通项公式和前n 项和
一、新课讲授： 求数列前N 项和的方法 1. 公式法
（1）等差数列前n 项和：
11()(1)
22
n n n a a n n S na d ++=
=+ 特别的，当前n 项的个数为奇数时，211(21)k k S k a ++=+，即前n 项和为中间项乘以项数。这个公式在很多时候可以简化运算。
（2）等比数列前n 项和： q=1时，1n S na =
(
)1111n n a q q S q
-≠=
-，，特别要注意对公比的讨论。
（3）其他公式较常见公式：
1、)1(211+==∑=n n k S n
k n 2、)12)(1(611
2
++==∑=n n n k S n
k n
3、21
3)]1(21[+==
∑=n n k S n
k n [例1] 已知3
log 1log 23-=x ，求???++???+++n
x x x x 32的前n 项和.
[例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1
)32()(++=n n
S n S n f 的最大值.
2. 错位相减法
这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.
[例3] 求和：1
32)12(7531--+???++++=n n x n x x x S ………………………①
[例4] 求数列
??????,2
2,,26,24,2232n n
前n 项的和. 练习：
求：S n =1+5x+9x 2+······+(4n-3)x n-1
答案：
当x=1时，S n =1+5+9+······+（4n-3）=2n 2-n
当x ≠1时，S n = 1 1-x [ 4x(1-x n )
1-x +1-（4n-3）x n ]
3. 倒序相加法求和
这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.
[例5] 求
89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 2
2
2
2
2++???+++的值
4. 分组法求和
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. [例6] 求数列的前n 项和：231
,,71,41,
1112-+???+++-n a
a a n ，…
练习：求数列???+???),21
(,,81
3,41
2,21
1n n 的前n 项和。
5. 裂项法求和
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：
（1）)()1(n f n f a n -+= （2）
n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+ （3）1
1
1)1(1+-=+=n n n n a n （4）)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=
n n n n n a n （5）])
2)(1(1
)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=
n n n n n n n a n
(6) n
n
n n n n n n S n n n n n n n n n a 2)1(1
1,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-?=?+-+=?++=
-则 [例9] 求数列???++???++,1
1,
,3
21,
2
11n n 的前n 项和.
[例10] 在数列{a n }中，1
1211++
???++++=n n
n n a n ，又12+?=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和.
[例11] 求证：
1
sin 1cos 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 12=+???++ 解：设
89cos 88cos 1
2cos 1cos 11cos 0cos 1+
???++=
S ∵
n n n n tan )1tan()
1cos(cos 1sin -+=+ （裂项） ∴ 89cos 88cos 1
2cos 1cos 11cos 0cos 1+
???++=
S （裂项求和） ＝]}88tan 89[tan )2tan 3(tan )1tan 2(tan )0tan 1{(tan 1
sin 1
-+-+-+- ＝)0tan 89(tan 1sin 1 -＝
1cot 1
sin 1?＝ 1sin 1cos 2 ∴ 原等式成立
练习：求 63135115131+
++之和。
6. 合并法求和
针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求S n .
[例12] 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.
[例14] 在各项均为正数的等比数列中，若103231365log log log ,9a a a a a +???++=求的值.
7. 利用数列的通项求和
先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n 项和，是一个重要的方法.
[例15] 求
1
1111111111个n ???+???+++之和.
练习：求5，55，555，…，的前n 项和。
以上一个7种方法虽然各有其特点，但总的原则是要善于改变原数列的形式结构，使其能进行消项处理或能使用等差数列或等比数列的求和公式以及其它已知的基本求和公式来解决，只要很好地把握这一规律，就能使数列求和化难为易，迎刃而解。
求数列通项公式的八种方法
一、公式法（定义法）
根据等差数列、等比数列的定义求通项 二、累加、累乘法
1、累加法 适用于：1()n n a a f n +=+
若1()n n a a f n +-=(2)n ≥，则
21321(1)
(2) ()
n n a a f a a f a a f n +-=-=-=
两边分别相加得 111
()n
n k a a f n +=-=
∑
例1 已知数列{}n a 满足1121
1n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。 解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则
11232211
2
()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)1
2[(1)(2)21](1)1
(1)2(1)1
2
(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-++
+?++?++=-+-++++-+-=+-+=-++=
所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。
例2 已知数列{}n a 满足112313n
n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。
解法一：由1231n n n a a +=+?+得1231n
n n a a +-=?+则
11232211122112211()()()()(231)(231)(231)(231)3
2(3333)(1)3
3(13)2(1)3
13
331331
n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n --------=-+-++-+-+=?++?+++?++?++=+++++-+-=+-+-=-+-+=+-
所以3 1.n
n a n =+-
解法二：13231n n n a a +=+?+两边除以1
3n +，得
111
21
3333
n n n n n a a +++=++， 则
111
21
3333n n n n n a a +++-=+，故 11223
211
223
2111122122()()()(
)33333333
212121213
()()()()3333333332(1)11111()1
333333
n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a n --------------=-+-+-++-+=+++++++++-=+++++++
因此11
(13)2(1)211
3133133223
n n n n n
a n n ---=++=+--?， 则211
33.322
n n n a n =
??+?- 2、累乘法 适用于： 1()n n a f n a +=
若
1()n n a f n a +=，则31212(1)(2)()n n
a a
a
f f f n a a a +===，，， 两边分别相乘得，1
11
1()n
n k a a f k a +==?∏
例3 已知数列{}n a 满足112(1)53n
n n a n a a +=+?=，，求数列{}n a 的通项公式。
解：因为112(1)53n
n n a n a a +=+?=，，所以0n a ≠，则
1
2(1)5n n n
a n a +=+，故
1
32
112
21
12211(1)(2)21
(1)1
2
[2(11)5][2(21)5][2(21)5][2(11)5]32[(1)32]53
32
5
!
n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n -------+-+++--=
???
??=-+-+??+?+??=-?????=???
所以数列{}n a 的通项公式为(1)1
2
32
5
!.n n n n a n --=???
三、待定系数法 适用于1()n n a qa f n +=+
分析：通过凑配可转化为1121()[()]n n a f n a f n λλλ++=+; 解题基本步骤： 1、确定()f n
2、设等比数列{}1()n a f n λ+，公比为2λ
3、列出关系式1121()[()]n n a f n a f n λλλ++=+
4、比较系数求1λ，2λ
5、解得数列{}1()n a f n λ+的通项公式
6、解得数列{}n a 的通项公式
例4 已知数列{}n a 中，111,21(2)n n a a a n -==+≥，求数列{}n a 的通项公式。 解法一：
121(2),n n a a n -=+≥
112(1)n n a a -∴+=+ 又
{}112,1n a a +=∴+是首项为2，公比为2的等比数列
12n n a ∴+=，即21n
n a =-
解法二：
121(2),n n a a n -=+≥
121n n a a +∴=+
两式相减得112()(2)n n n n a a a a n +--=-≥，故数列{}1n n a a +-是首项为2，公比为2的等比
数列，再用累加法的……
例5 已知数列{}n a 满足1
112431n n n a a a -+=+?=，，求数列{}n a 的通项公式。
解法一：设1
1123(3n n n n a a λλλ-++=+?)，比较系数得124,2λλ=-=，
则数列{}
143n n a --?是首项为11
143
5a --?=-，公比为2的等比数列，
所以114352n n n a ---?=-?，即11
4352n n n a --=?-?
解法二： 两边同时除以1
3
n +得：
112
24
3333n n n n a a ++=?+，下面解法略 注意：例6 已知数列{}n a 满足2
1123451n n a a n n a +=+++=，，求数列{}n a 的通项公式。
解：设22
1(1)(1)2()n n a x n y n z a xn yn z ++++++=+++
比较系数得3,10,18x y z ===，
所以22
13(1)10(1)182(31018)n n a n n a n n ++++++=+++
由213110118131320a +?+?+=+=≠，得2
310180n a n n +++≠
则212
3(1)10(1)18231018
n n a n n a n n ++++++=+++，故数列2
{31018}n a n n +++为以21311011813132a +?+?+=+=为首项，以2为公比的等比数列，因此2131018322n n a n n -+++=?，则42231018n n a n n +=---。
注意：形如21 n n n a pa qa ++=+时将n a 作为()f n 求解
分析：原递推式可化为211()() n n n n a a p a a λλλ++++=++的形式，比较系数可求得λ，数列
{}1n n a a λ++为等比数列。
例7 已知数列{}n a 满足211256,1,2n n n a a a a a ++=-=-=，求数列{}n a 的通项公式。 解：设211(5)()n n n n a a a a λλλ++++=++
比较系数得3λ=-或2λ=-，不妨取2λ=-，
则21123(2)n n n n a a a a +++-=-，则{}12n n a a +-是首项为4，公比为3的等比数列
11243n n n a a -+∴-=?，所以114352n n n a --=?-?
四、迭代法
例8 已知数列{}n a 满足3(1)2
115n
n n n a a a ++==，，求数列{}n a 的通项公式。
解：因为3(1)21n
n n n a a ++=，所以
1
21
2(2)(1)
3
2
(2)(1)
3
(3)(2)(1)
112(3)(32
3(1)2
323(1)2
1
2
2
3(2)2
3(1)23
3(2)(1)23
323
(2)(1)21
[] [] n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a
----+---+--+-+--++
+-+?-??-??----?-??---?-??-?-??=======2)(1)
(1)1
2
3
!21 n n n n n a -+---??=
又15a =，所以数列{}n a 的通项公式为(1)1
2
3
!25n n n n n a --??=。
注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。
五、变性转化法
1、对数变换法 适用于指数关系的递推公式
例9 已知数列{}n a 满足5
123n n n a a +=??，17a =，求数列{}n a 的通项公式。
解：因为5
11237n n n a a a +=??=，，所以100n n a a +>>，。
两边取常用对数得1lg 5lg lg3lg 2n n a a n +=++
设1lg (1)5(lg )n n a x n y a xn y ++++=++
（同类型四）
比较系数得， lg3lg3lg 2
,4164
x y ==+
由1lg3lg3lg 2lg3lg3lg 2lg 1lg 71041644164a +
?++=+?++≠，得lg3lg3lg 2lg 04164
n a n +++≠， 所以数列lg3lg3lg 2{lg }4164
n a n +
++是以lg3lg3lg 2
lg 74164+
++为首项，以5为公比的等比数列，则1
lg3lg3lg 2lg3lg3lg 2lg (lg 7)541644164
n n a n -+++=+++，因此
111111111
16
164
4
44
1111
15
1616
444
4
541515116
4
lg 3lg 3lg 2lg 3lg 3lg 2
lg (lg 7)54164464
[lg(7332)]5lg(332)
lg(7332)lg(332)lg(73
2
)
n n n n n n n n n n a n --------=+
++---=???-??=???-??=??
则11
54151516
4
732
n n n n n a -----=??。
2、倒数变换法 适用于分式关系的递推公式，分子只有一项 例10 已知数列{}n a 满足112,12
n
n n a a a a +=
=+，求数列{}n a 的通项公式。 解：求倒数得
11111111111,,22n n n n n n a a a a a a +++??=+∴-=∴-????为等差数列，首项1
11a =，公差为12，
112
(1),21
n n n a a n ∴
=+∴=+ 3、换元法 适用于含根式的递推关系 例11 已知数列{}n a
满足111
(14116
n n a a a +=
+=，，求数列{}n a 的通项公式。
解：令n b =2
1(1)24
n n a b =-
代入11
(1416
n n a a +=
+得 22
1111(1)[14(1)]241624
n n n b b b +-=+-+ 即2214(3)n n
b b +=+
因为0n b =≥， 则123n n b b +=+，即11322
n n b b +=+， 可化为11
3(3)2
n n b b +-=
-， 所以{3}n b -
是以13332b -===为首项，以
2
1
为公比的等比数列，因此121132()()22
n n n b ---==，则21()32n n b -=+
21
()32n -=+，得
2111
()()3423
n n n a =++。
六、数学归纳法 通过首项和递推关系式求出数列的前n 项，猜出数列的通项公式，再用数学归纳法
加以证明。 例12 已知数列{}n a 满足11
228(1)8
(21)(23)9
n n n a a a n n ++=+
=++，，求数列{}n a 的通项公式。 解：由1228(1)(21)(23)n n n a a n n ++=+
++及1
89
a =，得 2122322243228(11)88224
(211)(213)992525
8(21)248348
(221)(223)25254949
8(31)488480
(231)(233)49498181a a a a a a +?=+
=+=
?+?+?+?=+=+=?+?+?+?=+=+=
?+?+?
由此可猜测22
(21)1
(21)n n a n +-=+，下面用数学归纳法证明这个结论。 （1）当1n =时，212(211)18
(211)9
a ?+-==?+，所以等式成立。
（2）假设当n k =时等式成立，即22
(21)1
(21)
k k a k +-=+，则当1n k =+时，
122
2222222
222222
8(1)(21)(23)[(21)1](23)8(1) (21)(23)(21)(23)(21) (21)(23)(23)1 (23)[2(1)1]1 [2(1)1]k k k a a k k k k k k k k k k k k k k k k ++=+
+++-+++=
++++-+=
+++-=
+++-=
++
由此可知，当1n k =+时等式也成立。
根据（1），（2）可知，等式对任何*
n N ∈都成立。 七、阶差法
1、递推公式中既有n S ，又有n a
分析：把已知关系通过11,1,2n n
n S n a S S n -=?=?-≥?转化为数列{}n a 或n S 的递推关系，然后采用相应的
方法求解。
例13 已知数列{}n a 的各项均为正数，且前n 项和n S 满足1
(1)(2)6
n n n S a a =++，且249,,a a a 成等比数列，求数列{}n a 的通项公式。 解：∵对任意n N +
∈有1
(1)(2)6
n n n S a a =++ ⑴ ∴当n=1时，11111
(1)(2)6
S a a a ==++，解得11a =或12a = 当n ≥2时，1111
(1)(2)6
n n n S a a ---=
++ ⑵ ⑴-⑵整理得：11()(3)0n n n n a a a a --+--= ∵{}n a 各项均为正数，∴13n n a a --=
当11a =时，32n a n =-，此时2
429a a a =成立
当12a =时，31n a n =-，此时2
429a a a =不成立，故12a =舍去
所以32n a n =- 2、对无穷递推数列
例14 已知数列{}n a 满足112311
23(1)(2)n n a a a a a n a n -==++++-≥，，求{}n a 的通项公式。
解：因为123123(1)(2)n n a a a a n a n -=++++-≥ ①
所以1123123(1)n n n a a a a n a na +-=+++
+-+
②
用②式－①式得1.n n n a a na +-= 则1(1)(2)n n a n a n +=+≥
故
1
1(2)n n
a n n a +=+≥ 所以1
3
22212
2
!
[(1)43].2
n n n n n a a a n a a n n a a a a a ---=
???
?=-???=
③
由123123(1)(2)n n a a a a n a n -=++++-≥，21222n a a a ==+取得，则21a a =，又知11a =，
则21a =，代入③得!13452
n n a n =?????=
。 所以，{}n a 的通项公式为!.2
n n a = 八、不动点法
不动点的定义：函数()f x 的定义域为D ，若存在0()f x x D ∈，使00()f x x =成立，则称0x 为
()f x 的不动点或称00(,())x f x 为函数()f x 的不动点。
分析：由()f x x =求出不动点0x ，在递推公式两边同时减去0x ，在变形求解。 类型一：形如1 n n a qa d +=+
例 15 已知数列{}n a 中，111,21(2)n n a a a n -==+≥，求数列{}n a 的通项公式。 解：递推关系是对应得递归函数为()21f x x =+，由()f x x =得，不动点为-1
∴112(1)n n a a ++=+，…… 类型二：形如1n n n a a b
a c a d
+?+=
?+
分析：递归函数为()a x b
f x c x d
?+=
?+
（1）若有两个相异的不动点p,q 时，将递归关系式两边分别减去不动点p,q ，再将两式相除得
11n n n n a p a p k a q a q ++--=?--，其中a pc k a qc -=-，∴111111()()
()()
n n n a q pq k a p pq a a p k a q -----=---
（2）若有两个相同的不动点p ，则将递归关系式两边减去不动点p ，然后用1除，得
111n n k a p a p +=+--，其中2c
k a d
=+。
例16 已知数列{}n a 满足112124
441
n n n a a a a +-=
=+，，求数列{}n a 的通项公式。
解：令212441x x x -=+，得2
420240x x -+=，则1223x x ==，是函数2124()41
x f x x -=+的两个不动
点。因为
112124
2
24121242(41)13262
132124321243(41)92793341
n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a ++---+--+--====----+---+。所以数列23n n a a ??-??-??是以
112422343a a --==--为首项，以913
为公比的等比数列，故12132()39
n n n a a --=-，则11313
2()19
n n a -=
+-。
一?数列通项公式求法总结： 1?定义法一一直接利用等差或等比数列的定义求通项。 特征：适应于已知数列类型（等差或者等比）. 例］.等差数列｛%｝是递增数列,前n项和为S”,且也,％5成等比数列,S5=a;.求数列｛%｝的通项公式. 变式练习： 1.等差数列｛陽｝中,吗=4,如=2為,求匕｝的通项公式 2.在等比数列｛%｝中<2-4 =2,且2勺为3纠和他的等差中项,求数列｝的首项、公比及前"项和. 2 ?公式法 求数列｛a…｝的通项①可用公式= 5,................ ""求解。 ①-昭......... n>2 特征：已知数列的前"项和s“与％的关系 例2?已知下列两数列｛色｝的前n项和S“的公式，求｛?｝的通项公式。
变式练习： 1.已知数列｛%｝的前n项和为且S产2n2+m n GN*,数列｛"｝满足山=41。审化+3, n^N*.求色，b「 2.已知数列｛?｝的前门项和S”= —丄“2+如(2皿)，且久的最大值为8,试确泄常数k并求0”。2 3.已知数列仏｝的前"项和$“=伫卩，心".求数列仏｝的通项公式。 2 3 ?由递推式求数列通项法 类型1特征：递推公式为如="”+/(") 对策：把原递推公式转化为a n+1-a…= f(n),利用累加法求解。例3.已知数列｛?… ｝满足a｛=~, % = a n + -J—,求 a”。 2 ir +n
变式练习： 1.已知数列｛色｝满足a^=a n+2n + \9 q=l,求数列｛色｝的通项公式。 2?已知数列:? =皿 =5 +漆通项公式 类型2特征：递推公式为勺屮=/（〃）? 对策：把原递推公式转化为组 = /（〃），利用累乘法求解。例4.已知数列仏｝满足=-, a n^=—a n9求％ 3 ” + 1 变式练习： 1?已知数列｛%｝中,q=2, a n￥l=3n a n9求通项公式?。
几种求数列前n 项和的常用方法 1、公式法： 如果一个数列是等差、等比数列或者是可以转化为等差、等比数列的数列，我们可以运用等差、等比数列的前n 项和的公式来求. ①等差数列求和公式：()()11122 n n n a a n n S na d +-==+ ②等比数列求和公式：()()()11111111n n n na q S a q a a q q q q ?=?=-?-=≠?--? 常见的数列的前n 项和：， 1+3+5+……+(2n-1)= ，等. 2、倒序相加法： 类似于等差数列的前n 项和的公式的推导方法。如果一个数列{}n a ，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用正序写和与倒序写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和。这一种求和的方法称为倒序相加法. 例、求οοοοο89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++???+++的值. 解：设οοοοο89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++???+++=S …………. …. …. …. ① 将①式右边反序得：οοοοο1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++???++=S ……② 又因为sin cos(90)x x =-o ，22sin cos 1x x +=，①+②得 ： 2222222(sin 1cos 1)(sin 2cos 2)(sin 89cos 89)S =++++???++o o o o o o ＝89 ∴ S ＝ 小结：倒序相加法，适用于倒序相加后产生相同的结果，方便求和. 3、错位相减法： 类似于等比数列的前n 项和的公式的推导方法。若数列各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项相乘得到，即数列是一个“差·比”数列，则采用错位相减法. 例、求和：()2112301n n S x x nx x x -=++++≠≠L ，（课本61页习题组4） 解：设S n =1+2x+3x 2+…+(n-1)x n-2+nx n -1 ， ① 则：x S n = x +2 x 2+…+(n-1) x n-1 + n x n ②
常见数列通项公式的求法 公式： 1、 定义法 若数列是等差数列或等比数列,求通公式项时,只需求出1a 与d 或1a 与q ,再代入公式()d n a a n 11-+=或 11-=n n q a a 中即可. 例1、成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2，5，13后成为等比数列{}n b 的345,,b b b ,求数列{}n b 的的通项公式. 练习：数列{}n a 是等差数列,数列{}n b 是等比数列,数列{}n c 中对于任何* n N ∈都有 1234127 ,0,,,,6954 n n n c a b c c c c =-====分别求出此三个数列的通项公式.
2、 累加法 形如()n f a a n n =-+1()1a 已知型的的递推公式均可用累加法求通项公式. （1） 当()f n d =为常数时，{}n a 为等差数列，则()11n a a n d =+-； （2） 当()f n 为n 的函数时，用累加法. 方法如下：由()n f a a n n =-+1得 当2n ≥时，() 11n n a a f n --=-， () 122n n a a f n ---=-， ()322a a f -=， () 211a a f -=， 以上()1n -个等式累加得 ()()()()11+221n a a f n f n f f -=--+ ++ 1n a a ∴=+()()()()1+221f n f n f f --+ ++ （3）已知1a ，()n f a a n n =-+1，其中()f n 可以是关于n 的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项. ①若()f n 可以是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和； ②若()f n 可以是关于n 的二次函数，累加后可分组求和； ③若()f n 可以是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和； ④若()f n 可以是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和求和. 例2、数列{}n a 中已知111,23n n a a a n +=-=-, 求{}n a 的通项公式.
数列的通项公式与前n 项和的关系 -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
1.（11辽宁T17） 已知等差数列{a n }满足a 2=0，a 6+a 8=-10 （I ）求数列{a n }的通项公式； （II ）求数列??????-12n n a 的前n 项和． 【测量目标】等差数列的通项，数列的通项公式{}n a 与前n 项和n S 的关系. 【难易程度】容易 【试题解析】（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知条件可得11 0,21210,a d a d +=??+=-? 解得11,1. a d =??=-? 故数列{}n a 的通项公式为2.n a n =-（步骤1） （II ）设数列1{ }2n n a -的前n 项和为n S ，即211,22 n n n a a S a -=+++故11S =（步骤2） 12.2242n n n S a a a =+++ 所以，当1n >时， 1211111222211121()2422 121(1)22 n n n n n n n n n n n S a a a a a S a n n -------=+++--=-+++--=--- = .2 n n （步骤3） 所以1.2n n n S -= 综上，数列11 { }.22n n n n a n n S --=的前项和（步骤4） 2.（10上海T20） 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且585n n S n a =--，n +∈N . （1）证明：{}1n a -是等比数列；
（2）求数列{}n S 的通项公式，并求出n 为何值时，n S 取得最小值，并说明理由. 【测量目标】数列的通项公式n a 与前n 项和n S 的关系. 【难易程度】中等 【试题解析】（1）当1n =时，114a =-；当2n 时，11551n n n n n a S S a a --=-=-++，()15116 n n a a -∴-=-，（步骤1） 又11150a -=-≠，∴数列{}1n a -是等比数列；（步骤2） （2）由(1)知：151156n n a -??-=- ??? ，得151156n n a -??=- ???，（步骤3） 从而()1575906n n S n n -+??=+-∈ ???N ；（步骤4） 解不等式1n n S S +<，得15265n -??< ???，562log 114.925n >+≈，（步骤5） ∴当15n 时，数列{}n S 单调递增；（步骤6） 同理可得，当15n 时，数列{}n S 单调递减； 故当15n =时，n S 取得最小值．（步骤7） 3.（09辽宁T14） 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且53655,S S -=则4a = . 【测量目标】数列的通项公式{}n a 与前n 项和n S 的关系. 【难易程度】中等 【参考答案】13 【试题解析】∵11(1)2 n S na n n d =+-∴5131510,33S a d S a d =+=+. ∴5311114653060(1515)154515(3)15S S a d a d a d a d a -=+-+=+=+=. ∵53655,S S -=故413 a = . 4.（09全国II T19） 设数列{}n a 的前n 项和为,n S 已知11,a =142n n S a +=+
数列求和的基本方法和技巧 一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2) 1(2) (11-+=+= 2、等比数列求和公式：?????≠--=--==)1(11) 1() 1(111q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(211+==∑=n n k S n k n 4、)12)(1(6 1 12++==∑=n n n k S n k n 5、 213)]1(2 1[+==∑=n n k S n k n [例1] 已知3 log 1 log 23-=x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1 )32()(++=n n S n S n f 的最大值. 二、错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{}n a 、{}n b 分别是等差数列和等比数列. [例3] 求和：13 2)12(7531--+???++++=n n x n x x x S ………………………①
[例4] 求数列 ??????,22,,26,24,2232n n 前n 项的和. 三、倒序相加法求和 这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +. [例5] 求 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++???+++的值 四、分组法求和 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. [例6] 求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+???+++-n a a a n ，… [例7] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.
1，数列通项公式的十种求法： （1）公式法（构造公式法） 例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+?，12a =，求数列{}n a 的通项公式。 解：1232n n n a a +=+?两边除以12n +，得 113222n n n n a a ++=+，则113222 n n n n a a ++-= ，故数列{}2n n a 是以1 2 22a 11==为首项，以23 为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31 ()222 n n a n =-。 评注：本题解题的关键是把递推关系式1232n n n a a +=+?转化为 113222 n n n n a a ++-=，说明数列{}2n n a 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出3 1(1) 22 n n a n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。 （2）累加法 例2 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。 解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则 所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。 评注：本题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=++转化为121n n a a n +-=+，进而求出 11232211()()()()n n n n a a a a a a a a a ----+-+ +-+-+，即得数列{}n a 的通项公式。 变式：已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。 （3）累乘法 例3已知数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+?=，，求数列{}n a 的通项公式。
求数列通项公式和前n 项和的常用方法 一、求数列通项公式的常用方法 1.公式法：等差数列或等比数列的通项公式。 2.归纳法：由数列前几项猜测出数列的通项公式，再用数学归纳法证明其正确性。 3.累乘法:利用3 21 121 (0,2)n n n n a a a a a a n a a a -=???≠≥型如: 1()n n a g n a += 4.构造新数列: 类型1累加法 )(1n f a a n n +=+ 类型2 累乘法 n n a n f a )(1=+ 类型3 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。解法（待定系数法）：把原递 推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中p q t -=1，转化为等比数列求解。 类型4 n n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ） 。 （或1n n n a pa rq +=+,其中p ，q, r 均为常数） 解法：先在原递推公式两边同除以1 +n q ，得：q q a q p q a n n n n 111+?=++引入辅助数列{}n b （其中n n n q a b =），得：q b q p b n n 1 1+=+再待定系数法解决。 类型5 递推公式为n S 与n a 的关系式。(或()n n S f a =) 解法：1.利用?? ?≥???????-=????????????????=-) 2() 1(11n S S n S a n n n 2.升降标相减法 二、数列求和的常用方法 1.直接或转化等差、等比数列的求和公式求和 （1）等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= （2）等比数列求和公式：?????≠--=--==) 1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n n n 2.错位相减法 设数列{}n a 的等比数列，数列{}n b 是等差数列，则求数列{}n n b a 的前n 项和n S 。 3.裂项求和法 （1）1 1 1)1(1+- =+=n n n n a n （2）)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n 等。4.分组求和法：对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可分为 几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。 5.逆序相加法 把数列正着写和倒着写再相加（即等差数列求和公式的推导过程的推广）
求数列前N项和的常用方法 核心提示：求数列的前n项和要借助于通项公式，即先有通项公式，再在分析数列通项公式的基础上，或分解为基本数列求和，或转化为基本数列求和。当遇到具体问题时，要注意观察数列的特点和规律，找到适合的方法解题。 一.用倒序相加法求数列的前n项和 如果一个数列{a n}，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知识的工具，例如：等差数列前n项和公式的推导，用的就是“倒序相加法”。 例题1：设等差数列{a n}，公差为d，求证：{a n}的前n项和S n=n(a1+a n)/2 解：S n=a1+a2+a3+...+a n① 倒序得：S n=a n+a n-1+a n-2+…+a1② ①+②得：2S n=(a1+a n)+(a2+a n-1)+(a3+a n-2)+…+(a n+a1) 又∵a1+a n=a2+a n-1=a3+a n-2=…=a n+a1 ∴2S n=n(a2+a n) S n=n(a1+a n)/2 点拨：由推导过程可看出，倒序相加法得以应用的原因是借助a1+a n=a2+a n-1=a3+a n-2=…=a n+a1即与首末项等距的两项之和等于首末两项之和的这一等差数列的重要性质来实现的。 二.用公式法求数列的前n项和 对等差数列、等比数列，求前n项和S n可直接用等差、等比数列的前n项和公式进行求解。运用公式求解的注意事项：首先要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。 例题2：求数列的前n项和S n 解： 点拨：这道题只要经过简单整理，就可以很明显的看出：这个数列可以分解成两个数列，一个等差数列，一个等比数列，再分别运用公式求和，最后把两个数列的和再求和。 三.用裂项相消法求数列的前n项和 裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项，使得前后项相抵消，留下有限项，从而求出数列的前n项和。 例题3：求数列(n∈N*)的和
创作编号：GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王* 求数列通项公式常用的七种方法 一、公式法：已知或根据题目的条件能够推出数列{}n a 为等差或等比数列，根据通项公式 ()d n a a n 11-+=或1 1-=n n q a a 进行求解. 例1：已知{}n a 是一个等差数列，且5,152-==a a ，求{}n a 的通项公式. 分析：设数列{}n a 的公差为d ，则?? ?-=+=+5411 1d a d a 解得???-==23 1d a ∴ ()5211+-=-+=n d n a a n 二、前n 项和法：已知数列{}n a 的前n 项和n s 的解析式，求n a . 例2：已知数列{}n a 的前n 项和12-=n n s ，求通项n a . 分析：当2≥n 时，1--=n n n s s a =( )( ) 32 321 ----n n =1 2 -n 而111-==s a 不适合上式，() () ???≥=-=∴-22111n n a n n 三、n s 与n a 的关系式法：已知数列{}n a 的前n 项和n s 与通项n a 的关系式，求n a . 例3：已知数列{}n a 的前n 项和n s 满足n n s a 3 1 1= +，其中11=a ，求n a . 分析： 13+=n n a s ① ∴ n n a s 31=- ()2≥n ② ①-② 得 n n n a a a 331-=+ ∴ 134+=n n a a 即 341=+n n a a ()2≥n 又1123 1 31a s a ==不适合上式 ∴ 数列{}n a 从第2项起是以 3 4 为公比的等比数列 ∴ 2 2 2343134--?? ? ??=? ? ? ??=n n n a a ()2≥n ∴()()??? ??≥?? ? ??==-23431112n n a n n 注：解决这类问题的方法，用具俗话说就是“比着葫芦画瓢”，由n s 与n a 的关系式，类比出1-n a 与 的关系式，然后两式作差，最后别忘了检验1a 是否适合用上面的方法求出的通项. 四、累加法：当数列{}n a 中有()n f a a n n =--1，即第n 项与第1-n 项的差是个有“规律”的数时， 可以用这种方法. 例4： ()12,011-+==+n a a a n n ，求通项n a 分析： 121-=-+n a a n n ∴ 112=-a a 323=-a a 534=-a a ┅ 321-=--n a a n n ()2≥n 以上各式相加得()()2 11327531-=-+++++=-n n a a n ()2≥n 又01=a ，所以()2 1-=n a n ()2≥n ，而01=a 也适合上式， ∴ ()2 1-=n a n ( ∈N n 五、累乘法：它与累加法类似 ，当数列{}n a 中有 ()1 n n a f n a -=，即第n 项与第1-n 项的商是个有“律”的数时，就可以用这种方法. 例5：111,1 n n n a a a n -==- ()2,n n N *≥∈ 求通项n a 分析： 11 n n n a a n -= - ∴11n n a n a n -=- ()2,n n N * ≥∈
数列通项公式前n项和 求法总结全 YUKI was compiled on the morning of December 16, 2020
一.数列通项公式求法总结： 1.定义法 —— 直接利用等差或等比数列的定义求通项。 特征：适应于已知数列类型（等差或者等比）． 例1．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列，2 55a S =．求数 列{}n a 的通项公式. 变式练习： 1.等差数列{}n a 中,71994,2,a a a ==求{}n a 的通项公式 2. 在等比数列{}n a 中,212a a -=,且22a 为13a 和3a 的等差中项,求数列{}n a 的首项、公比 及前n 项和. 2.公式法 求数列{}n a 的通项n a 可用公式???≥???????-=????????????????=-21 11n S S n S a n n n 求解。 特征：已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系 例2.已知下列两数列}{n a 的前n 项和s n 的公式，求}{n a 的通项公式。 （1）13-+=n n S n 。 （2）12-=n s n 变式练习：
1. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n S =2n 2+n ，n ∈N ﹡，数列{b }n 满足n a =4log 2n b +3，n ∈N ﹡.求n a ，n b 。 2. 已知数列{}n a 的前n 项和21 2n S n kn =-+（*k N ∈）,且S n 的最大值为8，试确定常数k 并求n a 。 3. 已知数列{}n a 的前n 项和*∈+=N n n n S n ，2 2.求数列{}n a 的通项公式。 3.由递推式求数列通项法 类型1 特征：递推公式为 ) (1n f a a n n +=+ 对策：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法求解。 例3. 已知数列{}n a 满足211= a ，n n a a n n ++=+211，求n a 。 变式练习： 1. 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列： 求通项公式 类型2 特征：递推公式为 n n a n f a )(1=+ 对策：把原递推公式转化为 )(1 n f a a n n =+，利用累乘法求解。 例4. 已知数列{}n a 满足321= a ，n n a n n a 1 1+=+，求n a 。 变式练习：
一.数列通项公式求法总结： 1.定义法 —— 直接利用等差或等比数列的定义求通项。 特征：适应于已知数列类型（等差或者等比）． 例1．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列，2 55a S =．求数列{}n a 的通项公式. 变式练习： 1.等差数列{}n a 中,71994,2,a a a ==求{}n a 的通项公式 2. 在等比数列{}n a 中,212a a -=,且22a 为13a 和3a 的等差中项,求数列{}n a 的首项、公比及前n 项和. 2.公式法 求数列{}n a 的通项n a 可用公式???≥???????-=????????????????=-21 11n S S n S a n n n 求解。 特征：已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系 例2.已知下列两数列}{n a 的前n 项和s n 的公式，求}{n a 的通项公式。 （1）13-+=n n S n 。 （2）12 -=n s n
变式练习： 1. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n S =2n 2 +n ，n ∈N ﹡，数列{b }n 满足n a =4log 2n b +3，n ∈N ﹡.求n a ，n b 。 2. 已知数列{}n a 的前n 项和2 12 n S n kn =-+（*k N ∈）,且S n 的最大值为8，试确定常数k 并求n a 。 3. 已知数列{}n a 的前n 项和*∈+=N n n n S n ，2 2.求数列{}n a 的通项公式。 3.由递推式求数列通项法 类型1 特征：递推公式为 ) (1n f a a n n +=+ 对策：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法求解。 例3. 已知数列{}n a 满足211= a ，n n a a n n ++=+211，求n a 。
一、 观察法：已知数列的前几项，要求写出数列的一个通项公式 例1、求下列数列的一个通项公式。 ①1 3572,4,8,165101520 -- ②1，0，1，0 ③3，33，333，3333 ④11，103，1005，10007 二、定义法：主要应用于可定性为等差或等比数列的类型，可直接利用等差或等比数列的通项公式进行求解。例2、求下列数列的通项公式 ①已知数列{}a n 中() *112,3n n a a a n N +==+∈求通项公式。 ②已知{}a n 中a 13=-且n n a a 21=+求此数列的通项公式。 ③已知等比数列2，a ，a ＋4，…写出其通项a n 的表达式． ④已知数列{}n a 中，满足a 1＝６，a 1+n +1=2(a n +1) （n ∈N + ），则数列{}n a 的通项公式 三、 递推关系式形如1()n n a a f n +=+ (其中()f n 不是常数函数) 此类问题要利用累加法, 利用公式121321()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-+???+-来求解. 例.若在数列{}n a 中，31=a ，n a a n n +=+1，求通项n a 。 变式：（1）数列{a n }满足a 1=1且132(2),n n n a a n n a -=+-≥求 （2）数列{a n }满足a 1=1且11(2),2 n n n n a a n a -=+ ≥求 四、 递推关系式形如1()n n a a f n += (其中()f n 不是常数函数) 此类问题要利用累乘法,利用公式321121n n n a a a a a a a a -=??? 来求解. 例.在数列{}n a 中，11=a ，n n n a a 21=+（* N n ∈），求通项n a 。 变式：若1124,n n n a a a n ++==，求n a 五、 (构造数列法) 递推关系式形如 1n n a pa q +=+(,,1,0)q p p q ≠≠为常数且 此类问题可化为1()11n n q q a p a p p ++=+--,即数列{}1 n q a p +-是一个以p 为公比的等比数列. 例．已知数列{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈求数列{}n a 的通项公式 变式：115,23n n n a a a a -==+且，求 六、利用前n 项和S n 求通项 利用{11,1 ,2n n a n n S S n a -=-≥= ，一定要验证首项。 例：已知下列两数列}{n a 的前n 项和s n 的公式，求}{n a 的通项公式。 （1）223n S n n =-。 （2）12-=n s n （2）若数列{a n }的前n 项和S n ＝32 a n －3，求{a n }的通项公式．
最全的数列通项公式的求法 数列是高考中的重点内容之一，每年的高考题都会考察到，小题一般较易，大题一般较难。而作为给出数列的一种形式——通项公式，在求数列问题中尤其重要。本文给出了求数列通项公式的常用方法。 一、直接法 根据数列的特征，使用作差法等直接写出通项公式。 二、公式法 ①利用等差数列或等比数列的定义求通项 ②若已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系，求数列{}n a 的通项n a 可用公式 ?? ?≥???????-=????????????????=-2 1 11n S S n S a n n n 求解. (注意：求完后一定要考虑合并通项) 例2．①已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,)1(2≥-+=n a S n n n ．求数列{}n a 的通项公式. ②已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足2 1n S n n =+-，求数列{}n a 的通项公式. ③ 已知等比数列{}n a 的首项11=a ，公比10< 求数列通项公式的十种方法 一、公式法 例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+?，12a =，求数列{}n a 的通项公式。 解：1232n n n a a +=+?两边除以1 2 n +，得 113222n n n n a a ++=+，则113222n n n n a a ++-=，故数列{}2n n a 是以1222a 1 1==为首项，以2 3 为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31()222 n n a n =-。 评注：本题解题的关键是把递推关系式1232n n n a a +=+?转化为 113 222 n n n n a a ++-=，说明数列{}2 n n a 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22n n a n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。 二、利用 { 1(2)1(1) n n S S n S n n a --≥== 例2．若n S 和n T 分别表示数列{}n a 和{}n b 的前n 项和，对任意正整数 2(1)n a n =-+，34n n T S n -=.求数列{}n b 的通项公式； 解 ： 22(1) 4 2 31a n a d S n n n n =-+∴=-=-=-- 23435T S n n n n n ∴=+=--… …2分 当1,35811n T b ===--=-时 当2,62 6 2.1n b T T n b n n n n n ≥=-=--∴=---时……4分 练习：1. 已知正项数列{a n }，其前n 项和S n 满足10S n =a n 2+5a n +6且a 1,a 3,a 15成等 比数列，求数列{a n }的通项a n 解: ∵10S n =a n 2+5a n +6， ① ∴10a 1=a 12+5a 1+6，解之得a 1=2或a 1=3 又10S n －1=a n －12+5a n －1+6(n ≥2)，② 由①－②得 10a n =(a n 2－a n －12)+6(a n －a n －1)，即(a n +a n －1)(a n －a n －1－5)=0 ∵a n +a n －1>0 ， ∴a n －a n －1=5 (n ≥2) 当a 1=3时，a 3=13，a 15=73 a 1， a 3，a 15不成等比数列∴a 1≠3; 当a 1=2时， a 3=12， a 15=72， 有 a 32=a 1a 15 ， ∴a 1=2， ∴a n =5n －3 2．（2006年全国卷I ）设数列{}n a 的前n 项的和 数列 等比数列前n项和公式 ■(2015甘肃省白银市会宁二中高考数学模拟,等比数列前n项和公式,选择题,理3)公比不为1等比数列{a n}的前n项和为S n,且-3a1,-a2,a3成等差数列,若a1=1,则S4=() A.-20 B.0 C.7 D.40 解析:设数列的公比为q(q≠1),则∵-3a1,-a2,a3成等差数列, ∴-3a1+a3=-2a2,∵a1=1,∴-3+q2+2q=0, ∵q≠1,∴q=-3.∴S4=1-3+9-27=-20.故选A. 答案:A ■(2015甘肃省兰州市七里河区一中数学模拟,等比数列前n项和公式,选择题,理11)已知函数y=x3在x=a k时的切线和x轴交于a k+1,若a1=1,则数列{a n}的前n项和为() A.n B. - C.3- D.3- - 解析:∵函数y=x3,∴y'=3x2,∴- - =3, 即 - =3, 化简,得3a k+1=2a k,即, 又∵a1=1,∴S n=- - =3- - ,故选D. 答案:D ■(2015甘肃省白银市会宁二中高考数学模拟,数列与不等式相结合问题,填空题,理16)已知数列{a n}的前n项和为S n,且S n+1=2a n,则使不等式+…+<5×2n+1成立的n的最大值为.解析:当n=1时,a1+1=2a1,解得a1=1. 当n≥2时,∵S n+1=2a n,S n-1+1=2a n-1, ∴a n=2(a n-a n-1),∴ - =2. ∴数列{a n}是以1为首项,2为公比的等比数列. ∴a n=2n-1,∴=4n-1. ∴+…+ =1+4+42+…+4n-1=- - (4n-1). ∴(4n-1)<5×2n+1. ∴2n(2n-30)<1,可知使得此不等式成立的n的最大值为4. 答案:4 专题2数列与函数相结合 问题 1 数列通项公式的求法详解 关键是找出各项与项数n 的关系.） 例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式： （1）9，99，999，9999，…（2）K ,1716 4,1093 ,542,21 1（3） K ,52,21,32 ,1（4）K ,5 4 ,43,32,21-- 答案：（1）110-=n n a （2）;1 22++=n n n a n （3）;12+=n a n （4）1)1(1+? -=+n n a n n . 公式法1：特殊数列 例2： 已知数列{a n }是公差为d 的等差数列，数列{b n }是公比为q 的(q ∈R 且q ≠1)的等比数列，若函数f (x ) = (x －1)2 ，且a 1 = f (d －1)，a 3 = f (d +1)，b 1 = f (q +1)，b 3 = f (q －1)，求数列{ a n }和{ b n }的通项公式。 答案：a n =a 1+(n －1)d = 2(n －1)； b n =b ·q n －1=4·(－2)n －1 例3. 等差数列{}n a 是递减数列，且432a a a ??=48，432a a a ++=12，则数列的通项公式是（ ） (A) 122-=n a n (B) 42+=n a n (C) 122+-=n a n (D) 102+-=n a n 答案：(D) 例4. 已知等比数列{}n a 的首项11=a ，公比10< 求数列通项公式的十一种方法（方法全，例子全，归纳细） 总述：一．利用递推关系式求数列通项的7种方法： 累加法、 累乘法、 待定系数法、 倒数变换法、 由和求通项 定义法 （根据各班情况适当讲） 二。基本数列：等差数列、等比数列。等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。 三．求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等差数列或等比数列。 四．求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。 五．数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。 一、累加法 1．适用于：1()n n a a f n +=+----------这是广义的等差数列累加法是最基本的二个方法之一。 例1已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。 解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则 所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。 例2已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。 解法一：由1231n n n a a +=+?+得1231n n n a a +-=?+则 11232211122112211()()()()(231)(231)(231)(231)3 2(3333)(1)3 3(13)2(1)3 13 331331 n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n --------=-+-++-+-+=?++?+++?++?++=+++++-+-=+-+-=-+-+=+- 所以3 1.n n a n =+- 解法二：13231n n n a a +=+?+两边除以13n +，得 11 121 3333 n n n n n a a +++=++， 则 111 21 3333n n n n n a a +++-=+ ，故 因此11 (13)2(1)211 3133133223 n n n n n a n n ---=++=+--?， 则21133.322 n n n a n =??+?- 练习1.已知数列{}n a 的首项为1，且*12()n n a a n n N +=+∈写出数列{}n a 的通项公式. 答案：12 +-n n 练习2.已知数列}{n a 满足31=a ，) 2()1(1 1≥-+ =-n n n a a n n ，求此数列的通项公式. 答案：裂项求和 n a n 12- = 评注：已知a a =1,)(1n f a a n n =-+，其中f(n)可以是关于n 的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项n a .求数列通项公式的十种方法
等比数列前n项和公式
数列通项公式和前n项和求解方法
求数列通项公式的种方法
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