第六章方差分析
方差的计算公式
()2
2
1
x X
S
n
-
=
-
∑
【离均差平方和：()2
x X
-
∑；分母为自由度：n－1】
第一节方差分析的基本思想
用途：检验3组及以上总体均数是否相等。通过分析处理组均数之间的差别，推论它们所代表的k个总体均数间是否存在差别，或k个处理组间的差别是否具有统计学意义。
= 组间变异+ 组内变异
SS总
组内。
F= MS组间/ MS组内
如果：各样本均数来自同一总体（Ｈ0: ），即各组均数之间无差别。
则：组间变异与组内变异均只能反映随机误差，此时：F 值应接近1。
反之，若各样本均数不是来自同一总体，组间变异应较大，F 值将明显大于1，则不能认为组间的变异仅反映随机误差，也就是认为处理因素有作用。
F值要到多大才有统计学意义呢？
在各样本来自正态总体，各样本所来自的总体方差相等的假定之下，当H0成立时，检验统计量F 服从自由度ν组间=k-1，ν组内=N-k的F 分布，表示为:F ~ F (ν组间, ν组内)
可由F界值表查出在某一α水准下F分布的单尾界值F α。当F < F(ν组间, ν组内), P> α。
方差分析的基本思想
1·根据资料的设计类型，将全部观察值总的离均差平方和及自由度分解为两个或多个部分，
2·除随机误差（如SS组内）外，其余每个部分的变异（如SS组间）可由某个因素的作用（或某几个因素的交互作用，如A因素×B因素）加以解释。
3·通过比较不同变异来源的均方，借助F分布作出统计推断，从而了解该因素对观测指标有无影响。方差分析对数据的基本假设（方差分析的应用条件）
1·任何两个观察值之间均不相关
2·每一水平下的观察值均来自正态总体
3·各总体方差相等，即方差齐性（homogeneity of variance）
第二节完全随机设计资料的单因素方差分析
1·在实验研究中，将受试对象随机分配到一个研究因素的多个水平中去，然后观察实验效应。
如将30名乙型脑炎患者随机分为三组，分别用单克隆抗体、胸腺肽和利巴韦林三种药物治疗（药物这个研究因素分为3个水平），观察治疗后的退热时间。
2·在观察研究中，按某个因素的不同水平分组，比较该因素的效应。
如比较糖尿病患者，IGT异常和正常人的载脂蛋白有无差别（人群这个研究因素分为3个水平）。
一、完全随机设计
如何分组：可以利用随机数字表（医学统计中的研究设计介绍）
二、变异分解：
例：某社区随机抽取了30名糖尿病患者（11例），IGT异常（9例）和正常人（10例）进行载脂蛋白（mg/dL）测定，问三种人的载脂蛋白有无差别？
1.完全随机设计方差分析中变异的分解
总变异= 组间变异+ 组内变异
2. 分析计算步骤建立检验假设和确定检验水准
H0: 三种人载脂蛋白的总体均数相等，即
H1: 三种人载脂蛋白的总体均数不全相等
α=0.05
计算检验统计量F值
3.确定P值和作出推断结论
当k=2时，对同一资料，F=t2。
第三节随机区组设计的方差分析【亦称配伍组设计,是配对设计的扩大】
例对小白鼠喂以A、B、C三种不同的营养素，目的是了解不同营养素增重的效果。采用随机区组设计方法，以窝别作为划分区组的特征，以消除遗传因素对体重增长的影响。现将同品系同体重的24只小白鼠分为8个区组，每个区组3只小白鼠。三周后体重增量结果（克）列于下表。问小白鼠经三种不同营养素喂养后所增体重有无差别？
一、随机区组设计
如何分组：
1·先将全部受试对象按某种或某些特征分为若干个区组（block），使每个区组内的观察对象随机地接受研究因素某一水平的处理。
2·由于区组内的个体特征比较一致，减少了个体差异对结果的影响。
二、变异分解
1. 随机区组设计方差分析中变异的分解：SS总=SS处理+SS区组+SS误差
2. 分析计算步骤：建立检验假设和确定检验水准
H0: 三种营养素喂养的小白鼠体重增量相等，即
H1:三种营养素喂养的小白鼠体重增量不全相等
α=0.05
计算检验统计量F值
确定P值和作出推断结论：
一般而言，随机区组设计较成组设计更容易检验出处理组间的差别，提高了研究效率。但不是在任何情况下都能提高研究效率。如果区组效应无统计学意义，则并不能提高研究效率，甚至会降低研究效率。（如果MS区组< MS误差）
区组效应是否具有统计学意义是重要的，它表明区组的划分是否成功。
即达到：区组内各实验单位很均匀，而不同区组内的实验单位具有很大差异。
若没有足够理由显示不同区组间的差别确有统计学意义，则宁可不分区组。
第四节多个样本均数间的多重比较multiple comparison
一、概念
指出哪几组均数之间的差别具有或不具有统计学意义。
当对比组数大于2时，为什么不能用t检验？因为会增加第一类错误的概率，使本来无无差别的两总体均数判为有差别。如有5个样本均数，可作10次t检验。每次不犯第一类错误的概率为1-0.05=0.95。每次比较均不犯第一类错误的概率仅为0.9510=0.5987，每次犯第一类错误的概率为1-0.5987=0.4013，明显增加了犯第一类错误的概率。
二、无效假设的两种情况
1·检验某几个特定总体均数是否相等，其无效假设称为部分无效假设。
2·检验全部k个总体均数是否相等，其无效假设称为完全无效假设。
1. 检验某几个特定总体均数是否相等
H0：
在试验设计阶段就根据研究目的或专业知识决定了某些均数间的两两比较，常用于事先有明确研究假设的证实性研究。如多个处理组与对照组比较；处理后不同时间与处理前比较；几个特定的处理组间比较
2. 检验全部k个总体均数是否相等
H0：
在研究设计阶段对实验结果知道不多的探索性研究，或经数据结果的提示后，才决定作多个均数间的两两比较。一般涉及到每两个均数的两两比较。
三、常用方法：Bonferroni
Tukey
Dunnett-t检验
Tamhane’s T2
LSD-t 检验（least significant difference）
SNK- q检验（Student-Newman-Keuls）
，最小有意义差异，比较k组中一对或几对在专业上有特殊意义的均数差值的总体均数是否为“0”；
I类错误的可能性愈大。
根据算得的t值，误差自由度ν误差，试验组数k-1，以及检验水准α查Dunnett-t 界值表，作出推断结
I类错误的可能性愈大。
应用于：样本数一般≤4，这时的检验效率高于Tukey法。
应用于：当比较的样本数大于5时，检验效率高于Bonferroni。
特点：调整了多重比较时的检验水准，
也是SPSS统计软件推荐的方法。
容易得出有统计学意义结论的，依次为：LSD（最容易）
SNK
Tukey
bonferroni （最不容易）
（保守的两两比较检验，I类错误小）based on a
A homogeneity-of-variance test that is less dependent on the assumption of normality than most tests. For each case, it computes the absolute difference between the value of that case and its cell mean and performs
a one-way analysis of variance on those differences.
1、完全随机设计的单因素方差分析
单因素方差分析的总变异分几部分？
F值是与的比值？
如各样本均数来自同一总体，则F值理论上等于。
若各样本均数不是来自同一总体，则变异会增大，F值将明显于1 。
2、随机区组设计的两因素方差分析
随机区组设计的两因素方差分析的总变异分为几部分？由于从总变异中多分离出区组变异，使误差更能反映随机误差的大小，因而提高了检验效率。
前提：区组效应具有统计学意义
3、多个样本均数每两个均数间的两两比较
多个样本均数每两个均数间的两两比较常用的统计方法是：Bonferroni(组数少)，Tukey (组数多) ,Tamhane’s T2(方差不齐，结论较保守) 。
多个实验组与一个对照组均数间的两两比较常用的统计方法是Dunnett - t 。
比较G组中某一对或几对在专业上有特殊意义的均数差值的总体均数是否为“0”，较常用的统计方法是LSD 。
第五章 假设检验 第六章 方差分析 1、某厂生产一种产品，原月产量服从)14,75(N 。设备更新后，为了考察产量是否提高，抽查了6个月的产量，其平均产量为78。问在显著水平5%条件下，设备是否值得更新？ 2、某工厂对所生产的产品进行质量检验，规定：次品率不得超过0.01，方可出厂。现从一批产品中随机抽查80件，发现次品2件。试问在0.05的显著水平下，这批产品是否可以出厂？ 3、已知某种电子元件的使用寿命服从标准差为100小时的正态分布，要求平均寿命不得低于1000小时。现在从一批这种电子元件中随机抽取25件，测得平均寿命为950小时。试在0.02 的显著性水平下,检验这批元件是否合格. 4、在正常生产情况下，某厂生产的无缝钢管的内径服从均值为54mm 、 标准差为0.9mm 的正态分布。某日从当天生产的产品中随机抽取10根，测得内径分别为：53.8，54.0，55.1，54.2，52.1，54.2，55.0，55.8，55.4，55.5（单位：mm ）。试检验该日产品生产是否正常(α=5%)。 5、某专家认为A 地男孩入学率明显高于女孩,小学男女学生比例至少是6:4。从A 地小学中随机抽取400个学生的调查结果是:男生258人,女生142人.问当α=5%时,调查结果是否支持该专家的观点? 6、某饮料厂生产一种新型饮料，其颜色有四种分别为：橘黃色、粉色、绿色、和无色透明。随机从5家商场收集了前一期其销售量，数据如下表： 数据计算结果如下： 组间平方和为76.8445，组内平方和为39.084。问饮料的颜色是否对产品的销售量产生显著的影响？ {66.8)3,16(05.0=F ，24.3)16,3(05.0=F ，29.5)16,3(01.0=F ，69.26)3,16(01.0=F }
第六章spss的方差分析 1、入户推销有五种方法。某大公司想比较这五种方法有无显著的效果差异，设计了一项实验。从应聘人员中尚无推销经验的人员中随机挑选一部分人，并随机地将他们分为五个组，每组用一种推销方法培训。一段时期后得到他们在一个月内的推销额，如下表所示： 1）请利用单因素方差分析方法分析这五种推销方式是否存在显著差异。 2）绘制各组的均值对比图，并利用LSD方法进行多重比较检验。 原假设：这五种推销方式是否存在显著差异。 步骤：建立SPSS数据→分析→比较均值→单因素→因变量导入销售额→变量导入方式→选项→选择方差同质性检验、均值图→选择LSD方法检验→确定 表6-1 方差齐性检验 销售额 Levene 统计量df1 df2 显著性 2.048 4 30 .113 表6-2 分析：sig值为0.00＜0.05，故拒绝原假设，认为这五种销售方式中存在显著差异。 （2）多重比较：
分析：有表6-3可以看出，多重比较中sig值均小于0,05，所以拒绝原假设，认为五种推销方法存在显著差异均值图也可以看出均值对比图的曲折比较大，进一步验证了结论。 2、为研究某种降血压药的适用特点，在五类具有不同临床特征的高血压患者中随机挑选了若干志愿者进行对比试验，并获得了服用该降压药后的血压变化数据。现对该数据进行单因素方差分析，所得部分分析结果如下表所示。 1）请根据表格数据说明以上分析是否满足方差分析的前提要求，为什么？ 2）请填写表中空缺部分的数据结果，并说明该降压药对不同组患者的降压效果是否存在显著差异。 3）如果该降压药对不同组患者的降压效果存在显著差异，那么该降压药更适合哪组患者？1）图表中可以看出，在方差齐性检验中，sig值为0.001，小于0.05，故拒绝原假设，所以方差不齐。2）表中空缺补充： ANOVA 销售量 平方和df 均方 F 显著性 组间1104.128 4 276.032 11.403 .000 组内1524.990 6324.206 总数2629.118 67
第五章 方差分析 一、教学大纲要求 （一）掌握内容 1．方差分析基本思想 （1） 多组计量资料总变异的分解，组间变异和组内变异的概念。 （2） 多组均数比较的检验假设和F 值的意义。 （3） 方差分析的使用条件。 2．常见实验设计资料的方差分析 （1）完全随机设计的单因素方差分析：适用的资料类型、总变异分解（包括自由度的分解）、方差分析的计算、方差分析表。 （2）随机区组设计资料的两因素方差分析：适用的资料类型、总变异分解（包括自由度的分解）、方差分析的计算、方差分析表。 （3）多个样本均数间的多重比较方法： LSD-t 检验法；Dunnett-t 检验法；SNK-q 检验法。 （二）熟悉内容 多组资料的方差齐性检验、变量变换方法。 （三）了解内容 两因素析因设计方差分析、重复测量设计资料的方差分析。 二、教学内容精要 (一) 方差分析的基本思想 1． 基本思想 方差分析（analysis of variance ，ANOV A ）的基本思想就是根据资料的设计类型，即变异的不同来源将全部观察值总的离均差平方和（sum of squares of deviations from mean ，SS ）和自由度分解为两个或多个部分，除随机误差外，其余每个部分的变异可由某个因素的作用（或某几个因素的交互作用）加以解释，如各组均数的变异SS 组间可由处理因素的作用加以解释。通过各变异来源的均方和误差均方比值的大小，借助F 分布作出统计推断，判断各因素对各组均数有无影响。 2．分析三种变异 （1）组间变异：各处理组均数之间不尽相同，这种变异叫做组间变异（variation among groups ），组间变异反映了处理因素的作用（处理确有作用时 ），也包括了随机误差（ 包括个体差异及测定误差 ）, 其大小可用组间均方（MS 组 间 ）表示，即 MS 组间= 组间组间ν/SS ， 其中，SS 组间= 21 )(x x n k i i i -∑= ，组间ν=k -1为组间自由度。k 表示处理组数。 （2）组内变异：各处理组内部观察值之间不尽相同，这种变异叫做组内变异(variation within groups)，组内变异反映了随机误差的作用，其大小可用组内均方 (组内MS ) 表示， 组内组内组内ν/SS MS = ，其中∑∑==?? ? ???-=k i n j i ij i x x SS 112)(组内 , k N -=组内ν，为组内均方自由度。 （3）总变异：所有观察值之间的变异（不分组），这种变异叫做总变异(total variation)。其大小可用全体数据的方差表示， 也称总均方(MS 总 )。按方差的计算方法，MS 总= 总总ν/SS ，其中SS 总=211 )(∑∑==-k i n j ij i x x , k 为处理组数，i n 为第i 组例数，总ν=N -1为总的自由度， N 表示总例数。 （二）方差分析的使用条件 （1） 各样本是相互独立的随机样本，且来自正态分布总体。 （2） 各样本的总体方差相等，即方差齐性(homoscedasticity)。 （三）不同设计资料的方差分析 1．完全随机设计的单因素方差分析 （1）资料类型：完全随机设计(completely random design)是将受试对象完全随机地分配到各个处理组。设计因素
第六章方差分析 一、方差分析(Analysis of variance，ANOVA): 又叫变量分析，是英国著名统计学家R . A . Fisher于20世纪提出的。它是用以检验两个或多个均数间差异的假设检验方法。它是一类特定情况下的统计假设检验，或者说是平均数差异显著性检验的一种引伸。方差分析的基本功能:对多组样本平均数差异的显著性进行检验 二、对多个处理进行平均数差异显著性检验时，采用t检验法的缺点： (1)检验过程烦琐。 (2)无统一的试验误差，误差估计的精确性和检验的灵敏性低。 (3)推断的可靠性低，检验时犯α错误概率大。 三、试验指标（experimental index）： 为衡量试验结果的好坏和处理效应的高低，在实验中具体测定的性状或观测的项目称为试验指标。常用的试验指标有：身高、体重、日增重、酶活性、DNA含量等等。 四、试验因素（ experimental factor）： 试验中所研究的影响试验指标的因素叫试验因素。当试验中考察的因素只有一个时，称为单因素试验；若同时研究两个或两个以上因素对试验指标的影响时，则称为两因素或多因素试验。 五、因素水平（level of factor）: 试验因素所处的某种特定状态或数量等级称为因素水平，简称水平。如研究3个品种奶牛产奶量的高低，这3个品种就是奶牛品种这个试验因素的3个水平。 六、试验处理（treatment）: 事先设计好的实施在实验单位上的具体项目就叫试验处理。如进行饲料的比较试验时，实施在试验单位上的具体项目就是具体饲喂哪一种饲料。 七、试验单位（ experimental unit ）: 在实验中能接受不同试验处理的独立的试验载体叫试验单位。一只小白鼠，一条鱼，一定面积的小麦等都可以作为实验单位。 八、重复（repetition）: 在实验中，将一个处理实施在两个或两个以上的试验单位上，称为处理有重复；一处理实施的试验单位数称为处理的重复数。例如，用某种饲料喂4头猪，就说这个处理（饲料）有4个重复。 第一节方差分析的基本原理 方差：又叫均方，是标准差的平方，是表示变异的量。在一个多处理试验中，可以得出一系列不同的观测值。 观测值不同的原因：处理效应(treatment effect)：处理不同引起；试验误差：试验过程中偶然性因素的干扰和测量误差所致。
第六章方差分析 方差的计算公式 ()2 2 1 x X S n - = - ∑ 【离均差平方和：()2 x X - ∑；分母为自由度：n－1】 第一节方差分析的基本思想 用途：检验3组及以上总体均数是否相等。通过分析处理组均数之间的差别，推论它们所代表的k个总体均数间是否存在差别，或k个处理组间的差别是否具有统计学意义。 = 组间变异+ 组内变异 SS总 组内。 F= MS组间/ MS组内 如果：各样本均数来自同一总体（Ｈ0: ），即各组均数之间无差别。 则：组间变异与组内变异均只能反映随机误差，此时：F 值应接近1。 反之，若各样本均数不是来自同一总体，组间变异应较大，F 值将明显大于1，则不能认为组间的变异仅反映随机误差，也就是认为处理因素有作用。 F值要到多大才有统计学意义呢？ 在各样本来自正态总体，各样本所来自的总体方差相等的假定之下，当H0成立时，检验统计量F 服从自由度ν组间=k-1，ν组内=N-k的F 分布，表示为:F ~ F (ν组间, ν组内) 可由F界值表查出在某一α水准下F分布的单尾界值F α。当F < F(ν组间, ν组内), P> α。 方差分析的基本思想 1·根据资料的设计类型，将全部观察值总的离均差平方和及自由度分解为两个或多个部分， 2·除随机误差（如SS组内）外，其余每个部分的变异（如SS组间）可由某个因素的作用（或某几个因素的交互作用，如A因素×B因素）加以解释。 3·通过比较不同变异来源的均方，借助F分布作出统计推断，从而了解该因素对观测指标有无影响。方差分析对数据的基本假设（方差分析的应用条件） 1·任何两个观察值之间均不相关 2·每一水平下的观察值均来自正态总体 3·各总体方差相等，即方差齐性（homogeneity of variance） 第二节完全随机设计资料的单因素方差分析 1·在实验研究中，将受试对象随机分配到一个研究因素的多个水平中去，然后观察实验效应。 如将30名乙型脑炎患者随机分为三组，分别用单克隆抗体、胸腺肽和利巴韦林三种药物治疗（药物这个研究因素分为3个水平），观察治疗后的退热时间。 2·在观察研究中，按某个因素的不同水平分组，比较该因素的效应。 如比较糖尿病患者，IGT异常和正常人的载脂蛋白有无差别（人群这个研究因素分为3个水平）。 一、完全随机设计 如何分组：可以利用随机数字表（医学统计中的研究设计介绍） 二、变异分解： 例：某社区随机抽取了30名糖尿病患者（11例），IGT异常（9例）和正常人（10例）进行载脂蛋白（mg/dL）测定，问三种人的载脂蛋白有无差别？ 1.完全随机设计方差分析中变异的分解 总变异= 组间变异+ 组内变异 2. 分析计算步骤建立检验假设和确定检验水准