 221x y a b +=（0a b >>）上一点，1F 、 2F 是椭圆的两个焦点，且椭圆上存在一点P 使 1260F PF ∠=?.()1求椭圆离心率e 的取值范围；()2求 12PF F △的面积 答案： （1）)1,21[ （2）2 3 3b 题型三、直线与椭圆的综合应用 例5．设椭圆中心在坐标原点，(20)(01)A B ，， ，是它的两个顶点，直线)0(>=k kx y 与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E 、F 两点． （Ⅰ）若6ED DF =，求k 的值； （Ⅱ）求四边形AEBF 例6、已知1F 、2F 分别为椭圆1C :22 221(0)y x a b a b +=>>的上、下焦点,其中1F 也是抛物 线2 2:4C x y =的焦点,点M 是1C 与2C 在第二象限的交点,且15||3 MF =(1)求椭圆1C 的方程;
椭圆的标准方程（1） 学习目标: 1、理解椭圆的定义； 2、掌握椭圆的标准方程的推导及其标准方程. 学习重难点：椭圆的定义及其标准方程，难点是方程的推导 学习内容： 观察探究，概括定义： 用两个图钉将细绳固定在一张硬纸板上，用铅笔拉紧细绳，并移动铅笔，观察铅笔移动的轨迹，思考下列问题： （1）所得轨迹是什么图形？ （2）铅笔移动的过程中，满足什么几何条件？ 定义：椭圆______________________________________________________ _________________________________________________________________ 恰当建系，推导方程： 思考1：观察椭圆的形状，建立适当的坐标系，求椭圆的方程． 按你建立的坐标系时，椭圆方程为：______ ___ 椭圆的焦点是_________________，a 、b 、c 之间的关系是_______________． 思考2．如图，如果焦点1F 、2F 在y 轴上，且1F 、 2F 的坐标分别为()c -,0，()c ,0，a ，b 的意义和上面 相同，那么椭圆的标准方程是__________________． M 1F 2F
思考3：两种形式的椭圆标准方程有什么异同？ 例1、(1)已知椭圆的方程为： ，则a=_____，b=_______，c=_______，焦点坐标为：____________焦距等于______;若CD 为过左焦点F 1的弦，则△F 2CD 的周长为________ (2)已知椭圆的方程为： ，则a=_____，b=_______，c=_______， 焦点坐标为：___________焦距等于__________;曲线上一点P 到左焦点F 1的距 离为3，则点P 到另一个焦点F 2的距离等于_________，则△F 1PF 2的周长为___________ 练习：求下列椭圆的焦点和焦距。 14 5)1(22=+y x 162)2(22=+y x 例2．写出适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）4=a ，1=b ，焦点在x 轴上； （2）4=a ，15=b ，焦点在y 轴上； 练：求焦点为()02， -，()02，，并且经过点?? ? ??-2325，的椭圆标准方程． 变式：若方程4x 2+ky 2=1表示的曲线是焦点在y 轴上的椭圆，求k 的取值范围。 例3、已知一个运油车上的贮油罐横截面的外轮廓线是一个椭圆，它的焦距为2.4 m ，外轮廓线上的点到两个焦点的距离和为3 m ，求这个椭圆的标准方程 116 252 2=+y x 15 42 2=+y x
能力拓展提升 一、选择题 11．已知方程x 2|m |－1＋y 2 2－m ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是( ) A ．m <2 B ．1
PF 1的中点M 在y 轴上，那么点P 的纵坐标是( ) A ．±34 B ．±22 C ．±32 D ．±34 [答案] C [解析] 设F 1(－3,0)，∵PF 1的中点M 在y 轴上，且MO ⊥x 轴，∴P 点横坐标为3，代入x 212＋y 2 3 ＝1中得， y 2＝34，∴y ＝±32 . 14．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (0，－2)和C (0,2)，顶点B 在椭圆y 212＋x 2 8＝1上，则sin A ＋sin C sin B 的值是( ) A. 3 B ．2 C ．2 3 D ．4 [答案] A [解析] 由椭圆定义得|BA |＋|BC |＝43， 又∵sin A ＋sin C sin B ＝|BC |＋|BA ||AC |＝43 4＝3，故选A. 二、填空题 15．已知椭圆的焦点是F 1(－1,0)，F 2(1,0)，P 是椭圆上的一点，若|F 1F 2|是|PF 1|和|PF 2|的等差中项，则该椭圆的方程是________． [答案] x 24＋y 2 3 ＝1 [解析] 由题意得2|F 1F 2|＝|PF 1|＋|PF 2|， ∴4c ＝2a ，∵c ＝1，∴a ＝2. ∴b 2＝a 2－c 2＝3，
椭圆的标准方程与性质 教学目标： １了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用; 2 掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质. 高考相关点: 在高考中所占分数:13分 考查出题方式:解答题的形式，而且考查方式很固定，涉及到的知识点有:求曲线方程,弦长,面积，对称关系，范围问题,存在性问题。 涉及到的基础知识 1．引入椭圆的定义 在平面内与两定点Ｆ１，Ｆ２的距离的和等于常数(大于|F1F２|=2c）的点的轨迹叫做椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P={M||MF1｜＋|ＭF2|＝2a｝，｜F1F2|＝２c,其中a＞0,c>０,且a,c为常数： 有以下３种情况 (１）若a＞c,则集合P为椭圆； (2）若a＝c，则集合P为线段； (3)若a 标准方程x2 ａ2 +＼ｆ（y２,ｂ2）＝1 （a>ｂ>0) ＼f(y2，a2）＋错误!=1 (a>ｂ>０) 图形 性质范围 －a≤x≤a -b≤y≤b -b≤ｘ≤b -a≤ｙ≤a 对称性对称轴:坐标轴;对称中心：原点 顶点 A1(-a,0),A２(a,０） Ｂ1(０,-b）,B2(0,b) A１(0，－a),A２(0，a) B1(－ｂ,0),B2(b,0）轴长轴A1A2的长为2ａ;短轴B1B2的长为2b 焦距｜F１Ｆ２|=2c 离心率ｅ=错误!∈(０，1） ａ，b，c的关系c2=a2-b2题型总结 类型一椭圆的定义及其应用 例1：如图所示，一圆形纸片的圆心为Ｏ，F是圆内一定点,M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与Ｆ重合,然后抹平纸片,折痕为ＣD，设CＤ与OM交于点P,则点P的轨迹是( ) A.椭圆? B.双曲线 C.抛物线 D.圆 【解析】根据CD是线段MF的垂直平分线.可推断出,进而可以知道 结果为定值,进而根据椭圆的定义推断出点P的轨迹【答案】根据题意知，CD是线段MF的垂直平分线．,(定值）,又显然，根 据椭圆的定义可推断出点P轨迹是以Ｆ、O两点为焦点的椭圆.所以A选项是正确的 练习1：已知Ｆ1,F２是椭圆C： 22 22 1 x y a b +=(a>b＞0)的两个焦点，P为椭圆C 上的一点,且 错误! 1⊥2 PF，若△PF1F２的面积为9,则ｂ＝____＿_＿_． 【解析】由题意的面积∴故答案为: 【答案】３ 练习2：已知F1，Ｆ２是椭圆错误!+错误!=１的两焦点，过点F２的直线交椭圆于A，B两点,在△AF1Ｂ中,若有两边之和是10，则第三边的长度为() A．6?B.5 Ｃ．4 D．3 椭圆的标准方程 —211尚美课堂教学案例 211课堂教学模式要求20分钟教师讲授，10分钟互动交流，10分钟练习。211教学模式”的实践，能更好地促进教师在课堂教学中合理分配时间，优化课堂结构，精心设计课堂，优化教学过程，凸显学生主体地位，发挥教师主导作用，提高课堂教学的实效性，打造高效课堂，让学生在课堂上真正做到自主学习、合作学习、探究学习，本节课按照211课堂教学模式设计。 1. 教学目标 （1）掌握椭圆的定义； （2）理解椭圆标准方程的推导过程，掌握椭圆标准方程的两种形式，会运用待定系数法求椭圆的标准方程； 2. 教学重难点 重点：椭圆的定义和椭圆标准方程的两种形式； 难点：椭圆的标准方程的建立和推导 3. 教材分析 平面解析几何问题，就是借助建立适当的坐标系，把几何问题代数化，运用代数的方法来研究几何问题，它沟通了数学内数与形、代数与几何之间的联系。椭圆、双曲线、抛物线这三种圆锥曲线是本章的重点，这几种曲线研究的问题基本一致，方法相同，所以本章重点在于研究椭圆的方程及其性质，通过求椭圆的标准方程，使学生掌握这类曲线轨迹方程的推导过程。 4. 学情分析 知识方面 （1）学生已经学习了直线和圆的方程，并初步熟悉了求曲线方程的一般方法和步骤。 （2）根据日常生活中的经验，学生对椭圆这种几何图形有了一定的认识。 学习中的困难 （1）我所带班级学生理解问题的能力稍显不足，对数学普遍感觉较难。 （2）虽然学生对椭圆这种几何图形有了一定的认识，但还没有上升到概念的水平。 （3）学生计算能力较弱，椭圆标准方程的推导过程中的复杂运算对于他们有一定难度。 5. 教学方法 在211教学模式下，要求教师成为学生学习的引导者、组织者、合作者和促进者，使教学过程成为师生交流、积极互动、共同发展的过程。根据本节内容的特点，教学过程中可充分发挥信息技术的作用，用几何画板的动态作图优势为学生的数学探究与数学思维提供支持。 【专题七】椭圆标准方程及其性质知识点大全 (一)椭圆的定义及椭圆的标准方程： ●椭圆定义：平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数 )2(2121F F a PF PF >=+ , 这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦 点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：①若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ； ②若)(2121 F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形 (二)椭圆的简单几何性： 标准方程 图形 性质 焦点 )0,(1c F -，)0,(2c F ),0(1c F -，),0(2c F 焦距 范围 a x ≤，b y ≤ b x ≤，a y ≤ 对称性 关于x 轴、y 轴和原点对称 顶点 )0,(a ±，),0(b ± ),0(a ±，)0,(b ± 轴长 长轴长12A A ,12A A =a 2，短轴长12B B ,12B B =b 2 离心率 ①(01)c e e a = << ，②21()b e a =-③2 22b a c -= （离心率越大，椭圆越扁） 1.方程中的两个参数a 与b ，确定椭圆的形状和大小，是椭圆的定型条件，焦点F 1，F 2的位置，是椭圆的定位条件，它决定椭圆标准方程的类型，常数a ，b ，c 都大于零，其中 a 最大且a 2= b 2+ c 2. 2. 方程22 Ax By C +=表示椭圆的充要条件是：ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B 。A ＞B 时，焦点在y 轴上，A ＜B 时，焦点在x 轴上。 (三)焦点三角形的面积公式：122tan 2 PF F S b θ ?=如图： ●椭圆标准方程为:122 22=+b y a x )0(>>b a ，椭圆焦点三角形：设P 为椭圆上任意一点， 12,F F 为焦点且∠12F PF θ=，则△12F PF 为焦点三角形，其面积为122tan 2 PF F S b θ ?=。 (四)通径 ：如图：通径长 2 2b MN a = ●椭圆标准方程:122 22=+b y a x )0(>>b a ， (五)点与椭圆的位置关系： （1）点00(,)P x y 在椭圆外?22 00 221x y a b +>；（2）点00(,)P x y 在椭圆上?220220b y a x +＝1； （3）点00(,)P x y 在椭圆内?2200 221x y a b +< (六)直线与椭圆的位置关系： ●设直线l 的方程为：Ax+By+C=0，椭圆122 22=+b y a x （a ﹥b ﹥0），联立组成方程 组，消去y(或x)利用判别式△的符号来确定： （1）相交：0?>?直线与椭圆相交；（2）相切：0?=?直线与椭圆相切； （3）相离：0?>b a 相交于两点 11(,)A x y 、22(,)B x y ， 把AB 所在直线方程y=kx+b ，代入椭圆方程122 22=+b y a x 整理得：Ax 2+Bx+C=0。 ●弦长公式： ① 212212 212 4)(11x x x x k x x k AB -++=-+=a k ? +=2 1（含M N F x y 椭圆的标准方程及其几何性质 1. 椭圆定义： （1）第一定义：平面内与两个定点21F F 、的距离之和为常数|)|2(222F F a a >的动点P 的轨迹叫椭圆,其中两个定点21F F 、叫椭圆的焦点. 当21212F F a PF PF >=+时, P 的轨迹为椭圆 ; ; 当21212F F a PF PF <=+时, P 的轨迹不存在; 当21212F F a PF PF ==+时, P 的轨迹为 以21F F 、为端点的线段 （2）椭圆的第二定义:平面内到定点F 与定直线l (定点F 不在定直线l 上)的距离之比是常数e (10< 之和等于10； ⑵两个焦点坐标分别是（0，－2）和（0,2）且过（23- ,2 5） (3)两个焦点坐标分别是(-3，0)，(3，0)，椭圆经过点(5，0). (4)两个焦点坐标分别是(0，5)，(0，-5)，椭圆上一点P 到两焦点的距离和为26. (5)焦点在y 轴上，与y 轴的一个交点为P (0，－10)，P 到它较近的一个焦点的距离等于2. 解：（1）因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为 122 22=+b y a x )0(>>b a 9 454 ,582,10222222=-=-=∴==∴==c a b c a c a 所以所求椭圆标准方程为 19 252 2=+y x ⑵ 因为椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为 122 22=+b x a y )0(>>b a 由椭圆的定义知， 22)225()23(2++-=a ＋22)22 5 ()23(-+- 102 11023+= 102= 10=∴a 又2=c 6410222=-=-=∴c a b 所以所求标准方程为 6 102 2=+x y 另法：∵ 42 222-=-=a c a b ∴可设所求方程14 2 2 22=-+a x a y ，后将点（23-,25）的坐标代入可求出a ，从而求出椭圆方程 (3)∵椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为： 利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程 一、教学目标： 1、知识与技能：①掌握椭圆的基本性质；②掌握利用椭圆的基本性质求椭圆的标准方程； 2、过程与方法：由椭圆的几何性质出发，培养学生分析探索能力，熟练掌握利用几何性质求椭圆标准方程的方法； 3、情感、态度与价值观：通过利用椭圆的几何性质求椭圆标准方程的学习，渗透几何性质与数形结合的思想，启发学生研究问题时，抓住问题本质，严谨思考，规范得出解答；培养学生自主学习能力； 4、高考导向：①《普通高中数学课程标准（2017年版）》第44页：经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质；②《普通高中数学课程标准（2017年版）》第45页：【学业要求】：能够掌握平面解析几何解决问题的基本过程：根据具体问题情境的特点，建立平面直角坐标系；根据几何问题和图形特点，用代数语言把几何问题转化成为代数问题；根据对几何问题（图形）的分析，探索解决问题的思路；运用代数方法得到结论；给出代数结论合理的几何解释，解决几何问题； 5、高考问题设置：①以选择、填空的形式考查利用性质求椭圆的标准方程，5分；②出现解答题的第一问求椭圆的标准方程，一般4分； 二、重点与难点： 1、重点：①利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程；难点：椭圆几何性质的实际应用； 三、教学过程 （一）复习回顾：①椭圆的几何性质；②给出椭圆的标准方程求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标。 （二）利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程 例1、（人教A 版教材第48页练习3）求适合下列条件的椭圆的标准方程： ;31,6)1(==e a x 轴上，焦点在 。，离心率等于长轴长等于5 3 20)2( . 132 36, 32,2,31 ,31,6). 0(1)1(2 222222 22=+∴=-===∴==>>=+y x c a b c a c e a b a b y a x x 椭圆的标准方程为程为：轴上，设椭圆的标准方焦点在解析：Θ 椭圆及其标准方程1 教学目标 1．掌握椭圆的定义，掌握椭圆标准方程的两种形式及其推导过程； 2．能根据条件确定椭圆的标准方程，掌握使用待定系数法求椭圆的标准方程； 3．通过对椭圆概念的引入教学，培养学生的观察水平和探索水平； 4．通过椭圆的标准方程的推导，使学生进一步掌握求曲线方程的一般方法，并渗透数形结合和等价转化的思想方法，提升使用坐标法解决几何问题的水平； 5．通过让学生大胆探索椭圆的定义和标准方程，激发学生学习数学的积极性，培养学生的学习兴趣和创新意识． 教学建议 教材分析 1．知识结构 2．重点难点分析 重点是椭圆的定义及椭圆标准方程的两种形式．难点是椭圆标准方程的建立和推导．关键是掌握建立坐标系与根式化简的方法．椭圆及其标准方程这个节教材整体来看是两大块内容：一是椭圆的定义；二是椭圆的标准方程．椭圆是圆锥曲线这个章所要研究的三种圆锥曲线中首先遇到的，所以教材把对椭圆的研究放在了重点，在双曲线和抛物线的教学中巩固和应用．先讲椭圆也与第七章的圆的方程衔接自然．学好椭圆对于学生学好圆锥曲线是非常重要的． （1）对于椭圆的定义的理解，要抓住椭圆上的点所要满足的条件，即椭圆上点的几何性质，能够对比圆的定义来理解． 另外要注意到定义中对“常数”的限定即常数要大于．这样规定是为了避免出现两种特殊情况，即：“当常数等于时轨迹是一条线段；当常数小于时无轨迹”．这样有利于集中精力进一步研究椭圆的标准方程和几何性质．但讲解椭圆的定义时注意不要忽略这两种特殊情况，以保证对椭圆定义的准确性． （2）根据椭圆的定义求标准方程，应注意下面几点： ①曲线的方程依赖于坐标系，建立适当的坐标系，是求曲线方程首先应该注意的地方．应让学生观察椭圆的图形或根据椭圆的定义实行推理，发现椭圆有两条互相垂直的对称轴，以这两条对称轴作为坐标系的两轴，不但能够使方程的推导过程变得简单，而且也能够使最终得出的方程形式整齐和简洁． ②设椭圆的焦距为，椭圆上任一点到两个焦点的距离为，令，这些措施，都是为了简化推导过程和最后得到的方程形式整齐、简洁，要让学生认真领会． ③在方程的推导过程中遇到了无理方程的化简，这既是我们今后在求轨迹方程时经常遇到的问题，又是学生的难点．要注意说明这类方程的化简方法：①方程中只有一个根式时，需将它单独留在方程的一侧，把其他项移至另一侧；②方程中有两个根式时，需将它们分别放在方程的两侧，并使其中一侧只有一项． ④教科书上对椭圆标准方程的推导，实际上只给出了“椭圆上点的坐标都适合方程“而没有证明，”方程 的解为坐标的点都在椭圆上”．这实际上是方程的同解变形问题，难度较大，对同学们不作要求． （3）两种标准方程的椭圆异同点 中心在原点、焦点分别在轴上，轴上的椭圆标准方程分别为：，．它们的相同点是：形状相同、大小相同，都有，．不同点是：两种椭圆相对于坐标系的位置不同，它们的焦点坐标也不同． 椭圆的焦点在轴上标准方程中项的分母较大； 求椭圆的标准方程 1、求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)； (2)焦点在y 轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)； . (3)经过点A (3，－2)和点B (－23，1)． . 2、求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)焦点在x 轴上，且a ＝4，c ＝2； (2)经过点A (0,2)和B ? ?? ??12，3. 3、已知一椭圆的标准方程中b ＝3，c ＝4，求此椭圆的标准方程． 4、已知椭圆过点P ? ????35，－4和点Q ? ?? ??－45，3，则此椭圆的标准方程是( A ) ＋x 2＝1 ＋y 2＝1或x 2＋y 2 25＝1 ＋y 2＝1 D ．以上都不对 5、求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)椭圆过(3,0)，离心率e ＝63 ； (2)在x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8. 6、中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆上有M ? ????1，432，N ? ?? ??－322，2两点． 求椭圆的标准方程； 7、求满足下列各条件的椭圆的标准方程． (1)长轴是短轴的3倍且经过点A (3,0)，焦点在x 轴上； (2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为 3. 答案： 1、（1）x2 25 ＋ y2 9 ＝1（2） y2 4 ＋x2＝1（3） x2 15 ＋ y2 5 ＝1 2、（1）x2 16 ＋ y2 12 ＝1（2）x2＋ y2 4 ＝1 3、当焦点在x轴上时，椭圆的标准方程为x2 25 ＋ y2 9 ＝1. 当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程为x2 9 ＋ y2 25 ＝1. 4、A 5、（1）若焦点在x轴上，椭圆的方程为x2 9 ＋ y2 3 ＝1. 若焦点在y轴上，椭圆的方程为y2 27 ＋ x2 9 ＝1. （2）x2 32 ＋ y2 16 ＝1. 6、x2 9 ＋ y2 4 ＝1 7、x2 9 ＋y2＝1 8、x2 12 ＋ y2 9 ＝1或 x2 9 ＋ y2 12 ＝1 椭圆及其标准方程练习题 【基础知识】 一．椭圆的基本概念 1.椭圆的定义：我们把平面内与两个定点的距离的和等于常数 （ ）的点 的轨迹叫做椭圆，用符号表示为这两个定点叫椭圆的 ，两个焦点之间的距离叫做椭圆的 。 椭圆方程的总形式为 [经典例题]： 例1. 根据定义推导椭圆标准方程. 已知B ，C 是两个定点，｜BC ｜＝6，且ABC ?的周长等于16，求顶点A 的轨迹方程 已知F 1, F 2是定点，| F 1 F 2|=8, 动点M 满足|M F 1|+|M F 2|=8，则点M 的轨迹是 （A ）椭圆 （B ）直线 （C ）圆 （D ）线段 例2.写出适合下列条件的椭圆的标准方程： ⑴两个焦点坐标分别是(-4,0)、（4，0），椭圆上一点P 到两焦点的距离之和等于10； ⑵两个焦点坐标分别是（0，－2）和（0,2）且过（23-,2 5） 例3 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点坐标分别是(-3，0)，(3，0)，椭圆经过点(5，0). (2)两个焦点坐标分别是(0，5)，(0，-5)，椭圆上一点P 到两焦点的距离和为26. 例4 已知椭圆经过两点（)5,3()2 5 ,23与-，求椭圆的标准方程 例5 1.椭圆短轴长是2，长轴是短轴的2倍，则椭圆离心率是 ； 2.如果椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则其离心率为 ； 3.若椭圆的两个焦点F 1、F 2与短轴的一个端点B 构成一个正三角形，则椭圆的离心率为 ； [典型练习]： 椭圆 19 252 2=+y x 上一点P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为（ ） A.5 B.6 C.4 D.10 2.椭圆 1169 252 2=+y x 的焦点坐标是（ ） A.(±5，0) B.(0，±5) C.(0，±12) D.(±12，0) 3.已知椭圆的方程为 182 2 2=+m y x ，焦点在x 轴上，则其焦距为（ ） A.228m - B.2m -22 C.282-m D.222-m 4.1,6==c a ,焦点在y 轴上的椭圆的标准方程是 椭圆及其标准方程（1） 一.知识探究 1．椭圆的定义 把平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于 的点的轨迹叫做椭圆，点 叫做椭圆的焦点， 叫做椭圆的焦距． 2．平面内动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，当2a ＝|F 1F 2|时，点M 的轨迹是什么？当2a <|F 1F 2|时呢？ 4．如何确定焦点的位置？ 二.典型选讲： 例1.判断下列椭圆的焦点的位置，并求出焦点的坐标。 ①16410022=+y x ②125 92 2=+y x 变式训练1.将方程22525922=+y x 化为标准方程，并求出焦点的坐标。 例2.已知椭圆16x 2＋25y 2＝400上一点到椭圆左焦点的距离为3，求该点到右焦点的距离。 变式训练2. 椭圆136 642 2=+y x 的弦PQ 过F 1，求△PQF 2的周长 三.课后作业 1．a ＝6，c ＝1的椭圆的标准方程是( ) A.x 236＋y 235＝1 B.y 236＋x 235＝1 C.x 236＋y 25 ＝1 D ．以上都不对 2．设P 是椭圆x 225＋y 216 ＝1上的点．若F 1.F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( ) A ．4 B ．5 C ．8 D ．10 3.椭圆1100 362 2=+y x 上一点P ，则△PF 1F 2的周长 4．椭圆x 216＋y 29 ＝1的焦距为________，焦点坐标为________． 5．已知椭圆x 29＋y 2m 2＝1的焦点在x 轴上，则实数m 的取值范围是________． 6.求下列条件的椭圆的标准方程 : （1）焦点坐标分别为（0，-4），（0,4），a=5； （2）a+c=10,a -c=4 自助餐 1.已知A (－12，0)，B 是圆F ：(x －12 )2＋y 2＝4(F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，求动点P 的轨迹方程 2.方程15 102 2=-+-k y k x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是（ ） A.10 椭圆的标准方程 (说课稿) 各位专家： 您好！我叫XXX，来自XXXX中学，今天我说课的课题是“椭圆的标准方程”，下面我从教材分析、教法设计、学法设计、学情分析、教学程序、板书设计和评价设计等七个方面向各位阐述我对本节课的构思与设计。 一、教材分析 1、地位及作用 圆锥曲线是一个重要的几何模型，有许多几何性质，这些性质在日常生活、生产和科学技术中有着广泛的应用。同时，圆锥曲线也是体现数形结合思想的重要素材。 推导椭圆的标准方程的方法对双曲线、抛物线方程的推导具有直接的类比作用，为学习双曲线、抛物线内容提供了基本模式和理论基础。因此本节课具有承前启后的作用，是本章的重点内容。 2、教学内容与教材处理 椭圆的标准方程共两课时，第一课时所研究的是椭圆标准方程的建立及其简单运用，涉及的数学方法有观察、比较、归纳、猜想、推理验证等，我将以课堂教学的组织者、引导者、合作者的身份，组织学生动手实验、归纳猜想、推理验证，引导学生逐个突破难点，自主完成问题，使学生通过各种数学活动，掌握各种数学基本技能，初步学会从数学角度去观察事物和思考问题，产生学习数学的愿望和兴趣。 3、教学目标 根据教学大纲和学生已有的认知基础,我将本节课的教学目标确定如下： 1.知识目标 ①建立直角坐标系，根据椭圆的定义建立椭圆的标准方程， ②能根据已知条件求椭圆的标准方程， ③进一步感受曲线方程的概念，了解建立曲线方程的基本方法，体会数形结合的数学思想。 2.能力目标 ①让学生感知数学知识与实际生活的密切联系，培养解决实际问题的能力， ②培养学生的观察能力、归纳能力、探索发现能力， ③提高运用坐标法解决几何问题的能力及运算能力。 3.情感目标 ①亲身经历椭圆标准方程的获得过程，感受数学美的熏陶， ②通过主动探索，合作交流，感受探索的乐趣和成功的体验，体会数学的理性和严谨， ③养成实事求是的科学态度和契而不舍的钻研精神，形成学习数学知识的积极态度。 4、重点难点 基于以上分析，我将本课的教学重点、难点确定为： ①重点：感受建立曲线方程的基本过程，掌握椭圆的标准方程及其推导方法， ②难点：椭圆的标准方程的推导。 二、教法设计 在教法上，主要采用探究性教学法和启发式教学法。以启发、引导为主，采用设疑的形式，逐步让学生进行探究性的学习。探究性学习就是充分利用了青少年学生富有创造性和好 §2.2 椭圆 2.2.1 椭圆及其标准方程 课时目标 1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程.2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形． 1．椭圆的概念：平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于________(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做________．这两个定点叫做椭圆的________，两焦点间的距离叫做椭圆的________．当|PF 1|＋|PF 2|＝|F 1F 2|时，轨迹是______________，当|PF 1|＋|PF 2|<|F 1F 2|时__________轨迹． 2．椭圆的方程：焦点在x 轴上的椭圆的标准方程为________________，焦点坐标为________________，焦距为____________；焦点在y 轴上的椭圆的标准方程为________________． 一、选择题 1．设F 1，F 2为定点，|F 1F 2|＝6，动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝6，则动点M 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．直线 C ．圆 D ．线段 2．椭圆x 216＋y 2 7 ＝1的左右焦点为F 1，F 2，一直线过F 1交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 2 的周长为( ) A ．32 B ．16 C ．8 D ．4 3．椭圆2x 2＋3y 2＝1的焦点坐标是( ) A .? ???0，±6 6 B ．(0，±1) C ．(±1,0) D .??? ?±6 6，0 4．方程x 2|a|－1＋y 2a ＋3 ＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－3，－1) B ．(－3，－2) C ．(1，＋∞) D ．(－3,1) 5．若椭圆的两焦点为(－2,0)，(2,0)，且该椭圆过点????52 ，－3 2，则该椭圆的方程是( ) A .y 28＋x 24＝1 B .y 210＋x 26＝1 C .y 24＋x 28＝1 D .y 26＋x 2 10 ＝1 6．设F 1、F 2是椭圆x 216＋y 212 ＝1的两个焦点，P 是椭圆上一点，且P 到两个焦点的距离 之差为2，则△PF 1F 2是( ) A ．钝角三角形 B ．锐角三角形 C ．斜三角形 D ．直角三角形 椭圆标准方程的求法举例 一、定义法 例1．已知圆22:(1)8C x y ++=，点(10)A ，是圆内一点，AM 的垂直平分线l 交CM 于点N ，当点M 在圆C 上运动时，求点N 的轨迹方程。 解：连结AN ，由NM NA = ，得NC NA NC NM CM +=+==， 而2CA =，因此，点N 的轨迹是以点C A ，为焦点的椭圆， 设为22 221(0)x y a b a b +=>> ，2a =，22c =， 所以a =1c = ，21b =。因此，所求轨迹方程为2 212x y +=。 评注：用定义法求椭圆的方程，首先要清楚椭圆的中心是否在原点、对称轴是否为坐标轴；其次，要紧紧的抓住定义，由定义产生椭圆的基本量a 、b 、c ． 二、待定系数法 例2 ．已知椭圆的焦距离为 ，求焦点在x 轴上时，它的标准方程． 解析：焦点在x 轴上，设所求方程为22 221x y a b +=(0)a b >>， 由题意得2222321a b a b ?+=???-? ，，解之得2293.a b ?=??=??，因此，所求方程为22193x y +=． 评注：用待定系数法求椭圆方程的基本步骤是：首先设出含待定系数的椭圆方程；然后根据题目条件再逐步求出待定的系数，从而得到方程． 三、轨迹法 例3．点()P x y ，到定点(01)A -，的距离与定直线14y =- ，求动点P 的轨迹方程． 解析：设d 为动点()P x y ，到定直线14y =-的距离，根据题意动点P 的轨迹就是集合 ()PA M P x y d ??==????? ，| =． 将上式两边平方，并化简得2214131413x y +=?，即22 11314 x y +=为所求． 评注：用轨迹法求椭圆方程，首先要写出适合条件的点集，然后用坐标代入，再对含x y ，的式子进行化简，最后产生所求方程，这是必须的基本步骤． 四、奇思妙解法 例4 ．已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点1 (02)2A B ? ?，， 求 椭圆标准方程 【知识点】 知识点一 椭圆的定义 (1)我们把平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距. (2)椭圆的定义用集合语言叙述为： P ＝{M||MF 1|＋|MF 2|＝2a ，2a>|F 1F 2|}. (3)2a 与|F 1F 2|的大小关系所确定的点的轨迹如下表： 条件 结论 2a >|F 1F 2| 动点的轨迹是椭圆 2a ＝|F 1F 2| 动点的轨迹是线段F 1F 2 2a <|F 1F 2| 动点不存在，因此轨迹不存在 【问题一】在椭圆的标准方程中a>b>c 一定成立吗？ 不一定，只需a>b ，a>c 即可，b ，c 的大小关系不确定 【问题二】若两定点A 、B 间的距离为6，动点P 到两定点的距离之和为10，如何求出点P 的轨迹方程？ 以两定点的中点为坐标原点，以AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系，则A(3，0)，B(－3，0).设P(x ，y)，依题意得|PA|＋|PB|＝10，所以x －32＋y2＋ x ＋32＋y2＝10，即点P 的轨迹方程为x2 25＋y2 16 ＝ 1. 椭圆标准方程的两种形式 焦点位置 标准方程 焦点 焦距 椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系 根据方程判断椭圆的焦点位置及求焦点坐标 判断椭圆焦点在哪个轴上就要判断椭圆标准方程中x2项和y2项的分母哪个更大一些，即“谁大在谁上”. 如方程为y 25＋x 2 4＝1的椭圆，焦点在y 轴上，而且可求出焦点坐标F 1(0，－1)，F 2(0，1)，焦距|F 1F 2|＝2. 类型一：椭圆的定义 【例1】点P(－3，0)是圆C ：x 2＋y 2－6x －55＝0内一定点，动圆M 与已知圆相内切且过P 点，判断圆心M 的轨迹. 【变式】若将本例中圆C 的方程改为：x 2＋y 2－6x ＝0且点P(－3，0)为其外一定点，动圆M 与已知圆C 相外切且过P 点，求动圆圆心M 的轨迹方程. 即 x －32＋y －02－x ＋32＋y －02＝3， 整理得x 2 94 －y 2 27 4 ＝1(x <0). 方程x 2＋y 2－6x －55＝0化标准形式为：(x －3)2＋y 2＝64，圆心为(3，0)，半径r ＝8.因为动圆M 与已知圆相内切且过P 点，所以|MC |＋|MP |＝r ＝8，根据椭圆的定义，动点M 到两定点C ，P 的距离之和为定值8>6＝|CP |，所以动点M 的轨迹是椭圆. 设M (x ，y )，据题，圆C ：(x －3)2＋y 2＝9，圆心C (3，0)，半径r ＝3.由|MC |＝|MP |＋r ，故|MC |－|MP |＝r ＝3， 【变式2】 下列命题是真命题的是__②__.(将所有真命题的序号都填上) ①已知定点F 1(－1，0)，F 2(1，0)，则满足|PF 1|＋|PF 2|＝2的点P 的轨迹为椭圆； ①已知定点F 1(－2，0)，F 2(2，0)，则满足|PF 1|＋|PF 2|＝4的点P 的轨迹为线段； ①到定点F 1(－3，0)，F 2(3，0)的距离相等的点的轨迹为椭圆. 2.2.2椭圆及其标准方程（二） 【学习目标】 1．能正确运用椭圆的定义与标准方程解题； 2．学会用待定系数法与定义法求曲线的方程 3．使学生掌握在求椭圆标准方程的过程中首先确定其焦点在哪个坐标轴上的方法. 【自主学习与检测】 1．设21,F F 为定点，|21F F |=6，动点M 满足6||||21=+MF MF ，则动点M 的轨迹是（ ） A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段 2．如果点(,)M x y 在运动过程中，总满足关系式 10=，点M 的轨迹是什么曲线？为什么？写出它的方程. 【典型例题】 例1.写出适合下列条件的椭圆的标准方程： ⑴两个焦点坐标分别是(4,0)-、(4,0)，椭圆上一点P 到两焦点的距离之和等于10； ⑵两个焦点坐标分别是(2,0)-和(2,0)，且过（ 25， 23-） 变式：已知椭圆的两个焦点坐标分别是(0,2)-和(0,2)，且过（23-,25），求其标准方程 例2．已知椭圆经过两点（)5,3()2 5,23与-，求椭圆的标准方程 【目标检测】 1．已知点P 是椭圆22 154 x y +=上的一点，且以点P 及焦点1F ，2F 为顶点的三角 形的面积等于1，求点P 的坐标. 2.方程11 22 2=--m y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是___ ___. 3．求适合下列条件的椭圆的标准方程. (1)焦点在x 轴上，且经过点(2,0)和点(0,1). (2)焦点在y 轴上，与y 轴的一个交点为(0,10)P -，P 到它较近的一个焦点的距离等于2. 【总结提升】注意结合例题体会用待定系数法及定义法求椭圆的标准方程，其中的关键点在于确定椭圆的焦点在哪个坐标轴上.椭圆标准方程
椭圆标准方程及其性质知识点大全(供参考)
椭圆的标准方程及其几何性质
利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程
椭圆及其标准方程1
求椭圆的标准方程
椭圆及其标准方程练习题
椭圆及其标准方程(1)
椭圆的标准方程(2)
2.2.1 椭圆及其标准方程
椭圆标准方程的求法举例
椭圆规范标准方程
2.2.2椭圆及其标准方程(二)
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