利用二次函数解决实际问题
类型一：利用二次函数解决面积最值（面积优化问题）（不含相似形知识点）
1、某广告公司设计一幅周长为20 m的矩形广告牌，设矩形的一边长为x m，广告牌的面积为S m2．
(1)写出广告牌的面积S与边长x的函数关系式； (2)当x为何值时，广告牌面积S最大？最大值为几？
2、如图，有长为24 m的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度a为10 m)，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．
(1)如果要围成面积为45 m2的花圃，AB的长是多少米？
(2)能围成面积比45 m2更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．
3、用48米长的竹篱笆围建一矩形养鸡场,养鸡场一面用砖砌成,另三面用竹篱笆围成,并且在与砖墙相对的一面开
2米宽的门(不用篱笆),问养鸡场的边长为多少米时,养鸡场占地面积最大?最大面积是多少?
4、明的家门前有一块空地，空地外有一面长10米的围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一
个矩形花圃，他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围
出一条宽为一米的通道及在左右花圃各放一个1米宽的门（木质）．花圃的长与宽如何设计才能使花圃的面积最大？
5、如图，已知正方形ABCD边长为8，E，F，P分别是AB，CD，AD上的点，(不与正方形顶点
重合)，且PE⊥PF，PE＝PF，问当AE为多长时，五边形EBCFP面积最小？最小面积是多少？
▲6、（探究）如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50 m长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的
x
养鸡场，设它的长度为x 米．
(1)要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为多少m ？
(2)如果中间有n (n 是大于1的整数)道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，鸡场的长应为多少米？比较(1)(2)的结果，你能得到什么结论？
x
7、如图，在ABC ?中，90B ∠=，12mm AB =，24mm BC =，动点P 从点A 开始沿边AB 向B 以
2mm/s 的速度移动（不与点B 重合）
，动点Q 从点B 开始沿边BC 向C 以4mm/s 的速度移动（不与点C 重合）
．如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，那么经过几秒，四边形APQC 的面积最小，最小面积为多少？
☆类型二、利用二次函数解决利润最值问题（利润优化问题）
1、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
（2）每件衬衫降低多少元时，商场平均每天盈利最多？利润最多为多少元？
▲2、（讨论）某商店经营T 恤衫,已知成批购进时单价是2.5元.根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:在某一时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件. 请你帮助分析:销售单价是多少时,可以获利最多?最大利润为多少？
3、某种粮大户去年种植优质水稻360亩，今年计划增加承租x （100≤x ≤150）亩。预计，原种植的360亩水稻今年每亩可收益440元，新增地今年每亩的收益为（440-2x ）元，试问：该种粮大户今年要增加承租多少亩水稻，才能使收益最大？最大收益是多少？
4、某商场以每件42元的价格购进一批服装，由试销知，每天的销售量t （件）与每件的销售价x （元/件）之间的 函数关系是t=-3x+204.
（1）写出商场每天销售这种服装的毛利润y （元）与每件的销售价x （元）的函数关系式（每件服装销售的毛利润
是指每件服装的销售价与进货价的差）
(2)商场要想每天获得最大销售毛利润，每件的销售价应定为多少元？最大销售毛利润为多少元？
5、(20XX年南宁市)随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高．某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润
与投资
量成正比例关系，如图12-①所示；种植花卉的利润
与投资量
成二次函数关系，如图12-②所示(注：利润与投资量的单位：万元)
（1）分别求出利润与
关于投资量
的函数关系式；
（2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？
6．（2010山东青岛）某市政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y （件）与销售单价x （元）之间的关系可近似的看作一次函数：10500y x =-+．
（1）设李明每月获得利润为w （元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？
（2）如果李明想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？
（3）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2000元，
那么他每月的成本最少需要多少元？（总成本＝进价×销售量）
▲7．（2010 河北）某公司销售一种新型节能产品，现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售．
若只在国内销售，销售价格y （元/件）与月销量x （件）的函数关系式为y =100
1-x ＋150，成本为20元/件，无论销售多少，每月还需支出广告费62500元，设月利润为w 内（元）（利润 = 销售额－成本－广告费）；
若只在国外销售，销售价格为150元/件，受各种不确定因素影响，成本为a 元/件（a 为常数，10≤a ≤40），当月销量为x （件）时，每月还需缴纳100
1x 2 元的附加费，设月利润为w 外（元）（利润 = 销售额－成本－附加费）． （1）当x = 1000时，y = 元/件，w 内 = 元；
（2）分别求出w 内，w 外与x 间的函数关系式（不必写x 的取值范围）；
（3）当x 为何值时，在国内销售的月利润最大？若在国外销售月利润的最大值
与在国内销售月利润的最大值相同，求a 的值；
（4）如果某月要将5000件产品全部销售完，请你通过分析帮公司决策，选择在
国内还是在国外销售才能使所获月利润较大？
☆类型三、利用二次函数优化构建坐标系解决实际问题（车
船通行问题）
1、一座抛物线型拱桥如图所示,桥下水面宽度是4m, 拱高是2m .
（1）求此拱桥所在的抛物线的函数关系式 （2）当水面下降1m 后,水面的宽度是多少?
2、一座抛物线拱桥梁在一条河流上，这座拱桥下的水面离桥孔顶部3m 时，水面宽6m,
当水位上升1m 时，水面宽为多少？(精确到0.1m)。一艘装满防汛器材的船在此河流中
行，露出水面得高为0.5m 、宽为4m ，当水位上升1 m 时这艘船能从桥下通过吗?
3、如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是8m ，宽是2m ，抛物线可以
用y=－x 2
＋4表示． （1）一辆货运卡车高4m ，宽2m ，它能通过该隧道吗？
（2）如果隧道内设双行道，那么这辆货运车是否可以通过？
（3）为安全起见，你认为隧道应限高多少比较适宜？为什么？
1、（2010湖北荆州）国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，某环保节能设备生产企业的产品供不应求．若该
<体会>（1）、一门迫击炮发射的一发炮弹飞行的高度y （m ）与飞行时间x （s ）的关系满足y=－51x 2
＋10x ． ①经过多长时间，炮弹达到它的最高点？最高点的高度是多少？
②经过多长时间，炮弹落在地上爆炸？
（2）、在一场足球比赛中，有一个球员从球门正前方10米处将球踢向球门，当球飞行的水平距离为
6米时，球到达最高点，此时球高3米，已知球门高2．44米，问该球员能否射中球门？
企业的某种环保设备每月的产量保持在一定的范围，每套产品的生产成本不高于50万元，每套产品的售价不低于90万元．已知这种设备的月产量x （套）与每套的售价
1y （万元）之间满足关系式x y 21701-=，月产量x （套）与生产总成本2y （万元）存在如图所示的函数关系.
（1）直接写出．．．．2y 与x 之间的函数关系式； （2）求月产量x 的范围；
（3）当月产量x （套）为多少时，这种设备的利润W （万元）最大？最大利润是多少？
2、某工厂大门是一抛物线型水泥建筑物，如图所示，大门地面宽AB ＝4 m ，顶部C 离地面高度为4.4 m ．现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2.8 m ，装货宽度为2.4 m ．请判断这辆汽车能否顺利通过大门．
3、在体育测试时，初三的一名高个子男同学掷铅球，已知铅球所经过的路线是某个二次函数图象一部分，如果这个男同学的出手处A 点的坐标为(0，2)，铅球路线的最高处B 点的坐标(6，5)．
(1)求这个二次函数的关系式；
(2)该男同学把铅球掷出去多远？(精确到0.01 m ，
4、某校九年级的一场篮球比赛中，如图所示，队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高m ，与篮圈中心的水平距离为7 m ，当球出手后水平距离为4 m 时到达最大高度4 m ．设篮球的运动轨迹为抛物线，篮圈距地面3 m ．
(1)请你建立适当的平面直角坐标系，并判定此球能否准确投中？
(2)此时，若对方队员乙在甲面前1 m 处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为2.9 m ，那
么他能否获得成功？
5、作水平飞行的轰炸机，在距地面高度600 m 时投弹，炸弹离开飞机后运行的轨迹是抛物线，在如图所示的直角坐标系中，炸弹下落的垂直距离y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式是y=－ x 2
(1)如果不计其他因素，飞机在离目标多远(水平距离)时投弹，才能命中地面目标？
(2)飞机和敌机的相对高度是500 m，距敌机的水平距离是1 500 m，此时投弹，能
否击中敌机？
如图所示，是一条高速公路的隧道口在平面直角坐标系上的示意图，点A和A1、点B和B1分别关于y轴对称，隧道拱部分BCB1为一条抛物线，最高点C离路面AA1的距离为8米，点B离路面为6米，隧道的宽度AA1为6米．
(1)求隧道拱抛物线BCB1的函数解析式．
(2)现有一大型运货汽车，装载某大型设备后，其宽度为4米，车载大型设备的顶部与路面
的距离均为7米，它能否通过这个隧道？请说明理由．